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在策略相关的产品如搜索、排序、推荐等功能的评估中，除了一般性数据分析方法之外，还有有一些特有的且相对比较固定的评估工具，这些评估工具都取之于信息检索科学的常用评估方法。要了解这些首先要了解策略产品的效果评估，我们必须要引入一些必要的信息检索相关的知识。
1.召回率和准确率
信息检索领域两个最基本指标是召回率(Recall Rate)和准确率(Precision Rate)，召回率也叫查全率，准确率也叫查准率，概念公式:
召回率(Recall)=检索到的相关内容 / 所有相关的内容总数
准确率(Precision)=检索到的相关内容 / 所有检索到的内容总数
为了直观的描述这两个概念，我们用是否相关和是否被检索到两个维度的指标来对每一次信息检索之后的内容分类。是否相关指内容和检索条件是不是相关，如检索“酒店”，系统中所有的酒店内容就是相关，而“美食”的内容就是不相关的，一般情况下，相关的内容就是理论上需要完全被检索到的内容，这个数值和检索的策略或算法没有关系。是否被检索到是针对检索结果的描述指标，检索完成后我们才能对系统内容做是否被检索到的区分，这个数值和检索策略或算法相关。通过是否相关和是否被检索到两个维度的指标，我们可以将检索完成后的内容分为四类，如下图：
联系图表，召回率就是检索到的相关内容（A）在所有相关内容中的比例（A+C），而准确率就是检索到的相关内容（A）在所有检索到的内容（A+B）中的比例。
但是如何算图1中的A、B、C、D呢？一般，这需要人工标注，人工标注数据需要较多时间且枯燥，如果仅仅是做实验可以用已知的场景来测试，比如我们已知搜索“A酒店”应该出的搜索结果，那么我们就可以通过不同策略在搜索“A酒店”的表现来计算不同策略的A、B、C、D值，这种方式简便易行，能够针对性的解决问题，但是只能解决已知的问题。当然，还有一个办法，找个一个比较成熟的算法作为基准，用该算法的结果作为样本来进行比照，当然这个方法也有点问题，那就是我们无法得知天花板在哪里，也就是无法预知最佳效果如何。
在实际项目中，我们单方面追求准确率和召回率都是不对的。准确率和召回率是互相影响的，理想情况下肯定是做到两者都高，但是一般情况下准确率高、召回率就低；召回率低、准确率高。如果是做搜索，那就是保证一定召回的情况下提升准确率；如果做反垃圾、反作弊，则是保证一定准确率的条件下，提升召回率。
一般情况，对同一个策略模型，用不同的阀值，可以统计出一组不同阀值下的精确率和召回率关系，我们称之为P-R曲线，如下图：
图中横坐标是召回率，用R（Recall）表示；纵坐标是准确率，用P（Precision）表示。有时候，我们在P和R做出平衡，因此我们需要用一个值来体现策略在P值和R值两方面的整体表现。最普通也最容易理解的是F1值，F1值的计算公式如下：
F 1= 2 * P * R / (P + R)
更通用的公式是F=(1+β^2)*P*R/(β^2*P+R)
用F1值来体现准确率和召回率的综合表现非常直观且易于理解，但是也有一个明显的缺陷，F1值的计算中，P和R的权重是一样的，也就是对召回和准确的要求是一样。在大多数情况下，我们在召回率和准确率上有不同的要求，因而我们也常用F2和F0.5来评价策略的效果，F2 = 5P * R / (4P + R)，表示更重视召回率，F0.5（F2 = 1.25P * R / (0.25P + R)，表示更重视准确率。
3.ROC和AUC
前面给大家介绍了F值，细究不难发现，它只能表示单点的效果而无法表示策略的整理效果，下面介绍的内容，将是一些能评估策略整体效果的评估方法。
ROC的全名叫做Receiver Operating Characteristic，是评价分类器（需要说明）的指标，一般分类识别相关的策略我们使用ROC值来评价。我们用上面第一个图的方式来说明这个值，我们将ABCD稍作变换如下图：
