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浅谈小学数学 “解决问题”教学的一些想法
V问题”教学的一些想法&&&&&&《数学课程标准》明确指出,现代教学要强调培养学生的应用意识,应用题不再作为一个独立的分支进行教学.在新教材中,对应用题的呈现方式、编排思路等都做了较大的变动.教材中不再单独设立“应用题”单元，取而代之的是“解决问题”。&“解决问题”的内容贯穿在教材所有的数学知识领域中，它不仅是一个令人着迷的话题，甚至被某些专家称作“二十一世纪课程的核心”。数学课程标准对“解决问题”目标作了如下阐释：强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,使学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展应用意识;形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神;学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果;初步形成评价与反思的意识。可见,新课程标准中的“解决问题”目标不同于传统教材中的应用题教学。我在听课中发现不少教师对小学数学“解决问题”的教学依然存在着许多的问题或困惑。因此，谈一谈自己对小学数学“解决问题”教学的一些想法。&&&&&&&&&一、正确认识小学数学“解决问题”的编排意义。有些教师问“为什么教材要把‘应用题’改成‘解决问题’？”。我们知道九义教材是把“应用题”独立设为一个板块或一个单元，一例一练，易于学生模仿、掌握。但问题也随之而来，在反复演练中，学生惯于套用公式或机械模仿，不利于学生思维能力的培养。现在我们所使用的实验教材把这些“应用题”安排在引入计算内容的起始位置，题目包含了九义教材中的例题，并增加了新知识点，虽然题量较少，但从例题到习题变化较大，例题是一种类型的题，习题又是一种类型的题。这种编排方法体现了既是解决问题又使计算源于生活的理念，将解决问题分散到每一个单元中，确实能降低学生学习的难度，也更加贴近学生的生活，能够使学生用所学的知识解决日常生活中的实际问题，在解决问题的过程中巩固所学的知识。因此，只有明确了教材的编排意图，我们才能根据学生的认知规律和知识结构的特征，给学生提供尽可能多的材料信息，留足思维的时空，组织学生通过有目的的操作、观察、交流、讨论等方法，自主解决问题，主动建构自己的知识网络。&&&&&&&&二、重视培养学生从情境图中捕获数学信息的能力。实验教材中“解决问题”的出现改变了过去应用题呈现形式单一、结构呆板的情况，以情景、对话等方式出现，例题和习题安排形式多样，如图画、卡通、表格、文字等。这样创设出的情景能培养学生学习的兴趣，激发学生探索问题的激情。但我发现有些教师在教学中总是把教材所提供的情境图与小精灵的对话连成一道例题，把解决问题简化成了解应用题，究其原因有的是因为学生收集处理信息的能力不够强，学生不能正确判断条件的先后顺序，不能正确处理情境中的信息，如果让学生自主探究，怕完不成教学任务，因此只能又回到单一的应用题教学中。我认为课堂教学，如同和学生一起经历一次次难忘的旅程，如果教师只为了引导学生到达“终点站”，那么就会忽略旅途中的“美景”，也就是说，如果我们省去了让学生收集信息发现问题的过程，不仅有违课改精神，而且不利于学生思维能力的发展以及创新能力的培养，所以，我们应充分利用情境图给学生展示才能的空间，让学生全面参与知识的形成过程，主动参与分析问题，知道分析数量关系在解决问题过程中的重要作用，是解决问题的根本。因此教师在教学和复习时，要让学生理解和掌握“解决问题”的各种呈现方式，培养学生善于从各种生活情境中捕捉数学信息、寻求数学问题、分析数量关系、处理信息的能力，让学生能够利用已有的数学知识解决数学问题，同时学会概括总结解决问题的思路和方法。&&&&&&&三、加强学习策略训练，优化知识结构。关于解决问题，《标准》中第一学段的教学目标是：“能在教师引导下，从日常生活中发现并提出数学问题。了解统一问题可以有不同的解决办法。有与同伴合作解决问题的体验。初步学会表达解决问题的大致过程和结果。”，在教学过程中，教师们常常对要不要强调某种方法而感到困惑，新课程注重让学生自己选择问题解决的方法，但学生的方法往往不是最简便、最易懂的。老师担心解法一多会产生思维混淆，甚至会在学习上产生负迁移。例如：一年级的教师在教学中常会遇到了这样的问题：小河里原有10条小鱼，游走了4条，还剩下几条？大多数学生都会列出算式“10-4=6条”来解答，但有的孩子还会提出自己的不同做法：因为（6）+4=10条，所以还剩下6条；还有的孩子会做成10-(6)＝4条，所以还剩下6条。后面两种做法算不算对呢？面对算法多样化，我们都知道应该肯定。但是随之而来的问题也出现了，减法问题都这样做的话，学生会不会产生思维混淆？作为教师，我们应该知道“多样化是优化的基础，优化是多样化的升华”，因此，在教学中，关键是让学生有机会去思考、去发现，让他们有机会经历尝试与探索的过程，教师作为引导者，一方面要保证学生知道基本数量关系，同时，还要鼓励学生大胆交流自己的解法，在比较中自主进行“优化与筛选”，指出其思维分析过程中的问题，让学生能掌握基本的解题方法，在理解问题解决方法多样化的同时渗透问题解决方法的优化思想。&&&&&&&四、重视渗透解决问题的数学思想。解决问题一直是数学教学的一个重点和难点，在新课程教学中，解决问题更是渗透在每一个教学单元中，因此，它时刻相伴于学生的数学学习。然而，有的学生只要是碰到解决问题，就会不知所措，而有的学生往往在课堂上学懂的知识，在运用时却又屡屡出错。仔细分析其中的原因，我认为主要原因是学生缺少解决问题的思考与方法，欠缺一些数学思想方法的缘故，而数学思想它蕴含渗透在知识体系中，是无形的，所以，我们在解决问题的教学中，就要有意识地引导学生去总结、积累解决问题的方法与思想。我认为在解决问题的教学中要注意渗透以下数学思想：1、数形结合的思想。数学家华罗庚曾说：“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。数形结合一般要画图，在小学阶段通常采用模象图、直观图、点子图、线段图、矩形图、韦思图等。行程问题，比倍、比差问题，分数应用题等通常一画线段图，就能弄清题意，明白算理，从而列式解答出来。不少应用题通过画图，可以拓宽解题思路，使得一题多解。数形结合可以化难为易，调动小学生主动积极参与学习的热情，同时发挥他们创造思维的潜能。2、等量思想。用“方程法”解决问题是等量思想的具体应用。教学中要着力引导学生解决好分析问题中数量间的等量关系这一关键性步骤，还有和差问题、差倍问题，只要抓住题中等量关系，一般都容易列方程解答出来。3、转化思想。转化思想也是教学中常用的数学思想。我们在解决问题时，常把新的问题转化为已知的问题，利用知识的迁移通过转化，可以沟通知识间的联系，使得解法灵活多变。如分数应用题与份数、比、按比例分配应用题都有着内在联系，他们之间常常互相转化，在解决问题的教学中教师不失时机地渗透这种数学思想，让学生领悟数学思想方法，以“润物细无声”的方式培养学生的思维品质，这样，就可以拓宽学生的解题思路，不断提高学生解决问题的能力。4、对应思想。对应关系体现在分数应用题中比起整数、小数应用题更为直接。这源于分数定义里的单位“1”，这类应用题中一个数量对应着一个分率。解题的关键也就是抓量率对应。5、比较思想。比较是把事物的个别属性加以分析、综合，然后确定他们之间的异同，从而得出一定规律的数学思想方法，这种思想在解题时运用十分广泛。如在学生学了加、减应用题后，会对加减应用题进行比较和改编练习，学了稍复杂的分数乘除法应用题后，对四道不同类型的应用题进行了纵横比较，找出它们之间的异同，从而提高解题的熟练程度。&&&&&&五、在问题解决过程中用好即时评价和延时评价。“没有什么东西比成功更能增加满足的感觉，也没有什东西比成功更能鼓起进一步求成功的努力。”因此，课堂评价已经成为教学的一个重要组成部分，评价的目的在于“激励学生的学习，帮助学生认识自我，建立信心”。因此，教师在教学过程中应不失时机地给不同层次的学生以充分的肯定、激励和赞扬，使学生在心理上获得自信和成功的体验，激发学生的学习动机，诱发其学习兴趣，进而使学生积极主动地学习。当学生在学习态度、学习习惯、学习方法、学习结果等方面取得的点滴进步时，应抓住时机，及时进行激励性评价。当学生理解得不够准确，表达不够完整时，教师不要急于作出否定性评价，采用延时评价，应根据学生错误所在，补充设问，点拨学生引发思考，使学生经历一个自悟自得的创新过程，真正发挥评价促进学生学习的作用。例如：有位教师在教学《鸡兔同笼》的例题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”当学生自主解决问题反馈学习成果时，老师发现有些学生采用“假设法”做题时答案出错了，她并没有马上讲解答案，而是激励学生，问：“你还能用其它的方法来解这一道题吗？”，学生通过不同解题方法得到了不同的答案，问题出在哪？在学生的讨论过程中，他们统一得到了这样的结论：如果假设全都是鸡，那么就会先得到兔的只数，反之，如果假设全都是兔，那么就会先得到鸡的只数。教师的延时评价让更多的学生经历了知识的形成过程，因此在教学时，当学生成功解决一个问题后，我们要趁热打铁，将它拓展变化来解决生活中的问题，或者让学生继续提出问题。这样学生就会带着问题走进课堂，又带着问题继续探索。同时教师可依据教学目标和学生在学习中存在的问题，挖掘并提供创新素材：设计有针对性、代表性的练习题组（基本题、变式题、拓展题、开放题），让学生在解决这些问题的过程中，进一步理解、巩固新知，训练思维的灵活性、敏捷性、创造性，使学生的创新精神和实践能力得到进一步的培养与提高。&&&&&&综上所述,“解决问题”与“解应用题”有联系更有区别，“解决问题”更利于学生的后续发展，围绕“解决问题”所提出的目标,采取有效的教学策略和教学模式,让学生真正学会用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界,&作为数学教师要善于引导学生去总结、去积累知识，有效地培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,从而使数学活动更富有生机和活力。&
