数字信号处理第三版西安科大出版-海文库
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数字信号处理第三版西安科大出版
数字信号处理第1章 时域离散信号和时域离散系统1.1 1.2 1.3 1.4 学习要点与重要公式 解线性卷积的方法 例题 习题与上机题解答数字信号处理1.1学习要点与重要公式本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同， 尤其是处理 方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数 字系统则通过运算方法实现。 如果读者对本章关于时域离散 信号与系统的若干基本概念不清楚， 则学到数字滤波器时，会感到“数字信号处理”这门课不好掌握， 总觉得学习的不踏实。 因此学好本章是极其重要的。数字信号处理1.1.1学习要点（1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。 （2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递 推解法。 （3） 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的 模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由 采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信 号恢复成模拟信号。数字信号处理1.1.2重要公式（1）y ( n) ?m ? ??? x(m)h(n ? m) ? x(n) * h(n)?这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间 对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。数字信号处理（2）x(n)=x(n)*δ(n) x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。（3）? 1 ? ( j? ) ? X X a ( j? ? jk?s ) n T k ????这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对 信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。sin[π(t ? nT ) / T ] xa (t ) ? xa (nt) π(t ? nT ) / T n ? ????这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。数字信号处理1.2解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用 MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于 画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。数字信号处理解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解，这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公 式可表示为 y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}数字信号处理数字信号处理下面用解析法求解， 写出卷积公式为y(n) ?m ? ??? x(m)h(n ? m) ? ? R (m)R (n ? m)4 4 m ? ????在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3， R4(n－m)的 非零区间为0≤n－m≤3， 或写成n－3≤m≤n， 这样y(n)的非零区间要求m同时满足下面两个不等式：0≤m≤3 m－3≤m≤n 上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分 段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值：数字信号处理max{0, n－3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0， 上限应该是n； 当4≤n≤6时， 下限应该是n－3， 上限应该是3； 当n&0或n&6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况 计算： （1） n&0或n&6时， y(n)=0 （2） 0≤n≤3时，y ( n) ?m ?0?1 ? n ? 1n数字信号处理（3） 4≤n≤6时，y ( n) ?m ? n ?3?1 ? 7 ? nn将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)=?n ? 1 ? y (n) ? ?7 ? n ?0 ?0≤n≤3 4≤n≤6其它数字信号处理在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题 中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n&0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有 重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3， 图 形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a)， 重叠部分的上下限自 然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6， 如图1.2.1(d)所 示， 重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n， 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。数字信号处理图1.2.1数字信号处理1.3 例题［例1.3.1］ 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为 周期的周期序列。 证明： ? y ( n) ? h( n) * x ( n) ? h(m) x(n ? m)m ? ???因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 x(n＋kN－m)=x(n－m) 将上式代入（1）式， 得到y(n) ? h(n) * x(n ? kN ) ?m ? ??? h(m) x(n ? kN ? m) ? y(n ? kT )?上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。数字信号处理［例1.3.2］线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为h(n)=a－nu(－n)计算该系统的单位阶跃响应。 解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则s(n) ? h(n) * x(n) ?m ? ??? h(m)u(n ? m)??m ? ????a ?mu (?m)u (n ? m)数字信号处理按照上式， s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定: m≤0 及 m≤n （1） n≤0时,s(n) ?m ? ???na ?m ?m?? n??am ?m??n?0am ?m ?0??am ?11 ? a ?n 1 ? ? ?1 ?1 1? a 1? a1 ? a ?n 1 a ?n ? ? ? a ?1 1? a 1? a数字信号处理（2） n&0 时,s ( n) ?m ? ???0a ?m ?m ?0??am ?1 1? a最后得到1 s(n) ? [a ?nu(?n) ? u(n ? 1)] 1? a［例1.3.3］ 设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n) 分别为? j? h ( n) ? ? ? u ( n) ?2?nj ? ?1数字信号处理x(n)=cos(πn)u(n)求系统的稳态响应y(n)。 解 x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)y ( n) ?n ? ?????h ( m) x ( n ? m) ?m? j? n?m ? ? u (m)(?1) 2 n ? ?? ? ???mn ? j? ? j? n?m n ? ( ? 1 ) ? ( ? 1 ) ? ? ?? ? 2 2? n ? ?? ? ? m ?0 ???mj? ? 1 ? ?1 ? ? ? 2? ? (?1) n j 1? 2n ?1数字信号处理当n→∞时， 稳态解为4 2? y (n) ? (?1) ? ?5 ? j j? ? ? ?［例1.3.4］ 假设5项滑动平均滤波器的差分方程为n?y(n)=1 ［x(n)+x(n－1)+x(n－2)+x(n－3)+x(n－4)］ 5输入信号用图1.3.1表示， 画出该滤波器输出的前16个序列值的波形， 并说明该滤波器对输入信号起什么作用。数字信号处理图1.3.1数字信号处理解： 已知系统的差分方程和输入信号求系统输出， 可 以用递推法求解， 这里采用MATLAB函数filter 计算。调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程exp134.m如下： %程序exp134.m %调用conv实现5项滑动平均滤波 xn=0.5*ones(1， 15)； xn(4)=1； xn(6)=1； xn(10)=1；hn=ones(1， 5)；yn=conv(hn， xn)；数字信号处理%以下为绘图部分n=0： length(yn)－1；subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， ′.′) xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序运行结果如图1.3.2所示。 由图形可以看出， 5项滑 动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用， 将信号的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。数字信号处理图1.3.2数字信号处理［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n) －u(n－3)， 试求信号x(n)， 它满足x(n)=x1(n)*x2(n), 并画出 x(n)的波形。 解： 这是一个简单的计算线性卷积的题目。 x(n)=x1(n)*x2(n) =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3)］ =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n) =R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2)=δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4)画出x(n)的波形如图1.3.3所示。数字信号处理图1.3.3数字信号处理［例1.3.6］已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示， 试求y(n)=x(2n)*x(n)， 并绘出y(n)的波形。 （选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题） 解： 这也是一个计算线性卷积的题目， 只不过要先求出 x(2n)。 解该题适合用列表法(图解法)。 x(2n)={1, 1, 1, 0.5}y(n)=x(2n)*x(n)={1, 2, 3, 3, 3, 3, 2.75, 2, 1, 0.25} 绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。数字信号处理图1.3.4数字信号处理1.4习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图数字信号处理解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2． 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 －4≤n≤－1 0≤n≤4 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；数字信号处理（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形；（4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形；（5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)?m ? ?4? (2m ? 5)? (n ? m) ?? 6? (n ? m)m ?0?14数字信号处理（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴 为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图 （四）所示。数字信号处理题2解图（一）数字信号处理题2解图（二）数字信号处理题2解图（三）数字信号处理题2解图（四）数字信号处理3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其 周期。?? ?3 (1) x(n) ? A cos? πn ? ? 8? ?7A是常数(2)x ( n) ?1 j( n ?? ) e 8解： （1） 因为ω= （2） 因为ω=3 7 π, 所以 2π2π数， 因此是周期序列， 周期T=14。1 , 所以 814 , 这是有理 ? ? 3?=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。数字信号处理4． 对题1图给出的x(n)要求：(1) 画出x(－n)的波形；1 (2) 计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 2 1 ［x(n)－x(－n)］， 并画出x (n)波形; (3) 计算xo(n)= o 2(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什 么结论？数字信号处理解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。数字信号处理题4解图（一）数字信号处理题4解图（二）数字信号处理题4解图（三）数字信号处理(4) 很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序 列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可 以用题中(3)的公式计算。 