数学帮帮忙（全25册，多功能数学绘本，荣获美国《学习杂志》教师推荐儿童读物奖 教育专家推荐(累计评价
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新蕾出版社
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数学帮帮忙（全25册，多功能数学绘本，荣获美国《学习杂志》教师推荐儿童读物奖 教育专家推荐版 次：1
页 数：全二十五册
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开 本：32开
纸 张：铜版纸
包 装：平装
我为什么要学数学？数学有什么好处？ 这样的话是不是听起来很耳熟？ 这是因为孩子还不明白，在课堂上学到的数学知识，到底和他们的生活有什么关联。 “数学帮帮忙”会告诉孩子：在生活中，数学无处不在，学好数学非常重要。
★荣获美国《学习杂志》教师推荐儿童读物奖注：该奖项由美国各地教师评委会评选出来，获奖的都是经过中小学教师在实践中证明*好的书籍、教具和教学软件。 ★荣获全美社科类童书奖 ★全美*专业教育团队打造适合5~8岁儿童阅读的数学故事读本 ★入选美国各州图书馆馆藏书目 ★人教社小学数学教育专家热情推荐 ★知名儿童阅读推广人两小千金妈妈执笔翻译，并精心撰写导读手册 ★精准设计互动课堂环节，学数学、练阅读一举两得 ★书号附赠原版英文，地道英语原味呈现“数学帮帮忙”会告诉孩子：严谨、辩证、多角度的数学思维能使生活变得更加精彩！“数学帮帮忙”，帮孩子爱上数学！更多好书推荐＞＞数学游戏绘本&第一辑数学游戏绘本&第二辑数学小子丛书（全五册）
“数学帮帮忙”系列全套共25册，分为“数字与运算”、“量与计量”、“图形与几何”、“探索规律”和“统计与概率”共五部分内容，几乎涵盖了小学阶段所有重要的数学知识。 “数学帮帮忙”系列的每一本书都会讲述一个发生在孩子身边的故事，由故事中出现的问题自然地引入一个数学知识，然后通过运用数学知识解决问题。比如，从帮助外婆整理散落的纽扣引出分类，从为小狗记录藏骨头的地点引出空间方位，从办校报的活动讨论象形统计图的作用和制作方法，从为造一座糖果小屋找材料学习加减法的计算等等。 这些故事素材全部源自孩子的真实生活，它不仅能引起孩子的共鸣，更会使他们在阅读过程中不知不觉被生动的情节所吸引，一步一步去找到解决问题的方法和答案。孩子在主动参与和积极思考的过程中会慢慢发觉，课本上那些既枯燥又抽象的数学知识竟会变得如此容易理解和掌握！更重要的是，孩子还能深深感受到运用数学知识去解决实际生活中的问题所带来的快乐，从而激发他们学习数学的兴趣，让他们逐渐爱上数学。 数字与运算 1．小凯特的大收藏数学概念：加法 小凯特要带自己的收藏品到学校去和同学们分享，可她还没有哪类东西多到能称得上是收藏！就要轮到她了，小凯特要怎么办才好呢？ 2．熄灯时间到！数学概念：减法 有一个小女孩想做世界上*后一个关灯睡觉的人，她熬夜都快要撑不住了，对面大楼最后一盏灯还没有熄灭。她会是最后的胜利者吗？ 3．宇宙小子数学概念：位值制计数法 吉姆的梦想是收集10000张能量棒包装纸，赢得参加太空夏令营的机会。但他要去哪里找这么多的包装纸并将它们数清呢？ 4．我的小九九数学概念：乘法 本以为洗碗*轻松的迈克却遇到洗碗机发生故障，为了逃过家务他百般算计，可脏碟子脏碗还是越堆越多，他该怎么办呢？ 5．每人都有份！数学概念：除法 奥斯卡想参加抽奖活动，可是他必须找其他孩子一起参加才能凑到足够的钱买奖券。而奖品呢？他们也都平均分配吗？ 6．来自夏令营的信数学概念：分数 夏令营里的8个女孩子同住一间小木屋，可每天分组打扫卫生的问题让她们大伤脑筋，猜猜看她们是怎么解决的呢？ 7．甜甜的糖果屋数学概念：加减法 格蕾丝无论做什么都很完美，麦琪和威廉却做什么都不成功。这一次，他们希望能像格蕾丝一样做出甜甜的糖果屋，他们真的能成功吗？ 8．漫长的等待数学概念：估算 乔什和扎克兴冲冲地要坐飞天大魔虫。可排队的人实在太多了！他们要等多久呢？他们又是怎样度过了这漫长的等待呢？
量与计量 9．100磅的难题数学概念：重量 沃特想划船到对面的小岛上去钓鱼，但小船限重100磅，而宠物狗小补丁和随身物品的重量远远超过了100磅。沃特怎样做才能平安抵达小岛呢？ 10．游戏日数学概念：日期 杰西卡和艾薇想约在某天一起玩，可是她们不是这个有事，就是那个有事，时间总也不合适，*后她们到底有没有一起玩成呢？ 11．到点啦，麦克斯！数学概念：时间 麦克斯的数字式手表不见了，可他不会认读指针表盘上的时间，生活作息顿时乱成一团糟。在家人的帮助下，他能学会认读指针表盘上的时间吗？ 12．上车喽！数学概念：时刻表 火车旅行让奶奶、杰伊和基特超级兴奋！他们一路上安排了很多活动，可基特总是不按照时刻表行动。他们能按时赶到婚礼现场吗？
图形与几何 13．猫咪城堡数学概念：立体图形 安娜家新出生了四只小猫，小猫很可爱但也很调皮，简直闹翻了天。安娜要怎么说服爸爸把小猫留下来呢？ 14．宾果找骨头数学概念：方位 吉尔用地图帮助小狗宾果记录藏骨头的地方，以防被总是欺负小狗的坏猫绿巨人找到。她们成功了吗？ 15．小鸡搬家数学概念：周长 汤姆、安和戈登想给小鸡们寻找一处合适的家。在一次次搬家的过程中，不断改变的是鸡笼的形状，那么不变的又是什么呢？ 16．摇滚数学日数学概念：平面图形 数学日就要到了，可赛斯和他摇滚乐队的朋友们还没有准备好数学项目汇报呢。他们会不会有大麻烦？你绝对猜不到故事的结局！ 17．山姆的脚印格子数学概念：面积 山姆发现，修剪希尔先生家的草坪比格林太太家的草坪多花费很长的时间，可是他们俩却付给山姆一样多的报酬。山姆怎样才能证明希尔先生家的草坪比格林太太家的草坪大呢？ 18．外公的神秘藏宝数学概念：坐标图 杰克和利奥搬进了外公住过的大房子，他们起初一点儿都不喜欢这里，直到几张藏宝图的出现……外公的神秘藏宝会是什么呢？
探索规律 19．超级眼镜数学概念：数字规律 莫莉能够准确地预测高速公路出口的号码，弟弟以为姐姐戴了一副神奇的超级眼镜。真的是这样吗？弟弟能发现其中的奥秘吗？ 20．晚霞项链数学概念：规律 要去参加派对了，妮娜发现自己没有合适的新裙子穿。于是她偷偷拿走了姐姐的项链，可意想不到的事情发生了……
统计与概率 21．外婆的纽扣宝盒数学概念：分类 凯莉想拿外婆的纽扣宝盒玩，可是，稀里哗啦！扣子撒得满天飞！她能在外婆回家前，把扣子分好类，放回外婆的纽扣宝盒里去吗？ 22．倒霉蛋布拉德数学概念：概率 布拉德好像总也没有好运气，可是他慢慢明白了估算概率的奥妙。也许，布拉德从此以后会成为一个幸运的孩子！ 23．马可的零用钱数学概念：条形统计图 马可的同学得到的零用钱都比他多，可他们做的家务活却比马可少！太不公平了！马可怎样说服爸爸多给他一些零用钱呢？ 24．恼人的水痘数学概念：数据图表 齐普调查了班上同学出水痘的情况，并用数据图表来展示结果。水痘*终会不会影响到齐普和同学们参加秋季音乐节的演出呢？ 25．我们的校报数学概念：象形统计图 米娅想和同学们创办校报，但自负的米娅总是不愿接受他人的建议。他们怎样才能做出一份出色的校报呢？
“数学帮帮忙”引自美国凯恩出版社。作为北美地区*大的独立出版集团——勒纳出版集团的子品牌，凯恩出版社是美国*专业的儿童教育类图书出版机构。有着儿童心理学博士教育背景的凯恩社长在美国少儿教育界享有盛誉，曾多次参与美国各州中小学教材的编修与审订工作。除自身拥有众多少儿教育出版领域的资深编辑之外，凯恩出版社邀请的作家与插画家几乎都是耳熟能详的国际获奖者。凭借优秀的创作队伍和专业的编辑团队，凯恩出版社的图书产品在美国屡获各项大奖，包括“数学帮帮忙”在内的多部丛书均被美国各州图书馆列入必选书目。&&&范晓星，网名“两小金千妈妈”。毕业于外交学院，美国加州州立大学工商管理硕士。现居美国，育有两女，喜欢给孩子读书，和孩子一起旅行。热衷亲子阅读，在亲子阅读领域有非常丰富的经验，在国内各大儿童阅读网站拥有大量的粉丝。
数字与运算 1．小凯特的大收藏 数学概念：加法 2．熄灯时间到！ 数学概念：减法 3．宇宙小子 数学概念：位值制计数法 4．我的小九九 数学概念：乘法 5．每人都有份！ 数学概念：除法 6．来自夏令营的信 数学概念：分数 7．甜甜的糖果屋 数学概念：加减法 8．漫长的等待 数学概念：估算量与计量 9．100磅的难题 数学概念：重量 10．游戏日 数学概念：日期 11．到点啦，麦克斯！ 数学概念：时间 12．上车喽！ 数学概念：时刻表图形与几何
“数学帮帮忙”是一套会让孩子爱上数学的好书，它的教育思想和方法与我国近年来提倡的数学教育理念十分吻合，看完这套书，我立即有了把它们推荐给教师和家长朋友们的愿望。& ——人民教育出版社小学数学室资深编辑 卢江 “数学帮帮忙”能够帮助孩子建立起学习数学的信心。& ——美国莱斯利大学(剑桥)数学教育学院 琳达?黛西教授 “数学帮帮忙”非常适合刚刚学会独立阅读的儿童。& ——美国《学校图书馆杂志》 这套书适合学龄前和小学低年级的孩子，使他们在提高阅读能力的同时，加深对数学概念的理解。 ——美国图书馆员协会《书单杂志》 这套书的故事吸引孩子，将数学概念融入他们的日常生活当中，不论在学校还是家庭，都是孩子们巩固数学知识的阶梯。
&在线试读部分章节&
前言 无处不在的数学 人民教育出版社小学数学室资深编辑& 卢江
