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智轩考研数学冲刺短版--高等数学
2011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）第一篇第一章一、函数的结构与类型 1 函数的结构与特征高等数学函数、极限与连续y = y ( x ) ，其中 x 是自变量，方程左边的 y 是因变量，而方程右边的 y 是对应法则符号，不是变量，也常常写成 y = f ( x ) 形式，以区别两个字母 y 的不同意义。函数有二个要素，即定义域与对应法则。函数还有三个属性：自变量、因变量和对应法则符号。如对于一元复合函数如 f j ( x ) ， 其中 j ( x ) 称为复合自变量； 对于多元复合函数如 f j ( x )，y ( y ) ， 其中 j ( x ) 和 y ( y ) 分别称为第 1 位置变量和第 2 位置变量；对于以多元形式表示的一元复合函数如()()f (j ( x )，y ( x ) ) ，常常称为形式二元函数，以此类推。函数的结构和特征在求导中能得到具体的体现。1.1 函数的全导 ●单个自变量简单函数 y = f ( x ) 的求导? 对于定义域内，5 种求导符号等价，即 y? = é ? f ( x )ù ? = dx = 求导符号不完全等价，比如求 x = 1 的导数值，有 y? |x =1 =dydf ( x ) dx= f ? ( x ) ，对于一点的导数值，5 种df ( x ) df (1) dy ? |x =1 = |x =1 = f ? (1) ； =é ? f (1) ù ? ?0 dx dx dx ●单个自变量复合函数 y = f (j ( x ) ) 的求导( a ) 因变量 y 或 f (j ( x ) ) 对自变量的求导，即 ( f (j ( x ) ) )? = ( b ) 对应法则 f 对复合变量 j ( x ) 的求导，即 f ? (j ( x ) ) =对应法则作为过渡桥梁。 1.2 多元函数的偏导df (j ( x ) ) djdf (j ( x ) ) dj × 。 dj dx。可见，因变量对自变量的求导和对应法则对位置变量的求导是不同的，并且，因变量对自变量的求导需要在求偏导时， 因变量和对应法则符号求偏导的意义是不同的， 这个问题的系统论述留在多元微分学一章， 这里只举个例子。2函数的类型2.1 有界函数 ●当 0 & x - x0 & d 或 x & X 的一切 x 都要满足 f ( x ) & M ，称 f ( x ) 为有界函数或称为有界（变）量。 ●当 0 & x - x0 & d 或 x & X 的一切 x 都要满足 f ( x ) & M ，称 f ( x ) 为无穷大量。 ●当 0 & x - x0 & d 或 x & X 时，只要有一个 x 满足 f ( x ) & M ，称 f ( x ) 为无界函数或无界（变）量。 ●下例说明无穷大量和无界量的区别和联系。 相同之处：都存在极限趋于无穷大；不同之处：无穷大量在取极限过程中没有 0 值，无界量存在 0 值。无 穷大量必是无界量， 无界量未必是无穷大量。 注意 f ( x ) 为无穷小量的定义是 lim f ( x ) = 0 ， 由于 f ( x ) = 0x ? x012011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 也是无穷小量，故只有当 f ( x ) ? 0 时，无穷小量的倒数才是无穷大量。 2.2 周期函数 满足： f ( x + T ) = f ( x ) ， T 一般指不等于零的最小正周期。 ●周期函数 f ( ax + b ) 的周期为T ； f ? ( x ) 的周期等于 f ( x ) 的周期。 a●如果 f ( ax + b ) ± g ( cx + d ) 的周期存在，则为二者最小公倍数，如 f ( x ) = 2 tanx x - 3 tan 的周期为 2 3 6p 。 但是任意两个周期函数之和未必就是周期函数，比如 f ( x ) = sin 2 x + sin p x ，由于 sin 2 x 的周期为p ， sin p x 的周期为 2 ，而公倍数不能是无理数，故 f ( x ) 不是周期函数。2.3 复合函数 指具有中间变量（又称位置变量）的函数。复合函数分两类：显式复合函数如 y = f j ( x ) 和隐式复合函数如 F x, j ( x, y ) , y = 0 。隐式复合函数又名隐函数。 2.4 反函数()()x, y 存在一一映射的情况下，二者互为反函数。反函数有两种表达方式：●不改变记号 若 x = g ( y) 为 y = f ( x) 的 反 函 数 ， 在 某 些 场 合 ， 常 把 y = f ( x) 的 反 函 数 记 为 x = f-1( y) 或 ( x) 或x = g ( y ) ，没有改变记号的互为反函数 y = f ( x ) 和 x = f -1 ( y ) 的曲线重合，且原定义域和值域互换。●改变记号 若 x = g ( y) 为 y = f ( x) 的 反 函 数 ， 在 某 些 场 合 ， 常 把 y = f ( x) 的 反 函 数 记 为 y = f-1 -1y = g ( x ) ，此时已重新把 x 视为自变量。一般在纯粹需要求反函数时，需要改变记号。改变记号后，互为反函数的两个函数 y = f ( x ) 和 y = g ( x ) = f ●对偶性( x ) 的曲线关于直线 y = x 对称，且原定义域和值域互换。在反函数记号的使用中，一定要分清是否改变了变量记号。y = f ( x ) 与反函数 y = g ( x ) 的定义域与值域具有对偶性，即 y = f ( x ) 的定义域必为 g ( x ) 的值域，而 y = f ( x ) 的值域必为 g ( x ) 的定义域，并且 g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = f ( f -1 ( x ) ) = f -1 ( f ( x ) ) = x 。2.5 常用分段函数（一般为非初等函数）n, ● f ( x ) = [ x] = ì í ?n + 1,ì lim+ [ x ] = k ? x?k ,取整函数的特点是取 ( 近 ) 小；k为整数时 ? [ x ] = í n +1 ? x & n + 2 lim [ x ] = k - 1 ? ? x?k n ? x & n +1ì x 2 , x & -1 ì x2 , x& - 1 ? ? 2 ●作图求分段函数 f ( x ) = Max {1, x } = í1, x ? 1 ; f ( x ) = Max {1, x 2 , x 3 } = í1, x ?1 ? 2 ? 3 ?x , x & 1 ?x , x & 1x&0 ì1, ? ●符号函数 sgn x = í0, x = 0 ； x ? x sgn x ， sgn x 在求导和积分中视为常数。 ? -1, x & 0 ?22011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） ● 狄利克雷函数 D ( x ) = íì1, x为有理数 ?0, x为无理数一般来说，一点处连续，该点邻域并不一定连续；一点处可导，该点邻域并不一定可导，但在该点连续， 而在该点的邻域内不一定连续；一点处导数 f ? ( x0 ) & 0 ，该点邻域内函数并不一定单调。 ● 严格地说，带绝对值函数不是初等函数。 。 2.6 奇偶函数与对称性 ● 奇偶函数 f ( x ) = - f ( - x ) ； f ( x ) = f ( - x )3．函数表示方法：数学式（参数表示、方程表示、分段表示） ；表格式；图形；文字叙述。还可以是极限形式、导数、积分或级数等形式表示。特别注意函数自变量字母表示法的无关性。 2.7 基本不等式 ◆三角形不等式： a - b ? a + b ? a + b ，其中 a, b 为任意实数。2 é p? x ? sin x ? x ? tan x ，其中 x ? ê0, ÷ 。 p ? 2? ◆取整函数不等式： x - 1 & [ x ] ? x ，其中 x 为任意实数。◆ 三角函数不等式： ◆平均值不等式：a1 + a2 + L + an n n ? a1a2 L an ? ，其中 a1 , a2 ,L , an 均为正数。 1 1 1 n + +L + a1 a2 an2 2 a12 + a2 + L + an n ? a1a2 L an ? ，其中 a1 , a2 ,L , an 均为任意实数。 1 1 1 n + 2 +L + 2 a12 a2 an◆a a+k ? ，其中 a, b 任意实数， k & 0 。 b b+k三、函数的连续与间断 1 函数的连续三点要求① f ( x ) 在 x0 的邻域内有定义；② lim f ( x) 存在；③ lim f ( x) = f ( x0 ) 。x ? x0 x ? x0判断函数在某一点是否连续，可以将该点的值强行代入原函数，看能否得出数值来判断是否连续。2 函数的间断点① f ( x ) 在 x0 邻域无定义； ② lim f ( x) 不存在，包括 f - ( x0 )和f + ( x0 ) 至少有一个不存在的情形；x ? x0③ lim f ( x ) ? f ( x0 ) 。x ? x0● 单侧极限 ? lim f ( x ) 或 lim- f ( x ) ÷ 存在时的不连续点称为第 1 类间断点。又分为以下两个子类： +x ? x0? è x ? x0? ?可去间断点 f ( x0 ) 无定义但 f - ( x0 ) = f + ( x0 ) 或 f ( x0 ) 有定义，且 f - ( x0 ) = f + ( x0 ) ? f ( x0 ) ，通过增加函32011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）ì sin x , x?0 sin x ? 数在 x0 点的定义值，如 f ( x ) = ，增加 f ( 0 ) = 1 ，便构成了连续函数 f ( x ) = í x 。 x ? x=0 ?1,函数可去间断又演绎成极限存在的 7 种“不定式” （注意当函数连续时是确定式，简称“定式” ）0 ; 0? ; ?? - ?;1? ;0 × ?;1 ? ? ? 0 ? lim x x = 1÷ ; è x ?? ?00 lim xx = 1 +x ?0()反过来，如果已知某间断函数整体的极限存在，则必为上述 7 种极限形式之一，此结论在考研中经常 使用。求极限时，首先强行代入，如果能直接得出值，则为连续函数；如果不能得出值，就是间断函数， 这时，需要先定型（属于上述 7 类哪一种） ，再根据相应的方法解决它，即后定法，关于如何求极限的系统 方法将在随后讲述。 跳跃间断点 f - ( x0 ), f + ( x0 ) 均存在，但 f - ( x0 ) ? f + ( x0 ) ，如 f ( x ) = sgn x 。 第 1 类间断点只有上述两种类型。 ● 单侧极限 ? lim f ( x ) 或 lim- f ( x ) ÷ 至少有一个不存在时的不连续点称为第 2 类间断点。分为以下两个 +x ? x0? è x ? x0? ?子类：振荡间断点 ? 如 y =? è1 1 1 ? ? ? sin 在x = 0 ÷ 与 无穷间断点 ? 如 y = 在x = 0 ÷ ，除振荡间断点和无穷间 x x x ? è ?断点外，还有其他类型的第 2 类间断点。四、分段函数的复合方法一般方法： 我们把复合函数分为外层函数 （如 f g ( x ) 中的 f (.) ） 和内层函数 （如 f g ( x ) 中 g (.) ） 。 如求 f g ( x ) ，关键点是求出内层函数函数 g ( x ) 代入前的定义域与代入后的值域的交集。()()()六、函数的极限理论6.1 极限的 3 大特点和 3 大定理 ● 极限的 3 大特点(1) ( 3)极限中变量的趋于是沿任意方向。对于一维就是左右极限两个方向，二维以上则有无穷多个方向。( 2 ) 极限中变量的趋于可取任意方式。可以任意函数方式趋于极限点，比如， x ? 0 ? x =1 = 0。 x1 (n ? ?) 。 np极限中变量的趋于不是等于，为不定式，是近似值；而相应的函数极限结果是等于，为定式，是精确 值。利用这一特点就可以很好地理解 lim x sinx ?0评 注an = A 的定义中，{an } 可视为点集合（序列可视为点集，点集却不一定为序列） ，则 ( a ) 在极限 lim n ??对于任意 n ，相应于 {an } 中满足 an - A & e 的点有无穷多个，而满足 an - A ? e 的点一定是有限个。42011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）( b ) 数列极限中的“任意小的正数 e ”和“充分大的 N ”两个术语的前后次序， e 是独立的，不受任何约束， 尤其不受 N 的约束， 而 N 受到 e 的约束， 故二者在叙述中的次序不可颠倒。 同时应注意当 k & 1 式，k e 同样是一个任意小的正数。f ( x ) 并不是极限的定义。 ( c ) 极限的结论是一个精确值，而趋向变量是一个不定式。如 lim x =a ( d ) 极限的结果与趋向点 x0 的函数值是否有定义无关。● 极限的 3 大重要定理(1)保号（保序）定理x ? x0lim f ( x ) = A & 0或 & 0; 则存在x0 的去心邻域，当0 & x - x0 & d 时，有 f (x ) & 0 或 f (x ) & 0 。该定理与极限局部有界性定理在本质上是一致的。( 2)唯一定理 极限 x ? x0 可以存在任意方式和任意方向，所得的极限值存在且相等，即极限的唯一性。我们说x ? x0lim f ( x ) = ? 不存在，就是因为 ? 是个变量，违背了极限的唯一性。正是根据极限的唯一性，对于离散量? sin x ? sin ? ÷ sin x è x ? = 1 是错误的， 求极限可以等价转化为连续量求极限。 极限 lim 因为 x = np ? ? 时， = 0， x ?? sin x x x分母无意义。( 3) 脱帽定理x ? x0lim f ( x ) = A ? f ( x) = A + a = A + o (1)x ? x0lim a = lim o (1) = 0x ? x0 x ? x0评 注 极限的脱帽法是解决极限的逆问题的重要方法。符号 o (1) 表示无穷小量，即 lim o (1) = 0 ；而符号o ( x ) 表示关于 x 的高阶无穷小量，至于高几阶不确定，但必须满足 limx ?0o ( x) x=0。