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小学数学课程实施面临的10个突出问题
　　&&& 编者按 小学数学是数学学习的基础。如何认识小学生学习的数学？如何破解新课程带来的一些新课题？本期特刊，我们把目光聚焦于小学数学，并试图梳理出新课程改革以来，小学数学课程实施面临的10个突出问题。这些问题涉及小学数学的本质与价值、学生的学习方式、教师的教学方式、教师成长等方面。同时，我们还约请了小学数学领域的专家和一些有经验的教师参与其中，希望以此为那些正在实践道路上执著前行的人们带来一些新启示。敬请关注。
聚焦小学数学一：小学生应学什么样的数学
小学数学要注重长远与长效
　■孙晓天
从整体上把握小学数学，着眼点很多。要想理出头绪、抓住重点，“放眼长远、注重长效”最重要。
放眼长远是核心
长远是就目标而言。无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将发挥重要作用。小学数学课程虽然与高考、就业一类的目标相距尚远，但却是整个基础教育数学课程最重要的部分。因此，小学数学教育应当具有立足长远、放眼长远的功能。
然而，现实情况不容乐观。应试教育的负面作用挥之不去，以缺少节制的“又对、又快、又准”为标志的评价体系，仍在压抑着学生本应生机勃勃的活力。数学多半只在考试中露峥嵘，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便会就此再见。这样的数学谈何长远？
毫无疑问，数学大有用场。但数学教育有没有长远眼光将取决于：我们是不是为孩子提供了培育兴趣、应用、应变、自信、求实、责任、想象和创造的环境。我们是不是摆脱了题型教育、考试教育的束缚，是不是给过孩子自己足够的空间，让他们能够独立地去想一想、试一试，而不是完全按照老师的理解，或是书本上的某个模式去照抄照搬。这些都关乎学生“终身学习的愿望和能力”。
数学教育是数学的教育，离不开作为科学的数学。不少前辈一再强调，学数学就要坐得住冷板凳，就要经得起枯燥和抽象的考验。这对专业数学工作者毋庸置疑，但将这样的主张贯之于小学则基本是谬误。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。
注重长效是关键
小学数学的长远目标能否落实，关键是要为长效提供支撑。
有效教学是小学数学教育研究特别热衷的课题。有效教学指教学的结果与预期的教学目标匹配程度高。需要注意的是，“有效”有长、短之分。简单地说，管长远、能一生受用的效果就是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依时间考量，长效要长期积累，难于一蹴而就；短效可立竿见影，易在一节课内形成。同时，眼前和长远相互依托，缺一不可。
那短效与长效之间的关系是怎样的呢？一方面，没有一次次短效的磨炼和积累，长效难以形成；另一方面，某些需要通过高强度、高密度训练才能记住并掌握的定义、定理、公式、算法，注定在人们心里留存的时间不会太久。白天学过的内容，晚上没带书可能就想不起来。然而，探索、发现这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀，运用这些定义、定理、公式和算法解决实际问题的经验和体会倒可能会长远留存。这样的经历多了，积累也就多了，不经意间，往往形成了一些相对稳定的与数学有关的见解，或者说是思路。这些都能长久地驻留在学生心中，并能在一生的学习、生活和职业生涯中派上用场，成为个人发展的重要支撑点。因此，漠视“探索发现那些定义、定理、公式和算法的过程”的数学教学，收获的多半是短效，而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的。
因此，短效虽然易得，但长效更是关键，短效要为长效服务，要以长效为目标。一方面把“过程与方法”、“情感、态度与价值观”实实在在地纳入有效教学的视野。同时，对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特征的教学策略要有个清醒的认识。
练就注重长效的“独门功夫”
举“测量”为例。当学生认识了角之后，面对形形色色、五花八门的角，比较大小的问题随之浮出水面，测量成为定量认识角的主题，包括单位和实测两层含义。一是“单位”，也就是大家都认可的度量单位。小学阶段“单位”的重心在理解和具体感受单位的实际意义，像掂一掂500克一袋的盐、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。这些看上去没什么“数学味儿”的举动，都是感受和理解单位时不可或缺的尝试。更重要的是，单位本身是规定的结果。公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径，长期摸索之后形成的共识，是人类的共同语言。对学生来说，这里有很大的讨论、活动和探索空间。在教学上下点功夫，能帮助学生认识单位的标准作用和平台作用，懂得个别和一般的关系，知道如何在估计与精确之间作出选择，逐步认识到数学为什么需要抽象，等等，而这些都有助于学生接近和发现数学的本质，都与长效联系在一起。二是“量”，即如何实测的问题。教学的重心应当从学生自己的经验出发，从“真刀真枪”的问题开始，通过鼓励学生使用自创的工具和单位，逐步导向规范的工具和单位，引导学生多角度摸索测量的方法，逐步从不那么正规的测量单位和方法一步步接近直至能够达到科学的测量。测量课应当是用一连串的“为什么”串起来的“发现”课，每个结论的得出都应当伴随着学生自己的发现、归纳与整理。学生不仅要知道如何量，还要知道量的方法从哪里来，知道书本上的测量对象和生活中的测量对象的关系，知道测量的意义。
如果小学阶段仅仅把测量处理成照本宣科的技能教学，只是采取多快好省、照抄照搬、纸上谈兵的方式灌输和训练，就可能浪费了这一题材的教育价值。如果因为测量不是考试中的重头戏而在教学上敷衍了事，结果就更可怕。学生对数学越来越明显地敬而远之，学习数学的目的越来越趋于实际，多半与此有关。
小学阶段的测量，不是单纯的技能培养与训练，而是一块为学生探索与发现准备的沃土。它提供给学生通过自己的眼和手去发现与认识世界的机会，它能自然地沟通过程与结果之间的联系，能把学生探索的目光从书本、教室引向生活、社会，能为学生提供实实在在的动手机会，让他们“真刀真枪”地解决几个真正的问题。不仅是测量，小学数学课程中的许多技能，多半会随着儿童的成长淡淡隐去，而伴随着一连串“为什么”发现的规律、道理和方法倒有可能长久留存，成为伴随学生一生的本领。
放眼长远、注重长效能否在教学中得到体现，关系到新课程推进的质量。当前数学教学中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是该适可而止的，哪些是该着力推进的，这一切都将建基于教师的见识和视野，决定着新课程的主张能否践行。
　　（作者为中央民族大学教授，《义务教育数学课程标准》研制组负责人之一）
让儿童享受"好吃又有营养"的数学
儿童学习数学时面临的最大问题在于，他们感受不到数学学习的快乐。我们常常以成人的眼光审视严谨、系统的数学，并以自己多年来习惯了的方式将数学“成人化”地呈现在孩子们的面前，对孩子的奇思妙想、异想天开并不在意，还忽视了儿童的心理特点和已有的数学活动经验。
让小学生学有趣的数学
小学生的年龄特点和心理特征决定了他们的学习行为要由兴趣主导。虽然数学常常以抽象概括的方式进行形式化的表达，但小学数学教学不应该照本宣科，不应该是仅就“学术状态”的数学学习，而应该是“教育状态”下的数学学习。应该让抽象的数学变得鲜活有趣、充满活力。
让小学生学与生活联系的数学
数学知识对小学生来说，在一定程度上是一种“旧知识”。小学生在经历的生活中已经有过数学应用的体验，数学学习是对有关数学现象的重新认识，是在原有认知基础上的总结与升华。
教学中，教师要善于创造与生活实际有联系的数学情境。例如，学生在学习“年、月、日”之前，就已经知道“我今年过生日到明年过生日正好是一年”、“爸爸这个月领工资到下个月再领工资正好是一个月”。这是多好的解读！他们把十分抽象的时间观念，通过自己的生活经验“物化”出来。上学之前的活动与经历使学生获得了数量和几何形体最初步的观念，虽然这些概念或观念可能是非正规的、不系统的、不严格的，甚至还可能是错误的，但却为正规学习数学奠定了重要的基础。这些学前积累下来的生活经历，会在小学阶段的数学学习中被“重新解读”。学生以身边熟悉的现实生活为桥梁，逐步学会数学地思考，发现和得出数学的结论。同时，他们还将感受数学知识的产生和发展过程，体验数学在实际生活中的价值，从而更加热爱数学学习。
让小学生学能听得懂的数学
对于学习者而言，最大的痛苦莫过于“听不懂，学不会，还得被强迫着听，强迫着学”。教师要让小学生能听得懂数学，一是要让数学学习内容贴近儿童实际，让教学方法符合学生的认知规律；二是要把数学变得简单些、容易些、朴实些。简单些，就是用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”。容易些，就是把人为制造的难点降下来，减少整齐划一、千篇一律的统一要求，充分关注学生个性化的学习需求。朴实些，就是不要刻意追求课堂的尽善尽美，鼓励学生用原生态的，甚至是有些粗糙的语言诠释自己对数学意义的理解。
让小学生学不太严格的数学