人们常说“兴趣是*好的老师”，有了兴趣，学习就会变得轻松愉快。数学对于孩子来说或许有些难，因为比起语文，数学显得枯燥、抽象，不容易理解，孩子往往不那么喜欢。可许多家长都知道，学数学对于孩子的成长和今后的生活有多么重要。不仅数学知识很有用，学习数学过程中获得的数学思想和方法更会影响孩子的一生，因为数学素养是构成人基本素质的一个重要因素。但是，怎样才能让孩子对数学产生兴趣呢？怎样才能激发他们兴致勃勃地去探索数学问题呢？我认为，让孩子读些有趣的书或许是不错的选择。读了这套“数学帮帮忙”，我立刻产生了想把它们推荐给教师和家长朋友们的愿望，因为这真是一套会让孩子爱上数学的好书！ 这套有趣的图书从美国引进，全套共25册，原出版者是美国资深教育专家。每本书讲述一个孩子们生活中的故事，由故事中出现的问题自然地引入一个数学知识，然后通过运用数学知识解决问题。比如，从帮助外婆整理散落的纽扣引出分类，从为小狗记录藏骨头的地点引出空间方位，从办校报的活动讨论象形统计图的作用和制作方法，从为造一座糖果小屋找材料学习加减法的计算等等。故事素材全部来源于孩子们的真实生活，不是童话，不是幻想，而是鲜活的生活实例。正是这些发生在孩子身边的故事，让孩子们懂得，数学无处不在并且非常有用；这些鲜活的实例也使得抽象的概念更易于理解，更容易激发孩子学习数学的兴趣，让他们逐渐爱上数学。这样的教育思想和方法与我国近年来提倡的数学教育理念是十分吻合的！ 这是一套适合于5～8岁孩子阅读的书，书中的有趣情节和生动的插画可以将抽象的数学问题直观化、形象化，为孩子的思维活动提供具体形象的支持。如果亲子共读的话，家长可以带领孩子推测情节的发展，探讨解决难题的办法，让孩子在愉悦的氛围中学到知识和技巧。值得教师和家长朋友们注意的是，在每本书的后面，出版者还加入了“互动课堂”内容，一方面通过一些精心设计的活动让孩子巩固新学到的数学知识，进一步体会知识的含义和实际应用；另一方面帮助家长指导孩子阅读，体会故事中除了数学之外的道理，逐步提升孩子的阅读理解能力。 我相信孩子读过这套书后一定会明白，原来，数学不是烦恼、不是包袱，数学真能帮大忙！
&书摘与插画数学老师不能不看的——千万别恨数学
我的图书馆
数学老师不能不看的——千万别恨数学
《数学，千万别学过火》卷首语译者序前言　　这件事发生在我教过的一个讨厌数学的学生身上。那个初中二年级的学生各个方面的学习能力都不怎么好，但更大的问题是他甚至没有一点点的学习欲望。虽然我也曾挖空心思地用尽了各种方法，但他的数学成绩还是没有什么提高。给他布置作业，他也总是找完这个借口找那个，敷衍一番了事，根本就不好好去做，布置10次的话，他能做上3次就不错了。作为老师，我很是头疼。　　有一天我趁他解题的时候暂时离开了一下自己的位子，结果回来后发现他根本没在解题，而是在做'黑纸'（纸上写得密密麻麻，弄得跟复写纸一样到处都是黑的）。如果因为个人学习能力的差异而学不好，那我也是可以理解的，但他在上课的时候竟然当着我的面把我的话当成耳旁风！我禁不住怒气横生。　　'喂！'黑纸'就那么重要吗？内容都没理解就在上面写什么写？连什么内容都不知道，就知道在那儿做'黑纸'，这算什么学习！'我吼道。结果，这个学生回答说：'老师，我不这样写的话得挨打20下，要是写了也就挨打10下。'这又是什么理论，写了也得挨打10下！'胡扯！写了怎么还得挨打10下？''老师在上课的时候会再让我做这些写过的题，我不会做，当然得挨打。'真是荒唐的事情。我把课抛在一边，听那个学生说。　　交谈了一会儿方才得知，原来在他居住的城市里，中考竞争非常激烈，要是考不好的话，就只能去竞争不激烈的职高或者离家远的二流学校，所以学校对学生们要求都很严格。他所在的学校也是如此，尤其是数学占总分数的比例很高，所以学校对数学的要求也就更苛刻。数学课上，老师每次都要把题目当作业布置下去，让他们把解题步骤写成'黑纸'交上来，上课的时候顺便测验一下。而他呢，'黑纸'倒是能交上，题目却不知道怎么做。他在整整一年的时间里几乎每天都得去学校挨10下打。要是连那个'黑纸'也不做的话，就得挨20下打。他的朋友当中有一个人因为厌恶了这种挨打的生活而离家出走。这样的现实令我很是生气，心里隐隐作痛。即使不至于到这种程度，数学也绝对是令很多学生耿耿于怀的一个科目。哪怕是现在已经成年了的人，一提到数学就直摇头的也大有人在。看起来，他们也都有那么一两个与数学有关的'不堪回首的记忆'。　　难道就没有学好数学的方法吗？　　问老师的话，老师会这样回答：'多做题就是最好的方法。'介绍数学学习方法的书更煞有介事地说：'学习的时候要开动脑筋。''运算能力一定要好。''理解比死记硬背重要得多。''务必打好基础。'　　但一问道：'是吗？那以我的水平，用这本辅导书，应该怎么去学呢？'他们就立刻哑口无言了。　　即使问数学学得不错的朋友，他们也只能支吾出一句：'嗯？好好努力就行了吧！'话倒是没错，但这个回答对现实却一点儿帮助也没有。在我们这个以考试为评价尺度的现实中，这样的回答能有什么作用呢？　　在长期对学生进行单独辅导的过程中，我一直在努力寻求这些问题的答案。刚开始，我按照初、高中时学习的方式去教他们，结果失败了。于是我就对学习方法产生了兴趣，通过回忆当初我自己的学习方法，留心观察我教的学生们，以及多次的实践，渐渐地，我终于发现了一套学习数学行之有效的方法。此后我教的每个学生成绩都有了很大提高，实力迅速提升。我对这个方法进行研究的同时，也在教授学生的过程中不断加以完善。这个方法在很多学生身上都取得了良好的效果。　　我所说的学习方法是指利用每个人手头上都有的教材（如教科书、辅导书、习题集）将数学实力提高一个层次的方法。　　在高中的时候，我曾经把人手一本的数学辅导书反复学习了5遍，即便如此，仍像中了魔法一般，数学题看了又看结果还是落得个糊里糊涂。如果那时候就知道这种方法的话，恐怕就不会觉得数学那么难了。数学搞定了，也就能在其他科目上投入更多的时间了。不管是什么辅导书，只需学习两遍就能完全掌握；不管遇到什么题目，都能从容地解答出来。只要各位按照我说的学习方法去学习，具备这样的实力是指日可待的事情。　　我在这本书里介绍了通过很多学生的失败和成功总结出来的宝贵经验，并以这些经验为基础，有针对性地进行了分类整理。这本书清晰地指明了把数学成绩从垫底提高到上游生水平的捷径，只要照着去做，成绩一定会有显著提高的。　　现在该轮到大家下一个小小的决心去尝试一下了！第一部分：数学越来越糟糕的原因1.根基不实　　如果谁胆敢说'数学真容易！'的话，恐怕会被周围的人痛殴一顿，也许还会被看做傲慢的人而受到孤立。我遇到的大部分学生都会感叹：'数学太难了！'在他们看来，就算自己尽力了，随着年级的升高，数学还是会变得越来越难。'到底谁会觉得数学简单呀！'不妨来思考一个问题。　　如果问初中生'5+7等于多少？5×8等于多少？'的话，谁都可以轻而易举地回答是12和40。恐怕他们还会觉得问这个题目的人奇怪呢。这个题目为什么简单呢？在小学一二年级的时候也是简单的吗？不是。大家都有因为背不出九九口诀而在别人回家的时候被留在学校里继续背诵的记忆吧？在那时候这已经算是很难的题目了。还有，大家之中肯定有一些人上了高中后曾给初中生解答过一次方程式。　　'喂！这个这样做不就可以了！你是木头脑袋呀？！'成了青蛙，就忘掉自己是蝌蚪的时候了，就知道一味地去斥责别人。然而，看自己现在学的数学辅导书时却还是长吁一声，叹道：'这个到底怎么做啊？'为什么自己学的题目总是那么难，一点儿解题的头绪都没有呢？如果找到了这个问题的答案，学起数学来就会容易多了。如果找不到，也就无从得知数学越学越难的理由了。其实答案出奇的简单。我们之所以在初中的时候会觉得小学的数学容易，是因为在初中学习的很多内容里，不知不觉地又把小学的数学重新学习过了。　　比如，小学时无法正确理解的负数概念，到了初中就能正确地理解了，加减法之类的题目也就简单多了。这也就意味着你已经确确实实具备了至少能解答小学题目的基本能力。要是能给初中生出小学的题目，给高中生出初中的题目该多好啊！然而，这是不现实的。作为高中生，如果只能很好地解答初中水平的题目是不行的，应该能从容地解答自己所在年级的题目才可以。怎样才能解决这一问题呢？初中生要对初中生必要的基础，高中生要对高中生必要的基础彻底地追根究底一番。这就是我一直强调的追根究底式学习法。如果连四则运算(+，-，×，÷)都做不好的话，初、高中的数学是无论如何也不可能学好的。还有，如果连一次函数都不知道，就算学了二次函数、三次函数也不可能真正理解，要解答这类题目等于是在挑战绝不可能的事情。只有地基夯实了，上面的建筑才能牢固。如果没有一个坚实的地基，那建筑只能成为豆腐渣工程。　　'哎！这谁不知道啊？当然要把基础彻底学好了！'有人可能如此反问。'是吗？那该怎么学才好呢？'这样一问，他却说不出个所以然来了。大家肯定都有认识到基础不足之后就把以前学过的东西再复习几遍，或者把以前学过的东西再翻出来看看的经历，但仅仅做到这种程度，还是不够的。我要向大家介绍一种切实可行的方法，它是依据我所教过的学生们自己的经验总结而成的，大家很容易就能照着做，而且能看到实际成效，帮助大家切实打好基础。　　在这儿我要介绍的追根究底式学习法是一种投入很少的时间就能打牢基础的方法。这种追根究底式的学习结束以后，大家的实力都能在不知不觉中提高一个层次，数学也就不在话下了。对基础追根究底，数学会变得越来越容易。如果对基础置之不理，只是一味地追求进度，搞题海战术，只会越学越糟糕。2.贪多嚼不烂　　在我认识的人中，曾经有一个人因为不遵医嘱服药过量而差点送了命。不管多好的药，如果服用过量就会成为毒药。运动员总是在对自己的运动量进行适当的调节。勉强熬夜训练，也许会被认为对实力的提高有所帮助，实际上对身体却是有百害而无一利。数学学习也是如此。自己学习的时候总有一个具有最佳效果的适当的量。如果超过了这个量，你就会抱怨'数学题怎么这么多啊！'，'哎，该死的数学题快把我逼疯了！'。如此一来，数学就会变得索然无味，无论怎么学习，实力也几乎不会有什么提高了。　　实际上，初、高中时期学习的数学题多得惊人。初中时起码要学习二到三本习题集，每本各有近一千到一千五百道题左右。多的时候甚至要学习四到五本这样的习题集。高中时，会有怎么做都做不完的'魔法'辅导书在那儿等着你。如果把与此相关的习题集也算进去，需要做的题就达数千道之多。投入了这么多的时间，做了这么多的题，为什么水平却总是不见长进，而在那儿原地踏步甚至是一点一点地退步呢？为什么会产生做的题目越多，前面的东西就越容易忘记的现象呢？