《线性代数知识点总结(第1、2章)》 www.wenku1.com
线性代数知识点总结(第1、2章)日期：
线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k 加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace 展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则 7、n 阶（n ≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a ，其余元素为b 的行列式的值： （三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn |A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|AT |=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A 的特征值λ1、λ2、……λn ，则（7）若A 与B 相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。（六）矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。13、转置的性质（5条）（1）（A+B）T =AT +BT（2）（kA ）T =kAT（3）（AB ）T =BT A T（4）|A|T =|A|（5）（A T ）T =A（七）矩阵的逆14、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A 可逆，B 是A 的逆矩阵，记为B=A-1注：A 可逆的充要条件是|A|≠015、逆的性质：（5条）（1）（kA ）-1=1/k·A -1 (k≠0)（2）（AB ）-1=B-1·A -1（3）|A-1|=|A|-1（4）（A T ）-1=（A -1）T（5）（A -1）-1=A16、逆的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A 为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）（八）矩阵的初等变换17、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k 加到另一行（列）18、初等矩阵：单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。19、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且E ij -1=Eij （i ，j 两行互换）；E i -1（c ）=Ei （1/c）（第i 行（列）乘c ）E ij -1（k ）=Eij （-k ）（第i 行乘k 加到j ）★（九）矩阵的秩20、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r （A ）=0意味着所有元素为0，即A=O（2）r （A n ×n ）=n（满秩）←→|A|≠0←→A 可逆；r （A ）＜n ←→|A|=0←→A 不可逆；（3）r （A ）=r（r=1、2、…、n-1）←→r 阶子式非零且所有r+1子式均为0。21、秩的性质：（7条）（1）A 为m ×n 阶矩阵，则r （A ）≤min （m,n ）（2）r （A ±B ）≤r （A ）±（B ）（3）r （AB ）≤min{r（A ），r （B ）}（4）r （kA ）=r（A ）（k ≠0）（5）r （A ）=r（AC ）（C 是一个可逆矩阵）（6）r （A ）=r（A T ）=r（A T A ）=r（AA T ）（7）设A 是m ×n 阶矩阵，B 是n ×s 矩阵，AB=O，则r （A ）+r（B ）≤n22、秩的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A 为数字矩阵：A →初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r （A ）=非零行的行数 （十）伴随矩阵23、伴随矩阵的性质：（8条）（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1（2）（kA ）*=kn-1A*（3）（AB ）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（A T ）*=（A*）T（6）（A -1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r （A*）=n（r （A ）=n）；r （A*）=1 （r （A ）=n-1）； r （A*）=0 （r （A ）＜n-1）（十一）分块矩阵24、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。25、分块矩阵求逆： 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
免费下载文档：矩阵及其计算
第二章& 矩阵及其计算
来源：线性代数精品课程组&&& 作者：线性代数精品课程组
4．教学内容：
矩阵是线性代数中重要的工具, 我们先从线性方程组引出矩阵.
已知n元线性方程组
的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：
说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组（1），对它的研究可以判断（1）的解的情况。
定义1 &由个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中叫做矩阵的元素.
根据矩阵中的元素是实数还是复数，可将矩阵分为实矩阵与复矩阵.
下面给出一些特殊矩阵：
&(不同型的零矩阵是不同的 ).
，，称为n阶方阵。
称为n阶单位矩阵。
应用举例：
例1& 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中为第种产品的单价，第种产品的单件重量。
§2& 矩阵的运算
一、矩阵的加法
设 称为同型矩阵（行列数均相等）。
&&&& &加法运算律 （1）
例2 &求矩阵，使，其中
二、数与矩阵的乘法
1. 数乘&&&&&
2. 负矩阵&&&
运算律 （1）；
（3）&&& ）为：
已知货物每吨的运费为1.40元/. 那么，各地区之间每吨货物的运费可记为
三、矩阵的乘法
1．线性变换与线性变换的乘积
设有两个线性变换
&& 其系数矩阵&&
&&&&&&&&&&&&&
其系数矩阵&&&
将代入，可得从到的线性变换：
称为与的乘积。
相应地，称的系数矩阵为与的系数矩阵的乘积，记作：
一般地，我们有:
2. 矩阵与矩阵的乘法
定义2& 设 则规定与的乘积是一个矩阵，其中
(1) 一行与一列相乘
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&其结果为一个数.