正确正例（True Positive，TP）表示将正例（预测）分为正例的内容；错误正例（False Positive，FP）表示将负例分为正例的内容；错误反例（False Negtive，FN）将正例分为负例的内容；正确负例（True Negtive，TN）表示将负例分为负例的内容。其中，ROC关注两个指标：
正确正例比例True Positive Rate ( TPR ) = TP / [ TP + FN] ，TPR代表能将正例分对的概率
错误正例比例False Positive Rate( FPR ) = FP / [ FP + TN] ，FPR代表将负例错分为正例的概率
ROC的主要分析方法是一个画在ROC空间的曲线（ROC curve）：在ROC 空间中，每个点的横坐标是FPR，纵坐标是TPR，这也就描绘了分类器在TP（真正的正例）和FP（错误的正例）间的平衡关系。我们知道，对于二值分类问题，实例的预测值往往是连续值，我们通过设定一个阈值，将实例分类到正类或者负类。比如我们通过数据挖掘计算酒店不接待客户的预测值是一个0-1的分布，然后设定一个阈值0.5，如果大于0.5，我们则认为酒店存在不接待用户的情况。因此我们可以变化阈值，根据不同的阈值进行分类，然后根据分类结果计算的TPR值和FPR值得到ROC空间中相应的点，连接这些点就形成ROC曲线。ROC曲线会经过（0,0）（1,1）两个点，实际上(0, 0)和(1, 1)连线形成的ROC曲线代表的是一个随机分类器。一般情况下，这个曲线都应该处于(0, 0)和(1, 1)连线的上方，否则，分类器的策略就是有问题的。
用ROC curve来表示分类器的效果很直观好用，也能够观测在不同TPR和FPR下分类策略的表现。但是，我们仍然希望能够用一个特定的值来表示分类器策略的好坏，于是Area Under roc Curve(AUC)就出现了。顾名思义，AUC的值就是处于ROC曲线下方的那部分面积的大小。
可以预见的是，AUC的值介于0.5（随机分类器的AUC值）到1.0之间，通常情况下，我们认为较大的AUC代表了较好的效果。
4.Prec@k和MAP(Mean Average Precision@K)
MAP也是评估检索策略效果的方式之一，与AUC不同的是，除了考虑召回结果的整体准确率之外，MAP也考量召回结果条目的顺序。MAP是Mean Average Precision@K的缩写，要了解MAP，我们需要逐步了解Prec@K和AP@K的概念。
Prec@K表示设定一个阈值K，在检索结果到第K个正确召回为止，排序结果的相关度。假设某次的检索结果如下：
注：绿色表示搜索结果与搜索词相关，红色表示不相关。
在这个案例中Prec@1=1、Prec@3=2/3、Prec@5=3/5。也许你已经发现了，Prec@K也只能表示单点的策略效果，为了体现策略的整体效果，我们需要使用AP@K。
Average Precision@K是指到第K个正确的召回为止，从第一个正确召回到第K个正确召回的平均正确率。下面我们用两个排序案例来理解AP@K。假设存在以下两个排序，我们直观的理解，结果1是优于结果2的，那么这种优劣会如何体现在AP@K值中呢？
对于结果1，AP@K=(1.0+0.67+0.75+0.8+0.83+0.6)/6=0.78，对于结果2，AP@K=(0.5+0.4+0.5+0.57+0.56+0.6)/6=0.52，可以看到，效果优的排序结果的AP@K值大于效果劣的那一组。
对于一次查询，AP@K值可以判断优劣，但是如果涉及到一个策略在多次查询的效果，我们需要引入另一个概念MAP@K（Mean Average Precision@K），简单的说，MAP@K的计算的是搜索查询结果AP@K值的均值。假设某个策略在两个不同查询下的输出结果如下：