6.2 基本极限 基本极限 1 1? ? lim é ?u ( x ) ù ?x?W v( x )= e x? Wlim é ?u ( x ) -1ù ? v( x ), 其中 lim u ( x ) = 1, lim v ( x ) = ?x?W x ?W基本极限 2f ( x0 + a ( h ) ) - f ( x0 ) Dy = lim = f ? ( x0 ) Dx ? 0 Dx h ?0?a ( h )? 0 a (h) limm m -1 mì0, m & n ? a0 x + a1 x + L + am -1 x + am a0 x ?a =í 0, m=n 基本极限 3 ( 抓大幂次 ) lim ( a0 ? 0, b0 ? 0 ) = lim n x ?? b x n + b x n -1 + L + b x ?? b0 x 0 1 n -1 x + bn ? b0 ? ? ?, m & n所谓抓大幂次，就是抓幂次最高的一项前面的系数。52011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）基本极限 4ì0, m & n ? a0 x + a1 x + L a0 x a0 a ? 0, b ? 0 = lim = ( 抓小幂次) lim ( 0 ) x ?0 n ? í , m=n 0 x ?0 b x n + b x n +1 + L b0 x 0 1 ? b0 ? ??, m & nm m +1 m所谓抓小幂次，就是抓幂次最低的一项前面的系数。 评 注 抓大与抓小要针对具体极限的分子与分母从广义上按照阶次高低去灵活理解。 如 ln x + 2 当 n ? +? 抓大就是 2n ； x +nx + ln x 当 x ? 0 抓小就是 ln x 。6.3 常用函数的阶次高低级别x ? +?, f ( x) ? +? 的速度排列（由慢到快，即无穷大阶次由低到高） ，此结论相当重要，务必记住，尤其对抓大求极限提供了快速通道。x ? +?常用函数的阶次由低到高排列 n ? +?常用函数的阶次由低到高排列6.4 斯特令公式（必需掌握的手段）ln x ? xa (a & 0) ? a x (a & 1) ? x x ln n ? na (a & 0) ? a n ( a & 1) ? n ! ? n nn!=n ?n ? 2p n × ? ÷ × e 12 n è e ?nq(0& q n & 1 )； 特 别 地 ： n ? + ? ? ln n ! ~ n ( ln n - 1 )对所求极限存在阶乘时，利用此公式进行等价代换很方便。 6.5 四类无穷小类型 根据 limx ?0a ( x) = l 的不同值来定义： b ( x)(1) 当 l =1 时 ? a ( x) 与 b ( x) 为等价无穷小。 ( 2 ) 当 l ? 1 ，且 ? 0 时 ? a ( x) 与 b ( x) 为同阶无穷小；如果 lim a ( x) / b ( x) = l ? 0, k & 0 ? a ( x ) 是 b ( x ) 的 k 阶无穷小。k x ?0( 3) 当 l = 0 时 ? a ( x) 是 b ( x) 的高阶无穷小。 ( 4 ) 当 l = ? 时 ? a ( x) 是 b ( x) 的低阶无穷小。●极限计算中常用的等价无穷小及其替换原理sin x = x -1 3 x + o ( x3 ) 3 ！ a a cosa x ~ 1 - x 2 ? 1 - cos x ~ x 2 2 2 1 tan x = x + x 3 + o ( x 3 ) 3arcsin x = x +1 3 x + o ( x3 ) 6 p 1 p? ? arccos x = - x - x 3 + o ( x 3 ) ? x ? ÷ 2 6 2? è 1 arctan x = x - x 3 + o ( x 3 ) 3ln(1 + x) ~ x ( x ? 0 ) ? ln x ~ x - 1 ( x ? 1) ex ~ 1 + x ? ex -1 ~ x (1 + b x )a ~ 1 + ab x ? (1 + b x)a - 1 ~ ab x( ?0 ) f ( x )g ( x)~ 1 + g ( x ) ln f ( x ) ? x x - 1 ~1ln x ( x ? +? ) xa x ~ 1 + x ln a ? a x - 1 ~ x ln a (a & 0, a ? 1) x x n 1 + x ~ 1+ ? n 1 + x - 1 ~ n n62011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 等价无穷小的替换原理要掌握以下 3 个方面：f ( x ) = 0; ( a ) lim x ?0lim g ( x ) = 0; lim f ( x ) /g ( x ) = 1 ，则称 f ( x ) 与 g ( x ) 互为等价无穷小。它的主要x ?0 x ?0用途是化简极限的计算。对任意极限 limx ?0h ( x)f ( x)= limx ?0g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) × = lim × lim = lim h ( x ) g ( x ) x ? 0 h ( x ) x ?0 g ( x ) x ? 0 h ( x )我们注意到 f ( x ) 可以被 g ( x ) 等价替换求出原极限，是因为 1 乘除任何数不变的数学原理，所以，一 般情形下，等价替换只能是分子或分母整体（或因子）中，而不能在加减中替换。( b ) 等价无穷小在极限中的应用，其本质上是利用泰勒公式中的佩亚若余项麦克劳林展开的短形式，一般使用到一级即可，但在所求极限函数分母为高于一阶的场合，要使用到二级，甚至三级，此时分子展开后 根据未抵消的项的阶次与分母是否同价来决定展开项的个数。注意，等价替换不是等式，只是在极限意义 上相等，而泰勒展开是等式，故可以在加减中项中代入。( c ) 上述等价无穷小替换公式中，第二形式使用率也很高，而且请读者特别注意逆向等价无穷小的代换。6.10 函数极限全面题型题法系统考研极限 7 大类， 强行代入试真迹； 指洛泰等变两定（9 法） ， 辨型定法多思量。 注意拉格朗日中值定理和积分中值定理也常常用于求某类特殊极限。七、数列极限 5 大题法(1) 单调有界必有极限； ( 2 ) 特殊级数求极限法； ( 3) 转化为函数求极限法； ( 4 ) 利用夹逼准则； ( 5) 利用定积分定义法求极限。lim ? f (xi )n ?? i =0 n -1 n -1 b-a = lim ? f n ?? n i =0? ( b - a ) i ? b - a = b f x dx ?a+ ÷ òa ( ) n è ? n( 取左端点, 如 x1 = a )b-a? ? ? 取右端点, 如 x1 = a + ÷ n ? èlim ? f (xi )n ?? i =0n -1n ? ( b - a ) i ? b - a = b f x dx b-a = lim ? f ? a + ÷ òa ( ) n ?? n n i =1 è ? n注意：实际应用中注意以下两点：( a ) 一般区间为 [ 0，1] ； ( b ) 转换公式n -1 n ?x ?x 1 1 ? i ?1 ? i ?1 lim ? f ? ÷ ? n ?? ? ò f ( x )dx 或 lim ? f ? ÷ ? n ?? ? ò f ( x )dx 0 0 n?? n? ? èn?n èn?n i=0 i =1 i i72011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）第二章一、导数定义的内涵 1、点导数的基本定义一元函数微分学分三个方面掌握定义： 点可导---开区间可导---闭区间可导。 设函数 y = f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内有定义， 极限 lim 点 x0 可导，记为 f ? ( x0 ) =Dx ? 0f ( x0 + Dx ) - f ( x0 )f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) dy |x0 = lim = lim Dx ? 0 h?0 dx DxDx f ( x0 + h ) - f ( x0 ) h存在， 则称 y = f ( x ) 在 。导数的定义是可导的充要条件形式。 由于 f ? ( x0 ) = limh ?0f ( x0 + h ) - f ( x0 ) hh ?0 ? f ( x0 + h ) - f ( x0 ) = f ? ( x0 ) h + o (1) h ??? ?0故对于一元函数来说，可导必连续，反之不成立，因为函数连续，即lim f ( x0 + h ) = f ( x0 ) ? f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + o (1) ? f ( x0 + h ) - f ( x0 ) = o (1) ，显然推不出可导的极h ?0限形式存在。 如果点 x0 是开区间 ( a, b ) 任意点，则 y = f ( x ) 在 ( a, b ) 上存在导函数 f ? ( x ) 但在两个端点一般是不可 导的，即左右导数一般不存在；对于闭区间 [ a, b ] ，如果满足 ( a, b ) 可导，且左右导数 f +? ( a ) 、 f -? ( b ) 存在， 则 y = f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 可导。2、点可导定义中的极限隐含的重要信息① 极限 limh ?0f ( x0 + h) - f ( x0 ) 中必须存在一个定点函数 f ( x0 ) 。只能存在一个动点函数 f ( x0 + h) 和一个 h静点函数值 f ( x0 ) 的差 f ( x0 + h) - f ( x0 ) ；比如 lim 函数 f ( a ) ，只存在两个动点函数差；f ( 2x - a ) - f ( x) x-aDx ? 0就不满足此条件，因为不存在定点② 任意 h 的同阶无穷小量 g ( h ) 都可以代换极限函数中的 h ，如下列均为导数定义的极限等价形式：f ? ( x0 ) = limx ? x0f ( x) - f ( x0 ) f ( x0 + h) - f ( x0 ) f ( x0 + tan x) - f ( x0 ) f ( x0 + x 2 k +1 ) - f ( x0 ) = lim = lim = lim h?0 x ?0 x ?0 x - x0 h sin x x 2 k +1在讨论是否可导时， f ( x0 + h) 中的 h 与分母中的 h 只要求是同阶无穷小，而形式可以不同。 ③极限等价形式 limh ?0f ( x0 + g1 ( h ) ) - f ( g 2 ( h ) ) g3 ( h )中，h 必须能两端趋向于零， g3 ( h ) 也随之两端变号趋向于零。f ( x0 + x 2 k ) - f ( x0 ) 2k 就不是等价形式，因为 x 两端趋向于零时， x 只能沿正方向趋于零； x ?0 x 2k f ( x0 + h 2 ) - f ( x0 ) f (1 - cos Dx ) é ? 1? ù 再如 lim h ê f ? a + ÷ - f ( a ) ú 或 lim 也不满足此 ( f (0) = 0 ) 或 lim 2 h ?+? h ?0 h? h2 ? è ? Dx ?0 ( Dx )比如 lim82011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 条件。 ④ g1 ( h ) - g 2 ( h ) 与 g3 ( h ) 为同价无穷小。比如 limDx ? 0f ( Dx - sin Dx ) Dx f (1 - e h ) h( f (0) = 0 ) 就不满足此条件，因为( Dx ) Dx - sin Dx ~3!3。而 limx ?0f (a) - f (a - x) x和 limh ?0( f (0) = 0 ) 就满足充分条件。评 注 上述四个条件单独各自都是必要条件。3、点可导的必要条件形式特点是：两个动点函数之差。 ● f ? ( x0 ) = limh ?0也就是说：如果 f ? ( x0 ) 存在，则必有上述极限存在，反之，上述极限存在， f ? ( x0 ) 不一定存在。 ● 必要条件的考查方式：已知导数存在而求某一极限，一般使用下列公式。 已知 f ? ( x0 ) 存在，并且 hi ( i = 1, 2,3) 为同价无穷小时, 下列公式成立f ( x0 + h) - f ( x0 - h) f ( x0 + h1 ) - f ( x0 - h2 ) = lim h ~ h ? 0 1 2 2h h1 + h2智轩第 3 技f ? ( x0 ) 存在 ? limhi ? Wf ( x0 + h1 ) - f ( x0 + h2 ) h -h = f ? ( x0 ) lim 1 2 ，且为必要条件 h ? W i h3 h34、重要结论f ?( x0 ) 的几何意义为 x0 点切线的斜率，物理意义为 x0 点的变化率，经济学意义为 x0 点的边际。 f ?( x0 ) 存在，则 f +? ( x0 ) 和 f -? ( x0 ) 存在且相等。可导的奇函数的导数为偶函数；可导的偶函数的导数为奇函数；求导不改变函数的周期性；但积分会 改变函数的周期性。二、导数定义的基本应用2.1 求极限 2.2 求解特殊的常微分方程 2.3 分段函数的一般求导法 先按照基本求导法则，求出各开区间内的导数，再考察分段点 x0 的连续性，如不连续，则必不可导；如 连续，则求出该点邻域内的左右极限，如相等，则可导，并且 lim f ? ( x ) = lim+ f ? ( x ) = f ? ( x0 ) ，如果此 x ? x0 x ? x0关系不成立，则未必不可导，需要使用定义求之。注意 f ( x ) 连续，但 f ? ( x ) 不一定连续。 2.4、绝对值求导? f ( x ) = x - x0 ? f ? ( x ) = é ?( x - x0 ) sgn ( x - x0 ) ù ? = sgn ( x - x0 ) ，其中 x ? x0f ( x ) = ( x - x0 ) x - x0 在 x = x0 点 k 阶可导，且 f (kk)( x ) = ( k + 1)! x - x0设 f ( x) = g ( x) x - a ， g ( x) 在 x = a 连 续 ， 若 g (a) = 0 ， 则 f ( x) 在 x = a 处 可 导 ， 且92011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）f ? ( a ) = g ( a ) = 0 ；若 g ( a ) ? 