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数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案
第 1 章时域离散信号和时域离散系统第1章 时域离散信号和时域离散系统1.1 1.2 1.3 1.4 学习要点与重要公式 解线性卷积的方法 例题 习题与上机题解答第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.1学习要点与重要公式?本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同， 尤其是处理 方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数 字系统则通过运算方法实现。 如果读者对本章关于时域离散 信号与系统的若干基本概念不清楚， 则学到数字滤波器时，会感到“数字信号处理”这门课不好掌握， 总觉得学习的不踏实。 因此学好本章是极其重要的。第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.1.1学习要点?（1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。 ? （2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递 推解法。? （3） 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的 模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由 采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信 号恢复成模拟信号。第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.1.2重要公式?（1）y ( n) ?m ? ??? x(m)h(n ? m) ? x(n) * h(n)?这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间 对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。第 1 章时域离散信号和时域离散系统（2）x(n)=x(n)*δ(n)? x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。（3）1 ? ? X n ( j? ) ? X a ( j? ? jk?s ) T k ????这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对 信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。sin[π(t ? nT ) / T ] xa (t ) ? xa (nt) π(t ? nT ) / T n ? ????这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.2解线性卷积的方法?解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用 MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于 画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。第 1 章时域离散信号和时域离散系统解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解，这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。 ?设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。?该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公 式可表示为 y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}第 1 章时域离散信号和时域离散系统第 1 章时域离散信号和时域离散系统下面用解析法求解， 写出卷积公式为y(n) ?m ? ??? x(m)h(n ? m) ? ? R (m)R (n ? m)4 4 m ? ????在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3， R4(n－m)的 非零区间为0≤n－m≤3， 或写成n－3≤m≤n， 这样y(n)的非零区间要求m同时满足下面两个不等式：0≤m≤3? m－3≤m≤n 上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分 段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值：第 1 章时域离散信号和时域离散系统max{0, n－3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0， 上限应该是n； 当4≤n≤6时， 下限应该是n－3， 上限应该是3； 当n&0或n&6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况 计算：? （1） n&0或n&6时， ? y(n)=0? （2） 0≤n≤3时，y ( n) ?m ?0?1 ? n ? 1n第 1 章时域离散信号和时域离散系统（3） 4≤n≤6时，y ( n) ?m ? n ?3?1 ? 7 ? nn将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)=?n ? 1 ? y (n) ? ?7 ? n ?0 ?0≤n≤3? 4≤n≤6?其它第 1 章时域离散信号和时域离散系统在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题 中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n&0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有 重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3， 图 形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a)， 重叠部分的上下限自 然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6， 如图1.2.1(d)所 示， 重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n， 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。第 1 章时域离散信号和时域离散系统图1.2.1第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.3 例题?［例1.3.1］ 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为 周期的周期序列。 ? 证明： ? y ( n) ? h( n) * x ( n) ? h(m) x(n ? m)m ? ???因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 x(n＋kN－m)=x(n－m) 将上式代入（1）式， 得到y(n) ? h(n) * x(n ? kN ) ?m ? ??? h(m) x(n ? kN ? m) ? y(n ? kT )?上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。第 1 章时域离散信号和时域离散系统［例1.3.2］线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为?h(n)=a－nu(－n)计算该系统的单位阶跃响应。 ? 解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则s(n) ? h(n) * x(n) ?m ? ??? h(m)u(n ? m)??m ? ????a ?mu (?m)u (n ? m)第 1 章时域离散信号和时域离散系统按照上式， s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定: m≤0 及 m≤n （1） n≤0时,s(n) ?m ? ???na ?m ?m?? n??am ?m??n?0am ?m ?0??am ?11 ? a ?n 1 ? ? ?1 ?1 1? a 1? a1 ? a ?n 1 a ?n ? ? ? a ?1 1? a 1? a第 1 章时域离散信号和时域离散系统（2） n&0 时,s ( n) ?m ? ???0a ?m ?m ?0??am ?1 1? a最后得到1 s(n) ? [a ?nu(?n) ? u(n ? 1)] 1? a［例1.3.3］ 设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n) 分别为? j? h ( n) ? ? ? u ( n) ?2?nj ? ?1第 1 章时域离散信号和时域离散系统x(n)=cos(πn)u(n)求系统的稳态响应y(n)。 ? 解 x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)y ( n) ?n ? ?????h ( m) x ( n ? m) ?m? j? n?m ? ? u (m)(?1) 2 n ? ?? ? ???mn ? j? ? j? ? (?1) n ? m ? (?1) n ? ? ? ? ? 2 2? n ? ?? ? ? m ?0 ???mj? ? 1 ? ?1 ? ? ? 2? ? (?1) n j 1? 2n ?1第 1 章时域离散信号和时域离散系统当n→∞时， 稳态解为4 2? y (n) ? (?1) ? ? j ? ?5 j? ? ?［例1.3.4］ 假设5项滑动平均滤波器的差分方程为n?y(n)=1 ［x(n)+x(n－1)+x(n－2)+x(n－3)+x(n－4)］ 5输入信号用图1.3.1表示， 画出该滤波器输出的前16个序列值的波形， 并说明该滤波器对输入信号起什么作用。第 1 章时域离散信号和时域离散系统图1.3.1第 1 章时域离散信号和时域离散系统解： 已知系统的差分方程和输入信号求系统输出， 可 以用递推法求解， 这里采用MATLAB函数filter 计算。调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程exp134.m如下： ? %程序exp134.m? %调用conv实现5项滑动平均滤波? xn=0.5*ones(1， 15)； xn(4)=1； xn(6)=1； xn(10)=1；hn=ones(1， 5)； ?yn=conv(hn， xn)；第 1 章时域离散信号和时域离散系统%以下为绘图部分?n=0： length(yn)－1； ?subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， ′.′)? xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序运行结果如图1.3.2所示。 由图形可以看出， 5项滑 动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用， 将信号的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。第 1 章时域离散信号和时域离散系统图1.3.2第 1 章时域离散信号和时域离散系统［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n) －u(n－3)， 试求信号x(n)， 它满足x(n)=x1(n)*x2(n), 并画出 x(n)的波形。 解： 这是一个简单的计算线性卷积的题目。 x(n)=x1(n)*x2(n)? =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3)］? =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n)? =R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2)?=δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4)画出x(n)的波形如图1.3.3所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统图1.3.3第 1 章时域离散信号和时域离散系统［例1.3.6］已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示， 试求y(n)=x(2n)*x(n)， 并绘出y(n)的波形。 （选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题）? 解： 这也是一个计算线性卷积的题目， 只不过要先求出 x(2n)。 解该题适合用列表法(图解法)。 x(2n)={1, 1, 1, 0.5}?y(n)=x(2n)*x(n)={1, 2, 3, 3, 3, 3, 2.75, 2, 1, 0.25} 绘出y(n)的波形如图1.3.4(b)所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统图1.3.4第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.4习题与上机题解答?1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图第 1 章时域离散信号和时域离散系统解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)?+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)? 2． 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 －4≤n≤－1? 0≤n≤4? 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； ? (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；第 1 章时域离散信号和时域离散系统（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； ?（4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； ?（5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。 ?解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)??m ? ?4? (2m ? 5)? (n ? m) ?? 6? (n ? m)m ?0?14第 1 章时域离散信号和时域离散系统（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 ?(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 ?(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴 为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图 （四）所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统题2解图（一）第 1 章时域离散信号和时域离散系统题2解图（二）第 1 章时域离散信号和时域离散系统题2解图（三）第 1 章时域离散信号和时域离散系统题2解图（四）第 1 章时域离散信号和时域离散系统3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其 周期。 ??? ?3 (1) x(n) ? A cos? πn ? ? 8? ?7A是常数(2)x ( n) ?1 j( n ?? ) e 8解： （1） 因为ω=3 7 π, 所以2π数， 因此是周期序列， 周期T=14。? （2） 因为ω=1 , 所以 8 2π14 , 这是有理 ? ? 3?=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。第 1 章时域离散信号和时域离散系统4． 对题1图给出的x(n)要求： ?(1) 画出x(－n)的波形； ?1 (2) 计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 2 1 ［x(n)－x(－n)］， 并画出x (n)波形; (3) 计算xo(n)= o 2? (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得 到什么结论？?第 1 章时域离散信号和时域离散系统解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。?(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 ?(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统题4解图（一）第 1 章时域离散信号和时域离散系统题4解图（二）第 1 章时域离散信号和时域离散系统题4解图（三）第 1 章时域离散信号和时域离散系统(4) 很容易证明： ?x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)? 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序 列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可 以用题中(3)的公式计算。 ? 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分 别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)? （2）y(n)=2x(n)+3? （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x(－n)? n0为整常数?第 1 章时域离散信号和时域离散系统（5）y(n)=x2(n)? （6）y(n)=x(n2)?m) ? x (?n（7）y(n)=m ?0（8）y(n)=x(n)sin(ωn)? 解： （1） 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)?y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n―n0―1)+3(n－n0－2)? =y′(n)第 1 章时域离散信号和时域离散系统故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］? =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。?第 1 章时域离散信号和时域离散系统（2） 令输入为x(n－n0) 输出为y′(n)=2x(n－n0)+3?y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 x(n－n1) 输出为 y′(n)=x(n－n1－n0)? y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0)? =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延时器是线性系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统(4) y(n)=x(－n)?令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(－n+n0)?y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系统是线性系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)? =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 因此系统是非时变系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统（5） y(n)=x2(n)? 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x2(n－n0)?y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］? =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统（6） y(n)=x(n2)? 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x((n－n0)2)?y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)?=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统（7） y(n)=令输入为输出为m ?0?nx(m)? x(n－n0)y′(n)=m ?0 n ? n0 m ?0?=0[DD)]x(m-n0)? ?x(m)≠y′(n)ny(n－n0)=故系统是时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］= 故系统是线性系统。m ?0 =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］?n［ax1(m)+bx2(m)］?第 1 章时域离散信号和时域离散系统（8） y(n)=x(n) sin(ωn)? 令输入为 x(n－n0) 输出为y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)?y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)?=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 ? （1） y(n)=N ?1 k ?01 N?x(n－k)?（2） y(n)=x(n)+x(n+1)?n ? n0（3） y(n)=k ? n ? n0? x(k)?（4） y(n)=x(n－n0)? （5） y(n)=ex(n)?第 1 章时域离散信号和时域离散系统解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定系统。? （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。? （3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤n ? n0 k ? n ? n0?|x(k)|≤|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n0&0， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。第 1 章时域离散信号和时域离散系统（4）假设n0&0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定的。? （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n) 的未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统 是稳定的。?7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=m ? ????x(m)h(n－m)第 1 章时域离散信号和时域离散系统题7图第 1 章时域离散信号和时域离散系统y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}第 1 章时域离散信号和时域离散系统解法（二） 的表达式分别为采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)? 