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浅谈高等数学中几种求极限的方法
　　【摘要】极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。故本文总结了《高等数学》中求极限的方法，主要列举了几种常用的求极限方法：1.由定义求极限；2.利用函数的连续性求极限；3.利用两边夹定理求极限；4.利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限；5.利用两个重要极限求极限；6.利用单调有界原理求极限；7.利用洛必达法则求极限；8.利用等价无穷小代换求极限；9.利用泰勒展式求极限；10.利用级数收敛的必要条件求极限。并通过例题解析了这些方法的使用技巧。 中国论文网 /9/view-7064619.htm　　【关键词】高等数学 极限 求法 　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】（6-02 　　极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。 　　一、由定义求极限 　　极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。 　　然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。 　　二、利用函数的连续性求极限 　　此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。 　　三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限 　　极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。 　　四、利用两边夹定理求极限 　　定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A 　　两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。 　　注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。 　　五、利用两个重要极限求极限 　　六、利用单调有界原理求极限 　　单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。 　　利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。 　　七、利用洛必达法则求极限 　　八、利用等价无穷小代换求极限 　　在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。 　　九、利用泰勒展式求极限 　　运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。 　　十、利用级数收敛的必要条件求极限 　　求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。 　　参考文献： 　　[1]徐荣贵.求极限的方法和技巧[J].四川工程职业技术学院学报，2006（1）. 　　[2]华东师范大学数学系.数学分析上册（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001. 　　[3]戴剑萍.微积分中求极限的方法归叙[J].黄山学院，2005，（15）. 　　[4]夏滨.利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨[J]. 四川建筑职业技术学院，2008.
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> 《高等数学》
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图书作者：小兰
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图书介绍：
高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。
作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。
第一章&&& 函数与极限
第二章&&& 导数与微分
第三章&&& 中值定理
第四章&& 不定积分
第五章&& 定积分
第六章&& 空间解析几何
第七章&&& 多元函数微分
第八章&& 重积分
第九章&& 曲线、曲面积分
第十章&& 无穷级数
第十一章&& 微分方程
章节列表：
第1章 函数与极限
第2章 导数与微分