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分 别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x(－n) n0为整常数数字信号处理（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=m ?0? x(m)n（8）y(n)=x(n)sin(ωn) 解： （1） 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n―n0―1)+3(n－n0－2) =y′(n)数字信号处理故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。数字信号处理（2） 令输入为x(n－n0) 输出为y′(n)=2x(n－n0)+3y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。数字信号处理(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 x(n－n1) 输出为 y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延时器是线性系统。数字信号处理(4) y(n)=x(－n)令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(－n+n0)y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系统是线性系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 因此系统是非时变系统。数字信号处理（5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x2(n－n0)y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。数字信号处理（6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x((n－n0)2)y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。数字信号处理（7） y(n)=令输入为输出为m ?0?nx(m) x(n－n0)y′(n)=m ?0 n ? n0 m ?0?=0[DD)]x(m-n0) ?x(m)≠y′(n)ny(n－n0)=故系统是时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］= 故系统是线性系统。m ?0 =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］?n［ax1(m)+bx2(m)］数字信号处理（8） y(n)=x(n) sin(ωn) 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。数字信号处理6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=N ?1 k ?01 N?x(n－k)（2） y(n)=x(n)+x(n+1)n ? n0（3） y(n)=k ? n ? n0? x( k)（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)数字信号处理解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤n ? n0 k ? n ? n0?|x(k)|≤|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n0&0， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。数字信号处理（4）假设n0&0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n) 的未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统 是稳定的。7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=m ? ????x(m)h(n－m)数字信号处理题7图数字信号处理y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}数字信号处理解法（二） 的表达式分别为采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) 1 h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 2 由于x(n)*δ(n)=x(n)x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故数字信号处理y(n)=x(n)*h(n)1 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ 2 1 =2x(n)+x(n－1)+ x(n－2) 2将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)数字信号处理8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别 有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=m ? ????R4(m)R5(n－m)先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0≤m≤3 －4≤m≤n数字信号处理根据非零区间， 将n分成四种情况求解：① n&0时， y(n)=0② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)=m ?0 3? 1=n+1 ?1=8－nnm?n?4④ n&7时， y(n)=0数字信号处理最后结果为0y(n)= n+1n&0或n&70≤n≤38－n 4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］y(n)的波形如题8解图（二）所示数字信号处理题8解图（一）数字信号处理题8解图（二）数字信号处理(3) y(n)=x(n)*h(n)=m ? ????R5(m)0.5n－mu(n－m) R5(m)0.5－mu(n－m)=0.5nm ? ????y（n）对于m 的非零区间为 0≤m≤4, ① n&0时， y(n)=0 ② 0≤n≤4时， m≤n数字信号处理y (n) ? 0.5nm ?0? 0.5n?m1 ? 0.5? n ?1 ? ?1 1 ? 0.5=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n ③ n≥5时4y(n) ? 0.5nm ?0? 0.5?m1 ? 0.5 n n ? 0 . 5 ? 31 ? 0 . 5 1 ? 0.5?1?5最后写成统一表达式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+3130.5nu(n－5)数字信号处理9． 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明 下面等式成立：（1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明： （1） 因为 x(n) ? h(n) ?m ? ??? x(m)h(n ? m)?令m′=n－m,则x ( n) ? h( n) ?m?? ??? x(n ? m?)h(m?) ? h(n) ? x(n)?数字信号处理(2) 利用上面已证明的结果， 得到x(n) ? [h1 (n) ? h2 (n)] ? x(n) ? [h2 (n) ? h1 (n)] ? ?m ? ?? ?? x(m)[h (n ? m) ? h (n ? m)]2 1?m ? ??? x ( m) ??k ? ??h2 (k )h1 (n ? m ? k )数字信号处理交换求和号的次序， 得到x(n) ? [h1 (n) ? h2 (n)] ? ?k ? ?? ? k ? ??? h ( k ) ? x ( m) h ( n ? m ? k )2 m ? ?? 1??? h (k )[ x(n ? k ) ? h (n ? k )]2 1? h2 (n) ? [ x(n) ? h1 (n)]? [ x(n) ? h1 (n)] ? h2 (n)数字信号处理(3) x(n) ? [h1 (n) ? h2 (n)] ? ?m ? ?? ?? x(m)[h (n ? m) ? h (n ? m)]1 2?m ? ??? x(m)h (n ? m) ? ? x(m)h (n ? m)1 m ? ?? 2?? x(n) ? h1 (n) ? x(n) ? h2 (n)10． 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的 输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)={x0, x1, x2, …, xk, …}， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。数字信号处理解：y ( n) ? x ( n) ? h( n) 3 ? ? x m 0 .5 n ? m u ( n ? m ) 8 m ? ???3 n ? x m 0 .5 n ? m 8 m ?0?n≥0n=0时，3 y(n) ? x0 83 1 1? m 3 y ( n) ? xm 0.5 (0.5 x0 ? x1 ) 8 m ?0 8n=1时，?数字信号处理n=2时，3 2 3 y ( n) ? xm 0.52?m ? (0.52 x0 ? 0.5 x1 ? x2 ) 8 m ?0 8??最后得到3 n y (n) ? ? 0.5 m x n ?m 8 m ?01 1 y (n) ? y (n ? 1) ? x(n) ? x(n ? 1) 2 211． 设系统由下面差分方程描述：设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。数字信号处理解： 令x(n)=δ(n), 则1 1 h(n) ? h(n ? 1) ? ? (n) ? ? (n ? 1) 2 2n=0时，1 1 h(0) ? h(?1) ? ? (0) ? ? (?1) ? 1 2 2n=1时，1 1 1 1 h(1) ? h(0) ? ? (1) ? ? (0) ? ? ? 1 2 2 2 2数字信号处理n=2时，1 1 h(2) ? h(1) ? 2 21 ?1? h(3) ? h(2) ? ? ? 2 ?2?2n=3时，归纳起来， 结果为?1? h(n) ? ? ? ?2?n ?1u(n ? 1) ? ? (n)数字信号处理12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。解： 分析的方法是让系统输入分别为δ(n)、 δ(n－1)、 δ(n)+δ(n－1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理 和非时变性。 （1） 令x(n)=δ(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。y1 (n) ? ay1 (n ? 1) ? ? (n)该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为 y1(n)=anu(n)数字信号处理(2) 令x(n)=δ(n－1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。y 2 (n) ? ay2 (n ? 1) ? ? (n ? 1)n=0时，y2 (0) ? a y2 (?1) ? δ(?1) ? 0n=1时， n=2时，y2 (1) ? a y2 (0) ? δ(0) ? 1y2 (2) ? a y2 (1) ? δ(1) ? a任意 n 时，?y2 (n) ? a n?1数字信号处理最后得到y2 (n) ? a n?1u(n ? 1)(3) 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系统的输出用y3(n)表示。y3 (n) ? ay3 (n ? 1) ? ? (n) ? ? (n ? 1)n=0时，y3 (0) ? a y3 (?1) ? δ(0) ? δ(?1) ? 1n=1时， n=2时，y3 (1) ? a y3 (0) ? δ(1) ? δ(0) ? a ? 1y3 (2) ? a y3 (1) ? δ(2) ? δ(1) ? (1 ? a)a ? a ? a 2数字信号处理n=3时，y3 (3) ? a y3 (2) ? δ(3) ? δ(2) ? (a ? a2 )a ? a2 ? a3?任意 n 时，y3 (n) ? a ? a最后得到nn ?1y3 (n) ? a n?1u(n ? 1) ? a nu(n)数字信号处理由（1）和（2）得到 y1(n)=T［δ(n)］, y2(n)=T［δ(n－1)］y1(n)=y2(n－1)因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情 况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T ［δ(n)+δ(n－1)］。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到 y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n), 0&a&1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。数字信号处理13． 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信 ? a (t ) 的表达式； 号 x ? a (t ) 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， （3） 画出对应 x 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(t)的周期为1 T ? ? 0.05 s f数字信号处理（2）?a (t ) ? xn ? ??? cos(2πfnT ? j )? (t ? nT ) ? ? cos(40πnT ? j )δ(t ? nT )n ? ????（3） x(n)的数字频率ω=0.8π， 故 周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 画出其波形如题13解图所示。2π5 ? ， 因而 ? 2数字信号处理题13解图数字信号处理14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为1 y (n) ? ( x(n) ? x(n ? 1) ? x(n ? 2) ? x(n ? 3) ? x(n ? 4)) 5（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应； （2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得 到该滤波器的单位脉冲响应， 即1 h(n) ? [? (n) ? δ(n ? 1) ? δ(n ? 2) ? δ(n ? 3) ? δ(n ? 