1 h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 2 由于x(n)*δ(n)=x(n)?x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故第 1 章时域离散信号和时域离散系统y(n)=x(n)*h(n)?1 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］? 2 1 =2x(n)+x(n－1)+ x(n－2) 2将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)第 1 章时域离散信号和时域离散系统8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别 有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 ? （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)? （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2)? （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)? 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=m ? ????R4(m)R5(n－m)?先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的 非零区间如下:? 0≤m≤3? －4≤m≤n?第 1 章时域离散信号和时域离散系统根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ?① n&0时， y(n)=0?② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)=m ?0 3? 1=n+1? ?1=8－n?nm?n?4④ n&7时， y(n)=0?第 1 章时域离散信号和时域离散系统最后结果为0y(n)= n+1n&0或n&7?0≤n≤3?8－n 4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 ?(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)?=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］?y(n)的波形如题8解图（二）所示第 1 章时域离散信号和时域离散系统题8解图（一）第 1 章时域离散信号和时域离散系统题8解图（二）第 1 章时域离散信号和时域离散系统(3) y(n)=x(n)*h(n)=m ? ?? ???R5(m)0.5n－mu(n－m) R5(m)0.5－mu(n－m)?=0.5nm ? ???y（n）对于m 的非零区间为 0≤m≤4, ① n&0时， y(n)=0? ② 0≤n≤4时， m≤n第 1 章n时域离散信号和时域离散系统y (n) ? 0.5nm ?0? 0.5?m1 ? 0.5? n ?1 ? ?1 1 ? 0.5=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n ③ n≥5时4y(n) ? 0.5nm ?0? 0.5?m1 ? 0.5 ? 0.5n ? 31? 0.5n 1 ? 0.5?1?5最后写成统一表达式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)第 1 章时域离散信号和时域离散系统9． 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明 下面等式成立： ?（1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)?（2） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n)? （3） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)? 证明： （1） 因为 x ( n) ? h( n) ?m ? ??? x(m)h(n ? m)?令m′=n－m,则x ( n) ? h( n) ?m?? ??? x(n ? m?)h(m?) ? h(n) ? x(n)?第 1 章时域离散信号和时域离散系统(2) 利用上面已证明的结果， 得到x(n) ? [h1 (n) ? h2 (n)] ? x(n) ? [h2 (n) ? h1 (n)] ? ?m ? ?? ?? x(m)[h (n ? m) ? h (n ? m)]2 1?m ? ??? x ( m) ??k ? ??h2 (k )h1 (n ? m ? k )第 1 章时域离散信号和时域离散系统交换求和号的次序， 得到x(n) ? [h1 (n) ? h2 (n)] ? ?k ? ?? ? k ? ??? h ( k ) ? x ( m) h ( n ? m ? k )2 m ? ?? 1??? h (k )[ x(n ? k ) ? h (n ? k )]2 1? h2 (n) ? [ x(n) ? h1 (n)]? [ x(n) ? h1 (n)] ? h2 (n)第 1 章时域离散信号和时域离散系统(3) x(n) ? [h1 (n) ? h2 (n)] ? ?m ? ?? ?? x(m)[h (n ? m) ? h (n ? m)]1 2?m ? ??? x(m)h (n ? m) ? ? x(m)h (n ? m)1 m ? ?? 2?? x(n) ? h1 (n) ? x(n) ? h2 (n)10． 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的 输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)={x0, x1, x2, …, xk, …}， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。第 1 章时域离散信号和时域离散系统解：y ( n) ? x ( n) ? h( n) 3 ? ? xm 0.5n ? m u (n ? m) 8 m ? ???3 n ? xm 0.5n ? m 8 m ?0?n≥0n=0时，3 y(n) ? x0 83 1 1? m 3 y ( n) ? xm 0.5 (0.5 x0 ? x1 ) 8 m ?0 8n=1时，?第 1 章时域离散信号和时域离散系统n=2时，3 2 3 y ( n) ? xm 0.52?m ? (0.52 x0 ? 0.5 x1 ? x2 ) 8 m ?0 8??最后得到3 n y (n) ? ? 0.5 m x n ?m 8 m ?01 1 y (n) ? y (n ? 1) ? x(n) ? x(n ? 1) 2 211． 设系统由下面差分方程描述：设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。第 1 章时域离散信号和时域离散系统解： 令x(n)=δ(n), 则1 1 h(n) ? h(n ? 1) ? ? (n) ? ? (n ? 1) 2 2n=0时，1 1 h(0) ? h(?1) ? ? (0) ? ? (?1) ? 1 2 2n=1时，1 1 1 1 h(1) ? h(0) ? ? (1) ? ? (0) ? ? ? 1 2 2 2 2第 1 章时域离散信号和时域离散系统n=2时，1 1 h(2) ? h(1) ? 2 21 ?1? h(3) ? h(2) ? ? ? 2 ?2?2n=3时，归纳起来， 结果为?1? h(n) ? ? ? ?2?n ?1u(n ? 1) ? ? (n)第 1 章时域离散信号和时域离散系统12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 ?