求助，又要选课了 高数老师王雷咋样三这几个老师哪个教
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时间：2017-11-25 17:03
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第一篇:高中数学选修课教案《浅谈直线螺线》教学设计
【教学目标 】 知识目标：使学生学会借助计算机的动画、数据处理的功能，利用数列的有关知识解决 有关直线螺线问题。数学思想目标:培养学生的观察、发现、分析、解决问题和数据处理的能力。培养学生 数形结合、归纳转化的数学思想方法。个性品质目标：培养学生学会学习、学会鉴赏、学会发展、学会创造，和辩证唯物主义 观点以及勇于探索、不断超越自我的创新精神，关注自然、关注生活。重点：螺线中数列性质的发现。难点：在计算机环境下，通过观察动画、收集数据发现直线螺线中的数列性质。【教学模式】 本节课的教学模式采用：创设情景、激发情感、主动发现、主动发展。【教学环境与资源】 本节课的内容和素材以课本知识为依托，源于课本，高于课本，通过生活中的螺线为载 体，以数学知识为工具，收集了大量与螺线相关的图片、资料，经过教师的整理、提炼、组 织、设计制作而成，本课件的教学平台为多媒体教室，主要设备为电脑、音响设备，课件制 作的软件主要有 powerpoint、 《几何画板》 、flash、photoshop 等等。【学法指导】 在教学中， 我注意面向全体， 发挥学生的主体性， 引导学生积极地观察问题， 分析问题， 激发学生的求知欲和学习积极性， 指导学生积极思维、 主动获取知识， 养成良好的学习方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。【教学流程图】 预备课前，放映关于花草 的记录片。
演示花草的图片， 引出斐 波那契数列。
学生观看花草图片， 激发 学习兴趣。
师生共同讨论，由斐波那 契数列推导出黄金比例。
欣 赏 视 频 《 nature by number》 ，感受数学的美。
从鹦鹉螺引出斐波那契 螺线（几何画板演示） 。
学生观察正方形， 探索螺 线构成规律。
师生共同活动，学生用几何画板演示斐波那契螺 线，教师协助。
直线螺线的另一范例等 角螺线 （几何画板演示） 。
学生观察、 收集、 处理数 据，研究图形性质。
师生共同活动，学生用几何画板演示等角螺线， 教师协助指导。师生共同讨论， 解决矩形的长宽之比的取值使得图 形成为等角螺线，简单介绍等角螺线的定义，并求 螺线长。
演示现实生活中包含等角螺 (师生共同活动)。线的图片（摄影、网页等） 。
学生欣赏图片，发现等角螺 线在生活中的应用。
最后研究一个有趣的直 线螺线的图形， 无穷多个 正方形迭加嵌套而成的 图形中的螺线现象， 演示 《几何画板》 。
学生观察正方形的动画， 看图发现图形中的螺线 有几种图形， 让学生进行 开放式的探索和发现 （师 生共同活动） 。
师生共同讨论，研究其中由线、面组成 的螺线图形的几何性质，比如螺线的长 度和面积。
要求学生今天所学的知识，根据自己的 体会，去网上搜索更多关于螺线的知识， 了解螺线在数学中的重要性。【教学程序】 1、 创设情景,实例激趣 用 powerpoint 演示喷嚏麦枝桠生长规律，引出数列 1、1、2、3、5、8、13、21 再从花朵的花瓣数，引出斐波那契数列，通项公式 an?2 ? an?1 ? an (n ? 1)
1 ?1 1 2 1 ? 1? 1 1 3 1 ? 1? 1 2 1? 1 5 1 ? 1? 1 3 1? 1 1? 1 ???????? 由此可得整个数列越往 后，任一项与前一项的 1 ? 比为 1? 1? 根据无限性，可得 ? 1 1 5 ?1 ? x，得到x ? ( x ? 0) x 2 1 1 1 1 ? ..... ?x
2、感悟数学、鉴赏数学： 观看一段视频《nature by number》 ，通过声像并茂、动画生动的视听效果，直观地了解 由斐波那契数列产生的螺线。欣赏生活中的黄金比例存在的网页，艺术品。3、 变换问题，再激新趣 引入螺线的名称， 我们可以把如图每个矩形的长宽之比为 0.618 时构成的螺线称黄金螺线 （不妨设 a＝1，b＝
5 ?1 ） 。2
研究另一个有趣和著名的螺线特征， （用《几何画板》演示）
问题 1：图形的构成有什么特征？ 4、 解决问题，提高能力
设第一个正方形的边长为 x1 ? a ? 1， 第 n 个正方形的边长为 xn （即第 n 个圆弧的半径） ，则由黄金螺线的定义知，
xn x 5 ?1 5 ?1 ，解得 n ?1 ? ? ? (0,1) xn ? xn?1 2 xn 2
?{xn } 组成以 x1 ? a 为首项，公比为 q=
5 ?1 的无穷等比递缩数列， 2
1 4 ＝ ?a ? (3 ? 5 )? 。故黄金螺线的长度为 s ? lim S n ? n?? 1? q 4 3? 5
5、 自主探索，合作发现： 最后，再来研究一个有趣的图形（图 1） ， 用电脑演示移动变化后的图形（图 2、图 3、图 4）
（图 1） （图 2） （图 3） （图 4） 让学生发现： （1）各个正方形的顶点的连线是螺线图。这是由正方形顶点组成的螺线也是著名的螺线，即等角螺线。让学生发现： （2）如果把相邻的三角形的一边颜色涂成同一色，也可以构成一个螺线图案。
让学生发现： (3)如果把相邻的三角形的颜色涂成同一色，也可以构成一个螺线图案。
研究这个图形的性质。比如螺线的长度，阴影的面积。6、 师生互动，完善认知 设正方形的边长为 1， ?BEF ? 15 ，
sin 300 1 ? 0 4(1 ? sin 30 ) 12
2 2 x ?x 2 1 n n ?1 1 2 ? (x ? x ? ) 注意到每一个三角形的面积为 Tk ? ? ? n 4 4 n 2 sin 2 ( ? ) 4 6
2 1 2 1 ]x ? x n ， 0 1 ? sin 30 n 12
1 为首项，以 12
∴ Tn 组成以
1 2 sin 2 (
2 为公比的无穷递缩等比数列 3
1 1 故直线螺线中组成螺线的所有三角形的面积之和为；S＝ 12 ? 。2 4 1? 3
巧解：其实正方形中的四个阴影螺线图形覆盖了正方形，显然每块的阴影螺线的面积相等， 故阴影螺线的面积是
7、 引进网络，开阔视野 让学生上网，搜索下相关的螺线的知识，学生能接触到更多有关斐波那契数列，螺线等的知 识。8、 学习总结，触发美感。通过本节课的学习， 让学生意识到数学的有趣和生动性， 让学生感受生活中的数学无处不在。跟我们的生活息息相关。
教学反思： 1、 本节课是根据斐波那契数列引出螺线的相关知识，引入点生动有趣形象，学生易于 接受。并用相关的数列的知识得出黄金比例的值， 深入的讨论， 使学生细致的思考， 本节课不只是单纯的欣赏课，还有深度的问题。2、 通过几何画板的演示，直观形象的让学生意识到等角螺线的产生过程。限于本节课 时间有限的局限，课外引导学生用几何画板演示等角螺线。3、 让学生上网搜索相关信息，是本节课设计的亮点之一。不同于传统课堂学生视野的 局限性，通过网络这个世界，让学生看到更多有关斐波那契数列，螺线等的知识， 让学习变得生动和主动。教师不应该是学生答案的机器，而是学生获得知识、方法 的引导者，学习动力的激励者，点滴成就的欣赏者。
4、 本节课真正上课时间大概约 50 分钟左右， 在学生搜索信息和小结的时间大概有 10 分钟 左右，在录像上有所删减。第一篇:高中数学选修课教案高中数学选修 4-4 全套教案
平面直角坐标系
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安 全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。情境 2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看 台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题 1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题 2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条 直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对 （x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中， 选择两两垂直且交于一点的三条直线， 当取定这三条直线的交点为原点， 并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
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2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例 1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为 1 的正六边形的顶点。*变式训练 如何通过它们到点 O 的距离以及它们相对于点 O 的方位来刻画,即用”距离和方向” 确定点的位置？
例 2 已知 B 村位于 A 村的正西方 1 公里处,原计划经过 B 村沿着北偏东 60 0 的方向设一 条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米出,发现一古代文物遗址 W.根据初步勘探的结 果,文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问:埋设地下管线 m 的计划需要 修改吗?
*变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距 800 米，并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程
2．在面积为 1 的 ?PMN 中， tan ?PMN ? 求以 M，N 为焦点并过点 P 的椭圆方程
1 , tan ?MNP ? ?2 ，建立适当的坐标系， 2
例 3 已知 Q（a,b）,分别按下列条件求出 P 的坐标 （1）P 是点 Q 关于点 M（m,n）的对称点 （2）P 是点 Q 关于直线 l:x-y+4=0 的对称点（Q 不在直线 1 上）
*变式训练 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。思考 通过平面变换可以把曲线 变换？ 四、巩固与练习 五、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤； 3．什么时候需要建标。五、课后作业：课本 P14 页 1，2，3，4 六、课后反思：
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( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合 9 4
建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性， 需要加强训练。
课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标： 知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法：体会坐标变换的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型：新授课 教学措施与方法：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、阅读教材 P4―P8 问题探究 1：怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? sin 2 x ？ 思考： “保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？ 问题探究 2：怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3sin x ？ 思考： “保持横坐标不变纵坐标缩为原来的 3 倍”的实质是什么？ 问题探究 3：怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3sin 2 x ？ 二、新课讲解： 定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换 ? 注 （1） ? 0, ? ? 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。? x' ? 2 x 例 1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? ' 后的图形。? y ? 3y （1）2x+3y=0; (2) x2 ? y 2 ? 1
?x' ? ? x ? y' ? ? y
(? ? 0) ( ? ? 0)
? x ? ? 3 x, 例 2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换 ? 后，曲线 C 变为曲线 x? 2 ? 9 y ? 2 ? 9 ， y? ? y ? 求曲线 C 的方程并画出图象。三、知识应用： 1、已知 f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? sin ?x （ ? ? 0) f 2 ( x) 的图象可以看作把 f 1 ( x) 的图象在其所
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1 在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的，则 ? 为（ ） 3 1 1 A． B .2 C.3 D. 2 3 ? x? ? 5x 2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换 ? 后，曲线 C 变为曲线 2x?2 ? 8 y?2 ? 1, 则 ? y? ? 3 y
曲线 C 的方程为（
2 2 8 2 x ? y ?1 25 9 1 ? ? x? ? 2 x 3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形。1 ? y? ? y 3 ? （1） 5 x ? 2 y ? 0;
A． 25x2 ? 36 y 2 ? 1 B. 9 x2 ? 100 y 2 ? 1 C． 10 x2 ? 24 y 2 ? 1
（2） x 2 ? y 2 ? 1 。四、知识归纳：设点 P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ? x? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下，点 P(x,y)对应到点 P?( x?, y ?) ，称 ? 为平面直角坐标系 ?:? ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0), 中的坐标伸缩变换 五、作业布置：
? ? 1 ?x ? 4 x ? 2 1、抛物线 y ? 4x 经过伸缩变换 ? 后得到 1 ? y? ? y ? 3 ? 2 y? ? 1 的伸缩变换为 2、把圆 x2 ? y 2 ? 16 变成椭圆 x?2 ? 16 3、在同一坐标系中将直线 3x ? 2 y ? 1 变成直线 2x' ? y' ? 2 的伸缩变换为 ? ? 1 ?x ? x 4、把曲线 y ? 3sin 2 x 的图象经过伸缩变换 ? 2 得到的图象所对应的方程为 ? y? ? 4 y ? ? x? ? 2 x ? 5、 在同一平面直角坐标系中， 经过伸缩变换 ? 曲线 C 变为 x?2 ?16 y?2 ? 4x? ? 0 ， 1 后， y? ? y ? ? 2
则曲线 C 的方程 六、反思：
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课题：1、极坐标系的的概念 教学目的： 知识目标：理解极坐标的概念 能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别. 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引 爆？ 情境 2： 如图为某校园的平面示意图， 假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置？该位 置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描 述？ 问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎 样的坐标系呢？ 问题 2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画 点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜 2 中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用 方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度 的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个极坐标系。（其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M，用 ? 表示线段 OM 的长度， 用 ? 表示从 OX 到 OM 的角度， 叫做点 M 的极径， ? ? 叫做点 M 的极角，有序数对（?，?）就叫做 M 的极坐标。特别强调： 由极径的意义可知 ?≥0;当极角 ? 的取值范 围是[0,2 ? )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（?，?）建
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立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 ?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径 ? 允许取负值，极角 ? 也可以去任意的正角或负角 当 ?＜0 时，点 M （?，?）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= ? 。M （?，?）也可以表示为 ( ? ,? ? 2k? )或(?? ,? ? (2k ? 1)? ) (k ? z ) 4、数学应用 例 1 写出下图中各点的极坐标（见教材 14 页） A（4，0）B（2 ）C（ ） D（ ）E（ ）F（ ） G（ ） ① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是 ? =0， ? 可以取任意角。变式训练 在极坐标系里描出下列各点 5? 5? ? 4? A（3，0） B（6，2 ? ）C（3， ）D（5， ）E（3， ）F（4， ? ）G（6， 6 3 2 3 点的极坐标的表达式的研究 5? ? 例 2 在极坐标系中，(1)已知两点 P（5， ） (1, ) ，求线段 PQ 的长度； ，Q 4 4 ? (2)已知 M 的极坐标为（?，?）且 ?= ，? ? R ，说明满足上述条件的点 M 的位置。3 变式训练 5? 5? 7? 1、若 ?ABC 的的三个顶点为 A(5, ), B(8, ), C (3, ), 判断三角形的形状 . 2 6 6 2、若 A、B 两点的极坐标为 ( ?1 ,?1 ), ( ? 2 ,? 2 ) 求 AB 的长以及 ?AOB 的面积。为极点） （O 例 3 已知 Q（?，?） ，分别按下列条件求出点 P 的极坐标。（1） P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； ? （2） P 是点 Q 关于直线 ? ? 的对称点； 2 （3） P 是点 Q 关于极轴的对称点。变式训练 ? 1.在极坐标系中,与点 ( ?8, ) 关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) 6 ? 5? 5? ? A(8, ), B(8,? ), C (?8, ), D(?8,? ) 6 6 6 6 ? 5 2 在极坐标系中， 如果等边 ?ABC 的两个顶点是 A(2, ), B(2, ), 求第三个顶点 C 的坐标。4 4 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。2．极坐标系的基本
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要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。五、课后作业： 六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气 氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。课题：2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的： 知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题 1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题 2：平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3) ，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课： 直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度 单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ，则由三角函数的定 义可以得到如下两组公式： ? 2 ? x2 ? y2 x ? ? cos? { { y y ? ? sin ? tan? ? x 说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 通常情况下， 将点的直角坐标化为极坐标时， ? ≥ 取 0， 0 ≤ ? ≤ 2? 。3 互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三．举例应用： 2? 例 1． （1）把点 M 的极坐标 (8, ) 化成直角坐标 3 （2）把点 P 的直角坐标 ( 6 ,? 2 ) 化成极坐标
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? ? 在极坐标系中,已知 A(2, ), B(2,? ), 求 A,B 两点的距离 6 6
例 2.若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系. 5? (1)已知 A 的极坐标 (4, ), 求它的直角坐标, 3 (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为 (2,?2)和(0,?15) 求它们的极坐标. ( ? ＞0,0≤ ? ＜2 ? ) 变式训练 把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 ? ＞0,0≤ ? ＜ 2? ) A(?1,1), B(0,?2),C (3,4), D(?3,?4)
? 2? 例 3.在极坐标系中,已知两点 A(6, ), B (6, ) . 6 3 求 A,B 中点的极坐标.
