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第一章绪论 1.1 工程力学研究内容概述工程力学研究物体平衡规律和物体承载能力静力学:研究物体平衡规律(1)工程力学强度材料力学:研究物体承载能力刚度稳度(2) 以变形固体为研究对象的力学分支称为固体力学,起主要研究固体和结构(或构件)受力而发生变形、流动和破坏的规律。材料力学是固体力学的入门课程。(3) 物体运动效应转动移动变形效应力(4)物体承载能力:物体受力所能维持正常的、稳定的、平衡状态,不发生破坏或过大变形的能力, 须从强度、刚度、稳度定性三方面分析。 1.2 工程力学的研究方法实践理论实践 1.2 静力学(1)静力学中研究的物体只限于刚体(2)刚体之间的机械作用大致可以分为两类: 一类是接触作用;一类是“场”的作用(3)刚体上力的三要素是:力的大小、方向、作用线(4)钢化原理: 力物体,物体平衡,若将此变形物体钢化为刚体,其平衡状态不变。(5)约束反力:约束对物体的作用力。 1.3 材料力学基础 1.3.1 材料力学的研究对象(1)构件:组成结构的原件或机器的零件。(2)在研究构件的承载能力时,一律将构件视为变形体。(3)杆件:长度方向尺寸远比横向尺寸大得多的构件。(4)描述构件的几何要素是横截面和轴线,轴线是指各横截面形心的连线。(5)杆件,去干,等截面杆,变截面杆,等截面直杆。 1.3.2 材料力学的任务(1)描述物体的承载能力的三方面: A强度:构件在承受荷载时抵抗破坏的能力 B刚度:构件在承受荷载时抵抗变形的能力 C稳定性:构件在承受荷载时,能在原有的几何情况下保持平衡状态的能力(2)失效:由于材料的力学行为改变而是构件丧失正常工作能里&承载能力&的现象称为失效。升华 A强度失效 B刚度失效 C稳定性失效 1.3.3 构件分类工程构件块体构件干构件版构件壳构件梁的分类: 简支梁:梁的一端未固定铰支座,另一端为滑动铰支座。外伸梁:同样为简支,但梁的一端或两端伸出支座外。悬臂梁:梁的一端为固定端,另一端自由。 1.3.4 材料力学的基本假设 A均匀连续性:各处的力学性质一样,毫无空隙的充满整个体积 B各向同性:各个方向具有相同的力学性能&金属、陶瓷、玻璃& C小变形假设:变形与固体尺寸比较起来很是微小&弹性变形、塑性变形,材料力学研究弹性变形&。第二章杆件的内力 2.1 内力 2.1.1 钢化原理变形体在某一力系作用下处于平衡状态,若将其视为刚体,其平衡状态不受影响。 2.1.2 内力剪力:垂直于轴线方向的主失分量轴力:平行于轴线方向的主失分量扭矩:平行于轴线方向的主矩分量弯矩:垂直于轴线方向的主矩分量截面上的内力( 连续分布关系) 内力主矢剪力( Fs) 轴力( Fn) 内力主距扭矩( T) 弯矩( M) 扭矩图弯矩图轴力图剪力图总结:同一截面两侧的轴力正负号、扭矩正负号(对于等截面轴,最大扭矩界面处的材料处于危险状态, 称为危险面)、弯矩的正负号、剪力的正负号相同。 2.2 内力方程与内力图 2.2.1 内力方程: Fs=横截面的左端(脱离体取左端)或者右端(脱离体取右端)所有横向力的代数和。(Fs 总是假设为正,横向力与 Fs方向相同为正,方向相反为负) 求轴力、弯矩、扭矩( F N、M、T)的方法与剪力一致。 2.2.2 内力图(略) 2.3 平衡微分方程? q=F s= ? Fs(B)= F s(A)+dx , M(B)=M(A)+dx &A 到B 截面只有分布力& 荷载 Fs图线M图线 q=0 q&0 ↑ q&0 ↓?集中力和集中力偶对剪力、弯矩的影响集中力或力偶剪力图 Fs弯矩图公式 Y0X ↑=+ F ↓↑↓不影响= ↓↑不影响?若荷载关于中线轴对称,剪力图关于中点中心对称,弯矩图关于中线轴对称若荷载关于中点中心对称,剪力图关于中线轴对称,弯矩图关于中点中心对称?剪力的极值出现在集中力偶作用处或分布荷载突变处;而弯矩的极值出现在集中力偶作用处和集中力处或剪力为零处。 2.4 简单钢架的内力图& 不考& ?简单钢架的内力图包括轴力图、剪力图、弯矩图?正负号规定:钢架外为正,内为负?总结:在直角钢节点处若没有集中力,一侧的轴力与另一侧的剪力平衡;若钢节点没有集中力偶作用,钢节点两边的弯矩大小相等符号相同。第三章固体力学中的基本概念 3.1 应力的基本概念?应力矢量: P= =; 法向应力&正应力&: 切向应力&切应力&: ?=;; ?应力互等定理 3.2 应变的基本概念?在K点沿线段方向上的线应变& 正应变&:&拉为正,压为负& ?角应变& 切应变,剪应变. 不同点应变不同,同一点不同方向应力不同& 直角的变化量=AaK(k) bB 3.3 材料的力学性能?方向性 E ?变形能力 CKDP F 1) AB:线弹性区 B点的应力称为比例极限 B BC:非线弹性区 CD:塑性区,应力不再增加,应变继续增长,这一现象称为屈服,也称塑性流动。 AG为残余应变, 除去塑性区开始时明显的波动外,塑性区中最低 A GQ 的应力称为屈服极限。试件在拉伸并进入塑性阶段时,表面会出现与试件轴线成 45 度的纹路,这种纹路称为滑移线。 DF:强化区,卸载路径和 CD相似。过了 E 试件的某个部位就会颈缩, 强化区中名义应力最大值称为强度极限。断后延长率:& 伸长率&5% 就认为是塑性材料& 截面收缩率: 2) 像铸铁一样么有明显延伸特性的材料称之为脆性材料,其断裂时的应力称为强度极限 3) 铸铁压缩破坏的断裂面与轴线成 50-55 度的角度;脆性材料抗压比抗拉要强的多?材料力学性能中的时间效应弹塑性:应力和应变之间的关系和时间有关,则称材料呈现粘弹性粘弹性材料最典型的现象是蠕变和松弛蠕变:若保持应力不变,粘弹性体的应变会随着时间的推进而逐渐增大松弛:若保持应变不变,粘弹性体的应力会逐渐减小 3.4 材料的简单本构模型在材料的力学性能的实验上基础上,抽象出一些模型,这些模型称为本构模型。描述本构模型的方程称为本构方程。在固体力学领域中,本构方程通常指应力和应变的关系。?线弹性体单向拉伸或压缩的胡克定律:&E称为弹性模量& 剪切胡克定律:&G称为剪切弹性模量& 泊松效应:在线弹性范围内,轴向拉杆横向的收缩应变与纵向伸长应变成正比。弹性模量、剪切模量和泊松比之间满足一下关系: ?弹塑性体刚塑性模型: 0 理想弹塑性模型: 0 线性强化弹性模型: 0 3.5 材料的破坏及构件的失效?构件的强度强度条件极限应力&又称破坏应力&:材料破坏前能承受的最大应力,用表示& 对塑性材料, 其屈服极限为破坏应力;对脆性材料,取其强度极限为破坏应力& 许用应力:破坏应力除以安全因数 n 得到许用应力。法向许用应力[] ;切向许用应力[] 构件的强度条件: []; [] ?构件的刚度条件:; ?构件的稳定性条件: F≤[F] = && 附录 I 截面图形的几何性质 I .1 几何图形的一次矩 y 在图形内坐标为( x,y )的任意一点处取一个微元面积 dA , dA 定义分别为图形关于 y 轴和 C x 轴的静矩,也称面积矩。 y 总结: 1)把截面看着很薄的匀质平板,则形心1
内容来自淘豆网转载请标明出处.材料力学是固体力学的一个基础分支，是工科重要的技术基础课， 只有学好材料力学才能学好与本专业有关的后续课程（例如：机械零件 等） 。 材料力学与工程的关系：材料力学广泛应用于各个工程领域中，如 众所周知的飞机、飞船、火箭、火车、汽车、轮船、水轮机、气轮机、 压缩机、挖掘机、拖拉机、车床、机、铣机、磨床、杆塔、井架、锅 炉、贮罐、房屋、桥梁、水闸、船闸等数以万计的机器和设备、结构物 和建筑物，在工程设计中都必须用到材料力学的基本知识。对于某些工 程如化学工程，由于客观条件的苛刻，如：高温、高压、低温、低压、 易燃、 易爆、 腐蚀、 毒性对于机器和设备的力学设计将提出更高的要求。 因此对于各类高等工业大学的学生和实际工程中的工程师们都必须具备 扎实的材料力学知识。第一章 绪论§1.1 材料力学的任务 §1.2 变形固体的基本假设 §1.3 外力及其分类 §1.4 内力、截面法和应力的概念 §1.5 变形与应变 §1.6 杆件变形的基本形式 §1.1 材料力学的任务 材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状态和破坏准则，以解决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等 问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提供依据。 材料的力学性能：如材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸 率、断面收缩率、弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极 限等各种设计指标。它们都需要用实验测定。 构件的承载能力：强度、刚度、稳定性。 构件：机械或设备，建筑物或结构物的每一组成部分。 强度：构件抵抗破坏（断裂或塑性变形）的能力。 所有的机械或结构物在运行或使用中，其构件都将受到一定的力作 用，通常称为构件承受一定的载荷，但是对于构件所承受的载荷都有一 定的限制，不允许过大，如果过大，构件就会发生断裂或产生塑性变形 而使构件不能正常工作，称为失效或破坏，严重者将发生工程事故。如 飞机坠毁、轮船沉没、锅炉爆炸、曲轴断裂、桥梁折断、房屋坍塌、水 闸被冲垮，轻者毁坏机械设备、停工停产、重者造成工程事故，人身伤 亡，甚至带来严重灾难。工程中的事故屡见不鲜，有些触目惊心，惨不 忍睹??因此必须研究受载构件抵抗破坏的能力――强度，进行强度计 算，以保证构件有足够的强度。 刚度――构件抵抗变形的能力。 当构件受载时，其形状和尺寸都要发生变化，称为变形。工程中要 求构件的变形不允许过大，如果过大构件就不能正常工作。如机床的齿 轮轴，变形过大就会造成齿轮啮合不良，轴与轴承产生不均匀磨损，降 低加工精度，产生噪音；再如吊车大梁变形过大，会使跑车出现爬坡，引起振动；铁路桥梁变形过大，会引起火车脱轨，翻车??因此必须研 究构件抵抗变形的能力――刚度，进行刚度计算，以保证构件有足够的 刚度。 稳定性――构件保持原来平衡形态的能力。 如细长的活塞杆或者连杆，当诸如此类的细长杆子受压时，工程中 要求它们始终保持直线的平衡形态。可是若受力过大，压力达到某一数 值时，压杆将由直线平衡形态变成曲线平衡形态，这种现象称之为压杆 的失稳。又如受均匀外压力的薄壁圆筒，当外压力达到某一数值时，它 由原来的圆筒形的平衡变成椭圆形的平衡，此为薄圆筒的失稳。失稳往 往是突然发生而造成严重的工程事故，如 19 世纪末，瑞士的孟希太因大 桥，20 世纪初加拿大的魁北克大桥都由于桥架受压弦杆失稳而突然使大 桥坍塌。??因此必须研究构件保持原来形态能力――稳定性，进行稳 定性计算，以保持构件有足够的稳定性。§1.2 变形固体的基本假设 刚体――假定受力时不发生变形的物体。 适用于理论力学研究物体的外部效应――平衡和运动。 变形固体――在外力作用下发生变形的物体。 变形固体的实际组成及其性质是很复杂的，为了分析和简化计算将 其抽象为理想模型，作如下基本假设： 1) 连续性假设： 认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积。 （某些力学量可作为点的坐标的函数）2) 均匀性假设：认为固体内到处有相同的力学性能。 3) 各向同性假设： 认为无论沿任何方向固体的力学性能都是相同的。 各向同性材料：如钢、铜、玻璃等。 各向异性材料：如材料、胶合板，某些人工合成材料、复合材料等。§1.3 外力及其分类? ? ? 自重力（N / m 3） ? ? ?体力? 3 ? ? ? ?惯性力（N / m ） ? ? ? ?面分布力（N / m 2） ?作用方式? 分布力 ? ? ? 面力? ?载荷 ?? ? ?线分布力（N / m） ? 外力? ?? ? ? ?支反力?? ?集中力（N、kN） ? ? ?静载荷 ? ?变化与否? ?冲击载荷 ? ? 动载荷? ? ? ?交变载荷 ? ?载荷――作用于构件上的主动力 体积力――连续分布在物体内各点的力 面积力――作用于物体表面上的力 面分布力――连续分布于物体表面某一面积上的力 线分布力――沿着物体某一轴线上分布的力 集中力――若作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴线 长度 静载荷――若载荷从零开始缓慢增加到某值后保持不变或变化很小 动载荷――随时间而变化的载荷 冲击载荷――由于物体运动状态瞬时发生突然变化而引起的载荷交变载荷――随时间而发生周期性变化的载荷§1.4 内力、截面法和应力的概念 1. 内力（附加内力） 物体因受外力而变形，其内部各部分之间相对位置将发生改变而引 起的相互作用就是内力。 当物体不受外力作用时，内部各质点之间存在着相互作用力，此为 内力。但材料力学中所指的内力是与外力和变形有关的内力。即随着外 力的作用而产生，随着外力的增加而增大，当达到一定数值时会引起构 件破坏的内力，此力称为附加内力。为简便起见，今后统称为内力。 2. 截面法 为进行强度、刚度计算必须由已知的外力确定未知的内力，而内力 为作用力和反作用力，对整体而言不出现，为此必须采用截面法，将内 力暴露。 截面法三步骤： （1） 切 ：欲求某一截面上的内力，即用一假想平面将物体分为两部分 （2） 代 ：两部分之间的相互作用用力代替 （3） 平：建立其中任一部分的平衡条件，求未知内力 注：内力为连续分布力，用平衡方程，求其分布内力的合力 上述步骤可以叙述为：一截为二，去一留一，平衡求力图 1-1 例1. 试求图示悬臂梁 m ? m 截面上的内力 解：截面法 （1） 切 （2） 代 （3） 平 平衡条件：?Fy?0OFs ? F ? 0M ? Fa ? 0M ? Fa (剪力、弯矩)?M3. 应力?0求得： Fs ? F因内力为分布力系，为研究内力在截面上的分布规律，引入内力集 度的概念pm ? ?F ?A均应力上的平均集度， 称为平均应力 p m ―― ? A上的平均集度，称为平p ? lim p m ? lim?A? 0?F ?A? 0 ?Ap ―― C点的内力集度，称为 C点处总应力， p为矢量。?? ? ?