解： 分析的方法是让系统输入分别为δ(n)、 δ(n－1)、 δ(n)+δ(n－1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理 和非时变性。 ? （1） 令x(n)=δ(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。y1 (n) ? ay1 (n ? 1) ? ? (n)该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为? y1(n)=anu(n)第 1 章时域离散信号和时域离散系统(2) 令x(n)=δ(n－1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。y 2 (n) ? ay2 (n ? 1) ? ? (n ? 1)n=0时，y2 (0) ? a y2 (?1) ? δ(?1) ? 0n=1时， n=2时，y2 (1) ? a y2 (0) ? δ(0) ? 1y2 (2) ? a y2 (1) ? δ(1) ? a任意 n 时，?y2 (n) ? a n?1第 1 章时域离散信号和时域离散系统最后得到y2 (n) ? a n?1u(n ? 1)(3) 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系统的输出用y3(n)表示。y3 (n) ? ay3 (n ? 1) ? ? (n) ? ? (n ? 1)n=0时，y3 (0) ? a y3 (?1) ? δ(0) ? δ(?1) ? 1n=1时， n=2时，y3 (1) ? a y3 (0) ? δ(1) ? δ(0) ? a ? 1y3 (2) ? a y3 (1) ? δ(2) ? δ(1) ? (1 ? a)a ? a ? a 2第 1 章时域离散信号和时域离散系统n=3时，y3 (3) ? a y3 (2) ? δ(3) ? δ(2) ? (a ? a2 )a ? a2 ? a3?任意 n 时，y3 (n) ? a ? ann ?1最后得到y3 (n) ? a n?1u(n ? 1) ? a nu(n)第 1 章时域离散信号和时域离散系统由（1）和（2）得到 y1(n)=T［δ(n)］, y2(n)=T［δ(n－1)］?y1(n)=y2(n－1)因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情 况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T ［δ(n)+δ(n－1)］。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到 y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n), 0&a&1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。第 1 章时域离散信号和时域离散系统13． 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。? （1） 求出xa(t)的周期；? （2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信 ? 号 x a (t ) 的表达式；? ? （3） 画出对应 x a (t ) 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 ? 解： （1） xa(t)的周期为1 T ? ? 0.05 s f第 1 章时域离散信号和时域离散系统（2）? xa (t ) ?n ? ??? cos(2πfnT ? j )? (t ? nT ) ? ? cos(40πnT ? j )δ(t ? nT )n ? ????（3） x(n)的数字频率ω=0.8π， 故 周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 画出其波形如题13解图所示。2π5 ? ， 因而 ? 2第 1 章时域离散信号和时域离散系统题13解图第 1 章时域离散信号和时域离散系统14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为1 y (n) ? ( x(n) ? x(n ? 1) ? x(n ? 2) ? x(n ? 3) ? x(n ? 4)) 5（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应；? （2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得 到该滤波器的单位脉冲响应， 即1 h(n) ? [? (n) ? δ(n ? 1) ? δ(n ? 2) ? δ(n ? 3) ? δ(n ? 4)] 5第 1 章时域离散信号和时域离散系统（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为y ( n) ?k ? ??? x ( k ) h( n ? k )?表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不 动， h(k)反转后变成h(－k)， h(n－k)则随着n的加大向右滑 动， 每滑动一次， 将h(n－k)和x(k)对应相乘， 再相加和平 均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计 算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清 楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。第 1 章时域离散信号和时域离散系统第 1 章时域离散信号和时域离散系统15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为 1 y (n) ? y (n ? 1) ? x(n) ? 2 x(n ? 2) 2x(n) ? ?1, 2, 3, 4, 2, 1 ?用递推法计算系统的零状态响应。 ?解： 求解程序ex115.m如下： ? %程序ex115.m? % 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2)? xn=［1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)］； %x(n)=单位脉冲序列， 长度N=31? B=［1， 0， 2］； A=［1， 0.5］； %差分方程系数第 1 章时域离散信号和时域离散系统yn=filter(B， A， xn)%调用filter解差分方程， 求系统输出信号y(n)?n=0： length(yn)－1； ? subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， ′.′) ； axis(［1， 15， －2， 8］)? title(′系统的零状态响应 ′)； xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序运行结果：第 1 章时域离散信号和时域离散系统yn =[1.0 4.0 1.6 0.1 -0.3 -0.6 -0.1 -0.05.8 0.1 -0.3 -0.4 -0.0]程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统题15*解图第 1 章时域离散信号和时域离散系统16*. 已知两个系统的差分方程分别为?（1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n)?（2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2)? 