? ? 在极坐标系中,已知三点 M (2,? ), N (2,0), P(2 3 , ) .判断 M , N , P 三点是否在一条直线 3 6 上.
四、巩固与练习：课后练习 五、小 结：本节课学习了以下内容： 1．极坐标与直角坐标互换的前提条件； 2．互换的公式； 3．互换的基本方法。五、课后作业： 六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿 操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这 点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。但教学时间不足。
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三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为 (a,0)(a&0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(?,?)满足的条件？ 解：设 M (?,?)是圆上 O、A 以外的任意一点，连接 AM， 则有：OM=OAcosθ ，即：ρ ＝2acosθ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点 O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的点 在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个 极坐标方程的曲线。例 1、已知圆 O 的半径为 r，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系；
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②设点；M（ρ ，θ ） ③列式；OM＝r， 即：ρ ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为 a； (２)中心在(a,?/2)，半径为 a； (３)中心在Ｃ(a,?０)，半径为 a 答案：(1)?＝2acos ? (2) ?＝2asin ? (3) ?＝２a cos(? ? ?0 ) 例 2． （1）化在直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 为极坐标方程， ? （2）化极坐标方程 ? ? 6 cos( ? ? ) 为直角坐标方程。3 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1 为半径的圆的方程是 (C) ?? ?? ? ? A.? ? 2cos ?? ? ? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? 4? ? ? C.? ? 2cos ?? ? 1? D.? ? 2sin ?? ? 1? 2.极坐标方程分别是ρ ＝cosθ 和ρ ＝sinθ 的两个圆的圆心距是多少？
3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)?＝２cos(? -
4 (3)?＝3 sin ?
(2)?＝cos( (4) ?＝６
4．填空： (1)直角坐标方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 0的 极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程2 x－y＋１? 0的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程x ?３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材 P28 1，2
? 1．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C (3, ) ，半径 r ? 3 ， 6 （1）求圆 C 的极坐标方程。（2）若 Q 点在圆 C 上运动， P 在 OQ 的延长线上，且 OQ : OP ? 3 : 2 ，求动点 P 的 轨迹方程。
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课题：2、直线的极坐标方程 教学目标： 知识与技能：掌握直线的极坐标方程 过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点：直线的极坐标方程的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、探究新知： 阅读教材 P13-P14 l ? 探究 1、直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角是 ，如何用极坐标方程表示直线 l 4
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
探究 2、如何表示过点 A(a, 0)(a ? 0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程，化为直角坐 标方程是什么？过点 A(a, 0)(a ? 0) ，平行于极轴的直线 l 的极坐标方程呢？
二、知识应用： 例 1、已知点 P 的极坐标为 (2, ? ) ，直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为 坐标方程。
? ，求直线 l 的极 3
例 2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 5? ( ? ? R) （1） ? ? （2） ? (2cos ? ? 5sin ? ) ? 4 ? 0 4
? （3） ? sin(? ? ) ? 4 3
? 2 例 3、判断直线 ? sin(? ? ) ? 与圆 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 的位置关系。4 2
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三、巩固与提升： P15 第 1，2，3，4 题
四、知识归纳： 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置： 1、在直角坐标系中，过点 (1, 0) ，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A ? sin ? ?1 B ? ? sin ? C ? cos ? ? 1 D ? ? cos ? ? 2、与方程 ? ? ( ? ? 0) 表示同一曲线的是 （ ） 4 ? 5? 5? ? ( ? ? 0) C ? ? ( ? ? R) A ? ? ( ? ? R) B ?? D ? ? ( ? ? 0) 4 4 4 4 ? 3、在极坐标系中，过点 A(2, ? ) 且与极轴平行的直线 l 的极坐标方程是 2 4、在极坐标系中，过圆 ? ? 4cos? 的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 3? 5、在极坐标系中，过点 A(2, ) 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 4 7? ? 2 6、已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ，求点 A(2, ) 到这条直线的距离。4 4 2
7、在极坐标系中，由三条直线 ? ? 0,? ?
, ? cos ? ? ? sin ? ? 1 围成图形的面积。
六、反思：
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柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设 P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q，连接 OP，记| OP |= r ，OP 与 OZ 轴正向所夹的角为 ? ，P 在 oxy 平面的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 ? ，点 P 的位置可以用有序数组 (r ,? , ? ) 表示，我们把建立上述对应关 系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组 (r ,? , ? ) 叫做点 P 的球坐标，其中 r ≥0，0≤ ? ≤ ? ，0≤ ? ＜2 ? 。空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 之间的变换关系为：
?x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos? ?
2、柱坐标系 设 P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q，用(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ &2π )表示 点在 平面 oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组(ρ ,θ ,Z)表示把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点 P 的柱坐标，其中ρ ≥0, 0≤θ &2π , z∈R 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ ,θ ,Z)之间的变换关系为：
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3、数学应用
? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? ? z?z ?
例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点.
变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点. 例 2.将点 M 的球坐标 (8,
) 化为直角坐标.
变式训练 1.将点 M 的直角坐标 (?1,?1, 2 ) 化为球坐标. ? 2.将点 M 的柱坐标 ( 4, ,8) 化为直角坐标. 3 (a, a, a) (a ＞0)的球坐标是什么? 3.在直角坐标系中点 例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练 标满足方程 ? =2 的点所构成的图形是什么?
例 4.已知点 M 的柱坐标为 ( 2 ,
,3), 点 N 的球坐标为 (2,
, ), 求线段 MN 的长度. 4 2
? ? ? ? 在球坐标系中,集合 M ? ?(r ,? , ? ) 2 ? r ? 6,0 ? ? ? ,0 ? ? ? 2? ? 表示的图形的体 2 ? ? ? 积为多少?
三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。五、课后作业：教材 P15 页 12，13，14，15，16
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六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少 用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。
第二章 【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方 程及其简单应用。3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。第一课时 一、教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方 程，体会参数的意义。2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程 （一） ．参数方程的概念 1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为 角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1） 、斜抛运动：
参数方程的概念
0 ，与地面成
? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 (t为参数） ? y ? v0 sin ? ? t ? 2 gt ?
（2） 、抽象概括：参数方程的概念。说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。（2）参数是联系变量 x，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。（3）平抛运动：
第 15 页 共 33 页 y 500 v=100m/s A
? x ? 100t ? ? 1 2 (t为参数） ? y ? 500 ? 2 gt ?
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹 的参数方程消去参数 t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。（二） 、应用举例：
? x ? 3t 例 1、已知曲线 C 的参数方程是 ? (t 为参数)（1）判断点 2 ? y ? 2t ? 1
（2）已知点 M 3 (6,a)在曲线 C 上，求 a 的值。M 2 (5,4)与曲线 C 的位置关系； 分析：只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。
例 2、设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀速（角速度）运动，角速度为 60 rad/s,试以时间 t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。解析：如图，运动开始时质点位于 A 点处，此时 t=0，设动点 M（x,y）对应时刻 t,由图
x ?2cos? y ? 2sin?
? 又? ? 60 t ，得参数方程为
? x ? 2 cos 60 t ? y ? 2sin 60 t
(t ? 0) 。
反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。（三） 、课堂练习：
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（四） 、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教 师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。（五） 、作业： 补充：设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行，若在飞行高度 h=588m 处投弹（设投弹 的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程； 。（2） 试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简解： 1） （
? x ? 150t ? 2 ? y ? 588 ? 4.9t (t为参数) 。（2）1643m。
五、教学反思：
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第二课时 一、教学目标：
圆的参数方程及应用
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几 何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一） 、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?
(?为参数) 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。
说明： （1）参数θ 的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同， 参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注 明参数及参数的取值范围。
?x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 (?为参数)所表示圆的圆心坐标、 半径，并化为普通方程 。? ? y ? 3 ? 2 sin ?
3、若如图取&PAX=θ ，AP 的斜率为 K，如何建立圆的参数方程，同学们讨论交流，自我
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解决。结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。（二） 、应用举例 例 1、已知两条曲线的参数方程
45 c1 : ?y ?5sin? (? 为参数）和c 2 : ?y ?3?t sin 450 (t为参数）
（1） 、判断这两条曲线的形状； 、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对 （2） 问题讲评。（三） 、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例 2、1、已知点 P（x，y）是圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 上动点，求（1） x 2 ? y 2 的最 值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。解： x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 即 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ， 圆 用参数方程表示为 { 由于点 P 在圆上，所以可设 P（3+cosθ ，2+sinθ ） ， （1） x 2 ? y 2 ? (3 ? cos? ) 2 ? (2 ? sin ? ) 2 ? 14 ? 4 sin ? ? 6 cos? ? 14 ? 2 13 sin(? ? ? ) (其中 tan ? =
3 ) ∴ x 2 ? y 2 的最大值为 14+2 2
x ? 4 ? t cos
x ? 3 ? cos? y ? 2 ? sin ?
13 ，最小值为 14- 2 13
(2) x+y= 3+cosθ + 2+sinθ =5+ 2 sin（ θ + 最小值为 5 - 2 。
? 4 ）∴ x+y 的最大值为 5+
3 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 2
4 ? 2 sin(? ? ? 2
显然当 sin（ θ +
? 4 ）= ? 1 时，d 取最大值，最小值，分别为 1 ? 2 2 ， 1 ? 2 2 .
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2、 过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦： 为最长的直线方程是_________； 为最短的直线方程是__________； 3、若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0，则 x-2y 的最大值为 （三） 、课堂练习：学生练习：1、2 （四） 、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、 参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参 数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。（五） 、作业： 1、方程 x 2 ? y 2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0 (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D） A．一个定点 2、已知 ? B．一个椭圆 C．一条抛物线 的最大值是 6。D．一条直线 。
? x ? 2 ? cos? (?为参数) ，则 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? y ? sin?
8．曲线 x 2 ? y 2 ? 2 y 的一个参数方程为 ? 五、教学反思：
? x ? cos? (?为参数) ? y ? 1 ? sin?
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第三课时 一、教学目标：
圆锥曲线的参数方程
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一） 、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?
（ ? 为参数） （ ? 为参数）
? x ? x0 ? r cos? （2）圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为： ? ? y ? y 0 ? r sin ?
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二） 、讲解新课：
x2 y2 1.椭圆的参数方程推导：椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
? x ? a cos? （ ? 为参数）,参 ? ? y ? b sin ?
数 ? 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。
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2.双曲线的参数方程的推导： 双曲线
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
? x ? a sec? （ ? 为参数） ? ? y ? b tan?
参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹 角。
? x ? 2 Pt 2 3.抛物线的参数方程：抛物线 y ? 2Px 参数方程 ? （t 为参数）,t 为以抛物 ? y ? 2 Pt
线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。（1） 、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的 两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际 上是一个方程组，其中 x ， y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。（3） 、参数方程求法： （A）建立直角坐标系，设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ； （B） 选取适当的参数； （C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点 P 坐标与参 数的函数式； （D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的 关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数；与旋转的有关问题
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选取角 ? 做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
x2 y2 4、椭圆的参数方程常见形式： （1） 、椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 参数） ；椭圆 2 的参数方程是 b a 2
? x ? a cos? （? 为 ? ? y ? b sin ?
x ?b cos? y ?a sin?
(?为参数，且0 ? ? ? 2?）.
（ 2 ） 以 ( x 0, y ) 为 中 心 焦 点 的 连 线 平 行 于 x 轴 的 椭 圆 的 参 数 方 程 是 、
x 0 ? a cos? {y ? y ?b sin? (? 为参数） （3）在利用 ?x ? a cos? 研究椭圆问题时，椭圆上的点的 。? 0 ? y ? b sin ?
坐标可记作（acos ? ,bsin ? ） 。（三） 、巩固训练
1 ? ?x ? t ? t (t为参数) 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 。1、曲线 ? 1 ?y ? t ? t ?
2、曲线 ? A．
? x ? cos? ? y ? sin?
(?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
? x ? 3 cos? 3、已知椭圆 ? ? y ? 2 sin ?
( ? 为参数) 求 （1） ? ?
时对应的点 P 的坐标
（2）直线 OP 的倾斜角 （四） 、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参 数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方 程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。（五） 、作业： 五、教学反思：
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第四课时 一、教学目标：
圆锥曲线参数方程的应用
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。教学难点：正确使用参数式来求解最值问题 三、教学模式：讲练结合，探析归纳 四、教学过程： （一） 、复习引入： 通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题， 从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。（二） 、讲解新课： 例 1、双曲线{
x ?2 3 tan ? y ?6sec?
(?为参数）的两焦点坐标是
答案： （0，-4 3 ）（0，4 3 ） ， 。学生练习。
e ?e 例 2、方程{ y ? t ? ? t e e
（t 为参数）的图形是 双曲线右支
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。
例 3、 P 是椭圆 36 设
? 1 在第一象限部分的弧 AB 上的一点，求使四边形 OAPB
的面积最大的点 P 的坐标。分析： 本题所求的最值可以有几个转化方向， 即转化为求
最大值或者求点 P 到 AB 的最大距离，或者求四边形 OAPB 的最大值。学生练习，教师准对问题讲评。? = 4 时四边形 OAPB 的最大值=6 2 ，此时点 P 【 为（3 2 ，2）】 。
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（三） 、巩固训练 1、直线 ? A． 或 2、椭圆
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切，那么直线的倾斜角为（A） ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?