正应力 p? ??－－切应力1Pa ? 1N/m2 1MPa ? 1x106 Pa应 力单 位：1N/mm2 ? 1MPa§1.5 变形与应变 变形――物体受力后形状和尺寸的改变 1. 线应变（简称应变） 假设：固体受到约束无刚体位移，只有变形位 移，若有刚体位移，应从总位移中扣除。? m＝?S ?x伸长或缩短称为平均线 应变。 ? m ―― 每单位长度线段的平均? ? lim?S ?x ? 0 ? x? ―― M点沿x方向的线应变。2. 切应变（角应变） 原来相互正交的棱边的直角夹角的改变量称为切应变（角应变）? ? lim ?MN , ML ? 0?? ? ? ?L?M ?N ? ? ?2 ?? ―― 为M点在xy平面内的切应变或角应 变。§1.6 杆件变形的基本形式 基本变形 1. 轴向拉伸或压缩2. 剪切3. 扭转4. 弯曲组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。M FPM FP第二章拉伸、压缩与剪切§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 §2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 §2.4 材料拉伸时的力学性能 §2.5 材料压缩时的力学性能 §2.7 失效、安全因数和强度计算 §2.8 轴向拉伸或压缩时的变形 §2.9 轴向拉伸或压缩的应变能 §2.10 拉伸、压缩超静定问题 §2.11 温度应力和装配应力 §2.12 应力集中的概念 §2.13 剪切和挤压的实用计算§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 1．实例 （1）液压传动中的活塞杆 （2）内燃机的连杆 （3）汽缸的联接螺栓 （4）起吊重物用的钢索 （5）千斤顶的螺杆 （6）桁架的杆件2．概念及简图 当杆件在其两端受到等值、 反向、 作用线与杆轴重合的一对力 （F， F） 作用时杆件将沿轴线方向发生伸长 或缩短变形，此类变形称为拉伸或 压缩。 §2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上 的内力和应力 1．内力 （1）截面法 暴露内力。因为外力与轴线重合，故分布内力系的合力作用线必然 与轴线重合，若设为 FN ， FN 称为轴力。（2）轴力符号规定：拉为正，压为负。 （3）平衡方程?Fx?0FN ? F ? 0FN ? F2.多力杆的轴力与轴力图 例 2.1 试作图示杆的轴力图 解：1-1?Fx? 0 2 ? FN1 ? 0FN1 ? 2kN(压力)2-2?F ?Fx? 0 FN2 ? 4 ? 2 ? 0FN2 ? 2kN(拉力)3-3x? 0 5 ? FN3 ? 0FN3 ? 5kN(拉力)例 2.2 试作图示杆的轴力图 解： A-A?Fx? 0 4 ? 3 ? 2 ? FNA ? 0FNA ? 5kN1-1?FX?0FN1 ? 5 ? 0 FN1 ? 5kN(拉力)2-2?FX?0FN2 ? 4 ? 5 ? 0FN2 ? 1kN(拉力)3-3?FX?0FN3 ? 2 ? 0FN3 ? 2kN(压 力)3．应力 内力分布规律的研究设 ?(1)几何学（变形）平面假 ? 应力分析?(2)物理学（纤维均拉） ?(3)静力学（平衡方程） ?F N = ?A?dA F N = ? ? A d A ? ?A??F? A注：正应力符号规定与轴力相同,拉为正,压为负。 4．轴向拉（压）渐变杆近似计算? ( x) ?F? ( x) A( x)5．圣维南原理 （静力等效或局部效应） 实验证实：作用于弹性体某一局部区域上的外力系，可以用它的静 力等效力系来代替，这种代替，只对原力系作用区域附近有显著影响， 而对较远处（距离略大于外力分布区域）其影响即可不计，这就是圣维 南原理。圣维南原理的实用价值：它给简化 计算带来方便。 例如：图示杆件由于采用不同连接 (铆接、焊接、铰接)而使杆件在连接处， 传递力的方式就各不同，而使局部区域 内的应力分布也各不相同，而且非常复 杂。但是用静力等效力系替代后，若得 到相同的计算简图(如右图示)，则应力计算就可采用相同的公式：??F? A6．正应力公式应用条件??F? A（1）外力（或其合力）通过横截面形心且沿杆件轴线作用。 （2）适用于弹性及性范围。 （3）适用于角 ? ? 20 °横截面连续变化的直 杆。 *（4）在外力作用点附近或杆件横截面突然 变化处，应力分布不均匀，不能用此公式，稍远 一些的横截面上仍然应用。 例 1．图示结构中 AC、CD 为刚性杆，①、 ②两杆的截面直径分别为：d1=10mm, d2=20mm,试求两杆内的应力。 解： ①受力分析及受力图 ②由图（b） ：?M D ? 0FRC ? 10 kN③由图（c） ：' FRc ? FRC ? 10 kN?M A ? 0F? 2 ?1 ? 10? 2 ? 0FN2=20kN?M B ? 0' F?1 ?1 ? FRC ?1 ? 0' F?1 ? FRC ? 10 kN④求应力?1 ?F?1 F1 4 ? 10 ? 103 2 ? ? ? ? 127(N/mm )＝127MPa 2 2 A1 ?d1 ? ? 10 4?2 ?F? 2 4F? 2 ? ? 63.7 MPa 2 A2 ?d 2§2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截 面上的应力 1．横截面上的正应力??F? A2．斜截面上的应力F? ? FA? ? A cos ?p? ?F? F F ? ? cos? ? ? cos? A? A? A?? ? ? p? cos? ? ? cos2 ? ? ? ? ?? ? ? pa sin ? ? ? cos? ? sin ? ? sin 2? ? 2讨论 （1） ? ? 、 ? ? 均为 ? 的函数，随斜截面的方向而变化。 （2）当 ? ? 0 °时， ? ? max ? ? 、 ? ? ? 0 横截面上。 当 ? ? 45 °时， ? ? max ?? ? 、 ?? ? 2 2当 ? ? 90 °时， ? ? ? ? ? ? 0 平行于轴线纵截面。§2.4 材料拉伸时的力学性能 材料在外力作用下表现出变形及破坏的特性。材料的宏观力学性能 主要依靠实验方法测定。 如材料的比例极限 ? p ， 弹性极限 ? e ， 屈服极限 ? s ， 延伸率 ? ，断面收缩率ψ ，弹性模量 E，横向变形因数（泊松比）μ 等。? ?静载 ?载荷? ?动载 ? ? 试验? ?常温 ?温度? ?高度 ? ?低温 ? ? ?常温、静载下拉伸试验是确立材料力学性能的最基本试验。 试验设备：万能材料试验机。?圆截面：l ? 5d或l ? 10d ? 标准试件 ?矩型截面：l ? 5.65 A或 ? l ? 11.3 A ?以低碳钢（含碳量低于 0.3%的碳素钢） 为例介绍拉伸试验。 一、低碳钢（Q235）拉伸时的力学性 能 （1）夹持试件 （2）油压缓慢加载使试件受拉 （3）记录 F~Δ L 测试数值 （4）直至拉断，观察力与变形的全过程 （5）绘制 F~Δ L 拉伸曲线（自动绘图） （6）清除尺寸影响作σ ~ε 曲线，根据曲 线特征大致分为四个阶段研究材料力学性能。 1．弹性阶段（Ob） 此阶段的变形为弹性变形?(oa)直线段? p ― 比例极限 ? 当? ? ? p时 ? ? ? ? E?（胡克定律） ? ob? ? ? E ? ? tan? ?弹性模量E ,比例常数 （线弹性） ? ? ? ? ab）非直线段(非线弹性) （ ? ? e _ 弹性极限 ?2．屈服阶段（bc） 屈服现象：当应力超过 b 点后，应力先是下降后是微小波动，曲线出现接近水平线小锯齿形线段。即应力 不再增加，但应变显著增加，此现象称为屈服。 * 观察测力度盘指针停走或后退。 * 观察试件表面可见大致与轴线成 45°方向上有细线， 称为滑移线。 因为 45°方向上剪应力最大。材料内部晶格沿 45°方向滑动。 * ζ s――屈服极限。 （下屈服点） * 屈服阶段主要产生塑性变形。 * 屈服极限为重要的强度指标。 3．强化阶段（ce） * 材料抵抗变形的能力又继续增加，即随着试件继续变形，外力也 必须增大，此现象称为材料强化。 *ζ b――强度极限，发生断裂时的应力 4．局部变形阶段（颈缩） （ef） 试件局部范围横向尺寸急剧缩小， 称为颈缩。 5．延伸率和断面收缩率 试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形保留下来。 延伸率：???? ?l1 ? l ?100% l?l ? ? 100% ? ? （塑性应变） ll――原标距 l1――拉断后标距长度塑性指标： δ &5%――塑性材料，钢、铜、铝 δ &5%――脆性材料，铸铁、玻璃、陶瓷 断面收缩率： ψ ?A ? A1 ? 100 % AA――试件原截面面积 A1――拉断后颈缩处断面面积 6．卸载定律及冷作硬化 试件若拉到强化阶段，如 d 点卸载，则沿（dd′）直线变化，短期 内再加载，仍然沿（dd′）直线上升，说明比例极限提高，而延伸率降 低，这种现象称为冷作硬化现象。(如起重钢索，建筑用钢 筋) ?a.冷拔工艺，提高强度 ? 工程应用?b.喷丸处理，提高表面强 度(如机器零件表面形成冷 硬层，提高抗疲劳强度 ) ?c.滚压工艺，提高疲劳强 度 ?缺陷：由于初加工，冷作硬化，使零件变硬变 脆，给机加工带来困难，为便于加工，需退火消除 冷硬层。 二、其他塑性材料拉伸时的力学性能 其他塑性材料：中碳钢、高碳钢、合金钢、铝 合金、青铜、黄铜。 讨论 ①有明显的四个阶段 Q345 （16Mn） ,Q235 钢；无屈服阶段：黄铜（H62） ；无屈服，无颈缩：高碳钢(T10A) ②名义屈服极限ζ0.2（对无屈服阶段的材料）通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为名义屈服应力，作为屈服指标。 ③对各种碳素钢的比较表明：随着含碳量的增加，屈服极限，强度 极限提高，但延伸率降低，说明强度提高，塑性 降低，如合金钢，工具钢等。 ④强度又高，塑性又好的材料，始终是材料 科学研究的方向。如南京长江大桥，采用 16Mn 钢比采用 A3 钢节约成本 15％，解放牌汽车降低 40％，寿命提高 20％。 20MPa 大气压的大型尿素合成塔为高压容器 采用 18MnMoNb 合金钢比采用碳钢节约 60％。 三、铸钢拉伸时的力学性能 ⑴较低应力下被拉断 ⑵ 无明显直线段，无屈服，无颈缩 ⑶ 延伸率低属脆性材料， ? &5% ⑷ 弹性模量 E 随应力的大小而变化。因此 以 ? ~ε 曲线开始部分的割线斜率作为弹性模量， 称为割线弹性模量， 近似认为材料服从胡克定律 ζ =Eε ⑸ζ b――强度极限为唯一强度指标 ⑹ 抗压不抗拉，不宜作抗拉件§2.5 材料压缩时的力学性能 一． 低碳钢的压缩 （1）压缩时的 E、ζ s 与拉伸时相同， 但得不到ζ b。 （2）抗拉抗压强度相同。 二． 铸铁的压缩 （1）破坏断面与轴线成 45°～55° 角 ，说明铸铁不抗剪。 （2）抗压强度比抗拉强度高 4~5 倍 （3）铸铁坚硬、耐磨，易浇铸成 型，有良好的吸 振能力，故宜用作机身，机座，轴承座 及缸体等受压 物件。§2.7 失效、安全因数和强度计算 一．失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。 ①脆性断裂 ②弹性变形过大 ③疲劳 ④蠕变（高温） ①塑性变形 ②冲断（冲击、撞击） ③失稳 ④腐蚀（等等）二．破坏准则：就强度而言 塑性材料：ζ =ζ 脆性材料：ζ =ζs b强度条件：ζ ≤[ζ ] ζ ――工作应力 [ζ ]――许用应力[? ] ??sns（塑性材料） （脆性材料）[? ] ??bnb三．安全因数： （1）ns、nb 称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的 构件： ns=1.2~2.5 nb=2.0~3.5（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32） ①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性） ②载荷情况（静载、动载，估计准确度） ③简化过程，计算方法精确度 ④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。 ⑤设备机动性、自重的要求。 ⑥其它尚无考虑的因素。 综合考虑后确定。 四．强度条件??F? ? [? ] A①强度校核： 强度计算? ? [? ] ? 100% ? 5认为安全 [? ]F? [? ]②设计截面： A ?③确定许用载荷： FN ? [? ] A例 2.7.1 已知 F=130kN α =30° AC 为钢杆：d=30mm [ζ ]s=160MPa BC 为铝杆：d=40mm [ζ ]a=60MPa 试校核结构的强度。 解： （1）求各杆轴力 FNAC，FNBC?Fx ? 0 F??BC ? F?. AC?Fy ? 0 F?? AC cos? ? F?.BC cos? ? F ? 0 F 130 FN. AC ? F?.BC ? ? ? 75.1 kN 2 cos? 2 3 / 2F??BC sin ? ? F?. AC sin ? ? 0（2）求各杆应力? AC ?F?. AC 75.1 ? 103 2 ? ? 106.2 N/mm 2 AAC ? ? 30 4 F 75.1? 103 2 ? ?.BC ? ? 59.8 N/mm 2 ABC ? ? 40 / 4? BC? 59 .8 MPa ? [? ]a∴安全例 2.7.2 图示托架，已知：F=60kN，α =30° AC 为圆钢杆[ζ ]s=160MPa BC 为方木杆[ζ ]w=4MPa 试求钢杆直径 d，木杆截面边长 b 解： （1）求各杆轴力?Fy ? 0 F2 sin ? ? F ? 0 F2 ? F 60 ? 103 ? ? 12 ? 104 ? sin ? 0.5?Fy ? 0F2 cos? ? F1 ? 