到底是哪儿出问题了呢？　　可以从两方面的原因来考虑。　　第一是由于错觉。　　当我们所学的概念在题目中出现时，那些与重要概念直接相关的题目就是重要的题目。而那些与重要概念关系不大，只是需要特别的技巧才能解开的题目就是不那么重要的题目。因此，在每个单元中，那些应该做到融会贯通的题目才是真正重要的题目，这样的题目并不是太多。但我们却总是有一种倾向，就是不管什么样的题目，只要它在那个单元中出现了，即使只有一道题没做，心里也觉得不踏实。如果以这种方式去学习，实际上是在根本不重要的题目上浪费了大量的时间。要做的题过多会让人失去耐心。到做真正重要题目的时候反而容易混淆。只有靠题海战术才能提高实力的想法其实是一种错觉。应该把做题的量减下来，以便对那些重要的题目进行集中的学习。大部分的时间都应该投入到这些重要题目上面去。唯有如此，学过的东西才能如实地反映在自己的成绩上面。另外，大部分学生在学习的时候，总是把每单元的『练习』等难度较高的题目全都做完之后才会转入下一单元。进入高中以后更是如此。如果在『例题』上面花1个小时的话，在『练习』上面就要花掉三个小时。 而试题的百分之七十却出自这一个小时所学的内容之中。其余的百分之三十也不一定和这三个小时学习的『练习』有什么关系。但我们却在这些根本不重要的题目上面倾注了太多的时间和努力。所以才会觉得数学难，也才会觉得学习量越来越大。这也正是很多人半途而废的理由之所在。对占百分之七十的重要题目应该投入学习时间的百分之七十以上。要学会把那些不重要的题目果断地忽略过去。应该先把重要的题目掌握好之后，再去学习不重要的题目。这样学习的话，数学会变得更简单，学习的量也会大幅度减少。　　第二是由于对自己的水平不清楚。　　连基础都没打好的人去做难题，无异于提着自己根本提不动的行李去爬山。有的学生自以为只要能把难题解出来，实力自然而然就会得到提高。其实，这是一种错觉。如果以高于自己水平的题目为中心进行学习的话，由于不会做的题目要比会做的还要多得多，数学学习便会渐渐变得索然无味，成为一种负担。一旦对数学失去了兴趣，要想再把兴趣找回来就十分困难了。因此，应该以适合自己水平的教材和适合自己水平的题目为中心进行学习。能解答出来的题目越多越好。因为唯有如此，学习才会有兴趣，只有保持兴趣，面对难题时才能无所畏惧地鼓起勇气钻研下去。这样一来，实力才能有进一步的提高。总而言之，我想强调的是，做的题太多也会成问题。应该减少做题的量。减多少呢？应该按照自己的水平和能力，以重要的题目为中心酌情减少学习量。本书将会针对大家的水平和学习的阶段，就如何把握好适当的学习量提出具体的建议。哪怕只通过减少学习量这一点，也会使大家的数学学习产生可观的效果。3.不加整理　　学习数学的时候，会发生一些荒唐的事。　　第一个就是学过的东西在考试中再次出现时还是不会做，把题给做错了。明明在考试前已经做过了，但到底该怎么做却怎么也记不起来，甚至连自己是否做过这样的题都搞不清楚了。　　第二个就是自己不知道该怎么做，费了半天劲儿去做的题目，学习好的同学看了一眼就说道：'啊！是这道题！'不费吹灰之力就做出来了。更荒唐的是，看别人做出来之后才发现这是一道自己也做过的题。　　'他怎么这么快就能想起来这道题应该用这种方法去做呢？要是我也知道的话，数学不就简单多了吗......'这样感叹的同时，恐怕就会觉得自己真的不是学数学的材料了。　　为什么做过的题却想不起来呢？　　大家去图书馆的时候，如果所有的书都不按照题目和主题等来分类，而是乱堆在一起的话，你还能很容易就找到哪本书吗？恐怕不是花了很长时间才侥幸找到，就是被迫放弃了吧。　　数学也是一样的。数学题不管怎么减量，也还是有很多，而我们的记忆力却是有限的。可我们却在很长的时间里，一直在无规则、无方法地往自己脑子里塞入大量的数学题。一到考试的时候，要在脑子里再把某道题翻出来，简直就像海底捞针那样难。　　为了解决这一问题，我们也曾经尝试过反复学习很多遍的方法。可是，就连那些一本辅导书学了7遍的学生也还是感叹'数学真是越学越糊涂了'。反复多遍并不等于就在脑子里整理好了，需要有一种比单纯的反复更好的方法。看到某道题之后，'啊！这道题是在哪个单元哪一种情况下出现的，它应该这样来做'。在脑子里很容易就能把学过的东西找出来，难道就没有这样的方法吗？这本书将会回答你这个问题。　　原理很简单。　　首先，把要记忆的重要题目分类列在纸上，就像对图书馆的书进行分类一样，然后把它原封不动地挪到脑子里去。这样一来，脑子里的东西就像在图书馆里一样井然有序了。　　这就是我要强调的表格式学习法。　　就像在拥挤的车棚中，不管有多少类似的自行车，你总是能很快找到属于自己的那一辆一样，这是一种能使你把题目与题目之间的相似点和不同点，题目独有的特征或解题方法等都一起记住的好方法。用这种方法学习的话，现在所做题目的解题方法立刻就能从你以前学过的海量题目中蹦出来。我利用这种表格教过很多学生，回过头来再学习第二遍的时候，他们就已经把我教过的内容全都吃透了。不管出哪个单元的题目，他们做起来都很得心应手。而且，时间大部分都被集中投入到了重要题目上，所以学习的时间也大大地缩减了。　　使用表格学习法进行学习有三个好处：第一，将会加快你迈入上游生行列的步伐；第二，就像在轻车熟路的大道上，把旁边的胡同挨个钻一下也绝不会迷路一样，数学的支支干干也就无一不在你的掌握之中了；第三，学什么东西都能化为己有。这真是一种'一箭三雕'的好方法。　　制作的表格等于是随身携带的地图。如果在没有表格的情况下去学习，等于是在没有地图和向导的情况下徒步攀登险峻的珠穆朗玛峰。4.毫无计划　　这是我从一名韩国前乒乓球国家队员那儿听来的故事。　　有一个曾在鸡龙山上专攻乒乓球之道的人(人称'鸡龙山道士')大声叫嚷'我要和刘南奎比赛'(刘南奎系奥运会金牌得主，当时乒乓球队里的老大哥)，开始遭到了拒绝，可是他坚持三天不回家，还爬到附近的大树上大声叫嚷，在他坚持不懈的请求下，国家队最终答应和他打一场比赛。从他热身时紧握乒乓球拍，挥起球拍来虎虎生风的架势来看，似乎不是一般人，'恐怕还真是个'道士''。队员们开始有了一点点的紧张，于是先派了一个年龄最小的选手和他比画一下。比赛结果为21∶1，'鸡龙山道士'大败，那1分还是看他太可怜故意让他的。失败后那个人却说：'我要和刘南奎交手！我是专门针对刘南奎进行训练的！'如果一个人学习的是狗刨式游泳，就算他学的时间再长，恐怕都难以胜过一个曾在小学的校游泳队里训练过的人。如果不对呼吸的方法、手脚的动作等进行系统学习，不管怎样刻苦练习，也很难超出一定的水平。　　数学学习也要系统地进行才会有好的效果。　　当被问及采用何种学习方法时，很多学生都会异口同声地说'多做几本习题集'，或者'不管会不会，赶紧往下进行'，或者就是'要做有难度的习题集'等等，他们正是以这些事倍功半的方法去学习的。虽然学校也会根据每个人的能力把学生分为上、中、下几个层次来因材施教，但那样分出来的学生水平还是参差不齐的，要做到让他们能够根据自己的水平恰当地学习实际上还是不可能的。对于学校的老师们来说，即便明知道有学生理解不了自己的讲解，也得继续往下讲，这实在是无奈之举。这种不考虑个人能力和水平的学习方式，往往只能得到事倍功半的效果。如果按照这种方法学习，恐怕连一本教科书或一本习题集都难以真正地吃透。还有，即使下了很大的功夫，实力的提高也是很有限的。如果不根据自己的能力和水平制定合适的学习计划，即使在学习上投入了大量的时间，换来的也往往是微不足道的效果。适合自己水平和能力的、系统的学习方法，与不走弯路的、正确的学习方法是不可或缺的。　　'以我现在的水平，该从哪儿开始学起呢？''应该集中学习什么呢？''学完这个之后该学什么呢？''到底该学多少才行呢？''我怎么检验自己的学习是不是对路呢？'有必要制定一个包含所有这些疑问的确切答案的、系统的学习计划。即只有看清楚通往目的地的路，学习起来才会更轻松一些。只有如此，才能迅速提高实力，不致浪费时间。本书将这种学习计划按照大家的水平分成了5个阶段，并将就具体的学习阶段和方法向大家做出介绍。大家现在处在一个什么样的水平，今后还要再学习些什么，怎样才能达成自己的目标，都将是本书要回答的问题。　　本书中所介绍的学习方法都是由我在教学生的过程中最行之有效的东西整理而成的。相信不管是谁，只要稍稍考虑一下，就会意识到只有那样去做才会有效果，同意我的观点。 　　没有一个符合个人水平的学习计划，或者不考虑学生水平和能力的学习计划，都会使学习越来越糟糕。5. 慢吞吞、准确性差 　　在我教过的学生中，有很多人明明平时可以得80分的，一到考试却总在60分左右晃荡，结果就变成了一副愁眉苦脸的样子。原因就是本来可以做对的题目做错了好几道。发生这种情况，大部分都是由于缺乏快速准确解题的能力导致的。在观看篮球或者足球比赛时，即使解说员在那儿说，'啊！今天的比赛实在是太精彩了！虽败犹荣！'赛场中失败的一方也绝不会笑，因为只有进了更多球而获胜的运动员们才能拥有胜利奖杯。数学也是如此。足球比赛中的射门就好比数学中的得分，不管解题步骤有多好，如果答案错了还是不能得分。因此，如果想得到与自己的实力相符的分数，在解题的时候能做到准确解答就是很重要的。另外，为了能在规定的时间内全部解答完毕，解题就一定要迅速。　　观察一下学习好的学生，你就会发现他们解题大部分都相当快。另外，他们几乎不会有琐碎的运算，也很少在解题的过程中出错。这就是他们和学习不好的学生之间不易察觉的巨大差异。　　'啊！我把这个减号错看成加号了！'　　'只要还有时间的话，这两道题我肯定都能做出来。'　　这些问题在很多时候足以导致考试成绩拉开近10分的差距。'准确、快速'是现在的初、高中生们必须具备的一种学习能力。　　怎样才能既准确又快速地解题呢？　　验算是准确解题的方法。验算是解题速度快的人独有的一份礼物，因为如果解题过慢，就没有时间去进行验算了。如果解题的时间不是很充足，与其再去做一道难题，还不如多验算几道简单的更为有利，本书将会对其理由进行说明。