分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解： （1） 系统差分方程的系数向量为? B1=1， A1=［1， －0.6， 0.08］? （2） 系统差分方程的系数向量为? B2=［2， 0， －1］, A2=［1， －0.7， 0.1］第 1 章时域离散信号和时域离散系统调用MATLAB函数filter计算两个系统的系统的单位脉冲 响应和单位阶跃响应的程序ex116.m如下： ? %程序ex116.m? B1=1； A1=［1，－0.6， 0.08］； %设差分方程（1）系数向量? B2=［2， 0， －1］； A2=［1，－0.7， 0.1］； %设差分方程（2）系数向量? %=================================== %系统1? xn=［1， zeros(1， 30)］； %xn=单位脉冲序列， 长度N=31? xi=filtic(B1， A1， ys)； %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi第 1 章时域离散信号和时域离散系统hn1=filter(B1， A1， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号hn1? n=0： length(hn1)-1； ? subplot(3， 2， 1)； stem(n， hn1， ′.′)? title(′(a) 系统1的系统单位脉冲响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′)? xn=ones(1， 30)； %xn=单位阶跃序列， 长度N=31? sn1=filter(B1， A1， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号sn1? n=0： length(sn1)－1； ? subplot(3， 2， 2)； stem(n， sn1， ′.′)第 1 章时域离散信号和时域离散系统itle(′(b) 系统1的单位阶跃响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′)? %======================================? %系统2? xn=［1， zeros(1， 30)］； %xn=单位脉冲序列， 长度N=31? xi=filtic(B2， A2， ys)； %由初始条件计算等效初始条件输入序列xi? hn2=filter(B2， A2， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号hn2? n=0： length(hn2)－1； ? subplot(3， 2， 5)； stem(n， hn2， ′.′)第 1 章时域离散信号和时域离散系统title(′(a) 系统2的系统单位脉冲响应′)；xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′)? xn=ones(1， 30)； %xn=单位阶跃序列， 长度N=31? sn2=filter(B2， A2， xn， xi)； %调用filter解差分方程， 求系统输出信号sn2? n=0： length(sn2)－1； ? subplot(3， 2， 6)； stem(n， sn2， ′.′)? title(′(b) 系统2的单位阶跃响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′) 程序运行结果如题16*解图所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统题16*解图第 1 章时域离散信号和时域离散系统17*. 已知系统的差分方程为y(n)=－a1y(n－1)－a2y(n－2)+bx(n)其中, a1=－0.8, a2=0.64, b=0.866。?（1） 编写求解系统单位脉冲响应h(n)(0≤n≤49)的程序，并画出h(n)(0≤n≤49)；?（2） 编写求解系统零状态单位阶跃响应s(n)(0≤n≤100）的程序， 并画出s(n)(0≤n≤100）。第 1 章时域离散信号和时域离散系统解： 调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程 序ex117.m如下： ? %程序ex117.m? %调用filter解差分方程， 求系统单位脉冲响应和单位阶跃响应?B=0.866； A=［1， －0.8， 0.64］；%差分方程系数向量 %======================================? %（1）求解系统单位脉冲响应， 并画出h(n) ? xn=［1， zeros(1， 48)］；%xn=单位脉冲序列， 长度N=31第 1 章时域离散信号和时域离散系统hn=filter(B1， A1， xn)；%调用filter解差分方程， 求系统输出信号hn?n=0： length(hn)－1； ? subplot(3， 2， 1)； stem(n， hn， ′.′)? title(′(a) 系统的单位脉冲响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′)?%======================================?%（2）求解系统单位阶跃响应， 并画出h(n) ? xn=ones(1， 100)； %xn=单位阶跃序列， 长度N=100第 1 章时域离散信号和时域离散系统sn=filter(B， A， xn)；%调用filter解差分方程， 求系统单位阶跃响应sn? n=0： length(sn)－1； ? subplot(3， 2， 2)； stem(n， sn， ′.′)； axis(［0， 30， 0， 2］)? title(′(b) 系统的单位阶跃响应′)； xlabel(′n′)； ylabel(′s(n)′)?%================================程序运行结果如题17*解图所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统题17*解图第 1 章时域离散信号和时域离散系统18*. 在题18*图中， 有四个分系统T1、 T2、 T3和T4， 四个 分系统分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：?1 ? n T1 : h1 (n) ? ? 2 ?0 ?n ? 0,1,2,3,4,5 其它?1 n ? 0,1,2,3,4,5 T2 : h2 (n) ? ? 其它 ?0第 1 章时域离散信号和时域离散系统1 1 1 T3 : y 3 (n) ? x(n) ? x(n ? 1) ? x(n ? 2) 4 2 4T4 : y(n) ? 0.9 y(n ? 1) ? 0.81y(n ? 2) ? v(n) ? v(n ? 1)编写程序计算整个系统的单位脉冲响应h(n), 0≤n≤99。题18*图第 1 章时域离散信号和时域离散系统解： 由题18*图可知， 可以采用以下步骤计算整个系统的 单位脉冲响应h(n)。 设x(n)=δ(n)， 则v(n)=［h1(n)*h2(n)+h3(n)］该式调用conv函数计算。 h(n)=T4［v(n)］ 该式调用filter函数计算。 ? 调用MATLAB函数conv和filter计算该系统的系统响应的程 序ex118.m如下：第 1 章时域离散信号和时域离散系统%程序ex118.m?%调用conv和filter求总系统单位脉冲响应序列?h1n=［1， 1/2， 1/4， 1/8， 1/16， 1/32］； %对h1n赋值 h2n=ones(1， 6)； ? h3n=［1/4， 1/2， 1/4， zeros(1， 97)］； ? %计算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)?h12n=conv(h1n， h2n)；h12n=［h12n， zeros(1， 89)］； ? vn=h12n++h3n；?第 1 章时域离散信号和时域离散系统%调用filer计算hn等于T4对vn响应?B4=［1， 1］； A4=［1， -0.9， 0.81］； ?hn=filter(B4， A4， vn)； ? %以下为绘图部分? n=0： length(hn)-1； ? subplot(2， 1， 1)； stem(n， hn， ′.′)? xlabel(′n′)； ylabel(′h(n)′) 程序运行结果如题18*解图所示。第 1 章时域离散信号和时域离散系统题18*解图
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