0 F1 ? F2 cos? ? 10.4 ? 104 ?（2）设计截面 AC 杆： A1 ??? ?F1s?d4d?2??? ?F1s? ?? ?s4 F1?4 ? 10.4 ? 10 4 ? 28.8 ? ? 160mm BC 杆： A2 ?b2 ?b??? ?F2w?? ?F2F2w?? ?w?12 ? 10 4 ? 173 mm 4例 2.7.3 滑轮结构 已知 AB 为圆钢杆 d=20mm，[ζ ]s=160MPa BC 为方木杆 a=60mm，[ζ ]w=12MPa 试求此结构的许用载荷 W 解： （1）求各杆的轴力与 W 的关系 ?Fx ? 0 F2 cos 30? ? F1 cos 30? ? 0F2 ? F1?Fy ? 0 F1 cos60? ? F2 cos60? ? 2W ? 0 F1 ? F2 ? 2W ? 2W 2 cos60?（2）分别按各杆强度条件确定 W F AB 杆： 1 ? ?? ?s A12W ? ?? ?s A1∴W ? BC 杆：?? ?s A12?160 ?? ? 20 24 2 ? 25.1 ? 10 3 N ? 25.1 kNF2 ? ?? ?W A2 2W ? ?? ?W A2∴W ??? ?W A22?12 ? 602 ? 21.6 ? 103 N ? 21.6 kN 2取[W]=21.6kN §2.8 轴向拉伸或压缩时的变形 1．轴向变形?l ? l1 ? l ?l l F F ?? ? ? A A??胡克定律：F? ?l ?E A l F l ∴ ?l ? ? (胡克定律的另一种形式) EA? ? E? ?EA――杆件抗拉（或抗压）刚度 2．横向变形?? ??b b1 ? b ? b b试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的 绝对值是一个常数。?? ?? ?μ ――横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数）∴?? ? ? μ ε 3．渐变杆轴力变化时变形计算 微段伸长： d ??l ? ? 杆件伸长： ?l ? ? lF? ?x ?dx EA?x ? F? ?x ?dx EA?x ?例 1 除梯杆、求总变形 ?l总 已知：A1=400mm2 A2=800mm2 E=200GPa 解： （1）求各段轴力并作轴力图 （2）求各段变形及总变形?l1 ? ?l 2 ? F?1l1 40 ? 103 ? 200 ? ? 0.1mm EA1 200? 103 ? 4 0 0l1=200mm l2=200mmF? 2 l 2 20 ? 103 ? 200 ? ? 0.025mm EA2 200? 103 ? 800 F l ?l总 ? ? ?i i ? ?l1 ? ?l 2 ? 0.1 ? 0.025 ? 0.075 Ei Aimm例 2 求节点 A 的位移 已知：F=10kN α =45° l1=1000mm l2=707mm45AB 为钢杆 E1=200GPa A1=100mm2 AC 为松木杆 E2=10GPa A2=4000mm2 解： （1）求轴力?Fy ? 0 F1 sin 45? ? F ? 0F1 ?F ? 10 2 ? 14 .14 kN (拉) sin 45 ?45?Fx ? 0F2 ? F1 sin 45? ? 0F2 ? F1 cos 45? ? 14.14 ?1 2? 10 kN(压)（2）轴向变形F1l1 14.14 ? 103 ? 100 ?l1 ? ? ? 0.707mm E1 A1 200? 103 ? 100 F2 l 2 10 ? 103 ? 707 ?l 2 ? ? ? 0.177mm E2 A2 10 ? 103 ? 4000（3）A 点位移 A 1 A 3AA5 ? ?l1 ? 1.00 mm cos 45?A 4 A5 ? ?l2 ? 0.177mm∴ ∴2AA4 ? AA5 ? A4 A5 ? 1.177mm2 AA3 ? AA4 ? A3 A4 ? 1.1772 ? 0.177 ? 1.193mm例 3 结构如图 CD 为刚杆 AB 杆为钢杆，d=30mm，a=1m，E=210GPa （1）试验测得标距 S=20mm 内的伸长变形Δ S=14.3×10-3mm，试求 F 力为若干。 （2）若 AB 杆的材料[ζ ]=160MPa，试求许用载荷[F]，及此时 D 点 的位移 ?D解： （1）求 AB 杆的轴力 FN ∵ ?S ?F? S EA210 ? 10 3 ?EA? ?S ? ∴ F? ? S? ? 30 24 20? 14.3? 106.1?103 ? ? 106.1kN求载荷 F??C ? 0 F? ? a ? F? 2a ? 0 F 106.1 F? ? ? ? 53kN 2 2δδ（2）求[F]?F? ? ? ?? ?A ? 160? ? ? 30 4 ? F? ? ?F ? ? ? 56.52kN2? 113? 103 ? 113kN（3）求δD∵? B ??F ?aNEA?113 ? 10 3 ? 1000 ? 4 ? 0.762 210 ? 10 3 ? ? ? 30 2∴ ? D ? 2? B ? 2 ? 0.762 ? 1.524 mm §2.9 轴向拉伸或压缩的应变能 1．变形能（应变能） 固体受外功作用而变形，在变 形过程中，外力所作的功转变为储 存于固体内的能量，固体在外力作 用下，因变形而储存能量称为变形 能或应变能。变形能有弹性变形能 与塑性变形能。当外力逐渐减小， 变形逐渐减小，固体会释放出部分 能量而作功，这部分能量为弹性变 形能。 2．轴向拉（压）时的应变能dW ? Fd??l ??l1 0W ? ? Fd??l ?线弹性应变能： （三角形面积）Vε 1 W ? F?l 2 1 V? ? W ? F?l 2 Fl 胡克定律 ?l ? ，则 EA1 F 2l V? ? W ? F?l ? 2 2EA3．应变能密度（比能） 力 （ζ dydz ） 位移 dxd ? 单元体内 应变能：dW ? ? ?dydzdxd?0?1?1 ?1 dV? ? ? ?dydzdxd? ? ? ?d? ? ? ? ? dV 0 ? ?0 ?dV――单元体的体积 单位体积内的应变能：V? ??1 dV? ? ? ?d? 0 dV结论：Vε 为应力―应变曲线（ζ -ε ）下的面积 线弹性应变能密度：v? ? 1 ?? 2由胡克定律：ζ =Eε ，则1 E? 2 ? 2 v? ? ?? ? ? 2 2 2E注：vε 的单位为 J/m3 以比例极限ζ p 代入上式可求出的 应变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的 能力。?2 1 v? ? ? P ? ? P 2 2E例 1 利用功能原理求 A 点的垂直位移δ 已知：F=10kN α =45° 杆（1）为钢杆 E1=200GPa，A1=100mm2，l1=1000mm 杆（2）为木杆 E2=10GPa，A2=4000mm2，l2=707mm 解： （1）求轴力?Fy ? 0F?1 sin 45? ? F ? 0 F F?1 ? ? 14.14 kN sin 45??Fx ? 0F ? 2 ? F?1 cos45? ? 10 kN（2）求位移（视作弹性杆系） Vε =WF l F l 1 F? ? ? 1 1 ? ? 2 2 2 2 E1 A1 2 E 2 A22 2 ? F? F? l 1l1 ? ? ?? ? 22 ? E1 A1 E 2 A22 2? 14.14 ? 103 2 ? 1000 10 ? 103 2 ? 707 ? ? 10 ? 103 ?? ? 3 ? 200? 103 ? 100 ? 10 ? 10 ? 4000 ? ???? ?/ F ? ???? 1.18mm（3） 此法只求杆系上只作用一个载荷， 求载荷作用点处的位移。 能量法求位移见下册 13 章。 §2.10 拉伸、压缩超静定问题 一． 超静定问题 图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即 E1A1=E2A2，F、α 、l、 E3、A3 已知，试求三杆内力 FN1、FN2、FN3。 解： （1）静力平衡方程?Fx ? 0 ?Fy ? 0 F? 2 s i n ? ? F?1 s i n ? ?0? ? F?1 ? F? 2 ? F? 3 ? 2 F?1 c o ? s ? F ? 0? ?（a）利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的 问题， 称为超静定问题。 此问题称一次静不定问题， 未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次 数。 二． 超静定问题解法（1）建立足够的补充方程 （a）静力学方面――平衡方程 （b）几何学方面――变形协调条件 （c）物理学方面――物理条件 （b） （c）补充方程。 （2）变形协调条件?l1 ? ?l 3 cos?（b）（3）物理条件F?1l1 ? E1 A1 ? ? ? F? 3 l3 ? ?l3 ? E3 A3 ? ? ?l1 ?（c）式（c）代入式（b）F?1l1 F? 3l3 ? c o? s E1 A1 E3 A3∵ l3=lF?111 / cos? F l ? ?3 E1 A1 E3 A3l1=l/cosα ，故 （d）式（d）为补充方程。 联解式（a）与式（d）得F c o 2s? F?1 ? F? 2 ? E A 2 c o 3s? ? 3 3 E1 A1 F F? 3 ? EA 1 ? 2 1 1 c o 3s? E3 A3例 1 已知 AB 为刚性杆，F、a、L 已知。 ①②③杆抗拉压刚度相等。求：FN1、FN2、FN3 解：一次静不定问题 （1）平衡方程：?M B ? 0 ?Fy ? 0F?1 ? 2a ? F? 2 a ? 0 F?1 ? F? 2 ? F? 3? ? ? F ? 0?（a）（2）变形协调条件?l1 ? ?l3 ? 2?l2（b）（3）物理条件F?1l ? EA ? ? F? 2 l ? ?l 2 ? ? EA ? F l? ?l 3 ? ? 3 ? EA ? ?l1 ?（ c）注意：受力图与变形图必须保持 一致式（c）代入式（b）得补充方程F?1l F? 3 l F l ? ? 2 ?2 EA EA EA（d）联解式（a）与式（d）得F?1 ? ? F? 2 F? 3 F ?压力?? ? 6 ? F ? ? ? 3 ? 5F ? ? ? 6 ?§2.11 温度应力和装配应力 一．温度应力 温度变化将引起物体的膨胀或收缩。 当温度变化时，静定结构可以自由变形， 将不会在构件内引起内力。但对超静定结 构，其变形及部分或全部受到约束，往往 引起内力。这种由于温度变化而引起构件 的应力称为热应力或温度应力。*（温度 均匀变化；温度非均匀变化） 例 1 已知高压蒸汽管道 al、E、l、A、Δ T，求温度应力 al 一线膨胀系数。解： （1）平衡方程：?Fx ? 0 FA ? FB ? 0 FA ? FB（a） （b）（2）变形条件： ?lT ? ?l FB （3）物理条件：?lT ? ? l ?T ? l? ? FB l ? ?l FB ? EA ? ? FBl 式（c）代入式（b） ?1?Tl ? EA（c） （d）联解（a） （d）得： FA ? FB ? EA? l ?T 应力： 二．装配应力 静定结构，由于构件制造的微小误差，在装配时会引起结构几何形 状的微小改变， 而不会引起内力。 但超静定结构， 由于加工的微小误差， 在装配时，将在结构内引起应力，这种应力称为装配应力。?T ?FB ? ? l E?T A例 2 已知δ 为很小量，A1=A2，l1=l2，E1=E2，E3，A3，l，α ，求： σ 1σ2 ,σ 3解： （1）平衡方程?Fx ? 0 ?Fy ? 0 F?1 sin ? ? F? 2 sin ? ? 0 F? 3 ? ? （a） ? F?1 cos? ? F? 2 cos? ? 0?（2）变形协调条件?l3 ? ?l1 / cos? ? ?（b）（3）物理条件：? ? ? ? F?1 ? l / cos? ? ?l1 ? ? E1 A1 ? ?l 3 ? F? 3 l E3 A3（c）式（c）代入式（b）得补充方程F? 3l F?1 ? l / cos? ? ?? E3 A3 E1 A1 cos?（d）联解式（a）式（d）得l 1 ? E3 A3 / 2 E1 A1 cos3 ? ?E3 A3 F?1 ? F? 2 ? 2l cos? ?1 ? E3 A3 / 2E1 A1 cos3 ? ? F F ? 1 ? ? 2 ? ?1 ? 3 ? ? 3 A1 A3 F? 3 ???E3 A3?应力例 3 钢杆①②③A=200mm2，l=1000mm，E=210GPa，δ =0.8mm， AC 为刚性杆，求：装配后的 FN1、FN2、FN3 解：装配后的变形如图示 （1）平衡方程?M A ? 0 ?M c ? 0 F? 3 ? 2a ? F? 2 ? ? ? 0? ? （a） F?1 ? 2? ? F? 2 ? ? ? 0 ?（2）变形协调条件?l3 ? 2?l 2 ? ?l1 ? ?（b）L3 L2 L1 L2 L2 L1+ L2（3）物理条件：F?1l ? EA ? ? F? 2 ? l? ?l 2 ? ? EA ? F ? l? ?l 2 ? ? 3 ? EA ? ?l1 ?（c）式（c）代入式（b）得补充方程F? 3l F ? l F l ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? EA EA EA（d）联解式（a）式（d）得 FN1=5.33kN FN2=10.66kN FN3=5.33kN§2.12 应力集中的概念 1．概念 等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。 由于实际需要，有些零件必须有切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以 致在这些部位上截面尺寸发生突然变化。