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对有m个产地n个销地的平衡的运输问题，如果用位势法求检验数，则对应的v有m个。
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对有m个产地n个销地的平衡的运输问题，如果用位势法求检验数，则对应的v有m个。此题为判断题(对，错)。请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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1当所有产地的产量和销地的销量都是整数时，运输问题的基可行解也是整数。2按最小元素法给出的解为初始基本可行解。3闭回路中允许一行有三个顶点（格）。4有些生产和库存计划问题可转化为运输问题。
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第三章 参考资料-有位势法的对偶问题解释-运输问题.ppt 61页
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典型背景——单一物资运输调度问题
设某种物品有:
的单位运价是
求总运费最小的调度方案。 运输问题数学模型的特点 运输问题有有限最优解 运输问题约束条件的系数矩阵（下页） 约束条件系数矩阵每一列只有两个1，其余为0；
对产销平衡问题 约束条件均为等式，且产量之和=销量之和； 约束条件的独立方程最多有m+n-1个，即
运输问题的对偶问题——对偶变量与原问题检验数的关系 表上作业法是单纯形法在求解运输问题的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解
（2）求各非基变量的检验数
（3）判断是否最优解 换基： （4）确定换入变量和换出变量找出新的基可行解。
（5）重复（2）、（3）直至求出最优解。 举例说明表上作业法 例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、
四个销售点的销量及单位运价如下表： 第一步：确定初始基可行解
——最小元素法、伏格尔法 最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量，逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。? 第二步：解的最优性检验 第三步：解的调整 几点说明： 讨论内容： 初始调运方案（初始基可行解）
——西北角法 解的最优性检验——对偶变量法（或称位势法）
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
举例说明 某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的销量及单位运价如下表： 二、有转运的运输问题 中间转运站——产地、销地、中转站。 建模思路：从发送及接受角度考虑。 应用问题举例 例1、水泥调运的产销不平衡情况及运价如下表，求最好的调运方案。 运输问题 讨论 一、概念题（判断） 二、运输问题的对偶问题 三、运输问题的灵敏度分析 四、求解线性规划问题 练习： 下表给出一个运输问题及它的一个解， 结合例1说明这种方法。 行罚数
数 2 ⑤ 4 2 8 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 14 8 0 0 6 8 0 2 4 12 0 0 0 0 第五次 例1用伏格尔法得到的初始基可行解 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 4 8 14 8 12 2 目标函数值 用最小元素法 求出的目标函数z=246
一般说来，伏格尔法得出的初始解的质量最好，常用来作为运输问题最优解的近似解。 闭回路法
思路：计算空格（非基变量）的检验数
若令 则 如何求检验数？ 分析： ——运费的增量 即
增加1个单位
的检验数=相应的运费增量 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 8 2 10 14 6 8 从初始表分析： 要保证产销平衡，则
称为闭回路
+1 -1 +1 -1 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 8 2 10 14 6 8 2 1 检验数表 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 8 2 10 14 6 8 2 1 1 -1 10 12 表中的解不是最优解。
调整位置（2，4）非空，回路角上的格至少为空，且保证数字的非负性。 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 8 2 10 14 6 8 -1 （-2） （-2） （+2） （+2） 调整后的解为： 4 12 2 8 5 4 3 9 6 11 11 10 销量 产量 销地 产地 8 2 12 14 4 8 2 2 0 9 1 12 此时的解为最优解。 有无穷多最优解 当检验数为的负的变量超过两个，选择最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划去一行和一列，此时出现退化。为保证m+n-1个非空格，需在上述的行或列中填入数字0。 还有其它的方法吗 ？ 根据第一节运输问题对偶问题与原问题的检验数的关系 第三节
运输问题的
进一步讨论
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第三章 参考资料-有位势法的对偶问题解释-运输问题
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运筹学课件第三章运输问题----数学模型及其解法.ppt 14页
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运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。
荀子《劝学》 3.1 运输问题的一般数学模型 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销地的销量，?ai=?bj 称为产销平衡 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下： 3.2 运输问题的求解方法 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 基变量的个数远小于决策变量的个数 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
例3.2.1 西北角法
2、最低费用法 采用最小费用优先分配的原则，看一步
3、运费差额法 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步
3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优 不采用单纯型法，如何获得xij的检验数 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原问题的解不是最优解；否则，达到最优解
位势法的原理 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij?0，则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0 共有m+n?1个基变量xij ，因此可得m+n?1个等式 ui+vj=wij m+n?1个等式只能解出 m+n?1个 ui 和 vj ，而一共有m+n个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n?1个的值；这就是位势法 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 若对所有非基变量有 zij ? wij ? 0，即 ui + vj ? wij，表明当前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前m+n?1个基变量xij 是最优解，否则 从 zij ? wij & 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
3.2.3 踏石法 1、找入变量 从 zij ? wij & 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量 2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路 该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路中每行每列只有两个变量 3、求入变量 xi*j* 的最大值及新基变量的解 从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“?”和“+”，表示“?”和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡 标有“?”的变量中最小者就是出变量xi*j* ，对应 xi*j*的值就是所求入变量 xij 的最大值 标有“?”的变量减去 xi*j*，标有“+”的变量加上 xi*j*
4、用位势法求新基变量的检验数 若所有 zij ? wij ? 0，则达到最优，算法停止；否则返回 1
例3.2.1 踏石法，以最低费用法所得初始解开始 3.3 运输问题迭代中的一些具体问题
3.3.1 闭合回路的画法 从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法 闭合回路不一定是矩形
3.3.2 产销不平衡 供过于求，即 ?ai & ?bj ，增加一个虚收点Dn+1，bn+1= ?ai - ?bj , 令 wi,n+1=0, i=1,2,…,m 供小于求，即 ?ai & ?bj ，增加一个虚发点Wm+1，am+1= ?bj - ?ai , 令 wm+1,j=0, j=1,2,…,n
3.3.3 关于退化问题 1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n?1。必须补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和
vj 所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
3.3.3 关于退化问题 2、迭代过程中出现退化 闭合回路中标有“?”的基变量同时有多个达到最小 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量 * * ?管理与人文学院
1999，4 运输问题有
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