4)] 5数字信号处理（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为y ( n) ?k ? ??? x ( k ) h( n ? k )?表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不 动， h(k)反转后变成h(－k)， h(n－k)则随着n的加大向右滑 动， 每滑动一次， 将h(n－k)和x(k)对应相乘， 再相加和平 均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计 算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清 楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。数字信号处理数字信号处理15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为 1 y (n) ? y (n ? 1) ? x(n) ? 2 x(n ? 2) 2x(n) ? ?1, 2, 3, 4, 2, 1 ?用递推法计算系统的零状态响应。解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m % 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2) xn=［1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)］； %x(n)=单位脉冲序列， 长度N=31 B=［1， 0， 2］； A=［1， 0.5］； %差分方程系数数字信号处理yn=filter(B， A， xn)%调用filter解差分方程， 求系统输出信号y(n)n=0： length(yn)－1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， ′.′) ； axis(［1， 15， －2， 8］) title(′系统的零状态响应 ′)； xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序运行结果：数字信号处理yn =[1.0 4.0 1.6 0.1 -0.3 -0.6 -0.1 -0.05.8 0.1 -0.3 -0.4 -0.0]程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。数字信号处理题15*解图数字信号处理16*. 已知两个系统的差分方程分别为（1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n)（2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2) 分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解： （1） 系统差分方程的系数向量为 B1=1， A1=［1， －0.6， 0.08］ （2） 系统差分方程的系数向量为 B2=［2， 0， －1］, A2=［1， －0.7， 0.1］数字信号处理调用MATLAB函数filter计算两个系统的系统的单位脉冲 响应和单位阶跃响应的程序ex116.m如下： %程序ex116.m B1=1； A1=［1，－0.6， 0.08］； %设差分方程（1）系数向量 B2=［2， 0， －1］； A2=［1，－0.7， 0.1］； %设差分方程（2）系数向量 %=================================== %系统1 xn=［1， zeros(1， 30)］； %xn=单位脉冲序列， 长度N=31 xi=filtic(B1， A1， ys)； %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi数字信号处理hn1=filter(B1， A1， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号hn1 n=0： length(hn1)-1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， hn1， ′.′) title(′(a) 系统1的系统单位脉冲响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′) xn=ones(1， 30)； %xn=单位阶跃序列， 长度N=31 sn1=filter(B1， A1， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号sn1 n=0： length(sn1)－1； subplot(3， 2， 2)； stem(n， sn1， ′.′)数字信号处理itle(′(b) 系统1的单位阶跃响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′) %====================================== %系统2 xn=［1， zeros(1， 30)］； %xn=单位脉冲序列， 长度N=31 xi=filtic(B2， A2， ys)； %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi hn2=filter(B2， A2， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号hn2 n=0： length(hn2)－1； subplot(3， 2， 5)； stem(n， hn2， ′.′)数字信号处理title(′(a) 系统2的系统单位脉冲响应′)；xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′) xn=ones(1， 30)； %xn=单位阶跃序列， 长度N=31 sn2=filter(B2， A2， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号sn2 n=0： length(sn2)－1； subplot(3， 2， 6)； stem(n， sn2， ′.′) title(′(b) 系统2的单位阶跃响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′) 程序运行结果如题16*解图所示。数字信号处理题16*解图数字信号处理17*. 已知系统的差分方程为y(n)=－a1y(n－1)－a2y(n－2)+bx(n)其中, a1=－0.8, a2=0.64, b=0.866。（1） 编写求解系统单位脉冲响应h(n)(0≤n≤49)的程序，并画出h(n)(0≤n≤49)；（2） 编写求解系统零状态单位阶跃响应s(n)(0≤n≤100）的程序， 并画出s(n)(0≤n≤100）。数字信号处理解： 调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程 序ex117.m如下： %程序ex117.m %调用filter解差分方程， 求系统单位脉冲响应和单位阶跃响应B=0.866； A=［1， －0.8， 0.64］；%差分方程系数向量 %====================================== %（1）求解系统单位脉冲响应， 并画出h(n) xn=［1， zeros(1， 48)］；%xn=单位脉冲序列， 长度N=31数字信号处理hn=filter(B1， A1， xn)；%调用filter解差分方程， 求系统输出信号hnn=0： length(hn)－1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， hn， ′.′) title(′(a) 系统的单位脉冲响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′)%======================================%（2）求解系统单位阶跃响应， 并画出h(n) xn=ones(1， 100)； %xn=单位阶跃序列， 长度N=100数字信号处理sn=filter(B， A， xn)；%调用filter解差分方程， 求系统单位阶跃响应sn n=0： length(sn)－1； subplot(3， 2， 2)； stem(n， sn， ′.′)； axis(［0， 30， 0， 2］) title(′(b) 系统的单位阶跃响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′)%================================程序运行结果如题17*解图所示。数字信号处理题17*解图数字信号处理18*. 在题18*图中， 有四个分系统T1、 T2、 T3和T4， 四个 分系统分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：?1 ? n T1 : h1 (n) ? ? 2 ? ?0n ? 0,1,2,3,4,5 其它?1 n ? 0,1,2,3,4,5 T2 : h2 (n) ? ? 其它 ?0数字信号处理1 1 1 T3 : y 3 (n) ? x(n) ? x(n ? 1) ? x(n ? 2) 4 2 4T4 : y(n) ? 0.9 y(n ? 1) ? 0.81y(n ? 2) ? v(n) ? v(n ? 1)编写程序计算整个系统的单位脉冲响应h(n), 0≤n≤99。题18*图数字信号处理解： 由题18*图可知， 可以采用以下步骤计算整个系统的 单位脉冲响应h(n)。 设x(n)=δ(n)， 则v(n)=［h1(n)*h2(n)+h3(n)］该式调用conv函数计算。 h(n)=T4［v(n)］ 该式调用filter函数计算。 调用MATLAB函数conv和filter计算该系统的系统响应的程 序ex118.m如下：数字信号处理%程序ex118.m%调用conv和filter求总系统单位脉冲响应序列h1n=［1， 1/2， 1/4， 1/8， 1/16， 1/32］； %对h1n赋值 h2n=ones(1， 6)； h3n=［1/4， 1/2， 1/4， zeros(1， 97)］； %计算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n， h2n)；h12n=［h12n， zeros(1， 89)］； vn=h12n++h3n；数字信号处理%调用filer计算hn等于T4对vn响应B4=［1， 1］； A4=［1， -0.9， 0.81］；hn=filter(B4， A4， vn)； %以下为绘图部分 n=0： length(hn)-1； subplot(2， 1， 1)； stem(n， hn， ′.′) xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′) 程序运行结果如题18*解图所示。数字信号处理题18*解图数字信号处理第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性2.4 例题2.5 习题与上机题解答数字信号处理2.1学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这方便了对信号和系统的分析和处理。 三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。数字信号处理在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更 有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地 使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其 FFT将在下一章学习。数字信号处理2.1.1学习要点（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在 条件。 （2）傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域 卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变 换的共轭对称性。 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶 变换表示式 。 （4）Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序 列特性之间的关系。数字信号处理（5） Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。（6） 系统的传输函数和系统函数的求解。（7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。（8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。（9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。数字信号处理2.1.2（1）重要公式X (e j? ) ?n ? ?????x(n)e ? j?n1 x ( n) ? 2?π－πX (e j? )e j?n d?这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即n ? ??? x ( n) ? ??数字信号处理（2）~ X (k ) ? DFS[ ~ x (n)] ??n ?0N ?1~ x (n)e??j2π kn N??? k ??1 ~ ~ x (n) ? IDFS[ X (k )] ? Nk ? ???~ X (k )ej2π kn N??? n??这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。数字信号处理（3）? 2 π 2π ~ j? ~ X (e ) ? FT[ x (n)] ? X (k )δ(? ? k) N k ??? N?该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列 的周期是N， 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要用带箭头的线段表示。（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 则Y (e j? ) ? X (e j? ) H (e j? )这是时域卷积定理。数字信号处理（5） 若y(n)=x(n)h(n), 则1 Y (e ) ? H (e j? ) ? X (e j? ) 2πj?这是频域卷积定理或者称复卷积定理。 （6）1 xe (n) ? [ x(n) ? x? (?n)] 21 xo (n) ? [ x(n) ? x? (?n)] 2数字信号处理式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7）X ( z) ?n ? ???n x ( n ) z ??1 x ( n) ? X ( z ) z n ?1dz 2 πj c?c ? ( Rx ? , Rx ? )这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变 换定义。数字信号处理（8）1 x ( n) ? 2π n ? ????2? ? X (e2j?) d?21 ? 1 dv x(n) y (n) ? X (v)Y ( ? ) 2π c v v n ? ??????1 1 max[Rx ? , ] ? v ? min[Rx ? , ] Ry ? Ry ?Rx? Ry? ? 