已知直线a平行于b线面平行 怎么可能就直接推出线和线平行？
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时间：2017-10-21 11:59
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给出下列四个命题：①过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；②过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行；③如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果两个平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．&&&其中正确的是（ ）A．①③B．①②C．②③D．③④
题型：单选题难度：中档来源：不详
①正确，因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内；②正确，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，因为只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可；③错，如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面可能平行，可能相交；④错，如墙角上的三个平面，它们的交线相交于一点，故选B．
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据魔方格专家权威分析，试题“给出下列四个命题：①过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；②过..”主要考查你对&&真命题、假命题&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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真命题、假命题
命题的概念：
1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题； 2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 注意：
1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。
发现相似题
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数学学习方法：辅助线应该怎么加？
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。而在数学这学科，辅助线就是解决一些问题的连接桥梁，学会辅助线的做法很重要。 基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： (1)连对角线或平移对角线： (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形 (3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 (5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有： (1)在梯形内部平移一腰。 (2)梯形外平移一腰 (3)梯形内平移两腰 (4)延长两腰 (5)过梯形上底的两端点向下底作高 (6)平移对角线 (7)连接梯形一顶点及一腰的中点。 (8)过一腰的中点作另一腰的平行线。 (9)作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 (1)见弦作弦心距 有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。 (2)见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用&直径所对的圆周角是直角&这一特征来证明问题。 (3)见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用&切线与半径垂直&这一性质来证明问题。 (4)两圆相切作公切线 对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。 (5)两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。 想知道更多学习方法现在登录环球优学教育的官方网站
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点线面位置关系典型例题
点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一 例 1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线 a ?平面 ? ，直线 b ? a ? A ，则 b 和 ? 的位置关系如何？ （2）直线 a ? ? ，直线 b // a ，则直线 b 和 ? 的位置关系如何？ 分析： （1）由图（1）可知： b ? ? 或 b ? ? ? A ； （2）由图（2）可知： b // ? 或 b ? ? ．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例 2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是 PA 的中点，求证： PC // 平面 BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平 行就可以了． 证明：如图所示，连结 AC ，交 BD 于点 O ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO ? CO ，连结 OQ ，则 OQ 在平面 BDQ 内，且OQ 是 ?APC 的中位线，∴ PC // OQ ． ∵ PC 在平面 BDQ 外， ∴ PC // 平面 BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平 行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能 证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结 为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三 例 3 经过两条异面直线 a ， b 之外的一点 P ，可以作几个平面都与 a ， b 平行？并证明你的 结论． 分析：可考虑 P 点的不同位置分两种情况讨论． 解： （1）当 P 点所在位置使得 a ， P （或 b ， P ）本身确定的平面平行于 b （或 a ）时，过 P 点再作不出与 a ， b 都平行的平面； （2）当 P 点所在位置 a ， P （或 b ， P ）本身确定的平面与 b （或 a ）不平行时，可过点 P 作 a // a? ，b? // b ．