“三十六计，背为上计。”一些小学生常常在教师的示意下强记自己不理解的数学概念，这一现象触发了我的思考。我赞成这样的理念，即“严格的不理解，不如不严格的理解”。教师不要急于把严格的数学概念一字不差地呈现给尚未具有严格思维的小学生，不能认为不从严密的概念定义出发就不能有效地进行思考。张奠宙教授就提出“充分运用直觉学习数学，是数学学习，特别是小学数学学习的一条准则。”小学数学不要过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的数学语言尝试诠释对数学意义的真正理解，从而把握住数学的魂。
让小学生学动手做的数学
实践证明，学生的思维是在有效的数学活动中发生、发展的。学生在亲自参与实践活动中不断地积累活动经验，提升观察、试验、猜测、验证及推理概括的能力，从而理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，以达到发展思维的目的。比如，在学习“三角形内角和”时，先要通过度量不同类型的三角形内角度数，并分别计算出它们的和，初步感知到它们的内角和是180度。在此基础上，用实验的方法加以验证。在具体操作上，可以把一个三角形的三个角剪下来，拼成一个平角来加以验证，也可以通过折一折等实验操作活动，归纳出三角形内角和为180度。动手操作不仅是为了满足好奇心，提高学习兴趣，也可以促进儿童的思维，由感知到表象再到抽象的发展。
让小学生学数形结合的数学
依据小学生的年龄特点和学习规律，数形结合的数学解读是小学生需要且有效的数学学习策略。数形结合，即引导小学生充分利用直观的“形”把抽象的数学概念、数量关系形象具体地表示出来。通过一些看得见、摸得着的树形图、集合图、线段图等帮助小学生理解数学概念，理清数量关系，使复杂的数学问题直观化。教师特别要鼓励学生用自己创造的图形方法解释数学，用原汁原味的构思、丰富多彩的图画、独特的视角，展示儿童富有创造的思维过程。
　　（作者为北京市教科院基教研中心小学数学教研室主任，特级教师）
让教学散发出迷人的文化品格
教科书上和教师教学中呈现的数学，以至社会舆论传播的数学，往往给人以抽象、晦涩、深奥的灰色形象和负面记忆。新课程的实施似乎使这种态势有所改变，但另一番景象也许更令人担忧：在新颖奇特的“问题情境”、百媚千红的“生活现实”、声色并茂的“多媒体辅助”背后，更多的是数学本质的遗失，是数学素养的走样，是数学文化品格的缺位。
小学数学教育的原点——数学的文化品格
尽管数学具有得天独厚的工具品格——数学的知识和方法渗透并应用于自然科学和社会科学的许多领域，但数学更散发着一种耐人寻味的文化品格。
数学的文化品格是个体以“数学化”的观念和数学创新意识为核心，自觉地求真、尚善、创美的一种文化精神。它具体表现为数学活动中的崇高信念、审美直觉、深邃洞察力、理性思维、高尚情感等精神特质。对数学教育而言，数学的文化品格是比数学的工具品格更上位的价值追求，也是数学教育的原点。
小学数学教育的逻辑起点——数学文化品格的启蒙
为让儿童学习终身受益的数学，小学数学教育的第一意蕴应该回归原点——对儿童进行数学文化品格的启蒙。
数学文化品格首先是对数学的好奇心、强烈的数学学习兴趣和牢固的数学信念，这是学习数学和创造数学的原动力。数学的文化品格也是一种不断生成、不断累积并富有持久生机的默会知识。对儿童的一生来说，学过的数学知识也许会渐渐淡忘，但数学的文化品格却会以其看不见的神奇力量默默地伴随他们一生。数学是不断累积的科学，小学生学习的数学几乎是数学文化长河的源头，富含最原生态的数学文化品格。
小学数学教育的逻辑框架——用数学思想来统领教学
数学思想是数学家解决数学问题的基本观点和根本想法，是活生生的数学灵魂。数学思想对数学所有知识和方法具有统摄性，而每一种数学文化品格都可以通过数学知识和数学思想来表征。
小学数学课程目标中所涉及的诸如数感、符号意识、运算能力、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、综合与实践能力等，对这些或表现为一种知识或表现为一种能力的内容的学习，都有相应的数学思想来统领。以数学思想统摄小学数学教育，不仅可以积累儿童的数学知识和数学活动经验，还能够有效提升儿童的数学创造能力，从而实现统领数学知识的学习和塑造数学文化品格的双效功能。
数学思想统摄的逻辑路径——数学家精神还原
突出数学思想在小学数学教育中的统摄地位，也就是将真正的数学思想真实地呈现给儿童，需要为数学思想找到得以有效展开的渠道或载体。其中，一个有效的逻辑路径就是对数学家的精神进行还原，即追寻数学家的精神踪迹，让儿童真正经历数学化和数学再创造的过程。
数学史中有一个脍炙人口的故事。高斯在少年时做一道算术题：1+2+3+4+……+97+98+99+100=？高斯迅速算出了正确结果等于5050。相信没有哪位小学数学教师不向学生讲这个故事。那么，我们该如何向学生讲这个故事？
首先，模拟还原高斯的思维历程：不能直接一个个相加求和吧？这太繁琐了。老师也不是想让我们这样算吧？那么，有没有简便算法呢？一定有简便算法！这些数字是否有特征？正看，后一个数都比前一个数多1。逆看，前一个数都比后一个数少1。如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。这样共有50组：1+100=2+99=3+98=4+97=5+96=……=50+51=101。所以，总和就应该是：101×50=5050。
其次，解读高斯在做这道题时所体现的数学文化品格。从数学算理上分析，体现了高斯精妙的运算技巧：创造性地利用加法交换律和结合律，实现加法向乘法转化。从思维品质上分析，体现了高斯精妙的数学思维：思维的变通性——追求算法简单；思维的直觉性——数字内在和谐；思维的概括性——寻找普遍规律。进而，从数学的观念和意识上解读，这里蕴含了高斯对数学的序的概念以及对称与守恒特征的一种审美直觉和深刻理解，也反映出高斯面对看似复杂繁琐的数学问题所表现的坚定信念和创造欲望。
通过对高斯的数学文化品格进行还原，儿童不仅可以完整而深刻地理解这个问题的数学内涵——知识、思想、方法，而且也能充分领会数学的文化价值——信念、兴趣、情感、审美等，从而获得数学文化品格的启蒙与塑造。
　　（作者为中央教育科学研究所数学教育专业博士）
从经验数学到学科数学
　　厘米是小学数学学习的第一个计量单位。因此，在学习厘米的过程中，小学生会有一些十分有趣的表现，这些表现可以帮助我们增强对小学生数学学习的理解。
　　[课例片断1]
　　教师板书：张三比李四长____
　　师（请一高一矮两个学生来到黑板前）：同学们，请大家完成一道填空题，要求不重复别人的回答。
　　教师根据学生回答，整理如下：张三比李四长——很多/一些/半个头/10厘米/2米。
　　师：同学们讲了这么多不同的答案，你最喜欢哪一个答案，为什么？
　　生（回答有一定代表性）：喜欢“半个头”，因为它能让我们知道长了多少，“一些”、“很多”就不知道到底有多长，“厘米”和“米”没学过。
[解读]经验的呈现。一些、半个头、10厘米一年级学生学习单位的认识基础，是经验层面的描述用语。然而，这些用语在生活中的使用频率是不同的，大致可以描述为以下状态：一些、半个头等描述是具体的，是小学生灵活运用的，而厘米、米的描述多半是从其他渠道听来的。小学生知道厘米、米可以用来描述长度差别，但他们的脑海中却往往缺乏具体表象。但不管怎样，对于小学生来说，厘米、米已经进入了经验中，有的学生还知道千米、纳米、微米等，但这种知道是笼统的、模糊的。
　　 经验的生长。一些、半个头、10厘米，这些不同类的描述放在一起，通过“你喜欢哪种说法”，促使小学生去体会每一种说法之间的差别，从而形成以下认知：半个头比一些好，因为半个头的长度大致明白，而一些就不太明确。头是比较具体了，可是头也有长短、大小，有没有标准的头？厘米是什么？厘米是标准的头吗？
　　 以上内容的认知关键点有两个：一是学生感性地认识到了比较物的意义，二是学生形成了学习的需要，认识了单位这个标准比较物，从而完成了从无比较物到有比较物，再到标准比较物的认知过程。
　　[课例片断2]
　　师：同学们，你们尺子上的1厘米与其他同学尺子上的1厘米一样长吗？
　　生：不一样。
　　师：为什么？
　　生：我的尺子6厘米，同学的尺子11厘米。
　　师：比比看，两把尺子放一起，比一比，1厘米一样长吗？
　　生：一样长。
　　师（拿出米尺）：同学们，你们尺子上的1厘米和老师尺上的1厘米一样长吗？
　　生：不一样长。
　　师：为什么？
　　生：因为您的尺子那么长，所以您的1厘米就有这么长（比划约5厘米）。
　　师：看看，老师这把尺子一共有100厘米。我们来比比看（投影），同学们尺子上的1厘米和老师的1厘米一样长吗？
　　生：一样长。
　　师：老师想考考大家，咱们金华的1厘米和北京的1厘米一样长吗？
　　生：不一样长，因为北京比金华大。
　　生：一样长。因为北京的表弟跟我买了一样的尺子，既然尺子一样，1厘米肯定一样。
　　[解读]小学生对单位的统一性理解基于两个经验：一是正面的经验。外地的小朋友使用的尺子跟我们的一样，所以1厘米应该一样。另一个是有干扰的经验，小树长成大树了，小树上的树叶也长大了，大树的叶子比小树的叶子大。孩子长大了，孩子的手变大了，孩子的手变成大人的手了。所以，当6厘米的尺子变成了11厘米的尺子时，它身上的1厘米当然也变大了。北京比金华大，整体变大，部分也当然变大，是一种具有比例意义的长大。显然，这种经验，在教学中屡次被教师修正。学生们在尺子的对比中发现：无论尺子怎么变长，1厘米始终是不变的。这就是数学上的“单位”有别于有机体的部分。
　　[课例片断3]
　　师：为什么全世界的1厘米都一样长？
　　生：因为尺子是按照同一个标准造的。
　　生：如果1厘米不一样长，我在金华是120厘米，到北京去就长高了。可是，我不可能长高得那么快呀。
　　[解读]在这个阶段，小学生们要理解的内容是：单位的统一主要是为了方便，为了比较间的相互认同。从认为1厘米不一样长，到认可1厘米一样长，学生已经跳出了自身的成长经验，认可了一种关于单位及单位累积的“积聚”模型。
　　小学生认识厘米，是一次重大的学习成长。他们的每一次成功学习，都是一次感性经验到理性认识的历练，他们的许多错误都有深厚的经验基础，在他们的视界里，一切都是有生命的，包括数学，包括厘米这样的单位。
