求解行列式的方法和技巧_百度文库
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求解行列式的方法和技巧
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浅谈行列式的计算
　　【摘 要】行列式是整个线性代数的基础，是求解线性方程组，求逆矩阵以及矩阵特征值的基础，但行列式的计算方法很多、综合性强、通常都是用性质、展开式等方法进行计算的，在进行四阶以上的行列式的计算时，这些方法过于繁琐。本文通过研究了几种特殊的计算方法，以此简化行列式的计算。 中国论文网 /2/view-4691464.htm　　【关键词】行列式；计算方法；行列式的性质；范德蒙行列式；三角形行列式法 　　行列式的计算是线性代数的一个基本内容，它在求解线性方程组，逆矩阵，矩阵的特征值中占有很重要的地位，由于计算的技巧性较强，学生很难掌握，这一直是学生头疼的地方。本文就结合自己在线性代数教学实践的基础上对行列式的计算方法进行概括和提炼。下面首先从行列式的定义和性质入手，然后针对每个行列式的特点，给出相对应的具体的解题方法。 　　一、相关定义及其行列式的性质： 　　定义： 　　1.二阶行列式 　　2.三阶行列式 　　3.n阶行列式 　　行列式性质： 　　性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即。 　　性质2 交换两行或者两列，行列式的值变号。 　　性质3 用数k乘某行或者某列，等于以数k乘此行列式。 　　推论1 如果行列式某行或者某列所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面。 　　推论2 如果行列式有两行或有两列的对应元素成比例，则此行列式的值等于0。 　　性质4 若将行列式的某一行或者列的每一个元素都可以写成两个数的和，则此行列式就可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行或者列对应位置的元素，其它位置的元素与行列式相同。 　　性质5 将行列式的某一行或者列得所有元素同乘以数k后加于另一行或者列对应位置的元素上，行列式的值不变。 　　二、行列式计算方法举例 　　关于行列式计算的问题，本文用特殊行列式法（定义法，化三角行列式，爪形行列式，范德蒙行列式），降阶法，升阶（加边）法，分项（拆开），递推公式法，计算行列式的值的五种方法来计算行列式。下面一一介绍行列式计算的一些技巧： 　　1.特殊行列式法 　　（1）定义法 　　（2）三角形行列式法 　　利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式，化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的基本方法重要方法之一。 　　此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式化为三角形，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。 　　（4）范德蒙行列式法 　　根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质—如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；把所求行列式化成已知的或简单的形式，范德蒙行列式就是其中一种，这种变形法是计算行列式最常用的方法。 　　3.加边法 　　6.递推公式法 　　用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，很难找出递推公式，就不能用此方法。由此题可知，若计算复杂的行列式的时候，首先观察行列式的特点，如果具备如此题行列式的元素成平行的时候，就可以选择用递推公式法计算行列式的值。 　　7.数学归纳法 　　所以猜想成立。 　　以上是计算行列式的几种方法，在计算之前，我们首先应该观察题目给的行列式有哪些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相对应的方法以达到简化计算的目的。在计算行列式值时应该按照下列原则进行：（1）低阶行列式的计算常根据行或者列元素的特点，或者化为上下三角行列式计算或者根据行列式展开定理使用降阶法求解；（2）N阶行列式的计算可使用定义或行列式的各种计算方法求解；（3）所求行列式若某行或者某列至多有两个非零元素，则一般按此行或者按此列直接展开求解。 　　总之，计算行列式的方法很多，技巧性强，在学习的过程中要多观察，多小结归纳，多做练习题，以便熟练且准确的计算行列式的值。 　　参考文献： 　　[1]牛兴文.高等代数与解析几何[M].化学工业出版社，2005. 　　[2]许甫华，张贤科.高等代数解题方法[M].清华大学出版社，2001. 　　[3]魏战.线性代数辅导与典型题解析[M].西安交通大学出版社，2002. 　　[4]北京大学数学系几何与代数教研室编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.03第三版. 　　[5]张禾瑞，郝炳新编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1983.07第三版. 　　[6]方文波主编.线性代数及其应用[M].北京：高等教育出版社，2011.02.
