用代码画画-详解三角函数
用代码画画，必需要懂很多数学知识？如果数学基础没那么好，是否就无法肆意表达，领略其中的乐趣？
其实不然。很多时候，只要用简单的数学知识，也能做出复杂精妙的作品。
希望通过下文，可以让你破除对数学的恐惧，从基础的概念入手，与三角函数“共舞”。
什么是三角函数？
如果要问哪个数学函数在图形创作上使用频率最高，那三角函数估计能排在前几位。
三角函数，用简单的话来讲，是用来描述直角三角形边长和角度关系的函数。常用的三角函数有正弦函数（ sin ），余弦函数（ cos ），正切函数（ tan ）。
用一张图来举例。假如有一个直角三角形 ABC,其中 a,b 是直角边,c 是斜边。
那么 ∠B （角B）的正弦函数可以写作 sin（B），它的值就是 ∠B 的对边除以斜边，即 b 除以 c。∠B 的余弦函数写作 cos(B),它的值则是 ∠B 的邻边除以斜边，即 a 除以 c。而正切函数，可以写作 tan(B),它是 ∠B 的对边除以邻边，即 b 除以 a。
上面所谓的斜边，指的就是直角三角形最长的那条边。而对比和邻边的概念是相对的，对边是指某个角对面的那条直角边，邻边就是某个角相邻的直角边。
我们在中学时期学习过三角函数，可能对“ 对比邻 ”，“ 邻比斜 ”，“ 对比斜 ”这几个词有印象，他们就是分别用来记忆 sin，cos，tan 的口诀。之后的程序中我们主要会重点介绍 sin 和 cos ，所以只要记住 sin 是“ 对比斜 ”，cos 是“ 邻比斜 ”即可。
关于三角函数我们可以记住这样一个性质：直角三角形中，边与角的这种比例关系是固定的，所以无论是多大或多小的三角形，只要两个三角形比例相似，相对应两个角的 sin 值，总是恒定的，因为边长的比例固定。反过来，如果我们已知某三角形某个角的 sin，cos 或 tan 值，结合一定条件，也能反过来推算出角度值。
为了更好地理解，这里再拿一个特殊的直角三角形来举例。假如一个直角三角形它的各个角分别为 30 度，60 度，90 度。那它的对边之比，就分别为 1：√3：2。
现在，我们只要将各边对应的比例关系代入，就能手动计算出正弦函数和余弦函数的数值。比如 sin 30 度就为 1/2 ，即 0.5。cos 30 度就为 √3/2,约等于 0.866。
这就是三角函数的数学定义。看到这里，相信你已经对它有了基本的了解，接下来我们可以学习在程序上的使用方法。
在 Processing 中使用三角函数
假如我们现在需要用程序来直接获取 sin 30 度的值，可以在 Processing 中这么写。
println(sin(PI/6));
输出结果为 0.5
cos 30 度，则是这么写
println(cos(PI/6));
结果约等于 0.866
但为何这里写的是 PI/6,而不是 30？这是因为 Processing 中规定，sin 函数中传入的参数采取的是弧度制。
所谓的弧度制，就是用单位圆的弧度长来表示角度。
假设单位圆的半径为 1。根据周长公式 l = 2 π r, 那圆的周长就是 2 π。而 2 π 的弧长（周长），就对应 360 度。同理,一个角的角度如果是 30 度。那它对应的弧长（图中红线部分），就为整个圆弧长十二分之一，即 2 * π / 12，为 PI / 6。
所以程序中写 sin(PI/6) ,意思就是求 30 度的 sin 值是多少。
当然，如果你更习惯用角度制来表示。程序中还可以这么写，只要使用函数 radians,它就能自动将角度值换算成弧度值，相当方便。
println(sin(radians(30)));
输出结果与原来一样,都为 0.5。
通过图像中认识三角函数
前面铺垫完基础知识，下面就进入正题，开始在程序中作画。首先，我们需要把三角函数的函数曲线画出来
绘制函数曲线
PVector posA, posB;void setup() { size(700, 400); background(255); posA = new PVector(0, 0); posB = new PVector(0, 0);}void draw() { float speed = 0.02; posA.x++; posA.y = height/3 + sin(posA.x * speed) * 40; posB.x++; posB.y = height/3 * 2 + cos(posA.x * speed) * 40; strokeWeight(5); point(posA.x, posA.y); point(posB.x, posB.y);}
代码浅析：
例子中为了方便对比，同时绘制了 sin 和 cos 函数的图像。其中 PVector 代表向量，常用用于表示点坐标
A ,B 两点的横坐标都不断递增，这个递增值作为自变量，传入到 sin 和 cos 函数中便获得输出值，接着把输出值的变化，赋值到 A,B 两点的纵坐标上
background 写在 setup 函数中，会使得 A,B 两点移动的轨迹保留在画布上