(2) 只有的列数等于的行数时，才有意义（乘法可行）
例4 &设，，求及.
由此发现： （1），（不满足交换律）
&&&&&&&&&&&
（2），，但却有(注意与实数乘法相区别).
&矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）
（1）&& ( 结合律)
（2）；&&& &&&( 分配律)
（4），&& （单位矩阵的意义所在）
4． n阶方阵的幂
设是n阶方阵，则定义
或&&&&&&&&&&&&
规律：& ，，其中为正整数.
但一般地，，(为n阶方阵).若=, 则称为可交换的n阶方阵
例5&&& 计算
解法一& （采用数学归纳法）
则&&&&&&&&&&&&&&
于是由归纳法知，对于任意正整数n，有
解法二& 将分解为两个矩阵之和, 然后利用二项式展开定理计算.
四、转置矩阵
定义3 &把矩阵的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作.例如：
运算律 &&（1）；& （2）；
（3）； （4）当前位置： >>
线性代数第二章(1-2) 行列式
第二章 行列式第一节 第二节 第三节 第四节 行列式的定义 行列式的性质及其计算 矩阵的秩 克莱姆法则12.1 行列式的定义2.1.1 二、三阶行列式例： 设有二元一次线性方程组 ? a11 x1 + a12 x2 = b1 ， (a11a22 ? a21a12 ) x1 = b1a22 ? b2 a12 ? ?a21 x1 + a22 x2 = b2 当a11a22 ? a21a12 ≠ 0 时， a11b2 ? a21b1 b1a22 ? b2 a12 , x2 = x1 = a11a22 ? a21a12 a11a22 ? a21a12 a11 设记号： a21 则： b1 b2 a12 = a11a22 ? a21a12 a22 a12 = b1a22 ? b2 a12 a22 a11 b1 = a11b2 ? a21b1 a21 b22? a11 x1 + a12 x2 = b1 这时，方程组 ? 的解为 ?a21 x1 + a22 x2 = b2 b1a22 ? b2 a12 a11b2 ? a21b1 x1 = , x2 = a11a22 ? a21a12 a11a22 ? a21a12 用行列式表示： b1 a12 a11 b1 b2 a22 x1 = , a11 a12 a21 a22 a21 b2 x2 = a11 a12 a21 a223? 2 x1 + 3 x2 = 1 例：解方程组 ? 的解 ?3 x1 ? 2 x2 = 0 解：利用行列式表示 1 3 0 ?2 1× (?2) ? 0 × 3 ?2 2 x1 = = = = , 2 3 2 × (?2) ? 3 × 3 ?13 13 3 ?2 2 3 x2 = 2 3 1 0 2 × 0 ? 3 ×1 3 = = 3 ?13 13 ?24三阶行列式 设有三元一次线性方程组 ? a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ? ?a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ?a x + a x + a x = b 3 ? 31 1 32 2 33 3 当a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 ? a11a23 a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31 ≠ 0 时， 方程组有惟一解： b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 x1 = , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a21 a31 x2 = a11 a21 a31 b1 a13 b2 a23 b3 a33 , a12 a13 a22 a23 a32 a33 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 x3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a335a11 3阶行列式 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ? a11a23a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31 