在以上案例中，查询1的AP@K=(1.0+0.67+0.5+0.44+0.5)/5=0.62，查询的2的AP@K=(0.5+0.4+0.43)/3=0.44，则我们计算这个策略的MAP@K=(0.62+0.44)/2=0.53。对使用MAP@K进行评估的系统，我们认为MAP@K值较高的策略效果更好。
5.CG、DCG和nDCG
搜索引擎一般采用PI（per item）的方式进行评测。简单地说就是逐条对搜索结果进行分等级的打分，回顾MAP指标，我们对每个条目的值是的评价是用0或1表示，相较于MAP指标，D CG能够让我们让多值指标来评价。
在DCG指标的计算中，假设我们现在在谷歌上搜索一个词，然后得到5个结果。我们可以对这些结果进行3个等级的区分：Good（好）、Fair（一般）、Bad（差），然后赋予他们分值分别为3、2、1，假定通过逐条打分后，得到这5个结果的分值分别为3、2 、1 、3、 2。如果要我们评价这次查询的效果，可以用Cumulative Gain值来评估。
CG是在这个查询输出结果里面所有的结果的等级对应的得分的总和。如一个输出结果页面有P个结果，CG被定义为：
不难看出，CG并不考虑在搜索结果的排序信息，CG得分高只能说明这个结果页面总体的质量比较高并不能说明这个算法做的排序好或差。在上面谷歌的例子中，CG=3+2+1+3+2=11，如果调换第二个结果和第三个结果的位置CG=3+1+2+3+2=11，并没有改变总体的得分。
因此，如果我们要评估返回结果质量还要考量输出排序的话。首先，我们要说明什么是好的排序？一般来说，好的排序要把Good的结果排到Fair结果上面、Fair结果排到Bad结果上面，如果有Bad的结果排在了Good上面，那当然排序就不好了。
在一个搜索结果列表里面，比如有两个结果的打分都是Good，但是有一个是排在第1位，还有一个是排在第40位，虽然这两个结果一样都是Good，但是排在第40位的那个结果因为被用户看到的概率是比较小的，他对这整个搜索结果页面的贡献值是相对排在第一位那个结果来得小的。
为了能够完成评估排序的目的，我们需要采用DCG（Discounted Cumulative Gain）值。
DCG的思想比较容易理解，等级比较高的结果却排到了比较后面，那么在统计分数时，就应该对这个结果的得分有所打折。一个有P（P≥2）个结果的搜索结果页面的DCG定义为：
为什么要用以2为底的对数函数？这个并没有明确的科学依据，大概是根据大量的用户点击与其所点内容的位置信息，模拟出一条衰减的曲线。
那么在上面百度的例子中：DCG=3+(1+1.26+1.5+0.86)=7.62。但是DCG在评估策略效果的过程中，因为不同搜索模型给出的结果有多有少，仍然会造成无法对比两个模型的效果。为了避免这种情况，我们进一步优化这个指标，成为nDCG（normalize DCG），顾名思义，就是将一个策略的效果标准归一化，以方便不同策略的效果对比。公式如下：
公式中的iDCG（ideal DCG）就是理想的DCG。iDCG如何计算？首先要拿到搜索的结果，然后对这些结果进行排序，排到最好的状态后，算出这个排列下的DCG，就是iDCG。因此nDCG是一个0-1的值，nDCG越靠近1，说明策略效果越好，或者说只要nDCG&1，策略就存在优化调整空间。因为nDCG是一个相对比值，那么不同的搜索结果之间就可以通过比较nDCG来决定哪个排序比较好。在上面的例子中，理想的排序应该是3 、3 、2 、2 、1，那么iDCG=3+3+1.26+1+0.43=8.69，nDCG=DCG/iDCG=7.62/8.69=0.88。
以上给大家介绍一些常见的评价方式，但是这几种评估方式并不一定能覆盖所有场景，一般情况下，我们需要根据自己的需要适当的对这些评估方式做些许的改进来更加符合具体场景的要求，比如在nDCG中调整评分的层级或分数，甚至根据自身用户的特征调整衰减函数的计算方式等等。但在所有的评估改进中，一般无法忽略召回率、正确率和排序三个基本维度的效果。我们不能照搬前人成果，活学活用，才是产品经理应该做的事情。