　　（作者为浙江省金华市站前小学校长，特级教师）
聚焦小学数学二：仅让学生学会解题是不够的
别让数学教学沦为解题教学
实际教学中，数学教学目标常常被简单地理解为数学知识的掌握。以知识掌握的数量和牢固程度作为唯一标准的教学评价，引导着师生对知识的单一追求。为了便于学生理解和接受，抽象、严谨且具有广泛应用性的数学知识经常被教师们&& 分解为一道道数学题，解题成了数学教学活动的重要组成部分，引导学生解题成了数学教学的一种重要形式和手段。
理论上，所有人都知道数学的教学目标是多元的，远不只是掌握知识和解题那么简单。然而，具体到教学一线，教师们总希望能抓住一些有形的、易于测量的东西来操作。于是，解题成了一线教师教学评价的抓手。的确，面对一道数学题，学生能否调用相关的数学知识来解决，可以折射出学生相关数学知识的掌握情况。学生能灵活调用数学知识来解决相关的问题，也表现为数学能力。于是，解题就成了教师衡量学生学习水平的重要标尺，学校也通过编写试卷，让学生解答批量的数学题来呈现学生的学习状况，了解、检验教师的教学。
说到底，还是评价的导向在起决定作用。如果高考的影响力及其指挥棒的作用、考试评价的方式一天不改变，教师和学生们追逐成绩、把解题能力当作数学教学最高目标的现状也将很难改变。
华罗庚说过：“学数学不做题目，等于入宝山而空返。”这说明，数学教学离不开解题，但是解题只能作为数学学习的重要途径，而不是数学学习活动的全部。数学教学对解题的依存关系表现为：
数学学习过程需要解题这一重要的手段。解题作为数学学习过程的重要手段，其作用可以归结为以下几点：首先，解题过程引导学生逻辑思考。许多数学知识之间的关系非常严谨，知识的起源、认识、理解和掌握蕴含着严谨的推理、推断过程。这一过程往往是通过解决一个个数学问题来完成的。数学解题过程是若干数学知识的综合调用和一系列逻辑推理的组合，是一项重要的数学思维活动。所以数学解题过程成了数学学习活动的重要组成，成了一次次逻辑推证的过程。其次，解题是引导学生有步骤地走进数学的过程。数学知识本身是一个逻辑链，数学知识被分解为一系列相关联的问题，数学教学就是通过这些问题串，以旧引新，层层深入，引导学生逐渐走进数学的内核。再其次，数学问题直接挑战学生的智慧。数学知识以问题的形式呈现，在解题过程中学生首先要直面问题，有价值的数学问题能很好地挑战学生的智慧、激活学生的思维，更大限度地激发学生的创造潜能。
解题不能准确地反映学生的全部学习状况。解题的过程受各种因素的影响，学生在解题过程中的表现也可能是片面的，只能反映学生数学学习的部分情况。人们对知识调用的速度和思维的灵活度与心情好坏、注意力集中程度等都有密切的关系。解题也会受题目质量的影响，如问题的呈现方式、表达习惯、定位的明显程度。个人的经验和成长历程以及对问题及其情境的熟悉程度，也决定个人对问题的适应性和感受性。许多老师要求学生“多做题”，认为多做题目就增长了见识。正是这种“一回生，二回熟”的信念，造成了对解题结果的过分追求，对提高解题能力手段的过度研究，使得解题成了操练的工具，解题也因此失去了呈现学生真实学习水平的意义。
准确把握数学教学的目标与价值。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。学习数学的重要目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养。这需要每一位教师准确地把握数学教学的目标与价值，让数学课堂教学成为学习者思维活动交流的过程。
充分发挥解题教学在数学教学中的功能。要想让数学教学不沦为解题的教学，就要帮助教师正确定位解题在数学教学中的意义和作用。一是要选择有教学价值的典型问题。二是要把问题的教学价值发挥到极致。充分挖掘问题的教学价值，适当安排时机发挥题目资源的效用，尽可能一题多用。三是在评价解题时，把通法（一般的普通方法）放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要关注解题过程反馈的价值信息。在关注解题结果的同时，考虑给过程分，关注解题过程中的各种表现，收集有效信息，帮助诊断教学，发现、利用有价值的教学资源。一方面引导学生重视解题过程，另一方面提醒教师从过程中收获信息的教学价值更甚于结果。教师应允许学生采用不同的思路，鼓励学生大胆发表见解，教师在理解的基础上应尊重各种合理的解题思路，并给出中肯的评价。五是要重视解题后的反思。解题过程中的试误过程和成功经验都值得反思。回顾自己如何经历“山穷水尽疑无路”，又如何达到“柳暗花明又一村”的境地，分析解题过程给带来的认识上的得与失。这些收获不亚于题目本身带给我们的价值。
在数学学习中，我们既要扎扎实实地学好数学知识和技能，又要牢固地掌握数学思想和方法，而且要能灵活应用数学知识和技能解决实际问题。学习数学需要解题，但不取决于解题的多少，而在于解题前的分析、探索和解题后的反思。我们要让学生要成为解题的主人，要从解题中吸取解题的方法、思想，锻炼思维。
（作者为深圳市南山区教研室教研员）
每道题都是有生命的
　■孙家芳
　　笔者曾经在某练习册上看到过这样一道题：狗、鹅、狮子和大象各一只分别装在同样的四条船上，你能根据每条船吃水的深度说出各条船上装的是什么动物吗？请将动物与对应的情况连线。
　　经过思考，我把它改编成了填空题、选择题、操作题，最后又把它改成了开放题：四个动物，分别坐在四条船上，先猜猜每条船上分别装什么动物，再把每条船装的动物写出来，最后画出2号船。如下图：
　　看着我改编出来的一道道题目，我反复想着：这些题目之间的相同点是什么？不同点是什么？同一个知识点、不同类型的题目所要承载的东西又是什么？忽然，我感觉到每一个题目都是有生命的，每道题目都在用自己所代表的独特思维方式与我们进行对话。
　　然而，给这些题目赋予更强生命力的是我的学生。
　　我把改编后的题目发给学生。全班23个学生，想法各不相同，还有学生质疑“放一只狗或者放一只鸭子，并不能分出船在水中的深浅”。这使我猛然醒悟：数学仅仅是解题吗？我这么长时间思考改编出来的题目在学生的质疑中不堪一击。于是我查找资料、广泛征求意见，把题目作了进一步修改：一堆沙土重6吨，一堆土豆重800千克，一堆棉花重7000千克，一些矿泉水重500千克，它们分别装在四条船上，先猜猜每条船上分别装了什么货物，再把每条船装的货物写出来，最后画出2号船。
　　上课时，有个学生非要到投影仪前表达他的想法，很得意地展示他的作品。如下图：
土豆 &&&&&& 棉花 &&&& 矿泉水 &&&&& 沙土
　　全班学生哄堂大笑。面对这样的情景，我选择了积极引导：“大家在笑什么？请说说你们的想法。”学生们快乐地阐述了自己的想法。
　　“那么，这样做行不行呢？”学生认为这样做不仅行，在数学上就更行了，因为它简捷、准确、精炼。
　　“那这样做好不好呢？”经过讨论，大家得出了共识，这样做在数学上好，但是在实际生活中是不行的。因为每条船都有限载问题，如果这条船限载6吨，就不能装7吨棉花，因为船会沉没；如果限载超过7吨，船就不会沉没。因此，我们要根据实际情况装载货物，要遵守规则。作为一种思维方式，上面那个学生的想法无可非议，但是数学中的“行不行”、“好不好”也要在一定程度上受到实际生活的制约。
　　“怎么做可以避免这种情况的出现？”学生提出标明载重量。讨论中，学生又指出，载重量是生产厂家规定的，是船生产出来时就有的，正规船厂生产出来的船应该在船上标明载重量。
　　“生活中还有哪些类似的情况？”……
　　至此，这道题所承载的已经不是一道题的功能了，它富有生命活力，给学生以启迪。读懂题目的过程，其实也是读懂题目思维的过程。和不会说话的题目打交道，挖掘每道题的生命力，更需要我们有宁静的心、思考的脑、探究的力。
　　（作者为北京市朝阳区教育研究中心教研员）
数学会给孩子们留下什么
除了知识和技能，数学学习还能给孩子留下些其他的东西吗？
　　日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：在学校学的数学知识，毕业后没什么机会可用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，作为学生数学学习初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的知识教学，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。
　　留下意识。数学意识是指遇到问题能够自觉地从数学的角度进行观察和思考，能用数学去观察、解释、表示事物的数量关系和空间形式，形成一种数学化的思维习惯。举一个例子，学生会正确计算48÷4，说明掌握了除法的有关知识和技能；学生会用除法正确解答“有48个苹果，平均每人4个苹果，可以分给多少人”，说明学生具有一定的分析问题和解决问题的能力；而在体育课上，48位同学进行跳长绳活动，学生看到老师一共准备了四根长绳，他想到48÷4这个算式，说明学生不仅掌握了除法的基本知识和技能，而且数学意识也得到了较好的发展。小学生的数学意识主要包括数意识、符号意识、统计意识、数学应用意识等。留下意识，就是让学生拥有数学眼光，具体地说，就是具有对客观世界中的数量关系和空间形式的感受力，能自觉地从数学的视角观察事物，善于在生活与数学间建立联系，面临问题时能较快地尝试用数学方法解决问题。如，在“校门口早、中、晚3个时间段中，哪个时间段汽车流量最大”的统计活动中，教师把学生分成7个组，从星期一到星期日，每天一组，让学生自己设计并进行统计，再用一定的方式表达出当天3个时间段的车流量情况。在这样的统计活动中，学生不仅掌握了统计的一些基本方法，统计意识也初步得到发展。