0 ，则 f ( x ) 在 x = a 处不可导。一般地f ( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )L ( x - xi )L ( x - y1 )( x - y2 )L ( x - y j )L ? 当 xi = y j 时才是可导点,否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。三、主要初等函数必记的 19 个导数基本公式( xa )? = a xa -1 (a = const.) (sin x)? = cos x (tan x)? = sec 2 x (sec x)? = sec x tan x 1 ( a & 0, a ? 1) ( a x )? = a x ln a x ln a 1 1 (cos x)? = - sin x (arc sin x)? = (arc cos x)? = 2 1- x 1 - x2 1 1 (cot x)? = - csc 2 x ( arc tan x)? = ( arc cot x)? = 2 1+ x 1 + x2 (csc x)? = - csc x cot x ( shx )? = ( chx )? ( chx )? = ( shx )?( ln x )? =1 x(log a x )? =( arshx )? = ( arthx )? =( ln ( x +1 1 - x2x2 + 1))? =1 x2 + 1( archx )? =( ln ( x +x2 - 1))? =1 x2 -1( x & 1)五、导数的基本求法与技巧5.1 初等函数常用 n 阶导数公式 ● (uv )(n)= ? Cn k u n - k v kA= 0nCn =kn! , 称为莱布尼茨公式。 (n - k )!k!np np )；[cos(ax + b]( n ) = a n cos(ax + b + ) 2 2●[sin(ax + b)]( n ) = a n sin(ax + b +( n)? 1 ? ● ? ÷ è x±a?( -1) n ! = n +1 ( x ± a)na ● é(1 + x ) ù(n)??= a (a - 1)L (a - n + 1)(1 + x )a -n●(x )n(m)= n ( n - 1)L ( n - m + 1) x n - m , n ? m5．2 反函数求导 5．3 隐函数求导dx 1 = ; dy dy dxf ?? ( x ) d ? dx ? d ? 1 ? ÷=? ÷= ? 3 ?÷ dy è dy ? dy ? é è yx ? ? f ? ( x )ù ?对于显式复合函数求导，通过对应法则过渡；对于隐式复合函数求导确定谁是求导宗量，另一量应是宗 量的函数，构成复合求导。 具体来说，对求一阶导数两边同时求微分法；对较高阶求导采用两边同时求导。 5．4 极坐标系下的求导ì x = r cos q dy sinq dr + r cos q dq ? = í dx cos q dr - r sin q dq ? y = r sin q102011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 5．5 参数方程求导 x = x (t ),y = y (t )dy y?(t ) d 2 y d é y?(t ) ù dt y??(t ) x?(t ) - y?(t ) x??(t ) 1 y??(t ) x?(t ) - y?(t ) x??(t ) = ； 2 = ê = × = ú 3 2 dx x?(t ) dx dt ? x?(t ) ? dx x? (t ) x?(t ) [ x?(t )]d 2r ? dr ? dr 2 r + r2 sin q + r cos q ? ÷ 2 dy dq d2y d q d q ? 极坐标方程 r = r (q ) 其实也是一种参数方程 = ; = è 2 dx dr cos q - r sin q dx 2 ? dr ? cos q - r sin q ÷ ? dq è dq ?5．6 变限积分求导 ● y= ● ●2dy = f (j ( x))j ?( x) dx j (x) dy d é j ( x ) y ( x ) ù y=ò f (t )dt ? = -ò = f (j ( x))j ?( x) - f (y ( x))y ?( x) ú y (x) a ? òa ? dx dx ê f (x) f ( x) dy y=ò g ( x) f (t )dt ? = g ?( x) ò f (t )dt + g ( x) f ( f ( x)) f ?( x) a a dxòj (x)af (t )dt ?●b ( x ) ?f ( x, y ) d b ( x) f ( x, y ) dy = ò dy + f ( x, b ) b ? ( x ) - f ( x, a ) a ? ( x ) ò a ( x) dx a ( x ) ?x5．7 复合函数求导六、平面曲线的切线与法线6.1 园的切线方程（读者需要记住这一结论，考研答卷中可以直接使用）( x - a) + ( y - b)22= 1 ? ( x0 - a )( x - a ) + ( y0 - b )( y - b ) = 1当 a = b = 0 时，标准圆的切线方程为 x0 x + y0 y = 1 。 6.2 椭圆的切线方程（读者需要记住这一结论，考研答卷中可以直接使用）( x - a)a22( y - b) +b22=1?( x0 - a )( x - a ) + ( y0 - b )( y - b ) = 1a2 b2x0 x y0 y + 2 = 1。 a2 b当 a = b = 0 时，标准椭圆的切线方程为评 注 如果利用二元函数的偏导组合向量 Fx? , Fy? 表示该点的法向矢量，可以更简单得出上述结论。 比如对于标准园， n = Fx? , Fy? = ( 2 x0 , 2 y0 ) ，而该点的切线方向为 t = ( x - x0 , y - y0 )rr r n ×t = 0 ? x0 ( x - x0 ) + y0 ( y - x0 ) = 0 ? x0 x + y0 y = 1 。()()r三、 函数的微分3．1 微分 dy 与函数增量 Dy 的 2 个关系112011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）a) 定性关系 Dy - dy = o ( Dx )根据 Dy = f ( x + Dx ) - f ( x ) = f ?( x)Dx + o(Dx) ; dy = f ? ( x ) dx = f ? ( x ) Dx 。b) 定量关系 Dy - dy =1 2 f ?? (x )( Dx ) 2 1 2 f ?? (x )( Dx ) 。 2根据 f ( x + Dx ) = f ( x ) + f ? ( x ) Dx + 3．4 弧微分： dl =( dx ) + ( dy )22= 1 + y?2 dx3．5 曲率 k 与曲率半径 r ： 直角坐标 y = f ( x ) 下： k =dq = dsy??(1 + y? )3 2 2; r=1 。注意利用 ds = rdq 形式记忆。 k参数方程 íyt??xt - yt? xt?? ì dq ? x = x (t ) 下： k = = 。 3 ds y = y t ( ) 2 2 ? ? ( x?t + yt? ) 22 2 dq r + 2 r ? - rr ?? 极坐标 r = r (q ) 下： k = = 。注意利用 ds = rdq 形式记忆。 3 ds 2 2 2 ( r + r? )3．6 二元二阶微分法分析设 u = u ( x, y )，并为连续函数，有 du = ? d ( du ) = d 2u = =?u ?u dx + dy ?x ?y? 2u ? 2u ?u ? 2u ? 2u ?u 2 2 dx + dydx + d dx + dy + dxdy + d ( dy ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ?x ?x?y ?x ?y ?y?x ?y ? 2u 2 ? 2u ? 2u 2 ?u 2 ?u dx + 2 dxdy + dy + d x + d 2 y 2 2 ?x ?x?y ?y ?x ?y? 2u ? 2u ? 2u d 2 x = 0，d 2 y = 0 ????????? ? d 2u = 2 dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 ?x ?x?y ?y122011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）七、微分中值定理等式的综合证明技巧中值 8 定理与积分 3 定理及函数 9 性质的是解决这类问题的基本理论。 闭区间连续函数的三个中值定理：最值，介值和零值。 与导数有关的五个中值定理：费马，罗尔，拉格，柯西和泰勒。 费马定义了驻点，即如果 f ( x ) 函数在 [ a, b ] 上有定义，在 ( a, b ) 内 x = x0 取得极值，且 f ? ( x0 ) 存在，则有f ? ( x0 ) = 0 ， x = x0 就是函数的驻点。注意极值点可以是不可导点。比如 y = x 。罗尔，拉格，柯西和泰勒的共同点是各自的中值 x 必在相应的开区间 ( a, b ) 内，且只关注中值 x 的存在，而 不是它的值，并且指出了中值 x 的非唯一性。罗尔是拉格的特例，柯西是拉格的推广。 各个微分中值定理的条件只是充分条件，而非必要条件，例如f ( x ) = x3 在 x0 = 0 处的导数存在且 f ? ( 0 ) = 0 ， 然而该点并非极值点， 故费马定理的条件仅仅是 f ? ( 0 ) = 0的充分条件而非必要条件。1 ì 1 - x2 , -1 ? x ? ? 1 ? 2 又如 f ( x ) = í 在 [ -1, 2] 上连续， f ( -1) = f ( 2 ) = 0 ，然而 f ( x ) 在 x = 左右导数 2 ?- 1 ( x - 2 ) , 1 & x ? 2 ? ? 2 2不等而不可导，然而在 ( -1, 2 ) 内存在 x = 0 ? f ? (x ) = 0 。故罗尔定理的三个条件只是结论的充分条件而 非必要条件。罗尔定理还说明了如果 f ( x ) = 0 有两个实根，则必存在一点 f ? ( x ) = 0 。 泰勒公式是把各种函数 f ( x ) 都统一近似地表示为同一结构的 ( x - x0 ) 的幂函数之和， 以便进行比较研究和 建立不同函数之间的连续。 7.1 罗尔型 ●常用解微分方程法寻找辅助函数范例：? f ? (x ) - l é ? f (x ) - x ù ? = 1 ? f ?( x) - l f ( x) = 1- l x é 1 - l x e - ò l dx dx + c ù ? el x xe - l x + c = ce l x + x ( ) ( ) ê ú ?ò ? -l x -l x -lx ?é ? f ( x ) - xù ?e = c ? é ? f ( x ) - xù ? e = 0 ? F ( x) = é ? f ( x ) - xù ?e f ?( x) f ( x) f ( x) 1 ? (1+x ) f ? (x ) = f (x ) ? (1+x ) f ? ( x ) = f ( x ) ? = ? = ec ? F ( x ) = f ( x) 1+ x 1+ x 1+ x ? f ( x ) = eòl dx● 常用配全微分法构造辅助函数模型? ? f ? (x ) = k ? f ? ( x ) - k = 0 ? é ? f ( x ) - kx ù ? = 0 ? F ( x ) = f ( x ) - kx ? - kx - kx ? f ? (x ) = kf (x ) ? f ? ( x ) - kf ( x ) = 0 ? é ?e f ( x ) ù ? = 0 ? F ( x) = e f ( x) ? - g ( x) - g ( x) ? f (x ) g ? ( x ) = f ? (x ) ? f ( x ) g ? ( x ) - f ? ( x ) = 0 ? é f ( x )ù f ( x) ?e ? = 0 ? F ( x) = e132011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）? -x ? f ?? (x ) - f (x ) = 0 ? é ? f ? ( x ) + f ( x )ù ?ù ?e é ? =0 é f ( x ) ù? f ( x) ? f ? ( x ) x - f (x ) = 0 ? ê ú = 0 ? F ( x) = x ? x ? ? f ? (x ) -(1 + x )1-x 22 2x ù? x é = 0 ? ê f ( x) = 0 ? F ( x) = f ( x) 2ú 1+ x ? 1 + x2 ?? 2 2 ? 2 f ? (x ) + x f ?? (x ) = 0 ? é ? x f ? ( x )ù ? = 0 ? F ( x) = x f ?( x) ? - lx -l x ? f ? (x ) = 1 + l ( f (x ) - x ) ? é ? f ( x) - xù ? ? e ( f (x ) - x ) ù ? = 0 ? F ( x) = e é ? af ? (x ) = bg ? (x ) ? F ( x ) = af (x ) - bg (x ) ? g (x ) f ? (x ) + h (x ) f (x ) = 0 ? F ( x ) = e ò g ( x ) dxh( x )f ( x)? f ? (x ) g (x ) + f (x ) g ? ( x ) = 0 ? F ( x ) = f ( x ) g ( x ) ? f ? (x ) g (x ) - f (x ) g ? (x ) = 0 ? F ( x ) = ? f ? (x ) + g ? (x ) f (x ) = 0 ? F ( x ) = eg( x)g ( x)f ( x)f ( x)g ( x)? nf ( x ) + x f ? (x ) = 0 ? F ( x ) = x n f ( x ) ? f ? (x ) + g ? (x ) é ? f (x ) - g (x ) ù ? = 0 ? F ( x) = e é ? f ( x ) - g ( x )ù ?