本文系作者@metalony （微信公众号：hihipm）授权发布于人人都是产品经理 ，未经许可，不得转载。
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60个回答75人关注《我是歌手》12期宣布名次时用的排序方法... | 问答 | 问答 | 果壳网 科技有意思
《我是歌手》12期宣布名次时用的排序方法是什么排序？
这一期有9位歌手，要宣布前4名出线的选手。宣布的方式是：第一轮：先宣布前3位歌手中票数最高的；然后是中间3位中票数最高的；然后是后面3位中的。然后从这3个人中宣布一位票数最高的。显然ta也是全场最高票数，直接出线。第二轮：剩下的人中，按顺序两两分组，同样先宣布每组得票最高的；然后从4位高票歌手中宣布一位票数最高的。ta是全场排第二的歌手，出线。第三轮：剩下的人中，每次从两侧最外侧各取一个人组成一组，宣布每组得票最高的人。7个人共比较3次产生3个最高票数的人。还有一个坐在中间的人因为上一轮中已经败给了同组的人所以直接忽略。然后在这3个人宣布票数最高的。ta是全场第三，出线。第四轮：剩下的人中，有2个人在前几轮中超过了剩下的其他人，但这2个人之间没有比较过。所以宣布其中票数较高的为全场第四，出线。李健说这是“冒泡法”，我感觉不对，应该不是冒泡排序。那么到底应该算作哪种排序呢？
+ 加入我的果篮
神经生物学硕士
先说一下我的看法。首先肯定不是冒泡排序。冒泡排序应该是这样：坐第一位的李佳薇和坐第二位的李荣浩先比较，如果李佳薇得票高，两人就交换座位；然后坐第二位的人和坐第三位的陈洁仪比较，比陈洁仪高就交换座位；然后坐第三位的人和坐第四位的古巨基比较……直到最后和李健比较，得出全场最高。重复上述过程，得出其它名次。这样全部排完之后，正好是从右向左名次依次降低的。而节目中的这种排序方法，如果单看第一轮的话，有点像归并排序。归并排序就像这样：先分成小组，小组内部分别排序；然后各小组的第一名互相比较，得出全场最高。但问题是接下来，归并排序要做的是：该小组第二名递补为第一名，继续和其他小组第一名比较。直到全部都比较完，得出全部名次。而节目中在完成第一轮比较之后，又重新打乱分组，从小组比较开始。可见这是一种效率极低（但是收视率极高）的排序方法。
首先，这不是排序算法先宣布前3位歌手中票数最高的；然后是中间3位中票数最高的；然后是后面3位中的。然后从这3个人中宣布一位票数最高的。。这是已经知道排序的情况下才可能做到的事情简单说。。这里面完全不存在任何和算法沾边的东西,自是故意复杂化流程，看上去高大上有看头
软件工程师
兄弟啊，这哪算什么排序算法啊。。。。赞同楼上最后一句话，效率极低的排序方法。。。。
计算机科学与技术唆使,谜题爱好者,ACGN控
首先感谢小青的邀请...楼上其实都说了，节目中的流程与排序算法还是有很大区别的.排序的目的是获得所有元素的有序序列，而节目的目的，从技术性上可以认为是获得前k大(小)的元素，之后的元素顺序并不关心。节目中的总体思路是每轮都挑出当前最大(小)的元素，即第k轮找出第k大(小)的元素，这与选择类排序算法的思路类似。其中第一轮和第二轮非常类似，第一眼看起来像是，楼上也提到了，后来想想跟堆貌似也有点小关联，更像一种不太著名的，看到这名字其实应该大致能猜到这算法的思路了吧，对，世界杯淘汰赛、网球大师赛。第三轮其实也是如此，就是分组的方式有点不同，还利用了之前的历史比较结果。第四轮则基本都是历史比较结果了。总之，跟排序有关，但不完全是排序。
还有一个坐在中间的人因为上一轮中已经败给了同组的人所以直接忽略总觉得哪里不对，假设刚开始9人票数依次为，那么第二轮8人票数依次为：，第三轮1237564，这时中间的人明明票数最高，怎么被忽略了呢？
除了前3 其他都打乱排序 让每个人尽量有机会多上台