从上图可以发现，sin 和 cos 的图形呈现周期变化。图形的大小比例完全相同的，只是在 x 轴方向的位置有所不同。
接下来，我们试着在上例的基础上，把 speed 的值改成 0.2
又或是改得非常小，写成 0.005；
对比原图，会发现图形被拉伸或是压缩。这是由于输入值的变化速度发生改变了。输入值变化越慢，输出值也会越慢，因而起伏越小。
如果在绘制的时候，我们还想严格地控制“波峰”“波谷”的数量。那就需要注意输入值的变化范围。
由于 sin 函数和 cos 函数，他们的周期都为 2 π。所以当输入值的范围恰好是 2 π 的整数倍时，就可以在屏幕上绘制出与倍数相同的“波峰”“波谷”，并且是可以首尾衔接的。
试着将 speed 写成
float speed = 2 * PI * 0.01;
因为屏幕宽为 700，所以恰好就能绘制出 7 段重复的波形，可以代入到例子中仔细思考其中的含义。
三角函数的简单应用
在程序中使用三角函数，基本就是靠这个输出值来做文章。因为 sin 和 cos 函数是可以互相转换的，所以在具体应用时，使用 sin 还是 cos 并没有太大差别。
现在，试着把 sin 值的变化，映射到圆的半径，就能产生这样的效果
void setup() { size(700, 400);}void draw(){ background(255); float l = sin(frameCount/100.0) * 200; fill(0); ellipse(width/2,height/2,l,l);}
映射到角度
void setup() { size(700, 400);}void draw(){ background(255); float angle = sin(frameCount/100.0) * PI/2; translate(width/2,height/2); rotate(angle); rectMode(CENTER); fill(0); rect(0,0,200,200);}
映射到圆的位移，利用输入值的差异产生错落效果
void setup() { size(700, 400);}void draw() { background(255); fill(0); for (int i = 0; i &= 7; i++) { float h = sin(i/2.0 + frameCount/10.0) * 100; ellipse(i * 100, 200 + h, 80, 80); }}
从上面三个小实例可以看出，若想精确地控制图形元素，就要熟悉它的周期性，控制它的输入输出范围。位移的多少，角度的变化快慢，都与之息息相关。
使用三角函数实现圆周运动
三角函数的一个重用应用，就是使用它画圆
PVvoid setup(){ pos = new PVector();}void draw(){ background(255); float r = 180; pos.x = r * cos(frameCount/100.0); pos.y = r * sin(frameCount/100.0); translate(width/2,height/2); fill(0); ellipse(pos.x,pos.y,40,40);}
具体原理可以查看下图，它可以根据三角函数的定义推导得出。想象在圆周上有一个黑色圆点在运动，它构成的直角三角形的两个直角边，就对应它的坐标值。
而从中围成的三角形，由于
cos(α) ＝ x / rsin(α) ＝ y / r
很容易能推出
x = r * cos(α)y = r * sin(α)
所以我们只要在 α 处，传入一个不断自增的参数。x，y 的坐标就会输出圆周运动。
网上有其他朋友制作了这样一张动图，非常形象直观地揭示了底层原理
前面介绍的圆周运动，经过特殊组合，可以“编织”出一些非常有意思的图案
PVector posA,posB;void setup(){ size(700,700); background(0); posA = new PVector(); posB = new PVector();}void draw(){ float r1 = 300; float speed1 = frameCount/100.0 * 4; posA.x = r1 * cos(speed1); posA.y = r1 * sin(speed1); float r2 = 150; float speed2 = frameCount/100.0; posB.x = r2 * cos(speed2); posB.y = r2 * sin(speed2); translate(width/2,height/2); stroke(255,100); line(posA.x,posA.y,posB.x,posB.y);}
代码浅析：
这里设定了两个做圆周运动的点，并对它们进行连线。由于两点的运动半径以及运动速度都不一致，所以就使得直线在交织时，产生深浅不一的效果
试着改变传入的速度，半径
也可以开启叠加模式，实时改变线条的颜色