用对角线规则计算： a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a336n 阶行列式的定义任意一个n阶矩阵A = aij），将它对应一个数，称为A （ 的行列式， 记为: a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n det A = M M M an1 an2 L ann 注意： 1） 矩阵A是n × n的数表，而行列式是一个数 2) 矩阵可以有：行数m ≠ 列数n 只有方阵才有行列式：行数=列数 行数 ≠ 列数的矩阵没有行列式7n 阶行列式值的定义对任意一个n 阶矩阵A ， ? a11 a12 L a1n ? ? ? a21 a22 L a2n ? A=? ? M M aij M ? ? ? ? an1 an2 L ann ?aij的余子矩阵 A : 去掉第i行和第j列后的矩阵,是n-1阶矩阵 ij aij 的余子式: Aij aij的代数余子式: A的行列式det A , 记为Mij，是n-1阶行列式 ij = -1)+ j ? det ( i ijAij8? 2 0 ? 例如：矩阵A = ? 1 4 ? ?2 3 ? ?4 a11的余子矩阵A11 = ? ?34? ? 0? ? 1? 0? ? 1?4 0 4 0 1+1 a11的余子式 = = 4, a11的代数余子式 A11 = (?1) =4 3 1 3 1 ?1 a12的余子矩阵A12 = ? ? ?2 1 0 a12的余子式 = = 1, ?2 1 LL a33的余子式 = 2 0 2 0 = 8, a33的代数余子式 A33 = (?1)3+3 =8 1 4 1 490? ? 1? a12的代数余子式 A12 = (?1)1+ 21 0 = ?1 ?2 1定义2.1 对于 阶矩阵A = ( a11 )的行列式定义为数a11 1 det (a11) = a11 的 对于n 阶(n ≥ 2 矩阵A 行列式值定义为： ） det A = a11 A + a12 A +L+ a1n A n 11 12 1 = ∑a1 j ? A j 1j =1 n n= ∑a1 j ? (?1)j=11+ jdet A j 1上式称为行列式按第一行的展开式。10例计算 det A=2 ?2 ?1 3 0 5 4 1 ?1解: detA = a11 A + a12 A + a13 A 11 12 131+1 0 5 + (?2)(?1)1+2 3 5 + (?1)(?1)1+3 3 0 = 2×(?1)1 -1 4 -1 4 1= 2×[0×(?1) ? 5×1] ?(?2)[3×(?1) ? 5× 4] + (?1)[3×1? 0× 4]= 2× (?5) ? (?2) × (?23) + (?1) ×3 = ?5911? a11 ? ? a21 例：求下三角矩阵A = ? M ? ? an1 a11 a21 det A = M an1 a22 a32 = a11 M an 2 0 0 L a22 L M O L 00 a22 M an 20 ? ? L 0 ? 的行列式 O M ? ? L ann ? L0 0 = a11 A11 + 0 ? A12 + L + 0 ? A1n = a11 A11 M a33 0 L 0an 2 L ann a44 L 0 = L = a11a22 L ann M O M an 4 L ann12a33 L 0 a43 = a11a22 M O M M an 3 L ann an 32.2 行列式的性质及其计算定理 2.1 n×n 矩阵 A 的行列式可按任意行或列展开式来计算.按第 r 行的展开式为：det A = ar1 Ar1 + ar 2 Ar 2 + L + arn Arn = ∑ arj Arjj =1n按第 s 列的展开式为det A = a1s A s + a2s A2s +L+ ans Ans = ∑ ais Ais 1i=1n13例2.6 计算行列式 1 3 2 1 ?1 2 3 2 D= 1 1 0 0 0 5 0 0 1 解： D=5 × ( ? 1)4+22 13+1?1 3 2 =5 ×1× ( ? 1) 1 0 02 1 =5 3 214定理2.2 设A是n 阶方阵，则 det A = det AT 证:(对阶数n用归纳法) n = 1 时成立. 