用数学归纳法证明泰勒公式
一般的高等数学教材中[1]都介绍了关于泰勒公式的如下两个命题:
潍坊工商职业学院建筑工程系,262200
鲁东大学数学与信息学院,264025
年，卷(期)
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先说明一下情况，LZ是14年考研的，昨天复习到泰勒公式的时候顿时懵了，看书发现真复杂，书上没太多解释，劈头盖脸的就是一堆推导过程，最重要的是，LZ作为经管类学生，老！湿！讲！到！这！里！的！时！候!直！接！跳！过！去！了！根！！本！！没！！讲！！过！！！
于是LZ上网搜，看看有没哪位师兄可以照自己的理解用简单的语言讲一下这个泰勒公式是什么东西？可以吃吗？吃下去会不会闹肚纸？！结果发现根！本！没！有！基本都是要么搬书上的，要么就是三言两语带过了。直到我找到下面的那俩视频。这个是我偶尔搜到的，北方民族大学精品课，主讲老师是：叶志萍。不是什么很出名的课，或者考研辅导课什么的，但，不管看什么视频，学的会才是王道，不是吗？
这个老师讲的挺细致的，从为什么要有泰勒公式，泰勒公式的作用是什么→泰勒公式及其变型的推导过程→泰勒公式常用函数的推导→泰勒公式的解题实战，讲的很清楚，很有条理，虽然长是长了点，但看完我觉得泰勒公式确实需要那么长的课时才能把它完整的说明白。好了，不罗嗦了，视频如下：（分两段，每段一个小时十五分钟左右）
不知道这个课有没高数完整版的，如果有的话，求发布！！感谢
还有几天10年的就要考了，祝各位考研学子金榜题名！
你的老师算是个好老师了
我的老师教你求导、微分和积分，然后就考试了
先顶&&回家再看！
同LZ……TAT
我们泰勒公式也是完！全！没！讲！啊！！
貌似youku上有个“高等数学 北方民族”的专辑（？）
就不晓得是不是同一个的老师全不全了OTL
来看看！刚好复习到泰勒。。。
好长啊，先留着，慢慢看~~
顶！顶！顶！
留名，以后留着看，楼主辛苦了
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泰勒公式证明及其应用.doc 15页
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一．摘要…………………………………………………………………………………………………………3 二、?泰勒公式极其…………………… ……...3 （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式………………3
（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式……………（三）带有柯西型余项的泰勒公式…………………………………………… ……………6
（五）二元函数的泰勒公式…………………………………..7
三、?? 泰勒公式的若干应用…………………………（一）利用泰勒公式求极限…………………………（二）利用泰勒公式……………………9
（三）利用泰勒公式……………………10
（四）利用泰勒公式…………………12
（五）利用泰勒公式……………………13
（六）利用泰勒公式……………15
（）利用泰勒公式研究函数的极值………………………………………………16
参考文献 …………………………………………………………………………………………………17
公式的证明及应用
【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法
【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数
1、常见公式定义及其证明
我们通常所见的公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的公式和高阶函数的公式。
定义：设函数存在n阶导数，由这些导数构成n次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。
1.1首先是带皮亚诺型余项的公式：
若函数在点存在且有阶导数，则有即 . 2
其中是由这些导数构造的一个次多项式，
称为函数在点处的多项式，的各项系数称为系数。从上易知与其多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即 ，. （4）
证明：设，，
现在只要证 由关系式（4）可知，
因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次， 得到
称为公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的公式。
1.2 其次是带有拉格朗日型余项的公式： 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，至少存在一点，使得 （1）
证明：作辅助函数
所需证明的（1）式即为 或
不妨设，则与在上连续，在内可导，且，
又因，所以由柯西中值定理证得 ，
它的余项为 ，
称为拉格朗日余项。所以（1）式又称为带有拉格朗日型余项的公式。
1.3 柯西型公式：
若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，使得 （5）
证明：作辅助函数
应用柯西中值定理可得，存在，使得
令 即可得到（5）式。
积分型公式： 如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数, 则当x 在内时, 可表示为的一个次多项式与一个余项之和:
其中 证明：由公式得：
其中 1.5 二元函数的公式：
若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内的任一点，存在相应的，使得 （6）
（6）式称为二元函数在点的阶公式，其中
证明：作辅助函数 由定理的假设，一元函数在上满足一元函数定理条件，于是有 （7）
应用复合函数求导法则，可求得的各阶导数：
当时，则有 （8）
将（8），（9）式代入（7）式就得到了公式（6）。
2 、公式的应用：
求极限、求高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值
2.1 求极限
例1、求极限
又，将用公式展开
2.2 求高阶导数
例2、设，求。
分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在处的麦克劳林展开式。
解： （１０）
又在处的麦克劳林展开式为
　　（１１） 比较（１０），（１１）中的系数可得， ， 由展开的唯一性，并有公式的各项系数 则可得到高阶导数，即。
在高阶倒数的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便。
2．3 判断敛散性
例3、讨论级数，的敛散性。
于是当时，级数收敛，当时，级数发散。
例4、设在点的某一邻域内有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。
分析：由条件中的在点的某一邻域内有二阶连续导数可知使用 公式，再由可得出关系，这使得在点处的展开式更简单，便于利用比较判别法判断收敛。
解：由及在点的某一邻域内有二阶连续导数可得出，，将在点的某一邻域内展开成一
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