■题型题法 6 双元拉柯型双元拉柯法（一般适应于被证明的等式中含有两个变量，如 x，h 等） ：第一步：观察设置一个或两个具体辅助函数； 第二步：利用“双元拉柯法” ，即：两次拉氏中值定理或两次柯西中值定理或一次拉氏中值定理和一次柯西中值定理。■题型题法 7 泰勒中值型主要适用于闭区间上存在高阶连续导数（一般的中值定理条件只是开区间上可导，注意这一特征）或已 知 f ( x0 ) , f ? ( x0 ) , f ?? ( x0 )L 的情形，另外，在去掉定积分符号方面也经常应用。特别遇到闭区间上可导的 条件时，优先采用泰勒中值定理。泰勒中值型一般还要用到积分 3 定理。 7.2 不等式的证明 一般思路：在证明等式的思想上，再利用函数的单调性与最值特性。 微分中值定理不等式证明题型题有三类：纯单调型、常数型和泰勒中值型。 7.3 零点问题的证明 关于零点存性，由罗尔定理知可得以下结论：设以下提到的导数存在。( k -1) ●如果 f ( x ) 存在 k ? 2 个零点，则 f ? ( x ) 至少存在 ( k - 1) 个零点， L , f ( x ) 至少存在 1 个零点。● f ? ( x ) 没有零点，则 f ( x ) 至多存在 1 个零点， f ? ( x ) 至多有 k 个零点，则 f ( x ) 至多有 k + 1 个零点， ● f ?? ( x ) 没有零点，则 f ? ( x ) 至多有一个零点， f ( x ) 至多有二个零点，依次类推。142011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）函数与导数的零点个数差一。 1． 最大值与最小值判据（单驻点模型）设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续，且 lim f ( x ) & 0 ( 或 & 0 ) ， lim- f ( x ) & 0 ( 或 & 0 ) ，且存在 c ? ( a, b ) ，使 +x?a x ?bf ( x ) 在 ( a, c ) 内单调增加（或单调减少） ，在在 ( c, b ) 内单调减少（或单调增加） ，即在 [ a, b ] 上 f ( x ) 仅 在 c 处达到极（最）大值 M ，或极（最）小值 m ，则 (1) 当 m & 0 或 M & 0 ，相当于曲线全部在实轴的上方或下方，与 x 轴无交点， f ( x ) = 0 无实根。( 2 ) 当 m = 0 或 M = 0 ， f ( x ) = 0 只有一个实根。 ( 3) 当 m & 0 或 M & 0 ， f ( x ) = 0 只有二个不同的实根。2． 不含参数型零点的求法把方程各项全部移到等式的一边，再令其等于 f ( x ) 。三、 含参数型零点的求法(1) 将 F ( x, k ) = 0 变成同解方程 f ( x ) = k 。，并求出区间端点的极限。 ( 2 ) 作出 y = f ( x ) 简图（标明单调区间和极值或最值即可）( 3) 考察直线 y = k 和曲线 y = f ( x ) 的交点个数与 k 的取值关系，结论就是 F ( x, k ) = 0 的实根的个数。四、零点个数求法的 3 步定势 第一步：求极值；第二步：求单调区间；第 3 步：求极限。 八、利用导数与微分研究函数的 9 种性态利用导数与微分研究函数的 9 种性态是： 函数具有单调、极值、最值、渐近线、周期、奇偶、凹、凸、拐点 9 大性质。 1、函数的单调增减性f ( x) 在 [ a, b] 上 连 续 ， 在 ( a, b ) 上 可 导 &x ? (a, b),f ?( x) & 0 ? f ( x ) - 单 调 增 函 数 ；f '( x) & 0 ? f ( x ) ? 单 调 减 函 数 ； 这 是 一 个 充 分 条 件 ， 比 如 y = x3 为 单 调 增 函 数 ， 但 却 在 x = 0 ? f ? ( 0 ) = 0 ，而不是大于零。f ( x) 在 [ a, b] 上 连 续 ， 在 ( a, b ) 上 可 导 ， &x ? (a, b),f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 单 调 不 减 函 数 ；f '( x) ? 0 ? f ( x ) 单调不增函数。这是一个充分必要条件。由于函数的单调增减性定义与导数无关，所以，即便 f ? ( x ) 不存在，也可能存在单调性。 函数的单调区间的分解点只能在一阶导数等于零的驻点或不存在的点选定。 2．函数的凹凸性? x1 + x2 ? 1 ，反之凹（称为下凸） 。 （凹凸形状 ÷ & [ f ( x1 ) + f ( x2 )] ? 凸（称为上凸） è 2 ? 2 以由上往下看为基准） ，注意定义与 f ( x ) 是否可导无关。定义：连续函数 f ? 性质： f ??( x ) & 0 ? 凸，反之凹。152011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 闭曲线无凹凸性，如对椭圆，必须分为上下两部分才能有凹凸性。 函数凹凸性的形象记忆法 凹字向逆时针旋转 90 度像大于号 ( & ) ，凸字向逆时针旋转 90 度像小于号 ( & ) 。 3． 函数的拐点 函数曲线凹凸分界点称为拐点。o 性质 1： f ( x0 ) 在 U ( x0 ) é而不是 U ( x0 ) ù 连续， f ??( x0 ) = 0（或不存在） ， x 过 x0 时 f ??( x ) 变号 ? ê ú??拐点 é ? x0 , f ( x0 ) ù ? ， x 在 x0 邻域两侧 f ??( x) 保号不是拐点； 性质 2： f ( x ) 在 x0 邻域内有三阶导数， f ??( x ) = 0 但 f ???( x0 ) ? 0 ? é ? x0 , f ( x0 ) ù ? 必是拐点。 4．函数的极值与最值 定义： y = f ( x ) 在 x0 的邻域内有定义，对于去心邻域 U ( x0 , d ) ，即： 0 & x - x0 & d 。 f ( x ) & f ( x0 ) ? 极小值; f ( x ) & f ( x0 ) ? 极大值 （注意无等号） 于零，则 f ( x0 ) 为极大值。 函数极值定理的形象记忆法 由左向右，大小相间。如： x 过 x0 时, f '( x ) 在 x0 的左邻域大于零，右领域小o4.1 可导函数取得极值的必要条件（实质上是费马中值定理） ： 函数 f ( x ) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，那么 f ? ( x0 ) = 0 ， x0 称为 f ( x ) 的驻点。可导函数的极 值点是驻点，而驻点未必是极值点，比如 y = x3 在 x = 0 。另外连续函数在不可导点也可能存在极值点，比 如 y = x 在 x = 0 点。 当函数 f ( x ) 在 x = x0 及其某个邻域内连续时， 则可由 f ( x ) 在 x0 的左邻域单调增加或减少， 在右邻域 单调减少或增加来确定函数在该点的极大值或极小值。 但是如果 f ( x ) 在 x = x0 点达到极大或极小值， 却不 一定能推出 f ( x ) 在 x0 的左邻域单调增加或减少，在右邻域单调减少或增加，例如ì 1? 2? ?2 - x ? 2 + sin ÷ , x ? 0 f ( x) = í 显然 f ( 0 ) = 2 是极大值， 但是不论 x = 0 多么小的邻域内，f ( x ) 也 x? è ?2, x = 0 ?不单调。( a ) 函数的极值定义与导数无关，所以，即便 f ? ( x0 ) 不存在，也可能存在极值 f ( x0 ) 。 ( b ) 可导函数的极值点必定是它的驻点，函数的驻点却未必是极值点，例如 f ( x ) = x3 。 ( c ) 区间的端点不能讨论极值点，因为只存在半邻域，故只可能作为最值点。4.2 可导函数极值存在的第一充分条件：f ( x) 在 x0 点连续，但 f ?( x) 在 x = x0 的去心邻域存在，不一定要求 f ?( x0 )$ ，则：① x 过 x0 时, f ?( x ) 由 + ? - ? f ( x0 ) 为极大值；162011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） ② x 过 x0 时, f ?( x ) 由 - ? + ? f ( x0 ) 为极小值； ③ x 过 x0 时, f ?( x ) 不变号 ? f ( x0 ) 不是极值。 4.3 可导情况下，极值存在的第二充分条件： 简单情形下，如 f ?( x0 ) = 0, f ??( x ) ? 0 ，则极值存在的第二充分条件是： ① f ??( x0 ) & 0 ? f ( x0 ) 为极大值； ② f ??( x0 ) & 0 ? f ( x0 ) 为极小值 4.4 极值与拐点的一般性理论 一般来说，一阶导数在 x0 点两侧变号，则 x0 一定为函数的极值点；二阶导数在 x0 点两侧变号，则 x0 一 定为函数的拐点。 ● f ? ( x0 ) = 0; f ?? ( x0 ) & 0 ( & 0 ) ? f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极小值（极大值） ，但不是 f ( x ) 的拐点。1 3 3 3 é1 ù f ??? (x )( x - x0 ) + o é( x - x0 ) ù = ( x - x0 ) ê f ??? ( x ) + o (1) ú ? ? 6 ?6 ? 易知 f ( x ) - f ( x0 ) 在 x0 两侧符号不同，不能保证 f ( x ) & f ( x0 ) ( & f ( x0 ) ) 恒成立。因为 f ( x ) - f ( x0 ) = ● f ? ( x0 ) = 0; f ?? ( x0 ) = 0; f ??? ( x0 ) & 0 ( & 0 ) ? f ( x0 ) 为 f ( x ) 的拐点，但不是 f ( x ) 的极值点。 因为 limf ?? ( x ) x - x0x ? x0= limf ?? ( x ) - f ?? ( x0 ) x - x0x ? x0= f ??? ( x0 ) & 0 ，由保号性知 f ?? ( x ) 在 x0 两侧变号，所以为拐点。●大多数情形下极值点和拐点是不能同时存在于同一点的。 ● f ??( x ) 不存在的点可能为拐点，但 f ( x ) 不连续的点一定不是拐点。 ● 极值点与拐点的关系( 设 f ( x ) 在 x = x0 处 n ( n ? 2 ) 阶可导，且 f ? ( x0 ) = f ?? ( x0 ) = fn -1)( x0 ) = 0,f(n)( x0 ) ? 0 ；( a ) 当 n = 2k 为偶数， x0 一定为 f ( x ) 的极值点 ( b ) 当 n = 2k + 1 为奇数， ( x0 , f ( x0 ) ) 一定为 f ( x ) 的拐点且一定不是极值点。极值点和拐点基本理论总结如下：极值点和拐点的研究分为两类：可导函数和不可导函数。 其中无论哪种情形，要求函数在极值点的有心邻域内有定义，在包含拐点的某区间上函数连续。判断的依 据是定义法和两边导数符号法。注意定义法判断极限只要求要求 y = f ( x ) 在 x = a 的邻域有定义，而不要 求连续。 比如考察 x = a 是否为 y = f ( x ) 的极值点，首先要求 y = f ( x ) 在 x = a 的邻域连续，然后考察 f ? ( a ) 在x = a 两侧是否变号，至于 f ? ( a ) 是否存在不要管它。考察 ( a, f ( a ) ) 是否为 y = f ( x ) 的拐点，首先要求y = f ( x ) 在包含 x = a 的某区间上是否连续，然后考察 f ?? ( a ) 在 x = a 两侧是否变号，至于 f ?? ( a ) 是否存在不要管它。 对于可导函数的极值点判断两个充分条件定理，都只是要求在 x = a 点导数存在，并没有邻域要求，另外， 可导点不可能是极值和拐点的共同点，只有不可导点极值点和拐点才可能共存， 比如函数 f ( x ) = ( x - 1) ( x - 3) sgn ( x - 3) 就是极值点和拐点共存情形。172011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 5． 函数的最值 1） 比较各极值和导数不存在点的函数值及 [ a, b] 上的 f ( a ) , f ( b ) 即可得极大值或极小值， 注意开区间 内无最大与最小值存在。. 2）如果函数在某一区间只有一个极值点，并且函数严格单调，则这该极值点也就是最值点，反之亦然。 6．函数的渐近线 ① lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b ? y = b 称为水平渐近线；x ?+? x ?-?② lim f ( x) = ? 或 lim- f ( x) = ? ? x = x0 称为铅直渐近线； +x ? x0 x ? x0③ a = limx ?? 或 x ?-?f ( x) , b = lim [ f ( x) - ax ] ? y = ax + b 称为斜渐近线。 x ?? x 或 x ?-?函数渐近线的形象记忆法 千（铅）数无穷。如：在渐近线的三种定义中，要么 x 趋于无穷，极限为一常 数，要么 x 趋于某一个数，极限为无穷，而只有铅直渐近线是 x 趋于某一个数，极限为无穷。先求双向极 限，若不存在，再求单侧极限。 7．曲率圆 1、设曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x, y ) 处的曲率为 K （ K ? 0 ） 。在点 M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一 点 D ，使 | DM |=1 = r 。以 D 为圆心， r 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆，曲率圆的 K圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心，曲率圆的半径 r 叫做曲线在点 M 处的曲率半径。 