1 ? Rx? Ry?数字信号处理前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅 里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推导出第一式。（9） 若x(n)=a|n|, 则1? a2 X ( z) ? (1 ? az)(1 ? az ?1 )a ? z ? a?1x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一 些测试题都是用它演变出来的。数字信号处理2.2 FT和ZT的逆变换（1） FT的逆变换为1 x(n) ? 2π?π－πX (e j? )e j?n d?用留数定理求其逆变换， 或将z=ejω代入X(ejω)中， 得 到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛 域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取单位圆。数字信号处理例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为1 X (e ) ? 1 ? ae ? j?j?a ?11 得到 X ( z ) ? 1 ? az ?1求其反变换x(n)。将z=ejω代入X(ejω)中，因极点z=a， 取收敛域为|z|&|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。 （2） ZT的逆变换为1 x ( n) ? X ( z ) z n ?1dz 2 πj c?c ? ( Rx ? , Rx ? )数字信号处理求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某 圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未 考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键 是会求极点留数。数字信号处理2.3 分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。数字信号处理根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。 滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的 零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参 见下节例2.4.1。数字信号处理2.4［例2.4.1］例题已知IIR数字滤波器的系统函数1 H ( z) ? 1 ? 0.9 z ?1试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解： 将系统函数写成下式:1 z H ( z) ? ＝ ?1 z ? 0.9 1 ? 0.9 z数字信号处理系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点，不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波 器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列，X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。 已知? 1 ? 2 ? ? 1 xr (n) ? ?? ? 4 ? 0 ? ? 求X（ejω）=FT［x(n)］。n?0 n ? ?2 其它数字信号处理解： Xe(ejω)=FT［xr(n)］X e (e j? ) ? FT[ xr (n)] 1 1 ? j2? 1 j2? 1 ? ? e ? e ? (1 ? cos 2? ) 2 4 4 21 X e (e ) ? [ X (e j? ) ? X (e ? j? )] 2j?因为 所以X(ejω)=0π≤ω≤2πX(e-jω)=X(ej(2π-ω))=00≤ω≤π数字信号处理当0≤ω≤π时，j?X e (e j? ) ?1 j? X (e， )故 21 1 j? X e (e ) ? X (e ) ? (1 ? cos 2?) 2 2X (e j? ) ? 1 ? cos 2?当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0， 故?1 ? cos 2? X (e ) ? ? 0 ?j?0≤ω≤π π≤ω≤2π数字信号处理因此Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例2.4.3］ 已知 0≤n≤N N+1≤n≤2N n&0, 2N&n? n ? x ( n ) ? ?2 N ? n ? 0 ?求x(n)的Z变换。数字信号处理解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩形序列的卷积。 设y(n)=RN(n)*RN(n), 则?0 ?n ? 10≤n≤N－1 ? y ( n) ? R N ( n) ? R N ( n) ? ? N≤n≤2N－1 2 N ? ( n ? 1 ) ? 2N≤n ? 0 ?将y(n)和x(n)进行比较， 得到y(n－1)=x(n)。 因此 Y（z）z－1=X(z)n&0Y(z)=ZT［RN(n)］? ZT［RN(n)］数字信号处理ZT[ RN (n)] ??n ?0NN ?1z ?n1 ? z ?N z N ?1 ? ? N ?1 , 0? z ?1 1? z z ( z ? 1)故X ( z) ? z?1z ?1 z ?1 1 ? z ?1? ? ? N ?1 ? 2 N ?1 ? N ?1 ? ? z ? 1 z ( z ? 1) z ( z ? 1) z ? ?N N2［例2.4.4］时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为1 H ( z) ? , ( z ? a )( z ? b)a和b为常数数字信号处理（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。（2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛 域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足 |a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆 以的整个z平面。 （2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为0≤|a|&1, 0≤|b|&1数字信号处理［例2.4.5］ x(t ) ? cos(2πf1 t ) ? cos(2πf 2 t ) , （1） 写出?的表达式 x (t ) ;f1=10 Hz，f2=25 Hz， 用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到 x ? (t ) 。? (t ) 进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达 （2） 对 x式， 并画出其幅度谱； （3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？解： ? x(t ) ?n ? ???[cos(2πf nT ) ? cos(2πf nT )]δ(t ? nT )1 2?数字信号处理（2） 按照采样定理, x ? (t ) 的频谱是x(t)频谱的周期延 拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为X ( j? ) ? ? [? (? ? 2πf1 ) ? ? (? ? 2πf1 )] ? ? [? (? ? 2πf 2 ) ? ? (? ? 2πf 2 ) 〕? 1 ? ( j?) ? FT[ x X ( j? ? jn? s ) ?(t )] ? X T n ? ???π ? [δ(? ? 2πf1 ? 2πFs n) ? δ(? ? 2πf1 ? 2πFs n) T n ? ????? δ(? ? 2πf 2 ? 2πFs n) ? ? (? ? 2πf 2 ? 2πFs n) 〕画出幅度谱如图2.4.1所示。数字信号处理图2.4.1数字信号处理（3） 观察图2.4.1， 要把cos(2πf1t)滤出来， 理想低通滤波器的截止频率fc应选在10 Hz和20 Hz之间，可选fc＝15 Hz。如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波，模拟理想低通滤波器的截止频率选在10 Hz和25 Hz之间， 可 以把10 Hz的信号滤出来， 但采样信号由于把模拟频谱按照采 样频率周期性地延拓， 使频谱发生变化，因此对理想低通滤 波器的截止频率要求不同。数字信号处理［例2.4.6］ 对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样，? (t ) 通过理想低通 采样间隔T=0.25 s， 得到 x ? (t ) ， 再让 x滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示:? ?0.25 ? ≤ 4π G( j? ) ? ? ? ? 4π ? ? 0? (t )的表达式; (1) 写出 x(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。数字信号处理解：(1)? (t ) ? xn ? ????[cos(2π nT ) ? cos(5πnT )]? (t ? nT )??n ? ???[cos(0.5π n) ? cos(1.25 π n)] δ(t ? nT )数字信号处理（2）为了求理想低通滤波器的输出， 要分析 x ? (t )的频谱。? (t ) x中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置， 并且以2π为周期进行周期性延拓， 画出采 样信号? (t ) 的频谱示意图如图2.4.2（a）所示， x图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性。 显然， 理想低通滤波器的输 出信号有两个， 一个的数字频率为0.5π， 另一个的数字频率为0.75π， 相应的模拟频率为2π和3π， 这样理想低通滤波器的输出为 y(t)=0.25［cos(2πt)+cos(3πt)］数字信号处理图2.4.2数字信号处理2.5习题与上机题解答1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换：(1) x(n－n0) (3) x(－n) (5) x(n)y(n) (7) x(2n) (9) (2) x*(n) (4) x(n)*y(n) (6) nx(n) (8) x2(n)? x(n / 2) n ? 偶数 x9 (n) ? ? n ? 奇数 ?0数字信号处理解：（1）FT[ x(n ? n0 )] ?n ? ????x(n ? n0 )e ? j?n令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则FT[ x(n ? n0 )] ?（2）FT[ x (n)] ?? ?n ? ?????x(n?)e ? j? ( n ? n0 ) ? e ? j?n0 X (e j? )?n ? ??? x ( n )e? j?n? ? j ?n ?? x ( n ) e ? ? X ? ( e ? j? ) ? ? ?n ? ?? ????数字信号处理（3）FT[ x(?n)] ?n ? ?????x(?n)e ? j?n令n′=－n， 则FT[ x(?n)] ?n?? ???x(n?)e j?n? ? X (e ? j? )（4）FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)?下面证明上式成立：x(n) ? y(n) ?m ? ??? x(m) y(n ? m)数字信号处理FT[ x(n) ? y(n)] ?n ? ?? m ? ????[???x(m) y (n ? m)]e ? j?n令k=n－m, 则FT[ x(n) ? y (n)] ? ?k ? ?? m ? ????[?x(m) y (k )]e ? j?k e ? j?nk ? ????y (k )e ? j?km ? ????x(m)e ? j?n? x(e j? ) y (e j? )数字信号处理（5）FT[ x(n) y (n)] ?n ? ?????x(n) y (n)e ? j?n?1 ? x ( n) ? ? 2π n ? ????? Y (e j? ? )e j? ?n d? ??e ? j?n ?? ??1 ? 2π 1 ? 2π? ?π?πY (e j?? )n ? ????x(n)e ? j(? ???) n d? ???πY (e j?? ) X (e j(? ???) )d? ?数字信号处理或者1 FT[ x(n) y(n)] ? 2π（6） 因为X (e j? ) ??π?πX (e j?? )Y (e j(? ???) )d??x(n)e ? j?nn ? ????对该式两边ω求导， 得到dX (e ) ? ?j nx(n)e ? j?n ? ? jFT[nx(n)] d? n ? ??j???数字信号处理因此（7）d X ( e j? ) FT[ nx( n)] ? j d?FT[ x(2n)] ?n ? ????x(2n) e ? j?n令n′=2n， 则数字信号处理FT[ x(2n)] ?n ? ?? ， n取偶数??x(n?)e ? j?n? / 2? j ?n 1 n ? [ x(n) ? (?1) x(n)]e 2 2 n ? ????1? ? j ?n ? j ?n ? 1? ? j?n 2 ? ? x ( n )e ? e x ( n )e 2 ? 2? ? n ? ?? ?n ? ?? ??1?1?1 j ? 1 2 [ X (e ) ?21 j (? ? π ) X (e 2 )]数字信号处理或者FT[ x(2n)] ?（8）1 j ? 1 2 [ X (e ) ?21 j ? X (?e 2 )]FT[ x 2 (n)] ?n ? ????x 2 (n)e ? j?n利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则1 1 j? j? FT[ x (n)] ? X (e ) ? X (e ) ? 2π 2π2?π?πX (e j?? )X (e j? ??? )d??数字信号处理（9）FT[ x(n / 2)] ?n ? ????x(n / 2)e ? j?n令n′=n/2， 则FT[ x(n / 2)]2． 已知j?n ? ????x(n?)e ? j2?n? ? X (e j2? )| ? |? ?0?1, X (e ) ? ? ?0,?0 ?| ? |≤ π求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。数字信号处理解：1 x(n) ? 2π??e?0?0j?nsin?0 n d? ? πn3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数） H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为y(n) ? A | H (e j?0 ) | cos??0 n ? j ? ? (?0 )?