　　留下思想。数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性把握。一般认为，归纳和演绎是两种基本的数学思想，而分类、对应、化归、转化、类比等是更具体化的数学思想。学生数学思想的形成要经历从感性认识到感悟、理解的过程。留下思想，指学生在学习数学的过程中逐渐由感性到感悟，直至理解，内化为逻辑的数学思想。如学习“乘法分配律”时，学生经历“生活原型——提出猜想——举例验证——归纳总结”的过程，学生通过大量例子证明猜想的正确性，并归纳得出结论，在理解乘法分配律的同时，又一次积累了“归纳思想”的感性认识。
　　留下经验。我们所说的经验主要指数学活动累积的数学经验，是学习者在参与数学活动的过程中形成和积累的过程性知识，具有动态、隐性和个性化等特点。经验在学生的数学学习过程中有着重要的作用，是学生理解数学知识，形成数学意识和数学思想的基础。没有亲历的数学活动谈不上经验，留下经验，就要倡导学生“做数学”，让学生充分经历直观感知、观察发现、实践探索、空间想象、归纳类比、猜测验证、演绎证明等数学活动的过程。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”例如，在学习“长方体的认识”时，教师鼓励学生用多种方式探索长方体的特征，如把长方体剪开，然后用重叠等方法比较面的特点；用小棒或塑料吸管沿长方体的棱比一比、剪一剪，观察探索棱的特点；用尺量等方式研究棱的特点。学生在充分的数学活动中，不仅掌握了“长方体有6个面、12条棱、8个顶点，长方体相对的面相等”等数学知识，而且积累了从顶点、棱、面等不同角度研究立体图形的数学活动经验。
　　留下习惯。好的习惯会让人受益终身。叶圣陶先生说：“教育是什么，往单方面讲，只需一句话，就是要培养良好的习惯。”数学学习是形成良好学习习惯的重要途径。在数学学习中，除了培养学生养成预习、听课、作业、复习、质疑等常规的习惯外，更要注重培养学生条理思考、言出有据、三思而后行、画图分析等体现数学学科特点的习惯。如学生在理解了“等底等高的两个三角形面积相等”后，引导学生思考这个结论如果倒过来说是否正确。在这样的思辨与讨论中，逐步养成学生“言出有据”等习惯。再如，在解决问题中要培养学生形成画图的习惯，善于利用数形结合帮助分析和解决问题。
　　留下快乐。童年是快乐的，数学学习生活也应是快乐的。真正使数学学习成为一种乐趣、一种享受，这一点在小学显得尤为重要。数学学习的快乐来自很多方面，新颖的教学情境，有趣的数学活动，数学思维的挑战、探索等，都能给孩子带来独特的快乐体验。
　　（作者为浙江省嘉兴市南湖区教研室副主任、特级教师）
追寻积极向上的数学教学目标
　　数学是义务教育阶段的基础学科。之所以是基础，一方面是因为所选内容是每一个人在社会生活中必备的基本知识和基本技能；另一方面，还因为所学内容是后续学习的必要基础。然而实际上，在数学学习的过程中存在着大量的“解题”，本该充满基础性的数学学习往往被淹没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系？如何全面考查学生学习数学的目标价值取向呢？
解题不可见题发挥
　　“解题”这个概念本身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要组成部分与重要途径。我们不必讨论数学教学要不要解题，要解多少题，而是要研讨解什么样的题，如果都是“好”题，自然非常必要。如果再追问怎样的题才算好题，那更是需要研讨的了。数学学习与解题的关系显然不能一概而论，需要慎重分析。一味摒弃解题，可能导致学生数学水平的降低；一味主张解题，进行题海战术，无疑会加重学生的负担。“解题”这样的传统话题值得深入细致研究，研究“解题”是减轻学生学习负担的重要途径。我们不能以减轻学生负担为名义对数学题妄加指责，而使数学学习趋向另一个极端。记得曾有多位文化名人对数学题“有一个水池，单开进水管，注满水池要5小时，单开出水管放完一池水要8小时，如果同时开两个水管，几小时能注满水池？”大加指责。其实这种批评是值得商榷的，因为这样的数学模型在现实生活中比比皆是。农田的灌溉，经过a田灌溉b田，影院进场和出场同时进行，飞行工具能源的耗费与输入等，都是这种情境。不可否认，适当的解题是数学学习不可或缺的组成部分，尤其是那些富有现实性、趣味性、基础性、挑战性的问题理应成为学习数学的主要内容。但让人遗憾的是，日常教学中可能绝大多数的“解题”还是相当的程式化、机械化，难免让学生觉得枯燥乏味。
数学学习要注重提升素养
承认“解题”对数学学习的作用，并不是无限制地扩大它的价值，毕竟解题只是数学学习的途径与手段，绝不是数学学习的终极目标。在新课程背景下，许多学者呼吁从关注“双基”到“四基”，数学学习的目标在于掌握必需的基础知识和基本技能，积累丰富的活动经验，体悟数学的基本思想。数学学习不只是解题，在学习的过程中还将学会观察，学会思考，学会表达，学会书写，学会合作。著名特级教师张天孝研究小学数学教学50年，他有一个治学心得是：“让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。”这正是对数学学习目标的精辟提升。
如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。美国统计学家戴维·S·穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。
数学地思考，是数学学习的更高目标。数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。看到下面的图1时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。
数学要促进人的全面发展
　　数学教学不只是为了数学。作为义务教育阶段的基础学科，数学学习的时间也是学生全面发展的时间。按每天1节课的时间计算，学生接近1/6的在校时间是在学习数学中度过的。这就要求数学教学不能仅限于教学数学，应该真正为人的长远发展服务。怎样与人合作，怎样在小组内表达自己的见解，怎样研究问题，学会分类，学会从多个现象中归纳出特点，学会从一个事件类比到另一个事件。学会学习，学会思考，学会与人相处，这些都是数学教学的目标所在。
　　把德育蕴含在数学学习中，其实大有文章可做。以下面的运行图为例。
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看完图，学生一般会作出这样的评价：阿明很贪玩，在商店买零食，到游戏机房玩游戏机，到邻居家逗留，最后才回家；阿芳很乖，放学就回家了；阿强丢三落四，回家后发现作业本没带又回去拿了。这时，我总讲八个字：仁者见仁，智者见智。学生的思维马上发散了：阿明到商店买学习用品，发现游戏机房有同学在，他过去劝阻，邻居家有小妹妹或者老奶奶要照顾，阿明很懂事；阿强回家后下雨了，想起学校的教室窗户没有关又回去了，是个爱集体的好学生。在同一节课上，1分钟前后有截然不同的表达。这种表达已经不再是对数学信息的解读。为什么解读不能先从好的角度开始呢？同一个现象，从不同的角度看，所感悟到的是不一样的。乐观、积极、向上的情感态度，看待事物的多元视角是教育的本性诉求，数学教学也是如此。
数学教学的评价需多元化
　　数学教学不只是解题，也不只是教学数学。因此在评价数学学习目标的达成时，显然不能用简单的“会不会”来评价。在学习的过程中，教师还要考虑是否渗透了数学的方法，是否在学习的过程营造了学生之间良好的合作氛围，是否促成了学生学习数学的积极情感、态度，是否为后续的学习积累了丰富的活动经验，是否为形成数学的基本思想积存了感悟。例如，“乘法的认识”一节，当面对一个情境列出很多不同的连加算式时，教师可以引导学生把算式分为两类，一类是算式中的数全相同，另一类是算式中的数不全相同。有了这样的分类，再引导学生把算式中数全相同的一类写成乘法的形式。在这个过程中，数学学习不再只是为了学会乘法算式怎么写、怎么读，而是让学生从不同的算式中通过自主分类，概括出乘法算式的意义。同时，在分类的过程中，如果把所有的算式分为两类，一类是“数全相同”，另一类是“数不全相同”，可以做到不重不漏。对于这个学习过程来说，教学的价值并非仅仅为了认识乘法算式，而是学会数学的基本方法——分类，从而归纳同类算式的特点，然后用语言概括出乘法的意义。再比如“平均数”的教学，在联系现实生活情境时，面对一个公司平均工资为1000元和另一个公司工资众数为1000元的两个公司，作为一个刚毕业的大学生该如何择业？一方面可以考查学生对平均数的理解，理解平均数并不是代表这个公司的每个人的工资都是这个数；同时，也可以反映学生出对自身素质的定位和面对生活的态度。
　　全面的、科学的数学学习评价，应该不限于对数学学习内容的评价，还应当关注学生的学习是否愉快，是否对内容有兴趣，是否对数学产生了积极的情感。大而言之，在数学学习的过程中，还渗透了一种潜在的理性精神和积极的人生价值观，这或许是数学学习真正“以人为本”的体现。
（作者为浙江省杭州市现代小学数学教育研究中心主任）
聚焦小学数学三：把握尊重与创生教材的尺度
新课程教材为教师留有空间，让教师以教材开发者的姿态介入，这要求教师——
什么是真正“用教材教”
■上海市静安区教育学院 曹培英
　　“用教材教”时下已成为教师们经常挂在嘴边的一句话。“教教材”与“用教材教”在语意上并无多大差别，但“用教材教”反映了教材观的转变，即视教材为主要的课程资源、教学线索，激活了教师的专业自主性，让教师以教材开发者的姿态，将个人特质、教学经验、教学才能融入到对教材的加工、改造之中。
　　历史地看，过去我们也反对照本宣科，追求用活教材，现在提倡“用教材教”，似乎是旧话重提，但其中的必要性却不容小视。社会与教育的发展在为教学提供新条件的同时，也对教学提出了更高的要求。要求教学更加关注学生的个性发展，要求教材多样化，要求教学手段不再只是一张嘴巴、一支粉笔。因此，传统的话题势必会在新的历史条件下，寻求新的诠释与表达。