另外，考虑到那些把验算误以为是做第二遍的学生们，本书还将介绍一种只需解题时间的1/10~1/5、简单易行的验算方法。　　默算和熟练是快速解题的方法。之所以说有必要进行默算，是因为脑子总是比手动得快。另外，所谓熟练，就是指对某道题目熟悉，能把它从头到尾快速解答出来。走过几次的路很容易就能找到，因为你对它已经熟悉了。只有把题目练习到熟练的程度，才可能在考试中奏效。刚做完一遍就觉得'嗯！我现在懂了'这种程度是远远不够的，至少也要做到能够把做过的题目从头到尾一气呵成写下来才行。　　等熟悉了默算和熟练的方法之后，往往就会出现脑比手快的现象。如果到了那种程度，不仅做题的时间不会不够用，在进度推进上也会比以前快得多。明明学习过了却总是得不了分，还有比这更委屈的事情吗？只要把我在这儿介绍的方法吃透了，大家就一定能够得到一个与自己实力相符的分数，考试的时候心里也会轻松一些。起码也能得一个对得起自己的分数吧......第二部分：分阶段跟上数学第1阶段 了解你自己――追根究底学习法　　几乎没有谁是从一开始就学不好数学的，因为大家都是站在同一个起跑线上出发的。 但不知从何时开始，有些人就渐渐地被别人甩在了后面，而且差距会越来越大，最主要的原因是什么呢？ 　　用一句话来说，就是基础薄弱导致的。基础薄弱的学生们都有一些共同的特征。'觉得数学越学越难！' '老师讲的内容很多都听不懂！' '学过也还是糊里糊涂的！' '我讨厌数学！''不管怎么学，分数还是原地踏步！' 　　初、高中的数学是台阶式的，所以，如果连前一年级的内容都搞不清楚，那么下一年级中学习的内容理解起来就比较困难。因此，学习数学的时候最重要的是对薄弱的基础进行追根究底式的学习。数学学习和建筑异曲同工。比起盖平房来，建造一幢数十层的高楼在地基工程上的要求自然要高得多。建筑物越高，地基工程的重要性就越是不言而喻。如果不懂比赛的规则，看起比赛来一点儿意思也没有。就算别人在那儿'嘘，嘘'或者'哎'地连声感叹，自己也还是一头雾水。要想看懂比赛就要先掌握比赛的规则，要想学好数学也要先把基础打牢。如果没有把数学的基础打好，当别人在课堂上发出'啊哈！原来如此！'的感叹时，你却在嘟哝：'咦？他明白什么了？这一步到底是怎么推出来的？'自然就不会觉得有什么意思了。这样一来，不懂的东西就像滚雪球一样越积越多，最后恐怕连学习的勇气都没了。这时不管你怎么努力，数学实力都不可能再有什么长进了。谁都知道基础很重要，但大家基本上都没接触过什么行之有效的解决方法，虽然也都曾以自己的方式努力过，但往往收效甚微。我将把在丰富的经验基础上总结出来的最有成效的方法详尽地介绍给大家，希望这能给那些基础薄弱的同学们带来一丝曙光。　　我遇到过不少想努力摆脱下游生行列的学生，为了让他们使用这种方法来学习，我用尽心思进行劝诱和说服。刚开始的时候他们有些吃力，但按我说的一点一点照做下来之后，成绩终于有了显著的提高。看到父母宽慰的笑容，孩子们似乎也尝到了学习数学的小小乐趣。 打基础并没有想像的那么困难。夯实薄弱的基础吧，这是让数学容易起来的第一步。1. SK逃脱下游生行列　　初次遇到SK时，他刚刚过完寒假升入初中三年级。把孩子托付给我的时候，SK的父母所说的话不太寻常。'这孩子学习不是太好，虽然勉强也能算个中游水平，但还是有很多不会的东西，请老师您一定要忍耐，好好教教他。'　　我一般在头一个月里都会留心观察一下这些学生的水平如何，在学习方面有没有什么问题等等。虽然在SK身上似乎存在着一些让我难以置信却又摸不着头脑的东西，但我还是继续讲下去了。过了一个多月之后，彼此也都熟悉了，但不知为何我总觉得自己讲课是在做无用功。于是便考了一次试，果不其然，SK竟然连30%的内容都没能掌握。从那时开始，SK和我受难的历程便开始了。有好几次我甚至想干脆不再教这一组(我是把SK和另一个学生放在一起教的)算了，上课简直成了考验我忍耐力的时间，但我还是不能就此放弃。这是因为他的父母，他们经常给我打电话：'我们的孩子让您受苦了吧，除了老师您这儿，现在也没有什么其他的地方可以去了。就算成绩没什么提高也没有关系，请您继续教他吧。' 他的父母与其他的很多父母不一样，他们对我是100%信任的。另外一个理由则是SK善良的微笑。即便因为学习不好批评了他，只要稍微安慰他两句，他立刻就会呵呵笑起来，有着对一个男孩子来说难能可贵的善良心地。虽然他和另一个学生总是理所当然地被拿来做比较，但看他和那个学生仍然相处融洽的样子就可以知道，他虽然学习不太好，却是一个很不错的孩子。我又想起了前面那个每天都去学校挨打的孩子，终于还是不忍心把他拒之门外。于是我便抱着'好吧！试一次！'的心态，开始了对他恩威并施的历程。'从现在开始，如果你有什么不懂的，哪怕是小学的内容你也一定要向老师提出来。'我的口气是不容置疑的。刚开始，他是一个在上课的时候沉默寡言的孩子，绝不会提什么问题，但渐渐地他的话匣子就打开了。'老师！，怎么就能推出来ad=bc呢？' '是不是等于()啊？' 偶尔被问到这样的问题时，我表面上虽然不露声色，内心却会觉得很是荒唐。SK都已经上初三了，怎么在数学方面连小学五六年级的内容都不会呢。怪不得刚给他讲完一道题，让他再把那道题做一遍的时候，他还是不会呢。实际上，这对与他一起学习的那个学生来说不是一件好事，但好像他们不是在一起上课一般，我对那个学生还是按照本来的进度和内容往下讲，对SK则把那些基础的低年级内容布置给他，让他回家单独补习。可是，SK的实力好像并没有什么进步，我也有些疲惫了。从开始教他到现在已经过了6个月，学校就要放假了。'看来是没有希望了，该到放弃的时候了。'我刚冒出这种想法，情况就起了变化。给他讲完一道题之后让他再去做类似的题目时，他便可以准确无误地解答出来。我不敢相信眼前的事实，便跳到另外一个单元来考他，可不管让他做什么题，他也还是能够轻而易举地做出来。我意识到终于成功了！别提有多高兴了，我至今都难以忘记当时SK如沐春风的笑脸。之后，他对讲课内容的理解已经和一起学习的另一个学生差不多了。他最终修完了所有初中的课程，顺利地升入了高中。虽然我还想继续一起教他们，但由于这两个学生分别进了不同的高中，再加上他的父母也承受不了经济上的负担，便只好中断了，但这名学生却一直留在了我的记忆中。此后，承蒙他的母亲大力宣扬，来自城市各个角落的、已经放弃数学的学生们竟然在我这儿排起了队，这实在是一件令人哭笑不得的事情。每次有人介绍学生给我的时候，我便想，要是多给我介绍一些学习好的、容易教的学生该多好啊。但现在回想起来，正是由于教了这么多水平参差不齐的学生，我才能够整理出这么一套学习方法来，所以对他的父母我也只能心存感激了。从此以后，我再遇到基础薄弱的学生时，在进行正式的课程之前，总是先让他们对基础进行追根究底式的学习。有时候干脆不往下讲，而是直接拿低年级的教材去教他们。只需以这种方式集中学习两三个月，效果便会凸现出来。让他们以这种方式去学习，学生们刚开始都会有'这样真的有效果吗？不会是在浪费时间吧？'之类的疑问。但后来十之八九的人都会常把微笑挂在嘴边，这是因为他们感觉到，自己对题目的理解能力和解答能力确实与以前不可同日而语了。如果学生觉得解题是件有趣的事情，成绩自然就会提高，而成绩提高所带来的快乐，又会促使他们加倍努力。这样一来，对原本完全放弃的数学又重新找回了自信，数学水平也就'天天向上'了。　　至于数学的基础到底有多么重要，我们可以来看一下另一个学生的例子。　　曾经有一位亲戚拜托我指导一下她刚上高中的女儿HA，于是我便教了HA6个多月。我是把HA和另一个学生放在一起教的，到初中为止这两个孩子都不怎么喜欢数学，成绩也不怎么好。为了让她们一开始就觉得数学绝不是一门多么难的科目，我就努力地把高中新接触到的概念尽可能简单和有趣地传授给她们。尤其是当遇到她们不太懂的部分时，我就会和初中的内容联系起来，以一问一答的方式解释给她们听，一直到她们真正听明白为止。幸运的是，这两个学生对初中的内容有一定程度的理解，所以当我把初、高中的内容联系起来讲给她们听的时候，她们在理解上并没有什么太大的困难。另外，由于她们生性活泼，所以也不害怕向老师提什么问题。HA渐渐地就不觉得数学难了，也开始相信只要自己肯学就一定能学好。这种自信在期中考试中便发挥出了作用，HA考了全班第一，很多同学都向她投去了钦佩的目光。这也就成了我那位亲戚家里振奋人心的一件幸事。之后我又教了她几个月的时间，HA已经变成了一个对数学课充满期待的学生。后来我搬到了别的地方去住，便无法继续教她了，但由于是亲戚，偶尔还会听说一些与她的学习有关的情况。每次碰面，HA的父母总会说一直到毕业为止HA的数学成绩都很优异，他们几乎没为此操什么心，真的很感激我之类的话。　　牢固的'地基工程'随着年级的升高、学习的进行会日渐发挥出它的威力。同样多的学习时间，上游生却比下游生学得更多、更快，其中的一个原因便是彼此基础的不同。由此可见，在数学学习中最重要的是对基础概念的准确理解，做题也无非就是为了更准确地把握这些概念而已。惟有如此，才能做到不管题目以何种面目出现，我们都能对它的本来面目了如指掌，解答出来。　　大家的数学基础是否也有待于追根究底呢？2.该怎样追根究底？总之一句话，要像小孩那样打破沙锅问到底。小孩子总是爱问一些问题，一直问到自己烦了，父母也烦了为止。'爸爸！那是什么呀？'　　'是交通事故危险指示牌。'　　'什么意思呀？'　　'就是说如果跑得太快了就会出事故。'　　'事故是什么？'　　'车子撞了，人受伤了就叫事故！'　　'嗯......是这样啊！那危险是什么呢？'一直这样问下去的话，只能用一些5岁小孩能听懂的话去解释，甚至有时候根本就不会结束。连续被问20个左右这样的问题之后，大人们恐怕就要说：'哎呀！小孩子不用知道那么多！长大以后就都知道了！'但如果没有这种提问的过程，小孩子是无法健康成长的，没有一个小孩能略过这一过程长大成人。数学学习也是一样。大部分学生在学习的时候，即使有不懂的东西也只是忽略过去，或者简单地问一下就算了，更不会为了解决自己不懂的问题而去翻看低年级的教材。