数字信号处理解： 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为?y ( n) ? h( n ) ? x ( n) ? ?ej?0 n ?m ? ??? h ( m) e? j?0 mj?0 ( n ? m )m ? ??? h ( m)e? H (ej? 0)ej?0 n上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：数字信号处理x(n) ? A cos(? 0 n ? j )1 ? A[e j?0n e jj ? e ? j?0n e ? jj ] 2y ( n) ? 1 A[e jj e j?0 n H (e j?0 ) ? e ? jj e ? j?0 n H (e ? j?0 )] 2 1 ? A e j j e j ? 0 n H ( e j ? 0 ) e j ? (? 0 ) ? e ? j j e ? j ? 0 n H ( e ? j ? 0 ) e j ? ( ? ? 0 ) 2??数字信号处理上式中|H(ejω)|是ω的偶函数， 相位函数是ω的奇函数， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故1 y (n) ? A H (e j?0 ) e jj e j?0 n e j? (?0 ) ? e ? jj e ? j?0 n e ? j? (?0 ) 2 ? A H (e j?0 ) cos(?0 n ? j ? ? (?0 ))4．设???1 x ( n) ? ? ?0n ? 0.1 其它数字信号处理将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列 ~ x ( n) ， ~~ ~ x ( n ) x ( n ) 画出x(n)和 的波形， 求出 的离散傅里叶级数 X (k )和傅里叶变换。~ 解： 画出x(n)和 x (n) 的波形如题4解图所示。~ X (k ) ? DFS[ ~ x (n)] ? ??j k j k e 4 (e 4?n ?03~ x (n)e??j2? kn 4? π 4?n ?01? j kn e 2??j k ?1? e 2????j k ?e 4 )? 2 cos(π ?j k k) ? e 4~ X ( k )以4为周期数字信号处理题4解图数字信号处理或者1 1 ? j πk j πk e 2 (e 2 1 ? j πk ?e 2 )~ X (k ) ??n ?01π ? j kn e 2?1 ? e ? jπkπ ?j k 1? e 2?1 1 1 ? j πk j πk ? j πk e 4 (e 4 ? e 4 )?1 ? j πk e 41 sin πk 2 1 sin πk 4~ X (k )以4为周期数字信号处理? 2 π 2π ~ j? ~ X (e ) ? FT[ x (n)] ? X (k ) δ(? ? k) 4 k ? ?? 4?π ? ~ π ? X (k )δ(? ? k ) 2 k ? ?? 2??π ?π cos( k )e 4 k ? ????jπk 4π ? δ(? ? k ) 2数字信号处理5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出 X(ejω)， 完成下列运算或工作：题5图数字信号处理j0 (1) X (e )(2)?π?πX (e j? )d?(3) X (e jπ ) (4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列 xa(n)； (5) (6)??π?π| X (e j? ) |2 d?dX ( e j ? ) 2 | | d? ?π d?π数字信号处理解 (2)(1)X (e j0 ) ?n ? ?3? x ( n) ? 6?77?π?πX (e j? )d? ? x(0) ? 2π ? 4π(3)X (e jπ ) ?n ? ????x(n)e ? j?n ?(?1) n x(n) ? 2n ? ?3（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即Re [ X (e j? )] ?n ? ????xe (n)e ? j?n1 xe (n) ? ( x(n) ? x(?n)) 2数字信号处理按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图数字信号处理(5)?π?πX (e j? ) d? ? 2π2n ? ?3?7x(n) ? 28π2(6) 因为dX (e j? ) ? FT[ ? jnx( n)] d?因此7 dX (e ) 2 d? ? 2π nx(n) ? 316π d? n ? ?3 j? 2?π?π?数字信号处理6． 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=δ(n－3)1 1 (2) x2 (n) ? δ(n ? 1) ? δ(n) ? δ(n ? 1) 2 2(3) x3(n)=anu(n) 0&a&1(4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4)解(1) X 1 (e j? ) ?n ? ????δ(n ? 3) e ? j?n ? e ? j3?数字信号处理(2)X 2 (e ) ?j?n ? ??? x (n)e2?? j?n1 j? 1 ? j? ? e ?1? e 2 21 j? ? 1 ? (e ? e ? j? ) ? 1 ? cos? 2(3)X 3 (e ) ? ?j?n ? ?? ?? a u ( n)en n ? j?n?? j?n?a en ?01 ? ? j? 1 ? ae数字信号处理(4)X 4 (e j? ) ???n ?03n ? ????[u(n ? 3) ? u (n ? 4)]e ? j?n ?e ? j?n ?n ? ?1??3e ? j? n ??n ?03n ? ?3?3e ? j?ne ? j?n ??n ?13e j? n1 ? e ? j 4? 1 ? e j3? j? ? ? e ? j? j? 1? e 1? e1 ? e ? j4? 1 ? e j3? e j3? ? e ? j4? 1 ? e ? j7? j3? ? ? ? ? e ? j? ? j? ? j? ? j? 1? e 1? e 1? e 1? e 7 7 7 7 ?j ? j ? ?j ? sin( ? ) e 2 (e 2 ? e 2 ) j3? 2 ? e ? 1 1 1 1 ?j ? j ? ?j ? sin( ? ) e 2 (e 2 ? e 2 ) 2数字信号处理或者:x3 (n) ? u(n ? 3) ? u(n ? 4) ? R7 (n ? 3)X 4 (e j? ) ?FT[ R7 (n)] ?n ? ???6 n ?0?R7 (n ? 3)e ? j?n1 ? e ? j7? ? 1 ? e ? j??e ? j?n? j?nX 4 (e ) ?j?n ? ??? R (n ? 3)e7?1 ? e ? j7? j3? ? e ? j? 1? e? e?j?7 7 ?j ? j ? e 2 (e 27 ?j ? ?e 2 )?e?j?2(ej?2?e?j?2ej3?7 j ? 2 (e 2)e?j?2(ej?27 sin( ? ) 2 ? ? 1 ?j sin( ?) ?e 2 ) 27 ?j ? ?e 2 )数字信号处理7． 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解：令X (e j? ) ?n ? ????x(n)e ? j?n(1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到X ? (e j? ) ?n ? ????x(n) e j?n ?n ? ????x(n) e ? j( ?? ) n ? X (e ? j? )数字信号处理因此X(ejω)=X*（e－jω） 上式说明x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性质。X (e j? ) ?n ? ????x(n)e ? j?n ?n ? ??? x(n)[cos? ? jsin?]?由于x(n)是偶函数， x(n) sinω是奇函数， 那么n ? ??? x(n) sin ? ? 0n ? ???因此X ( e j? ) ?? x(n) cos??数字信号处理该式说明X(ejω)是实函数， 且是ω的偶函数。总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ejω)是 实函数， 是ω的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性 质， 即 X(ejω)=X*(e－jω)X (e j? ) ?n ? ????x(n)e ? j?n ?n ? ??? x(n)[cos? ? jsin?]?数字信号处理由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cosω是奇函数， 那么n ? ??? x(n) cos? ? 0n ? ???因此X (e j? ) ? j? x(n) sin??这说明X(ejω)是纯虚数， 且是ω的奇函数。 8． 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭 反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。数字信号处理解：1 xe (n) ? ( R4 (n) ? R4 (?n)) 21 xo (n) ? ( R4 (n) ? R4 (?n)) 2xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。题8解图数字信号处理9．已知x(n)=anu(n), 0&a&1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解：X (e j? ) ?n ? ????x(n)e ? j?n因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的实部， xo(n)的傅里叶 变换对应X(ejω)的虚部乘以j， 因此数字信号处理1 1 1 ? ae j? FT[ xe (n)] ? Re [ X (e )] ? Re [ ] ? Re [ ? ] ? j? ? j? j? 1? ae 1 ? ae 1 ? ae 1 ? a cos ? ? 1 ? a 2 ? 2a cos ?j?j? 1 1 1 ? a e FT[ xo (n)] ? j Im[ X (e j? ] ? j Im[ ] ? j Im[ ? ] ? j? ? j? j? 1 ? ae 1 ? ae 1 ? ae ? a sin? ? 1 ? a 2 ? 2a cos ?数字信号处理10． 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ejω)=1+cosω 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：1 j? 1 ? j? H R (e ) ? 1 ? cos? ? 1 ? e ? e 2 2j?? FT[he (n)] ?n ? ??? h (n)ee?? j?n数字信号处理?1 ?2 ? he (n) ? ? 1 ?1 ? ?2n ? ?1 n?0 n ?1n ? 0 ? ?1 n ? 0 ? 0 ? ? ? h(n) ? ? he (n) n ? 0 ? ? ?1 n ? 1 ?2h (n) n ? 0 ? ?0 其它 n ? e ? ?H (e j? ) ?n ? ????h(n)e ? j?n ? 1 ? e ? j? ? 2 e ? j? / 2 cos(? / 2)数字信号处理11． 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换 的虚部为 HI(ejω)=－sinω 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。解：1 j ? ? j? H I (e ) ? ? sin? ? ? [e ? e ] 2jj?? 1 FT[ho (n)] ? j H I (e j? ) ? ? [e j? ? e ? j? ] ? ho (n)e ? j?n 2 n ? ???数字信号处理? n ? 0 ? ?1 n ? 0 ? 0 ? ? ? h(n) ? ? h(n) n ? 0 ? ? ?1 n ? 1 ?2h (n) n ? 0 ? ?0 其它 n ? o ? ? ?? 1 ?? 2 ? ho (n) ? ? 0 ? 1 ? 2 ?n ? ?1 n?0 n ?1H (e j? ) ?n ? ????h(n)e ? j?n ? 1 ? e ? j? ? 2e ? j? / 2 cos(? / 2)数字信号处理12． 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0&a&1， 输入序列为 x(n)=δ(n)+2δ(n－2) 完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解 (1)y(n) ? h(n) ? x(n) ? a nu(n) ? [δδ n) ? δ(n ? 2)] ? a nu(n) ? 2a n?2u(n ? 2)数字信号处理(2)X (e j? ) ??n ? ????[δ(n) ? 2δ(n ? 2)]e ? j?n ? 1 ? 2e ? j2??H (e ) ?j?n ? ??? a u(n)en? j?n??a en ?0n ? j?n1 ? 1 ? ae ? j?? j 2? 1 ? 2 e Y ( e j? ) ? H ( e j? ) ? X ( e j? ) ? 1 ? a e ? j?数字信号处理13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出? a (t和时域离散信 x )? a (t ) 的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)； x ? a (t ) 和x(n)的表达式； （2） 写出 x ? a (t ) 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶 （3） 分别求出 x变换。 解： X a ( j? ) ?? ????? ?xa (t )e [ej? 0t? j ?tdt ?????2 cos(? 0t )e ? j?t dt???e? j? 0t]e ? j?t dt数字信号处理上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数δ函 数， 它的傅里叶变换可以表示成：X a ( j? ) ? 2π[δ(? ? ?0 ) ? δ(? ? ?0 )]（2）? a (t ) ? xn ? ??? x (t )δ(t ? nT ) ? ? 2 cos(? nT )δ(t ? nT )a 0 n ? ????x(n) ? 2 cos(?0 nT)? 0 ? 2 πf 0 ? 200π rad-? ? n ? ? 1 T? ? 2.5 ms fs数字信号处理? 1 ? ( j? ) ? （3） X X a ( j? ? jk? s ) a T k ? ???2π ? ? [δ(? ? ? 0 ? k? s ) ? δ(? ? ? 0 ? k? s )] T k ? ???式中X ( e j? ) ? ??s ? 2πf s ? 800π rad/sn ? ??? ???x(n)e ? j?n ?n ? ????2 cos(? 