导读：四、ARIMA模型(一)相关概念介绍1.关于ARIMA模型，ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型，q)称为差分自回归移动平均模型，ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列，这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值，如果我们把Yt的模型写成，Yt?δ=α1Yt?1?δ+α2Yt?2?δ+α3四、ARIMA模型 (一)相关概念介绍 1.关于ARIMA模型 ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型。是由博克思和詹金斯于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，博克思-詹金斯法。其中ARIMA(p，d，q)称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。 ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。 2.时间序列的AR、MA和ARIMA建模 自回归过程 令Yt表示t时期的GDP。如果我们把Yt的模型写成
Yt?δ =α1 Yt?1?δ +ut 其中δ是Y的均值，而ut是具有零均值和恒定方差σ2的不相关随机误差项(即ut是白噪音)，则成Yt遵循一个一阶自回归或AR(1)随机过程。 P阶自回归函数形式写成：
Yt?δ =α1 Yt?1?δ +α2 Yt?2?δ +α3 Yt?3?δ +?+αp2 Yt?p?δ +ut 模型中只有Y这一个变量，没有其他变量。可以理解成“让数据自己说话”。 移动平均过程 上述AR过程并非是产生Y的唯一可能机制。如果Y的模型描述成 Yt=μ+β0ut+β1ut?1 其中μ是常数，u为白噪音(零均值、恒定方差、非自相关)随机误差项。t时期的Y等于一个常数加上现在和过去误差项的一个移动平均值。则称Y遵循一个一阶移动平均或MA(1)过程。 q阶移动平均可以写成： Yt=μ+β0ut+β1ut?1+β2ut?2+?+βqut?q 自回归于移动平均过程 如果Y兼有AR和MA的特性，则是ARMA过程。Y可以写成 Yt=θ+α1Yt?1+β0ut+β1ut?1 其中有一个自回归项和一个移动平均项，那么他就是一个ARMA(1，1)过程。Θ是常数项。 ARMA(p，q)过程中有p个自回归和q个移动平均项。 自回归求积移动平均过程
上面所做的都是基于数据是平稳的，但是很多时候时间数据是非平稳的，即是单整(单积)的，一般非平稳数据经过差分可以得到平稳数据。因此如果我们讲一个时间序列差分d次，变成平稳的，然后用AEMA(p，q)模型，则我们就说那个原始的时间序列是AEIMA(p，d，q)，即自回归求积移动平均时间序列。AEIMA(p，0，q)=AEMA(p，q)。 (二) 基本思路和基本程序 1.基本思路 步骤一：识别。找出适当的p、d、和q值。通过相关图和偏相关图可以解决。 步骤二：估计。估计模型周所含自回归和移动平均项的参数。有时可以用最小二乘法，有时候需要用非线性估计方法。(软件可以自动完成) 步骤三：诊断(检验)。看计算出来的残差是不是白噪音，是，则接受拟合；不是，则重新在做。 步骤四：预测。短期更为可靠。 2.基本程序 第一步，根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。 第二步，对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
第三步，根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。 第四步，进行参数估计，检验是否具有统计意义。 第五步，进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。 第六步，利用已通过检验的模型进行预测分析。 (三)举例说明上述步骤 1.识别 可以通过观察相关图中自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)得出数据适用于AR、MA还是ARIMA模型，并通过图形形状来判断P，d，q。 首先我们说明一下图形判断的标准。
ACF与PACF的理论模式 模型种类 AR(p) ACF的典型模式 指数衰减或衰减的正弦波或两者 PACF的典型模式 显著的直至滞后q的尖柱 MA(q) ARMA(p,q) 显著的直至滞后q的尖柱 指数衰减 指数下降 指数衰减 注：指数衰减和几何衰减意义相同
注意AR(P)过程的ACF和PACF，和MA(q)过程的ACF和PACF相比，有相反的模式；对于AR(p)清醒，AC按几何或者指数规律下降(描述为拖尾者)，而PACF则在一定滞后次数滞后突然截尾(断尾者)。对于MA(q)情况相反。 我们用1970年第一季度至1991第四季度美国GDP举例说明。（可以在后期改成产业安全方面的，现在暂时没找到典型的的替代数据。） 首先将数据处理成平稳数据，d=1即可。
从上图可以看到ACF一直到滞后4是指数衰减的。此外，除了在滞后1、8和12两除外，其余自相关都是不显著的(系数不显著不等于0)，图中两边的两条虚线是95%置信限。偏自相关在之后1、8和12出现尖柱，其余都不显著。所以得出结论，GDP的一阶差分模型是最多为AR(12)，同时由于除了1、8、12外都不显著，一次函数形式，只存在1、8、12的滞后项。 2.模型估计 通过上述判断可以运用软件得出一下AR模型。(其实AR模型只是ARIMA的特殊形式，特殊在MA变量的系数都为0，d为1)。 Yt?=δ+α1Yt??1+α8Yt??8+α12Yt??12 Y*为Y的一阶差分。 3.诊断检查 一种简单的办法就是看求出的残差直至滞后25的ACF和PACF。如图所示。 没有任何ACF和PACF是显著地，估计出来的残差是纯随机的，此模型拟合达到标准。 4.预测 通过上述公式我们可以预测出未来Yt+1*的值，再根据差分公式，可以求得预测Yt+1的值。