? 3? 或 4 4
? 2? 或 3 3
? 5? 或? 6 6
x2 y2 ? ? 1 （ a ? b ? 0 ）与 x 轴正向交于点 A，若这个椭圆上存在点 P，使 OP a2 b2
⊥AP， 为原点） （O ，求离心率 e 的范围。3、抛物线 y 2 ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接 三角形的周长。4、设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点， F1 ， F2 为两个焦点，证明 F1 P ? F2 P ? OP 5、求直线 ?
?x ? 1 ? t ?y ? 1? t (t为参数） 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得 t=±1,分别代入直线 方程,得交点为（0，2）和（2，0） 。（三） 、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问 题，选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。（四） 、作业： 练习：在抛物线 y 2 ? 4ax (a ? 0) 的顶点，引两互相垂直的两条弦 OA，OB，求顶 点 O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。五、教学反思：
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第五课时 一、教学目标：
直线的参数方程
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一） 、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
? x ? r cos? 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?
（ ? 为参数）
? x ? x0 ? r cos? （2）圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为： ? ? y ? y 0 ? r sin ?
2．写出椭圆参数方程.
（ ? 为参数）
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参 数方程? （二） 、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线 L 的倾斜角是 30 ，并且经过点 P（2，3） ，如何描述直 线 L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线 L 经过两个 定点 Q（1，1） ，P（4，3） ， 那么又如何描述直线 L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的 参数方程
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? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
（ t 为参数）
【辨析直线的参数方程】 ：设 M(x,y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是指 ???? ? 从点 P 到点 M 的位移，可以用有向线段 PM 数量来表示。带符号. （ 2 ） 经 过 两 个 定 点 Q ( x1, y ) ， P ( x 2, y ) ( 其 中 、
)的直线的参数方程为
Y L P M Q A N B
x1?? X 2 1?? y1?? y 2 1??
(?为参数，? ? ?1) 。其中点
M(X,Y)为直线上的任意一点。这里
??? ? 参数 ? 的几何意义与参数方程 （1） 中的 t 显然不同， 它所反映的是动点 M 分有向线段 QP
。当 ? ? o 时，M 为内分点；当 ? ? o 且 ? ? ?1 时，M 为外分点；当 ? ? o 时，
点 M 与 Q 重合。（三） 、直线的参数方程应用，强化理解。1、例题： 学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参 数方程求交点。2、巩固导练：
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补充：1、直线 ? 为（A） A． 或
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切，那么直线的倾斜角 ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?
? 3? 或 4 4
? 2? 或 3 3
? 5? 或? 6 6
? x ? 1 ? 2t , 2、(2009 广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 ? y ? 2 ? kt. ? x ? s, （ s 为参数）垂直，则 k ? ． l2 : ? ? y ? 1 ? 2s. ? x ? 1 ? 2t , k 解：直线 l1 : ? (t为参数) 化为普通方程是 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ， 2 ? y ? 2 ? kt. k 该直线的斜率为 ? ， 2 x ? s, ? 直线 l2 : ? （ s 为参数）化为普通方程是 y ? ?2 x ? 1 ， ? y ? 1 ? 2s. 该直线的斜率为 ? 2 ， ? k? 则由两直线垂直的充要条件，得 ? ? ? ? ?? 2? ? ?1 ， k ? ?1 。? 2?
（四） 、小结： （1）直线参数方程求法； （2）直线参数方程的特点； （3）根据已知条件 和图形的几何性质，注意参数的意义。（五） 、作业：
?x ? 1? t 补充： (2009 天津理)设直线 l1 的参数方程为 ? （t 为参数） ，直线 l2 的 ? y ? 1 ? 3t 方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。| 4 ? 2 | 3 10 解析：由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ，故它与与 l2 的距离为 。? 5 10 五、教学反思：
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第六课时 一、教学目标：
参数方程与普通方程互化
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：参数方程与普通方程的互化 教学难点：参数方程与普通方程的等价性 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一） 、复习引入： （1） 、圆的参数方程； （2） 、椭圆的参数方程； （3） 、直线的参数方程； （4） 、双曲线的参数方程。（二） 、新课探究： 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数 （3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 ：在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一 致性，必须根据参数的取值范围，确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。
? x ? r cos? （1）圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?
（ ? 为参数） （ ? 为参数）
? x ? x0 ? r cos? （2）圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为： ? ? y ? y 0 ? r sin ?
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
? x ? a cos? （ ? 为参数） ? y ? b sin ? ?
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（4）双曲线
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
? x ? a sec? （ ? 为参数） ? ? y ? b tan?
? x ? 2 Pt 2 （5）抛物线 y 2 ? 2Px 参数方程 ? （t 为参数） ? y ? 2 Pt
（6）过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程
? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
（ t 为参数）
3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。（二） 、例题探析 例 1、将下列参数方程化为普通方程
? ? x ? t ? 2t （1） ? ?y ? t 2 ? 2 ?
? x ? sin ? ? cos? （2） ? ? y ? sin 2?
2 ? ?x ? 1 ? t 2 ? （4） ? ? y ? 2t ? 1? t2 ? 1 ? ? x ? 2(t ? t ) ? （5） ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?
t ?1 ? ?x ? t ? 2 ? （3） ? ? y ? 2t ? t?2 ?
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
?x ? 1 ? 2 t ? （1） ? ?y ? 3 ? 4 t ?
x? t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2
（t 是参数）
x ? 2 cos? y ? cos 2?
（ ? 是参数）
（t 是参数）
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。例 3、已知圆 O 半径为 1，P 是圆上动点，Q（4，0）是 x 轴上的定点，M 是 PQ 的中点， 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程。学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。（三） 、巩固导练：
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1 ? ?x ? t ? 1、 （1）方程 ? t ?y ? 2 ?
A、一条直线 C、一条线段
表示的曲线（
B、两条射线 D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程 y 2 ? x 表示同一曲线的点
?x ? t A、 ? 2 ?y ? t
? x ? sin 2 t ? B、 ? ? y ? sin t ?
?x ? 1 ? 1 C、 ? ?y ? t
1 ? xos2t ? ?x ? D、 ? 1 ? cos2t ? y ? tant ?
? x ? 4 sin ? 2、P 是双曲线 ? （t 是参数）上任一点， F1 ， F2 是该焦点： ? y ? 3 tan?
求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。3、 已知 P( x, y) 为圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上任意一点，求 x ? y 的最大值和最小值。（四） 、小结：本节课学习了以下内容：熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几 种方法。抓住重点题目反思归纳方法，进一步深化理解。（五） 、作业： 五、教学反思：
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第七课时 一、教学目标：
圆的渐开线与摆线
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一） 、复习引入：复习：圆的参数方程 （二） 、新课探析： 1、以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的
? x ? r (cos? ? ? sin ? ) 参数方程为 ? ? y ? r (sin ? ? ? cos? )
（ ? 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点 M 滚动时落在直线上的一个 位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为。
? x ? r (? ? sin ? ) ? ? y ? r (1 ? cos? )
（ ? 为参数）
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（三） 、例题与训练题： 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程 变式训练 1 当? ?
? x ? cos? ? ? sin ? ， ? 时，求圆渐开线 ? 2 ? y ? sin ? ? ? cos?
上对应点 A、B 坐标并
求出 A、B 间的距离。变式训练 2
? ? ? x ? 2 (cost ? t sin t ) 求圆的渐开线 ? 上当 t ? 对应的点的直角坐标。4 ? y ? 2 (sin t ? t cost ) ?
例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程
? x ? t ? sin t 变式训练 3： 求摆线 ? ? y ? 1 ? cost
0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标
例 3、设圆的半径为 8，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O，记圆上动点为 M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此 曲线上纵坐标 y 的最大值，说明该曲线的对称轴。（四） 、小结：本节课学习了以下内容： 1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。（五） 、作业： 五、教学反思：
第 33 页 共 33 页第一篇:高中数学选修课教案高中数学选修 4-1 全套教案 一 平行线分线段成比例定理
教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。1．求出下列各式中的 x：y。（1）3x=5y； （2）x=
2 y ； （3）3：2= ? ： ? ； （4）3： ? =5： ? 。3
? 7 ? 。? ,求 ? 2 ? ??
z x? y?z 。,求 4 2x ? 3y ? z
其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各自解答，指定 2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。（二）新知识的教学 1．提出问题，使学生思考。在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答，如果答出定理――过三角形一边的中点 与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答 不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，
AE AF 1 ? ? ，并 EB FC 1 AE 1 指出此定理也可谓： 如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点， 且 ? ， EB 1 AE AE 1 EF//BC 交 AC 于 F 点，那么 ? ? 。EB FC 1
则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 2．引导学生探索与讨论。就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 时，
AE AE 2 1 不等于 ，譬如 = EB EB 3 1
AF 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”――配合着黑板 FC
上画出的相应图观察、明确。而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明 确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比 着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行
证明。继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理――过梯形一腰的 中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2） ，并随即提出问题：
在梯形 ABCD 中， EF//BC 的条件不变， E 不是 AB 的中点， 但 仍如 也等于
AE 2 DF = ， 那么是否 EB 3 FC
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图 3） 。
就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含 EF 的延 长线） ，也得到
AE 2 AF = = （补足图 3 中的比例式） 。EB 3 FC
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明， 首先引导学生就图 1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题： 对于图 3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图 3 中梯 形的各线段，得出图 4，并使观察、试述出： 三条平行线 l1// l 2 // l 3 在直线 k 1 、 k 2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1 B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2 2 BB 2 AA BB = ，那么 1 2 = ，即 1 2 = 1 2 。A2 A3 3 B2 B3 3 A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。进一步提出： 并概括为：
A1 A2 m BB m = （m、n 为自然数） ，那么怎样证明 1 2 = ？并使学生试证， A2 A3 n B2 B3 n
三条平行线 l1// l 2 // l 3 在直线 k 1 、 k 2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1 B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 B1 B2 = 。A2 A3 B2 B3
在此基础上，教师提出问题：由
A1 A2 B1 B2 = ，利用比例的性质还可得到哪些比例式？ A2 A3 B2 B3
A2 A3 B2 B3 AA BB = ， 1 2 = 1 2 ，等） A1 A2 B1 B2 A1 A3 B1 B3
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含 的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。（三）应用举例 例 1（1）已知：如图 5， l1// l 2 // l 3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。（2）已知：如图 6， l1// l 2 // l 3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
（3）已知：如图 7， l1// l 2 // l 3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。（4）已知：如图 8， l1// l 2 // l 3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由； （2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口 答。例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法” ，又指明“量法”的不足，最 后使他们实践。（四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等 分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况， “证明”平行线分线段成比例定理是通过 转化为平行线等分线段定理来解决的。2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应 线段，否则就会产生错误。（五）布置作业
补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。四、教学过程： 一、复习 1．求出下列各式中的 x：y。（1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。2．已知 x:y=7:2，求 x:(x+Y) 3．已知 x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z) 二、新课学习
1．提出问题，使学生思考。如果两条线段的比是 1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中， 有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学）， 如果答出定理――过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那 么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点， 则 AF=FC） 使学生观察， 并予以分析而得出， 并指出此定理也可谓：如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点,且 EF//BC 交 AC 于 F 点， 如果 AE:EB=1:1， 那么 AE:EB=AF:FC=1:1。2．引导学生探索与讨论。就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 AE:EB 不等于 1:1，譬 如 AE:EB=2:3 时，AF:FC 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出 “猜想”――配合着黑板上画出的相应图观察、明确。而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理――过梯形 一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即提出
问题： 如果 E 不是 AB 的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果 AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？ 引导学生得出 AE:EB=AF:FC 之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理 强调对应线段：
问 AE:CF=AF:EB 成立吗？ 4、例 1 讲解（略) 变式：
已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。
已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。5、例 2 讲解：(略）
分析：已知是给出了&上：下&的比的形式，而结论是求&上：全&，故考虑运用合 比性质。三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明， 平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的 第一个端点来定左、右 四、作业
平行线分线段成比例定理
目的与要求： 1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实 用价值。重点与难点： 重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用 难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。主要教法：综合比较法 一、 复习引入： 1、 2、 平行线分线段成比例定理及推论 △ABC 中， DE∥BC， 若 则
AD AE DE 相等吗？为什 ? , 它们的值与 AB AC BC
么？ 二、 新课： 例 1：已知：如图，DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E
AD AE DE ? ? AB AC BC DE AD AE 分析： 中的 DE 不是△ABC 的边 BC 上，但从比例 ? ,可 BC AB AC
以看出，除 DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将 DE 移到 BC 边上去得 CF=DE，然后再证明
AD CF 就可以了，这只要过 D ? AB BC
作 DF∥AC 交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。结论：平行于三角形的一边，并且和其他 两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原 三角形的三边对应成比例。例 2：已知：△ABC 中，E、G、D、F 分别是边 AB、CB 上的一点，且 GF ∥ED∥AC，EF∥AD 求证：
BG BD ? . BE BC
例 3、已知：△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， 过 C 任作一直线交 AD 于 E，交 AB 于 F。求证：
AE 2 AF ? ED FB
例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AG∥BC，求 证：
EG AF ? ED FC AG （DC=BD） DC
例 5：已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC， 求证： 长线于 E. 例 6：△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 M， 求证：
BD AB ? DC AM AB BD ，过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延 ? AC DC
再证：△MEF≌△CED （由三线合一：ME=EC） 三、 练习： 四、 小结： 1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两 个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定 理的区别。2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也
可以用这个定理。五、 作业 六、 弹性练习： 1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6 求 CD 的长。过 E 作 EH⊥CD 于 H，交 AB 于 G 2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，AB=12， BC=10，AC=8， 求：BD、DC 及 AF 的长。6 4
已知：如图，B 在 AC 上，D 在 BE 上，且 AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
求 AD:DF 过 D 作 DG∥AC 交 FC 于 G（还可过 B 作 EC 的平行线）
DG ED 2 2 ? ? ? DG ? BC BC EB 3 3 1 2 2BC= AC ? DG ? AC 3 9 DF DG 2 2 ? ? ? ? DF ? AF AF AC 9 9 7 从而 AD= AF 故 AD:DF=7:2 9
△ABC 中，DE∥BC，F 是 BC 上一点。
AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm 求(1)DE 的长 (2)
S ?ABC S ?ADE
平行线分线段成比例定理
教学目标 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 2.能初步应用定理及推论进行解题. 教学重点 教学难点 教学过程 一、复习提问： 1. 什么是平行线等分线段定理？ 2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且 AB=BC,则 的比值是多少？ 定理及推论的内容及应用. 定理结论的推理过程.