0 nT )e ? j?n ?n ? ????2 cos(?0 n)e ? j?n[e j?0 n ? e ? j?0 n ]e ? j?n?n ? ??? 2πk ? ???[? (? ? ?0? 2kπ) ?δ(? ? ?0 ? 2kπ)]数字信号处理式中 ω0=Ω0T=0.5π rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14． 求出以下序列的Z变换及收敛域: (1) 2－nu(n) (3) 2－nu(－n) (2) －2－nu(－n－1) (4) δ(n)(5) δ(n－1)(6) 2－n［u(n)－u(n－10)］数字信号处理解 (1)ZT[2 ?n u (n)] ?n ? ????2 ? n u ( n) z ? n ???n ?0?2 ?n z ?n ?1 1 ? 2 ?1 z ?1z ?1 2(2)ZT[?2 ? n u (?n ? 1)] ? ?n ? ?????? 2 ? n u (?n ? 1)z ? n ? 2?n z ?n ?n ? ?1??n ?1?? 2n z n 1 z? 2? 2z 1 ? ? 1 ? 2 z 1 ? 2 ?1 z ?1数字信号处理(3) ZT[2 ? n u (?n)] ?n ? ?????2 ? n u ( ? n) z ? n ? 1 1 ? 2z?n ?0??2 ?n z ?n 1 2??n ?02n z n ?z ?(4) ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞(5) ZT［δ(n－1)］=z－10&|z|≤∞(6)ZT[2 ? n (u (n) ? u (n ? 10))] ??n ?092 ?n z ?n 0? z ≤ ?1 ? 2 ?10 z ?10 ? 1 ? 2 ?1 z ?1数字信号处理15． 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n) 0.25 π rad N=4 (2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j=(3)?n ? x ( n ) ? ?2 N ? n ?0 ?式中， N=4。0≤ n≤ N N ? 1≤ n ≤ 2 N 其它数字信号处理解 (1) X ( z ) ?n ? ????R4 (n) z ? n ??n ?03z ?n 0? z ?1 ? z ?4 z4 ?1 ? ? 3 ?1 1? z z ( z ? 1)由z4－1=0， 得零点为2π k 4由z3(z－1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1 零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点 相互对消。zk ? ejk ? 0, 1, 2, 3数字信号处理题15解图数字信号处理(2)x(n) ? Ar n cos(?0 n ? j )u(n) 1 n j?0n jj ? Ar [e e ? e ? j?0n e ? jj ]u(n) 2? ? 1 X ( z ) ? A[ r n e j?0 n e jj z ? n ? r n e ? j? 0 n e ? j j z ? n ] 2 n ?0 n ?0??1 e jj e ? jj ? A[ ? ] j?0 ?1 ? j?0 ?1 2 1 ? re z 1 ? re z?A (1 ? re j?0 z ?1 ) ? (1 ? re ? j?0 z ?1 ) cosj ? r cos(?0 ? j ) z ?1z ?r数字信号处理零点为cos(?0 ? j ) z1 ? r cosj极点为z2 ? rej?0z3 ? re? j?0极零点分布图如题15解图(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n), 则 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=［Y(z)］2, X(z)=z－1［Y(z)］2数字信号处理因为1 ? z ?4 z 4 ?1 Y ( z) ? ? 3 ?1 1? z z ( z ? 1)z ?1 ? 1 ? z ?1 ? X ( z) ? z ? 3 ? ? 7? ? ( z ? 1 ) z ? ? z ( z ? 1) ? ?4 4 ?1 ? 2 2因此极点为 零点为z1=0, z2=1zk ? ej2π k 4k ? 0, 1, 2, 3在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0&|z|≤∞， 极零 点分布图如题15解图(c)所示。数字信号处理16． 已知3 2 X ( z) ? ? 1 ?1 1 ? 2 z ?1 1? z 2求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以 极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|&0.5，0.5&|z|&2，2&|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域|z|&0.5：数字信号处理x ( n) ?1 X ( z ) z n ?1dz 2 πj c?令?1 5 ? 7 z n ?1 F ( z ) ? X ( z ) z n ?1 ? z (1 ? 0.5 z ?1 )(1 ? 2 z ?1 ) 5z ? 7 ? zn ( z ? 0.5)( z ? 2)n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为 求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么数字信号处理x(n) ? ? Re s[ F ( z ),0.5] ? Re s[F ( z ),2] (5 z ? 7) z n ?? ( z ? 0.5) ( z ? 0.5)( z ? 2) (5 z ? 7) z n ? ( z ? 2) ( z ? 0.5)( z ? 2)z ? 0.5z ?21 n ? ?[3 ? ( ) ? 2 ? 2 n ]u (?n ? 1) 2 (2) 收敛域0.5&|z|&2:(5 z ? 7) z n F ( z) ? ( z ? 0.5)(z ? 2)数字信号处理n≥0时， c内有极点0.5，1 n x(n) ? Re s[ F ( z), 0.5] ? 3 ? ( ) 2n&0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2， x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 ? 2nu(－n－1)最后得到1 n x(n) ? 3 ? ( ) u (n) ? 2 ? 2 n u (?n ? 1) 2数字信号处理（3）收敛域|z|&2:(5 z ? 7) z n F ( z) ? ( z ? 0.5)(z ? 2)n≥0时， c内有极点 0.5、 2，?1? x(n) ? Re s[ F ( z ),0.5] ? Re s[ F ( z ), 2] ? 3 ? ? ? ? 2 ? 2 n ? 2?n&0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此 x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一 个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。n数字信号处理最后得到? ? 1 ?n ? n x(n) ? ?3 ? ? ? ? 2 ? 2 ?u (n) ? ? ? ?2? ?17． 已知x(n)=anu(n), 0&a&1。 分别求： (1) x(n)的Z变换； (2) nx(n)的Z变换； (3) a－nu(－n)的Z变换。 解： (1)?X ( z ) ? ZT[a u (n)] ?nn ? ??? a u ( n) zn?n1 ? 1 ? az ?1z ?a数字信号处理(2) (3)d ? az ?2 ZT[ nx(n)] ? ? z X ( z ) ? dz (1 ? az ?1 ) 2ZT[a ?nu (?n)] ?z ?az ? a ?1?n ?0??a ?n z ?n ??n ?0?an z n ?1 1 ? az18． 已知? 3z ?1 X ( z) ? 2 ? 5 z ?1 ? 2 z ?2分别求： （1） 收敛域0.5&|z|&2对应的原序列x(n)； （2） 收敛域|z|&2对应的原序列x(n)。数字信号处理解：1 x ( n) ? X ( z ) z n ?1dz 2 πj c?F ( z ) ? X ( z ) z n?1n ? 3z ?1 ? 3 ? z n ?1 ? z ? ?1 ?2 2( z ? 0.5)(z ? 2) 2 ? 5z ? 2 z（1） 收敛域0.5&|z|&2: n≥0时，c内有极点0.5，x(n)=Res［F(z), 0.5］=0.5n=2－nn&0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c 外极点留数， c外极点只有2，x(n)=－Res［F(z), 2］=2n数字信号处理最后得到x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n| (2) 收敛域|z|&2: n≥0时， c内有极点0.5、 2， ∞&n&－∞x(n) ? Re s[ F ( z ),0.5] ? Re s[F ( z ),2] ? 3z ? 0.5 ? ( z ? 2) 2( z ? 0.5)( z ? 2)n n z ?2? 0.5 ? 2nn数字信号处理n&0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极 点， 因此 x(n)=0 最后得到 x(n)=(0.5n－2n)u(n) 19． 用部分分式法求以下X(z)的反变换：(1)1 ?1 1? z 3 X ( z) ? , ?1 ?2 2 ? 5z ? 2 z1 | z |? 2数字信号处理1 ? 2 z ?1 (2) X ( z) ? , 1 ?2 1? z 4 1 ?1 解： (1) 1? z 3 X ( z) ? 1 ?2 1? z 41 | z |? 21 z ? 21 z ? z 3 X ( z) ? 1 2 z ? 42数字信号处理1 1 1 5 z? z? X ( z) 3 ? 3 ? ? 6 ? 6 1 1 1 1 1 z 2 z ? ( z ? )( z ? ) z ? z? 4 2 2 2 21 5 6 6 X ( z) ? ? 1 ?1 1 ?1 1? z 1? z 2 2 1 1 n 5? 1? x(n) ? [ ( ) ? ? ? ? ]u (n) 6 2 6? 2?n数字信号处理(2)1 ? 2 z ?1 X ( z) ? 1 ?2 1? z 41 z ? 23 5 ? X ( z) z?2 z?2 2 ? 2 ? ? ? 1 ? 1 ?? 1? ? 1? ? 1? z 2 z ? ? z ? ?? z ? ? ? z ? ? ? z ? ? 4 ? 2 ?? 2? ? 2? ? 2?3 5 ? 2 ? 2 X ( z) ? 1 ?1 1 ?1 1? z 1? z 2 2数字信号处理?3 1 n 5 1 n ? x(n) ? ? ( ) ? (? ) ?u (?n ? 1) 2 2 ? ?2 220． 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：rxx (m) ?n ? ??? x(n) x(n ? m)?试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ejω)分别表示自相 关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ejω)。数字信号处理解： 解法一rxx (m) ?Rxx ( z ) ?n ? ??? x(n) x(n ? m)n ? ???m ? ?? n ? ?????m x ( n ) x ( n ? m ) z ? ????x(n) ? x(n ? m)z ?mm ? ???令m′=n+m, 则Rxx ( z ) ?n ? ????x ( n)m?? ????x(m?) z ? m?? n ?n ? ????x ( n) z nm?? ????x(m?) z ? m?? X ( z ?1 ) X ( z )数字信号处理解法二rxx (m) ?R xx ( z ) ? X ( z ) X ( z ?1 )n ? ??? x(n) x(n ? m) ? x(m) ? x(?m)?Rxx (e j? ) ? Rxx ( z) z ?e j? ? X (e j? ) X (e ? j? )因为x(n)是实序列， X(e－jω)=X*(ejω)， 因此Rxx (e ) ? X (e )j?j?2数字信号处理21． 用Z变换法解下列差分方程：(1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0(3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)n≤－1(2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(－1)=1， y(n)=0 n&－1y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 当n≤－3时。解： (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0?1n≤－11 Y ( z ) ? 0.9Y ( z ) z ? 0.05 1 ? z ?1 0.05 Y ( z) ? (1 ? 0.9 z ?1 )(1 ? z ?1 )数字信号处理F ( z) ? Y ( z) zn≥0时，n ?10.05 0.05 n ?1 n ?1 ? z ? z ?z ? 0.9??z ? 1? 1 ? 0.9 z ?1 1 ? z ?1????0.05 0.05 n ?1 y(n) ? Re s[ F ( z ),0.9] ? Re s[ F ( z ),1] ? (0.9) ? ? 0.1 0.1 ? ?0.5 ? ?0.9?n ?1? 0.5y(n)=0n&0时， 最后得到 y(n)=［－0.5 ? (0.9)n+1+0.5］u(n)数字信号处理(2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n), y(－1)=1, y(n)=0n&－10.05 Y ( z ) ? 0.9 z [Y ( z ) ? ? y(k ) z ] ? ?1 1 ? z k ? ???1 ?k?10.05 Y ( z ) ? 0.9 z [Y ( z ) ? y (?1) z ] ? 1 ? z ?1 0.05 ?1 Y ( z ) ? 0.9 z Y ( z ) ? 0.9 ? 1 ? z ?1?1 10.95 ? 0.9 z ?1 Y ( z) ? (1 ? 0.9 z ?1 )(1 ? z ?1 )数字信号处理F ( z) ? Y ( z) z n?1n≥0时，0.95 ? 0.9 z ?1 0.95z ? 0.9 n n ?1 ? z ? z ?1 ?1 ( z ? 0.9)(z ? 1) (1 ? 0.9 z )(1 ? z )y(n) ? Re s[ F ( z ), 0.9] ? Re s[ F ( z ), 1] ? (0.45(0.9) n ? 