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hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b58f8c5494eef01febfe.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d6d55fbee8a8dca21a4dd80.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=6e74ceaaac6cecb1fb15e3/b58f8c5494eef01febfe.jpg" esrc="http://e.hiphotos.baidu.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">定积分定义：<a href="http.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=979eb8db4036acaf59b59efa4ce9a128/d6d55fbee8a8dca21a4dd80.jpg" esrc="http://e.hiphotos://e如图所示：<a href="http.baidu.baidu.baidu
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微积分3习题答案.doc （本科）《微积分》练习三答案 １ 一、填空题 1． 设 Axf ?)('0，则 ?? ????? x xfxxfx )()3(lim 000A3? 2． 函数 ? ? xxxf 3? 在点 0?x 处的导数 ? ??0'f 0 3．根据导数定义，函数 ? ? 1?? xxxf 在点 1?x 处的导数 ???1'f 不存在 4． 函数 ? ? xxf sin? 在点 0?x 处的导数 ? ??0'f 不存在 5． 设函数 )()3)(2)(1()( nxxxxxf ????? ?（其中 n 为正整数），则 ?)0('f 6．曲线 ? ? xexy ?? 1 在点 0?x 处的切线方程为 ?y 12 ?x ??nk kn11! ↑ 7． 设 ? ? 2xxf ? ，则 ? ?? ??xff ' 22x 8．设 )(xfy ? ，且 36 )2()(lim 000 ???? h hxfxfh，则 ?? 0| xxdydx9? 9． xexy ??? 2 ，则 ?)0("y 3 10． 设 )sin( ttax ?? ， )cos1( tay ?? ，则 ?22dxyd2)cos1(1ta ?? 11． 设 10 ??x ，则 ?)ar cs in( xxd dxxxx )121a r c s in21(??12．求曲线??????321tytx 在 2?t 处的切 线方程 )5(38 ??? xy 13．设 12 ?? xy ，则其反函数 )(yxx? 的导数 ?? )(yx 2114． 设 xxy 2ar ct an)1ln ( ??? ，则导数dxdy在点 4? 处的值为 4arctan17241 ?15． 设 需求函数 bPaQ ?? ，则边际收益 ? ??QR' ? ?Qab 21 ?16．某商品的需求量 Q 与价格 P 的关系为 5PQ? ，则需求量 Q 对价格 P 的弹性是 5 17．设某商品的需求函数为 PQ 21000 ?? ，其中 P 为价格， Q 为需求量，则该商品的收益弹性 ?EQERQQ??．某商品的需求函数为 PQ 21000 ?? ，其中 P 为价格， Q 为需求量，则销售该商品的边际收益为 ? ??QR' Q?500 bPa bPa ??219．某商品的需求量 Q 与价格 P 之间的关系为 bPaQ ?? ，则该商品的收益弹性 ?EPER二、 单项选择题 1． 设 )(xf 是可导函数，且 12 )()(lim 000 ???? h xfhxfh，则 )('0xf为 ④ ① 1 ② 2 ③ － 1 ④ － 2 2． 设 )(xf 在 1?x 处可导，且 2)1(' ?f ，则 ????? xxfxfx)1()1(lim0③ ① 1 ② 2 ③ 4 ④ 3 （本科）《微积分》练习三答案 ２ 3． 函数 ? ? 3xxf ? 在 0?x 处满足下列哪个结论 ④ ① 极限不存在 ② 极限存在，不连续 ③ 连续，不可导 ④ 可导 4．函数 ??xf 在区间 ? ?ba, 内连续是 ??xf 在 ? ?ba, 内可导的 ② ① 充分但非必要条件 ② 必要但非充分条件 ③ 充分必要条件 ④ 既非充分又非必要条件 5．设 )(xf 为奇函数，则其导数 )(xf? 的奇偶性为 ② ① 奇函数 ② 偶函数 ③ 非奇非偶 ④ 奇偶性不定 6．