假设对n ?1阶矩阵也成立，对n阶矩阵A 将det A按第 行展开： A = ∑a1 j ? (?1)1+ j ? det A1 j 1 detj =1 ` 记 AT = (aij ), 将 det AT 按第1列展开： ndet AT = ∑a`j1 ? (?1) j +1 ? det A`j1 = ∑a1 j ? (?1)1+ j ? det A`j1j =1 j =1 T T T QA`j1 = A1 j ,而 A1 j和A1 j都是n ?1阶矩阵? detA1 j = detA1 j T ∴ detA`j1 = det A1 j = detA1 j , 故 det A = det ATnn证毕15例2.8求n阶行列式 a 0 0 L 0 b b a 0 L 0 00 b a L D= M M M O 0 0 0 L 0 0 0 L 解：按1行展开：0 0 M M a 0 b a b a 0 L 0 0 b a L 0a 0 0 L 0 b a 0 L 0D = a M M M O 0 + (?1)1+ n b M M M O 0 0 0 0 L 0 0 0 0 L a 0 0 0 L a 0 0 0 L b = a × a n ?1 + (?1)1+ n b × b n ?1 = a n + (?1)1+ n b n16定理2.3 (1)用一个数乘行列式的任一列（行），等于 用这个数乘此行列式，即 det(A ,L, kAj ,L, An ) = k det(A ,L, Aj ,L, An ) 1 1 这里，A ,L, Aj ,L, An都是n ×1列向量.上式就是: 1 a11 L ka1 j M L M an1 L kanj 证(1) : L a1n a11 L a1 j L M =k M L M L ann an1 L anjn?L a1n L M L ann按第j列展开： det(A ,L, kAj ,L, An ) = ∑(kaij ) Aj 1 i = k∑aij Aij = k det(A ,L, Aj ,L, An ) 1i =1 n i =1?17注意： det(λ A) = λn det A(2) det( A ,L, Bj ,L, An ) + det( A ,L, Cj ,L, An ) 1 1 = det( A ,L, Bj + Cj ,L, An ) 1 a11 L b j 1 即： M L M an1 L bnj = L a1n a11 L c1 j L M + M L M L ann an1 L cnj L a1n L M L ann18L a1n L M L anna11 L b j + c1 j 1 M L M an1 L bnj + c1 j证(2) : bij ,cij ,bij + cij对应的代数余子式相同,记为Aij det( A ,L, Bj ,L, An ) = ∑bij Aij 1i =1 n ndet( A ,L, Cj ,L, An ) = ∑cij Aij 1i =1det( A ,L, Bj + Cj ,L, An ) = ∑(bij + cij ) Aij 1i =1n= ∑bij Aij + ∑cij Aiji =1 i =1nn= det( A ,L, Bj ,L, An ) + det( A ,L, Cj ,L, An ) 1 1 证毕 .19定义2.2 矩阵的初等变换 (1) 交换A 的第i行和第j行：i ?rj r (2) A 的第i行乘于非零数k： ? r k i 第i列 A是m× n 矩阵第i列和第j列：ci ?c j ：k ?ci(3) A 的第j行乘于数k加到第i行：i + k ? rj r 第j列乘于数k加到第列： i c+k ?cj i20定理2.4 交换行列式的两行(列),行列式的值变号. 证明: 结论对2阶行列式显然成立. 假设对n ?1阶行列式(n ≥ 3)成立. 设 A = (A1,L, Ai,L, Aj ,L, An) 经A ? Aj后 i B = (A 1L, Aj ,L, Ai,L, An) , Qn ≥ 3 ∴存在列数k, k ≠ i, jn r =1按第k列展开：det A = ∑ark Ark21det B = ∑brk Brk = ∑ark Brkr =1 r =1nnQ n ?1阶矩阵Brk可由Ark交换两列得到 ∴ A rk = ?B rk (1 ≤ r ≤ n)n n r =1 r =1det A = ∑ark Ark = ∑ark ? Brk ) （ = ?