PVector posA,posB;void setup(){ size(700,400); background(0); posA = new PVector(); posB = new PVector();}void draw(){ float r1 = 300; float speed1 = frameCount/300.0 * 4; posA.x = r1 * cos(speed1); posA.y = r1 * sin(speed1); float r2 = 150; float speed2 = frameCount/300.0; posB.x = r2 * cos(speed2); posB.y = r2 * sin(speed2); translate(width/2,height/2); colorMode(HSB); blendMode(ADD); stroke(frameCount/10.0 % 255,255,255,30); line(posA.x,posA.y,posB.x,posB.y);}
下面的图片都是在同一个结构中，修改不同参数产生的。只是画布设置得更大，同时让线条的运动变得更平缓，这样就能产生丰富细腻的层次变化
利用 sin 函数实现动态画笔
接下来再分享两个有关画笔的实例，这节的介绍就快到尾声
先看基础版
ArrayList&PVector& brushLines = new ArrayList&PVector&();void setup() { size(700,700);}void draw() { background(0); for (int i = 0; i & brushLines.size(); i++) { PVector tempPos = brushLines.get(i); float l = sin(frameCount/20.0 + i/4.0) * 50; ellipse(tempPos.x,tempPos.y,l,l); }}void mouseDragged() { brushLines.add(new PVector(mouseX, mouseY));}
拖动鼠标，就会记录绘制轨迹。sin 函数此时会控制圆点的半径。
下面再看加强版
ArrayList&PVector& brushLines = new ArrayList&PVector&();PImage myPvoid setup() { size(); myPic = loadImage("pic.jpg"); myPic.resize(width, height);}void draw() { background(0); noStroke(); tint(125); image(myPic, 0, 0); for (int i = 0; i & brushLines.size(); i++) { PVector tempPos = brushLines.get(i); float r = 10 * sin(i/3.0 + millis()/200.0); fill(myPic.get(int(tempPos.x), int(tempPos.y))); ellipse(tempPos.x, tempPos.y, r, r); }}void mouseDragged() { brushLines.add(new PVector(mouseX, mouseY));}void keyPressed(){ if(key == 'c'){ brushLines.clear(); }}
拖动鼠标绘制图案，按 c 键清空画布
在运行实例前，需要先寻找一张图片素材放到所在文件夹中，来作为程序的背景图片。绘制的笔触会吸取背后的图片颜色，与经过变暗处理的背景相组合，就会产生类似于发光的效果。推荐使用梵高的作品做测试，绚丽的色彩和奔放的笔触，会更相得益彰。
如果做出满意作品，可以试着导出 Gif （Processing3.0 Gif动图导出技巧）
三角函数其他应用
三角函数还有其他用法吗？非常多。最后再截选一些之前的习作，它们都有用到三角函数。
（控制关节的旋转角度，模拟翅膀摆动效果）
（使用三角函数确定关节坐标）
（已知方向和步长，计算下个生长的坐标点）
这节有关三角函数的介绍就到这里。希望接下来和它接触的日子里，你会和我一样爱不释手~
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如何用matlab在同一张图上画4个三角函数图
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plot(2*y);plot(y),3);plot(cos(x));
y=sin(x);subplot(2,2;subplot(2;subplot(2,2,1)x=1:0.1:2*pi,2; subplot(2,2,2)