你很难看到一个初中生拿着小学的辅导书努力地练习加减法，而问题恰恰就在这儿。数学是一门如果基础打不好，后面的内容就绝对无法学好的科目。如果基础不够坚实，在上面建造什么样的房子都很容易就会倒塌。所以，一直要追到源头，弄明白不懂的地方到底在哪里。不懂的东西就要打破沙锅问到底，直到把老师问烦了为止！这就是对基础追根究底式补习的核心所在。该怎样学？我们来举一个例子。用英英词典学英语的时候，不认识的单词都是用英语来解释的，而解释中又会有不认识的单词。然后再用英英词典去查那个单词，它的解释中又会有不认识的单词......这样反复查下去的话，一定会遇到以最简单的、自己全都认识的单词组成的解释，然后就可以从那儿再一点点地逆推上去学习单词。以这种方式学习单词一段时间以后，到一定的时候，用英语解释的句子中几乎就不会有什么不认识的单词了。所谓对基础追根究底式的补习，就是要像这样把自己不懂的基础内容的根源找出来进行学习。高中学习二次函数时，如果一次函数的内容还没有弄清楚(做几道初中水平的题目就可以知道是否已经弄清楚了)，就要回头找到初中的一次函数那个单元。如果对一次函数中正比和反比的基本关系还搞不太清楚，就要再去找初一时学过的内容。就这样一直找下去，总会找到不懂的东西的根源。之后就从那儿开始，整理内容，通过做一些例题，来重新掌握一下自己不懂部分的基本概念。然后再解答一些相关的题目，一个阶段一个阶段地学下去。运算能力较弱的初中生要努力做一些小学的题目，可不要死充面子地光学些初中的东西，最后却落得个丢脸的下场......对基础追根究底式的补习可以与任何其他部分的学习一并进行。在学习教科书或者辅导书时，可以既追根究底地补习，同时又照顾进度。特别是自己一个人学习的时候，为了能够把根源找出来，不妨试着去自问自答。所以，要常常把低年级的教科书或辅导书放在身边，随时学习。如果自我感觉对小学阶段学习的内容较有自信，那就把初中的教科书(辅导书)放在身边，现在学习的内容中一旦有搞不懂的问题，就要去翻找查看。如果可以得到其他人的帮助，就要一直问到找出自己不懂的问题的根源为止，也就是直到连一点点的疑问也没有为止......为了完成对基础追根究底式的补习，一定要具备以下心态：* 坦率承认自己无知！* 敢于厚着脸皮带上低年级的辅导书！* 就算挨打，对不太清楚的问题也绝不马马虎虎一带而过，而要坚持追问到底！* 即使是因为自己耽误了进度(当然一个人学习的话就无所谓了)，对朋友也毫无愧疚！　　也许刚开始看低年级辅导书会有些不自在，怕被别人看见觉得不好意思，不仅如此，与其他部分的学习同时进行时，起初见效不是很快，就更容易产生想要放弃的念头。但以这种方式学习下去的话，随着进度的推进，你会感到不懂的东西在渐渐减少。之后没有多久，在学习中连基础的东西都不知道的情况就再也没有了。此后，进度也会加快，哪怕只学一点儿，对其理解的程度也会更深一些。如果到了这种程度，你就会觉得数学其实并不难，你也会由此发现自己更上一层楼。即便是以其他部分的学习为中心零星地进行追根究底式的基础补习，只要努力，不出三个月你也能看到它的效果。该学什么？在对基础追根究底式的补习中，最应该用心学习的就是基本概念、重要公式、基本题型。这些都是必须准确掌握的。这儿所说的掌握绝不是用眼睛看一遍说一声'啊！原来如此'就行了的水平，而应该是，不看那些概念和公式也能够背诵出来，不管谁问都能用自己的话流畅地进行说明，碰到含有这些概念、公式的基本题目也能够熟练解答。由于是低年级的内容，所以一旦做起来的话，其实没那么难，也花不了多少时间。　　追根究底式补习例题　　我们来看一下初中二年级学习的一道方程组题目。　　题目 解下面的方程组　　 　　......①　　 　　......②这道题只有在掌握了下面的内容后才能够解出来。初一课程方程组求解初二课程方程组求解最小公倍数，一次方程式小学课程乘法和加法，分数运算看一下这道题的解题过程。第1步 两个方程的两边同时乘以分母的最小公倍数：　　 　　...... ①'　　 　　...... ②'运算和整理后得：3x+2y=18...... ①'5x-2y= -4...... ②'第2步 为了消去一个未知数，把上面两个等式的两边分别相加，整理成一元方程式：3x+5x+2y+(-2y)=18+(-4)...... ③(3+5)x+(2-2)y=14...... ③'未知数和等式，负数8x=14, x=...... ③'一次方程式∴ x=...... ④第3步 把等式④代入等式①'，求y的值：3+2y=18...... ⑤2y=18-=...... ⑤'一次方程式2y=, y=...... ⑤'∴ y=...... ⑥上面所用到的低年级的内容中，哪怕有一个不会，这道题都会解错。看一下解这道题必需的东西都有什么呢？小学里学的运算，初一课程中学的负数运算、最小公倍数、未知数和等式、一次方程式等若干概念。在初二的课程中，只需要把这道题的解题步骤记住就可以了，其余的所有解题过程都是运用低年级学过的内容来解答的。基础竟如此重要。用追根究底式的方法学习上面这道题时，如果对初一课程中解一次方程式这部分掌握得不是很好，那该怎么做呢？当然要去找初一课程中的一次方程式了。但在解一次方程式的过程中，突然发现对未知数的运算不是很了解，那就要重新去学习未知数和等式部分。如果总是把正数和有理数混为一谈，那就要对这一部分重新进行塌塌实实的学习。对一道题目中包含的所有不太理解(或者无法熟练解答)的内容依次去查找和学习，如果在第一次查找到的内容中又碰到了不太理解的部分就要继续往下查找和学习，这些都包含在追根究底式学习方法的概念之中。或许一个基础极为薄弱的学生为了解一道题要重新学习很多的内容。像这样追查到自己不懂的根源后再一点点赶上来，就是对基础追根究底式的学习。用追根究底式学习法，虽然只是做了一道题，却是一边整理过去所学的所有东西一边解出来的。虽然刚开始的时候进度会比较慢，也会花费大量的时间，但不用多久，就没有必要再去翻看低年级的内容了。慢慢地，就没有必要再向前追查已学过的内容了，那时，大家就通过了追根究底式的学习阶段。3.一口气追根究底　　假设有一个学生在学习的时候发现自己对一次函数不太了解，就回到初二的课程中去查看，结果还是几乎什么都不会。这时应该怎么办呢？如果只是大致把现在所需的东西快速学习一遍，然后就接着原来的进度继续往下进行的话，这几乎是起不到什么帮助作用的。像这种基础极不牢固的学生，还不如干脆对基础来个一口气的追根究底更好一些。这种学生在赶进度的同时，如果也是按照追根究底的方式去学习的话，要查的东西实在是太多了，很容易就会厌烦或半途而废。另外，在升入高年级的时候，如果对上个学年学过的内容没有自信，觉得应该好好整理一番的话，不妨也来用一下这种方法。升入初中时重新学习小学的课程，或者升入高中时重新学习初中的课程也包含在内。甚至有时候，升入了初三，也可以重新学习初二的内容。按照自己的年级或目标去赶进度并不是最佳的方法。该怎样学习？　　要对自己已经学过的一学年或者一学期，甚至是在小学、初中阶段学的内容进行整理。这并不是说在解答本年级的题目时去翻找低年级的东西，而是指干脆另找一块时间去把低年级的教材或内容重新学习一遍。　　'那耗费的时间岂不是太长了？''那在这段时间里其他的同学岂不是多学了很多新东西......'有些学生会有这样的担心。但事实并非如此。　　对基础一口气追根究底，其关键在于只是快速地学习那些必须要掌握的东西。举个例子来说，即使小学阶段学过的内容记不起来了，也没有必要把四、五、六年级的东西全部重新学习一遍，那反而很容易造成时间的浪费。只需要以那些与本年级关系密切的东西为中心进行学习，或者对自认为比较薄弱的环节进行集中学习就可以了。实际上，按照这种方法去学习并不会耗费太多的时间。高中生学习初中教材或者初中生学习小学教材的话，要完成目标所需花费的时间比大家想像的要少得多。这是因为面对低年级的东西，即以前学过的东西，学生会觉得比较简单，而且比较有自信。因为只需要学一些必须要掌握的东西，所以量也就不是很大，所需时限大体上以不超过一个月为佳。学习什么东西？只需要学习基本题型、基本概念和公式等核心的东西就足够了。　　当然，大致浏览式的学习是不行的，要塌塌实实地去学。另外，本年级不需要的部分要果断地跳过去，那些高中阶段会重新学习或者与高中课程无关的初中内容，不学也是可以的。此外，没有必要连测验题、练习题一类的附加题目都一一解答出来。这是因为，即便有漏掉的东西，在以后推进进度的过程中也还可以用追根究底的方法再学习一遍。最好不急不躁地一口气把相关问题解决掉。至于学习的方法，可以从两个方面来考虑。　　既可以按照主题分为集合、代数、解析、几何、概率以及统计等几大块，不分年级地去学习，也可以按照年级，从低年级课程开始一步步学起。虽然按照主题去学习效果更好一些，但并没有多大的差别。　　下面这些是高中时必需的初中阶段的内容，或者初中时必需的小学阶段的内容中最重要的东西整理而成的，以供参考。它告诉我们，该学些什么会对一口气对基础追根究底有所帮助。花絮1：童年的回忆　　我小时候是个普通得不能再普通的孩子，没有什么特别的才能，吃饭和玩耍几乎就是我生活的全部。我还记得，上小学的时候有一次得了个大鸭蛋还在那儿引以为荣呢。小学六年级时第一次考了个第六名，还拿了个奖。之后，初中二年级的时候，因为几个偶然的理由，我才开始把学习当成了目标。　　第一个理由与当时我觉得自己没什么特别的才能有关。由于我性格过于腼腆，所以在女孩子中也没什么'人气'(有没有'人气'对那个年龄的我来说是无比重要的)，又没什么特长(学校里有一个乐队，但我一来没那个天分，二来也没有那份试试的勇气)，而且我长得也不帅。好像从那时起，我就开始想，哪怕只是学习好，是不是也能得到一点儿别人的认可呢？　　第二个理由则与'傲气'有关。读初二的时候有一个考了全校第一的家伙，在我看来简直是傲慢无比，所以我就想在学习上击败他一次。还记得当时我还特地把冷水灌入白铁罐中，把脚浸在里面，熬夜苦读。当然了，那次考试我失败了。　　