参考文献：达摩尔?N?古扎拉蒂.计量经济学基础（第四版）[M].中国人民大学出版社，. （基本上都是书上的东西） 包含总结汇报、考试资料、人文社科、IT计算机、党团工作、教学教材、经管营销、专业文献、文档下载以及ARIMA模型等内容。本文共2页
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图1ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。设一个离散线性系统，输入u(n)是一个具有零均值与方差为σ的白噪声序列，输出是x(n)，该离散线性系统输出和输入之间的关系可用如下图1的差分方程来表示。图2其系统函数如图2。式中X(Z)为输出信号的Z变换，U(Z)为输入信号的Z变换，以①式表达的信号模型称为ARMA模型或称为自回归滑动平均模型。一旦确定了ARMA(P，M)模型的参数，就可得到其功率谱估计。ARMA模型参数估计的方法很多：如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时，则可以用最小二乘法估计其模型参数，这种估计是线性估计，模型参数能以足够的精度估计出来；许多谱估计中，仅能得到模型的输出序列{x(n）}，这时，参数估计是非线性的，难以求得ARMA模型参数的准确估值。从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法，但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。因此工程上提出次最佳方法，即分别估计AR和MA参数，而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数，从而使计算量大大减少。
MA模型/AR模型
MA模型(moving average model)滑动平均模型，模型参量法谱分析方法之一，也是现代谱估中常用的模型。图3设一个离散线性系统，输入u(n)是一个具有零均值与方差为σ的白噪声序列，输出是x(n)，该离散线性系统的输出和输入之间的关系可用如下图3的差分方程来表示。其系统函数为图4。式中X(Z)为输出信号x(n)的Z变换，U(Z)为输入信号u(n)的Z变换，b(r=0，…M)是系数。式①表达的信号模型称为MA模型，又称移动平均模型。按公式的物理意义可以解释为模型表示现在的输出是现在和过去M个输入的加权和。按②式，MA模型是一个全零点模型。图4用MA模型法求信号谱估计的具体作法是：①选择MA模型，在输入是冲激函数或白噪声情况下，使其输出等于所研究的信号，至少应是对该信号一个好的近似。②利用已知的自相关函数或数据求MA模型的参数。③利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。在ARMA参数谱估计中，大多数估计ARMA参数的两步方法都首先估计AR参数，然后在这些AR参数基础上，再估计MA参数，然后可求出ARMA参数的谱估计。所以MA模型参数估计常作为ARMA参数谱估计的过程来计算。
应用/AR模型
可以用于处理分离正弦信号频率，多应用于机械零件比如齿轮、轴承故障诊断和分析。
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AR模型预测遇到如何确定模型系数
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新手, 积分 10, 距离下一级还需 40 积分
数据是在树上找的一组数据，自相关函数和偏相关函数定不了模型和阶数
AR时间序列预测的话& &a=AR（x，3）；%x是原始数据，3是阶数。
a=lpc（x，3），lpc函数是线性预测系数，两种方法求出的系数不一样，应该用哪个呢
论坛优秀回答者
<h1 style="color:#8 麦片财富积分
关注者： 21
通过下面这段话，你可以找到两个关键词&&AIC BIC，然后自己去查一查
很多参数估计问题均采用似然函数作为目标函数，当训练数据足够多时，可以不断提高模型精度，但是以提高模型复杂度为代价的，同时带来一个机器学习中非常普遍的问题——过拟合。所以，模型选择问题在模型复杂度与模型对数据集描述能力（即似然函数）之间寻求最佳平衡。
人们提出许多信息准则，通过加入模型复杂度的惩罚项来避免过拟合问题，此处我们介绍一下常用的两个模型选择方法——赤池信息准则（Akaike Information Criterion，AIC）和贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）。
AIC是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，由日本统计学家赤池弘次在1974年提出，它建立在熵的概念上，提供了权衡估计模型复杂度和拟合数据优良性的标准。
通常情况下，AIC定义为：
其中k是模型参数个数，L是似然函数。从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择AIC最小的模型。
当两个模型之间存在较大差异时，差异主要体现在似然函数项，当似然函数差异不显著时，上式第一项，即模型复杂度则起作用，从而参数个数少的模型是较好的选择。
一般而言，当模型复杂度提高（k增大）时，似然函数L也会增大，从而使AIC变小，但是k过大时，似然函数增速减缓，导致AIC增大，模型过于复杂容易造成过拟合现象。目标是选取AIC最小的模型，AIC不仅要提高模型拟合度（极大似然），而且引入了惩罚项，使模型参数尽可能少，有助于降低过拟合的可能性。
BIC（Bayesian InformationCriterion）贝叶斯信息准则与AIC相似，用于模型选择，1978年由Schwarz提出。训练模型时，增加参数数量，也就是增加模型复杂度，会增大似然函数，但是也会导致过拟合现象，针对该问题，AIC和BIC均引入了与模型参数个数相关的惩罚项，BIC的惩罚项比AIC的大，考虑了样本数量，样本数量过多时，可有效防止模型精度过高造成的模型复杂度过高。
其中，k为模型参数个数，n为样本数量，L为似然函数。kln(n)惩罚项在维数过大且训练样本数据相对较少的情况下，可以有效避免出现维度灾难现象。
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