∑ark Brk = ? det Br =122n推论 ： (1) 行列式有两行 (列)相同 ,则 行列式值=0(2) 行列式有两行(列)成比例 ，则 行列式值=0 证: 行列式 D=det(A1 ,L , Ai ,L A j , L , An ) (1) 由于 Ai = A j , 则 D=det(A1 ,L , Ai ,L A j ,L , An ) = ? det(A1 ,L , A j ,L , Ai ,L , An ) = ? det(A1 , L , Ai ,L Ai ,L , An ) = ? D 所以， D = 0 (2) 由 于 A j = kAi , D=det(A1 ,L , Ai ,L A j ,L , An ) = det(A1 , L , Ai , L , kAi ,L , An ) = kdet(A1 ,L , Ai ,L , Ai , L , An ) = 023定理2.5把行列式的某行（列）的k倍加到 另一行（列）上（即ri ← ri + k ? rj） , 行列式值不变 det (A ,L, A +kAj ,L, Aj ,L, An ) 1 i= det (A ,L, A ,L, A ,L, A )1 i j n 1 1 i i j j n n= det (A ,L, A ,L, A ,L, A ) + 0 = det (A ,L, A ,L, A ,L, A )24+ det (A ,L, kAj ,L, Aj ,L, An ) 1a11 M at1 M an1L a1i L M L ati L M L aniL a1 j L M L atj L M L anjL a1n a11 L M M L atn = at1 L M M L ann an1L a1i + ka1 j L M L ati + katj L M L ani + kanjL a1 j L M L atj L M L anjL a1n L M L atn L M L annj列乘上k，加入到第i列253 ?5 例. D = 2 11 1 0 ?51+ 2?1 3 1 3 ?82r2 ? r131 ?1 4 12 ?6 ?1 7?4 r4 +5 r1 ?8 0 = ?1 2 0 ?3 4 ?616 0 ?2?16 0 ?2 1 ?1 0 5= (?1) 1 ? 2 16 =? ?16 ?2 20 51 ?1 = ? 2 ?2 7 20 = 40263 2 2 2 2 3 2 2 例：计算D = 2 2 3 2 2 2 2 3 解： 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2 0 1 0 0 D= =9 =9 2 2 3 2 2 2 3 2 0 0 1 0 2 2 2 3 =9272 2 2 30 0 0 1例2.11 (1)设A是n阶矩阵，证明det ( ? A)=( ? 1) n det A a11 a21 解：设 det A = M an1 ?a11 ?a21 det ( ? A)= M ? an1 = ( ? 1) n det A28a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann?a12 L ?a1n a11 ?a22 L ?a2 n a21 n = ?1 （ ） M M M ? an 2 L ? ann an1例2.11 (2)设A是奇数阶反对称矩阵， 证明det A=0 解： 因为A是奇数阶反对称矩阵，则 AT = ? A det A = det(? A) = (?1) n det A = ? det A 所以， A = 0 det29a b b L b b a b L b 例2.13 计算 n 阶行列式 D = M M M M b b b L ac1 +c2 c1 +c3 M c1 +cna + (n ?1)b b b L b a + (n ?1)b a b L b M M M M a + (n ?1)b b b L a b 0 M解D =r2 ?r 1 r3 ?r 1 M rn ?r 1=a + (n ?1)b b b L 0 a ?b 0 L M 0 M 0 M=[ a + (n ?1)b] ? (a ? b)n?10 L a ?b301 1 1 1 1 x 2 2 例 解方程： 2 2 x 3 3 3 3 x 1 1 1 1 1 解法1： 2 2 x 3 3 3 3 x 解为 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 解法2: 用观察法，当 x 取1，2，3时，行列式的值为零 a1 a1 例 解方程 a1 a1 + x a2 a2 a2 + x a2 a3 a3 + x a3 a3 a4 + x a4 a4 a431=01 = 0 01 0 01 1 x?2 01 1 1 x ?3 = x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) = 0 （x 2 20 x ?1=0例 证明范德蒙行列式D=1 a12 a11 a22 a21 L a3 L2 a3 L1 an2 an == ∏ (ai ? a j ) 1≤ j&i≤n MMMMn n n n a1 ?1 a2 ?1 a3 ?1 L an ?1用归纳法： 当 k = 2 时， 1.11a1 a2= a2 ? a1，结论成立.2.