2、设已知曲线的方程 y = f ( x ) ，且其二阶导数 y ' ' 在点 x 不为零，则曲线在对应点 M ( x, y ) 的曲率中心ì y ' (1 + y ' 2 ) a = x ? y' ' ? D(a , b ) 的坐标为 í 2 ?b = y + 1 + y ' ? y' ' ?7．函数作图 7 步法 ① 求 y = f ( x) 定义域； ②求 f ? ( x ) = 0与f ?? ( x ) = 0 的所有点； ③用②步求得的 x 所有的值划分定义域为子区间，利用数轴由小到大排列成表格； ④利用表格列出各 x 与各子区间的 f ? ( x ) , f ?? ( x ) 的正负与存在性； ⑤求渐近线； ⑥利用表格列出 f ( x ) 单调性，凹凸性，拐点，极值与最值与渐近线； ⑦画图：先画三类渐近线（水平、铅直和斜） ，再画三类特殊点（极值点、拐点和函数零点） ，必要时 添加辅助点，利用 y = f ( x) 奇偶性，周期性；再完成整个曲线图形。182011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）第三章一元函数积分学〖123A〗第一节 原函数、不定积分与变限积分一、原函数的三基拓展1． 原函数的概念 如果对任意 x ? ( a, b ) 或 [ a, b ] ，都有 F ? ( x ) = f ( x ) ，则称 F ( x ) 为 f ( x ) 在该区间上的一个原函 数。 F ( x ) + c 构成 f ( x ) 的全体原函数，称为 f ( x ) 的不定积分，记为 中有一个特殊的原函数，即 F ( x ) =x aò f ( x )dx = F ( x ) + c 。原函数族ò f ( x ) dx ，称为变限积分。ax? ò f ( x )dx = ò f ( x ) dx + c ，这一关系是不定积分和定积分的桥梁 。由于 F ? ( x ) = f ( x ) ?(òxa? f ( x ) dx + c = f ( x ) ，所以)(òxa? f ( x ) dx = f ( x ) 成立。)不定积分以原函数是否存在为核心概念，而定积分以是否可积为核心概念，二者不可混淆。但是，定 积分也有原函数的概念，在被积函数连续的情形下，二者原函数相同，比如牛顿 ― 莱布尼茨公式：ò f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) 。在被积函数不连续的情形下，两类积分性质不同，主要表现为不定积分的原ab函数的存在与定积分是否可积完全无关，这是因为，不定积分是一个区间整体概念，而且默认为定义域内， 如òdx = ln x + c ，默认定义域为 x ? 0 ；而定积分可以是区间局部概念，可以对区间分段积分，而绕开各 x类不连续点（注意在一点的定积分等于零） 。 2． 原函数存在定理 2.1． f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续，则原函数存在。 2.2． f ( x ) 在 [ a, b ] 上存在第一类间断点，则原函数不存在。 2.3． f ( x ) 在 [ a, b ] 上存在第二类间断点，则原函数可能存在，也可能不存在。 3．变限积分的性质f ( x ) 在 [ a, b] 上存在一个间断点 x = x0 （任何一类间断点） ， F ( x ) = ò f ( t ) dt 。则下列 3 个结论成立：x a( a ) f ( t ) 在 [ a, b] 上可积，则 F ( x ) = òa f ( t ) dt 在 [ a, b] 上连续，但不一定可导。xì- x dt = - x - 1, - 1 ? x ? 0 ? ò-1 比如： x ? [ -1,1] ? F ( x ) = ò sgn tdt = í = x - 1 连续但不可导。 x -1 ? ò dt = - x - 1, x & 0 ? -1 ? ? x x f ( t ) dt ù ? f ( x ) ，但当 x ? x0 ? F ? ( x ) = é ò f ( t ) dt ù = f ( x ) 。 ( b ) x = x0 ? F ? ( x ) = é ò ê 0 ú ê 0 ú ? ? ? ?x( c ) F-? ( x ) = f ( x0 - 0 ) ;F+? ( x ) = f ( x0 + 0 ) ，如果 F ? ( x ) 存在，则必有 F-? ( x ) = F+? ( x ) = f ( x0 ) 。4．不定几分与定积分的关系(1) 在区间 [ a, b] 上的原函数存在的函数 f ( x ) 不一定可积，即定积分未必存在，反之，在区间 [ a, b] 上可192011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 积的函数未必有原函数。( 2 ) 连续函数的定积分值等于它的任意一个原函数在积分区间上的改变量，即 òa f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) ，它建立了两类积分的关系，也为定积分找到了一条捷径。但是，对于非连续函数，则不可使用莱布尼茨公 式 。 以 后 在 遇 到 类 似 函 数 在 两 点 差 时 ， 即 F (b ) - F ( a ) ， 除 了 以 前 经 常 使 用 的 拉 格 外 ， 还 要 想 到bF ( b ) - F ( a ) = ò F ? ( t )dt 这种形式。ab二、考研数学必记的 20 个基本积分公式务必熟悉下列 20 个基本积分公式模型，它他们当成元部件，在计算其他积分时，常常需要变换到这些 基本模型，然后直接写出结论（阅卷认可） ，即所谓的“积分元部件组装” 。xk +1 + C (k ? 1) (1) ò xk dx = k +11( 2) ò dx = ln | x | + C x ( 4) ò sin xdx = - cos x + C ( 6) ò cot xdx = ln sin x + C ( 8) ò csc2 xdx = - cot x + C (10) ò csc xdx = ln | csc x - cot x | +C (12) ò (14) òx = arcsin + C a a -x dx = ln x + x2 ± a 2 + C 2 2 x ±a2 21( 3) ò a x dx =ax + C (a & 0, a ? 1) ln a( 5) ò tan xdx = - ln cos x + C; ( 7 ) ò sec2 xdx = tan x + C; ( 9) ò sec xdx = ln | sec x + tan x | +C (11) ò 2 2 = arctan + C; x +a a a (13) ò 2 2 = ln x -a 2a (15) ò (16) ò (17 ) òx2 + a2 dx = dx 1 x-a + C; x+a dx 1 xdxx 2 2 a2 x + a + ln x + x2 + a2 + C Q x + x2 + a 2 & 0恒成立 2 2 x 2 2 a2 x 2 - a 2 dx = x - a - ln x + x 2 - a 2 + C Q x + x2 - a 2 & 0不恒成立 2 2 x 2 2 a2 x dx 1 ? x 1 x? a2 - x2 dx = a - x + arcsin + C (18) ò = 2 ? 2 2 + arctan ÷ + C 2 2 2 2 2 a a? ( x + a ) 2a è x + a a()( ())( e )? ( sin ax )?kx( e )? ( cos ax )?kx(19) ò ekx sin axdx =ekxsin ax + C; 2 a + k2( 20) ò ekx cos axdx =ekxcos ax +C a + k22三、不定积分方法与技巧不定积分口诀：不定积 缩微分 20 公式谙心中公分换理要清楚 分部积分是基本角倒指根特换元 有理函数化最简3.1 不定积分的一般思想 积分困难主要是由于被积函数的复杂性，一般的思想是通过凑全微分把被积函数的一部分缩到微分符202011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 号内来尽可能简化被积函数。比如存在分母和根号时，如何完全或部分去掉这两个东西就是我们开发求解 积分技巧的源泉， “去分母”――利用求导逆运算把被积函数的全部或部分分母缩到微分符号里面，然后根 据情形，再使用分部积分；对于分式函数的积分，先分解为最简因子代数和，再继续；对于有理函数的积 分，先化为最简真分式，再继续。 “去根号”――优先考虑把被积函数的全部或部分缩到微分符号里面，如 果不行，就利用换元法去掉根号。 3.2 不定积分计算的四大工具 ① 利用上述 20 个积分公式及其逆向思想，把被积函数整体或其部分凑全微分（即优先考虑第一换元） ； ② 分部积分； ③ 换元（三角换元、倒换元、指数换元、根式换元和特殊换元） 。 ④ 有理函数（分子分母均为多项式）的不定积分关键在于极点展开方法。 有理函数的不定积分关键点有两个： 1．加减添加项化成对数模型òdx ，并分解为最简真分式（特别注意极点展开法） ； x2。主要利用 20 个基本积分公式中的 2，11，18，存在三角和根号的还需要先换元。 整个定积分的计算可以归纳 4 个字， “4 工一思” ：4 个工具和一个思想（简化被积函数） 。不定积分的题型 有：一般分式型，含三角型，有理函数型 3.2 真分式的“极点展开法”与待定系数求法公式( a ) 单根情形é B ( x) B ( x) ù k k k = 1 + 2 + L + i ? ki = lim ê( x - xi ) × ú x ? xi A ( x ) x - x1 x - x2 x - xi A( x) ? ?( b ) i 重根情形B ( x ) B1 ( x ) B2 ( x ) B ( x) k k11 k21 = + = + + L + i1 + 2 r r -1 A ( x ) A1 ( x ) A2 ( x ) ( x - x1 ) ( x - x1 ) x - x1 A2 ( x ) ? ki1 = é 1 d i -1 r B ( x) ù lim x x × ( ) ê ú i A ( x ) ? x= x ( i - 1)! dxi -1 x? xi ?1第二节定积分与反常积分212011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）一、定积分“三基”内容及其拓展 2．重要结论与公式2.1 积分 7 个基本定理（注意区间默认 a & b ）(a) (b ) (c) (d ) ( e)f ( x)在[a, b] 上连续，恒正或恒负或 f ( x ) = 0 ；且 ò f ( x)dx = 0 ，则 f ( x) = 0 。abf ( x)在[a, b] 上连续，任意子区间 [a , b ] ? [a, b] 有 ò f ( x)dx = 0 ，则 f ( x) = 0 。abf ( x)在[a, b] 上连续， f ( x ) ? 0 ，且 f ( x ) 不恒为零，则 ò f ( x)dx & 0 。abf ( x)在[a, b] 上连续，f ( x ) ? g ( x ) 或f ( x ) ? g ( x ) ； 且 ò f ( x) dx = ò g( x) dx ， 则有 f ( x ) = g( x) 。a abb积分保序定理： f ( x)在[a, b] 上连续， f ( x ) ? g ( x ) 或f ( x ) ? g ( x ) ，则有ò f ( x ) dx ? ò g ( x ) dx 或 ò f ( x ) dx ? ò g ( x ) dx 。a a a axxxx( f ) 代数面积的绝对值不小于几何面积，即 òa (g)柯西不等式：bf ( x)dx ? ò f ( x) dx 。ab(òbaf ( x) g ( x)b) ? (ò2baf 2 ( x)) ( ò g ( x ))b 2 a2.2 积分估值定理 2.3 积分中值定理m(b - a) ? ò f ( x)dx ? M (b - a)af ( x) ? [m, M ]●若 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，则存在 x ? [ a, b] ?òbaf ( x)dx = f (x )(b - a) ，注意闭区间。●若 f ( x ) ， g ( x ) 在 [ a, b] 上连续，且 g ( x ) & 0 则存在 x ? [ a, b] ? 2.4 定积分可积定理 ●必要条件： f ( x ) 在 [ a, b] 上有界。 ●充分条件（依次加强）òbaf ( x) g ( x ) dx = f (x ) ò g ( x ) dxab( a ) f ( x ) 在 [a, b] 上单调有界。 ( b ) f ( x ) 在 [a, b] 上有有限个第一类间断点。。 ( c ) 设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，则 òa f ( x ) dx 存在（可积） ●常用充分条件： 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上有界， 且只有有限个间断点 （类型不限） ， 则 3.1 第一工具--函数在对称区间的积分 。 ò f ( x ) dx 存在（可积）a b bòl-lì ?0 f ( x)为奇函数 ? l ? f ( x)dx = í2 ò f ( x)dx f ( x)为偶函数 0 ? ? 1 l [ f ( x) + f (- x)] dx = l [ f ( x) + f (- x) ] dx ò0 ? ? 2 ò- lf ( x)非奇非偶222011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 对于对称区间的非奇偶函数 f ( x ) 的积分， 常常利用 f ( x ) + f ( - x ) = 常数，这类函数 f ( x ) 的类型有：f ( x) =1 ; 1+ ax1 1+ a1 x;ax a kx ± 1 ; ; arctan e x ? f ( x ) + f ( - x ) ? const. x kx 1+ a a m13.2 第二工具--周期函数 f ( x + T ) = f ( x ) 积分 基本结论是周期函数任何一个完整的周期内积分值相等。 