二、新课讲解： 1.平行线分线段成比例定理
从图 （1） 知， AD∥BE∥CF,且 AB=BC 时， DE=EF,也就是 可 当 则
接着象教材一样，说明
要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到 的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当 AD∥BE∥CF 时，都可得到 = .
接着应用比例的性质。举例得到：
从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例. 注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上. （2）强调对应的意义，并说明上述 6 个比例式中的任何一个都可推导出其他 5 个来.
（3）用形象化的语言描述如下：
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2） 2.定理的应用 （1） 课本例 1
已知：如图，l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4.求 BC. 练习一
(1)如图（6）如果 AE:EB=AF:FC,那么 EF 与 BC 的关系是 若 AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形 EBCD 是 （2） 如图 （7） 若 DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则 EC= ， 则 EC= .若 AD:DB=2:3,EC-AE=2,则 AE= ,EC= （3）如图（8），DE∥AB,那么 AD:DC= ,BC:CE= 形。.若 AD=3,DB=7,AC=8, . 。
（4）如图（9），在梯形 ABCD 中，AD∥BC,E 是 AB 上一点，EF∥BC 交 CD 于 F，若 AE=2,CD=7,则 FC= ,DF= . (2)课本例 2。说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。练习二 1，已知，如图（10），D,E,F 分别在△ABC 的边 AB,AC,BC 上，且 FCED 是平行四 边形，若 BD=7.2,BF=6,AC=8&AD=4,求的周长。
2，已知，如图（11），在△ABC 中，D 是 AB 的中点，F 是 BC 延长线上的点，连结 DF 交 AC 于 E，求证：CF:BF=CE:AE.
平行线分线段成比例定理
一、教学目标： ㈠知识与技能： 1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。2．用推论进行有关计算和证明。㈡教学思考： 通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。㈢解决问题： 学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性， 感悟比例中间量的作用。㈣情感态度： 1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。二、教学重点：推论及应用 三、教学难点：推论的应用 四、教学方法：引导、探究 五、教学媒体：投影、胶片 六、教学过程： 【活动一】引入新课 问题 1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？
学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。在本次活动中，教师应重点关注： 1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。【活动二】探究推论 问题 2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否 还成立？ 问题 3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？
l1 l2 l3 B D
教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。推论：投影出示。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。2．学生能否用定理证明所得推论。设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。【活动三】 问题 4 看图说比例式
? 1 ? DE BC C D B E B ? 2 ? AB A C A D F D C DE E ?3? ABCD E
学生结对子，师生结对子说出比例式。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。3．学生能否体会由平行得出多个比例式。设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。【活动四】 教学例 3 问题 5 已知：如图：BC∥DE，AB=15，AC=9，BD=4， 求：AE
学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生能否顺利写出解决问题的比例式； 2．在小组交流中学生能否在探究中发现解决问题的多种途径及最佳方案。设计意图：以学生分组讨论方式展开探究活动，培养学生探索、发现、找出多种解决问 题的方法的能力。【活动五】 问题 6 如图：DE∥BC，AB=15，AC=7，AD=2，求 EC。老师引导学生独立思考后，说思路，说方法。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否能顺利说出较简便的解题途径。2．学生在语言表达上是否规范。设计意图：培养学生快速解决问题的能力。【活动六】 教学例 4
问题 7 如图：SAPM 中，AM∥BN，CM∥DN， 求证：PA：PB=PC：PD 分析：师生共同完成。过程：由学生自己写出。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否能在复杂图形中找出相应的比例式。2．学生能否体会到比例中间量的作用。
设计意图：培养学生识别图形的能力。【活动七】 问题 8 如图：P 是四边形 OACB 对角线的任意一点，且 PM∥CB，PN∥CA， 求证：OA：AN=OB：MB 同桌交流、研讨，由学生分析讲解，写出过程。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否快速找到比例的中间量。2．学生书写解题过程是否规范。设计意图：培养学生的语言表达能力。【活动八】 小结： 我们本节课学习了哪些知识，通过探究你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 老师重点关注：1．学生归纳总结能力；2．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反 思学习过程；3．学生对推论的理解及应用程度。思考题：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线） ，所得对应线段成比例，那么 这条直线是否平行于第三边？ 作业布置：
O N A M B P C
相似三角形的判定
〔教学目标〕 1． 掌握判定两个三角形相似的方法： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似。2． 培养学生的观察p发现p比较p归纳能力， 感受两个三角形相似的判定方法 3 与全等三角 形判定方法（AASpASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕 重点：两个三角形相似的判定方法 3 及其应用 难点：探究两个三角形相似判定方法 3 的过程 〔教学设计〕 教学过程 新课引入： 复习两个三角形相似的判定方法 1p2 与全等三角形判定方法 （SSSpSAS）的区别与联系： SSS ↓
设计意图说明
从复习两个三角形相似的判定方 法 1 与全等三角形判定方法（SSS）及 两个三角形相似的判定方法 2 与全等
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相 似。（相似的判定方法 1） SAS ↓ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似。（相似的判定方法 2） 提出问题： 观察两副三角尺，其中同样角度（300 与 600，或 450 与 450）的 两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。↓ 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
三角形判定方法（SAS）的区别与联系 来以旧引新，帮助学生建立新旧知识 间的联系，体会事物间一般到特殊p 特殊到一般的关系。
通过观察同样角度的两副三角 尺，可以发现：两个三角尺大小可能 不同，但它们的形状相同。学生从实 物的比较中容易直观地得到：如果两 个三角形有两组角对应相等，它们很 可能相似。
延伸问题： 作?ABC 与?A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三 角满足∠C=∠C1 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算
BC AC p ，你有什么发现？（学生独立操作并判断） B1C 1 A1C 1
↓ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C1，
作图并动手进行尺规实验来探索 命题成立的可能性，让学生经历定理 的重发现过程， 有助于对定理的理解。
AB BC AC = = 。A1B1 B1C 1 A1C 1
让学生进行协同式小组合作可以 提高实验的效率，并培养学生的合作 能力。
↓ 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小， 再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先 进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法： 探究 3 分别改变这两个三角形边的大小， 而不改变它们的角的大小， 再 试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软 件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不 变因素。） ↓ 归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
把学生利用刻度尺、量角器等作图工 具作静态探究与应用“几何画板”等 计算机软件作动态探究结合起来，丰 富学生的探究体验，帮助学生深入理 解定理的内涵。
若∠A=∠A1，∠B=∠ B1 则? ?A1B1C1 ?ABC ∽
对几何定理作文字语言p图形语言p 符号语言的三维注解有利于学生进行 认知重构，以全方位地准确把握定理 的内容。
应用新知： 例2 如图 27? 2-7，弦 AB 和 CD 相交于⊙O 内一点 P， 求证：PA?PB=PC?PD。
让学生了解运用相似三角形的判 定方法 3 进行判定三角形相似的一般 思路，体会这与运用全等三角形的判 定方法 AASpASA 进行相关证明与计 算的雷同性。
分析：欲证 PA?PB=PC?PD，只需
PA PC PA PC ，欲证 ? ? PD PB PD PB
只需?PAC∽?PDB，欲证?PAC∽?PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
运用相似三角形的判定方法 3 进 行相关证明与计算，让学生在练习中 熟悉定理。让学生及时回顾整理本节课所学 的知识。分层次布置作业，让不同的学生 在本节课中都有收获。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业： 备选题：
如图 AD⊥AB 于 D，CE⊥AB 于 E 交 AB 于 F，则图中相似三 角形的对数有 对。
备选题答案：6
A E F B D C
设计思想： 本节课主要是探究相似三角形的判定方法 3， 由于上两节课已经学习了探究两个三角形相 似的判定引例p判定方法 1p判定方法 2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用 刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结 合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅 提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
相似三角形的判定
〔教学目标〕 4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹 角相等，那么这两个三角形相似。5． 培养学生的观察p发现p比较p归纳能力， 感受两个三角形相似的判定方法 2 与全等三角 形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕 重点：两个三角形相似的判定方法 2 及其应用 难点：探究两个三角形相似判定方法 2 的过程 〔教学设计〕 教学过程 设计意图说明 新课引入： 1． 复习两个三角形相似的判定方法 1 与全等三角形判定方法（SSS） 的区别与联系： 从回顾探究判定引例p判定方法 SSS 1 的过程及复习两个三角形相似的判
↓ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相 似。（相似的判定方法 1） 2． 回顾探究判定引例p判定方法 1 的过程 ↓ 探究两个三角形相似判定方法 2 的途径 提出问题： 利用刻度尺和量角器画?ABC 与?A1B1C1，使∠A=∠A1，
定方法 1 与全等三角形判定方法 （SSS） 的区别与联系两个角度来以旧 引新，帮助学生建立新旧知识间的联 系，体会事物间一般到特殊p特殊到 一般的关系。
AB 和 A1B1
学生通过作图，动手度量三角形 的各边的比例以及三角形的各个角的 大小，从尺规实验的角度探索命题成 立的可能性，丰富学生的尺规作图与 尺规探究经验。
AC 都等于给定的值 k，量出它们的第三组对应边 BC 和 B1C1 的长， A1C 1
它们的比等于 k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B1，∠C 与∠C1 是否相 等？ （学生独立操作并判断） ↓ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边 BC 和 B1C1 的比都等于 k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题： 改变∠A 或 k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用 刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
改变∠A 或 k 值的大小再作尺规 探究，可以培养学生在变化中捕捉不 变因素的能力。
探究方法： 探究 2 改变∠A 或 k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师 应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学 生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。） ↓ 归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
通过几何画板演示验证，培养学生学 习在图形的动态变化中探究不变因素 的能力。
对几何定理作文字语言p图形语言p 符号语言的三维注解有利于学生进行 认知重构，以全方位地准确把握定理 的内容。
若∠A=∠A1， 则?
AB AC = =k A1B1 A1C 1
?ABC∽?A1B1C1
辨析：对于?ABC 与?A1B1C1，如果
AB AC = ，∠B=∠B1， A1B1 A1C 1
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小 组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
通过辨析，使学生对两个三角形相似 判定方法 2 的判定条件- -“并且相应 的夹角相等”具有较深刻的认识，培 养学生严谨的思维习惯。
应用新知： 例 1：根据下列条件，判断 ?ABC 与?A1B1C1 是否相似，并说明 理由： （1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm， ∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm， ∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
让学生了解运用相似三角形的判定方 法 2 进行判定三角形相似的一般思 路，体会这与运用全等三角形的判定 方法 SAS 进行相关证明与计算的雷同 性。
分析: （1）
AB AC 7 = = ,∠A=∠A1＝ A1C 1 3 ? ?ABC∽?A1B1C1
让学生注意到：两个三角形相似判定
AB AC 1 方法 2 的判定条件 “角相等”必须是 = = ,∠B=∠B1＝1200 但∠B 与∠B1 不 “夹角相等”。A1B1 A1C 1 4 是 AB pACp A1B1 pA1C1 的夹角， 所以?ABC 与?A1B1C1 不相似。
运用相似三角形的判定方法 2 进 行相关证明与计算，让学生在练习中 熟悉定理。让学生及时回顾整理本节课所学 的知识。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业： 分层次布置作业，让不同的学生 1． 备选题： 在本节课中都有收获。已知零件的外径为 25cm，要求它的厚度 x，需先求出它的内孔直径 AB，现用一个交叉卡钳（AC 和 BD 的长相等）去量（如图） ，若 OA：
OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度 x。
备选题答案：x=2cm
设计思想： 本节课主要是探究相似三角形的判定方法 2， 由于上节课已经学习了探究两个三角形相似 的判定引例p判定方法 1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计 注意方法上的“新旧联系” ，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法 2 的条件 “相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示 反例”的学习形式来加深学生的印象。
相似三角形的判定（一）
一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的 探究、交流能力． 2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形 相似）――相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它 两边相交，所构成的三角形与原三角形相似） ． 3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 3．难点的突破方法 （1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面） ，应注意两个相似三 角形中，三边对应成比例，
AB BC CA 每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比 ? ? ?B? B?C? C?A? A
的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错； （2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特 殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为 1．两者在定义、记法、性质上稍有 不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比； （3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快
地找到相似三角形的对应角和对应边； （4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出） ： 如△ABC∽△A′B′C′的相似比 相似比就是
AB BC CA ? ? ? k ，那么△A′B′C′∽△ABC 的 ?B? B?C? C?A? A
A ?B? B?C? C?A ? 1 ? ? ? ，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比 AB BC CA k
“放大或缩小”的含义来让学生理解； （5） “平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也 可以简单称为“三角形相似的预备定理” ．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相 似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似． 三、例题的意图 本节课的两个例题均为补充的题目，其中例 1 是训练学生能正确去寻找相似三角形的对 应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的 对应元素：即（1）对顶角一定是对应角； （2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定 是对应角； （3）对应角所对的边一定是对应边； （4）对应边所对的角一定是对应角；对应边 所夹的角一定是对应角． 例 2 是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两 次用到相似三角形的对应边成比例 （也可以先写出三个比例式， 然后拆成两个等式进行计算） ， 学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导． 四、课堂引入 1．复习引入 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A′B′C′中， 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且
AB BC CA ? ? ?k ． A?B? B?C? C?A?
我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′， 则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且
AB BC CA ． ? ? A?B? B?C? C?A?