　　目前，有种观点认为，“教教材”与“用教材教”是教师教学水平提高的两个阶段。论据一是目前尚有不少教师的教学连忠实执行教材还没做到，论据二是“教教材”要作为“用教材教”的基础。这样的看法有一定的道理。但需要明确的是，它只是举出了特定背景下的真实个案，不能据此认为它就概括出了教师提升教学水平的一般规律。同时，我们也确实应当先深入教材，再跳出教材，否则难免会出现对教材的误读和背离。
　　事实上，要有效地用教材教，除了正确理解、准确把握教材之外，还必须深入分析学生的学习特点，了解他们的真实情况。教材再好，通常也只能根据一般情况为教与学提供一个思路和一种设计方案，不可能完全适应每个学校、每个班级、每个学生的具体情况。用教材教，要求教师具备解读教材、解读学生的智慧。解读教材、解读学生与加工教材，都可以在备课过程中，即在课前一次完成，实际的备课过程，也常常是将三者结合起来进行的。不能因为它们需要分别展开研究，就听任目前的教学停留在“教教材”的水平上。同时，对三者的钻研应该是教师永无止境的追求，都有待深化，需要经验的逐渐累积，不必人为地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教这样的阶段。任何时候，调整、加工教材都是教师的权利，也是教师备课的内容之一。
　　如何“用教材教”？需要探讨和解决的问题很多。这里笔者仅就使用新教材以来教师在课前预设环节遇到的一些问题进行讨论。
　　复习铺垫的设计。现在新编的教材，基本上不再出现新知识前的复习、准备或过渡内容。以致有教师问：是不是数学课堂上不要需要复习环节了？
　　教材直接以问题开始，有利于扩大思维和探索空间，有利于学生问题意识的培养。在这个过程中，学生在新问题的基础上联想回忆出已学知识。当然，如果学生自己联想有关知识有困难，或者出现夹生、遗忘现象，教师先行组织复习也是可取的。
　　新授前设置复习、准备环节的初衷，一是为了通过再现激活学生头脑中已有的相关知识；二是为探究铺设台阶，分散新授的难点。第一点无可厚非，问题在于第二点。以往的课堂教学实践中，教师常常铺垫暗示过度，或者人为地设置了一条狭窄的思维通道，学生无须探究，或稍加尝试，结论就出来了。这显然不利于学生主动学习能力的发展。但我们也不必就此因噎废食。应当承认，这类教学铺垫有很多合理的成分。
　　比如，教循环小数前，很多教师喜欢先以学生熟知的一年四季周而复始的实例，让学生感知“依次不断重复出现”的周期现象，以此作为同化新知识的认知框架。有了这一铺垫，原本很抽象的循环小数，通过学生自发的类比，大大降低了理解的难度。
　　教学手段的选择。一般认为，选择教学手段的依据是教学内容、学生以及教师自身的特点。除此之外，还应考虑什么？
　　以教学长方体的认识为例。现在多数教材提供的现实模型是城市建筑、冰箱、纸盒等图片，人民教育出版社的教材考虑到农村和边远地区，给出的素材里还有长城的图片和其中一块放大了的砖。教师可以选择一个或几个实物抽象出长方体的图形，并进一步介绍长方体的面、棱和顶点等。目前在有条件的学校，教师大多采用多媒体课件演示长方体的形状。此外，还能选择什么教学手段呢？30年前笔者在江西教学时，曾用当地的白萝卜作为教具。在东北，教师的创意是让学生用小刀削土豆。在上海，老师们让学生用小刀削橡皮泥。这不正是因地制宜选择教学手段最生动的诠释吗？
　　巩固练习的补充。经常听到教师抱怨新教材配备的练习偏少。不可否认，教材需要修改、完善，但教材不是题库，面对减轻学习负担的社会诉求，教材中的习题必须严格精选。因此，即便改进之后，还会众口难调。比如20以内退位减法，可以用“破十法”，也可以用“连减法”。诸如此类的针对性练习，教材难以一一提供，只能由教师为学生“量身定制”，自行补充，当然教学参考书可以也应该给予提示。
　　此外，学生的学习有缺漏必须弥补，同时要满足学有余力的学生兴趣拓展和提高的需求，教师适当的增补练习，也是因材施教的内涵之一。另外，一些乡土素材、社会时事、学校正在开展的活动，等等，都可以用来编成数学的实际问题，使数学应用练习更贴近学生的生活和时代的脉搏。
"用教材教"就是用好用活 活用教材
■福建省古田县教师进修学校 陈燕香
　　在一次“同课异构”专题教研活动中，5位教师分别执教了苏教版小学数学“用一一列举的策略解决问题”这一内容。
　　教材安排了两个例题，例１是“王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？”例2是“订阅《科学世界》、《数学乐园》和《七彩文学》杂志，最少订阅1种，最多订阅3种，有多少种不同的订阅方法？”现场教学中，共有4位教师把例1和例2的素材进行了改编，把例1的素材改为王大叔“围花圃”，例2的素材改为王大叔“选花苗”，只有一位教师沿用教材进行教学。听课的老师认为后一位教师的例题素材与众不同，是对教材进行了改编，而前4位教师如出一辙的改编却被认为是教材的本来编排。
　　改编的教材“反仆为主”尴尬了谁？仔细研读教材，我们不难发现，两道例题注重选用有趣的、有现实背景的素材，旨在调动学生解决问题的积极性，同时激活学生已有的生活经验和数学活动能力。以例2为例，“订阅杂志”与“选种花苗”，哪个素材更贴近学生的实际生活？更容易唤起学生的兴趣和经验？显然是前者。4位教师在改编教材时只注重从“教”的层面，认为用“围花圃”和“选花苗”的情境，容易组织教学内容，有利于教师进行教学，这折射出教师“以教为中心”的教学设计价值取向。
　　教师如此热衷于改编教材，一方面说明新课程背景下教师对于“用教材教”意识的提升，另一方面也说明教师对教材认识的形式化和表面化。在实践中，教师该如何真正落实“用教材教”呢？在我看来，“用教材教”至少包含3个层面的含义，即用好、用活与活用教材。
用好——尊重教材
　　笔者曾经读过一个教师的备课反思：“虽然我每天课前都备课，但对教材挖掘得很不够。很多时候，在讲解某一个知识点时，突然想起了还有另外一个内容应该补充，但由于事先没有准备，只好课后查阅完再补充。该趁热打铁的时候老师没词了，这是多么尴尬的事啊！”这是常态课堂中部分教师呈现出的真实图景。课前“吃”不透教材，课堂上徒留遗憾与尴尬。因此，读懂教材是教师必备的基本功，读懂教材是使用教材、有效教学的基础。
　　如何“吃”透教材、读懂教材？具体到一节课，教师要从以下5个方面入手研读教材：了解教材整体结构及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题与例题的关系，揣摩插图的编排意图，钻研提示语和旁注。做到“五读俱全”，即读懂问题情境，读懂每一道习题，读懂教材内容的结构，读懂教材的呈现方式，读懂教材的旁注、留白。
　　教学离不开教材，“用教材教”的第一层含义就是要用好教材，准确把握教材的编写意图，在教学中力求还原教材编写的本意，深入感悟教材资源，实现教材自身价值的最大化。
用活——理解教材
　　用活教材，就是以教材作为原型和范例，在依托和尊重教材的基础上，根据实际需要对教材进行适度的拓展和延伸，挖掘教材资源的深层价值，最大限度地发挥教材的功能。
　　点亮教材细节。笔者曾经听过一位特级教师谈自己如何“由内而外地打磨数学课堂”，有时仅仅是在使用教材时“读一遍习题、加两个数据、换三道题目”，这些细节处理没有张扬的技法，有的只是教师对教材的深刻理解、对学情的准确把握。有的教师潜心设计“小动作”，对课堂教学起到画龙点睛的艺术化效果，这些“点睛之笔”源于教师对教学本质的深刻领悟。在课堂教学中，教材细节的开发往往容易被教师忽视。有的教师认为教材编写已经给出完美的作品，教学时只需搬用就行，他们考虑的大多是用得像不像，而较少思考“有没有更好的用法”。其实，许多教材细节还需教师多加推敲，用心琢磨，把教材细节做“亮”。教师备课时要在充分钻研教材的基础上，认真对待教材的每一个细节，赋予教材细节更深的知识内涵和更广的思维空间，让教材细节丰盈课堂，使之能够生发锦上添花、以小见大的效力。
　　填补教材“空白”。新教材通过游戏、对话、表格和图片等方式呈现教学内容，没有呈现结论，只有学生自主活动的建议和过程中的问题提示，力求为教与学留下尽可能大的探究和交流空间。教学的灵活性增加了，教师的选择空间扩大了。这些教材空间给教师教学带来一定的困惑和难度，同时也给主体间的有效合作带来了良好的机会，让教师在使用教材时有更多的联想意境和创造空间。例如苏教版五年级“小数乘整数”一课，教材对竖式如何引出没给出具体的方法，从而留下了教学空间。教师在使用教材时不妨在此动动脑筋，考虑如何增减教学素材更便于学生感悟到用竖式计算“小数乘整数”的必要。教师要善于在教材的“留白”处挖掘、拓展教材的深度和广度，从而使新课程教材真正成为有效激发学生的学习潜能、引导学生自主探索、激励学生自我实现、不断提高学生数学素养的“有效的信息资源”。
　　开发习题资源。习题在小学数学教材中占很大的比重，如何充分利用课本中的习题资源，开发习题的育人价值是“用教材教”的一个重要方面。数学习题蕴含有知识功能、教育功能和评价功能。在数学教学中，解答习题本身并不是目的。学生一旦开始解题，他就接受着一种思想的训练，从技能、思维、智力、非智力等各方面塑造自己。新教材的习题注重培养学生的分析、综合、判断、推理的思维能力，培养学生解决实际问题能力和对数学积极的情感体验，在编排上注重利用实际情景设计开放性的问题，为教师创造性地组织教学提供了丰富的资源。教师要有习题资源的意识，将教材中的习题拓展为一个个值得学生探究的数学问题，以利于拓展学生的探索空间，促进学生的合作交流，让习题增值。
活用——创生教材
　　新课程的每个学段都要求教师“创造性地使用教材”，但创造性地使用教材并非简单地改变教材，它是用教材教的最高境界——超越教材、活用教材。具体体现在教师对教材有深刻和独到的见解，对教学有独特的思路和设计，能够对教材的绝对权威提出挑战，作出有个性的演绎，面对复杂多变的教育情景及时增删、延展固有观念，创造出有益于师生对话的氛围，使教学活动更加鲜活生动。它要求教师能够站在与教材编写者同样的高度去审视教材，能够读懂学生、读懂教材，寻求学生认知规律与教材编写意图之间的契合，对教材科学合理地整合、重组和超越，使加工后的教材更加丰富多彩，更具实效性、现实性和挑战性，更好地调动学生的积极性和主动性。要创造性地使用教材，教师首先要成为一部书，一部非常生动、丰富和深刻的教科书。这种专业自觉不仅是外界赋予的权利，也是教师教学生活的内在追求。