……感觉起来，也就猴子排序能比这个更低效了。
明显是 Map-Reduce 啊，哈哈哈哈……
专业精神错乱者
这个排序方法，就是尽可能的拖时间嘛。。提高收视率，而且不会让你在看到一半就猜到结果的算法。
我觉得这跟选举有很相近的地方。貌似我不知道在哪里看到过，选区的划分，候选的人数，选举的方式对选举结果有很大影响。还有一套模型和策略的。哪位大神能详细说说？我是歌手 这样复杂的排序一方面显得很厉害抓取眼球的同时，另一方面也便于操纵结果。
前面有人说的很对，既然三个人里面都知道谁最高分，还排个毛序。如果说是啥，只是一种分组比赛的方式而已，与排序无关。
这不算是一种排序算法吧，当然可以用来排序。首先是通过几个对比得出优胜者，然后将所有优胜者对比得出最优，这算法应该可以用来乱序中寻找最大值，当然还是要看情况适用
电视节目追求的是收视率，所以在这里并不需要一个高效的排序算法，而是如何把悬念保留到最后的最优解的游戏，现场的因素很多，但从最后一步反推，游戏应该至少包含以下规则：规则1淘汰期：1.最后两人，1人安全，1人淘汰。2.最后两人，特定1人最后则淘汰，如非最后则第三者淘汰。非淘汰期：1.最后两人：1人安全，1人最后。规则2过程当中宣布者会给出一定的提示例如：名字的位数，性别，年龄等条件，但该条件必须命中2人以上。规则3在规则2中，命中的多人之间的排名越接近偏离值越低，则被猜出的可能性越低视为高悬念。反之多人之间偏差值越高，则结果容易被猜出则视为低悬念。例如：宣布的提示命中两人，分别为3，4名，偏差值记作1分宣布的提示命中两人，分别为1，7名，偏差值记作6分规则4在最后一轮宣布中规则3逆转，余下两人的偏差值越大悬念越大。 最优解：在满足上述规则的限制下寻找最接近0的结果宣布顺序。
所以说正常人不应该看这种节目是有道理的。
Fringe科学博士
“我是歌手”是什么？能加入肯德基豪华午餐么？
后回答问题，你也可以用以下帐号直接登录
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违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：请问有啊的商品搜索排列顺序是按照什么方式排列的呢？_百度知道
请问有啊的商品搜索排列顺序是按照什么方式排列的呢？
是不是跟淘宝的搜索顺序一样是按照商品的下架时间排列的呢。现在对商品应该按照什么时间上架感到迷茫？我是有啊的卖家如题
我有更好的答案
品质越好的商品搜索排名靠前的机会越大；第二呵呵..搜索商品的排序由系统自动生成、百度hi活跃度，影响排序有以下几种可能：第一、与用户搜索的商品越相关、越受买家欢迎、恰当的设置橱窗推荐商品也是提高您商品的搜索排名的有效手段；第三，偶问了客服
采纳率：41%
搜索相关度+信用+活跃度+价格+描述详尽程度+图片的清晰程度综合考虑 我也是才知道啊学习了 强烈建议 把 信用度挪动后面去 要不又跟淘宝一样大家一个字：刷！
都说了这么多。我最后补充一句。相信也是最有用的一句。你的HI必须在线。你的产品才有可能排在前面。
搜索相关度+信用+活跃度+价格+描述详尽程度+图片的清晰程度综合考虑
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排列数指的是从n个不同元素中任取r（r≦n）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序）称此为一个排列，此种排列的总数即为排列数，即叫做从n个不同元素中取出r个元素的排列数。
排列数分类
排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号
A(n,m)表示或
【P(n,m)】表示。
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(当n=m时，上述式子为0!=1).