实验结果和理论分析表明，在 零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。 2．应力集中――由于杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大 的现象，称为应力集中。3．理论应力集中因数K?ζ? max ?max――最大应力ζ ――平均应力 试验结果表明：截面尺寸改变得越急剧、角越尖，孔 越小，应力集中的程度就越严重。因此，零件应尽量避免 带尖角的孔和槽，对阶梯轴的过渡圆弧，半径应尽量大一 些。 4．材料对应力集中敏感性讨论? 由于屈服可使应力重新 分布而松驰 ?塑性材料?不敏感? ? ? 而产裂纹, 若裂纹 ? ?脆性材料?敏感?最大应力达到强度极限 ? ?失稳扩展而发生断裂 ?静载荷? ? 内部不均匀性和缺陷往 往是产生应力集 ? ?灰铸铁?不敏感? ? ?中的主要因素 载荷? , 外形改变引起的应力集 中的次要因素对 ? ? ? ?强度无明显影响 ? ?动载荷?非常敏感?当零件受冲击载荷或交 变应力作用时，不论是 塑 ? 性材料还是脆性材料都 有严重影响 , 往往是零件破坏的主 ? ? 要根源 ?§2.13 剪切和挤压的实用计算 1． 剪切的实用计算 （1）连接件：铆钉、销钉、螺栓、键等都是 受剪构件。 剪切： 当在杆件某一截面处， 在杆件两侧受 到等值， 反向、 作用线平行且相距很近一对力作 用时，将使杆件两部分沿这一截面（剪切面）发 生相对错动的变形，这种变形称为剪切。 （2）切应力?Fx ? 0 F ? FS ? 0 FS ? F假定切应力在剪切面上均匀分布，则 F ?? S A （3）强度条件 F ? ? S ? ?? ? A 强度计算： ①校核 ②设计截面 A ?FS?? ?③确定许用载荷 FS ? ?? ?A 2． 挤压的实用计算 （1）挤压：在外力作用下，在连接件和被连接件之间，必须在接触 面上相互压紧，这种现象称为挤压。 （2）挤压应力 F ? bs ? Abs F――挤压力 Abs――挤压面面积 假定挤压应力在挤压面上均匀分布。 （3）挤压面面积： ①挤压面为平面，面积为平面面积 ②挤压面为圆柱面，取直径面面积，所得平均应力与最大挤压应力 大致接近。 Abs ? ?d （4）强度条件： F ? bs ? ? ?? bs ? Abs 例 1 已知材料的剪切许用应力[η ]和拉伸的许用应力[ζ ]之间关系 约为：[η ]=0.6[ζ ]，试求螺钉直径 d 和钉头高度 h 的合理比值。 解： （1）拉伸强度条件为 F 4F ?? ? 2 ? ?? ? A1 ?d （2）剪切强度条件为 FS=F F F ?? S ? ? ?? ? ? 0.6?? ? A ?dh ? F / ?dh d 故： ? ? ? 0.6 2 ? 4F / ?d 4h d ? 2.4 h例 2 车床的传动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销 即被剪断，已知安全销的材料为 30#钢，剪切极限应力η u=360MPa，光杆 可传递的最大力偶矩为 Me=120N.m? ，试求安全销的最大直径 dmax。解：与冲床工作原理相同，属剪切删除强度计算的反向题 Me=FSD (D=υ )剪断条件为： F ? ? S ??u A F M /D 即：? ? s ? e2 ??u A ?d / 4 故： d ?4M e ? ?D? N 4 ? 120 ? 10 3 ? 4.6 mm ? ? 20 ? 360? max ? 4.6 mm第三章 扭 转§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念 §3.1 扭转的概念和实例1．实例如： 车床的光杆 反应釜的搅拌轴 汽车转向轴 2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对 力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为 扭转变形。§3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 1．Me、m、 P 之间的关系 Me――外力偶矩（N?m） n――转速（r/min） P――功率（kW） （1kW=1000N?m/s） （马力） （1 马力=735.5W） 每秒钟内完成的功力2?n Me? ? 1 0 0P 0或 60 2?n Me? ?73. 5 5P 60 ?M e ?N .m ? 9549 ?P?kW ?n?r / m i n?M e ?N .m?P?马力 ?7 0 2 4 ?n?r / m i n2．扭矩和扭矩图（1）截面法、平衡方程Σ Mx=0T-Me=0T=Me（2）扭矩符号规定：为无论用部分 I 或部分 II 求出的同一截面上的 扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。 （3）扭矩图 例 1 主动轮 A 输入功率 PA=50kW，从动轮输出功率 PB=PC=15kW， PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图. 解： （1） M eA ? 9549N?mP 50 ? 9549 ? ? 1591 n 300M eB ? M eC ? 9549? M eD ? 637N ? m15 ? 477N ? m 300（2）求 T Σ Mx=0 T1+MeB=0 T2-MeA+MeB=0 T3-MeD=0 T1=-MeB=-477 T 2=1115N T3=Med=63T例 2 主动轮与从动轮布置合理性 的讨论主动轮一般应放在两个从动轮 的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从动 轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。如左图 a：Tmax=50N?m右图 b：Tmax=25N?m 二者比较图 b 安置合理。 §3.3 纯剪切在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二 者关系的研究非常重要。 1．薄壁圆筒扭转时的切应力 连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应 力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上 只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆 筒的扭转。 （1）观察变形及分析 变形前纵线与圆周线形成方格。 变形后方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持 不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截 面，故横截面上的切应力与半径正交。 对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。 （2）力矩平衡Σ Mx=0M e ? 2?r? ? ?? r??Me 2?r 2?2．切应力互等定理 取出单元体如左图 Me ?? 2?r 2 ? Σ Fx=0 Σ Mz=0 η ′ =η 在相互垂直的两个平面上，切应力必 然成对存在，且数值相等，其方向都垂直 于两平面交线，或共同指向或共同背离两 平面交线。这就是切应力互等定理，也称 为切应力双生定理。 3．切应变剪切胡克定律 上述单元体，属于纯剪切状态 胡克定律：试验表明，当切应力不超 过比例极限时，切应力与切应变成正比。 η = Gγ G――比例常数， 材料的切变模量。 单位 GPa 4．三个弹性常数之间的关系 对各向同性材料 E G? 2?1 ? ? ? 5．剪切应变能 η ′=η ′???dy?dx ? ?? ??dx?dy对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为η dydz。由于剪切变形， 右侧面向下错动位移为 rdx。若切应力有一个增量 dη ，切应变的相应增 量为 dγ ，右侧面向下位移增量为 dγ dx。剪力η dydz 在位移 dγ dx 上完 成的功力η dydz?dγ dx。在切应力从零开始逐渐增加的过程中（如达到 可，则相应的切应变达到 r1）右侧面上的剪力η dydz 总共完成的功力。dw ? ? ?dydz ? drdx0 r1单元体内储存的剪切应变能力r1 r1 dV? ? dw ? ? ?dydz ? drdx ? ? ?dr ? ? ? dv ? 0 0 ? ?式中：dv=dxdydz，则剪切应变能密度为 r1 dv ? ? ? ? ? ? ?dr 0 dv vε =η －r 曲线下的面积。 （η dγ 为阴影条面积）当切应力不超过剪 切比例极限的情况下。η 与γ 的关系为斜直线（为线弹性情况） 1 ? ? ? ?r 2 剪切胡克定律：η =Gγ ，则1 ?2 ? ? ? ?r ? 2 2G§3.4 圆轴扭转时的应力 1．应力分布规律： 几何学方面 物理学方面 静力学方面 （1）变形几何关系 ①观察试验（在小变形前提下） a. 圆周线大小、形状及相邻二圆 周线之间的距离保持不变，仅绕轴线 相对转过一个角度。 b.在小变形前提下纵线仍为直线 仅倾斜一微小角度，变形前表面的矩形方格，变形后错动成菱形。 ②平面假设：圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面，形 状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。 ③结论：横截面上只有切应力而无正应力。 ④取 dx 一段轴讨论：rd x ? Rd? d? r ? R dx d? r? ? ? dx（a）讨论： d? a. 为扭转角θ 沿轴线 x 的变化率对给定截面上的各点而言， （即 dx x 相同）它是常量。 b. 横截面上任意点的切应变γ 意半径圆周处的切应变均相等） 。 （2）物理关系P 与该点到圆心的距离P 成正比。 （任①剪切胡克定律? ? ? Gr?? p ? G?②结论 a. 距圆心等距的圆周上各点处的切应力 均相等。η 线方向） 。 b. 切应力沿半径直线分布。 （3）静力关系 ①内力为分布力系的合力 d? T ? ?A ?? ? dA ? G ? 2 dA ? A dx 令 I ? ? ?A ? 2 dA （截面对圆心 O 的板惯 性矩）P 与半径垂直（即各点处的圆周切d? dx（b）T ? GI P于是：d? T ? dx GI Pd? dx（c）式（c）代入式（b）得?? ?T? I?（d）②讨论Dd D? max ?TR Ip（e）引入 则 2．IP、Wt 计算公式 （1）实心圆截面 dA=ρ dθ dρI P ? ? P dA ?2 A 2? R OO 3Wt ?IP （抗扭截面系数） R T ? m a x? Wt（f）???3dpdt ??R 42??D 432Wt ?I P ?R ?D 3 ? ? R 2 162?D（2）空心圆截面I P ? ? ? 2 dA ? ?A 0?D/2d /2? 3 d?d? ??D 32?4?d4 ???D 432?1 ? ? ?4式中α =d/D3 IP ? ?D 4 ? d 4 ? ? ?D ?1 ? ? 4 ? ? R 16 D 16Wt ?3．强度条件? max ?Tmax ? ?? ? WtD（1）强度计算 ①校核 ②设计截面Wt ?Tmax?? ??D 316?Tm a x?? ?D?316Tmax? ?? ??D 316?1 ? ? ? ? T4?? ?m a xD?316Tmax ? ?? ??1 ? ? 4 ?③确定许用载荷 Tmax≤[η ]Wt （2）讨论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt 不是常量，ηmax并不一定发生在扭矩为 Tmax 的截面上， 这要综合考虑 T 和 Wt 寻求 ? ? 大值。 4．强度计算举例 Example1 图示传动轴 Given Me1=895N?m Me5=358N?m Me2=538N?m [τ ]=20MPa895T?最Me3=2866N?m Me4=1075N?m Find 设计阶梯轴各段的直径 D Procedure： （序号）solution （1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图 （2）求各段轴的直径 D T Wt ? ∵ ?? ? 3 ?D T ? ?? ? 16 ∴D?3D12 ? 3358 143316T?? ?16 ? 895? 1000 ? 61.1mm ? ? 20D23≥71.5mm D34≥71.5mm D45≥45mm Example2 图示传动轴外力偶矩某度为 m Given Find η solution Σ Mx=0 T(x)=mxxM=500N?m/m l=1000mmmaxD=30mmlx500扭矩沿轴线线性变化 当 x=0 时，T=0 当 x=l 时，Tmax=ml=500N?m ∴ ? max ?Tmax 16Tmax 16? 500?103 ? ? ? 94.3 Mpa Wt ?D3 ? ? 303§3.5 圆轴扭转时的变形 1．扭转角θ 的计算 d? T ? dx FI pd? ? T dx GI pl? ? ? d? ? ?T dx 0 GI pl讨论： （1）若两截面之间 T=const，GIP=const，则??Tl ?rad ? GI pGIP――圆轴的抗扭刚度 （2）阶梯轴? ??i ?1 nTi l i GI pi2．刚度条件 消除轴的长度 l 的影响?? ?d? T ? （rad/m） dx GI P? ? ：单位长度的扭转角等直圆轴：?? ??l?T GI P刚度条件? ? ? maxTmax ? ?? ??