0.5)u (n)n&0时， y(n)=0 最后得到 y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)数字信号处理(3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 当n&－2时Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=11.91 ? 0.3z ?1 Y ( z) 1 ? 0.8 z ?1 ? 0.15z ?2?1 1 . 91 ? 0 . 3 z n ?1 F ( z ) ? Y ( z ) z n ?1 ? z 1 ? 0.8 z ?1 ? 0.15z ? 2 1.91z ? 0.3 ? zn ( z ? 0.3)(z ? 0.5)数字信号处理n≥0时，y (n) ? Re s[ F ( z ), 0.3] ? Re s[ F ( z ), 0.5] 0.873 1.275 n ? ? 0.3 ? ? 0.5n ? 0.2 0.2y(n)=－4.365 ? 0.3n+6.375 ? 0.5nn&0时,y(n)=0 最后得到 y(n)=(－4.365 ? 0.3n+6.375 ? 0.5n)u(n)数字信号处理22． 设线性时不变系统的系统函数H(z)为1 ? a ?1 z ?1 H ( z) ? 1 ? az ?1即|H(ejω)|=常数；a为实数（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， （2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画 出其极零点分布及收敛域。 解： (1)1 ? a ?1 z ?1 z ? a ?1 H ( z) ? ? ?1 z?a 1 ? az数字信号处理极点为a,零点为a－1。设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道 |H(ejω)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题 22解图(a)， 得到?1 z ? a H (e j? ) ? z?az ?e j?e j? ? a ?1 AB ? j? ? AC e ?aOA OB 1 ? ? ，且△AOB~△AOC， 故 因为角ω公用， OC OA a AB 1 ? ，即 AC a数字信号处理AB 1 H (e ) ? ? AC aj?故H(z)是一个全通网络。或者按照余弦定理证明:AC ? a 2 ? 2a cos? ? 1AB ? a ?2 ? 2a ?1 cos? ? 1?1 2 AB a 1 ? 2 a cos ? ? a 1 j? H (e ) ? ? ? AC a 1 ? 2a cos? ? a 2数字信号处理题22解图数字信号处理（2） 只有选择|a|&1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极 零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23． 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图； （2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其 单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出 其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) 将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1数字信号处理因此z ?1 H ( z) ? 1 ? z ?1 ? z ?2z ?1 z H ( z) ? ? 2 ?1 ?2 1? z ? z z ? z ?1零点为z=0。 令z2－z－1=0， 求出极点：1? 5 z1 ? 21? 5 z2 ? 2极零点分布图如题23解图所示。数字信号处理题23解图数字信号处理(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含∞点在内的收敛域， 即 z ? (1 ? 5 ) / 2。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解 差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另 一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。1 h(n) ? Z T [ H ( z )] ? H ( z ) z n ?1dz 2 πj c?1?式中数字信号处理z z H ( z) ? 2 ? z ? z ? 1 ?z ? z1 ??z ? z 2 ?1? 5 z1 ? ， 2令1? 5 z2 ? 2F ( z) ? H ( z) zn ?1??z ? z1 ??z ? z 2 ?zn数字信号处理n≥0时， h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］zn zn ?z ? z1 ? z ? z1 ? ?z ? z 2 ? z ? z2 ? ?z ? z1 ??z ? z 2 ? ?z ? z1 ??z ? z 2 ?n n? ?? ?1? 5 ? z1 z2 1 ?? 1 ? 5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?z1 ? z 2 ? ?z 2 ? z1 ? 5 ?? 2 ? ? ? ? ?? n n因为h(n)是因果序列, n&0时， h(n)=0， 故n n ? 1 ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ?? ? ?u(n) ?? h(n) ? ? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?数字信号处理(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在 内的收敛域， 即|z2|&|z|&|z1|,F ( z ) ? H ( z ) z n?1zn ? ?z ? z1 ??z ? z 2 ?n≥0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数，1 1? 5 n h(n) ? Re s[ F ( z ), z 2 ] ? ? ( ) 2 5数字信号处理n&0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个 n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即 z1, 那么? 1 ? 1 ? 5 ? ? h(n) ? ? Re s[ F ( z ), z1 ] ? ? ? 5? ? 2 ?n最后得到1 ?1? 5 ? 1 ?1? 5 ? ? ? u ( n) ? ? ? u (?n ? 1) y ( n) ? ? ? ? 2 ? 2 5? 5 ? ? ? ?nn数字信号处理24． 已知线性因果网络用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)；（2） 写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式， 并定性 画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ejω0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－1数字信号处理1 ? 0.9 z ?1 H ( z) ? 1 ? 0.9 z ?11 h( n) ? H ( z ) z n ?1dz 2 πj c?令F ( z) ? H ( z) zn ?1z ? 0.9 n ?1 ? z z ? 0.9n≥1时，c内有极点0.9，z ? 0.9 n?1 h(n) ? Re s[ F ( z),0.9] ? z ( z ? 0.9) z ?0.9 ? 2 ? 0.9n z ? 0.9数字信号处理n=0时， c内有极点0.9 ， 0，h(n) ? Re s[ F ( z ),0.9] ? Re s[ F (Z ),0]z ? 0 .9 Re s[ F ( z ),0.9] ? ( z ? 0.9) ( z ? 0.9) zz ? 0 .9?2z ? 0 .9 Re s[( F ( z ),0] ? z ( z ? 0 .9 ) zz ?0? ?1最后得到 h(n)=2 ? 0.9nu(n－1)+δ(n)数字信号处理（2）?1 1 ? 0 . 9 z H (e? ) ? FT[h(n)] ? 1 ? 0.9 z ?1z ? e j?1 ? 0.9e ? j? ? 1 ? 0.9e ? j?极点为z1=0.9, 零点为z2=－0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3） x(n) ? e j?0n? j? 0 1 ? 0 . 9 e j? 0 ny ( n) ? ej? 0 nH (ej? 0)?e1 ? 0.9e ? j?0数字信号处理题24解图数字信号处理25． 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) 0&a&1, 0&b&1 （1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2） 试用ZT法求网络输出y(n)。解： （1） 用卷积法求y(n)。y(n) ? h(n) ? x(n) ?n≥0时，m ? ??m n?m b u ( m ) a u (n ? m) ??? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 ? a b a ? b y(n) ? a n?mb m ? a n a ?mb m ? a n ? ?1 a ?b 1? a b m ?0 m ?0?n?n数字信号处理n&0时， y(n)=0最后得到a n ?1 ? b n ?1 y ( n) ? u ( n) a?b（2） 用ZT法求y(n)。1 X ( z) ? 1 ? az ?1 ，1 H ( z) ? 1 ? bz ?11 Y ( z) ? X ( z)H ( z) ? (1 ? az ?1 )(1 ? bz ?1 )数字信号处理1 y ( n) ? 2πj令?cY ( z ) z n ?1dzF ( z) ? Y ( z ) z n?1z n?1 z n?1 ? ? ?1 ?1 ?z ? a ??z ? b? 1 ? az 1 ? bz????n≥0时， c内有极点： a、 b, 因此y (n) ? Re s[F ( z ), a] ? Res[ F ( z ), b] a n ?1 b n ?1 a n ?1 ? b n ?1 ? ? ? a?b b?a a?b数字信号处理因为系统是因果系统, 所以n&0时， y(n)=0。 最后得到a n ?1 ? b n ?1 y ( n) ? u ( n) a ?b26． 线性因果系统用下面差分方程描述：y(n)－2ry(n－1) cosθ+r2y(n－2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0&a&1, 0&r&1, θ=常数， 试求系统的响 应y(n)。 解： 将题中给出的差分方程进行Z变换，数字信号处理Y ( z) ? 2rY ( z) z cos? ? r Y ( z) z2?1?21 ? 1 ? az ?11 1 z3 Y ( z) ? ? ? ?1 ?1 2 ?2 ( z ? a)( z ? z1 )( z ? z 2 ) 1 ? a z 1 ? 2r cos? ? z ? r z式中z1 ? rej?， z2 ? re? j?因为是因果系统， 收敛域为|z|&max(r, |a|)， 且n&0时， y(n)=0， 故数字信号处理1 y ( n) ? Y ( z ) z n ?1dz 2 πj c?c包含三个极点， 即a、 z1、 z2。3 z F ( z ) ? Y ( z ) z n ?1 ? z n ?1 ( z ? a)( z ? z1 )( z ? z 2 )z n? 2 ? ( z ? a)( z ? z1 )( z ? z 2 )数字信号处理y (n) ? Re s[ F ( z ), a] ? Re s[ F ( z ), z1 ] ? Re s[ F ( z ), z 2 ] z n?2 ? ( z ? a) ( z ? a)( z ? z1 )( z ? z 2 )z ?az n?2 ? ( z ? z1 ) ( z ? a)( z ? z1 )( z ? z 2 ) z n?2 ? ( z ? z2 ) ( z ? a)( z ? z1 )( z ? z 2 )n?2 n?2z ? z1z ? z2 n?2z1 z2 a ? ? ? (a ? z1 )(a ? z 2 ) ( z1 ? a)( z1 ? z 2 ) ( z 2 ? a)( z 2 ? z1 )数字信号处理?re ?求证：1 2π? j?? a (re j? ) n ? 2 ? re j? ? a (re -j? ) n ? 2 ? j 2r sin? ? a n ? 2 j2r sin? ? (re j? ? a)(re ? j? ? a)???27． 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，?1 X 1 (e ) X 2 (e )d? ? ? ?π ? 2ππ j? j???π?πX 1 (ej??? 1 )d? ? ? ? ? 2π? ???π ?π?? X 2 (e j? )d? ? ?式中， X1(ejω)和X2(ejω)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解： FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω) 进行IFT， 得到数字信号处理1 2π?π?πX1 (e j? )X 2 (e j? )e j?n d? ? x1 (n) ? x2 (n)令n=0, 则1 2π?π?πX1 (e j? )X 2 (e j? )d? ? [ x1 (n) ? x2 (n)] n?0(1)由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此[ x1 (n) ? x2 (n)] n?0 ? ? x1 (m) x2 (n ? m) n?0 ? x1 (0) x2 (0) (2)m ?0n数字信号处理1 x1 (0) x2 (0) ? [ 2π?1 X1 (e )d?][ ?π 2ππ j??π?πX 2 (e j? )d?](3)由（1）、（2）、（3）式， 得到1 2π??1 X 1 (e ) X 2 (e )d? ? ? -π ? 2ππ j? j???? 1 X 1 (e )d? ? ? -π ? ? 2ππ j??? X 2 (e j? )d? ? -π ?π28． 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如 下式：1 ? a cos? H R (e ) ? , 2 1 ? a ? 2a cos?j?| a |? 1求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。数字信号处理解：j? ? j? 1 ? a cos ? 1 ? 0 . 5 a ( e ? e ) j? H R (e ) ? ? 2 1 ? a ? 2a cos? 1 ? a 2 ? a(e j? ? e ? j? )1 ? 0.5( z ? z ?1 ) 1 ? 0.5( z ? z ?1 ) H R ( z) ? ? 