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如图用升阶法计算，增加一行一列反而更容易化为上三角行列式。
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科技信息 SCIENCE INFORMATION 2007年 第 8期
求行列式的值是高等代数的基本运算 。 求 n 阶行列式的一般方法
有 :定义法 ; 按行列式某行或某列展开 、 降阶从而解得行列式的值 ; 拉
普拉斯展开法等 。 除了这些常规方法以外 , 还有许多技巧 , 这些技巧隐
含在高等代数的相关理论中 。 对这些技巧进行探讨归纳 , 不仅有课程
建设的现实意义 , 而且有深刻的理论意义 , 而且求解 n 阶行列式也是
工程类研究生数学考试的必考题型 。 本人对求 n 阶行列式的一些特殊
的技巧进行了归纳 , 并就其应用范围进行了分析 。
技巧分析 :把原 n 阶行列式增加一行 、 一列 , 变成 n+1阶行列式 ,
再通过性质化简算出结果 。
例 。 计算 n 阶行列式
Δn = 1+a 11" 1
n n " n+a n
, 其中 a 1a 2" a n ≠ 0
解 :对原行列式加边得 111" 1 01+a 11" 1
022+a 2" 2 " " " " " 0n n " n+a n
111" 1 -1a 10" 0 -20a 2" 0 " " " " " -n 00" a n
技巧分析 :若 n 阶行列式 D 满足关系式 aD n +bD n-1+cD n-2=0
则作特征方程 :ax 2+bx+c=0①
(1) 若 Δ≠ 0则方程 ① 有两不等复根 , 则 D n =Ax 1n-1+Bx 2n-1其中 A,B 为待定系数可令 n=1和 n=2得出
(2) 若 Δ≠ 0, 则方程 ① 有重根 x 1=x 2, 则 D n =(A+nB)x 1n-1其中 A,B 为 待定系数 , 可令 n=1,2算出
例 。 计算 n 阶行列式
D n = 50" 000
" " " " " " " " 00" 049
解 :按第 1行展开
D n =9D n-1-20D n-2即 :D n -9D n-1+20D n-2=0, 作特征方程 x 2-9x+20=0
解得 x 1=4, x 2=5
则 D n =a ? 4n-1+b ? 5n-1
当 n=1时 9=a+b;
当 n=2时 61=4a+5b,
解得 a=16,b=25. 所以 D n =5n+1-4n+1
3. 行列式乘积法
设行列 D 1=
a 11a 12" a 1n
a 21a 22" a 2n
a n1a n2" a nn
b 11b 12" b 1n
b 21b 22" b 2n
b n1b n2" b nn
a 11a 12" a 1n
a 21a 22" a 2n
a n1a n2" a nn
b 11b 12" b 1n
b 21b 22" b 2n
b n1b n2" b nn
" a 1i b i1n
" a 1i b i2" n
" a 1i b in
" a 2i b i1n
" a 2i b i2" n
" a 2i b in
" a ni b i1n
" a ni b i2" n
" a ni b in
利用这一事实 , 我们可以把一个较难计算的行列式转化为两个行 列式的乘积来计算 。
依据行列式展开定理 , 可以把所给行列式展开成若干个低一阶的 行列式的和 。 如果能把行列式变形 , 使其某一行 (列 ) 的元素只有一个 不为零 , 那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算 。
例 。 计算 n 阶行列式 D=
" " " " " "
解 :依第一列展开得
" " " " " "
+(-1) n+1y
=x n +(-1) n+1y n
5. 线性因子计算法
(1) 设行列式 D 中各元素都是 a,b 的有理整函数 , 若以 b 代替 a 时行列式的值是零 , 则 a-b 是原行列式的一个因子 。
(2) 设行列式 D 的元素都是 x 的有理整函数 , 如果 x=a 时 , D 有 p 行 (列 ) 各元素变成相同 , 那么行列式 D 有因式 (x-a) p-1
(1) (2) 的证明参看参考文献 [3]。
例 。 计算 n 阶行列式
解 :由于以 x=a 代入后 , 行列式有 n 行元素都相同 。 依命题 , f(x) 有
求 n 阶行列式的几种方法和技巧
(伊犁师范学院 新疆 伊宁 835000)
摘要 :通过对 n 阶行列式的理论和计算方法进行归纳分析 , 总结出一些有用的计算 n 阶行列式的方法和技巧 。
关键词 :n 阶行列式 ; 方法 ; 技巧 。
The Methods and Skills of Solving n Order Determinant
(Department of Mathematics,Ili teachers college Yining 835000Xinjiang China)
Abstract :In the paper,we come down to the theory and the calculating method of n order determinant and sum up some useful skills of calculation.
Key words :MSkill
○ 高校讲台 ○
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