第3章 中值定理
第4章 不定积分
第5章 定积分
第6章 空间解析几何
第7章 多元函数微分
第8章 重积分
第9章 曲线、曲面积分
第10章 无穷级数
第11章 微分方程
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肖萍网址：（不想复制粘贴的话，公众号【大学干货】后台回复【高数】获取网址超链接，点击即可进入）同济大学 高等数学（一）（二）（三）（四）
张弢 黄长水
孙娟娟 朱晓平网址：（不想复制粘贴的话，公众号【大学干货】后台回复【高数】获取网址超链接，点击即可进入）（一）第一讲 函数与极限第二讲 极限运算法则第三讲 两个重要极限和无穷小的比较第四讲 连续及其性质第五讲 导数及其运算第六讲 高阶导数、隐函数与参数方程的导数第七讲 微分的概念与微分中值定理第八讲 洛必达法则与泰勒公式第九讲 函数的单调性，凹凸性，极值与最值第十讲 函数图形的描绘与曲率（二）第一讲 不定积分的概念和性质
第二讲 不定积分的换元和分部积分法
第三讲 三角函数和有理函数的不定积分
第四讲 定积分的概念和性质
第五讲 定积分的计算
第六讲 反常积分
第七讲 定积分的几何应用
第八讲 定积分的物理应用
第九讲 一阶微分方程的计算
第十讲 二阶微分方程的计算 （三）第一讲 向量及其线性运算 第二讲 数量积、向量积与平面方程 第三讲 空间直线及其方程 第四讲 曲面与曲线方程 第五讲 多元函数概念和偏导数 第六讲 全微分与复合求导 第七讲 隐函数求导和多元函数微分学的几何应用
第八讲 方向导数，梯度与极值（四）
二重积分第二讲 三重积分及重积分的应用第三讲 曲线积分第四讲 格林公式及其应用第五讲 曲面积分第六讲 高斯公式与斯托克斯公式第七讲 常数项级数第八讲 幂级数第九讲 函数展开成幂级数及其应用
第十讲 傅里叶级数 西安交通大学 高等数学（一）（二） 网址：（不想复制粘贴的话，公众号【大学干货】后台回复【高数】获取网址超链接，点击即可进入）（一）
第一章 微积分的理论基础第一节 函数1．集合的概念2. 映射3. 函数4．几个函数及图形的例子
5．函数的几种特性
6．复合映射与复合函数7．逆映射与反函数8. 基本初等函数与初等函数9. 双曲函数第二节 数列极限的概念
1．数列的概念2．数列极限的描述性定义3．数列极限的严格定义
4．数列极限的几何解释第三节 收敛数列的性质1．收敛数列极限的唯一性2．收敛数列极限的有界性3．收敛数列极限的保号性4．子数列的概念第四节 自变量趋于无穷大时函数极限的概念1．自变量趋于无穷大时函数极限的定义
2．自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释第五节 自变量趋于有限值时函数极限的概念1．自变量趋于有限值时函数极限的定义
2．自变量趋于有限值时函数极限的几何解释3．左右极限及其与极限存在的关系第六节 函数极限的性质1．函数极限的几个简单性质2．函数极限与数列极限的关系 第七节 无穷小与无穷大1．无穷小的概念2．无穷大的概念第八节 函数极限的运算法则1．函数极限的四则运算法则2．复合函数极限的运算法则第九节 极限存在准则及两个重要极限1．极限存在的夹逼准则2．重要极限sin x / x及其在求极限中的应用举例3．数列的单调有界收敛准则4．重要极限e其在求极限中的应用举例第十节 无穷小的比较1．无穷小阶的概念2．等价无穷小在求极限中的应用举例第十一节 函数的连续性1．函数连续的概念2．连续函数举例第十二节 函数的间断点1．函数的间断点2．间断点举例第十三节 连续函数的运算第十四节 初等函数的连续性第十五节 闭区间上连续函数的性质第二章 一元函数微分学及其应用第一节 导数的概念1．引例2．导数的定义3．左右导数及其与可导的关系4．在一个区间上的可导性与可导函数5．导数的几何意义6．函数可导性与连续性的关系第二节 函数的求导法则1．函数求导的四则运算法则2．反函数的求导法则3．复合函数的求导法则4．基本初等函数的导数公式表第三节 高阶导数1．高阶导数的概念2．高阶导数的计算3．几个基本初等函数的高阶导数公式第四节 隐函数的求导法1．隐函数的概念2．隐函数的求导法及应用举例第五节 由参数方程所确定的函数的导数1．由参数方程所确定的函数的概念2．由参数方程所确定的函数的求导法3．参数方程求导法应用实例第六节 相关变化率1．相关变化率的概念与计算2．相关变化率的应用实例第七节 函数的微分1．微分的概念2．可微与可导的关系3．微分的几何意义4．微分运算法则5．微分在近似计算中的应用第八节 罗尔定理1．罗尔定理及其几何意义2．罗尔定理的证明3．罗尔定理的应用举例第九节 拉格朗日定理1．拉格朗日定理及其几何意义2．拉格朗日定理的证明3．拉格朗日公式的几种形式4．f(x)的导函数在区间I上恒为零的充要条件5．拉格朗日公式的其他应用举例第十节 柯西中值定理1．柯西中值定理及其几何意义2．柯西中值定理的证明3．三个中值定理间的关系4. 柯西中值定理的应用举例第十一节 洛必达法则1.