由于 a ，b 异面，则 a? ，b ? 不重合且相交于 P ．由于 a? ? b? ? P ， a? ，b ? 确定的平面 ? ，则由线面平行判定定理知： a // ? ， b // ? ．可作一个平面都与 a ， b 平行． 故应作“0 个或 1 个”平面． 说明：本题解答容易忽视对 P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面 的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线 a // b ， a // 平面 ? ， b ? ? ． 求证： b // ? ． 证明：如图所示，过 a 及平面 ? 内一点 A 作平面 ? ． 设? ? ? ? c ， ∵ a // ? ， ∴ a // c ． 又∵ a // b ， ∴ b // c ． ∵ b ? ? ， c ?? ， ∴ b // ? ． 说明：根据判定定理，只要在 ? 内找一条直线 c // b ，根据条件 a // ? ，为了利用直线和平面 平行的性质定理，可以过 a 作平面 ? 与 ? 相交，我们常把平面 ? 称为辅助平面，它可以起到 桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如， 本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五 例 5 已知四面体 S ? ABC 的所有棱长均为 a ．求： （1）异面直线 SC 、AB 的公垂线段 EF 及 EF 的长； （2）异面直线 EF 和 SA 所成的角． 分析： 依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 SC 、AB 的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移构造法求解． 解： （ 1 ）如图，分别取 SC 、AB 的中点 E、F ，连结SF 、CF ．由已知，得 ?SAB ≌ ?CAB ． ∴ SF ? CF ， E 是 SC 的中点， ∴ EF ? SC ． 同理可证 EF ? AB ∴ EF 是 SC 、AB 的公垂线段． 在 Rt ?SEF 中，2SF ?21 3 a SE ? a 2 ． 2 ，∴ EF ? SF ? SE3 2 1 2 2 a ? a ? a 4 4 2 ．（2）取 AC 的中点 G ，连结 EG ，则 EG // SA ． ∴ EF 和 GE 所成的锐角或直角就是异面直线 EF 和 SA 所成的角．连结 FG ，在 Rt ?EFG 中， 由余弦定理，得EG ?1 1 2 a GF ? a EF ? a 2 ， 2 ， 2 ．1 2 2 2 1 2 a ? a ? a EG2 ? EF 2 ? GF 2 4 4 4 ? 2 cos?GEF ? ? 2 ? EG ? EF 2 1 2 2? a ? a 2 2 ．∴ ?GEF ? 45 ．?故异面直线 EF 和 SA 所成的角为 45 ． 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来， 然后再求值．?典型例题六 例 6 如果一条直线与一个平面平行， 那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在 这个平面内． 已知：直线 a // ? ， B ? ? ， B ? b ， b // a ． 求证： b ? ? ． 分析：由于过点 B 与 a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面 ? 外，不 存在过 B 与 a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法． 证明：如图所示，设 b ? ? ，过直线 a 和点 B 作平面 ? ，且 ? ? ? ? b ．'∵ a // ? ，∴ b // ? ．'这样过 B 点就有两条直线 b 和 b 同时平行于直线 a ，与平行公理矛盾． ∴ b 必在 ? 内． 说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．' 如上图，过直线 a 及点 B 作平面 ? ，设 ? ? ? ? b ．∵ a // ? ，∴ b // ? ．''这样， b 与 b 都是过 B 点平行于 a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴ b 与 b 重合．∵ b ? ? ，∴ b ? ? ．' ''典型例题七 例 7 下列命题正确的个数是（ ） ．(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内，则 l // ? ； (2)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线，则 l // ? ； (3)若直线 l 与平面 ? 平行，则 l 与平面 ? 内的任一直线平行； (4)若直线 l 在平面 ? 外，则 l // ? ． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题 的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按 照直线是否在平面内来分类． 解：(1)直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内，并没有说明是所在点都不在平面 ? 内，因而直线 可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有” ．(2)直线 l 虽与 ? 内 无数条直线平行，但 l 有可能在平面 ? 内，所以直线 l 不一定平行 ? ．(3)这是初学直线与平面 平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当 l // ? 时，若 m ? ? 且 m // l ，则在平 面 ? 内，除了与 m 平行的直线以外的每一条直线与 l 都是异面直线．(4)直线 l 在平面 ? 外，应 包括两种情况： l // ? 和 l 与 ? 相交，所以 l 与 ? 不一定平行． 故选 A． 说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑 要全面．如直线 l 、 m 都平行于 ? ，则 l 与 m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面； 再如直线 l // m 、 l // ? ，则 m 与 ? 的位置关系可能是平行，可能是 m 在 ? 内． 典型例题八 例 8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线 a // b ， a ? 平面? ? P ．求证：直线 b 与平面 ? 相交．分析：利用 a // b 转化为平面问题来解决，由 a // b 可确定一辅助平面 ? ，这样可以把题中相 关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用． 解：∵ a // b ， ∴ a 和 b 可确定平面 ? ． ∵ a ?? ? P ， ∴平面 ? 