（3）问题：如果 k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．思考判断相似三角形的条件． 3． 【归纳】 三角形相似的预备定理 原三角形相似． 五、例题讲解 例 1 补充） （ 如图△ABC∽△DCA， AD∥BC， ∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与
（3）若 AB=10,BC=12,CA=6．求 AD、DC 的长． 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于 （3）可由相似三角形对应边的比相等求出 AD 与 DC 的长． 解：略（AD=3，DC=5） 例2 （补充） 如图， 在△ABC 中， DE∥BC， AD=EC， DB=1cm， AE=4cm， BC=5cm，求 DE 的长． 分析：由 DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质， AD AE DE AD 有 ，又由 AD=EC 可求出 AD 的长，再根据 求出 DE 的长． ? ? AB AC BC AB 10 解：略（ DE ? ） ． 3 六、课堂练习 1． （选择）下列各组三角形一定相似的是（ A．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 （ ） A．1 对 10） 七、课后练习 1．如图，△ABC∽△AED, 其中 DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式． B．2 对 C．3 对 D．4 对 ）
B．两个钝角三角形 D．两个等边三角形
2． （选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有
3． 如图， □ABCD 中， 在 EF∥AB， DE:EA=2:3， EF=4， CD 的长． 求 （CD=
3．如图，DE∥BC， （1）如果 AD=2，DB=3，求 DE:BC 的值； （2）如果 AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求 AE 和 BC 的长．
相似三角形的判定
一、教学目标 1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比 相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；
通过画图、度量等操作，培养}
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第一篇:高中数学选修课教案《浅谈直线螺线》教学设计
【教学目标 】 知识目标：使学生学会借助计算机的动画、数据处理的功能，利用数列的有关知识解决 有关直线螺线问题。数学思想目标:培养学生的观察、发现、分析、解决问题和数据处理的能力。培养学生 数形结合、归纳转化的数学思想方法。个性品质目标：培养学生学会学习、学会鉴赏、学会发展、学会创造，和辩证唯物主义 观点以及勇于探索、不断超越自我的创新精神，关注自然、关注生活。重点：螺线中数列性质的发现。难点：在计算机环境下，通过观察动画、收集数据发现直线螺线中的数列性质。【教学模式】 本节课的教学模式采用：创设情景、激发情感、主动发现、主动发展。【教学环境与资源】 本节课的内容和素材以课本知识为依托，源于课本，高于课本，通过生活中的螺线为载 体，以数学知识为工具，收集了大量与螺线相关的图片、资料，经过教师的整理、提炼、组 织、设计制作而成，本课件的教学平台为多媒体教室，主要设备为电脑、音响设备，课件制 作的软件主要有 powerpoint、 《几何画板》 、flash、photoshop 等等。【学法指导】 在教学中， 我注意面向全体， 发挥学生的主体性， 引导学生积极地观察问题， 分析问题， 激发学生的求知欲和学习积极性， 指导学生积极思维、 主动获取知识， 养成良好的学习方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。【教学流程图】 预备课前，放映关于花草 的记录片。
演示花草的图片， 引出斐 波那契数列。
学生观看花草图片， 激发 学习兴趣。
师生共同讨论，由斐波那 契数列推导出黄金比例。
欣 赏 视 频 《 nature by number》 ，感受数学的美。
从鹦鹉螺引出斐波那契 螺线（几何画板演示） 。
学生观察正方形， 探索螺 线构成规律。
师生共同活动，学生用几何画板演示斐波那契螺 线，教师协助。
直线螺线的另一范例等 角螺线 （几何画板演示） 。
学生观察、 收集、 处理数 据，研究图形性质。
师生共同活动，学生用几何画板演示等角螺线， 教师协助指导。师生共同讨论， 解决矩形的长宽之比的取值使得图 形成为等角螺线，简单介绍等角螺线的定义，并求 螺线长。
演示现实生活中包含等角螺 (师生共同活动)。线的图片（摄影、网页等） 。
学生欣赏图片，发现等角螺 线在生活中的应用。
最后研究一个有趣的直 线螺线的图形， 无穷多个 正方形迭加嵌套而成的 图形中的螺线现象， 演示 《几何画板》 。
学生观察正方形的动画， 看图发现图形中的螺线 有几种图形， 让学生进行 开放式的探索和发现 （师 生共同活动） 。
师生共同讨论，研究其中由线、面组成 的螺线图形的几何性质，比如螺线的长 度和面积。
要求学生今天所学的知识，根据自己的 体会，去网上搜索更多关于螺线的知识， 了解螺线在数学中的重要性。【教学程序】 1、 创设情景,实例激趣 用 powerpoint 演示喷嚏麦枝桠生长规律，引出数列 1、1、2、3、5、8、13、21 再从花朵的花瓣数，引出斐波那契数列，通项公式 an?2 ? an?1 ? an (n ? 1)
1 ?1 1 2 1 ? 1? 1 1 3 1 ? 1? 1 2 1? 1 5 1 ? 1? 1 3 1? 1 1? 1 ???????? 由此可得整个数列越往 后，任一项与前一项的 1 ? 比为 1? 1? 根据无限性，可得 ? 1 1 5 ?1 ? x，得到x ? ( x ? 0) x 2 1 1 1 1 ? ..... ?x
2、感悟数学、鉴赏数学： 观看一段视频《nature by number》 ，通过声像并茂、动画生动的视听效果，直观地了解 由斐波那契数列产生的螺线。欣赏生活中的黄金比例存在的网页，艺术品。3、 变换问题，再激新趣 引入螺线的名称， 我们可以把如图每个矩形的长宽之比为 0.618 时构成的螺线称黄金螺线 （不妨设 a＝1，b＝
5 ?1 ） 。2
研究另一个有趣和著名的螺线特征， （用《几何画板》演示）
问题 1：图形的构成有什么特征？ 4、 解决问题，提高能力
设第一个正方形的边长为 x1 ? a ? 1， 第 n 个正方形的边长为 xn （即第 n 个圆弧的半径） ，则由黄金螺线的定义知，
xn x 5 ?1 5 ?1 ，解得 n ?1 ? ? ? (0,1) xn ? xn?1 2 xn 2
?{xn } 组成以 x1 ? a 为首项，公比为 q=
5 ?1 的无穷等比递缩数列， 2
1 4 ＝ ?a ? (3 ? 5 )? 。故黄金螺线的长度为 s ? lim S n ? n?? 1? q 4 3? 5
5、 自主探索，合作发现： 最后，再来研究一个有趣的图形（图 1） ， 用电脑演示移动变化后的图形（图 2、图 3、图 4）
（图 1） （图 2） （图 3） （图 4） 让学生发现： （1）各个正方形的顶点的连线是螺线图。这是由正方形顶点组成的螺线也是著名的螺线，即等角螺线。让学生发现： （2）如果把相邻的三角形的一边颜色涂成同一色，也可以构成一个螺线图案。
让学生发现： (3)如果把相邻的三角形的颜色涂成同一色，也可以构成一个螺线图案。
研究这个图形的性质。比如螺线的长度，阴影的面积。6、 师生互动，完善认知 设正方形的边长为 1， ?BEF ? 15 ，
sin 300 1 ? 0 4(1 ? sin 30 ) 12
2 2 x ?x 2 1 n n ?1 1 2 ? (x ? x ? ) 注意到每一个三角形的面积为 Tk ? ? ? n 4 4 n 2 sin 2 ( ? ) 4 6
2 1 2 1 ]x ? x n ， 0 1 ? sin 30 n 12
1 为首项，以 12
∴ Tn 组成以
1 2 sin 2 (
2 为公比的无穷递缩等比数列 3
1 1 故直线螺线中组成螺线的所有三角形的面积之和为；S＝ 12 ? 。2 4 1? 3
巧解：其实正方形中的四个阴影螺线图形覆盖了正方形，显然每块的阴影螺线的面积相等， 故阴影螺线的面积是
7、 引进网络，开阔视野 让学生上网，搜索下相关的螺线的知识，学生能接触到更多有关斐波那契数列，螺线等的知 识。8、 学习总结，触发美感。通过本节课的学习， 让学生意识到数学的有趣和生动性， 让学生感受生活中的数学无处不在。跟我们的生活息息相关。
教学反思： 1、 本节课是根据斐波那契数列引出螺线的相关知识，引入点生动有趣形象，学生易于 接受。并用相关的数列的知识得出黄金比例的值， 深入的讨论， 使学生细致的思考， 本节课不只是单纯的欣赏课，还有深度的问题。2、 通过几何画板的演示，直观形象的让学生意识到等角螺线的产生过程。限于本节课 时间有限的局限，课外引导学生用几何画板演示等角螺线。3、 让学生上网搜索相关信息，是本节课设计的亮点之一。不同于传统课堂学生视野的 局限性，通过网络这个世界，让学生看到更多有关斐波那契数列，螺线等的知识， 让学习变得生动和主动。教师不应该是学生答案的机器，而是学生获得知识、方法 的引导者，学习动力的激励者，点滴成就的欣赏者。
4、 本节课真正上课时间大概约 50 分钟左右， 在学生搜索信息和小结的时间大概有 10 分钟 左右，在录像上有所删减。第一篇:高中数学选修课教案高中数学选修 4-4 全套教案
平面直角坐标系
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安 全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。情境 2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看 台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题 1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题 2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条 直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对 （x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中， 选择两两垂直且交于一点的三条直线， 当取定这三条直线的交点为原点， 并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
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2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例 1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为 1 的正六边形的顶点。*变式训练 如何通过它们到点 O 的距离以及它们相对于点 O 的方位来刻画,即用”距离和方向” 确定点的位置？
例 2 已知 B 村位于 A 村的正西方 1 公里处,原计划经过 B 村沿着北偏东 60 0 的方向设一 条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米出,发现一古代文物遗址 W.根据初步勘探的结 果,文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问:埋设地下管线 m 的计划需要 修改吗?
*变式训练 1．一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距 800 米，并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程
2．在面积为 1 的 ?PMN 中， tan ?PMN ? 求以 M，N 为焦点并过点 P 的椭圆方程
1 , tan ?MNP ? ?2 ，建立适当的坐标系， 2
例 3 已知 Q（a,b）,分别按下列条件求出 P 的坐标 （1）P 是点 Q 关于点 M（m,n）的对称点 （2）P 是点 Q 关于直线 l:x-y+4=0 的对称点（Q 不在直线 1 上）
*变式训练 用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。思考 通过平面变换可以把曲线 变换？ 四、巩固与练习 五、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤； 3．什么时候需要建标。五、课后作业：课本 P14 页 1，2，3，4 六、课后反思：
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( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合 9 4
建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性， 需要加强训练。
课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标： 知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法：体会坐标变换的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型：新授课 教学措施与方法：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、阅读教材 P4―P8 问题探究 1：怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? sin 2 x ？ 思考： “保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？ 问题探究 2：怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3sin x ？ 思考： “保持横坐标不变纵坐标缩为原来的 3 倍”的实质是什么？ 问题探究 3：怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3sin 2 x ？ 二、新课讲解： 定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换 ? 注 （1） ? 0, ? ? 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。? x' ? 2 x 例 1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? ' 后的图形。? y ? 3y （1）2x+3y=0; (2) x2 ? y 2 ? 1
?x' ? ? x ? y' ? ? y
(? ? 0) ( ? ? 0)
? x ? ? 3 x, 例 2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换 ? 后，曲线 C 变为曲线 x? 2 ? 9 y ? 2 ? 9 ， y? ? y ? 求曲线 C 的方程并画出图象。三、知识应用： 1、已知 f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? sin ?x （ ? ? 0) f 2 ( x) 的图象可以看作把 f 1 ( x) 的图象在其所
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1 在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的，则 ? 为（ ） 3 1 1 A． B .2 C.3 D. 2 3 ? x? ? 5x 2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换 ? 后，曲线 C 变为曲线 2x?2 ? 8 y?2 ? 1, 则 ? y? ? 3 y
曲线 C 的方程为（
2 2 8 2 x ? y ?1 25 9 1 ? ? x? ? 2 x 3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形。1 ? y? ? y 3 ? （1） 5 x ? 2 y ? 0;
A． 25x2 ? 36 y 2 ? 1 B. 9 x2 ? 100 y 2 ? 1 C． 10 x2 ? 24 y 2 ? 1
（2） x 2 ? y 2 ? 1 。四、知识归纳：设点 P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ? x? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下，点 P(x,y)对应到点 P?( x?, y ?) ，称 ? 为平面直角坐标系 ?:? ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0), 中的坐标伸缩变换 五、作业布置：
? ? 1 ?x ? 4 x ? 2 1、抛物线 y ? 4x 经过伸缩变换 ? 后得到 1 ? y? ? y ? 3 ? 2 y? ? 1 的伸缩变换为 2、把圆 x2 ? y 2 ? 16 变成椭圆 x?2 ? 16 3、在同一坐标系中将直线 3x ? 2 y ? 1 变成直线 2x' ? y' ? 2 的伸缩变换为 ? ? 1 ?x ? x 4、把曲线 y ? 3sin 2 x 的图象经过伸缩变换 ? 2 得到的图象所对应的方程为 ? y? ? 4 y ? ? x? ? 2 x ? 5、 在同一平面直角坐标系中， 经过伸缩变换 ? 曲线 C 变为 x?2 ?16 y?2 ? 4x? ? 0 ， 1 后， y? ? y ? ? 2
则曲线 C 的方程 六、反思：
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课题：1、极坐标系的的概念 教学目的： 知识目标：理解极坐标的概念 能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别. 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引 爆？ 情境 2： 如图为某校园的平面示意图， 假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置？该位 置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描 述？ 问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎 样的坐标系呢？ 问题 2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画 点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜 2 中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用 方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度 的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个极坐标系。（其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M，用 ? 表示线段 OM 的长度， 用 ? 表示从 OX 到 OM 的角度， 叫做点 M 的极径， ? ? 叫做点 M 的极角，有序数对（?，?）就叫做 M 的极坐标。特别强调： 由极径的意义可知 ?≥0;当极角 ? 的取值范 围是[0,2 ? )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（?，?）建
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立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 ?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径 ? 允许取负值，极角 ? 也可以去任意的正角或负角 当 ?＜0 时，点 M （?，?）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= ? 。M （?，?）也可以表示为 ( ? ,? ? 2k? )或(?? ,? ? (2k ? 1)? ) (k ? z ) 4、数学应用 例 1 写出下图中各点的极坐标（见教材 14 页） A（4，0）B（2 ）C（ ） D（ ）E（ ）F（ ） G（ ） ① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是 ? =0， ? 可以取任意角。变式训练 在极坐标系里描出下列各点 5? 5? ? 4? A（3，0） B（6，2 ? ）C（3， ）D（5， ）E（3， ）F（4， ? ）G（6， 6 3 2 3 点的极坐标的表达式的研究 5? ? 例 2 在极坐标系中，(1)已知两点 P（5， ） (1, ) ，求线段 PQ 的长度； ，Q 4 4 ? (2)已知 M 的极坐标为（?，?）且 ?= ，? ? R ，说明满足上述条件的点 M 的位置。3 变式训练 5? 5? 7? 1、若 ?ABC 的的三个顶点为 A(5, ), B(8, ), C (3, ), 判断三角形的形状 . 2 6 6 2、若 A、B 两点的极坐标为 ( ?1 ,?1 ), ( ? 2 ,? 2 ) 求 AB 的长以及 ?AOB 的面积。为极点） （O 例 3 已知 Q（?，?） ，分别按下列条件求出点 P 的极坐标。（1） P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； ? （2） P 是点 Q 关于直线 ? ? 的对称点； 2 （3） P 是点 Q 关于极轴的对称点。变式训练 ? 1.在极坐标系中,与点 ( ?8, ) 关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) 6 ? 5? 5? ? A(8, ), B(8,? ), C (?8, ), D(?8,? ) 6 6 6 6 ? 5 2 在极坐标系中， 如果等边 ?ABC 的两个顶点是 A(2, ), B(2, ), 求第三个顶点 C 的坐标。4 4 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。2．极坐标系的基本
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要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。五、课后作业： 六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气 氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。课题：2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的： 知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境 1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题 1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题 2：平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3) ，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课： 直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度 单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ，则由三角函数的定 义可以得到如下两组公式： ? 2 ? x2 ? y2 x ? ? cos? { { y y ? ? sin ? tan? ? x 说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 通常情况下， 将点的直角坐标化为极坐标时， ? ≥ 取 0， 0 ≤ ? ≤ 2? 。3 互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三．举例应用： 2? 例 1． （1）把点 M 的极坐标 (8, ) 化成直角坐标 3 （2）把点 P 的直角坐标 ( 6 ,? 2 ) 化成极坐标
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? ? 在极坐标系中,已知 A(2, ), B(2,? ), 求 A,B 两点的距离 6 6
例 2.若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系. 5? (1)已知 A 的极坐标 (4, ), 求它的直角坐标, 3 (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为 (2,?2)和(0,?15) 求它们的极坐标. ( ? ＞0,0≤ ? ＜2 ? ) 变式训练 把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 ? ＞0,0≤ ? ＜ 2? ) A(?1,1), B(0,?2),C (3,4), D(?3,?4)
? 2? 例 3.在极坐标系中,已知两点 A(6, ), B (6, ) . 6 3 求 A,B 中点的极坐标.