善用教材　从读懂起步
■云南省教育科学研究院 管尤跃
　　读懂小学数学教材是正常开展课堂教学的基础和源泉。只有读懂教材，才有可能实现教学内容、教学方法与教学手段的统一，才能使教材的普遍性同本地教学实践的特殊性实现有机结合。只有读懂教材，才有可能正确地“用教材教”，也才有进一步创造性使用教材的可能，才能最大限度地满足学生对学习内容、教学方法的需求，充分调动教学双方的积极性，提高教学效率。
　　读懂教材的编写思路。教师要通过通读根据课标理念编写的教材，清晰了解全套教材的脉络，这有助于理解课标精神，有利于从宏观上把握教材的编写思路、从微观审视每册、每单元（课时）的目标要求。从一定意义上来说，制订出准确而适当的三维教学目标（教什么）比具体的教学过程的执行（怎么教）更为重要。
　　读懂教学内容的编排意图。比如，教师可以利用非常适合学生认知特点的“寻宝游戏”复习“数对确定位置”，然后引入课题。“读”教材的过程中，需要教师用心去悟，悟出道理，悟出变化，悟出层次，找到适合自己的最为有效的教学思路。教师能否在读教材中悟出教学中每一个细节的孰重孰轻、教材处理方式的孰优孰劣，直接决定着教学效果的好与坏。
　　读懂教材的上下结构。文似看山不喜平，教学亦如此，如果能让看似简单、平实而又毫无生气的书本知识跌宕起伏，学生肯定会随着教学过程的深入而陶醉其中。新课标教材的编写思路、每册教材的编写安排、每个单元的知识内容、每个内容的具体呈现，无处不体现出上下、前后内容在外部看来的环环相扣和内部看来的紧密结合。每一个数学教师只有结合自己的实际来读懂教材的设计才是最为实在的，也是最为重要的。过于强求“攀高”不符合现实，不负责任的“就低”也不是可取之道。
　　读懂教材的“弦外之音”。对于教材中的“弦外之音”，处理得好无疑使“用教材教”锦上添花。不过，这样的“弦外之音”有时是课堂教学中的调味品，只有在需要的时候才添加。
　　教师读懂教材，必然要经历“愿读——常读——会读——读懂——读深——读广——读透”这样一个过程。由于地区不同，学生的经历不同，同一教材，不同的教师读了会有不同的发现，产生不同的感受，选择不同的角度作为教学的切入点，也就有不同的教学预设。要实现从“教教材”转向“用教材教”，以至于创造性地使用教材，就要在读懂的过程中融入自己的科学精神和智慧，挖掘教材资源，进行拓宽、外延、知识建构等，使之成为学生意义建构的教材。
从深度上挖掘 从宽度上拓展
■江苏省南通师范学校第二附属小学 柳小梅
　　优化教材是教师专业成长的标尺。教师应当积极关注自己的专业成长，使自己成为教材的生产者和主人。作为一线教师，笔者在使用新教材时经历了以下历程。
　　少年轻狂——教然后知不足
　　“教材无非是个例子”，“在实际教学实践中，教师在教材面前不是被动的执行者，而是研究者、开发者”……还记得课改初期读到这些观点时，我感受到十分欣喜与激动。由此，受到鼓舞的我简单地把“优化教材”等同于“一味求新”而随性“创造”。今天加一个情境导入，明天大刀阔斧地删减教材，后天重组教材，有时甚至全盘替换。回顾这段经历，很多当时“沾沾自喜”的举动在今天看来都是肤浅的，更有不少是在对教材意图理解有偏差情况下的“想当然”。对教材内容把握上的不准、不全导致了挂一漏万。如苏教版五年级上册“认识负数”，教材是以读温度计为素材来学习正负数。当时，我认为这个例子太普通，就推翻了教材的例子。后来才知道教材用温度计作为学习素材还有一层深意：把温度计横过来不就是一根数轴吗，0是正负数的分界，正负数在数轴上是对称分布的。这样的渗透在学生对数的认识扩展上具有非常重要的意义。
　　看来，即使是教材中不起眼的细节都可能蕴含着特定的教学意图。说“教材无非是个例子”的人是需要有深厚的专业底气和博大的数学素养的，毕竟这是教材组专家们集体智慧的结晶。所以，我们谈创造性地使用教材，要在对教材编写意图读懂、悟透的前提下，首先保证能教好教材，再谈“用教材教”，在包含的基础上实现超越。
且行且思——重新面对的审慎
　　郑毓信教授在《数学教育：动态与省思》一书中指出：“作为课程改革的一个方面，现行的任何一种教材都不能被看作完全理想的，它必然地有一个发展和改进的过程，广大一线教师不仅可以而且也应在这一过程中发挥重要的作用。”如此来看，任何教材都有取舍增补的空间。当前，我们一线教师创造性地使用教材是可能的而且也是必要的。但正如贝德纳等人所说的，只有在开发者对设计所依据的理论有反思性认识时，有效的教学设计才成为可能。今天的我在实践中对教材进行二次开发和创新建构时，多了一分客观辩证的理性，坚持在深度研读时寻觅空间，在反复斟酌后定夺取舍，力求在使用中实现优化。
　　以苏教版教材第八册“用字母表示数”一课为例来谈谈我的实践。
　　案例1——立足难点的突破，挖掘教材的深度
　　教材的深度有两方面：一方面是知识的深度，一方面是思想的深度。在研读教材中，从“系统性”的角度我认识到“用字母表示数”是学生感悟“代数语言”作用的起始课。本课教学中让学生理解含有字母的式子既可以表示数量间的关系，也可以表示一个结果，是教学的难点。
　　教材例题：摆一个三角形需要3根小棒，让学生推算2个，3个……到a个三角形需要几根小棒。
　　如果直接采用课本上条件完备、结论明确的封闭例题作为学习材料来突破难点，会显得太单薄，而且静态的处理也会限制学生探究未知的积极性。字母表示数这么抽象的东西，能不能学得有趣、简单又能抓住本质？字母表示数的本质是什么呢？我想到了函数关系，这一进一出，不就像个盒子吗？放进去的量经过关系加工后出来另一个量。于是，我试着做了一个数学“魔盒”。结果，学生非常喜欢。小小的魔盒发挥了神奇的作用，学生始终边玩边自觉地思考。在一次次验证的过程中，我引导学生们试着用算式来表示结果，为理解含有字母的式子可以表示结果作好铺垫。在适时地点拨和引导下，学生们借助具体的数发现了魔盒的秘密，再次体验了用字母表示数的概括性，经历了建立数学模型的过程。魔盒本身是一个蕴含函数思想的一个载体，学生在玩中不知不觉地感受着字母表示数的特点。这样层层逐步深入，有层次、有坡度地突破了难点。
　　魔盒的神奇还表现在：输入魔盒的数可以是学生学过的整数、小数或分数。进而让学生明确：用字母表示的数是已经学过的所有的数，不局限于整数。同时在游戏后，我还水到渠成地总结：数学是研究千变万化中不变的关系，更是对数学本质的体验。
　　案例2——从有疑处生发，拓展教材的宽度
　　从信息论的角度来说，教学内容的宽度就是一节课传输给学生的信息量。在“用字母表示数”一课中，教材是这样呈现简写规则的：a×4或4×a通常可以写成4·a或4a；a×a可以写成a·a，也可以写成a2，a2读作“a的平方”。
　　在教学中，规则的学习实际上并没有多少探究的空间。但教材的呈现比较零乱，而更加有序的呈现规则将有利于规则的掌握和熟练运用。这部分内容虽然分量不重，却也是学生学习的一个难点。面对这一小段内容，追问中我想到：为什么要有这样的规则呢？学生会不会也有这样的疑问，而我又该怎样回答呢？带着这些问题，我开始寻找。
　　苏霍姆林斯基曾指出：“如果老师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦。没有欢欣鼓舞的心情，没有学习兴趣，学习也就成了负担。”我试着以儿童的眼光看问题，在全面深入研究学生和钻研教材的基础上，几易其稿，把简写规则这样的规定性知识镶嵌在一个有趣的数学童话中，做成动画，引导学生在具体的情境中轻松愉快地学习。故事如下：
　　某天的早朝上，0国王正在听小不点儿乘号汇报工作：“陛下，因为我和X很相近，许多人总把我们混淆。请陛下想出一个对策才行啊。”
　　于是，0国王传下口令：加号、减号、除号先行退朝，乘号留下议事。
　　第二天早朝，0国王宣布了3条制度：
　　第一，在含有字母的式子里，数和字母中间的乘号可以记作小圆点，也可以省略不写。如x×2或2×x都可以记作2·x或2x，但要注意，在省略乘号时，要把数写在字母的前面。
　　第二，1与任何字母相乘时，1可以省略不写。如1×b或b×1都记作b。
　　第三，字母和字母相乘，中间的乘号也可以记作小圆点或省略不写。如a×b记作a·b或ab；两个相同的字母相乘，如b×b记作b2，读作“b的平方”。
　　这样学习和自学几个例子的效果肯定大不一样。这一教学片段的形式新颖、活泼，充分体现出数学思想，一切形式的生动都是为学生的学习服务。
踏歌而行——对走向“学材”的企盼
教师使用教材的智慧体现在教师精通教材的基础上，根据自己的体会和教学风格，结合学生的知识水平、年龄特征和实际学习需要，对教材内容进行精心处理。不管是魔盒的诞生或是童话的编写，出发点都是为学生的学习服务，站在学生的立场思考。在数学课堂上玩魔术、听童话，在孩子们看来，是非常有吸引力的。不仅如此，孩子们还能从中发现数学问题、研究数学，这又是多么美好啊！我期盼着教材的定位能更明确地指向学生——让教材直接面向学生，更直接地服务于学生的学习活动，而非主要服务于教师的教学活动，真正实现从“教材”向“学材”的构建。
聚焦小学数学四：寻求开放与有效的内在统一
在继承与创新中寻求平衡
■浙江省教育厅教研室 斯苗儿
　　新课程背景下的数学课堂可谓异彩纷呈，而课堂的实际效果却不尽如人意。一些教师一味强调开放与自主，在课堂上很少进行规范的板书、清晰的讲解，很少留给学生独立看书或做作业的时间。怎样提高课堂实效，处理好有效与开放的矛盾？笔者认为，需要在继承与创新中寻求平衡。
强化目标意识，清晰阐述具体目标
　　小学数学作为一门基础学科，要让学生掌握必要的基础知识和基本技能，获得基本的活动经验和数学思想方法。前者是显性的要求，可清晰地加以阐述，并分解到每节课完成，也就是传统意义上的“一课一得”；后者是隐性的目标，较难在课堂上清晰阐述，需要教师长期坚持，点滴渗透。新课程实施以来，一些教师在制订课时教学目标时，追求面面俱到，误以为把“过程与方法”、“情感、态度、价值观”的目标放大了，把“知识技能”的目标含糊了，就能体现新课程的理念。事实上，教学的成效是一个不断累积的结果，而不是一个突变。教师需要进一步强化目标意识，在认真学习课程标准、仔细研读教材和全面分析学情的基础上，通盘考虑总体目标、学段目标、单元目标和课时目标，保证每节课有可检测的知识技能目标，并分解到各个教学环节中加以落实。