假设 k = n ?1 时，结论成立 3.当 k = n 时rn ?a1rn?1 rn?1 ?a1rn?2 M r2 ?a1r 11 0 0 M1 a2 ? a12 a2 ? a1a2 M1 a3 ? a12 a3 ? a1a3 ML L L1 an ? a12 an ? a1an MD=n n n n n n 0 a2 ?1 ? a1a2 ?2 a3 ?1 ? a1a3 ?2 L an ?1 ? a1an ?2321 a2 = (a2 ? a1)(a3 ? a1)L(an ? a1) M1 a3 ML L1 an Mn n n a2 ?2 a3 ?2 L an ?2由归纳假设：D = (a2 ? a1)(a3 ? a1)L(an ? a1) ∏ = ∏1≤ j&i≤n2≤ j&i≤n(ai ? a j )(ai ? a j )331 1 例：D = 2 11 31 44 1 9 16 8 1 27 64= (1 ? 2)(3 ? 2)( 4 ? 2)(3 ? 1)( 4 ? 1)( 4 ? 3) = ?121 转置 2 H= = 1 3 9 27 4 1 4 16 64 8 1 2 1 1 4 1 8 1 1 1 1 3 1 4 = D = ?121 9 16 1 27 6434(a ? 1)3 (a ? 1) 2 例：D = a ?1 1(a ? 2)3 (a ? 2) 2 a?2 1(a ? 3)3 (a ? 3) 2 a ?3 1(a ? 4)3 (a ? 4) 2 a?4 11 a ?1 解：D = ? 1 （ ） (a ? 1) 2 (a ? 1)321 a?2 (a ? 2) 2 (a ? 2)31 a ?3 (a ? 3) 2 (a ? 3)31 a?4 (a ? 4) 2 (a ? 4)335c1 ? c4 c2 ? c31 a?4 (a ? 4) (a ? 4)2 31 a ?3 (a ? 3) (a ? 3)2 31 a?2 (a ? 2) (a ? 2)2 31 a ?1 (a ? 1) (a ? 1)2 3== 3!? 2!?1! = 1236例 计算行列式，其中 ai ≠ 0，i = 1, 2L , n + 1 a1n n a2 M M n ann an +1a1n ?1b1 n a2 ?1b2 M M n an ?1bnn ?1 an +1bn +1a1n ?2b12 n 2 a2 ?2b2L Ln 2 an ?2bnLa1 b1n ?1 n a2 b2 ?1 M M n an bn ?1n ?1b1n n b2 M M n bn ? b1 ? ? ? ? a1 ? ? b2 ? ? ? ? a2 ? M Mnn? 2 n ?1 n an +12bn +1 L an +1bn +1 bn +1 21b1 a1 ? b2 ? ? ? ? a2 ? M M? b1 ? ? ? ? a1 ? ? b2 ? ? ? ? a2 ?L2? b1 ? ? ? ? a1 ? ? b2 ? ? ? ? a2 ? M Mn ?1n1n n 解原式 = a1n a2 L an +1 M M 1LL2? bn +1 ? ? bn +1 ? 1 ? ? ? ? an +1 ? ? an +1 ? ?? bn +1 ? L ? ? an +1 ? ?n ?1? bn +1 ? ? ? an +1 ? ?n371+ x 1 1 1 1 1? x 1 1 例：计算D = 1 1 1+ y 1 1 1 1 1? y 1 1 1 1 1 r 2 ? r1 1 r 3? r 1 0 1+ x 1 1 1 r 4? r1 ?1 r 5? r1 解：D = 0 1 1? x 1 1 = ?1 0 1 1 1+ y 1 ?1 0 1 1 1 1? y ?1 1 0 = 0 1 c1+ c 4 y 0 1 c1? c 6 y 01 c1+ c 2 x 1 c1? c 3 x1 1 x 0 0 ?x 0 0 0 01 1 0 0 0 0 y 0 0 ?y1 1 x 0 0 ?x 0 0 0 01 1 0 0 0 0 = x2 y 2 y 0 0 ?y38用行列式表示面积和体积定理 9 若 A 是一个 2 阶矩阵，则由 A 的列确定的平行四边形的 面积为det A， 若 A 是一个 3 阶矩阵，则由 A 的列确定的平行六面体的体积为det A.39