组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的.用符号
C(n,m) 表示。(C即Combination).
C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；C(n,m)=C(n,n-m);
3．其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的为C(m+k-1,m).
两个基本计数原理及应用
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]思维方法选讲
1．首先明确任务的意义
例1. 从1、2、3、4……、20这二十个数中任取三个不同的数组成，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为18+16+…+2=180 。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入
（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，
∴ 本题答案为：56。
2．注意与的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有一种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有C(6,1)=6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有C(10,1)=10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有C(8,1)=8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6.2）*C（4.2）*C（2.2）=90种。
例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
分析：采用首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有C(7,4)=35种；
第二类：这两人有一个去当钳工，有C(6,4)*C(5,4)=75种；
第三类：这两人都不去当钳工，有C(5,4)*C(6,4)=75种。
因而共有185种。
例7．现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有4*4*2=32种方法；
抽出的三数含0不含9，有 6*4=24种方法；
抽出的三数含9不含0，有 6*6*2=72种方法；
抽出的三数不含9也不含0，有4×6=24种方法。
例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有P（9.8）种停车方法。
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有p(5,5)种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有4X4XP(4,4)种站法，
共p(5,5)+4X4XP(4,4)=504种站法。
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有P(4,4)种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3XP(4,4)种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3XP(4,4)种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有P(3,3)XP(4,4)种方法。
共P(4,4)+3XP(4,4)+3XP(4,4)+P(3,3)XP(4,4)=312种。
例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C（4.1）种可能；
第二步：前四次有一件正品有C（6.1）种可能。
第三步：前四次有P（4.4）种可能。
C（4.1）*C（6.1）*P（4.4）
捆绑与插空
例11. 8人排成一队
(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻
(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
（1）甲乙必须相邻 ，就是把甲乙捆绑（甲乙可交换） 和7人排列 P（7.7）*2
（2）甲乙不相邻 P（8.8）-P（7.7）*2
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻？？
先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P（6.6）*2*2
甲乙必须相邻且与丙不相邻 P（7.7）*2-P（6.6）*2*2
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 P（6.6）*2*2
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
P（8.8）-P（7.7）*2*2+P（6.6）*2*2
例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P（5.2）。
例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共C（6.3）=20种方法。
4．.(1)排除法
例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意的-共线三点的方法数，
例15．8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共-12=70-12=58个。
例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为的和，可组成多少个不同数值的对数?
分析：由于底数不能为1。
（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53个。
(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题
例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。
（二）先考虑六人；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， ∴ 共120种。
例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
例19. 三个相同的红球和两个不同的排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。
挡板的使用
例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。
6．注意的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个数字，可组成多少个无重复数字的五位数?
分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。
（一）两个选出的含0，则有种。
（二）两个选出的偶数字不含0，则有种。
例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种。
（二）选择10层中的四层下楼有种。
∴ 共有种。
例23. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个不同的四位?
(3)可组成多少个能被3整除的四位数?
(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一，问第85项是什么?
分析：（1）有5*5*4*3=300个。
（2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。
∴ 共+种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96种。
（4）首位为1的有=60个。
前两位为20的有=12个。
前两位为21的有=12个。
因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。
7．分组问题
例24. 6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析：（1）有中。
（2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。
（3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。
（4）有种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。
（5）有种。
例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：平均分成3人一组，有种方法。
第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）（二），有种。
例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种.
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，
由（一）（二）可知，共=240种。
排列数黄金排列数
n为有几个数(如n=2有1,2两数;n=3有1,2,3三数)
s为n个数进行排列的种数(n个数都不在它所对应的位置上如n=3. 1,2,3三数,
1不能在第一位，2不能在第二位,3不能在第三位，俗称:混排)
n （n-1）[s(n-1)+s(n-2)]
熟练掌握黄金排列数对各种排列问题有更简单的解法。
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