（rad/m） GI P按照设计规范和习惯 ?? ?? 许用值的单位为 ??? / m ，可从相应手册中查 到。? ? ? max Tmax 180 ? ? ?? ?? （ ?）/m GI p ?3．刚度计算 ①刚度校核? ?D 4 ?D 4 ?1 ? ? 4 ?? , ②设计截面： I p ? ? ? 32 32 ?③确定许用载荷 Tmax 注意：由刚度条件Tmax ? 180 G? ?? ?? 4 T ? 180 ?D ? max 32 G? ?? ?? Ip ?D?432Tm a x? 180 G? 2 ?? ??32Tmax ? 180 G? 2 ?? ?? 1 ? ? 4G――切变模量或 式中需用牛顿米代入D?4??因为 ?? ?? 单位为（ ?）/mExample1 图示钢轴 Given Me1=800N?m Me3=400N?m l2=0.7m [τ ]=50MPa Find D400Me2=1200N?m l1=0.3m G=82GPa?? ?? =0.25(?)/m800solution （1）求扭矩，作出扭矩图 （2）强度条件 Tmax=800 N?m T 16Tmax ? max ? max ? ? ?? ? Wt ?D 3D?316Tmax? ?? ?16 ? 800? 103 ? ? 0.0433（m） ? ? 503（3）刚度条件? ? ? max Tmax 180 ? ? ?? ?? 4 ? ?D G? 32 32Tmax ? 180 32 ? 800? 180 D?4 ?4 ? 0.0691（m） 2 G? ?? ?? 82 ? 109 ? 2 ? 0.25 Tmax 180 ? ? GI p ?取：D=70mm 注意：用牛顿米统一单位方便，不易出错。§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 1．实例 （1）车辆轮轴弹簧：缓冲减振（2）凸轮机构的压紧弹簧，内燃机的气阀弹簧（控制机械运动） 。 （3）弹簧秤 （4 ） 美国世贸中心大厦为 “筒中筒” 结构， 110 层双子楼主楼 417m，次楼 415mm。 为了抵御大西洋的狂风， 顶部风压为 4kPa， 允许位移 90cm， 实测 fmax=28cm，内外筒之间用桁架承担楼面载荷，在第 7 层一 107 层桁 架下面放置减震器，吸收风力作用下大楼的变形能减震。 2．密螺弹簧的两个条件 （1）螺旋角α &5°（密圈） （2）d&&D（小曲率杆） 近似认为簧丝横截面与弹簧轴线位于同一平面内 略去曲率影响，采用直杆扭转公式. 3．弹簧丝横截面上的应力 Σ Fy=0 Σ M0=0 FS=F FD T? 2 FS 4F ?1 ? ? 2 A ?d T 8FD ? max ? ? Wt ?d 34 F 8FD 8FD ? d ? ? ? ? 1? 2 3 3 ? ?d ?d ?d ? 2 D ?内侧 A 点：? max ? ? 1 ? ? 2 max ?若 切。d D &&1 与 1 相比可省略。这相当于只考虑扭转，不计剪 ? 10 则 2D d? max ?8FD ?d 3（近似公式）考虑到切应力的非均匀分布及曲率的影响对上式修正。 8FD ? max ? k ?d 3 式中k? 4c ? 1 0.615 ? ―― 曲度系数 4c ? 4 cc?4．簧丝的强度条件D d弹簧指数? max ? k5．弹簧的变形8FD ? ?? ? ?d 3（1）试验表明：在弹性范围内，静载压力 F 与λ 成正比（线弹性关 系） 。当外力从零增加到最终值时，它作的功等于斜直线下的面积即： 1 W ? F? 2 （2）簧丝的扭转的应变能 簧丝横截面上距圆心为?处的切应力1 FD? T? 2 16FD? ?p ? ? ? 4 Ip ?d ?d 4 32扭转单位体积内的应变能（应变能密度）128F 2 D 2 ? 2 ?? ? ? 2G G? 2 d 82 ?p弹簧的应变能为V? ? ? ? ? dVvV――弹簧体积 dA――簧丝横截面的微分面积 dS_――沿簧丝轴的微分长度dV ? dA ? ds ? ?d?d? ? ds? ?? ~ 2? ?? ?0 ~ d / 2?s(0 ~ l, l ? n?D ，n 为有效圈数)V? ? ? v? dV ?V128F 2 D 2 G? 2 d 8? ? ?0 02?d /2n?D0? 3 d?d?ds ?4F 2 D 3 n Gd 4根据功能原理，即 W=Vε 1 4F 2 D 3 n F? ? 2 Gd 4 8FD 3 n 64 FR 3 n ?? ? Gd 4 Gd 4 D 式中： R ? 是弹簧圈的平均半径。 2 Gd 4 Gd 4 引入记号： C ? ? 8D 3 n 64 R 3 n F 则： ? ? C C 越大，则λ 越小，所示 C 代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚 度。C 的单位为 N/m 或 F=Cλ 6．弹簧变形的简单推导方法 Example1 安全气阀阀盘的直径 Do=60mm 当蒸汽压力 p=0.8MPa 时， 阀门行程为 h=10mm，弹簧材料为 60Mn 钢，[η ]=400MPa，G=80GPa， 簧圈平均直径 D=50mm。 Find：簧丝直径 d 和弹簧圈数 n Solution： （1）弹簧受压力：F??Do24p?? ? 6024? 0.8 ? 2260(N)（2）簧丝直径 d：由于曲度系数 k 未知，故 应用试算法。先用近似公式估算。由公式 8FD ? max ? ? ?? ? ?d 3d ?38FD? ?? ??38 ? 2260? 50 ? 8.96 (mm) ? ? 400考虑到修正，取 d=9.8mm，然后校核：c? D 50 ? ? 5.10 d 9 .8k?4c ? 1 0.615 4 ? 5.1 ? 1 0.615 ? ? ? ? 1.303 4c ? 4 c 4 ? 5.1 ? 4 5.18FD 8 ? 2260 ? 50 ? 1.303 ? ? 398 N / mm 2 ? 398 MPa ? ?? ? 3 3 ?d ? ? 9.8代入修正公式求? max ? k故取 d=9.8mm （3）弹簧圈数：由 h ?8FD3 n Gd 4 Gd 4 h 80 ? 103 ? 9.8 4 ? 10 n? ? ? 3.27 8FD3 8 ? §3.7 非圆截面杆扭转的概念 一、实例 ①农业机械中有时采用方轴为传动轴 ②车床上的光杆有时采用方截面 ③曲轴的曲柄为矩形截面，承受扭矩 二、非圆截面杆扭转与圆轴扭转的差别 观察试验：非圆截面杆扭转变形后，截面周线为空间曲线，即截面 发生翘曲成为曲面，圆轴扭转时的假设已不适用。三、非圆截面杆扭转的分类? ? 自由扭转: 截面自由翘曲 , 纵向纤维无长度改变 , 故截面上 ? ? 扭转? 只有切应力 , 而无正应力 . ? 实体截面: 非自由翘曲 , 但正应力很小可忽略 ?约束扭转? ? ? , 切应力, 正应力均很大 ?薄壁杆件: 非自由翘曲 ?四、矩形截面杆扭转时的应力与变形 1. 切应力 ①切应力分布规律及切力流 ②最大切应力 T ? max ? ?hb 2（长边中点） （短边中点）? 1 ? v? max2. 变形 相对扭转角??Tl Tl ? 3 GI t G?hbGIt=G?hb3――杆件的抗扭刚度 3. 系数：以上式中α 、?、?均是与 h/b 比值有关的 系数，列入表 3.2 中（见 P96） 。4. 狭长矩形 h 当 ? 10 时，截面成狭长矩形，这时 b 1 ??? ? 3 T ? max ? 1 2 h? 3 Tl ?? 1 G ? h? 3 3（长边中点）式中δ 为短边长度。 第四章 弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩 §4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例 1．实例 ??1?桥式起重机大梁 ? ??2?火车轮轴 ? ??3?镗刀刀杆 ??4?轧板机的轧辊 ? 2．弯曲变形 作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为 曲线，这种变形称为弯曲变形。 3．梁――凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：??1?横截面有一根对称轴 ? 称轴的纵向对称面 ??2?整个杆件有一个包含对 ? 对称面内 ??3?所有外力都作用于纵向 ??4?弯曲变形后轴线成为纵 向对称面内的一条平面 曲线 ?F12§4.2 受弯杆件的简化 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁 的轴线和支承来表示梁。??1?简支梁 ? 梁的基本形式: ??2 ?外伸梁 ??3?悬臂梁 ?l 称为梁的跨度 §4.3 剪力和弯矩 （1）求反力：?? B ? 0 ?? A ? 0 FA FB（2）求内力（截面法） 一般来说截面上有剪力 FS 和弯矩 M（为平衡）?Fy ? 0 FA ? F1 ? Fs ? 0FS ? FA ? F1 ?M 0 ? 0 M ? F1 ?x ? a? ? FA ? x ? 0M ? FA x ? F1 ?x ? a?1 2（a）（b）F12F（3）讨论 一般说，在梁的截面上都有剪力 FS 和弯矩 M，从式（a）式（b）可 以看出，在数值上，剪力 FS 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩 M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩 的代数和，即：? ? i ?1 左 ? ? n M ? ?Mi ? ? i ?1 左? FS ? ? Fin同理，取截面右侧部分为研 究对象：? ? i ?1 右 ? ? n M ? ?Mi ? ? i ?1 右? FS ? ? Fin（4）剪力 FS 和弯矩 M 符号 规定 无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力 FS 和弯矩 M，不 但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。Example1 试求图示梁 D 截面的 FS、 M Solution： （1）求反力?M B ? 0 FA ? 3a ? ?q ? 2a ? ? a ? 0 2qa FA ? 3 FB ? 3a ? ?q ? 2a ? ? ?2a ? ? 0 4qa FB ? 3?M A ? 0（2）求剪力和弯矩 （设正法） 将截面上的剪力 FS 和弯距 M， 按符号规定设为正的方向。?Fy ? 0 FA ? qa ? FS ? 0 2qa qa FS ? FA ? qa ? ? qa ? ? 3 3（负号说明剪力 FS 所设方向与实际方向相反， 截面上产生负剪力） 。a ?0 2 2qa 2 4qa 2 qa 2 5qa 2 M ? F A ? 2a ? ? ? ? 2 3 2 6 ?M D ? 0 M ? FA ? 2a ? qa ?（正号说所设方向与实际方向一致，截面上产生正弯矩） 。Exemple2 试求图示梁 1-1， 2-2 截 面上的剪力和弯矩 Solution： ①求反力：?M B ? 0 FA ? l ? Fb ? 0 Fb FA ? l1 o 1F1 1 2 2?M A ? 0FB ? l ? Fa ? 0 Fa FB ? l2 o 2 2②求剪力和弯矩，1-1 截面?Fy ? 0 FA ? FS1 ? 0?M 0 ? 0M1 ? FA ? a ? 0M 1 ? FA ? a ? Fba l2-2 截面?Fy ? 0 FA ? F ? FS 2 ? 0 Fb Fa FS 2 ? FA ? F ? ?F ?? l l（负号说明剪力方向与实际方向相反，在截面上剪力为负值）?M 0 ? 0M 2 ? FA ? a ? 0 Fba M 2 ? FA ? a ? lExample3 试求图示梁 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩 Solution ①求反力：?M B ? 0 FA ? l ? M e ? 0 M FA ? e l FB ? l ? M e ? 0 M FB ? ? e lo 1 2 1 2?M A ? 01 o 1（负号说明， 所设反力方向与实际 方向相反） ②求剪力和弯矩 1-1 截面：设 FS1，M1?Fy ? 0 FA ? FS1 ? 0FS 1 ? FA ? Me l2 o 2 2?M 0 ? 0FA ? a ? M 1 ? 0 Me M 1 ? FA a ? a l2-2 截面：设 FS2，M2（设正法）?Fy ? 0 FS 2 ? FB ? 0FS 2 ? ? FB ? Me l?M 0 ? 0M 2 ? FB ? b ? 0 Me M 2 ? FB ? b ? ? b l（所设方向与实际方向相反，为负弯矩）Example4 试求梁 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩Solution：根据前面剪力和弯矩的求代数和的规则来求剪力和弯矩。 Me =1 1 2 2a1-1 截面：FS 1 ? ?qaaqa 2 qa 2 ?a? 2 M 1 ? M e ? qa ? ? ? ? qa ? ? 2 2 ?2?2-2 截面：FS 2 ? ?qa ? qa ? ?2qa qa 2 qa 2 ?a? 2 M 2 ? M e ? qa ? ? ? ? qa ? ? 2 2 ?2?Example5 试求梁 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩 Solution： （取右侧）Me =2 1 2 c1a1-1 截面：aFS 1 ? F ? qa ? qa ? qa ? 2qa M 1 ? ?qa ? a ? qa ? a 3 ? ? qa 2 2 22-2 截面：FS 2 ? 2qa a qa 2 2 M 2 ? ?qa ? a ? qa ? ? qa ? ? 