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高数原ch8-2二重积分计算.ppt 10页
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高数原ch8-2二重积分计算
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··········
··········
例8. 计算 结论: D1 为 D 中位于 x 轴上方的部分 当区域关于 x=0 ( y 轴) 对称,
函数关于变量 x 有奇偶性时,
有类似结果. 例9
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。
解 设这两个圆柱面的方程分别为
利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分(如右图 )的体积V1，然后再乘以8就行了。
x2+z2=R2 y o x D x y R R z o
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 如图所示，它的顶是柱面 y o x D x y R R z o 于是， y o x D 利用公式 (1)，得 x y R R z o 二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分，积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、?表达比较简单。这时，可以利用极坐标计算二重积分。
在极坐标系下, 用 同心圆 及射线 ?
划分 D 为 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 设 则 特别, 对 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 答:
试问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 例1
将下图所示区域用极坐标表出:
* * * 一、直角坐标系下二重积分的计算 Ch8-2
二重积分的计算
二、极坐标系下二重积分的计算 一、直角坐标系下二重积分的计算
1、曲顶柱体的体积------
二重积分的几何意义 由二重积分定义 这也是二重积分的几何意义。 2、用几何观点讨论二重积分的计算法
应用 “定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。
(1)设f (x,y) ? 0，f(x,y)在D上连续。 ［X－型］ o
在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x = x0。
这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [? 1(x0), ? 2(x0)]为底、曲线z =f (x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：
先计算截面面积。
一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：
于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式 o
上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。
就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从?1(x)到? 2(x)的定积分；
再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。 这个先对y、后对x的二次积分也常记作 ［Y－型］ D y o x d
计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，
在区间?1(y) ? x ? ?2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,
再在区间c ? y ? d上对y积分,。
这就是把二重积分化为先对x 、后对 y的二次积分的公式。
应用公式(1) 时，积分区域必须是X型区域。
应用公式(2) 时，积分区域必须是Y型区域。
X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。
Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。
若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。 y o x
若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。 这表明二次积分可以交换积分次序。 3、二重积分计算的一般方法
要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。
------化为两次单积分
(1) 作图，确定D的类型。
(2) 选定积分顺序。
(3) 定出积分上下限。
(4) 计算定积分。
确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的。
要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。 1 －1
x y = x y 解
画出积分区域D如图所示。 既是
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今天我们继续二重积分的计算，这是二重积分计算的第二集锦。希望大家可以先自己做一做，然后再看姑姑下面的解析视频。二重积分的基础计算很重要，练武功还要打通任督二脉呢，正所谓不会二重，又怎么能搞懂三重呢？
—— 二重积分计算例题二——
今天的办公室有点冷
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