? ? 在极坐标系中,已知三点 M (2,? ), N (2,0), P(2 3 , ) .判断 M , N , P 三点是否在一条直线 3 6 上.
四、巩固与练习：课后练习 五、小 结：本节课学习了以下内容： 1．极坐标与直角坐标互换的前提条件； 2．互换的公式； 3．互换的基本方法。五、课后作业： 六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿 操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这 点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。但教学时间不足。
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三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为 (a,0)(a&0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(?,?)满足的条件？ 解：设 M (?,?)是圆上 O、A 以外的任意一点，连接 AM， 则有：OM=OAcosθ ，即：ρ ＝2acosθ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点 O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的点 在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个 极坐标方程的曲线。例 1、已知圆 O 的半径为 r，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系；
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②设点；M（ρ ，θ ） ③列式；OM＝r， 即：ρ ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为 a； (２)中心在(a,?/2)，半径为 a； (３)中心在Ｃ(a,?０)，半径为 a 答案：(1)?＝2acos ? (2) ?＝2asin ? (3) ?＝２a cos(? ? ?0 ) 例 2． （1）化在直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 为极坐标方程， ? （2）化极坐标方程 ? ? 6 cos( ? ? ) 为直角坐标方程。3 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1 为半径的圆的方程是 (C) ?? ?? ? ? A.? ? 2cos ?? ? ? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? 4? ? ? C.? ? 2cos ?? ? 1? D.? ? 2sin ?? ? 1? 2.极坐标方程分别是ρ ＝cosθ 和ρ ＝sinθ 的两个圆的圆心距是多少？
3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)?＝２cos(? -
4 (3)?＝3 sin ?
(2)?＝cos( (4) ?＝６
4．填空： (1)直角坐标方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 0的 极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程2 x－y＋１? 0的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程x ?３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材 P28 1，2
? 1．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C (3, ) ，半径 r ? 3 ， 6 （1）求圆 C 的极坐标方程。（2）若 Q 点在圆 C 上运动， P 在 OQ 的延长线上，且 OQ : OP ? 3 : 2 ，求动点 P 的 轨迹方程。
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课题：2、直线的极坐标方程 教学目标： 知识与技能：掌握直线的极坐标方程 过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点：直线的极坐标方程的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、探究新知： 阅读教材 P13-P14 l ? 探究 1、直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角是 ，如何用极坐标方程表示直线 l 4
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
探究 2、如何表示过点 A(a, 0)(a ? 0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程，化为直角坐 标方程是什么？过点 A(a, 0)(a ? 0) ，平行于极轴的直线 l 的极坐标方程呢？
二、知识应用： 例 1、已知点 P 的极坐标为 (2, ? ) ，直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为 坐标方程。
? ，求直线 l 的极 3
例 2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 5? ( ? ? R) （1） ? ? （2） ? (2cos ? ? 5sin ? ) ? 4 ? 0 4
? （3） ? sin(? ? ) ? 4 3
? 2 例 3、判断直线 ? sin(? ? ) ? 与圆 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 的位置关系。4 2
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三、巩固与提升： P15 第 1，2，3，4 题
四、知识归纳： 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置： 1、在直角坐标系中，过点 (1, 0) ，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A ? sin ? ?1 B ? ? sin ? C ? cos ? ? 1 D ? ? cos ? ? 2、与方程 ? ? ( ? ? 0) 表示同一曲线的是 （ ） 4 ? 5? 5? ? ( ? ? 0) C ? ? ( ? ? R) A ? ? ( ? ? R) B ?? D ? ? ( ? ? 0) 4 4 4 4 ? 3、在极坐标系中，过点 A(2, ? ) 且与极轴平行的直线 l 的极坐标方程是 2 4、在极坐标系中，过圆 ? ? 4cos? 的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 3? 5、在极坐标系中，过点 A(2, ) 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 4 7? ? 2 6、已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ，求点 A(2, ) 到这条直线的距离。4 4 2
7、在极坐标系中，由三条直线 ? ? 0,? ?
, ? cos ? ? ? sin ? ? 1 围成图形的面积。
六、反思：
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柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设 P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q，连接 OP，记| OP |= r ，OP 与 OZ 轴正向所夹的角为 ? ，P 在 oxy 平面的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 ? ，点 P 的位置可以用有序数组 (r ,? , ? ) 表示，我们把建立上述对应关 系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组 (r ,? , ? ) 叫做点 P 的球坐标，其中 r ≥0，0≤ ? ≤ ? ，0≤ ? ＜2 ? 。空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 之间的变换关系为：
?x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos? ?
2、柱坐标系 设 P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q，用(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ &2π )表示 点在 平面 oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组(ρ ,θ ,Z)表示把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点 P 的柱坐标，其中ρ ≥0, 0≤θ &2π , z∈R 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ ,θ ,Z)之间的变换关系为：
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3、数学应用
? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? ? z?z ?
例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点.
变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点. 例 2.将点 M 的球坐标 (8,
) 化为直角坐标.
变式训练 1.将点 M 的直角坐标 (?1,?1, 2 ) 化为球坐标. ? 2.将点 M 的柱坐标 ( 4, ,8) 化为直角坐标. 3 (a, a, a) (a ＞0)的球坐标是什么? 3.在直角坐标系中点 例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练 标满足方程 ? =2 的点所构成的图形是什么?
例 4.已知点 M 的柱坐标为 ( 2 ,
,3), 点 N 的球坐标为 (2,
, ), 求线段 MN 的长度. 4 2
? ? ? ? 在球坐标系中,集合 M ? ?(r ,? , ? ) 2 ? r ? 6,0 ? ? ? ,0 ? ? ? 2? ? 表示的图形的体 2 ? ? ? 积为多少?
三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。五、课后作业：教材 P15 页 12，13，14，15，16
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六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少 用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。
第二章 【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方 程及其简单应用。3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。第一课时 一、教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方 程，体会参数的意义。2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程 （一） ．参数方程的概念 1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为 角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1） 、斜抛运动：
参数方程的概念
0 ，与地面成
? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 (t为参数） ? y ? v0 sin ? ? t ? 2 gt ?
（2） 、抽象概括：参数方程的概念。说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。（2）参数是联系变量 x，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。（3）平抛运动：
第 15 页 共 33 页 y 500 v=100m/s A
? x ? 100t ? ? 1 2 (t为参数） ? y ? 500 ? 2 gt ?
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹 的参数方程消去参数 t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。（二） 、应用举例：
? x ? 3t 例 1、已知曲线 C 的参数方程是 ? (t 为参数)（1）判断点 2 ? y ? 2t ? 1
（2）已知点 M 3 (6,a)在曲线 C 上，求 a 的值。M 2 (5,4)与曲线 C 的位置关系； 分析：只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。
例 2、设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀速（角速度）运动，角速度为 60 rad/s,试以时间 t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。解析：如图，运动开始时质点位于 A 点处，此时 t=0，设动点 M（x,y）对应时刻 t,由图
x ?2cos? y ? 2sin?
? 又? ? 60 t ，得参数方程为
? x ? 2 cos 60 t ? y ? 2sin 60 t
(t ? 0) 。
反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。（三） 、课堂练习：
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（四） 、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教 师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。（五） 、作业： 补充：设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行，若在飞行高度 h=588m 处投弹（设投弹 的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程； 。（2） 试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简解： 1） （
? x ? 150t ? 2 ? y ? 588 ? 4.9t (t为参数) 。（2）1643m。
五、教学反思：
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第二课时 一、教学目标：
圆的参数方程及应用
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几 何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一） 、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?
(?为参数) 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。
说明： （1）参数θ 的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同， 参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注 明参数及参数的取值范围。
?x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 (?为参数)所表示圆的圆心坐标、 半径，并化为普通方程 。? ? y ? 3 ? 2 sin ?
3、若如图取&PAX=θ ，AP 的斜率为 K，如何建立圆的参数方程，同学们讨论交流，自我
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解决。结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。（二） 、应用举例 例 1、已知两条曲线的参数方程
45 c1 : ?y ?5sin? (? 为参数）和c 2 : ?y ?3?t sin 450 (t为参数）
（1） 、判断这两条曲线的形状； 、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对 （2） 问题讲评。（三） 、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例 2、1、已知点 P（x，y）是圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 上动点，求（1） x 2 ? y 2 的最 值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。解： x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 即 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ， 圆 用参数方程表示为 { 由于点 P 在圆上，所以可设 P（3+cosθ ，2+sinθ ） ， （1） x 2 ? y 2 ? (3 ? cos? ) 2 ? (2 ? sin ? ) 2 ? 14 ? 4 sin ? ? 6 cos? ? 14 ? 2 13 sin(? ? ? ) (其中 tan ? =
3 ) ∴ x 2 ? y 2 的最大值为 14+2 2
x ? 4 ? t cos
x ? 3 ? cos? y ? 2 ? sin ?
13 ，最小值为 14- 2 13
(2) x+y= 3+cosθ + 2+sinθ =5+ 2 sin（ θ + 最小值为 5 - 2 。
? 4 ）∴ x+y 的最大值为 5+
3 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 2
4 ? 2 sin(? ? ? 2
显然当 sin（ θ +
? 4 ）= ? 1 时，d 取最大值，最小值，分别为 1 ? 2 2 ， 1 ? 2 2 .
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2、 过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦： 为最长的直线方程是_________； 为最短的直线方程是__________； 3、若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0，则 x-2y 的最大值为 （三） 、课堂练习：学生练习：1、2 （四） 、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、 参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参 数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。（五） 、作业： 1、方程 x 2 ? y 2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0 (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D） A．一个定点 2、已知 ? B．一个椭圆 C．一条抛物线 的最大值是 6。D．一条直线 。
? x ? 2 ? cos? (?为参数) ，则 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? y ? sin?
8．曲线 x 2 ? y 2 ? 2 y 的一个参数方程为 ? 五、教学反思：
? x ? cos? (?为参数) ? y ? 1 ? sin?
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第三课时 一、教学目标：
圆锥曲线的参数方程
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一） 、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?
（ ? 为参数） （ ? 为参数）
? x ? x0 ? r cos? （2）圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为： ? ? y ? y 0 ? r sin ?
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二） 、讲解新课：
x2 y2 1.椭圆的参数方程推导：椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
? x ? a cos? （ ? 为参数）,参 ? ? y ? b sin ?
数 ? 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。
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2.双曲线的参数方程的推导： 双曲线
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
? x ? a sec? （ ? 为参数） ? ? y ? b tan?
参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹 角。
? x ? 2 Pt 2 3.抛物线的参数方程：抛物线 y ? 2Px 参数方程 ? （t 为参数）,t 为以抛物 ? y ? 2 Pt
线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。（1） 、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的 两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际 上是一个方程组，其中 x ， y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。（3） 、参数方程求法： （A）建立直角坐标系，设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ； （B） 选取适当的参数； （C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点 P 坐标与参 数的函数式； （D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的 关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数；与旋转的有关问题
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选取角 ? 做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
x2 y2 4、椭圆的参数方程常见形式： （1） 、椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 参数） ；椭圆 2 的参数方程是 b a 2
? x ? a cos? （? 为 ? ? y ? b sin ?
x ?b cos? y ?a sin?
(?为参数，且0 ? ? ? 2?）.
（ 2 ） 以 ( x 0, y ) 为 中 心 焦 点 的 连 线 平 行 于 x 轴 的 椭 圆 的 参 数 方 程 是 、
x 0 ? a cos? {y ? y ?b sin? (? 为参数） （3）在利用 ?x ? a cos? 研究椭圆问题时，椭圆上的点的 。? 0 ? y ? b sin ?
坐标可记作（acos ? ,bsin ? ） 。（三） 、巩固训练
1 ? ?x ? t ? t (t为参数) 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 。1、曲线 ? 1 ?y ? t ? t ?
2、曲线 ? A．
? x ? cos? ? y ? sin?
(?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
? x ? 3 cos? 3、已知椭圆 ? ? y ? 2 sin ?
( ? 为参数) 求 （1） ? ?
时对应的点 P 的坐标
（2）直线 OP 的倾斜角 （四） 、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参 数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方 程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。（五） 、作业： 五、教学反思：
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第四课时 一、教学目标：
圆锥曲线参数方程的应用
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。教学难点：正确使用参数式来求解最值问题 三、教学模式：讲练结合，探析归纳 四、教学过程： （一） 、复习引入： 通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题， 从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。（二） 、讲解新课： 例 1、双曲线{
x ?2 3 tan ? y ?6sec?
(?为参数）的两焦点坐标是
答案： （0，-4 3 ）（0，4 3 ） ， 。学生练习。
e ?e 例 2、方程{ y ? t ? ? t e e
（t 为参数）的图形是 双曲线右支
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。
例 3、 P 是椭圆 36 设
? 1 在第一象限部分的弧 AB 上的一点，求使四边形 OAPB
的面积最大的点 P 的坐标。分析： 本题所求的最值可以有几个转化方向， 即转化为求
最大值或者求点 P 到 AB 的最大距离，或者求四边形 OAPB 的最大值。学生练习，教师准对问题讲评。? = 4 时四边形 OAPB 的最大值=6 2 ，此时点 P 【 为（3 2 ，2）】 。
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（三） 、巩固训练 1、直线 ? A． 或 2、椭圆
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切，那么直线的倾斜角为（A） ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?