例如：ònp01 - sin 2 xdx = n òp0p é p ù sin x - cos x dx = n ê ò 4 ( cos x - sin x )dx + òp ( sin x - cos x )dx ú = 2 2n 。 0 4 ? ?具体分为以下三个方面：( a ) 局部平移不变性 òaa +Tf ( x)dx = ò f ( x)0Tòa + nTaf ( x)dx = n ò f ( x)dx = n ò 2T f ( x)dx0 2TT( b ) 总体平移不变性 òT例如：a +Tf ( x)dx = ò f ( x)dx0aònp0cos x dx = n ò cos x dx = n ò 2p cos xdx = 2n 。0 2pp( c ) 平均值不变性ò f ( t ) dt = ò f ( t ) dt lim0 0 x ??xTxT应用例子： I = limòx0sin t dt xx ??= limx ??òp0sin t dtp=2 。 p3.3 第三工具--华里士公式族标准华里士公式òp 2 0sin xdx = ònp 2 0ì ( n - 1)( n - 3) ×××1 p ? n( n - 2) ××× 2 × 2 ? n cos xdx = í ? ( n - 1)( n - 3) ××× 2 ×1 ? ? n( n - 2) ××× 3n & 1为偶数 n & 1为奇数形象记忆掌握法： 奇奇 1；偶偶半 p 。 意思是：当 n 为奇数时，分母每项也为奇数，分子相应递减，且结论最后一项为 1； 当 n 为偶数时，分 母每项也为偶数，分子相应递减，且结论最后一项为p （半 p ） 。如： 2●如积分区域不是 ê 0,é ?pù ，常用的转换公式有： 2ú ?232011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）(a)ò òp 2 0 pf (sin x )dx = ò 2 f (cos x)0pò òp0f (sin x)dx ? ò f (cos x )0p0sin xdx = 2 ò sin xdxn np 2 0p0ì p ?2 2 cos n xdx, n为偶数 cos xdx = í ò0 ? n为奇数 ?0,n如òp 2 0f ( sin x ) + f ( cos x )f ( sin x ) dx=é ù p f ( sin x ) f ( cos x ) 1 p 2 + ê ú= 。 ò 2 0 ? f ( sin x ) + f ( cos x ) f ( cos x ) + f ( sin x ) ? 4( b ) ò0 ( c ) ò02psin xdx = òn2p0ì p ?4 2 sin n xdx, n为偶数 cos xdx = í ò0 ? n为奇数 ?0,npp p p xf ( sin x ) dx = ò f ( sin x )dx = p ò 2 f ( sin x )dx 0 2 0p p x sin x x sin x sin x p2 2 dx = 2 dx = 2 p dx = 。 ò0 1 + cos2 x ò0 1 + cos2 x -p 1 + cos 2 x 2 p如： ò〖上述 7 个三角函数的积分公式常用，称为“华里氏公式族” 。为便于系统记忆，智轩原创下列顺口溜〗华里氏 半 p 域；奇奇 1偶半 p 。半 p 弦弦不分家； p 域弦弦不同型。 p 区间 正弦倍；余弦偶倍奇为零。 一次幂 伴正弦； 半 p 换 倍区间。 倍p 域3.4 第四工具―面积法 这类题型只有在积分区域为圆或圆上的一部分或椭圆上规范区域 （一般由上下限决定） 才能够使用几何法。 3.5 第五工具―两个重要公式不分家 ；两弦偶 4 奇为零。òa0f ( x ) dx =1 a é f ( x ) + f ( a - x )ù ? dx 2 ò0 ?ò2a0f ( x )dx = ò é f ( x ) + f ( 2a - x ) ù ?dx 0 ?a定积分口诀：不定积分是父亲 5 大特工提速度 对周华面两公式区间变换谙心中 连续间断两分型 9 大应用太熬人4. 定积分四大区间变换242011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）[ a, b] ? [ 0, 1] [ a , b ] ? [ c, d ] [ a , b ] ? [ b, a ]使用变换 使用变换òba bb-a f ( x ) dx ??? ?ò f é ? x ( t )ù ?x? ( t ) 0 b-a f ( x ) dx ????? ?ò f é ? x ( t )ù ?x? ( t ) dt c t= x-at=x-a1ò( d -c ) + cda使用反号变换 t = - x, 另外在某些场合还需使用倒数变换：t =1 x调头代换：互换积分上限和下限p é p ù u= 2 -x ép ù x ? ê0, ú ??? ? u ? ê , 0ú ? 2? ?2 ? u =- x x ? [ - a, a ] ??? ? u ? [ a, - a ]u =p - x x ? [ 0, p ] ??? ? u ? [p , 0]，它的作用是回归原积分形式。x ? [ a, b ] ???? ? u ? [ b, a ]u = a +b - x 1- x 1+ x x ? [ 0,1] ??? ? u ? [1, 0] u=二、连续型、间断型与参数型定积分的计算方法 ■ 连续型定积分连续型定积分是读者平时见得最多的题型，一般方法是 1、 利用不定积分公式和定积分重要结论组装。 2、 利用对称区间的积分公式。 3、 利用周期函数积分公式。 4、 利用换元法。 5、 利用华里氏公式族计算。 6．积分中值定理 〖标准积分中值定理〗 设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续， 则至少存在一点 x ? [ a, b ] ? 〖宽型积分中值定理〗 设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续， 则至少存在一点 x ? ( a, b ) ?ò f ( x ) dx = f (x )( b - a ) 。abò f ( x ) dx = f (x )( b - a ) 。ab■间断型定积分1． 分段函数型。方法一般为分段积分。 2． 绝对值型。另绝对值内的函数等于零，解出间断点，再分段积分。 3． 最大值最小值符号型。利用图形法求出相应的分段函数，再分段积分。 4． 符号函数型。利用符号函数的定义，求出相应的分段函数，再分段积分。 5． 取整函数型。按照“左实右虚”的特点，求出相应的分段函数，再分段积分。 6． 含参函数型，根据积分上下限或智轩平移法。■ 题型题法 3含参数的定积分252011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 对于含常数定积分，一般的解题思路有两种， ( a ) 根据定积分上下限把参数分为 3 段，再分段积分； ( b ) 利 用智轩平移法。 对于一元函数含参积分问题，必须优先明确参数的取值范围，比如，本题的积分参数是 x ，它的分界点 是 0 和 1（定积分的上下限） ，分为 3 个区间讨论积分，积分结果是分段函数形式。三、反常积分的判敛和计算方法3.1 反常积分的几何意义 反常积分存在时的几何意义：函数与 X 轴所围面积存在有限值时，即便函数在一点的值发散，也可能不 会导致面积的发散。 例如òadx a2 - x20( a & 0 ) 的几何意义是：位于曲线 y =1 a - x221 a 2 - x2之下，x 轴之上， 直线 x = 0 与 x = a 之间的图形面积，而 x = a 点的值虽使 y = 3.2 反常积分的两种类型发散，但面积可求。(a) (b )无穷区间的反常积分ò+?-?f ( x)dx = lima ?-? aòcf ( x)dx + lim ò f ( x)dx ? lim ò f ( x)dxb ?+? c a ?? - aba无界函数的反常积分，又称瑕积分（每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点分区间积分）ò ò òba bb -e f ( x)dx = elim f ( x)dx ?0 - ò a b f ( x)dx = elim f ( x)dx ?0+ ò a +e c -e +? f ( x)dx = elim f ( x)dx + elim f ( x)dx ?0+ ò ?0+ ò a c+e( f ( x)右端点无界) ( f ( x)左端点无界) ( f ( x)区间内点无界)a+?a其中： x ? -b或 + a ? f ( x) ? ? 如果反常积分为上述两类的混合型，则拆分积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常 积分之和。 3.3．反常积分的敛散性判断方法与结论 反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分 的收敛尺度：对第一类无穷限ò+?af ( x ) dx 而言：当 x ? +? ， f ( x ) 为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数ò f ( x ) dx 而言：当x ? a 时 f ( x ) 为无穷大 ，并且+ab无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于 1。注意识别反常积分，如ò ln xdx01e x e x 为第二类反常积分，而 ò 2 dx 就不是反常积分，因为 lim 2 = 0 。 0 x x ?0 x1-1-1以下是简化模型的收敛实用判断基准，请务必在理解的基础上记住。智轩第 5 技反常积分敛散性判定的模型和基准262011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） ●单一型无穷限反常积分敛散模型( a ) òa &0 ( c ) òa+?+?1 dx xp+? ln x ? ? ì收敛, ? or òa &0 p dx ÷ ? í x è ? ?发散,p &1 p ?1( b ) òa&1 ( d ) òa+?+?ì收敛, 1 dx ? í p x ln x ?发散, Qm ( x ) ì收敛, dx ? í Pn ( x ) ?发散,p &1 p ?1 n - m &1 n - m ?1ì收敛, k ?0 x k e- l x dx ??? í ?发散,l &0 l ?0★单一型无穷限反常积分敛散判定比阶法： 设 f ( x ) , g ( x ) 在 [ a, b ] 上可积，g ( x ) 在 [ a, +? ) 不变号， 且为上述之一的基准模型， 且 lim ● m ? 0且 ? ? ?x ?+?g ( x)f ( x)=m。ò+?af ( x ) dx与ò g ( x ) dx 有相同的敛散性；a+?● m = 0 g ( x) & f ( x) ? ● m =?() ò+?ag ( x ) dx 收敛 ? ò+?a +?f ( x ) dx 收敛； f ( x ) dx 发散。( g ( x ) & f ( x )) ? ò+?ag ( x ) dx 发散 ? òa智轩形象记忆法 大收小收；小发大发，同价同敛散。●单一型无界函数反常积分敛散模型òbaì收敛, 1 dx ? í p x ?发散,p &1 p ?1★单一型无界函数反常积分敛散判定比阶法： 设 f ( x ) 在 [ a, b ) 内连续， b 为暇点， f ( x ) ? 0 ，则下列判敛法相当有效（阅卷认可） ：若 lim ( b - x ) f ( x ) = A ( 0 ? A & +?, 0 & a & 1) ? ò f ( x ) dx 收敛。 ax ?b ab若 lim ( b - x ) f ( x ) = B ( 0 & B ? +?, bx ?bb ? 1) ? ò f ( x ) dx 发散 。ab● g ( x ) 为基准反常积分函数 常常用作基准收敛的反常积分主要有 3 个：òò+?a+? x2 xòò+?a+? x ln 2 x x ln xòò11-11 dx 。 x常常用作基准发散的反常积分也有 3 个：aa1 dx 。 -1 x272011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）第三节智轩第 6 技定积分的应用元素法总则：在微分元范围内，任何曲线和直线等价，任何物理变量可以用常量代换。上下原函横面积，左右反函纵面积；两轴轮换积分内，平移减函莫忘记。一、6 大几何应用1.1 平面图形的面积应用ì几何面积：S = b f ( x) dx òa ? ?í b ?代数面积：S = ò f ( x)dx a ?(如图阴影部分，恒大于零 ) ( 有正负值 )称为左右曲不相交图形? S = ò [y ( y ) - j ( y )]dy ，d c称为上下曲相交图形?S =òba[ f ( x) - g ( x)] dxì x = x(t ) ?S= í ? y = y (t )òt2t1y (t ) x '(t )dt?S=1 b 2 r (q )dq 2 òa282011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）?S =1 b é r 2 2 (q ) - r12 (q ) ù ò ? ?dq a 2对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近） ，对左右曲不相交图形，被积函数 为右反函数减去左反函数（远减近） ，对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在位置定正负。ì y = f ( x) ? l = b 1 + y? 2 dx x òa ? ? x = x(t ) t2 ì 2 2 1.2 平面曲线的弧微分〖1A〗 ds = (dx ) 2 + (dy ) 2 ? ? ? l = ò [ x?(t ) ] + [ y?(t ) ] dt íí t 1 ? ? y = y (t ) q2 ? r = r (q ) ? l = ò r 2 (q ) + r ?2 (q )dq ? q ? 11.3 旋转体积 记忆秘诀：上下原函横面积，左右反函纵面积。 1.3.1 设 Vx , Vy 分别表示曲线绕 x, y 坐标轴旋转的体积，则分为下列 8 类情形(1) 上下单曲线图形旋转体积 ( 2 ) 上下双曲图形旋转体积Vx = p ò y 2 ( x ) dxabVy = 2p ò x × y ( x ) dxabì V = p b é y 2 ( x ) - y 2 ( x ) ù dx 1 ? x òa ? 