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分子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰，每个时辰又等分为“时初”.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://h.hiphotos。铜制的指针叫做“晷针”，朋友。很高兴能为你解答，下端正好指向南天极，起着圭表中立竿的作用，因此，晷针又叫“表”，直至1270年在意大利和德国才现早期的机械钟，而中国则在1601年明代万历皇帝才得到二架外国的自鸣钟，清代时虽有很多进口和自制的钟表，但都为王宫贵府所用，一般平民百姓还是看天晓时，中国是在3000多年前的周朝。　　日晷不但能显示一天之内的时刻，还能显示节气和月份。当然它的缺点也是显而易见的，笨重而且看不到阳光的时候不能用，比方阴天和晚上。　　这项发明被人类所用达几千年之久.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=86d796bc16/21a521f1cddbc0bf3d7ca7bcbd535.jpg" esrc="http://h.hiphotos。　　人类使用日晷的历史非常遥远，古巴比伦在远古时期的6000年前就开始使用了，垂直地穿过圆盘中心://h.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=d3d8eca903/21a521f1cddbc0bf3d7ca7bcbd535.jpg" />日晷　　日晷通常由铜制的指针和石制的圆盘组成。<img class="ikqb_img" src="http://d.hiphotos。盘上的刻度是等分的.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fec08fa2a8888255eee3d6d54fbdaac，日晷可以设计在任何物体的表面上、承受指标投影的投影面&nbsp。这一种日晷较适合在中纬度（30～70）使用，并朝向正北，投影的时间线是平行的线条。适合各种不同的纬度使用。南向垂直日晷南向垂直日晷（Vertical Direct South Dial）刻度盘面朝向正南且垂直地面的日晷.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=a20cf446c5f6de/fec08fa2a8888255eee3d6d54fbdaac.jpg" esrc="http://d.hiphotos。因此，日晷有许多种不同的形式：如地平式日晷，影子所指示的时间也将跟着变动。其实，在其上刻划时间线，并将长轴指向正东西方向，南北向的短轴上则需刻上日期，指示立竿测量时刻的正确位置。平日晷平日晷晷面水平放置而晷针指向北极，晷面和晷针之间的夹角就是当地的地理纬度。<a href="http.baidu、子午式日晷以及卯酉式日晷等等。折叠编辑本段常见分类水平式日晷水平式日晷（The Horizontal SundialE）是最常用的日晷，采用水平式的刻度盘，日晷轴的倾斜度，依使用地的纬度设定，刻度需要利用三角函数计算才能确定，让固定的指针产生阴影来测量时间，将轴（指时针）朝向北极固定.baidu日晷日晷本义是指日影://d。南向与东西垂直日晷都可视为此形的特例。投影日晷投影日晷（Analemmatic Sundial）不设置指时针，仅在地平面依地理纬度的不同绘制不同扁率的椭圆;(即晷面) 和晷面上的刻度线组成。最常见的设计。适合低纬度的使用。赤道式日晷赤道式日晷（The ERquatorial Sundial）是依照使用地的纬度，观察轴投影在垂直于轴的圆盘上的刻度来判断时间的装置。东或西向垂直式东或西向垂直式Vertical Direct East or West）刻度盘面朝向正东或正西且垂直地面的日晷。这一种日晷只能在上半日（东向）或下半日（西向）使用，但全球各纬度都适用。侧向垂直式侧向垂直式（Vertical Declining）刻度盘面采用垂直方向的日晷。这一种日晷需要依照建筑物的墙面方向换算刻度，不容易制作。依季节及时间的不同，有时不会产生影子。时间的刻画可以用简单的几何图来处理，也就是最普通的，即与地平面的夹角与地理纬度相同。极地晷极地晷（TheRE polar Dial）供指时针投影的平面与指时针平行，夏季和冬季轴投影在圆盘上的影子会分在圆盘的北面和南面，适合中低纬度的使用。若将圆盘改为圆环则称为赤道式罗盘日晷，就是所谓的庭园日晷、赤道式日晷，让日影投射在一个标有时刻的平面上，当太阳移动时，是使用太阳的位置来测量时间的一种设备，主要由一根投射太阳阴影的指标
日晷 日晷通常由铜制的指针和石制的圆盘组成。铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，起着圭表中立竿的作用，因此，晷针又叫“表”；石制的圆盘叫做“晷面”，安放在石台上，呈南高北低，使晷面平行于天赤道面
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