　　如一位教师写的“速度、时间、路程”一课的教学目标：（1）引导学生在解决问题过程中理解速度的含义，建构路程、速度、时间的关系，初步感知三者之间的变化规律。（2）引导学生运用路程、速度、时间三者关系解决生活中的简单问题，获得解决问题的策略，提升解决问题的能力。这样的目标，既把一节课纳入解决问题的整体框架中加以考虑，又依据知识间的内在联系和学生的实际突出一节课的个性。正因为教师对课时目标有了清晰的认识和恰当的定位，课堂上就少了许多游离于数学之外的环节，力求让每个环节的构建与目标建立对应关系，使环节都指向目标，从而提高课堂效率。
　　作为有效的数学教学，不仅应当十分关注如何帮助学生很好地掌握各种数学知识与技能，而且应高度重视如何帮助学生数学地思维，包括由思维方法的学习向数学素养的重要过渡。
增强时间观念，合理分配教学时间
　　教学时间是十分宝贵的，它决定着课堂教学目标的确定、内容的选择和结构的安排。在有限的40分钟里，面对有四五十名学生的大班教学，教学时间分配的合理程度会直接影响到课堂教学的有效性。新课程实施以来，许多教师热衷于创设情境导入新课，但由于缺乏时间观念，有的教师只是原原本本地把实际问题拿到课堂上，提出的问题过于笼统，让学生漫无边际地“侃”，影响了教学进度。实际上，一个正常人真正可以集中精力的时间只有20分钟左右，小学生更短，我们不能要求孩子集中40分钟的注意力，但可以根据孩子注意力能集中的时段讲解新知、教学重点、突破难点。教师应合理分配好各教学环节所需的时间，在课前就应对各个教学环节所需时间心中有数，特别要把学生答问、练习的时间计算在内，并且留有余地。如果把新授课分为导入、展开、巩固延伸3个环节的话，展开环节所占的比例要大一些，并且要留出一定的巩固练习时间。
　　新课程并非要完全抛弃传统的课堂结构，而是要求对传统的课堂结构进行改革和优化。许多有经验的教师非常重视课堂教学的顺序和时间的合理安排，从而大大提高了课堂教学效率。
加强引领意识，恰当讲解示范
　　课堂教学的有效性虽然表现在不同层次上，但学生是否有进步是衡量教学有效性的唯一指标。学生的进步和发展离不开教师的引导和必要的讲解示范，尤其是小学生。作为教师，讲解是一项很重要的基本功。平时听课中，笔者发现有的教师在课堂上该讲时不敢讲，本来一句话就能点明的问题，非得跟学生“兜圈子”、“捉迷藏”，以为这样就是开放，结果时间白白地浪费了。举例来说，应用题是小学数学课程的重要内容。在传统数学教材中，设计了整个单元进行应用题的教学。而数学课程标准把“解决问题”作为4个总体目标之一，以此为指导的数学教科书将应用与计算结合起来，不再设立单独的应用题单元，甚至很少集中地编排纯应用题内容。随着新课程的进一步实施，新教材编排体例的变化与教师教学习惯之间的矛盾日益突出，一些教师不敢强调数量关系，怕被扣上“传统”的帽子。事实上，一个学生搞不清数量关系，就不可能从复杂的情境中提炼出有用信息。传统的应用题教学中有许多做法值得借鉴，如教师经常会问学生“你是怎么想的？”、“先算什么？”、“为什么要先算？”、“谁能完整地把你的想法告诉大家？”要求运用“根据……可以求出……要求……需要。知道……”的句式表达思路。这些话看似简单，恰恰是教师帮助学生梳理和提炼解题思路的拐杖，它能帮助学生理清解题思路，能让解决问题的隐性策略显性化，是值得继承的话语系统。
　　尽管新课程强调学生动手实践、自主探索和合作交流，在教学实践中倡导先试后讲，但教师的引领和学生的自主同样重要。很多时候，学生的主体地位恰恰是在教师的主导下确立的，没有引领，自主学习便会失去方向。相反，教师的适时点拨、启发，如画龙点睛，能使学生的自主学习实现超越发展，这是“有效”的真正内涵。
　　在数学课堂上，教师对学生的思路作必要的梳理和提炼，对一些重点难点的内容进行适时的点拨、引导甚至讲解，是教师应尽的职责。
　　有效教学是一个永恒的研究课题，要处理好有效与开放的关系，纠正教师由于认识上的偏差而出现的不当做法。我们对教学改革的深入理解，需要在继承与创新中寻求平衡。事实上，数理学科的学科教学体系已形成一个严谨的整体，在长期的教学实践中也积淀了一些行之有效的教学方法，譬如，以旧引新、寻找新旧知识的关联和生长点；系统把握教材内容，精心处理重点、难点；有效组织练习，注重变式训练，当堂反馈校正，等等。为此，我们在着手课堂教学改革的同时，要充分认识到教学观念的更新和教学策略的变换并不意味着割断历史，必须从历史的、辩证的角度，用发展的眼光来看待传统。
有效是底线也是教学的价值追求
■北京第二实验小学 施银燕
　　这是个有点极端但一定不陌生的案例：
　　[案例1]
　　教学除法时，教师首先提出了这样的问题：“每个书包11元，32元可以买几个这样的书包？”算式为32÷11=2……10，答案是可以买2个这样的书包。这时，有学生提出32元可以买3个这样的书包，其理由是买多了可以与售货员讨价还价，还有学生提出可以到别的商店去买。于是讨论各种买包方案成了这节课的高潮。
　　反思：这样的课堂是对开放的表面化理解和误读。新课程要求对学生开放，但绝对不是放任学生；新课程还要求数学向生活开放，但不意味着数学可以没有规则，无所谓对错。近年来随着对许多开放课堂的反思和质疑，课堂教学的有效性也被再次强调。
　　这是个离我们有些遥远但却耐人寻味的案例：
　　[案例2]
　　“体积的问题”一课中，教师把教材中一道很普通的习题“长18厘米，宽13厘米的长方形纸，四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，围成一个无盖的长方体，求这个长方体的体积”改编成一个开放式的问题：“剪去边长为多少的正方形后围成的长方体体积最大？”整节课学生在教师的带领下饶有兴趣地探求，给听课老师留下了深刻的印象。但课后教师提出的问题，迷倒了好几位听课老师：“算到小正方形的边长是2.484厘米和2.485厘米时，又出现了并列第一——260.00778立方厘米，算到小数点后面第四位，边长是2.4845厘米时，它的体积比260.99778立方厘米仅多0.00001立方厘米。这是为什么？”听课老师都倍感奇妙，有的还猜测这个结果与黄金分割数是否有关联。
　　反思：其实这个问题只要把长方体的体积（V）表示成小正方形边长（x）的函数，解方程即可。让我吃惊的是年轻一代的数学教师或多或少都接触过高等数学，但面对这么一个典型的极值问题居然连最基本的相关概念都无法唤醒。这里我无意谈数学教师的专业素养问题，而是因之联系到自己每天从事的教学：当我的学生离开了学校，扔掉了课本，忘掉了老师，在数学课堂中学到的曾经认为重要的东西还能留下多少？
　　由此，关于课堂教学的有效，我们似乎还不能单一地从某个知识点或某一技能的暂时达成与否来衡量。事实上，儿童的语言也许仅仅是表面的模仿和重复，他们的大脑里究竟改变了些什么才是我们最需要关心的。
　　有效，不再是那么容易就能达到的底线，而应该成为我们追求的目标。追求有效，就不能把本来和谐统一的内容分裂开，然后各部分再机械地相加。比如有效和开放，公开课“开放”，随堂课“有效”，这么做各自都变了味，前者无效，后者也因追求考试的有效而走向另一个极端。再比如：“四基”——基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。当我们持这样的观点，我们就不会人为分割“四基”，不会让学生在反复的计算操练中忘却了运算的意义，不会空对空地讲些玄而又玄的思想。
　　下面是一个谈不上完美但追求有效与开放统一的成功案例：
　　[案例3]
　　师：落日、年轮、老鼠洞、涟漪。你能找到藏在这4个词背后那个相同的词吗？
　　（生普遍有困难，师出示4幅图片）
　　生恍然大悟。
　　生1：圆！
　　生2（纠正）：近似的圆。
　　师：是的，自然界的植物、动物甚至无生命的都不约而同地选择了圆。难怪有人说“圆是非智慧图形”。当然，就像刚才同学们所说，这些圆只能说是近似的、大概的。那么用上什么工具，就可以做出一个标准的圆了？
　　生3：圆规。
　　师：给你圆规，会画圆吗？
　　（生3画圆，其他学生纠正）
　　师：看着这个圆，和我们以前学习的其他图形有什么不同？
　　（曲线图形，直线图形）
　　师：但是，圆这个曲线图形，和这些直线图形，它们都是——平面图形。大家知道，平面上最基本的元素是点，点动形成了线。研究圆这个图形，我们就从点和线开始。先来看点。圆上有无数个点，圆内也有无数个点。在这无数个点里，你觉得哪个点最重要？把它点出来！“聪明的脑袋瓜是相似的”，我们都选择了圆中心的这个点。的确，这个点不同一般，它还拥有自己的名字：圆心。圆心一般用字母O表示。以前我们学过的图形也有中心，地位却没这么重要过。你看，正方形的中心，我们也不给它取个名字叫方心什么的。圆心，究竟特别重要在哪里？
　　学生讨论。
　　生1：画圆时圆规针尖固定的地方。
　　生2：与圆上任何一点的距离都相等。
　　师：他说“圆心与圆上任何一点的距离都相等，”这是什么意思？你们同意吗？
　　生3：是相等的，因为这个距离都等于圆规两脚间的距离。
　　生4：因为把圆心固定了，旋转任何角度以后圆都与原来的图完全重合。
　　师：我很高兴，同学们在判断这个距离是不是真的都相等，都是在用自己的大脑去想、去推理的。再来看线——把你认为特别的、重要的线段画出来！
　　这节课，把圆的特征蕴含在“找出圆中重要的点和线，为什么说它重要？”这个十分开放的大问题中，开放但学生回答却不离谱的原因在于有内在的逻辑保障：圆心是唯一的，而其他点都可以找到与其地位平等的许多点。在对这个问题的探究中学生感悟到“研究平面图形就从点和线开始”这一可广泛迁移的方法，还能渗透“化高维为低维，化复杂为简单”的思想，不失为一个成功案例。
什么才是有效的开放
■南京师范大学附属小学 余颖
　　新一轮课程改革提出了自主、探究、合作、生活数学、信息技术、算法多样化等}