2 ? 设y2为远曲线，y1为近曲线 ? í b V = 2p ò x [ y2 ( x ) - y1 ( x ) ] dx ? a ? y( 3) 对左右曲单曲线图形旋转体积 ( 4 ) 左右曲双曲线图形旋转体积Vx = 2p ò y × x ( y ) dycdVy = p ò x 2 ( x ) dycdìV = 2p d y é x ( y ) - x ( y ) ù dy 1 ? òc ? 2 ? x 。 设x2为远曲线，x1为近曲线 ? í d 2 2 ?Vy = p ò é x2 ( y ) - x1 ( y ) ù ? dy ? c ?1.3.2 如果旋转轴为平行于 x 的直线 y = t ，或平行于 y 的直线 x = h ，设 Vx , Vy 分别表示曲线绕 x, y 轴的 平移轴旋转的体积，也分为下列 8 类情形ìV = p b ét - y ( x ) ù 2 dx ? òa ? ? x (1) 上下单曲线图形旋转体积 í b ?Vy = 2p ò ( h - x ) × y ( x ) dx a ?292011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）( 2 ) 上下双曲图形旋转体积ìV = p b é( t - y ( x ) )2 - ( t - y ( x ) )2 ù dx 1 òa ? 2 ? x ? 设y2为远曲线，y1为近曲线 ? í b ?Vy = 2p ò ( h - x ) é ? y2 ( x ) - y1 ( x ) ù ? dx a ?ìV = 2p d ( t - y ) × x ( y ) dy x òc ( 3) 对左右曲单曲线图形旋转体积 ? í d 2 ?Vy = p ò é h - x ( y )ù ? dy ? c ?( 4 ) 左右曲双曲线图形旋转体积ìV = 2p d ( t - y ) é x ( y ) - x ( y ) ù dy 1 ? 2 ? òc ? x 设x2为远曲线，x1为近曲线 ? í d 2 2 ?Vy = p ò é( h - x2 ( y ) ) - ( h - x1 ( y ) ) ù dy c ? ? ?上述计算方法，即所谓的： 平移减函莫忘记 上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但读者仔细观察一下便会发现规律：( a ) 上下曲积分变量是 x ；左右曲积分变量是 y 。 ( b ) 上下曲图形绕 x （横坐标轴）及其平行轴旋转的体积计算公式中，被积函数为原函数形式，符合面积量纲；上下曲图形绕 y （纵坐标轴）及其平行轴旋转的体积计算公式中，被积函数也为原函数形式，符合 周长量纲；即所谓的： 上下原函横面积，纵周长。( c ) 左右曲图形绕 x （横轴）及其平行轴旋转的体积计算公式中，被积函数为反函数形式，符合周长量纲；左右曲图形绕 y （纵轴）及其平行轴旋转的体积计算公式中，被积函数也为反函数形式，符合面积的量 纲；即所谓的： 左右反函纵面积，横周长。(d )上下曲和左右曲的旋转公式被积函数与积分元满足 x, y 对换规律，即所谓的： 两轴轮换积分内 。( e ) 平移轴 8 个公式可以直接利用坐标轴公式得出，方法是，如果是沿平行 x 轴 y = t 旋转，则相当于公式中的被积函数含有 y 的因变量平移 t ，即 t - y ；同理，如果是沿平行 y 轴 x = h 旋转，则相当于公式中的 被积函数含有 x 的因变量量平移 h ，即 h - x 。( f ) 除了上述 16 种情形外，其它情形不是考研数学的要求。1.3.3 求旋转体积必须扣除重合部分。 1.4 旋转体的侧（表）面积〖1A〗S x = 2p ò y 1 + y?2 dxabS y = 2p ò x 1 + y?2 dxab注意上述两个公式也满足 x, y 对换规律。另外对于旋转表面积只需要掌握上下曲图形。302011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 1.5 形心（重点） 〖12A〗 质心是针对实物体而言的， 而形心是针对抽象几何体而言的， 对于密度均匀的实物体， 质心和形心重合。 ● 曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面图形和空间图形的形心问题，请对照。 ） 平面曲线的静力矩定义： 对于质量为 dm 质点的静力矩为 dm ? 质点到垂直于某方向轴的距离 。 l ( x ) 为密度函数。x 方向的静力矩 y 方向的静力矩 物体的质量M x = ò l ( x ) y 1 + y ?2 dxabM y = ò l ( x ) x 1 + y?2 dxabM = ò l ( x ) 1 + y?2 dxab平面曲线形心坐标 ( X , Y ) 如下：X= My Mò x 1 + y? dx = ò = ò 1 + y? dx2 a b 2 abbax 1 + y?2 dx l;M Y= x = Mò òb abay 1 + y?2 dx21+ é ? f ? ( x )ù ? dxò =bay 1 + y?2 dx l评 注对质心只要在每项积分中加入线密度为 l ( x ) 即可，当 l ( x ) = 常数，即几何体均匀时， 质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。上述形心坐标公式与上下曲旋转体的侧面积公式联系起来，便得到一个非常有用的定理：古尔金第一定理（形心划出的周长 ? 弧长） ： S x = 2p Yl● 均匀平面薄板S y = 2p Xl均匀平面薄板的形心坐标 ( X , Y ) 如下： （上下曲型）òò xdxdy ò X= = dxdy òòS Sbaxydx S1 b 2 òa y dx Y= S =2 S òò dxdySòò ydxdy评 注对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。上述形心坐标公式与旋转体的体积公式联系起来，便得到另一个非常有用的定理：古尔金第二定理（形心划出的周长 ? 面积） ： Vx = 2p YS1 b f ( x ) dx b - a òa 二、4 大物理应用（物理应用 = 几何应用+物理定理）1.6 函数平均值Vy = 2p XSf ( x) =2.1 压力或浮力问题 在水深为 h 处的压强 p = r h ，r 为液体的比重，如果有一个面积为 S 的平板水平地放置在深 h 处， 则该平板的一侧受液体的压力为 P = pS = r hS 。 浮力 F =òòò rt液体或气体dV 。312011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 2.2 引力（万有引力或电场力）问题 例如在 x 轴上有一根长为 l ，均匀质量密度为 l 的木棒，中心放在原点，在 y 轴上 ( 0, a ) 处有一个单 位质点，则万有引力计算：Fx = 0; Fy = ò 2l G2ll dx( a2 + x2 )2l dx3又如在 x 轴上有一根长为 l ，均匀电荷密度为 l 的木棒，中心放在原点，在 y 轴上 ( 0, a ) 处有一个单位 电荷，则电场力计算： Fx = 0; Fy =òl 2 l 21 × 4pe 02.3 做功问题 2.4 质心问题b ur r W = ò F .dl （属于第二类曲线积分） a(a2+ x2 ) 23ì ?x = M y = ? M ? 平面曲线的质心 í ? M ?y = x = M ? ?òb b abal ( x ) x 1 + y?2 dx2? f ? ( x )ù ? dx òa l ( x ) 1 + éò l ( x) x =ab1 + y?2 dxMò ò l ( x)b al ( x ) y 1 + y?2 dx1 + y?2 dxò l ( x) y =ab1 + y?2 dxMì My ? ?x = M = ? ? 平面平板的质心 í ? ?y = Mx = ? M ? ?òò s ( x, y ) xdxdy òò s ( x, y ) xdxdySòò s ( x, y ) dxdyS S=SMòò s ( x, y ) ydxdy òò s ( x, y ) ydxdy òò s ( x, y ) dxdyS=SM对于空间图形有类似的质心公式，请参阅多元积分学应用部分，以便比较记忆。322011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）第四章向量代数与空间解析几何〖数学 1A〗一、向量代数的三基及其延拓向量代数研究的对象为自由向量（同一方向和同一长度而不在同一直线上的向量视为同一向量，即本章 研究的向量与起点无关） ，研究的空间维度不超过三维。向量代数和空间几何是学好多元函数积分学的核心 基础。 1.1 向量的 3 种等价表示法 ●几何表示：以原点为起点的有向线段。 ●坐标表示：v a = (ax , a y , az ) ，这是常用的表示方式。 r r r r r r ●投影表示：矢量式 a = ax i + a y j + az k ；标量式 Pr ju a = a cos j ， j 为 a 与 u 轴的夹角。●定点分比公式： OM = ?uuuu r? x1 + l x2 y1 + l y2 z1 + l z2 ? , , ÷。 1+ l 1+ l ? è 1+ l1.2 向量的方向角和方向余弦 ● a 与 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向且非负小于 p 的夹角 a , b , g 称为 a 的方向角。 ● cos a , cos b , cos g 称为 a 的方向余弦，且 cos a = rx , cos b = r , cos g = rzrrraay aaaa● 任意向量 r 方向余弦（ er 为 r 的单位向量，并规定 er 离开原点为正方向。 ）rururr r r r r = xi + y j + zk = ( x, y, z ) = ( r cos a , r cos b , r cos g ) = r ( cos a , cos b , cos g )ur ? x y z ? ? ( cos a , cos b , cos g ) = er = ? , , ÷ èr r r?2 2 2 ur r ur x? ? y? ?z? er 称为 r 的单位向量，并且 cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = er = ? ? ÷ + ? ÷ + ? ÷ = 1。 r r rè ?è ?è ?? sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g = 2 。 r ur r ur ● 任意向量线元 dl 方向余弦（ el 为 l 的单位向量，与 dl 正方向一致，并规定 el 离开原点为正方向。 ）r ur r r r ur r dx r dy r dz r r r d l = dlel = idx + jdy + kdz ? el = i + j + k = i cos a + j cos b + k cos g dl dl dlur ? dx dy dz ? ? ( cos a , cos b , cos g ) = el = ? , , ÷ è dl dl dl ? uu r uu r ● 任意向量面元方向余弦（ en 为面元法线的单位向量，并规定 en 与 Z 轴夹角为锐角时为正方向。 ）u r uu r r r r uu r r dydz r dzdx r dxdy r r r d S = dSen = idydz + jdzdx + kdxdy ? en = i +j +k = i cos a + j cos b + k cos g dS dS dS332011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）uu r ? dydz dzdx dxdy ? ? ( cos a , cos b , cos g ) = en = ? , , ÷ dS dS ? è dS1.3 四类夹角的规定 1.3.1 两向量的夹角 j 规定为两向量不大于 p 的夹角，即 0 ? j ? p ，这个规定与方向角范围一致。r r 两向量平行或反平行的充要条件为： b = la(1) j = 0 ? a P b ?r rax a y a z = = ? 两向量平行，j = p ? 两向量反平行； bx by bz( a ? 0) ，即 a ，b 共线。如果三个或三个以上的向量，rrrr r p ? a ^ b ? ax bx + a y by + az bz = 0 ? 两向量垂直。 2 r ( 3) 零向量表示为 0 ，它与任意向量的夹角? ( 0, p ) 中的任意值。 p 1.3.2 直线与直线的夹角 a 规定为 0 ? a ? ，且无方向之分。 2起点重合时，终点位于同一平面上，则共面。( 2 )j =p 。 2 p 1.3.4 平面与平面的夹角y 规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角， 0 ? y ? 。 2 p 又等于他们的法线之间不超过 的夹角。 21.3.3 直线与平面的夹角 q 规定为直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角， 0 ? q ? 1.4 数量积 又称标积或点积，表示为 a × b ，且 v v v v v v a gb a × b = a b cos j ? cos j = v v = a b 或： a × b = a Pr ja b = b Pr jb av vx1 x2 + y1 y2 + z1 z2v vvvvv(x12 + y12 + z12 × x2 2 + y2 2 + z2 2 r r r r r v r a ×b a ? 0, b ? 0 。其中： Pr jb a = r 称为 a 在 b 上的投影。 b)注意：数量积本质上就是一个实数。 