和平面 ? 相交于过点 P 的直线 l ． ∵在平面 ? 内 l 与两条平行直线 a 、 b 中一条直线 a 相交， ∴ l 必定与直线 b 也相交， 不妨设 b ? l ? Q ， 又因为 b 不在平面 ? 内 （若 b 在平面 ? 内， 则? 和 ? 都过相交直线 b 和 l ，因此 ? 与 ? 重合， a 在 ? 内，和已知矛盾） ． 所以直线 b 和平面 ? 相交． 说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平 面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点， 则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明） ． 典型例题九 例 9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知： a 与 b 是异面直线．求证：过 b 且与 a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义． “有” 就是要证明过直线 b 存在一个平面 ? ，且 a // ? ， “只有”就是要证满足这样条件的平面是唯 一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论． 证明：(1)在直线 b 上任取一点 A ，由点 A 和直线 a 可确定平面 ? ． 在平面 ? 内过点 A 作直线 a ，使 a // a ，则 a 和 b 为两相交直线，' ' '所以过 a 和 b 可确定一平面 ? ．'∵ b ? ? ， a 与 b 为异面直线， ∴ a ?? ． 又∵ a // a ， a ? ? ，' '∴ a // ? ． 故经过 b 存在一个平面 ? 与 a 平行． (2)如果平面 也是经过 b 且与 a 平行的另一个平面， 由上面的推导过程可知 也是经过相交直线 b 和 a 的． 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面 ? 与 重合， 即满足条件的平面是唯一的． 说明：对于两异面直线 a 和 b ，过 b 存在一平面 ? 且与 a 平行，同样过 a 也存在一平面 ? 且 与 b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证） ．对于异面直线 a 和 b 的距离，也可转化??'? 为直线 a 到平面 ? 的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法． 典型例题十 例 10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知： ? ? ? ? l ， a // ? ， a // ? ，求证： a // l ． 分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理， 可以先证明直线 a 分别和两平面的某些直线平行， 即线面平行可得线线平行． 然后再用线面平 行的判定定理和性质定理来证明 a 与 l 平行．证明：在平面 ? 内取点 P ，使 P ? l ，过 P 和直线 a 作平面 ? 交 ? 于 b ． ∵ a // ? ， ∴ a // b ． 同理过 a 作平面 ? 交 ? 于 c ． ∵ a // ? ， a ? ? ， ? ? ? ? c ， ∴ a // c ． ∴ b // c ． ∵b ? ? ，c ? ? ， ∴ b // ? ． 又∵ b ? ? ， ? ? ? ? l ， ∴ b // l ． 又∵ a // b ， ∴ a // l ．a ? ? ， ? ?? ? b ， 另证：如图，在直线 l 上取点 M ， 过 M 点和直线 a 作平面和 ? 相交于直线 l1 ，和 ? 相交于直线 l 2 ．∵ a // ? ，∴ a // l1 ， ∵ a // ? ，∴ a // l2 ， 但过一点只能作一条直线与另一直线平行． ∴直线 l1 和 l 2 重合． 又∵ l1 ? ? ， l2 ? ? ， ∴直线 l1 、 l 2 都重合于直线 l ， ∴ a // l ． 说明： “线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体 几何中非常重要． 典型例题十一Q， 例 11 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ， 在 AE 、BD 上各取一点 P 、且 AP ? DQ ．求证： PQ // 面 BCE ． 分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面 BCE 中如何 找一直线与 PQ 平行．可考察过 PQ 的平面与平面 BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找 的交线也不同． 证明一：如图，在平面 ABEF 内过 P 作 PM // AB 交 BE 于 M ， 在平面 ABCD 内过 Q 作 QN // AB 交 BC 于 N ，连结 MN ． PM PE ? AE ． ∵ PM // AB ，∴ AB又∵ QN // AB // CD ，QN BQ QN BQ ? ? BD ，即 AB BD ． ∴ DC∵正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB ， ∴ AE ? DB ． ∵ AP ? DQ ，∴ PE ? BQ ． ∴ PM ? QN ． 又∵ PM // AB ， QN // AB ， ∴ PM // QN ． ∴四边形 PQNM 为平行四边形． ∴ PQ // MN ． 又∵ MN ? 面 BCE ， ∴ PQ // 面 BCE ． 证明二：如图，连结 AQ 并延长交 BC 于 S ，连结 ES ． AQ DQ ? QB ． ∵ BS // AD ，∴ QS又∵正方形 ABEF 与正方形 ABCD 有公共边 AB ， ∴ AE ? DB ， ∵ AP ? DQ ，∴ PE ? QB ．AP DQ AQ ? ? ∴ PE QB QS ．∴ PQ // ES ， 又∵ ES ? 面 BEC ， ∴ PQ // 面 BEC ． 说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平 行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法 要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩 形” ，那么题中的结论是否仍然成立？ 典型例题十二 例 12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点． 已知： ? ? ? ? a ， ? ? ? ? b ， ? ? ? ? c ． 求证： a 、 b 、 c 互相平行或相交于一点． 分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手， 根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系． 