不管怎么说，我还是以此为契机开始努力学习，最终击败了那个家伙获得了第一名(因为是农村的学校，这没什么特别值得骄傲的，而且大部分同学都整天忙着干农活)。　　高中的时候我学习也算比较努力，主要是为了让父母开心，也是为了能获得老师或大家的认可，这就是最重要的理由。那时我几乎没有一定要上大学的念头，好像根本就没有认真地考虑过那个问题。我觉得每个人努力学习的理由都是不同的，大家认真地想一想的话，至少都应该有一两个吧。如果能有真正让自己动心的那种理由，而不是别人说出来的，哪怕这样的理由只有一两个(如果没有可以找一个出来)，任何人都可以产生向学习挑战的念头。这一点是最重要的！因为不管你上多少补习课，都很难追上那些拥有迫切的学习理由、靠自己努力学习的同学。　　寻找自己应该学习的独一无二的理由吧！要想学习好，不，要想至少比现在的成绩有所提高，就一定要有一两个自己独有的应该学习的理由才行。 第2阶段 跳过难题学一遍――骨架学习法　　看着学生们努力学习的样子，我感到最难以释怀的就是那些学生在以过于艰难的方式学习数学。大部分的学生并没有考虑自己的水平，而只是确定发下来一本辅导书就要从头到尾把它做完。　　但正如大家所知道的，数学辅导书的内容并不是那么简单的。虽然高中生们抱着厚厚的辅导书自己一个人辛辛苦苦地学习，但大部分人学不了多久就放弃了。每到放假或者新学期伊始都要抱着从头再来的心态再去从'集合'学起。即便是学习不好的学生也惟独对于集合这一部分有一定的自信，其理由正在于此。　　当然了，有时也会和补习班的老师或家庭教师一起把进度赶完。但那哪能算是自己学习的进度呀？也就是老师的进度罢了。恐怕在学习的时候所学内容的一半以上都不知道是在说什么吧。这样学下去的话，学生最终都会逐渐放弃，感叹：'数学真是太难了！'明明都学习过，但题目一出来还是不会做，因为实际上并没有真正掌握，所以当然会有那样的反应。这样的学习方法与其说是在积聚实力，倒不如说是在积累挫折感。　　改变方法，走捷径吧！　　首先，只把简单的部分从头到尾学习一遍。只学习那些构成学习内容骨架的基本概念、基本公式、基本题目就可以了。筛选出基本的概念和公式，然后把它们扎扎实实地记住，再反复练习基本题目以求能做出正确解答，其余的东西尽可以都忽略过去。只要能切实做好这一点，在学校里就可以保持中游水平，在高考中就至少能考110分(满分150分)。这样做有三个优点：第一，学习数学的时间大幅度减少。如果只是背诵一些基本的概念和公式、解答一些基本题目的话，学习量并不大，一天之内可以完成几个单元的进度。大体上，本来要学习一个学期的内容，一个月左右就能完成了。如果只需投入这么少时间就能把数学的基础打好，难道还不值得一试吗？另外，由于学习的内容是以一些简单的题目为主，所以会使人产生解题的兴趣，而且进度会比较快，由此也会产生成就感，数学在你眼里也就容易了一些。第二，可以了解整个单元最重要的骨架是什么。每个单元一般都有一些必须掌握的最重要的内容，如果先掌握好这些内容，一个单元的骨架也就了然在胸了。这样，对于重要的东西就能够更集中地进行学习，而再学习那些考试中偶尔会出现的高难度的题目也不会糊涂了。这些题目是考试中首选的出题对象，所以，在考试时基本的分数也就能够确保无虞了。第三，学习到这一阶段，就算中途停止，之后无论再从哪一个单元入手，都不会很难。用这个方法从头到尾学完了一遍之后，即使在一段时间内没有学习数学，无论再从哪一个单元入手，也都很容易就可以赶上其他的同学。而且，不管从哪一个单元开始，理解起来，或者学习起来都不会太难，因为已经切切实实地打好了基础。但如果只是认真地学习整个课程的几个单元之后就中途停止的话，再怎么重新开始努力学习，追赶起来也很吃力了。快速地、牢牢地把骨架内容从头到尾都学了一遍的人，只要想重新开始学习，无论何时都会很轻松。只筛选出核心内容快速学习一遍！　　这就是效果100%的第二条学习秘诀。 1.背诵令两个学生一喜一悲　　我曾经教过两名初中二年级的学生，其中一名学习成绩处于中游水平，另一名学生HM则总是在中下游之间起伏不定。虽然HM看上去在课堂上大体也能听懂老师的讲解，但好像总是理不清学习的内容是什么。有一天，我讲解图形部分时，发现她对于题目几乎束手无策。HM的问题在于没有背诵好重要的概念或公式，所以当碰到题目的时候，本应该快速反应出来基本的性质或公式，她却做不到。刚开始的时候，我曾不断地督促她，还把原理详细地讲解给她听，希望她能通过进一步的理解自然而然地把这些东西记住，可是情况却几乎没怎么好转。于是我暂时不再继续往下赶进度，而是把图形部分中我觉得最重要的内容整理出来，让她把这些东西背得滚瓜烂熟。例如，把三角形内心的定义和性质及其在题目中的应用举例等简单整理后让她去背诵。我挑选了10个左右与此类似的有完整解答步骤的例题，让她不断地边检查边背诵，一直到她能从头到尾什么也不看凭记忆在白纸上写下来为止。等我确定HM已经切实地记住了之后，再重新回到图形单元中，结果发现在不知不觉间，她已经能够得心应手地解答图形题目了。从那以后，只要我碰到图形方面薄弱的学生，或者是看到题目后因为连基本的概念或定义都想不起来而不会做题的学生，我就会把那个单元中核心的东西整理出来，让他们一字不差地背诵下来。这种学习方法总是能收到超乎想像的效果。第二个故事是关于一个在国外读完小学后回韩国的学生的。那个学生的父母在把他托付给我的时候说：'这个孩子脑子还是挺好使的，就是不学习！打也好骂也好，请老师您管教一下吧！'看起来大部分的父母都认为自己孩子很聪明。实际上几乎没有哪个学生的脑袋瓜生来就不是学习的材料，只不过是不愿意努力罢了。不管怎样，那个学生在小学的时候，数学成绩还一直都是差一点儿就能算是上游水平，但到了初中以后，分数却一路下滑，几乎都快垫底了。所以他父母就给他换了一个又一个的老师，结果却无一例外地都以失败告终，于是又换成了我。教了他一段时间以后我发现，这个学生最大的问题就是极其讨厌背诵。也不知道是不是受到在国外学习习惯的影响，他公然表示就是不愿意去背东西(这个学生理解能力还可以，对于讲解的东西理解得还是不错的)，动不动就说在国外如何如何，说自己想以那儿的方式学习。虽然他的父母现在无法去外国，但在他的心中却依然无法舍弃回到国外的念头。因此，在这个学生听课后的第二天，问他前一天学习过的内容，结果发现本应背诵的东西也就记住了不过20%~30%。我想这样下去可不行，就让他把重要的概念写下来去背诵，结果他说怎么背也记不住。他是个根本不愿意背诵的学生，真是让人无可奈何。但念在他父母如此诚恳的拜托，我还是尽量忍耐下来，在上课的时候尽可能讲得有趣一些，付出了比对别的孩子多一倍的心血。他一开始还做出一本正经学习的样子，但一碰到需要背诵的东西就逃之夭夭了。因此，那些必须要记住公式或者概念才能做出来的题目，他几乎一道都不会。最终，他的父母看他的成绩一点儿都没有提高，没过多久就不再让他来了。这对于我来说是一段苦涩的回忆，我觉得很遗憾。如果他的父母再多给我一点儿时间的话，情况有可能会有所好转的。　　无论如何，我还是通过这次经历再次认识到了背诵在数学学习中的重要性。对于数学这门课来说，如果连定义、定理、性质、公式之类的东西都记不准，就无从着手。去国外的时候，对大部分人来说最大的难题就是'语言'。英语'airplane'的意思是'飞机'，对于美国人来说，只要发出'airplane'的声音，任何人都知道是'飞机'的意思，因为就是这样约定俗成的。但在韩国，如果一位老大爷看到'飞机'后问'那是什么'，你说是'airplane'的话，可能会挨一记耳光，因为韩语的约定俗成与英语是完全不同的。在数学里面也有很多这样的约定。也就是说，只有对此准确掌握，一听就能马上明白是什么意思，学习起来才不至于那么困难。要切实地掌握数学中的这些约定(定义、定理、性质、公式等)，才可以与题目进行'沟通'。假设有一个题目是：'用刻度为1毫米的尺子来测量，误差会有多少？'如果连'误差'的定义都不知道，这个题目根本就无从下手(参考：误差就是'近似值'减去'精确值')。但如果知道误差的定义，不管对还是错，总还是有机会可能解出来的。如果无法克服这种语言(对于数学来说就是必须掌握的基础)的障碍，学习数学无异于孤身处于一个语言不通的国家。老师的讲解听起来就会像用一门你不懂的语言一样，就算努力学习，也还是像听天书一样不知所云。这样一来，在上学的时间里，与数学之间的'梁子'就只会越结越深。所以，把一个单元中核心的概念或者公式切实地理解和背诵下来，是学习数学时最重要的着手点。这是我总结出来的快速骨架学习法的核心所在。 2. 骨架内容该如何筛选？　　在快速学习时，我们需要网罗出来的骨架内容都有哪些呢？　　那就是概念和公式。　　概念是一个单元的核心内容。如果学习新符号，概念就是指那个符号的定义、性质、特征等。如果学习图形，概念则是指图形的定义、定理、性质一类的东西。公式需要推导过程，是一个可以让我们省略很多解题步骤，很容易就能直接得出结果的数学式子，比如内角和定理、二次方程式求根公式等等。在初中课程中，一般用基本的定义或定理就很容易把题目做出来，所以相较于理解，重点在背诵上；而在高中课程中，相较于背诵，重点在理解上。但不管什么课程，都必须要背诵基本的概念和公式。　　从整体上来看，在每个小单元中需要背诵的东西再多，大致也不过是一页纸的分量。这样的分量，就算再不善于背诵，略加学习也可以记得住。需要注意的一点就是在概念或者公式里没有必要包含过难的内容。这一学习的目的就在于把握整体的骨架，对于难度过高或者过于艰深的内容还是跳过去为好。　　例如，在近似值部分中：误差区间 =近似值的范围/2对于这个公式，不要只记公式本身，还要记住在四舍五入的情况下误差的区间是四舍五入后最小位数的1/2，在测量的情况下则是测量所用最小刻度的1/2。这样，需要背诵的东西可以整理如下：误差区间 = 近似值的范围/2例5.55≤精确值&5.65时，误差区间(5.65-5.55)/2=0.05 四舍五入情况下：四舍五入后其最小位数的1/2例 若四舍五入后为5.6，误差区间0.1/2=0.05 测量情况下：最小刻度的1/2例 用0.1kg的秤进行测量时，若为5.6kg，误差区间0.1/2=0.05kg所幸的是像这种程度的整理，大部分的辅导书都已经列出了。