赞助商链接
刘三阳线性代数第二版第二章行列式习题解答_理学_高等教育_教育专区。第二章 行列式习题解答本章需要掌握的是: 1)行列式的定义及 6 个性质与 5 个推论; 2)...-2线性代数复习及例题(1)_理学_高等教育_教育专区。第一章 客观题: 1.求逆序数,如:排列 25431 的逆序数是; 2.行列式定义和性质相关题目.如:...线性代数 §1.2 n阶行列式 习题与答案_理学_高等教育_教育专区。线性代数 §1.2 n阶行列式 习题与答案 第一章 行列式 ――§ 1.2 n 阶行列式 § 1.2 ...线性代数习题解答第一二三章_理学_高等教育_教育专区。总习题一 一、问答题 1...对应的余子式和代数余 1 2 3 1 2 3 子式. 例如: 在行列式 D1 = 4 ...黄色为有问题的题目, 黄色为有问题的题目,红色为看过的单元 线性代数练习题 第一章 行列式系一.选择题 专业 班 姓名 第一节 行列式的定义 学号 1 2 1.若...线性代数 第二章总结_理学_高等教育_教育专区。第二章 矩阵及其运算 矩阵是线性...矩阵与行列式在形式上有些类似,但在意义上完全不同。一个 n 阶行列式是由 n...自考线性代数第一章行列式习题_理学_高等教育_教育专区。第一章 行列式 一、单项选择题 ?x ? y ? z ? 0 ? 1.线性方程组 ?2 x ? 5 y ? 3 z ? 10...线性代数第二章作业班级:学号:姓名: 第二章行列式 第一节 二阶与三阶行列式 一、填空题 ?2 3 a a2 1. = ___. ? ___; b b2 ?1 5 ?1 2 4 a...线性代数行列式-习题课 56页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 线性代数(第1章行列式)答案 .,.,...线性代数线性代数隐藏&& 第二章作业(方阵的行列式) 1. 填空题 (1) 排列 52341 的逆序数是___,它是___排列; (2) 排列 54321 的逆序数是___,它是___...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。线性代数行列式用数学归纳法证明
线性代数行列式用数学归纳法证明cosα 1 1 2cosα 11 2cosα 1Dn=| ...|=cosnα......1 2cosα 11 2cosα
显然n=1时,行列式为cosa成立,n=2时,行列式等于cosa * 2cosa -1 = cos2a成立我们对这个行列式从最后一行展开,显然对于最后一个2cosa,对应的余子式＝D(n-1)对于最后一行的那个1,如果对应的余子式为S(n-1),则D(n) = 2cosa D(n-1) - S(n-1)S(n-1) = 2cosaD(n-1) - D(n)S(n) = 2cosa D(n) -D(n+1)如果命题对所有n都成立,则要求S(n) = 2cosa cos(k)a -cos(k+1)a显然,当n=2时,S(2)对应的矩阵为cosa 01 1S(2)= cosa 而2cosa cos2a -cos(2+1)a = 2cosa cos2a - cos2a cosa +sin2asina = cos2acosa +sin2asina = cosa所以S(n) = 2cosa cos(k)a -cos(k+1)a 在n=2时成立我们假定对于n
我有更好的回答：
剩余:2000字
与《线性代数行列式用数学归纳法证明》相关的作业问题
不好写,现在是四阶的行列式,加一行一列,最上面的一行分别为1,x1,x2,x3,x4左边的一列为1,0,0,0,0然后再计算
这类题主要是用递归的思想：令欲求行列式为A(n),可以得到：A(n)=2A(n-1)-A(n-2)将上式变形,得到：A(n)-A(n-1)=A(n-1)-A(n-2)这样我们便可以得出：A(n)-A(n-1)=A(n-1)-A(n-2)=.=A(2)-A(1)=3-2=1因此,A(n)=（A(n)-A(n-1)）+（A
根据抽屉原则,至少一行元素全为0行列式定义是所有不同行不同列的元素求积后累加而如果一行全为0,则上面每项都为0,所以行列式为0这是一个性质,但是这个性质只比定义多一步,你只要不直接用性质即可