在三维以上空间的数量积称为内积 ，且表示为v v a × b = a, b = ( x1 , y1 , z1 , t1 ) × ( x2 , y2 , z2 , t2 ) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 + t1t21.5 向量积又称叉积或外积，表示为 a ? b ，且v vv v v j k v v i 1.5.1 a ? b = x1 y1 z1 ， x2 y2 z2 v v v v 1.5.2 a ? b = a b sin j ，v v方向规定：转向角不超过 p 的右手螺旋定则。1.5.3 几何意义： a ? b =平行四边形的面积； a ? b = 0，且共起点 ? a， b 共线。 1.6 混和积v vv v表示为 é abc ù = a × b ? c ，且?r rr?r r r()342011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） 1.6.1 é abc ù = a ? b × c = b ? c × a = c ? a × b = x2?r rr?(v v v)(v v v)(v v r)x1x3y1 z1 y2 z 2 = V y3 z3V = 0 ? 三点共面1.6.2 几何意义： é abc ù 代表平行六面体的体积； é abc ù =0 ? a，， b c 共面。?r rr??r rr?r ur r1.7 向量的求导法则v v v df v d a dax v da y v daz v d da = i+ j+ k ； ( f a) = a+ f dt dt dt dt dt dt dt v v v v d v v d a v v db d v v d a v v db ( a × b) = ×b + a × a?b = ?b + a? dt dt dt dt dt dt()二、场论的三基及其拓展1．场论的数学描述 场论在数学上采用梯度算符描述，用 ? 表示，定义为 ①梯度 ?j 定义： ?j =r? r ? r ? 。 ?=i + j +k ?x ?y ?z?j v ?j v ?j v i+ j+ k ，就好比楼梯的陡度。 ?x ?y ?zr r r u v ?P ?Q ?R + + ， 其中 A = Pi + Q j + Pk ，就好比电力线发散的程度。 ?x ?y ?z②散度 ? × A 定义： ? × A =u vu v如果没有分散，则散度为零，如静磁场的散度 ? × B = 0 。u vv i u v u v ? ③旋度 ? ? A 定义： ? ? A = ?x Axv k ? ，就好比水流的蜗旋程度。 ?z Az uv 如没有闭合，即不存在蜗旋，则旋度为零，如静电场的旋度 ? ? E = 0 。v j ? ?y Ay④场论的运算关系 本知识点内容数学 1-3 不作要求，自主命题考生需要掌握。352011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾） u r r u r u u v u v u v u u v u v v u v ?( A × B ) = ( A ×?) B + ( B ×?) A + A ? (? × B) + B ? (? ? A) 1 ? 2 = -4pd ( r ) r uv 1 er ? =- 2 r r uv ?r = er ur ?u ?u ?u ?u = cos a + cos b + cos g = ?u × el ?l ?x ?y ?z 1 ? 2 ?f (r ) ?f ( r ) = 2 (r ) r ?r ?r u v u v u v ? × (? ? A) = -? 2 A + (? × A)? u v u v u v u v 1 uuv (? ? A) ? A = A ×? A - ? A2 2 u v u v u v u v u v u v ? ? ( A ? B ) = (? × A) B - (? × B ) A u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v ? ? ( A ? B ) = (? × B ) A + ( B ×?) A - (? × A) B - ( A ×?) B ⑤万能坐标系――正交曲线坐标系 本小节内容数学 1-3 不作要求，自主命题考生需要掌握。 在该系中任一曲线元 dli = hi dui ●对直角坐标 ●对柱坐标系 ●对球坐标系 则? =dui 为球面系、柱面系等坐标曲线元。 dl3 = dz ； h1 = h2 = h3 = 1 ； u1 = x, u2 = y, u3 = zdl1 = dxdl2 = dy(r , q , z ) ? h1 = 1, h2 = r , h3 = 1 ； u1 = r , u2 = q , u3 = z (r , q , j ) ? h1 = 1, h2 = r , h3 = r sin q ； u1 = r , u2 = q , u3 = jv ? uv ? ?u1 uv ? ?u2 uu v ? ?u3 uv ? uv ? uu e1 + e2 + e3 = × e1 + e2 + e3 ?l1 ?l2 ?l3 ?u1 ?l1 ?u2 ?l2 ?u3 ?l3即： ? =v 1 ? uv 1 ? uv 1 ? uu e1 + e2 + e3 h1 ?u1 h2 ?u2 h3 ?u3ù 1 é ? ? ? (h2 h3 Ax ) + (h1h3 Ay ) + (h1h2 Az ) ú （无须掌握证明过程） ê h1h2 h3 ? ?u1 ?u2 ?u3 ? uv uv 上述公式，无须掌握证明过程，记住 ?, ? × A, ? ? A 的结论形式即可，它们的用途是可以简化直角坐标系而 ?× A = 转化为各类角度坐标系的运算。比如： ● 拉普拉斯算子 D 在球坐标系的形式u vdl1 = dr h1 = 1dl2 = rdq dl3 = (r sin q )d j h2 = r h3 = r sin q u1 = r , u2 = q , u3 = jv 1 ?f uv ? ?f uv 1 ?f uu v v ? 1 ?f uv 1 ?f uu 1 ?f uu ?f = ? e1 + e2 + e3 ÷ = er + eq + ej h2 ?u2 h3 ?u3 ? ?r r ?q r sin q ?j è h1 ?u1 1 é ? h2 h3 ?f ? h1h3 ?f ? h1h2 ?f ù ? 2 f = ? ×?f = Df = ( )+ ( )+ ( )ú ê h1h2 h3 ? ?u1 h1 ?u1 ?u2 h2 ?u2 ?u3 h3 ?u1 ?362011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）é? ? 2 ?f ? ? ? r sin q ?f ? ? ? r ?f ? ù ê ? r sin q ÷ + ? ÷ú ? ÷+ ?r ? ?q è r ?q ? ?j è r sin q ?j ? ? ? ?r è 1 ? ? ?f ? 1 ? ? ?f ? 1 ?2 f = 2 ? r2 ÷ + 2 sin q + ? ÷ r ?r è ?r ? r sin q ?q è ?q ? r 2 sin 2 q ?j 2 = 1 r sin q2●拉普拉斯算子 D 在柱坐标系的形式(r , q , z ) ? h1 = 1, h2 = r , h3 = 1 ； u1 = r , u2 = q , u3 = zDf = é ? h2 h3 ?f ? h1h3 ?f ? h1h2 ?f ù ( )+ ( )+ ( )ú ê ? ?u1 h1 ?u1 ?u2 h2 ?u2 ?u3 h3 ?u1 ? 1 é ? ?f ? 1 ?f ?f ?f ù 1 ? ?f 1 ?2 f ?2 f = ê (r ) + ( ) + (r ) ú = (r ) + 2 + r ? ?r ?r ?q r ?q ?z ?z ? r ?r ?r r ?q 2 ?z 2 1 h1h2 h3⑥高斯公式的场论表示u v u v uv A × d S = ? × ? òò òòò AdV? v⑦斯托克斯公式场论表示? òlluv v uv u v A × dl = òò ? ? A × d Ss⑧平面格林公式÷ dxdy ? ò A × dl =? ò Pdx + Qdy =òò ? è ?x ?y ?l s? ?Q?P ?评 注 在高斯公式和斯托克斯公式中，各符号的具体意义如下：u r r r r A = iP + jQ + kR;u r r r r d S = idydz + jdzdx +r r r r dl = idx + jdy + kdz dv = dxdydz三、直线方程的三基及其拓展方向向量 s ：一簇与该直线平行的方向数 l , m, n ；一般用 s = ( l , m, n ) 表示直线的方向向量。rruv ì r r n1 = ( A1 , B1 , C1 ) ? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 1．一般式方程 í ， n 1 , n 2 表示平面的法向向量。 uu v ? ? A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 n2 = ( A2 , B2 , C2 ) v uv uu v 则直线的方向向量 s = n1 ? n2 = ( l , m, n )2．点向式（标准式） s = ( l , m, n ) ?vx - x0 y - y0 z - z0 = = l m nì x = x0 + lt ? 3．参数式 í y = y0 + mt ? z = z + nt ? 04．直线间的关系 ●点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到直线v M ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上已知点， 方向数： s = ( l , m, n )x - x2 y - y2 z - z2 = = 的距离 d l m n372011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）r 底长为 s 的平行四边形面积 d= = r s●直线到直线的距离 dv i x2 - x1 lv j y2 - y1 mv k z2 - z1 nl 2 + m2 + n2(a) (b )两平行直线的距离 dd=v i x2 - x1 lv j y2 - y1 mv k z2 - z1 nl 2 + m2 + n2两异面直线的距离 d （画出平行六面体图推导出下式）uuuu r uu r uu r éP ù P , S , S 1 2 1 2? ? d= uu r uu r S1 ? S 2其中： P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 和 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 分别为两直线上的任意两点。四、 平面方程的三基及其延拓1．一般式v Ax + By + Cz + D = 0 。法线方向向量 n = ( A, B, C )形象记忆掌握法： “影评” （隐蔽平行坐标量） ，如 y 隐蔽（不出现在方程中） ，则∥y 轴；依此类推。 2．点法式A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0x y z + + =1 a b c3．截距式：即平面经过下列三点： ( a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c ) ? 5．平面束方程 6．平面间的关系 ● p 1 // p 2 ?A1 x + B1 y + C1 z + D1 + l ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 ● p 1 ^ p 2 ? A1 A2 + B1 B2 + C1C2 =0 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 ● 夹角 q ? cos q = A12 + B12 + C12 + A2 2 + B2 2 + C2 2● 点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取 一点即可类似处理d=Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 d= D1 - D2 A + B2 + C 227．两平行平面之间的距离 8．平面与直线之关系382011 智轩考研数学冲刺短版--公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）L P p ? Al + Bm + Cn = 0 ；A B C L ^p ? = = ； l m nv v n×s 夹角 q ? sin q = v v 。 n×s五、 曲面及其方程1. 二次曲面方程对应图形的元素法分析 二次曲面类型无穷无尽，考研中要求的是具有一定规则类型，共分三类：平移形成的二次曲面；旋转形 成的二次曲面；伸缩形成的二次曲面。而在这三类中又有九种标准曲面是需要直接记住的。为了让读者全 面系统掌握二次曲面的具体考点，特别奉献下列口诀（请读者在全部看完本节内容后再回头来理解） ：二次曲面 3 大类 准母平旋伸全记 9 中标准要牢记 其余 2 元 4 法推 平移形成各柱面 3 种旋转锥双工 柱锥定势记心上 各类伸缩出正规 智轩第 7 技 从准线和母线的 2 个元素和 4 大法则来系统掌握考点，并能确定曲面图形。ì ?相交旋转形成锥面 ( 如椭圆锥面等 )，参阅同济6版下册P25例4 准线和母线都是直线 ? í ? ?不相交旋转形成单叶双曲面，参阅同济6版下册P35 ì旋转形成旋转曲面 ( 如单双叶双曲面等 ) ( 2 ) 准线是直线而母线为曲线 ? ? í ? ?空间平移形成柱面（如椭圆柱面等） ì相互正交的两抛物线平移形成马鞍面 ( 3) 准线和母线都是曲线 ? í ?椭圆沿抛物线伸缩平移形成椭圆抛物面(1)( 4 ) 二次曲面的分析与画图4大法则? 零点法：用于分析二次曲面的准线和母线，以便确定曲面的轮廓。 ? 截痕法：用于分析二次曲面的细节，以便画出曲面图形。 ? 伸缩法：用于分析曲面之间的转换，如圆锥面转化为椭圆锥面等。 ? 动静点转换法：是确定旋转曲面方程和伸缩变形方程的定势手段。准线和母线是研究曲面形状的两大核心，已知曲面方程，先用零点法可确定准线和母线，从而确定曲面的 生成方式；再用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的转换，建立新曲面方程， 使用动静点转换法可以确定}