? 3? 或 4 4
? 2? 或 3 3
? 5? 或? 6 6
x2 y2 ? ? 1 （ a ? b ? 0 ）与 x 轴正向交于点 A，若这个椭圆上存在点 P，使 OP a2 b2
⊥AP， 为原点） （O ，求离心率 e 的范围。3、抛物线 y 2 ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接 三角形的周长。4、设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点， F1 ， F2 为两个焦点，证明 F1 P ? F2 P ? OP 5、求直线 ?
?x ? 1 ? t ?y ? 1? t (t为参数） 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得 t=±1,分别代入直线 方程,得交点为（0，2）和（2，0） 。（三） 、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问 题，选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。（四） 、作业： 练习：在抛物线 y 2 ? 4ax (a ? 0) 的顶点，引两互相垂直的两条弦 OA，OB，求顶 点 O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。五、教学反思：
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第五课时 一、教学目标：
直线的参数方程
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一） 、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
? x ? r cos? 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?
（ ? 为参数）
? x ? x0 ? r cos? （2）圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为： ? ? y ? y 0 ? r sin ?
2．写出椭圆参数方程.
（ ? 为参数）
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参 数方程? （二） 、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线 L 的倾斜角是 30 ，并且经过点 P（2，3） ，如何描述直 线 L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线 L 经过两个 定点 Q（1，1） ，P（4，3） ， 那么又如何描述直线 L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的 参数方程
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? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
（ t 为参数）
【辨析直线的参数方程】 ：设 M(x,y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是指 ???? ? 从点 P 到点 M 的位移，可以用有向线段 PM 数量来表示。带符号. （ 2 ） 经 过 两 个 定 点 Q ( x1, y ) ， P ( x 2, y ) ( 其 中 、
)的直线的参数方程为
Y L P M Q A N B
x1?? X 2 1?? y1?? y 2 1??
(?为参数，? ? ?1) 。其中点
M(X,Y)为直线上的任意一点。这里
??? ? 参数 ? 的几何意义与参数方程 （1） 中的 t 显然不同， 它所反映的是动点 M 分有向线段 QP
。当 ? ? o 时，M 为内分点；当 ? ? o 且 ? ? ?1 时，M 为外分点；当 ? ? o 时，
点 M 与 Q 重合。（三） 、直线的参数方程应用，强化理解。1、例题： 学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参 数方程求交点。2、巩固导练：
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补充：1、直线 ? 为（A） A． 或
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切，那么直线的倾斜角 ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?
? 3? 或 4 4
? 2? 或 3 3
? 5? 或? 6 6
? x ? 1 ? 2t , 2、(2009 广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 ? y ? 2 ? kt. ? x ? s, （ s 为参数）垂直，则 k ? ． l2 : ? ? y ? 1 ? 2s. ? x ? 1 ? 2t , k 解：直线 l1 : ? (t为参数) 化为普通方程是 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ， 2 ? y ? 2 ? kt. k 该直线的斜率为 ? ， 2 x ? s, ? 直线 l2 : ? （ s 为参数）化为普通方程是 y ? ?2 x ? 1 ， ? y ? 1 ? 2s. 该直线的斜率为 ? 2 ， ? k? 则由两直线垂直的充要条件，得 ? ? ? ? ?? 2? ? ?1 ， k ? ?1 。? 2?
（四） 、小结： （1）直线参数方程求法； （2）直线参数方程的特点； （3）根据已知条件 和图形的几何性质，注意参数的意义。（五） 、作业：
?x ? 1? t 补充： (2009 天津理)设直线 l1 的参数方程为 ? （t 为参数） ，直线 l2 的 ? y ? 1 ? 3t 方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。| 4 ? 2 | 3 10 解析：由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ，故它与与 l2 的距离为 。? 5 10 五、教学反思：
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第六课时 一、教学目标：
参数方程与普通方程互化
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：参数方程与普通方程的互化 教学难点：参数方程与普通方程的等价性 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一） 、复习引入： （1） 、圆的参数方程； （2） 、椭圆的参数方程； （3） 、直线的参数方程； （4） 、双曲线的参数方程。（二） 、新课探究： 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数 （3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 ：在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一 致性，必须根据参数的取值范围，确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。
? x ? r cos? （1）圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?
（ ? 为参数） （ ? 为参数）
? x ? x0 ? r cos? （2）圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为： ? ? y ? y 0 ? r sin ?
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
? x ? a cos? （ ? 为参数） ? y ? b sin ? ?
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（4）双曲线
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
? x ? a sec? （ ? 为参数） ? ? y ? b tan?
? x ? 2 Pt 2 （5）抛物线 y 2 ? 2Px 参数方程 ? （t 为参数） ? y ? 2 Pt
（6）过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程
? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
（ t 为参数）
3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。（二） 、例题探析 例 1、将下列参数方程化为普通方程
? ? x ? t ? 2t （1） ? ?y ? t 2 ? 2 ?
? x ? sin ? ? cos? （2） ? ? y ? sin 2?
2 ? ?x ? 1 ? t 2 ? （4） ? ? y ? 2t ? 1? t2 ? 1 ? ? x ? 2(t ? t ) ? （5） ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?
t ?1 ? ?x ? t ? 2 ? （3） ? ? y ? 2t ? t?2 ?
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
?x ? 1 ? 2 t ? （1） ? ?y ? 3 ? 4 t ?
x? t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2
（t 是参数）
x ? 2 cos? y ? cos 2?
（ ? 是参数）
（t 是参数）
学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。例 3、已知圆 O 半径为 1，P 是圆上动点，Q（4，0）是 x 轴上的定点，M 是 PQ 的中点， 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程。学生练习，教师准对问题讲评，反思归纳方法。（三） 、巩固导练：
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1 ? ?x ? t ? 1、 （1）方程 ? t ?y ? 2 ?
A、一条直线 C、一条线段
表示的曲线（
B、两条射线 D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程 y 2 ? x 表示同一曲线的点
?x ? t A、 ? 2 ?y ? t
? x ? sin 2 t ? B、 ? ? y ? sin t ?
?x ? 1 ? 1 C、 ? ?y ? t
1 ? xos2t ? ?x ? D、 ? 1 ? cos2t ? y ? tant ?
? x ? 4 sin ? 2、P 是双曲线 ? （t 是参数）上任一点， F1 ， F2 是该焦点： ? y ? 3 tan?
求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。3、 已知 P( x, y) 为圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上任意一点，求 x ? y 的最大值和最小值。（四） 、小结：本节课学习了以下内容：熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几 种方法。抓住重点题目反思归纳方法，进一步深化理解。（五） 、作业： 五、教学反思：
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第七课时 一、教学目标：
圆的渐开线与摆线
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一） 、复习引入：复习：圆的参数方程 （二） 、新课探析： 1、以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的
? x ? r (cos? ? ? sin ? ) 参数方程为 ? ? y ? r (sin ? ? ? cos? )
（ ? 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点 M 滚动时落在直线上的一个 位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为。
? x ? r (? ? sin ? ) ? ? y ? r (1 ? cos? )
（ ? 为参数）
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（三） 、例题与训练题： 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程 变式训练 1 当? ?
? x ? cos? ? ? sin ? ， ? 时，求圆渐开线 ? 2 ? y ? sin ? ? ? cos?
上对应点 A、B 坐标并
求出 A、B 间的距离。变式训练 2
? ? ? x ? 2 (cost ? t sin t ) 求圆的渐开线 ? 上当 t ? 对应的点的直角坐标。4 ? y ? 2 (sin t ? t cost ) ?
例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程
? x ? t ? sin t 变式训练 3： 求摆线 ? ? y ? 1 ? cost
0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标
例 3、设圆的半径为 8，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O，记圆上动点为 M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此 曲线上纵坐标 y 的最大值，说明该曲线的对称轴。（四） 、小结：本节课学习了以下内容： 1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。（五） 、作业： 五、教学反思：
第 33 页 共 33 页第一篇:高中数学选修课教案高中数学选修 4-1 全套教案 一 平行线分线段成比例定理
教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。1．求出下列各式中的 x：y。（1）3x=5y； （2）x=
2 y ； （3）3：2= ? ： ? ； （4）3： ? =5： ? 。3
? 7 ? 。? ,求 ? 2 ? ??
z x? y?z 。,求 4 2x ? 3y ? z
其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各自解答，指定 2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。（二）新知识的教学 1．提出问题，使学生思考。在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答，如果答出定理――过三角形一边的中点 与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答 不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，
AE AF 1 ? ? ，并 EB FC 1 AE 1 指出此定理也可谓： 如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点， 且 ? ， EB 1 AE AE 1 EF//BC 交 AC 于 F 点，那么 ? ? 。EB FC 1
则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 2．引导学生探索与讨论。就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 时，
AE AE 2 1 不等于 ，譬如 = EB EB 3 1
AF 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”――配合着黑板 FC
上画出的相应图观察、明确。而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明 确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比 着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行
证明。继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理――过梯形一腰的 中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2） ，并随即提出问题：
在梯形 ABCD 中， EF//BC 的条件不变， E 不是 AB 的中点， 但 仍如 也等于
AE 2 DF = ， 那么是否 EB 3 FC
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图 3） 。
就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含 EF 的延 长线） ，也得到
AE 2 AF = = （补足图 3 中的比例式） 。EB 3 FC
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明， 首先引导学生就图 1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题： 对于图 3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图 3 中梯 形的各线段，得出图 4，并使观察、试述出： 三条平行线 l1// l 2 // l 3 在直线 k 1 、 k 2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1 B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2 2 BB 2 AA BB = ，那么 1 2 = ，即 1 2 = 1 2 。A2 A3 3 B2 B3 3 A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。进一步提出： 并概括为：
A1 A2 m BB m = （m、n 为自然数） ，那么怎样证明 1 2 = ？并使学生试证， A2 A3 n B2 B3 n
三条平行线 l1// l 2 // l 3 在直线 k 1 、 k 2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1 B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 B1 B2 = 。A2 A3 B2 B3
在此基础上，教师提出问题：由
A1 A2 B1 B2 = ，利用比例的性质还可得到哪些比例式？ A2 A3 B2 B3
A2 A3 B2 B3 AA BB = ， 1 2 = 1 2 ，等） A1 A2 B1 B2 A1 A3 B1 B3
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含 的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。（三）应用举例 例 1（1）已知：如图 5， l1// l 2 // l 3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。（2）已知：如图 6， l1// l 2 // l 3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
（3）已知：如图 7， l1// l 2 // l 3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。（4）已知：如图 8， l1// l 2 // l 3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由； （2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口 答。例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法” ，又指明“量法”的不足，最 后使他们实践。（四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等 分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况， “证明”平行线分线段成比例定理是通过 转化为平行线等分线段定理来解决的。2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应 线段，否则就会产生错误。（五）布置作业
补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。四、教学过程： 一、复习 1．求出下列各式中的 x：y。（1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。2．已知 x:y=7:2，求 x:(x+Y) 3．已知 x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z) 二、新课学习
1．提出问题，使学生思考。如果两条线段的比是 1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中， 有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学）， 如果答出定理――过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那 么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点， 则 AF=FC） 使学生观察， 并予以分析而得出， 并指出此定理也可谓：如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点,且 EF//BC 交 AC 于 F 点， 如果 AE:EB=1:1， 那么 AE:EB=AF:FC=1:1。2．引导学生探索与讨论。就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 AE:EB 不等于 1:1，譬 如 AE:EB=2:3 时，AF:FC 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出 “猜想”――配合着黑板上画出的相应图观察、明确。而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理――过梯形 一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即提出
问题： 如果 E 不是 AB 的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果 AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？ 引导学生得出 AE:EB=AF:FC 之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理 强调对应线段：
问 AE:CF=AF:EB 成立吗？ 4、例 1 讲解（略) 变式：
已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。
已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。5、例 2 讲解：(略）
分析：已知是给出了&上：下&的比的形式，而结论是求&上：全&，故考虑运用合 比性质。三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明， 平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的 第一个端点来定左、右 四、作业
平行线分线段成比例定理
目的与要求： 1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实 用价值。重点与难点： 重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用 难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。主要教法：综合比较法 一、 复习引入： 1、 2、 平行线分线段成比例定理及推论 △ABC 中， DE∥BC， 若 则
AD AE DE 相等吗？为什 ? , 它们的值与 AB AC BC
么？ 二、 新课： 例 1：已知：如图，DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E
AD AE DE ? ? AB AC BC DE AD AE 分析： 中的 DE 不是△ABC 的边 BC 上，但从比例 ? ,可 BC AB AC
以看出，除 DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将 DE 移到 BC 边上去得 CF=DE，然后再证明
AD CF 就可以了，这只要过 D ? AB BC
作 DF∥AC 交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。结论：平行于三角形的一边，并且和其他 两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原 三角形的三边对应成比例。例 2：已知：△ABC 中，E、G、D、F 分别是边 AB、CB 上的一点，且 GF ∥ED∥AC，EF∥AD 求证：
BG BD ? . BE BC
例 3、已知：△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， 过 C 任作一直线交 AD 于 E，交 AB 于 F。求证：
AE 2 AF ? ED FB
例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AG∥BC，求 证：
EG AF ? ED FC AG （DC=BD） DC
例 5：已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC， 求证： 长线于 E. 例 6：△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 M， 求证：
BD AB ? DC AM AB BD ，过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延 ? AC DC
再证：△MEF≌△CED （由三线合一：ME=EC） 三、 练习： 四、 小结： 1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两 个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定 理的区别。2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也
可以用这个定理。五、 作业 六、 弹性练习： 1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6 求 CD 的长。过 E 作 EH⊥CD 于 H，交 AB 于 G 2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，AB=12， BC=10，AC=8， 求：BD、DC 及 AF 的长。6 4
已知：如图，B 在 AC 上，D 在 BE 上，且 AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
求 AD:DF 过 D 作 DG∥AC 交 FC 于 G（还可过 B 作 EC 的平行线）
DG ED 2 2 ? ? ? DG ? BC BC EB 3 3 1 2 2BC= AC ? DG ? AC 3 9 DF DG 2 2 ? ? ? ? DF ? AF AF AC 9 9 7 从而 AD= AF 故 AD:DF=7:2 9
△ABC 中，DE∥BC，F 是 BC 上一点。
AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm 求(1)DE 的长 (2)
S ?ABC S ?ADE
平行线分线段成比例定理
教学目标 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 2.能初步应用定理及推论进行解题. 教学重点 教学难点 教学过程 一、复习提问： 1. 什么是平行线等分线段定理？ 2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且 AB=BC,则 的比值是多少？ 定理及推论的内容及应用. 定理结论的推理过程.