第一个：| x y x+y | c1+c2+c3 | y x+y x || 1 x y | c3+(-c1)| 1 y x+y | | 0 x -y |=(2x+2y)[-x^2+y(x-y)]| 0 x-y -x |第二个：这个跟第一个也是差不多的,就是开始的时候：第2列,第3列都（-）倍的加到第一列上；第1列,第3
按照第一行展开,得Dn＝(a+b)×D(n-1)－ab×D(n-2),所以Dn－a×D(n-1)＝b×[D(n-1)－a×D(n-2)]D1＝a+b,D2＝a^2＋b^2＋ab（这里a^2表示a的平方）所以,数列｛Dn－a×D(n-1)｝是一个等比数列,公比是b,首项为D2－a×D1＝b^2所以,Dn－a×D(n-1)
经典老题.我写一些步骤,一看就明白的.（1）从第二行开始,各行都减去第一行1+a1 1 1 ...1-a1 a2 0 ...0-a1 0 a3 ...0.-a1 0 0 ...an（2）第二行除以a2,第三行除以a3...第n行除以an,因此外围提出一个(a2a3...an)1+a1 1 1 ...1-a1/a2 1
因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A| 再问： 直接把A提出来，|AB|=|A||B|
[a c] [u s] b d * v t|AB|=|A||B|,其中A B都是矩阵.第一行两个矩阵,一个是A,一个是B,AB就是你上式的左边行列式对应的矩阵,所以,命题得证.不懂请追问. 再问： 不懂。要用行列式的性质来证明啊，矩阵还没学呢。 再答： 那就直接展开啊，左边=(au+cv)(bs+dt)-(as+ct)
n=1时显然成立设（aij）=A,（bij）=B,等式左边的行列式为G（n）假设n-1时成立,即G(n-1)=A(n-1)乘以B(n-1),那么n时,按第一行展开,G(n)=所有a1i乘上它在G(n)中的代数余子式并求和而每个a1i在G(n)中的代数余子式就等于a1i在A（n）中的代数余子式乘上B(n)的行列式所以G(
这个就是数学归纳法证明的套路.根据就是数学归纳法的理论基础.
利用行列式的性质证明,如图.
2,3,4行减去第一行得到a^2,(a+1)^2,(a+2)^2,(a+3)^2(b-a)(b+a),(b-a)(b+a+2),(b-a)(b+a+4),(b-a)(b+a+6)(c-a)(c+a),(c-a)(c+a+2),(c-a)(c+a+4),(c-a)(b+a+6)(d-a)(d+a),(d-a)(d+a+2
(2) D =|a^2-b^2 b(a-b) b^2||2(a-b) a-b 2b||0 0 1|D =(a-b)^2(a+b)-2b(a-b)^2=(a-b)^3.(3) D = D1+D2,其中 D1 =|b c+a a+b||b1 c1+a1 a1+b1||b2 c2+a2 a2+b2|D1=|b c+a a||
将D按第一列分拆D = D1 + D2a^2 a a^-1 1 a^-2 a a^-1 1b^2 b b^-1 1 + b^-2 b b^-1 1c^2 c c^-1 1 c^-2 c c^-1 1d^2 d d^-1 1 d^-2 d d^-1 1第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a,b,c,d,因为 ab
第一个,题目错误 因为f(A)g(A)永远等于g(A)f(A).你是想证明f(A)g(B)不等于g(A)f(B)吧.还有,A,B是行列式还是矩阵?这题从题干到问题都有问题.第一题第一问.给你个证明思路1.A和A可交换（显然）2.A和A^k可交换3.把f,用an*x^n+...+a0这种形式详细写出来,然后就可以证明A和
用行列式性质如图化简后,有两列成比例,所以行列式为0.经济数学团队帮你解答,请及时评价.
利用递推法计算如图,答案是(4)式,把记号换一下即可.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
n=2时,显然假设当n=k时成立,则当n=k+1时,设|A|是有2行相同的k+1阶行列式,只需证明|A|=0事实上,设A的第i行与第j行相同,对|A|按第一列展开,由归纳假设,a_{l1}(l不等于i,j)的代数余子式为0,则|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{j1}A_{j1},由于A的第i行与第j行相同,则a_}