设函数 )(xf 可导，记 )()()( xfxfxg ??? ，则导数 ? ?xg' 为 ① ① 奇函数 ② 偶函数 ③ 非奇非偶 ④ 奇偶性不定 7．设函数 )(xfy ? 有21)(' 0 ?xf，则当 0??x ，该函数在点0xx?处的微分 dy 是 ② ①与 x? 等价的无穷小 ②与 x? 同阶的无穷小，但不等价 ③与 x? 低阶的无穷小 ④与 x? 高阶的无穷小 8．函数????????? 0001)( 1 xxexxf x ，在 0?x 处 ② ①不连续 ②连续但不可导 ③可导，且 0)0(' ?f ④可导，且 1)0(' ?f 9． 设 xxxf ln)( ? 在0x处可导，且 2)(0 ?? xf，则 ?)(0xf ② ① 0 ② e ③ 1 ④ 2e 10． 设 xe2 为 )(xf 的导函数，则 ??? )(xf ② ① xe2 ② xe22 ③ xe24 ④ 0 11．设 (0) 2f ? ? ，则当 0x? 时， ( ) (0)f x f? 是 x 的 ② ① 低阶无穷小量 ② 同阶无穷小量 ③ 高阶无穷小量 ④ 等价无穷小量 三、求下列导数或微分 1． 设 xxxy ??? ，求dxdy（?????????????? xxxxxx） 2．设xxy1sin? ，求 dxdy （xxxx1c os211s in21 ? ） 3． ? ?xxey x co ss in ?? ，求0' ?xy（ =2） 4． ? ?xxxy lnc o slns in ?? ，求 dy （ xdxlncos2 ） 5． 21arc c os xy ?? ，求 dy (21 xxxdx?) 6． 设 xx xxy 3sin33 ??? ，求 y? （ ?????? ????? x xxxxxy xx 3s i nln3co s333ln3 3s i n2） 7． 设 21ln1a r c t a n xxxy ????，求 'y （x1arctan） 8． 设1111???????xxxxy （ 1?x ），求 dy （ dxxxxx ?????????????? ( ） 9． 设 )1 00()2)(1()( ???? xxxxxf ?，求 )0(f? （ =100！） （本科）《微积分》练习三答案 ３ 10．设xxxy ?? 1sin，求 dy （ dxxxxxxx22)1(c osc oss in??? ） 11．xxexxey ??，求dxdy（ ? ?? ?22xxxexexe?? ） 12．设11ln)2a r c t a n( 3?????xxxy （ 1|| ?x ），求 y? （11)2(132232???? xxx ） 13． 设 ( ??? xxxy ，求 y? （ ?????? ?????? (2326 xxxxxxx ） 14． 设3 242)2(2)1(????xxxy ，求 y? （ ??????????????)2(32)2()1(3 242xxxxxx ） 15． 设 xxy 1? （ 0?x ），求 y? （21 ln1x xx x ??） 16． 设 xxy sin2 )1( ?? ，求 dy （ dxx xxxxx x ?????? ???? 22s i n2 1 s in2)1ln (co s)1(） 17． 由 1)ln ( 22 ??? xyeyx 确定 y 是 x 的函数 )(xy ，求 )(xy?xyxyeyxxyeyxyxy)(2)(22222??????? 18． 已知 yx xeye ? ，求 'y (xyyxexe eye ??) 19． 已知 yx xy ? ，求 'y （ ? ?? ?xyxx yxyy lnln??） 20． 已知 )cot( yxy ?? ，求 'y （ )(sec 2 yx ? ） 21． 已知 ? ? 0ln ??? xyy ，求 'y （11 ??xy） 22． 由 5)sin(22 ??? xye yx 确定 y 是 x 的函数 )(xy ，求 )(' xy)c o s (2)c o s (2'2222xyxyexyyxeyyxyx?????? 23． 设函数 )(xyy ? 由方程 xyxxy s in)ln ( 32 ??? 确定，求0?xdxdy （ =1） 24． 设 方程 0arc tan ??? yyx 确定了 )(xyy ? ，求dxdy（221yyy ??? ） 25．求由方程 0333 ??? axyyx （ 0?a ）确定的隐函数 )(xyy ? 的微分 dy dxaxyxay??22 26．已知 )(xy 是由方程 0sin ?? yxey 所确家的隐函数，求 y? ，以及该方程所表示的曲线在点 )0,0( 处切线的斜率。 （yyxeye?? cos， 1? ） 27．设 )(xyy ? 由方程 )]([ ygxfy ?? 