2 ?1 1 ? a ? a( z ? z ) (1 ? az ?1 )(1 ? az)求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列 he(n)为数字信号处理1 he (n) ? H R ( z ) z n ?1dz 2 πj c?F ( z ) ? H R ( z) z n?1? 0.5z 2 ? z ? 0.5 n?1 ? z ?1 ? a( z ? a)(z ? a )因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取： a&|z|&a－1。 n≥1时， c内有极点： a，? 0.5az 2 ? z ? 0.5a n ?1 1 n he (n) ? Re s[ F ( z ), a] ? z ?z ? a ? z ? a ? a ?1 2 ? a z ? a ?z ? a ???数字信号处理n=0时，F ( z ) ? H R ( z ) z n?1c内有极点： a、 0，? 0.5z 2 ? z ? 0.5 ?1 ? z ?1 ? a( z ? a)(z ? a )he (n) ? Re s[ F ( z ), a] ? Re s[ F ( z ),0] 0.5 z 2 ? z ? 0.5a ? ?z ?1 a?z ? a ? z ? a z ?1??z ?0数字信号处理因为he(n)=he(－n)， 所以? 1 ? he (n) ? ? 0.5a n ?0.5a ? n ? n?0 n?0 n?0? n?0 ? ? n ? 0 ? ? a n u ?n ? n?0 ? ? ?? he ?n ? n ? 0 ? ? 1 ? ? ? h?n ? ? ?2he ?n ? n ? 0 ? ? ?a n ? 0 ? ?0 n ? 0 ? ? ?H (e ) ?j??a en ?0?n ? j?n1 ? 1 ? ae ? j?数字信号处理29． 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为?a sin? H I (e ) ? 1 ? a 2 ? 2a cos?j?| a |? 1求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：1 j? ? a (e ? e j? ) ? a sin? 2j H I (e j? ) ? ? 1 ? a 2 ? 2a cos? 1 ? a 2 ? a(e j? ? e ? j? )数字信号处理令z=ejω, 有1 ? a( z ? z ?1 ) 1 z ? z ?1 H I ( z) ? ? ? ? 2 ?1 2 j 1 ? a ? a( z ? z ) 2 j ?z ? a ? z ? a ?1??jHI(ejω)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)， 因此jHI(z)的反变换就是ho(n),1 ho (n) ? jH I ( z ) z n ?1dz 2 πj c?因为h(n)是因果序列， ho(n)是双边序列， 收敛域取: a&|z|&a－1。数字信号处理2 1 z ?1 n ?1 n ?1 F ( z ) ? jH I ( z ) z ? ? z 2 ( z ? a)( z ? a ?1 )n≥1时， c内有极点： a,z2 ?1 n ?1 hI (n) ? Re s[ F ( z ), a] ? z ( z ? a) ?1 2( z ? a)( z ? a ) 1 n ? a 2 n=0时， c内有极点： a、 0，2 1 z ?1 n ?1 ?1 F ( z ) ? jH I ( z ) z ? ? z 2 ( z ? a)( z ? a ?1 )z ?a数字信号处理hI (n) ? Re s[ F ( z), a] ? Re s[ F ( z ),0] ? 0， hI (n) ? 0因为hI(n)=－h(－n), 所以? 0 ? hI (n) ? ? 0.5a n ?? 0.5a ? n ?n?0 n?0 n?0?1 ? n h(n) ? hI (n)u ? (n) ? h(0)δ(n) ? ?a ?0 ?n?0 ? ? n ? 0 ? ? a n u ( n) n?0 ? ?数字信号处理H (e ) ?j??a en ?0?n ? j?n1 ? ? j? 1 ? ae30*. 假设系统函数如下式：( z ? 9)( z ? 3) H ( z) ? 4 3 z ? 3.98 z 3 ? 1.17 z 2 ? 2.3418 z ? 1.5147试用MATLAB语言判断系统是否稳定。 解： 调用MATLAB函数filter计算该系统。 系统响应 的程序ex230.m如下：数字信号处理%程序ex230.m %调用roots函数求极点， 并判断系统的稳定性 A=［3， －3.98， 1.17， 2.3418， －1.5147］； %H(z)的分母多项式系数 p=roots(A) %求H(z)的极点 pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模 if max(pm)&1 disp(′系统因果稳定′)， else， disp(′系统不因果稳定′)， end 程序运行结果如下： 极点： －0.6 －0.6+0.0 由极点分布判断系统因果稳定。数字信号处理31*.假设系统函数如下式：z 2 ? 5 z ? 50 H ( z) ? 4 2 z ? 2.98z 3 ? 0.17z 2 ? 2.3418z ? 1.5147(1) 画出极、 零点分布图， 并判断系统是否稳定； (2) 用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定。数字信号处理解： （1） 求解程序ex231.m如下：%程序ex231.m%判断系统的稳定性 A=［2， －2.98， 0.17， 2.3418， －1.5147］；%H(z)的分母多项式系数B=［0， 0， 1， 5， -50］； %H(z)的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定 subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； p=roots(A)； pm=abs(p)； %绘制H(z)的零极点图 %求H(z)的极点 %求H(z)的极点的模数字信号处理if max(pm)&1 disp(′系统因果稳定′)， else，disp(′系统不因果稳定′)， end%画出u(n)的系统输出波形进行判断 un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n=0： length(sn)－1；subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn)xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′) 程序运行结果如下： 系统因果稳定。 系统的零极点图如 题31*解图所示。数字信号处理题31*解图数字信号处理（2） 系统对于单位阶跃序列的响应如题31*解图所示，因为它趋于稳态值， 因此系统稳定。 32*. 下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：1 H1 ( z) ? 1 ? 1.6 z ?1 ? 0.9425 z ? 21 ? 0.3z ?1 H 2 ( z) ? 1 ? 1.6 z ?1 ? 0.9425z ?21 ? 0.8 z ?1 H 3 ( z) ? 1 ? 1.6 z ?1 ? 0.9425z ?2数字信号处理1 ? 1.6 z ?1 ? 0.8 z ?2 H 4 ( z) ? 1 ? 1.6 z ?1 ? 0.9425z ?2试用MATLAB语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。 要求：（1） 分别画出各系统的零、 极点分布图；（2） 分别求出各系统的单位脉冲响应， 并画出其 波形；（3） 分析零点分布对于单位脉冲响应的影响。解： 求解程序为ex232.m， 程序如下：数字信号处理%程序ex232.mA=［1， －1.6， 0.9425］； B4=［1， －1.6， 0.8］； %H(z)的分母多项式系数 %H(z)的分子多项式系数 B1=1； B2=［1， －0.3］； B3=［1， －0.8］； b1=［1 0 0］;b2=［1 －0.3 0］; b3=［1， －0.8， 0］；b4=［1，－1.6，0.8］； %H(z)的正次幂分子多项式系数p=roots(A) z1=roots(b1) z2=roots(b2) z3=roots(b3) %求H1(z)， H2(z)， H3(z)， H4(z)的极点 %求H1(z)的零点 %求H2(z)的零点 %求H3(z)的零点数字信号处理z4=roots(b4) %求H4(z)的零点 ［h1n， n］=impz(B1， A， 100)； %计算单位脉冲 响应h1(n)的100个样值 ［h2n， n］=impz(B2， A， 100)； %计算单位脉冲 响应h1(n)的100个样值 ［h3n， n］=impz(B3， A， 100)； %计算单位脉冲 响应h1(n)的100个样值 ［h4n， n］=impz(B4， A， 100)； %计算单位脉冲 响应h1(n)的100个样值 %====================================== %以下是绘图部分 subplot(2， 2， 1)；数字信号处理zplane(B1， A)；%绘制H1(z)的零极点图 %绘制h1(n)的波形图subplot(2， 2， 2)；stem(n， h1n， ′.′)； line(［0， 100］， ［0， 0］)xlabel(′n′)； ylabel(′h1(n)′)subplot(2， 2， 3)； zplane(B2， A)； subplot(2， 2， 4)； stem(n， h2n， ′.′)； %绘制h2(n)的波形图 %绘制H2(z)的零极点图数字信号处理line(［0， 100］， ［0， 0］)xlabel(′n′)； ylabel(′h2(n)′)figure(2)； subplot(2， 2， 1)； zplane(B3， A)； %绘制H3(z)的零极点图 %绘制h3(n)的波形图subplot(2， 2， 2)；stem(n， h3n， ′.′)； line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h3(n)′) subplot(2， 2， 3)；数字信号处理zplane(B4， A)； subplot(2， 2， 4)； stem(n， h4n， ′.′)；%绘制H4(z)的零极点图%绘制h4(n)的波形图line(［0， 100］， ［0， 0］) xlabel(′n′)； ylabel(′h4(n)′) 程序运行结果如题32*解图所示。数字信号处理题32*解图数字信号处理四种系统函数的极点分布一样， 只是零点不同， 第一种零点在原点， 不影响系统的频率特性， 也不影响单位脉冲响应。 第二种的零点在实轴上， 但离极点较远。 第三种的零点靠近极点。 第四种的零点非常靠近极点， 比较它们的单位脉冲响应， 会发现零点愈靠近极点， 单位脉冲响应的变化愈缓慢， 因此零点对极点的作用起抵消作用； 同时， 第四种有两个零点， 抵消作用更明显。数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)3.1 学习要点与重要公式3.2 频率域采样 3.3 循环卷积和线性卷积的快速计算以及信号的频谱分析 3.4 例题 3.5 教材第3章习题与上机题解答3.6 教材第4章习题与上机题解答数字信号处理3.1 学习要点与重要公式3.1.1 学习要点（1） DFT的定义和物理意义， DFT和FT、 ZT之间的 关系； （2） DFT的重要性质和定理： 隐含周期性、 循环移 位性质、 共轭对称性、 实序列DFT的特点、 循环卷积定理、 离散巴塞伐尔定理；（3） 频率域采样定理； （4） FFT的基本原理及其应用。数字信号处理3.1.2 重要公式1） 定义X (k ) ? DFT[ x(n)] N ??n ?0N ?1 k ?0N ?1kn x(n)WNk=0, 1, ?, N－11 x(n) ? IDFT[ X (k )] N ? N?? kn X (k )WNk=0, 1, ?, N－12） 隐含周期性( k ? mN ) n kn X (k ? m N) ? ? x(n)WN ? ? x(n)WN ? X (k ) n ?0 n ?0 N ?1 N ?1数字信号处理3） 线性性质 若 y(n) ? ax1 (n) ? bx2 (n) ，则Y (k ) ? DFT[ y(n)] ? aX1 (k ) ? bX 2 (k )4） 时域循环移位性质?km DFT[ x(n ? m) N ? RN (n)] ? WN X (k )5) 频域循环移位性质nm DFT[WN x(n)] ? X ((k ? m)) N RN (k )数字信号处理6） 循环卷积定理循环卷积：? L?1 ? yc (n) ? ? h(m) x((n ? m)) L ? RL (n)＝h(n) L x(n) ? ? ?m ? 0 ??循环卷积的矩阵表示：x( L ? 1) x( L ? 2) ? yc (0) ? ? x(0) ? y (1) ? ? x(0) x( L ? 1) ? c ? ? x(1) ? yc (2) ? ? ? x(2) x(1) x(0) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yc ( L ? 1)? ? x( L ? 1) x( L ? 2) x( L ? 3) ? ? ? ? x(1) ? ? h(0) ? ? h(1) ? ? x ( 2) ? ?? ? ? x(3) ? ? h(2) ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? x(0)? ?? ?h( L ? 1)? ?数字信号处理循环卷积定理： 若yc(n)=h(n) L x(n)则 Yc(k)=DFT［yc(n)］L=H(k)X(k) 其中 k=0, 1, 2, ?, L－1H(k)=DFT［h(n)］L, X(k)=DFT［x(n)］L6) 离散巴塞伐尔定理?n ?0N ?11 x ( n) ? N2? X (k )k ?0N ?12数字信号处理7） 共轭对称性质 (1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与反共轭对称序列 xop(n):? xep (n) ? xep ( N ? n)? xop (n) ? ?xop ( N ? n)序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：1 xep (n) ? [ x(n) ? x? ( N ? n)] 21 xop (n) ? [ x(n) ? x? ( N ? n)] 2数字信号处理（2） 如果且 则 且x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)Xep(k)=DFT［xr(n)］, Xop(k)=DFT［jxi(n)］ （3） 如果x(n)=xep(n)+xop(n) X(k)=Xr(k)+jXi(k)则Xr(k)=DFT［xep(n)］, jXi(k)=DFT［xop(n)］（4） 实序列DFT及FT的特点: 假设x(n)是实序列，X(k)=DFT［x(n)］， 则 X(k)=X*(N－k) |X(k)|=|X(N－k)|, θ(k)=－θ(N－k)数字信号处理3.2 频 率 域 采 样我们知道， 时域采样和频域采样各有相应的采样定理。频域采样定理包含以下内容:（1） 设 x(n)是任意序列， X(ejω)=FT［x(n)］，对X(ejω) }