2 2§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图1．一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化， 剪力和弯矩为截面位置坐标 x 的函数。 FS ? FS ? x ?? ? M ? M ? x ?? 上面函数表达式称为剪力方程和弯矩方程， 根 据剪力方程和弯矩方程， 可以描出剪力和弯矩随截 面位置变化规律的图线称为剪力图和弯矩图。 2．列剪力方程和弯矩方程规则左上 正弯距 左上 正剪力左下负剪力左下e 左顺负弯距? ? i ?1 左 ? ? n M ? ?Mi ? ? i ?1 左? FS ? ? Fin正弯距（1）截面左侧向上的外力都在剪力代数和式 中取正号，向下的外力都取负号。 （左上取正，右 下为负）e 左逆 负弯距（2）截面左侧向上的外力对截面形心产生的力矩都在弯矩代数和式 中取正号。向下的外力对截面形心所在产生的力矩都在和式中取负号。 （3）截面左侧顺时针转的外力偶矩，在力矩总和式中取正号，负之 取负号（顺正、逆负） n ? FS ? ? Fi ? i ?1 右 ? ? n M ? ?Mi ? ? i ?1 右? （1）截面右侧梁上向下的外力在剪力代数和 式中取正号，向上的外力取负号。 （2）截面左侧梁上向上的外力在弯矩代数和 式中取正号，向下的外力之力矩取负号。 （3）截面右侧梁上逆时针外力偶矩在弯矩代 数和式中取正号，顺取负号。负弯距 右顺 正弯距正剪力 负剪力右下 右上正弯距 负弯距右上 右下e 右逆eExample1 试作梁的梁剪力图和弯矩图 Solution ①求反力RA RBql 2 ql FRB ? 2 FRA ?②列方程FS ?x ? ? FRA ? qx ? ql ? qx ?0 ? x ? 1? 2xx lql+ qlx2x ql qx 2 ?0 ? x ? l ? M ?x ? ? FRA x ? qx ? ? x ? 2 2 2③绘图 F(x)为 x 的一次函数斜直线，确定一点。 ql Fs ?x ? ? 当 x=0 时， 2 ql Fs ?x ? ? ? 当 x=l 时， 2Mql28+M（x）为 x 的二次函数，是一抛物线，定数点 当 x=0 时， 当 x ? 时， 当 x ? 时， 当x ?l 2l 43l 时， 4M（x）=0 3 M ?x ? ? ql 2 32 ql 2 M ?x ? ? 8 3 M ?x ? ? ql 2 32 M（x）=0 ql 2 M max ? 8S当 x=l 时， ql ④ FS max ? , 2xSlExample2 镗刀杆的计算简图， 试作 FS、 M图Solution： ①可以求反力，也可以不求反力 ②列方程 FS(x)=F M(x)=-F(l-x) ③绘图 FS(x)为常数，为水平线 M(x)为 x 的一次函数，斜直线，定二点 当 x=0 时 当 x =l 时 ④ FSmax=FM ? Fl(0&x&l) (0&x≤l)M(x)=-Fl M(x)=0maxExample3 齿轮轴计算简图，作 FS、M 图 Solution ①求反力?M B ? 0 FA ? l ? Fb ? 0 Fb l Fa FB ? l FA ?x l Fb l+ -b?M A ? 0FB l ? Fa ? 0②列 FS、M 方程，集中力 F 作用，分段 列方程 (AC )FS 1 ? x1 ? ? FA ? Fb lFab lFa l(0&x1&a)+Fb x1 (0≤x1≤a) l Fb Fa ?F ?? ( CB ) FS 2 ?x 2 ? ? FA ? F ? l l Fb M 2 ?x2 ? ? FA x2 ? F ? x2 ? a ? ? x2 ? F ? x2 ? a ? l M 1 ? x1 ? ? FA ? x1 ?(0&x2&l) (0≤x2≤l)③绘图（AC） FS 1 ?x1 ? ?Fb l常数为水平线M1（x1）为 x1 的一次函数，斜直线，定=点 当 x1=0 时，M1（x1）=0 Fba 当 x1=a 时，M1（x1）= l Fa （CB） FS 2 ?x2 ? ? ? 为水平 l M2（x2）为 x 的一次函数，斜直线，定=点 Fba 当 x2=a 时，M2（x2）= l 当 x2=l 时，M2（x2）=0 Fa ?若a ? b ? Fs max ? l pab M max ? la x x l b④Example4 试作 FS、M 图 Solution ①求反力?M B ? 0 FA ? l ? M e ? 0 Me l M FB ? e l FA ?C?M A ? 0FB l ? M e ? 0Me Me b②列方程，分段列方程M （AC） FS1 ?x1 ? ? FA ? ? e (0&x1≤a) l M M 1 ?x1 ? ? FA ? x1 ? e x1 (0≤x1&a) l Me （CB） FS 2 ?x 2 ? ? FA ? ? (a≤x2&l) l M M 2 ?x 2 ? ? FA x 2 ? M e ? ? e x 2 ? M e (a&x2≤l) ll +Me al-l③绘图FS 1 ? x1 ? ? ? 常数、水平线 FS 2 ? x2 ??M1（x1）为 x 一次函数，斜直线 当 x1=0 时，M1（x1）=0 当 x1=a 时，M1（x1）= ?M ea lM2（x2）为 x 的一次函数，斜直线 Mb 当 x2=a 时，M2（x2）= e l 当 x2=l 时，M2（x2）=0 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 1．引言 （1）分段列方程十分麻烦。 （2）q(x)、FS(x)、M(x)之间存在普遍的 导数关系。 （3）利用《导数关系》直接由载荷判 定 FS、M 图形，绘制 FS、M 图。 （4）检验 FS、M 图正确与否很方便。 2．证明 q(x)、FS(x)、M(x)间的关系dFS ? x ? ? ? q?x ? ? dx ? dM ? x ? ? ? FS ? x ? ? dx ? ? d 2 M ? x ? dFS ? x ? ? ? ? ? q x ? dx dx 2 ?证： （1）取坐标系如图，x 以向右为正。 （2）取微段（微段上不能受集中力与集中力偶，只受分布载荷） 。 （3）微段上的载荷集度 q(x)视为均布，且规定 q(x)↑为正○ + ，q(x)↓为负○ －。 （4）微段两侧横截面上的 FS(x)，M(x)均设为正方向。 （5）讨论微段平衡?Fy ? 0FS ?x ? ? ?FS ?x ? ? dFS ?x ?? ? q?x ?dx ? 0dFS ? x ? ? q?x ? dx?M c ? 0M ?x? ? ?M ?x? ? dM ?x?? ? FS ?x?dx ? q?x?dxdM ? x ? ? FS ? x ? dx d 2 M ?x ? dFS ?x ? ? ? q?x ? dx dx 2略去高阶微量3. 利用导数关系绘制 Fs、M 图或者检验 Fs 图 q图q=0(一段) q&0↓水平线 q&0↑水平线 ↓q=q(x)斜直线 水平线（一段） 斜直线 斜直线 二次抛物线 FS=0（一段） FS=0（一点） 集中力作用截面 集中力偶作用截面 突变M图斜直线（或水平线） 二次抛物线 二次抛物线 三次抛物线 水平线 有极值 突变 上凸 下凸4．作 Fs、M 图程序 procedure ⑴一判：判断 Fs、M 图线形状 ⑵二算：算出控制截面 Fs、M 数值 ⑶三连线 5．Example 试用导数关系作图 示外伸梁的 Fs、M 图 Solution ①求反力 FA=3kNFB=7kN ②判断曲线形状，二算三连线 ③确定 E 截面位置 3-qx=0x? 3 ? 1.5m 2M E ? 3 ? 1.5 ? 2 ? 1.5 ?1.5 ? 2.25kN ? m 2M C右 ? 3 ? 4 ? 2 ? 4 ? 2 ? ?4kN ? m§4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力 1．静定刚架 （1）举例：某些机器的机身或者机架的轴线是由几段直线组成的折 线，如液压机机身、钻床确床架、轧钢机机架等。 （2）刚节点：为上述的机架的每两部分在连接处夹角不变，即两部 分在连接处不能有相对转动，这样连接称为刚节点。 （3）刚架：各部分由刚节点连接的框架结构称为刚架。 （4）静定刚架：外力和内力均可由平衡方程确定的刚架称为静定刚 架。 （5）超静定刚架：外力或内力不能由静力平衡方程全部确定下来的 刚架，称为超静定刚架。 （6）刚架的内力一般有轴力 FN、剪力 FS 和弯矩 M。 （7）静定刚架弯矩图的绘制。 弯矩图约定画在杆件受压一侧，即受压弯曲后的凹侧。受压受拉直 接制定。Example1 钻床床架计算简图， 试作 M 图Solution ①求反力 ②列方程 （AC） M1(x1)=Fx1 ≤x1≤a） （CB） M2(x2)=Fa ≤x2≤2a） ③作图 （ 0 （ 0Example2 试作图示刚架的弯矩图 Solution ①求反力?M A ? 0 Fcy ? 2a ? Fa ? 0 F FCy ? 2?Fx ? 0F ? FAx ? 0FAx ? F?Fy ? 0 FAy ? FCy ? 0F Ay ? ? Fcy ? ? F 2②作弯矩图2．平面曲杆（平面曲梁） （1）平面曲杆：某些构件为活塞环、链环、拱等一 般杆件都有一个纵对称面， 其轴线为一平面曲线称为平面 曲杆。 （2）平面弯曲：当载荷作用于纵向对称面内时，曲 杆将发生弯曲变形。（3）内力一般有弯矩 M，轴力 FN，剪力 FS （4）内力符号的规定 ①轴力 FN 拉为正、压为负。 ②对考虑的一段曲杆内任一点，FS 产生顺时针力矩为正、反之 FS 为 负。 ③弯矩 M 使曲率增大为正、反之为负。?FA ? 0?Fn ? 0FS ? F cos? ? 0FS ? ?F cos?FN ? F sin ? ? 0 FN ? F sin ??M C ? 0M ? F ? a sin ? ? 0M ? ? Fa sin ?Example5 试作图示曲杆的弯矩图 Solution ①列方程?Fn ? 0FN ? ?qasin ?FN ? qasin ? ? 0?FA ? 0?M C ? 0FS ? qa c o ? s ?0FS ? qa cos?a? ? M ? qa? a s i n ? ? ??0 2? ? qa 2 M ? qa 2 sin ? ? 2②作弯矩图 第五章 弯曲应力§5.1 纯弯曲§5.2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施 §5.1 纯弯曲 1. 弯曲??横力弯曲? ? FS , M ?纯弯曲? ? FS ? 0, M ? const,? ? 0,?F Fa Faa2．观察变形 以矩形截面梁为例 （1）变形前的直线 aa 、 bb 变形后成为曲线 a ?a ? 、b?b? ，变形前的 mm ， nn 变形后仍为直线 m?m? 、 m?n ? ，然 而却相对转过了一个角度，且仍与 a ?a ? 、 b?b? 曲线相垂直。 （2）平面假设 根据实验结果，可以假设变形前原为平 面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直 于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面 假设。 （3）设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组 成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，m' a' b' m'm a b m△n a b nn' a' b' n'只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的 纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一 层纤维称既不伸长 ,也不缩短 , 这一层纤维为中 性层。 （4）中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139 note：可以证明，中性轴为形心主轴。 §5.2 纯弯曲时的正应力 1．正应力分布规律： ①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系 取 dx 微段来研究，竖直对称轴为 y 轴，中性轴 为 z 轴，距中性层为 y 的任一纤维 b?b? 的线应变。??dρe?? ? y ?d? ? ?d??d??y?（ a）e o' d b' o' b'（2）物理关系 当应力小于比例极限时，由胡克定律? ? E? y ??E ?因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，（b）此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性 层的距离成正比。 在横截面上， 任意点的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。 亦即沿截面高度， 正应力 按直线规律变化。 （3）静力关系e横截面上的微内力ζ dA 组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力 系可能简化为三个内力分量：? ? ? M iy ? ? z?dA ? A ? M iz ? ? y?dA? A ? F? ? ? ?dAAe d横截面上的内力与截面左侧的外力必须 平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有 对 z 轴的力偶矩 Me。 由于内外力必须满足平衡 方程，故： ①?Fx ? 0 F? ? ?dA ? 0A?（c）式（b）代入式（c）? ?dA ? ? ? ydA ? 0A AE∵ ∴E ?c o n st ?E ?0 ??AydA ? S Z ? 