二、新课讲解： 1.平行线分线段成比例定理
从图 （1） 知， AD∥BE∥CF,且 AB=BC 时， DE=EF,也就是 可 当 则
接着象教材一样，说明
要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到 的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当 AD∥BE∥CF 时，都可得到 = .
接着应用比例的性质。举例得到：
从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例. 注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上. （2）强调对应的意义，并说明上述 6 个比例式中的任何一个都可推导出其他 5 个来.
（3）用形象化的语言描述如下：
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2） 2.定理的应用 （1） 课本例 1
已知：如图，l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4.求 BC. 练习一
(1)如图（6）如果 AE:EB=AF:FC,那么 EF 与 BC 的关系是 若 AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形 EBCD 是 （2） 如图 （7） 若 DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则 EC= ， 则 EC= .若 AD:DB=2:3,EC-AE=2,则 AE= ,EC= （3）如图（8），DE∥AB,那么 AD:DC= ,BC:CE= 形。.若 AD=3,DB=7,AC=8, . 。
（4）如图（9），在梯形 ABCD 中，AD∥BC,E 是 AB 上一点，EF∥BC 交 CD 于 F，若 AE=2,CD=7,则 FC= ,DF= . (2)课本例 2。说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。练习二 1，已知，如图（10），D,E,F 分别在△ABC 的边 AB,AC,BC 上，且 FCED 是平行四 边形，若 BD=7.2,BF=6,AC=8&AD=4,求的周长。
2，已知，如图（11），在△ABC 中，D 是 AB 的中点，F 是 BC 延长线上的点，连结 DF 交 AC 于 E，求证：CF:BF=CE:AE.
平行线分线段成比例定理
一、教学目标： ㈠知识与技能： 1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。2．用推论进行有关计算和证明。㈡教学思考： 通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。㈢解决问题： 学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性， 感悟比例中间量的作用。㈣情感态度： 1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。二、教学重点：推论及应用 三、教学难点：推论的应用 四、教学方法：引导、探究 五、教学媒体：投影、胶片 六、教学过程： 【活动一】引入新课 问题 1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？
学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。在本次活动中，教师应重点关注： 1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。【活动二】探究推论 问题 2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否 还成立？ 问题 3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？
l1 l2 l3 B D
教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。推论：投影出示。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。2．学生能否用定理证明所得推论。设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。【活动三】 问题 4 看图说比例式
? 1 ? DE BC C D B E B ? 2 ? AB A C A D F D C DE E ?3? ABCD E
学生结对子，师生结对子说出比例式。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。3．学生能否体会由平行得出多个比例式。设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。【活动四】 教学例 3 问题 5 已知：如图：BC∥DE，AB=15，AC=9，BD=4， 求：AE
学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生能否顺利写出解决问题的比例式； 2．在小组交流中学生能否在探究中发现解决问题的多种途径及最佳方案。设计意图：以学生分组讨论方式展开探究活动，培养学生探索、发现、找出多种解决问 题的方法的能力。【活动五】 问题 6 如图：DE∥BC，AB=15，AC=7，AD=2，求 EC。老师引导学生独立思考后，说思路，说方法。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否能顺利说出较简便的解题途径。2．学生在语言表达上是否规范。设计意图：培养学生快速解决问题的能力。【活动六】 教学例 4
问题 7 如图：SAPM 中，AM∥BN，CM∥DN， 求证：PA：PB=PC：PD 分析：师生共同完成。过程：由学生自己写出。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否能在复杂图形中找出相应的比例式。2．学生能否体会到比例中间量的作用。
设计意图：培养学生识别图形的能力。【活动七】 问题 8 如图：P 是四边形 OACB 对角线的任意一点，且 PM∥CB，PN∥CA， 求证：OA：AN=OB：MB 同桌交流、研讨，由学生分析讲解，写出过程。在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否快速找到比例的中间量。2．学生书写解题过程是否规范。设计意图：培养学生的语言表达能力。【活动八】 小结： 我们本节课学习了哪些知识，通过探究你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 老师重点关注：1．学生归纳总结能力；2．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反 思学习过程；3．学生对推论的理解及应用程度。思考题：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线） ，所得对应线段成比例，那么 这条直线是否平行于第三边？ 作业布置：
O N A M B P C
相似三角形的判定
〔教学目标〕 1． 掌握判定两个三角形相似的方法： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似。2． 培养学生的观察p发现p比较p归纳能力， 感受两个三角形相似的判定方法 3 与全等三角 形判定方法（AASpASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕 重点：两个三角形相似的判定方法 3 及其应用 难点：探究两个三角形相似判定方法 3 的过程 〔教学设计〕 教学过程 新课引入： 复习两个三角形相似的判定方法 1p2 与全等三角形判定方法 （SSSpSAS）的区别与联系： SSS ↓
设计意图说明
从复习两个三角形相似的判定方 法 1 与全等三角形判定方法（SSS）及 两个三角形相似的判定方法 2 与全等
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相 似。（相似的判定方法 1） SAS ↓ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似。（相似的判定方法 2） 提出问题： 观察两副三角尺，其中同样角度（300 与 600，或 450 与 450）的 两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。↓ 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
三角形判定方法（SAS）的区别与联系 来以旧引新，帮助学生建立新旧知识 间的联系，体会事物间一般到特殊p 特殊到一般的关系。
通过观察同样角度的两副三角 尺，可以发现：两个三角尺大小可能 不同，但它们的形状相同。学生从实 物的比较中容易直观地得到：如果两 个三角形有两组角对应相等，它们很 可能相似。
延伸问题： 作?ABC 与?A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三 角满足∠C=∠C1 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算
BC AC p ，你有什么发现？（学生独立操作并判断） B1C 1 A1C 1
↓ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C1，
作图并动手进行尺规实验来探索 命题成立的可能性，让学生经历定理 的重发现过程， 有助于对定理的理解。
AB BC AC = = 。A1B1 B1C 1 A1C 1
让学生进行协同式小组合作可以 提高实验的效率，并培养学生的合作 能力。
↓ 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小， 再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先 进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法： 探究 3 分别改变这两个三角形边的大小， 而不改变它们的角的大小， 再 试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软 件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不 变因素。） ↓ 归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
把学生利用刻度尺、量角器等作图工 具作静态探究与应用“几何画板”等 计算机软件作动态探究结合起来，丰 富学生的探究体验，帮助学生深入理 解定理的内涵。
若∠A=∠A1，∠B=∠ B1 则? ?A1B1C1 ?ABC ∽
对几何定理作文字语言p图形语言p 符号语言的三维注解有利于学生进行 认知重构，以全方位地准确把握定理 的内容。
应用新知： 例2 如图 27? 2-7，弦 AB 和 CD 相交于⊙O 内一点 P， 求证：PA?PB=PC?PD。
让学生了解运用相似三角形的判 定方法 3 进行判定三角形相似的一般 思路，体会这与运用全等三角形的判 定方法 AASpASA 进行相关证明与计 算的雷同性。
分析：欲证 PA?PB=PC?PD，只需
PA PC PA PC ，欲证 ? ? PD PB PD PB
只需?PAC∽?PDB，欲证?PAC∽?PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
运用相似三角形的判定方法 3 进 行相关证明与计算，让学生在练习中 熟悉定理。让学生及时回顾整理本节课所学 的知识。分层次布置作业，让不同的学生 在本节课中都有收获。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业： 备选题：
如图 AD⊥AB 于 D，CE⊥AB 于 E 交 AB 于 F，则图中相似三 角形的对数有 对。
备选题答案：6
A E F B D C
设计思想： 本节课主要是探究相似三角形的判定方法 3， 由于上两节课已经学习了探究两个三角形相 似的判定引例p判定方法 1p判定方法 2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用 刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结 合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅 提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
相似三角形的判定
〔教学目标〕 4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹 角相等，那么这两个三角形相似。5． 培养学生的观察p发现p比较p归纳能力， 感受两个三角形相似的判定方法 2 与全等三角 形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕 重点：两个三角形相似的判定方法 2 及其应用 难点：探究两个三角形相似判定方法 2 的过程 〔教学设计〕 教学过程 设计意图说明 新课引入： 1． 复习两个三角形相似的判定方法 1 与全等三角形判定方法（SSS） 的区别与联系： 从回顾探究判定引例p判定方法 SSS 1 的过程及复习两个三角形相似的判
↓ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相 似。（相似的判定方法 1） 2． 回顾探究判定引例p判定方法 1 的过程 ↓ 探究两个三角形相似判定方法 2 的途径 提出问题： 利用刻度尺和量角器画?ABC 与?A1B1C1，使∠A=∠A1，
定方法 1 与全等三角形判定方法 （SSS） 的区别与联系两个角度来以旧 引新，帮助学生建立新旧知识间的联 系，体会事物间一般到特殊p特殊到 一般的关系。
AB 和 A1B1
学生通过作图，动手度量三角形 的各边的比例以及三角形的各个角的 大小，从尺规实验的角度探索命题成 立的可能性，丰富学生的尺规作图与 尺规探究经验。
AC 都等于给定的值 k，量出它们的第三组对应边 BC 和 B1C1 的长， A1C 1
它们的比等于 k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B1，∠C 与∠C1 是否相 等？ （学生独立操作并判断） ↓ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边 BC 和 B1C1 的比都等于 k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题： 改变∠A 或 k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用 刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
改变∠A 或 k 值的大小再作尺规 探究，可以培养学生在变化中捕捉不 变因素的能力。
探究方法： 探究 2 改变∠A 或 k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师 应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学 生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。） ↓ 归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
通过几何画板演示验证，培养学生学 习在图形的动态变化中探究不变因素 的能力。
对几何定理作文字语言p图形语言p 符号语言的三维注解有利于学生进行 认知重构，以全方位地准确把握定理 的内容。
若∠A=∠A1， 则?
AB AC = =k A1B1 A1C 1
?ABC∽?A1B1C1
辨析：对于?ABC 与?A1B1C1，如果
AB AC = ，∠B=∠B1， A1B1 A1C 1
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小 组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
通过辨析，使学生对两个三角形相似 判定方法 2 的判定条件- -“并且相应 的夹角相等”具有较深刻的认识，培 养学生严谨的思维习惯。
应用新知： 例 1：根据下列条件，判断 ?ABC 与?A1B1C1 是否相似，并说明 理由： （1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm， ∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm， ∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
让学生了解运用相似三角形的判定方 法 2 进行判定三角形相似的一般思 路，体会这与运用全等三角形的判定 方法 SAS 进行相关证明与计算的雷同 性。
分析: （1）
AB AC 7 = = ,∠A=∠A1＝ A1C 1 3 ? ?ABC∽?A1B1C1
让学生注意到：两个三角形相似判定
AB AC 1 方法 2 的判定条件 “角相等”必须是 = = ,∠B=∠B1＝1200 但∠B 与∠B1 不 “夹角相等”。A1B1 A1C 1 4 是 AB pACp A1B1 pA1C1 的夹角， 所以?ABC 与?A1B1C1 不相似。
运用相似三角形的判定方法 2 进 行相关证明与计算，让学生在练习中 熟悉定理。让学生及时回顾整理本节课所学 的知识。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业： 分层次布置作业，让不同的学生 1． 备选题： 在本节课中都有收获。已知零件的外径为 25cm，要求它的厚度 x，需先求出它的内孔直径 AB，现用一个交叉卡钳（AC 和 BD 的长相等）去量（如图） ，若 OA：
OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度 x。
备选题答案：x=2cm
设计思想： 本节课主要是探究相似三角形的判定方法 2， 由于上节课已经学习了探究两个三角形相似 的判定引例p判定方法 1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计 注意方法上的“新旧联系” ，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法 2 的条件 “相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示 反例”的学习形式来加深学生的印象。
相似三角形的判定（一）
一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的 探究、交流能力． 2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形 相似）――相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它 两边相交，所构成的三角形与原三角形相似） ． 3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 3．难点的突破方法 （1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面） ，应注意两个相似三 角形中，三边对应成比例，
AB BC CA 每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比 ? ? ?B? B?C? C?A? A
的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错； （2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特 殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为 1．两者在定义、记法、性质上稍有 不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比； （3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快
地找到相似三角形的对应角和对应边； （4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出） ： 如△ABC∽△A′B′C′的相似比 相似比就是
AB BC CA ? ? ? k ，那么△A′B′C′∽△ABC 的 ?B? B?C? C?A? A
A ?B? B?C? C?A ? 1 ? ? ? ，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比 AB BC CA k
“放大或缩小”的含义来让学生理解； （5） “平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也 可以简单称为“三角形相似的预备定理” ．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相 似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似． 三、例题的意图 本节课的两个例题均为补充的题目，其中例 1 是训练学生能正确去寻找相似三角形的对 应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的 对应元素：即（1）对顶角一定是对应角； （2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定 是对应角； （3）对应角所对的边一定是对应边； （4）对应边所对的角一定是对应角；对应边 所夹的角一定是对应角． 例 2 是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两 次用到相似三角形的对应边成比例 （也可以先写出三个比例式， 然后拆成两个等式进行计算） ， 学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导． 四、课堂引入 1．复习引入 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A′B′C′中， 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且
AB BC CA ? ? ?k ． A?B? B?C? C?A?
我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′， 则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且
AB BC CA ． ? ? A?B? B?C? C?A?
（3）问题：如果 k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．思考判断相似三角形的条件． 3． 【归纳】 三角形相似的预备定理 原三角形相似． 五、例题讲解 例 1 补充） （ 如图△ABC∽△DCA， AD∥BC， ∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与
（3）若 AB=10,BC=12,CA=6．求 AD、DC 的长． 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于 （3）可由相似三角形对应边的比相等求出 AD 与 DC 的长． 解：略（AD=3，DC=5） 例2 （补充） 如图， 在△ABC 中， DE∥BC， AD=EC， DB=1cm， AE=4cm， BC=5cm，求 DE 的长． 分析：由 DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质， AD AE DE AD 有 ，又由 AD=EC 可求出 AD 的长，再根据 求出 DE 的长． ? ? AB AC BC AB 10 解：略（ DE ? ） ． 3 六、课堂练习 1． （选择）下列各组三角形一定相似的是（ A．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 （ ） A．1 对 10） 七、课后练习 1．如图，△ABC∽△AED, 其中 DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式． B．2 对 C．3 对 D．4 对 ）
B．两个钝角三角形 D．两个等边三角形
2． （选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有
3． 如图， □ABCD 中， 在 EF∥AB， DE:EA=2:3， EF=4， CD 的长． 求 （CD=
3．如图，DE∥BC， （1）如果 AD=2，DB=3，求 DE:BC 的值； （2）如果 AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求 AE 和 BC 的长．
相似三角形的判定
一、教学目标 1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比 相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；
通过画图、度量等操作，培养}
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