所确定，其中 f 和 g 均可导，求 y? （gff ???? ?1） 28．函数 )(xyy ? 由方程 0??? xyee yx 确定，求022?xdxyd [解 ] 对方程两边关于 x 求导，得 0?????? yxyyee yx ，两边关于 x 再求导，得 （本科）《微积分》练习三答案 ４ 02 ????????????? yxyyyeyee yyx 又当 0?x 时， 0?y ，于是 1)0( ??y ，故 2022 ???xdxyd 29．设?????teytextt2222sincos ，求 dxdy （ ttt ttt co ss inco s co ss ins in22?? ??） 30． 设 )(xyy ? 由 212 )1( sx ?? 和 212 )1( sy ?? 所确定，试求dxdy（2211ss??? ） 31．设?????teytex22sincos ，求 dxdy （ =－ 1） 32．设?????teytexttsincos22 ，求dxdy（22 sin2co s)co ssin2( ttt tte t ? ? ） 33．若参数方程为???????2322ttyex t ，求 dxdy 在 0?t 时的值。 （ 23 ） 34．设??????2ln3sin2teytx ，求22dxyd（t ttet3co s36 )3s in33(co s 3?） 35．设????? ?ttteyex ，求22dxyd（ tet 3)23?（ ） 36．设???????ttetyex 2 ，求22dxyd（ tt ee 544321 ?? ??） 37． 设曲线方程为????????ttyttxcos2sin ，求此曲线在 点 2?x 处的切线方程，及22dxyd[解 ] 当 2?x 时， 0?t ， 1?y ，ttdxdy cos1 sin1???，210??tdxdy ， 切线方程： )2(211 ??? xy；322)co s1(1co ss in1tttdtdxdxdydtddxyd???????????? 38．设 32 )54()32)(1( xxxy ???? ，求 )0()5(y （ =63900） 四、应用题 1． 设生产某商品的固定成本为 20000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100 元，总收益函数为 221400)( xxxR ??（假设产销平衡），试求边际成本、边际收益及边际利润。 （ 100)( ?? xC ， xxR ??? 400)( ， xxL ??? 300)( ） 2． 一人以 2m/秒的速度通过一座高 20m 的桥，此人的正下方有一小船以34m/秒的速度与桥垂直的方向前进，求第 5 秒末人与船相离的速率。 [解 ] 设在时刻 t 人与船的距离为 s ，则
ttts ??????????? ， （本科）《微积分》练习三答案 ５ 253 60 0352ttdtds??21265??tdtds （ m/s） 答：第 5 秒末人与船相离的速率为2126（ m/s） 五、分析题 1． 设曲线 )(xf 在 ]1,0[ 上可导，且 )(c o s)(s in 22 xfxfy ?? ，求dxdy（ xxfxfy 2s in)]( c o s)( s in[ 22 ????? ） 2． 设曲线方程为 09)c o s ()1(33 ????? yxyx ?，试求此曲线在横坐标为 1??x 的点处的切线方程和法线方程。 （ )1(312 ???? xy， )1(32 ??? xy ） 3． 设 ||3)( xaxf ?? ，求 )(xf? （??????????axaxxfaxxa3ln33ln3)( ，且 )(xf 在点 ax? 处不可导） 4． 讨论函数???????010s in)(xxxxxf 在 0?x 处的可导性。 （ )(xf 在 0?x 处不连续，不可导） 5． 设????????00)1ln()(s in xexxkxfx，当 k 为何值时，点 0?x 处可导；此时求出 )(xf? 。 （当 1?k 时， )(xf 在 点 0?x 处可导；此时??????????0c o s01 1)(s in xxexxxfx） 6． 若 )(xfy ? 是奇函数且在点 0?x 处可导，则点 0?x 是函数xxfxF )()( ?什么类型的间断点？说明理由。 [解 ] 由 )(xf 是奇函数，且在点 0?x 处可导，知 )(xf 在点 0?x 处连续， )0()0( ff ?? ，则 0)0( ?f ，于是 )0(0 )0()(lim)(lim 00 fx fxfxF xx ????? ??存在， 故点 0?x 是函数 )(xF 第一类间 断点（可去）。 7． 