0结论：Z 轴（中性轴）通过形心。 ②?M y ? 0 M iy ? z?dA ? 0A?（d）式（b）代入式（d）? z?dA ? ? ? yzdA ? 0 ? yzdA ? I ? 0A AA yzE结论：y 轴为对称轴，上式自然满足 ③ ?M z ? 0 M e ? M iz ? M ? ? y?dA （e）A式（b）代入式（e）M?? y?dA ? ? ? y dA2 A AE（f）∵ ∴式（f）可写成?Ay 2 dA ? I Z1?1 ??M EI Z（g）式中 为梁轴线变形后的曲率，EIZ 称为梁的抗弯刚度。2．纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式（g）和式（b）中消去1?得My Iz??讨论： （1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特 性，因此，公式具有普遍性。 （2 ） 只要梁有一纵向对称面， 且载荷作用于对称面内， 公式都适用。 （3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需 用 y 坐标的正负来判定。 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲? ?M?y IZ讨论：公式的适用条件 （1）平面弯曲 （2）纯弯曲或 l/h≥5 的横力弯曲（ζ ，η ） （3）应力小于比例极限。 2．最大正应力M max y max IZ I WZ ? Z y max M ? max ? max WZ? max ?引入记号：W――抗弯截面系数（m3） 讨论： （1）等直梁而言ζmax 发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax。（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩 Mmax 截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数 WZ 两个因素。 3．强度条件? max ?M max ? [? ] WZ（1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要 ? max ? ?? ? 即可 （2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：? t max ? ?? t ? ? ? ? c max ? ?? c ??4．强度计算 （1）强度校核 （2）设计截面尺寸： W Z ?M max?? ?（3）确定许用载荷： M max ? ?? ?WZExample1 空气泵操作杆，右端受力 F1=8.5kN，1-1、2-2 截面相同， 均为 h/b=3 的矩形，若[ζ ]=50MPa，试选用 1-1、2-2 截面尺寸。 Solution ①求 F2?M 0 ? 0 0.38F2 ? 8.5 ? 0.72 ? 0F2 ? 16.1 kN②求截面弯矩 M1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN? m M2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN? m 故： m M max ? M1 ? 5.44 kN? ③设计截面WZ ?M max 5.44 ? 106 3 ? ? 1.088? 105 mm ??? 502 IZ bh 3 h ? ? bh 2 6 y max 12WZ ?∵h ? 3b3Wz ?3b 2 3 ? 1.088? 105 mm 22 ? 1.088? 103 b? ? 41.7 mm 3∴h=125mm§5.4 弯曲切应力?M ? ? 横力弯曲 ? ? FS ? ?m n m nd切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状 不同分别加以讨论。1．矩形截面梁 （1）切应力的分布规律 ?切应力?的方向与剪力 FS 平行 假设? ?切应力?沿截面宽度均匀分布 当 h&b 时，按上述假设得到的解答与精确解 相比有足够的准确度。 （2）切应力沿截面高度的变化规律 ①从梁中取出 dx 段，而微段上无载荷作用。 ②截面上的ζ 和η 的分布如图 ③研究微块的平衡F? 2 ? ? ?dA ? ?A* A*?M ? dM ?y1 dAIZ y1dAZd'? ??M ? dM ? S *IM ? dM IZ?A*（a）m nd* Sz ? ? y1dA 为离中性轴为 y 的横线以下面积对中性轴之静矩。 式中： A*F?1 ? ? ?dA ? ?A*My1 M dA ? A* I IZ Z?A*y1dA ?* MSz IZ（b）考虑到微块顶面上相切的内力系的合 力dFS' ? ? ? bdx（c）F? 2 ? F?1 ? dFS' ? 0 （d）?Fx ? 0式（a） 、 （b） 、 （c）代入式（d）?M ? dM ? S * ? M S * ? ? ?bdx ? 0IZzIZ（e） （d）?? ?* dM SZ dx I Z b∵ ∴dM ? FS dx F S* ?? ? S Z IZb（f）由切应力互等定理，横截面上 pq 线处切应力为 * FS S Z ?? IZb 这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。 ④讨论： a. 横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在 切应力 b. 矩形截面如图* dA ? bdy1 S Z ? ? y1dA ? ? A* h/2 y（g）? b ? h2 by1dy1 ? ? ? y2 ? ? ? 2? 4 ?or1 h h 1 h b h2 S ? A * ?[ y ? ( ? y )] ? b( ? y ) ? ( ? y ) ? ( ? y 2 ) 2 2 2 2 2 2 4* zh2 2? ∴ ? ? FS ? ? ? ? y ? ? 2I 2 ? 4 ?说明切应力η 沿截面高度按抛物线规律变化。c.h 当 y ? ? 时，τ =0 2当 y=0 时，? ? ? maxFS h 2 ? 8I Zbh 3 d. 考虑到 I Z ? 12? max ?2．工字形截面梁F 3 FS ? 1.5 ? S 2 bh bh（1） 计算表明： 截面上剪力 FS 的 95～97% 由腹板承担， 故只考虑腹板上的切应力分布规 律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力 两个假设均适用（η 方向与 FS 一致，设宽度 均布） ，采用矩形截面方法可得： * FS S Z ?? I Z b0b b 式中： S ? ?h 2 ? h02 ? ? 0 8 2* Zmax? h02 2 ? ? ? 4 ?y ? ? ? ? F ?b b ? ? S ? ?h 2 ? h02 ? ? 0 I Z b0 ? 8 2? ? h02 2 ? ? ? 4 ?y ? ?? ? ??以 y=0， y ? ?h0 代入上式得 2 FS ? bh 2 h02 ? ? max ? ? ?b ? b0 ? ? I Z b0 ? 8 8? ?? min∵b0&&b ∴ηmax≈η minF ? S I Z b0? bh 2 bh02 ? ? ? 8 ? 8 ? ? ? ?于是近似认为? max ?FS b0 hh h（2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予 讨论。 （3 ） 工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远， 每一点的正应力都很大， 所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪 力。 3．圆形及圆环形截面梁 * FS S Z （1 ） ? y ? IZb* ――阴影面积对中性轴的静矩 SZb――为弦 AB 的长度 在中性轴上S* Zm a xmax?R 2 4 R ? ? 2 3?b=2RIZ ??R 44? max ?4FS 4 FS ? 3 ?R 2 3AFs Amax（2）圆环形截面? max ? 2 ?4．弯曲切应力的强度校核 （1）强度条件 * Fs max S Z max ? max ? ? ?? ? IZb 最大切应力发生于中性轴处，故* SZ max ――中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩y（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正 应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。 （3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核： ①梁的跨度较短。②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇 大。 ③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与 高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。 ④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪 切计算。§5.6 提高弯曲强度的措施 弯曲正应力为控制梁的主要因素。由 梁的强度条件：M max ? ?? ? WZ? max ?合理安排梁的受力情况，降低 Mmax。 采用合理截面形状，提高 WZ 1． 合理安排梁的受力情况， 降低 Mmax （1）合理布置梁的支座 （2）合理布置载荷 ①载荷置于合理位置 ②将集中力分为较小的集中力 ③将集中力分为分布力2．梁的合理截面，提高 WZ 由强度条件 ? x ?M max ? ?? ?WZM ?x ? ? ?? ?得 W ?x ?hb可见 WZ 越大，梁承受的弯矩就越大。 （1） 矩形截面梁 W bh2 竖放： WZ ? ，由 A=bh，用 K ? Z 来 A 6b衡量截面形状的合理性和经济性。 W h K 1 ? Z ? ? 0.167 h A 6 hb 2 平放：W ? ，由 A=bh 6 W b K 2 ? Z ? ? 0.167b A 6 显然： 因为 h&b， 故 K1&K2， 所以， 矩形截面梁竖放比平放要好。 （2） 截面合理性， 经济性用 值来评价，引入 大截面越合理。h hhWZ 比 Athh/WZ ? Kh ，K 值越 A3．等强度梁的设计 （1）等截面梁是按最大弯矩设计 M W ? max ?? ? （2）等强度梁是按变截面设计 M ?x ? W ?x ? ? ?? ? （2） 等强度梁为变截面梁各横截 面上的最大正应力ζmax 都相等，且等于许用应力[ζmaxh]。hh? max ?M ( x) ? ?? ? W ( x)4．举例 Example 图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为 矩形。设 h=const，而 b=b(x) SolutionFx 2 M ?x ? Fx ?? ? W ?x ? ? ? [? ] 2 b? x ?h 2 Fx ? 即： b 2?? ? 3Fx ∴ b?x ? ? ?? ?h 2（1 ） M ? x ? ? （2）讨论 ①b(x)为 x 一次函数，直线变化 当 x ? 时, bmax ?l 2 3Fl 2?? ?h 2②当 x=0 时，b=0。这显然不能满足剪切条件。必须根据截面上中性 轴处的最大切应力来论最小的宽度 bmin。 ③根据? max ? ?? ?即： 故：3 FS max 3 F / 2 ? ? ?? ? 2 A 2 bmin h 3F bmin ? 4h?? ?（3）叠板弹簧梁的构成 将厚度为 h 的钢， 切割成 bmin 的钢板条， 当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图 示。 （4）鱼腹梁的设计设：h(x) hmax即：22h minh(x)bh2 ?x ? Fx ? 6 2?? ?hmax又： 故：3Fx b?? ? 3 FS m a x 3 F / 2 ? m a x? ? ? ?? ? 2 A 2 bhm i n 3F hm i n ? 4b?? ? h?x ? ? hmax ? 3Fl 2b?? ?22鱼腹梁形成。第六章 弯曲变形§6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加法求弯曲变形 §6.5 简单超静定梁 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施§6.1 工程中的弯曲变形问题hminb ? consth ? h?x? M ?x ? F / 2 ? x W ?x ? ? ? ?? ? ?? ?1. 实例 ①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨 损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。 ②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。 2. 研究变形目的 ①建立刚度条件，解决刚度问题 ②建立变形协调条件，解决超静定问题 ③为振动计算奠定基础。§6.2 挠曲线的微分方程 1. 概念 以简支梁为例，以变形前的轴线为 x 轴，垂直向上为 y 轴，xoy 平面 为梁的纵向对称面。 ①挠曲线： 在对称弯曲情况下， 变形后梁的轴 线为 xoy 平面内的一条曲线，此曲线称 为挠曲线。 ②挠度： 梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。 ③挠曲线的方程式： w=f(x) ④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度 θ ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后 垂直于挠曲线。故y轴的夹角 ?1.挠曲线的法线与 转角? ? x轴的夹角 ?2.挠曲线的切线与dw dx ? dw ? ? ? arctan ? ? ? dx ? tan? ?y d ds+d⑤挠度 w 和转角θ 是度量弯曲 变形的两个基本量。 ⑥挠度与转角符号规定：在图 示坐标中，挠度向上为正， o 反时针的转角为正。 2. 挠曲线的曲率表示式： ①纯弯曲：1ρ(x)xxdx??M EI②横力弯曲：1 M ?x ? ? ? ?x ? EI细长梁 l h ? 5 ，忽略 Fs 影响。 3. 挠曲线的曲率表达式 ①纯弯曲：y1??M EI（ a）M M &0 d2w 0 d x2 &M M M &0 d2w &0 d x2M②横力弯曲： 对细长梁而言， 忽略剪力 Fs 的影ox响1 M ?x ? ? ? ?x ? EI（b ）y dρ(x)③高等数学中对曲率的定义 及表达式ds ? ? d? 1odxd? M ? ds EIx ds??d? ds于是式（a）转化为（c）在我们选定的坐标系内， 若弯矩 M 为正， 则挠曲线向下凸， （如图所示） ， 随着弧长 S 的增加，θ 也是增加的，即正增量 ds 对应的 d ? 也是正的，于 是考虑符号后，式（c）可写成d? M ? ds EI dw tan ? ? dx（d）??d? d? dx d ? ? dw ?? dx ? ? ? arctan ? ?? ? ds dx ds dx ? ? dx ?? dsd2 w dx dx 2 ? 2 ? dw ? ds 1? ? ? ? dx ?ds ??dx ?2? ?dw? d2 w dx 22? dw ? ? 1? ? ? ? dx ? dx ?2注意到d? ? 2 32 ds ? ? dw ? ? ? ? ?1 ? ? d x ? ? ? ? ? ?代入式（d）及：d2 w dx 2 ? ? dw ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ? dx ? ? ? ?32?M EI（e）此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。 在小变形的情况下，梁的挠度 w 一般都远小于跨度，挠曲线 w=f(x)是一 非常平坦的曲线，转角θ 也是一个非常小的角度，于是? ? tan ? ?dw ? f ' ?x ? dx（f）式（e）中 ? ?dw ? ? ? ?1 ，于是式（e）可写成 ? dx ?d2 w M ? dx 2 EI2（g）此式为挠曲线的近似微分方程。§6.3 用积分法求弯曲变形 1. 挠曲线的近似微分方程d2 w M ? dx 2 EIy x=a,a=0 =0对等直梁而言，EI 为常量，于是上式可写成 od2 w EI 2 ? M dxx x =b,=0ya积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程EI dw ? Mdx ? C dxo yax x =c,=0EIw ? ? ? Mdx dx ? Cx ? D???式中 C、D 为积分常数，可由边界条件及连ox续条件确定。2. 边界条件： 在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界 条件。 3. 连续条件： 挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的 挠度和转角这就是连续条件。 4. 刚度条件：w m?x ? ?w?? ? ? ? w?x ? ?t ? ? ?Example1. EI=const Find. Solution. ①列弯矩方程：wmax、θmaxyq1 M ?x ? ? ? qx 2 2(0≤x＜l) ②列微分方程及积分1 EIw' ' ? ? qx2 2 1 EIw' ? EI? ? ? qx3 ? C 6 1 EIw ? ? qx4 ? Cx ? D 24AL③求积分常数 边界条件：当 x=l 时， w' =θ =0，w =0?1 C ? ql 3 61 D ? ? ql 4 8④转角方程及挠度方程：1 1 EIw' ? EI? ? ? qx3 ? ql 3 6 6 1 1 1 EIw ? ? qx 4 ? ql 3 x ? ql 4 24 6 8⑤求θ A,wAql 3 ?A ? 6EI ql 4 wA ? ? 8EI将 x=0 代入以上二式Example2. 内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图， 试求转角方程及挠度方程，wmax、θSolutionmax。yaF bCFb Fa ①求反力： FRA ? , FRB ? l l②列弯矩方程： （AC） M 1 ? （CB） M 2 ?AxRABx2LRBFb x1 l(0≤x1≤a) (a≤x2≤l)Fb x 2 ? F ?x 2 ? a ? l③列微分方程及积分（AC）? ? ? Fb 2 ? EIw1'' ? x1 ? C1 ? 2l ? Fb 3 EIw1 ? x1 ? C1 X 1 ? D1 ? ? 6l ? EIw1'' ? Fb x1 l（CB）Fb ? x 2 ? F ?x 2 ? a ? ? l ? Fb 2 F ? 2 ' EIw2 ? x2 ? ?x2 ? a ? ? C 2 ? 2l 2 ? Fb 3 F 3 EIw2 ? x 2 ? ? x 2 ? a ? ? C 2 X 2 ? D2 ? ? 6l 6 ?'' EIw2 ?④求积分常数 边界条件：当 x1=0 时，w1=0 当 x2=l 时，w2=0 连续条件：当 x1=x2=a 时，w11= w12 ，w1= w2? C1 ? C 2 ?D1=D2=0Fb 2 ?b ? l 2 ? 6l⑤转角方程及挠度方程 （AC）Fb 2 ? 3x1 ? b 2 ? l 2 ? 6l Fb 3 EIw1 ? x1 ? ?b 2 ? l 2 ?x1 6l EIw1' ???? ? ? ? ??a ? ?b ? ?c ? ?d ?（CB）Fb 2 F Fb 2 2 ? 2 ?b ? l ?? x2 ? ?x2 ? a ? ? 2l 2 6l Fb 3 F Fb 2 2 ? 3 ?b ? l ?? EIw2 ? x2 ? ?x2 ? a ? ? 6l 6 6l ?' EIw2 ?⑥最大挠度 wmax，最大转角θFab ?l ? b ? 6 EIl Fab ?l ? a ? 当 x2=l 时， ? B ? 6 EIlmax当 x1=0 时， ? A ? ?若 a＞b，则 ? B ? ? A ,θ 若 a＜b，则 ? B ? ? A 最大挠度 wmaxmax＞θB? m a x? ? Adw ? 0. 时,w 为极值,所以应首先确定 ? 为零的截面位置。若 dx Fab ?a ? b ? ?c ? 在式（a）中，令 x1=a，可求的 3E I l当 w' ? ? ?若 a＞b，则θC 为正值。可见从截面A 到截面 C 转角由负变正，改变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，θ =0 的截面必然在（AC）段。令式 （a）等于零：Fb ?3x 02 ? b 2 ? l 2 ? ? 0 6l l 2 ? b2 x0 ? 3x0 即为挠度为最大值的截面横坐标。以 x0 代入式（b）的最大挠度wmax ? w1x1 ? x0??Fb 9 3EIl?l2? b2?3l l 当 F 作用于中点时，即 a ? b ? , x 0 ? ，最大挠度发生在中点。 2 2wmax ? w1 Fl 3 1? ? x ? x0 ? 48EI 2极端情况，当 F 无限接近右支座时，b2&& l2，b2 可以省略，于是x0 ?l 3? 0.577l Fbl2 9 3EIwmax ? ?可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就 是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最 大挠度，因此，在式（b）中令 x1 ?wl ? ?2l 求出跨度中点挠度为： 2Fb 3l 2 ? 4b 2 48 EI??即是在极端情况下，b→0 时wl ?2Fb Fbl2 ? 3l 2 ? ? 48EI 16EI⑦误差分析： 用 w 代替 wmax 所引起的误差l 2wmax ? ? L wmax2? 2.65%⑧结论 可见在简支梁中，只要挠曲线无拐 点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠 度不会引起很大误差。§6.4 用叠加法求弯曲变形 1. 积分法 ①优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截面的转角和挠度是最基本的 方法。 ②缺点：积分法比较麻烦。 2. 叠加法 ①在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律） ，挠度与转角均与载 荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每 一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时 的变形，这就是弯曲变形的叠加法。 ②为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠 度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。P188-1 Example 1 Given： EI ? const Find：θ Solution：查表 P190ql 3 Fl 2 ? 24EI 16EI ql 3 Fl 2 ? B ? ? Bq ? ? BF ? ? 24EI 16EI 5ql 4 Fl 3 wC ? wCq ? wCF ? ? ? 384EI 48EIA,θB,wC? A ? ? Aq ? ? AF ? ?Example 2. EI ? const Find:：θA,θB,wC, wDSolution：查表 P189-190Fl 2 Mel ? 16EI 6 EI Fl 2 Mel ? B ? ? BF ? ? BMe ? ? 16EI 3EI Fl 3 Mel 2 wC ? wCF ? wCMe ? ? ? 48EI 16EI? A ? ? AF ? ? AMe ? ?Example 3. EI ? const Find:：θA,θB,wC, wDSolution：查表 P188-189Mel qa 2 l ? 6 EI 12EI Mel qa 2 l ? B ? ? BMe ? ? ?? 3EI 6 EI 2 Mel qa 2 l 2 wC ? wCMe ? ? 16EI 32EI? A ? ? AMe ?wD ? wDMe ? wDq ? ? BMe a ? wDqqa3 l ql 4 ?? ? 6 EI 8 EIExample 4. EI ? const Find：θA,wAB xF(x ) )x = q(x ddxASolution：查表 P188Fa ?A ? ? 2 EI Fa 2 ?3l ? a ? wA ? ? 6 EI2q0AAF B x A? q ? x ?x 2 dx d ? ? ? A ? ? 2 EI ? 2 ? ? q x x ?dw A ? ? ?3l ? x ? ? 6 EI ?? q? x ? ? q 0 ?x l以 q?x ?dx 代替以上二式中的 F，以 x 代替 a，然后积分? A ? ??wA ? ?L l q x3 q q?x ?dx? x2 ? ? 0 dx ? ? 0 0 2 EIl 2 EI 2 EIl0??q0 l 3 x dx ? ? 0 8EIl 3?L0q?x ?x 2 ?3l ? x ?dx ? ? q0 6 EI 6 EIl?l0x 3 ?3l ? x ?dx ? ?11q0 l 4 120EI第八章 组合变形§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.4 扭转与弯曲的组合变形§8.1 组合变形和叠加原理 1. 基本变形：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲. 2. 组合变形：物件同时发生两种或两种以上基本变形情况称为组合 变形。 3. 举例?1.塔器 ― ―压弯组合 ? ?2.钻床的立柱― ―拉弯组合 ?3.皮带轮转动轴― ―扭弯组合 ?4.组合变形分析方法 （简化叠加） ① 载荷的简化和分解，把物件上的外力转化成几组静力等效载荷， 其中每一组载荷对应着一种基本变形。 ② 分别计算每一基本变形各自引起的内力，应力应变和位移，然后 将所得结果叠加。 ③ 叠加法建立在叠加原理的基础上： 即材料服从胡克定律，在小变形前提下力 与变形成线形关系。 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合1.工程实例?1.钻床立柱 ― ―拉弯组合 ? ?2.压力机框架立柱― ―拉弯组合 ? ?3.竖立塔器 ― ―压弯组合 ?4.起重机的横梁― ―压弯组合 ?2. 注意： 对受压弯组合的杆件， 只适用于杆件抗弯钢度较大的情况， 才能用叠加法去计算，否则只能按只能按纵横弯曲问题来计算。Example 1.试对发动机阀门机物气的杆 A 进行强度校核。已知凸轮压 力 F=1.6KN,尺寸如图，材料为合金钢， ?? ? ? 200MpaSolution:li 力 F 向杆件轴线简化? max ?FN M 4 ? 1.}