导读：答案：（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）（5）（＋）（6）（＋）（，习题六，（7）对任何都有（）（）（8）若A为正交矩阵，则答案：（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A，序列零矩阵解：由于故2.方程组而收敛于(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2)（7）对任何都有
） （8）若A为正交矩阵，则答案： （1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）
（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋） 第六章 解线性方程组的迭代法 习题六 1. 证明对于任意的矩阵A，序列零矩阵 解：由于故2. 方程组
(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.
(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止 解：因为 具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。 （2）J法得迭代公式是
取，迭代到18次有
GS迭代法计算公式为
取 3. 设方程组
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散 解：Jacobi迭代为其迭代矩阵
，谱半径为迭代法为 ，而Gauss-Seide 其迭代矩阵 ，其谱半径为由于 ，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。 4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?
解：Jacobi法的迭代矩阵是
即，故，J法收敛、 GS法的迭代矩阵为
故，解此方程组的GS法不收敛。 5. 设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件. 解 J法迭代矩阵为
，故J法收敛的充要条件是代矩阵为 。GS法迭
由得GS法收敛得充要条件是 6. 用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)
精确解，要求当 时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数 解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为
取若取，当，迭代6次得
7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使时，迭代5次达到要求 包含总结汇报、旅游景点、文档下载、人文社科、考试资料、专业文献、IT计算机以及数值分析习题与答案等内容。本文共7页
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数值分析习题集
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
设x&0,x的相对误差为δ,求的误差.
设x的相对误差为2％,求的相对误差.
下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:
利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
其中均为第3题所给的数.
计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?
设按递推公式
( n=1,2,…)
计算到.若取≈27.982(五位有效数字),试问计算将有多大误差?
求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27.982).
当N充分大时,怎样求?
正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
设假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.
序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足
根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
证明是n次多项式,它的根是,且
当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
lnx -0.....223144
给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
设,k=0,1,2,3,求.
设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少?
如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).
若有个不同实根,证明
证明阶均差有下列性质:
证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.
设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.
设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.
求在上的分段线性插值函数,并估计误差.
求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
给定数据表如下:
0.25 0.30 0.39 0.45 0.53
0.7 0.8 0.7280
试求三次样条插值并满足条件
若,是三次样条函数,证明
若,式中为插值节点,且,则.
编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式).
函数逼近与计算
(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.
(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.
(a)当时,. (b)当时,.
在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.
选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?
求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
求在上的最佳一次逼近多项式.
如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?
设,在上求三次最佳逼近多项式.
试证是在上带权的正交多项式.
在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.
设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使
设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.
在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.
是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.
求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
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【求助】数值分析证明题目
证明：在P[x]中必须存在一个次数不高于4次的多项式P4（x）满足：
P4(0)=P4'(0)=0,
P4(1)=P4'(1)=1,
P4(2)=1。【P4中4均为下标】
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