试确定常数 ba, 的值，使得函数?????????0102)(2 xbxxxaexf x 处处可导。 [解 ] 为使 )(xf 在点 0?x 处连续，必须 )0()(lim)(lim00 fxfxf xx ?? ?? ??，即 axfx ???? 2)(lim0 ， 1)0()(lim 0 ???? fxfx ， 所以 1??a ， 为使 )(xf 在点 0?x 处可导，必须 )0()0( ?? ??? ff ，即 2)1(2l im0 )0()(l im)0( 00 ??????? ?? ??? xex fxff xxx ， bx bxxx fxff xx ??????? ?? ??? 200 l im0 )0()(l im)0( ，所以 2?b 8． 验证???????tytx11 （ 11 ??? t ），满足方程 02223 ??dx ydy（本科）《微积分》练习三答案 ６ [解 ] ttdxdy????11 ， (2121)11(yttttdxyd ??????????? ， 即 02223 ??dx ydy。 9． 已知函数???????11)( 2xbaxxxxf 在 ),( ???? 上可导，求 a 和 b 的值。 [解 ] 为使 )(xf 在点 1?x 处连续，必须 )1()(lim)(lim11 fxfxf xx ?? ?? ??，即 )1(1)(lim1 fxfx ???? ， baxfx ???? )(lim1 ， 于是 1??ba ， 为使 )(xf 在点 1?x 处可导，必须 )1()1( ?? ??? ff ，即 21 1lim1 )1()(lim)1( 211 ???????? ?? ??? xxx fxff xx ， ax baxx fxff xx ?? ??????? ?? ??? 1 1lim1 )1()(lim)1( 01 ，于是 2?a 故 1,2 ??? ba 六、证明题 1． 证明 函数??????????00011)(xxxxxf 在点 0?x 处连续，但不可导。 [解 ] 0)0( ?f ， 0)(lim0 ??? xfx， 011lim)(lim00 ?????? ?? xxxfxx， 即 )0()(lim0 fxfx ??，所以 )(xf 在 0?x 处连续。 又因为 ?????????????? ???? )1(1l i m11l i m0)0()(l i m)0(000 xxxxxxfxffxxx所以 )(xf 在 0?x 处不可导。 2． 设 )(s in)()(0xxxgxf ?? ?（ 1?? ），其中 )(xg 在0x处连续，证明： )(xf 在0x处可导。 [证 ] 0000 )(s in)(lim)()(lim00 xxxxxgxxxfxfxxxx ????????? ????????????????? ?? 101)()s i n ()](s i n)([l i m 000010 ??? xgxxxxxxxgxx? )(xf 在0x处可导。
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浙大电子屏现微积分题 学生：又来虐我们(图)
浙大蓝田学园大屏幕惊现微积分题
　　最近，各高校都陆续进入了考试周。浙江大学紫金港校区蓝田学园门口的大屏幕上，出现了一幅应景的画面：一道微积分题。
　　这道微积分题分为两个小题，下面还有一句“挑衅”的问句：这道微积分你会了吗？正处在考试周水深火热中的学生纷纷表示，这实在是太“丧心病狂”了。
　　这个创意是蓝田学园辅导员史龙鳞想出来的，他自己就是浙大的毕业生，同样有过被微积分“虐”的惨痛经历。
　　史龙鳞告诉记者，浙大除了人文类专业的学生不用上微积分，其他大约70%的学生都逃不出微积分的魔掌。蓝田学园住着的大一新生，全都要奔赴微积分的考场。
　　为了让学生保持复习的紧张感，他特地让一个学生在微积分的习题册里找了一道比较难、容易错的题目，放在了大屏幕上。
　　现在，这道题目在浙大学生的微信朋友圈传疯了，不同的学生作出了不同的反应——
　　学霸：So easy（太简单了），妈妈再也不用担心我挂科。
　　普通学生：这题还真有点儿难啊，赶紧滚回自习室再抱会佛脚。
　　学渣：学园又来花样“虐”我们了！（上次是双十一的时候在屏幕上播放了一只单身狗的动画）
　　其他学生：蓝田学园真会玩……
　　除了微积分题，屏幕还会轮换出一个考试周通告，它贴心地提醒学生考试期间宜听歌曲“小幸运”，宜对身边的处女座好一点；忌出去浪，忌通宵复（yu）习……
　　通告还特地嘱咐学生要重点复习微积分、线代、大学英语、大学物理、电路与电子技术和物理化学。这些科目，都是史龙鳞向老师和学生打探后，总结出浙大难度最大、最易挂科的学科。(浙江在线)
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