0 / 0比零型未定式的洛必达法则2．无穷比无穷型未定式的洛必达法则3． 用洛必达法则求无穷减无穷型和0乘无穷型未定式的极限4． 用洛必达法则求其他型未定式的极限5．不能用洛必达法则求解的未定式的例子第十二节 泰勒定理1．多项式逼近函数与泰勒公式2．具有佩亚诺余项的泰勒定理3．具有拉格朗日余项的泰勒定理4．常用函数的麦克劳林公式及其应用举例第十三节 函数的单调性1．函数单调性的判别法2．函数单调性的应用举例 第十四节 函数曲线的凹凸性1．曲线凹凸性的定义和几何解释2．曲线凹凸性的判别法3．拐点的定义和几何解释4．拐点的判别法 第十五节 函数的极值1．函数极值的概念2．函数极值点的必要条件3．函数极值点的第一充分条件4．函数极值点的第二充分条件 第十六节 函数的最值1．函数最大值最小值的求法2．函数最值的应用实例第十七节 函数图形的描绘1．借助导数描绘函数图形的步骤2．函数作图举例3．利用软件函数作图第十八节 平面曲线的曲率 1．弧微分及其计算公式2．曲率的概念3．曲率的计算公式4．曲率圆与曲率半径5．曲率的应用举例第三章 一元函数积分学及其应用第一节 定积分的概念1．定积分问题举例2．定积分的定义3．定积分的几何意义4．定积分存在的条件第二节 定积分的性质
1．线性性质及、区间的可加性及积分不等式
2．定积分的中值定理第三节 微积分基本公式与基本定理1. 牛顿-莱布尼茨公式2. 变上限积分求导3. 变上限积分求导举例4. 不定积分第四节 两种基本积分法1．不定积分的第一换元法2．不定积分的第二换元法3．定积分的换元公式4．不定积分的分部积分法5．定积分的分部积分法6．初等函数的积分问题第五节 反常积分
1．无穷区间上的积分2．无界函数的积分3．伽马函数第六节 定积分的元素法（微元法）第七节 定积分在几何上的应用
1．直角坐标系下面积的计算
2．极坐标系下面积的计算3．旋转体体积的计算4．平行截面面积已知的立体体积的计算5．平面曲线弧长的计算第八节 定积分在物理上的应用1．变力沿直线做功的计算2．液体压力的计算3．引力的计算第四章 常微分方程第一节
常微分方程的基本概念1． 引例与微分方程的定义2． 微分方程的阶、解、通解、初值条件、特解的含义3． 一阶微分方程及其解的几何意义第二节
可分离变量的微分方程第三节 齐次微分方程第四节 一阶线性微分方程1．一阶线性微分方程的一般形式2．一阶线性微分方程的解法第五节 伯努利方程第六节 一阶微分方程的应用举例1．用几何、物理知识建立微分方程举例2．用微元法建立微分方程举例第七节 可降阶的高阶微分方程1．第一型微分方程及其降阶法2．第二型微分方程及其降阶法3．第三型微分方程及其降阶法4．可降阶微分方程的应用举例第八节 二阶齐次线性微分方程1．二阶线性微分方程的概念2．二阶齐次线性微分方程解的性质3．函数的线性相关与线性无关4．二阶齐次线性微分方程通解的结构第九节 二阶非齐次线性微分方程1．二阶非齐次线性微分方程解的性质2．二阶非齐次线性微分方程的解法第十节 二阶常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式2．二阶常系数齐次线性微分方程的解法3．高阶常系数齐次线性微分方程的解法第十一节 二阶常系数线性非齐次微分方程1．第一型微分方程的解法2．第二型微分方程的解法第十二节 欧拉方程1．欧拉方程的一般形式2．欧拉方程的解法第十三节 二阶常系数线性微分方程的应用举例（二）第五章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1．Rn空间中点集的相关概念2．多元函数的概念3．二元函数的图形 第二节 二元函数的极限
1．二重极限的概念
2．判别二重极限不存在的方法 第三节 二元函数的连续性
1．二元函数连续性的定义
2．二元函数间断点的定义
3．多元函数的连续性第四节 偏导数
1．偏导数的定义
2．偏导数的计算
3．二元函数偏导数的几何意义第五节 高阶偏导数
1．高阶偏导数的定义和记号
2．混合偏导数相等的条件第六节 全微分
1．全微分的定义
2．全微分存在的必要条件
3．全微分存在的充分条件
4．全微分在近似计算中的应用第七节 多元复合函数的求导法则1．全导数的求导公式2．多元复合函数偏导数的求导法则3．多元复合函数求二阶偏导数举例4．全微分形式不变性第八节 隐函数的求导法1．一个二元方程确定的一元隐函数的求导方法2．一个三元方程确定的二元隐函数的求偏导方法 3．由方程组确定的隐函数的求（偏）导法第九节 一元向量值函数及其导数1．一元向量值函数的概念
2．一元向量值函数的极限和连续的概念3．一元向量值函数的导数及其物理意义4．多元向量值函数的导数和微分第十节 多元函数微分学的几何应用1．空间曲线的切线与法平面的定义2．空间曲线的切线与法平面的求法3．曲面的切平面与法线的定义