而且，为了加强学习的效果，最好把它和一两个非常简单的例题放在一起背诵下来。这里所说的例题指的就是教科书或者辅导书中的范例。这样一来，背诵过的概念以题目的形式出现时你就不至于张皇失措，能够解答出来。也就是说，不只是单纯地背诵公式或者概念本身，还要针对它在什么题目中如何被运用进行简单的整理，一并背诵下来效果会更好。单纯的定义和简单的例题自然是不用说了，还要按照各种具体的情况分门别类地整理后背诵下来，做题的时候才会派上用场，背诵起来也会容易些。　　该用什么书来学习？　　教科书和辅导书在学习上的作用可以说是各有千秋。教科书的长处在于它有较为详尽的说明，而且只是把既简单又重要的内容整理出来；辅导书的长处则在于它收录了很多考试中常常出现的题目类型，而且还把概念等整理得条理清晰、一目了然。在学习的时候，要以教科书为中心，并依靠辅导书的帮助来整理一些需要背诵的东西。　　基本公式、概念如何分辨？　　当然是学校的老师强调、辅导书中强调、补习班或者家教老师也强调的东西了。这些东西中重合的部分(交集)就是必须掌握的重要的基本公式或者概念。所幸的是在教科书或者辅导书中重要的部分肯定会被标示出来，因此只需稍微留意一下就可以轻而易举地找到它们。在习题集(以收集大量的题目为主)中也会将一个单元的核心内容整理在一两页纸上，那都是一些必须掌握(需要背诵)的内容。　　应该怎样整理？　　反正前面提到的教科书或辅导书、习题集都已经替你整理好了，所以你只需要把它们拿来用就可以了。首先，大部分的教科书或辅导书都把每个单元中必须掌握的东西用大方框框了起来，或者用不同的颜色标示了出来。除此之外，大家还可以用自己的荧光笔或彩色笔把必须要记住的东西标示出来，然后集中背诵。如果是喜欢自己整理东西的学生，可以把它们写在一个随身携带的小本(类似单词本的样子)上去学习，这样会更有成效。因为只有条理清楚、便于携带，才会常常拿出来看看，学起来也才会比较容易。　　要背诵到什么程度？　　就像前面介绍的HM的故事一样，确定下来一个单元之后，要把这个单元里的重要概念、公式等熟记到只靠记忆也能把它们一字不差地写在白纸上为止。这时，重要的数学用语或公式中的数字可能要熟练到100%准确默写下来的程度。'我记住了吧！''写它10遍就可以了吧！'这样是远远不够的。只有把自己背诵的东西按照上面的方法进行检查确认，那才是真正记住了。不管是谁问起来，都要能够用自己的话来回答。如果别人问：'误差是什么？''误差就是近似值减去精确值！'若问：'四舍五入后的误差区间是多少？''嗯......是四舍五入后最小位数的1/2啊！比如，如果5.6是一个四舍五入后的数字，那0.1/2=0.05就是误差区间。'只有能够做出这样的解释才可以。像这样用自己的话来解释，可以使你了解到自己对什么东西还不太清楚。如果可以准确地解释出来，就意味着在你的头脑中已经真正把这些东西整理好了。也就是说，在实际做题时，它会马上浮现在你的脑海中，可以派上用场。为了检查是不是真的已经掌握了，可以通过让朋友或老师提问自己来回答的方式进行练习。有一句话是我常常强调的：'没有经过检查的背诵不能称之为背诵。' 3. 4个月内高考成绩提高20分的故事　　我曾经从4月开始一直到7月放假前，教过三名已经放弃数学的高三男生。衣冠不整，长相野蛮，烟草味扑鼻而来，当我遇到这三个男生时，心里立刻觉得像是被压上了一块大石头那样堵得慌。更糟糕的是，他们的高考模拟成绩连75分都到不了(满分150分)。他们也并不是一点儿都不学，只是不知道从什么时候开始忽视了数学，到了高三之后就觉得在数学上再也没有什么希望了。之所以托我教他们，只不过是希望高考的分数至少别再低于现在的水平就可以了。和他们给我的第一印象不同，这几个孩子还算懂礼貌，很听我的话。有时候，我去散步，偶尔碰到他们正在与女朋友约会，每次他们都会挠挠头，不好意思地跟我打个招呼。不管怎样，我给这几个学生定下的战略是很简单的。　　我为他们定下了在3~4个月的时间内使成绩提高20分的目标。而且，由于当时有消息说高考试题会比较简单，所以我只是把每个单元中最重要的核心内容及题目反复地教给了他们。为了能在短时间内取得实实在在的成果，每一个小单元中需要连解题步骤都完全记住的题目被限定在了6个以内，而且越往后每个单元中我要求必须要掌握的题目数越少。至于那些高难度的概念或者题目，我根本就没有教过他们。不管是教谁，我常常强调的一个原则就是'比较简单的单元中出题会比较难，比较难的单元中出题反而会简单'。比如，根据我的判断，各个单元中只需真正地掌握几个重要的题目，在高考中就能有70%以上的命中率。好在这几个学生还是想把高考考好，进入理想大学的，也许是因为这样吧，他们总是按时完成布置的作业。当然作业量也不算大吧。　　刚过第一个月的时候，他们的模拟考试成绩并没有什么起色，但等到下一次模拟考试，他们的成绩却开始有了显著的进步。后来我接到了来自他们父母的电话，刚开始我还担心是不是他们考试考砸了，出什么事了呢。结果我被告知，这三个学生的成绩都有超乎想像的提高，一个学生考了109分，其余的两个学生都超过了110分。连我自己都觉得有些难以置信，还是这几个大家伙可爱，令人欣慰。虽然时间很短暂，但这却是一次令人满意的相遇。　　这次经历使我对自己总结出来的骨架学习法产生了自信。在此之后，当我遇到学习不好的学生时，我总是让他们把骨架内容实实在在地掌握好，以这种方式来准备考试，而这种方法也总是能带来超乎期待的效果。不要妄想一下子把那么多的东西都学好，只需把重要的题目集中起来实实在在地掌握好即可！这就是提高分数的秘诀。4.骨架题该如何学习？　　骨架题指的是那些基本类型的题目。这些题目是考试中的必考题，是检验各个单元的重要概念掌握与否的尺子。只要认真观察一下就可以发现，重要的题目和一般的题目还是有一定区别的。大致来说，在每个小单元中都有4个左右的题目，有时候也会只有一两个。只需要找那些在重要概念或公式的说明之后出现的题目就可以了。　　要学习骨架题，最好以教科书为中心，但如果有像教科书那样，解释浅显易懂、骨架题已经分门别类整理好了的辅导书，也是不错的。骨架题就是那些与重要的概念、公式直接相关的题目。在大部分的辅导书中，被称为例题的题目中就掺杂着这种骨架题。因为例题既包括骨架题，也包括更高水平的题目，如果学习全部例题，对于正处于第2阶段的你来说，就显得有些负担过重了。由于现阶段不能让你因推进进度而感觉负担过重，所以还是选择那些以自己的水平能够很快挑选出来并能很快做完的教科书之类的教材比较合适。现在我们来看一下教科书。　　那些被冠以例题称谓的题目也就是所谓的骨架题。有一些例题比骨架题的水平还要低一些，还是在学习概念、公式的同时一起学习比较好。它们的作用大都是为了对概念进行说明或帮助理解。总之，在第2阶段里，只需要做一些骨架题或更低水平的题目就可以了。即只需要把教科书中的例题和难度低于骨架题的题目做出来就可以了。还有一些对例题起补充作用的练习题，在相当于骨架题个数的范围内做一些也未尝不可，但由于其量比较大，如果要全部做出来就会影响进度的推进。对于此类题目，哪怕一点儿也不做就跳过去也没有关系。初中的课程中例题太少，因此最好以那些在重要概念之后出现的题目为主来做题。需要注意的是，'练习'、'习题'切勿全部解答，跳过去就可以了，因为这些都不是现在这个阶段需要做的题目。为什么只学骨架题？第一， 因为快速地了解整体的脉络和重要内容是这个阶段的目标所在。　　'原来这个单元是讲这个的啊！''最重要的概念是这样的！''重要概念原来是以这种方式来出题的啊！'如果能够了解这些，就已经足够了。能把握这些表示打好了基础。像这样，能先了解一个单元中最重要的内容和题目并快速学习一遍的话，你会觉得数学变得简单有趣多了。第二，因为这有助于分辨出重要题目和不重要的题目。　　如果连骨架题都不会，再怎么学习其他题目也不会有什么帮助。这就好比在连主路(骨架题)都不知道的情况下还要努力去了解支路一样，是很容易迷失的。为了进一步提高实力而回过头来重新学习的时候，由于对整体的脉络已经有了一个了解，就能以重要题目为主展开学习了。而且，由于这些都是长在骨架上的肉(不管有多少必修类型题)，所以可以在头脑中条理清晰地整理出来而不至于混淆。第三，因为骨架题在考试题目中一定会出现。　　如果把略微应用了骨架题的题目都算在内的话，会有很多的考试题目都在此列。即使是高考，只要把这些东西切实掌握好，考个100分以上也不会是一件很难的事。如果对单元中的骨架题进行集中学习的话，由于量并不大，所以考试的准备时间也可以大幅减少。另外，由于题目的量比较少，对题目的分辨能力也会自然产生，在解题的时候失误的概率也会大大降低。只要把这些实实在在掌握好了，至少能使你保持中游水平。第四，如果以骨架题为中心，事先把一个学期的内容快速学习一遍的话，等在学校里上课的时候，由于都已经预习过了，你就能更加积极地参与课堂上的互动。之前预习时忽视的概念也可以再塌塌实实地学一遍，这样在学校课堂上的收获会更大，理解得会更清楚，自然也就会觉得更为有趣。　　该怎样学习？　　可以把筛选出来的骨架题用彩色笔或者荧光笔鲜明地标示出来。如果是喜欢整理东西的学生的话，则可以把一个单元的题目整理为一页纸左右的笔记。另外，如果把第1阶段整理好的公式、概念之类的东西也放在一起，简直就等于自己编撰了一本优秀的独一无二的小小教科书。　　还有，可以把题目一下子全罗列出来，这样做有一个优点-可以使你生出一双火眼金睛，轻而易举地就能分辨出题目和题目之间的差别所在。如果能把题目区别开来的话，在考试中会占多大的优势，就算我不说，相信大家也很清楚。但比起标示和整理来，更重要的是要切实地学习它们，在脑子里把它们理清楚。否则，即使整理得再漂亮，如果不去学习也不过是纯粹浪费时间罢了。应该选多大的题量？　　