4．曲面的切平面与法线的求法第十一节 方向导数1．方向导数的定义和实际意义2．方向导数存在的充分条件与计算公式第十二节 梯度1．梯度的定义及其与方向导数的关系2．等值线和等量面的概念及其与梯度的关系第十三节 多元函数的极值1．多元函数极值的概念2．多元函数极值的必要条件和充分条件3．多元函数最大值和最小值的求法举例第十四节 条件极值和拉格朗日乘数法1．条件极值的概念及拉格朗日乘数法2．条件极值应用举例第六章 多元函数积分学及其应用第一节 多元数量值函数积分的概念与性质1．引例：物体质量与体积的计算2．多元数量值函数积分的定义3．多元数量值函数积分存在的条件与性质第二节 直角坐标下二重积分的计算
1．X型积分域上二重积分的计算
2．Y型积分域上二重积分的计算3．一般区域上二重积分的计算4．对称区域上二重积分的计算第三节 极坐标系下二重积分计算
1．极坐标系下的面积元素（微元）
2．极坐标系下二重积分的计算第四节 二重积分的一般换元法第五节 直角坐标系下三重积分的计算
1．通过“先单后重”化三重积分为三次积分
2．通过“先重后单”化三重积分为三次积分第六节 柱面坐标系下三重积分的计算法第七节 球面坐标系下三重积分的计算法
1．球面坐标系及三重积分的计算
2．对称区域上三重积分的计算第八节 重积分的应用
1．物体的质心2．物体的转动质量3．物体间的引力第九节 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）
2．第一型曲线积分的定义与性质
3．第一型曲线积分的计算方法第十节 第一型曲面积分（对面积的曲面积分）
1．第一型曲面积分概念与性质2．第一型曲面积分的计算方法第十一节 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）
2．第二型曲线积分的定义与性质
3．第二型曲线积分的计算法
4．两类曲线积分的联系第十二节 格林公式
1．平面区域的连通性
2．格林公式及其证明
3．利用格林公式计算第二型曲线积分第十三节 平面曲线积分与路径无关问题
1．平面曲线积分与路径无关和沿闭合路径积分为零的等价性
2．平面曲线积分与路径无关的充要条件第十四节 二元函数的全微分求积问题
1．被积表达式是某函数全微分的充要条件
2．全微分求积的方法第十五节 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）
1．引例2．第二型曲面积分的定义与性质
3．第二型曲面积分的计算法
4．两类曲面积分之间的联系第十六节 斯托克斯公式公式与旋度
1．斯托克斯公式的条件和结论
2．利用斯托克斯公式计算空间第二型曲线积分举例
3．环量与环量密度4．旋度的定义5．旋度的计算第十七节 高斯公式与散度1．高斯公式及其证明
2．利用高斯公式计算第二型曲面积分
3．散度的定义及计算
4．散度的运算法则第十八节 几种重要的特殊向量场
1．空间无旋场（包含空间曲线积分与路径无关的条件）
2．空间无源场
3．调和场第七章 无穷级数 第一节 常数项级数1．引例与常数项级数的有关概念 2．常数项级数举例第二节 收敛级数的基本性质1．线性性质2．级数的敛散性与改变任意有限项无关3．级数收敛的必要条件4．收敛级数的加括号性质 第三节 正项级数的比较审敛法1．正项级数及其收敛的充要条件2．比较审敛法3．比较审敛法的极限形式4．积分准则第四节 正项级数审敛的比值法与根值法1．比值审敛法
2．根值审敛法第五节 交错级数及其审敛法1．交错级数的概念 2．莱布尼兹判别法 第六节 一般常数项级数及其审敛法1．绝对收敛与条件收敛的概念2．绝对收敛判别法第七节 绝对收敛级数的性质第八节 函数项级数第九节 幂级数及其敛散性的判别法1．函数项级数的有关概念2．阿贝尔定理3．幂级数的收敛半径和收敛区间及其求法第十节 幂级数的运算1．幂级数的四则运算2．幂级数和函数的分析性质3．求幂级数的和函数举例第十一节 函数展开成幂级数1．泰勒级数的概念2．函数展开为泰勒级数的充要条件3．常用函数的麦克劳林展开式4．求幂级数和函数举例第十二节 函数的幂级数展开式的应用举例 第十三节 傅里叶级数
1．问题的引入、三角函数系及其正交性
2．傅里叶级数的收敛定理第十四节 周期为2pi的函数的傅里叶展开1．周期为2pi的函数展开为傅里叶级数的方法
2．定义在[0, pi]上的函数展成正弦级数或余弦级数的方法第十五节 周期为2l的函数的傅里叶展开（40分钟）1．周期为2l的函数展开为傅里叶级数的方法
2．定义在[0, l]上的函数展成正弦级数或余弦级数的方法
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