虽然确定到底该选多大的题量也是比较重要的，但由于以后你也可以把认为没有必要的题目删掉，所以刚开始选择题目的时候倒也不必过于慎重。随着学习一步步推进，哪些是重要的题目，哪些是不怎么重要的题目，都逃不过你那双慢慢练就的火眼金睛。大致说来，如果是高中的教科书，整理一个小单元，从5道题目左右开始比较好。初中的单元数目比较少，大多也都是一些简单的题目，所以一个小单元以10道题目以下较为适当。根据单元内容的多少，这一数目也可以有所变化，这儿所说的5道、10道，也只是为了检查是否已掌握概念所必需的大体数目罢了。题目要练习到什么程度为止？　　对于这些题目，要一直练习到在没有任何外界帮助的情况下，能够自己把它们解答出来为止。这与背诵公式和概念差不多，特别是对于教科书中出现的解题步骤，尽可能原封不动地把它们写出来是很重要的。有些学生总是自己随心所欲地杜撰一些解题步骤，这是一个必须改正的不良学习习惯。　　要想把骨架题真正化为己有，就有必要像上面的图示一样进行两次检查。在第一次检查中，做到在各个单元的学习结束之后，对每一道题目都能不看参考资料从头到尾解答出来就可以了。这时，哪怕中间稍微看一点儿答案或者解题步骤都不可以，应该能在不看答案或提示的情况下凭自己的能力解答出来。第二次检查就是在结束了一个单元进入到下一个单元之后，在下一单元(过了几个单元之后再检查也可以)即将结束之际对前一单元的题目是否真正掌握再进行一次检查。据说在第一次背诵之后大约24小时或48小时之内再背诵一次的话，80%左右的背诵内容都会长时间留存在脑海中。所以，隔一定时间进行第二次检查是很有必要的。特别是如果曾经给做错的题目做过标记，之后进行复习、检查的时候就可以以那些题目为中心来学习，这样可以节约大量时间。另外，在一个学期或者半个学期的课程结束以后把全部题目再进行复习、检查，或者在准备期中、期末考试的时候进行复习、检查的话，几乎能够做到100%的掌握。对于有意进入第3阶段的学生来说，这个过程也可以省略。进入第3阶段的学生，复习、检查可以和表格式整理一起进行，这样可以有效地完成学习的内容。按上面所说以进行复习、检查的方式来学习的话，虽然感觉上似乎需要大量时间，但由于是以做错的题目为中心来学习，所以题目的量实际上是比较小的，而且由于越复习越熟练，所以所需要的时间也就越来越短。复习的目的就是熟练和检查。如果不够熟练，就无法做到快速地解答；如果没有检查，就无法保证准确地解答。应该注意些什么？　　题目的量一开始的时候不要定得太多。'当然得做10道左右才算有面子呀！'结果做着做着，如果超过5个单元以上，可能就会后悔了，开始抱怨：'怎么这么多啊！'从自己的能力出发，学习的题目量不构成负担，这才是明智之举。特别是到了复习、检查的时候，如果题目的数量过多，就会成为一个负担，做起来就比较吃力。　　数学并不是一门学了一个单元之后就会有立竿见影之效的科目。只有对各个单元培养一种综合的实力，才不会做错已经学过的题目。实实在在地学习各个单元的骨架内容，比起华而不实地做大量的题目、一个单元一个单元往下赶进度来说，效果会更为明显。让我们试着以这种方法学习一个月左右的时间看看，即使是基础薄弱的人，在追根究底式学习的同时以骨架法进行学习，也能在不超过两个月的时间内看到效果。小习惯系列1：无法理解题　　我们经常可以听到人们说准确理解了题意相当于题目解了一半。题目的说明中就是有着这么多的提示。即使是说明简短的题目，有时也会因为会错了题意而出错，更不用说那些说明复杂的题目了。　　其原因可以概括为三种。　　第一，对说明中出现的重要词语的数学含义不太了解。　　第二，无法理解整体的题意。　　第三，审错题了。　　第一个原因是由于没有搞清楚某些词的数学含义而导致的。　　例如，如果有一个题目是'把下面函数中的反比例函数选出来'，如果连反比例函数是什么都不知道，这个题目肯定是做不出来的。这就好比进了仓库之后问自己'我来找什么来着'一样。数学中像这样必须要掌握的定义、定理(主要在图形里)有很多，切实掌握它们的含义是数学学习的第一步。这一问题可以通过第2阶段快速骨架学习法来解决。　　第二个原因是对题目说明所蕴涵的意思理解错误。　　还是前面提到过的在国外读完小学的那个学生。这个学生不仅如前面所说在背诵方面有些问题，而且在他身上还有很多各种各样的综合问题。即使不是需要背诵的问题，很多时候他也根本解不出题来，特别是如果题目的说明稍显复杂，他就会束手无策了。刚开始我还以为他没有把握好题目只不过是失误，但后来才发现是因为他对母语的含义经常把握不准。举其中一个例子，对于'对x进行整理'和'整理成包含未知数x的方程式'这两个题目。前者应该整理成x = o+o+o的形式，后者应该整理成方程式= ox+o的形式，但这个学生却根本分不清楚它们之间有什么区别。语言上微妙的差异会要求截然不同的答案。除了在国外学习过的学生容易这样，在下游水平的学生像这样发生误解题意的情况也很多。　　第三个原因是偶尔会把题目审错，所以由于没有看对而做错的题目几乎在每次考试中都会出现一两个。高二的时候我有一个同桌，他和我学习的时间基本上差不多，但考试的分数却总是很难超过60分。他有一个毛病就是对自己做过的题目基本上都记不住。'我做对了呀......'他总是这么说，自己也觉得莫名其妙。还有，明明已经在答题纸上写出正确答案来了，后来一看才发现把它写在其他题目答案的位置了。我对此也无法解释，所以也就只能默默地听着而已。当时这个现象成了一个不解之谜，现在想来应该是没有集中精神把题目看准的缘故吧。　　解决这种问题的方法如下：　　首先，那些不清楚题目说明中词语含义的人应该检查自己能否把说明各个单元基本概念的重要定义背诵并写出来，或者是否可以用自己的话来进行准确的说明。　　其次，对于题目说明理解错误的情况，解决起来一般要花费相当长的时间，而且通过数学之外的方式也不失为一种不错的方法。即多读书(通过读书来培养阅读理解能力，读自己感兴趣的小说也是可以的)。　　最后，对于经常因性急而看错题目的情况，应该使自己养成务必把题目读两遍的习惯。虽然我学习还算不错，但总是由于性急的原因，往往是题目说明还没有读完就去解题，所以平均来说总是会多错一道题以上。因此，有一天我就告诫自己：从现在开始，就算觉得考试时间再紧张，也一定要把题目读两遍(咬牙)。这样做的结果就是，到了高三之后我在一年的时间内再也没有发生过由于审错题而出错的情况。即使没有必要认真到把题目一点一点解剖开来加以分析的程度，但还是有必要练习慎重阅读题目，把题目的准确含义搞清楚。为此，平时做题的时候，在题目的说明上还是有必要多花一点儿时间的。因为只要仔细地思考了题目的含义，本来会做的题目基本上也就不会再有做错的可能了。　　在阅读题目时，与读两遍同等重要的就是要慢慢读和特别留心题目说明的结尾。题目说明的最后到底是'把正确的选出来'还是'把不正确的选出来'，有时候在一瞬间总是容易混淆，大家肯定也都有因此出错的经历。本来解答得很好，却仅仅因为看错了题目或者理解错了题意而做错题的话，恐怕再也没有比这更冤枉的事了。　　一定要把题目读准确！答案自在其中。 小习惯系列2：学习的终点是检查　　我们在学习的时候，错觉之一就是以为既然自己已经学过了，就已经真的掌握了，但一到考试却又做错。到底是哪儿出了问题呢？　　我升入高中以后才意识到检查是很重要的，而在此之前，就算我在学习时这样做了，也不知道它为什么重要。在考前复习的时候，我一定会检查一下自己是否真的把学过的内容记住了，题目是否真的会做了，也就是在白纸上把刚才背诵的内容或做出来的解题步骤再原封不动写一遍。如果总这样检查肯定会有什么地方写不出来，这样的话就把写不出来的那部分再好好学一下，然后再去试着写出来。等到了能100%确认的时候，学习也就可以告一段落了。由此，至少在我押的题目出现在试题中时，我能够一字不差地快速写出正确答案来。这是我在进入大学和研究生院之后在学习中也一直恪守的一条准则，也是我常常向教过的学生强调的一句话。之所以要检查是基于一条理由，因为你自己觉得已经准确掌握了的内容实际上可能在什么地方并没有准确掌握，这就是做错题的原因所在。特别是在没有用笔写过而只是用眼睛看过的情况下，考试时往往就会记不起来到底该怎样做，明明已经背诵过的东西，后来却怎么也想不起来了，这是一种很常见的情况。　　检查是学习的必由之路。　　前面我强调了在背诵和题目解答过程中检查这一过程的必要性。数学这门课要背诵的东西很多，要解答的东西也很多，而且准确性就是生命，所以对于自己是否真的学好了一定要加以检查才行。如果不检查只学习的话，就算学过了，到考试前也不能放心，因此考试之前就会把学过的内容看了又看。但如果边检查边学习的话，考试前就能安心地结束功课复习。 甚至于在考试前，会有时间睡个痛快觉或是去运动一番花絮2：化侮辱为动力　　是我初中毕业升入高中后发生的一件事情。不管在乡下的初中学习有多好，到城市里学习之后就能意识到以前的自己只不过是井底之蛙，在班里不过是勉勉强强排个第十名罢了。当时要选班长、副班长和组长，因为同学们都互不相识，所以就按照成绩排序来选拔，结果我的成绩连个候补都没能排上。在开学之初，由于我是初次来城市，在这儿连个朋友都没有，所以主要是在图书馆里打发时间的。这样没过多久，就开始期中考试了。我主要把时间花在了图书馆里，再加上我对'临时抱佛脚'又相当有自信，觉得'怎么说我在乡下的学校里也算是数一数二的啊'，带着这样的自信参加了期中考试。那次期中考试我考了班里的第二名。但老师在拿着成绩单进来之后却让我站了起来，而且竟然问我：'你是不是作弊了？'我顿觉眼前一阵晕眩，视线变得模糊了。我哪能受得了这种刺激，觉得连精神都有些恍惚了。我怀着一种愤怒的心情，痛下决心'下次不管发生什么事，我一定要考第一名'。在第一学期的期末考试中我果然考了班里的第一名，在全校则进入了前五名。那时，看着班主任，心里真是有说不出的痛快......　　不管是谁，如果受到了别人的侮辱却又无法与之争辩的话，通常可能有两种反应：一种是通过发火或者反抗来把自己所受的侮辱化解掉，另一种则是把侮辱转化为自己发展的动力}