证明：∵ ? ? ? ? a ， ? ? ? ? b ， ∴ a、b ? ? ． ∴ a 与 b 平行或相交． ①若 a // b ，如图∵ b ? ? ， a ? ? ，∴ a // ? ． 又∵ ? ? ? ? c ， a ? ? ，∴ a // c ． ∴ a // b // c ． ②若 a 与 b 相交，如图，设 a ? b ? O ，∴ O ? a ， O ?b ． 又∵ a ? ? ? ? ， b ? ? ? ? ． ∴ O ?? ， O ?? 又∵ ? ? ? ? c ，∴ O ? c ． ∴直线 a 、 b 、 c 交于同一点 O ． 说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体 ABCD 中，M 、 N 分别是 CC1 、 A1B1 的中点，画出点 D 、 M 、 N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？ 典型例题十三 例 13 已知空间四边形 ABCD ， AB ? AC ， AE 是 ?ABC 的 BC 边上的高， DF 是 ?BCD 的 BC 边上的中线，求证： AE 和 DF 是异面直线． 证法一： （定理法）如图由题设条件可知点 E 、 F 不重合，设 ?BCD 所在平面 ? ． ? DF ? ? ? A ?? ? ? ? ?E ?? ? AE 和 DF 是异面直线． ∴ ? E ? DF证法二： （反证法） 若 AE 和 DF 不是异面直线，则 AE 和 DF 共面，设过 AE 、 DF 的平面为 ? ． (1)若 E 、 F 重合，则 E 是 BC 的中点，这与题设 AB ? AC 相矛盾． (2)若 E 、 F 不重合， ∵ B ? EF ， C ? EF ， EF ? ? ，∴ BC ? ? ． ∵ A? ? ， D ? ? ， ∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面，这与题设 ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立． 故 AE 和 DF 是异面直线． 说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题： “三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清 楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？ 用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 9 个 单数之和仍为单数，与 36 这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题． 典型例题十四 例 14 已知 AB 、 BC 、 CD 是不在同一平面内的三条线段， E 、 F 、 G 分别是 AB 、 BC 、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行．分析： 欲证明 AC // 平面 EFG ， 根据直线和平面平等的判定定理只须证明 AC 平行平面 EFG 内的一条直线，由图可知，只须证明 AC // EF ． 证明：如图，连结 AE 、 EG 、 EF 、 GF ． 在 ?ABC 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点． ∴ AC // EF ．于是 AC // 平面 EFG ． 同理可证， BD // 平面 EFG ． 说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2) 根据直线和平面平行的判定定理． 典型例题十五 例 15 已知空间四边形 ABCD ， P 、 Q 分别是 ?ABC 和 ?BCD 的重心， 求证： PQ // 平面ACD ． 分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明 PQ 与平面 ACD 中的某条直线平行，根据条 件，此直线为 AD ，如图．证明：取 BC 的中点 E ． ∵ P 是 ?ABC 的重心，连结 AE ，∶ 1 ，连结 DE ， 则 AE∶PE ? 3∵ Q 为 ?BCD 的重心，∶ QE ? 3 ∶ 1， ∴ DE∴在 ?AED 中， PQ // AD ． 又 AD ? 平面ACD ， PQ ? 平面ACD ， ∴ PQ // 平面ACD ． 说明：(1)本例中构造直线 AD 与 PQ 平行，是充分借助于题目的条件： P 、 Q 分别是 ?ABC 和 ?BCD 的重心，借助于比例的性质证明 PQ // AD ，该种方法经常使用，望注意把握． (2)“欲证线面平行，只须证线线平行” ．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根 据问题具体情况要熟练运用． 典型例题十六 例 16 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 、 G 分别是 BC 、 C1 D1 的中点如下图． 求证： EG // 平面BB1D1D ．分析：要证明 EG // 平面BB1D1D ，根据线面平等的判定定理，需要在平面 BB1D1D 内找到与EG 平行的直线，要充分借助于 E 、 G 为中点这一条件．证明：取 BD 的中点 F ，连结 EF 、 D1F ． ∵ E 为 BC 的中点，∴ EF 为 ?BCD 的中位线，则 EF // DC ，且 ∵ G 为 C1 D1 的中点，EF ?1 CD 2 ．∴ D1G // CD 且D1G ?1 CD 2 ，∴ EF // D1G 且 EF ? D1G ，1G 为平行四边形， ∴四边形 EFD 1B 1 ， EG ? 平面BDD 1 B1 ， ∴ D1F // EG ，而 D1F ? 平面BDD 1B 1． ∴ EG // 平面BDD典型例题十七 例 17 如果直线 a // 平面? ，那么直线 a 与平面 ? 内的（） ．A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A、B．对于 C，无数条直线可能是一组平行线，也 可能是共点线，∴C 也不正确，应排除 C． 与平面 ? 内任意一条直线都不相交，才能保证直线 a 与平面 ? 平行，∴D 正确． ∴应选 D． 说明：本题主要考查直线与平面平行的定义． 典型例题十八 例 18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 ） ．解：如图中的甲图，分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系； 如图中的乙图，分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系． 综上，可知应选 D． 说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力． 典型例题十九例 19a 、 b 是两条异面直线，下列结论正确的是（） ．A．过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个平面与 a 、 b 平行 B．过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个直线与 a 、 b 相交 C．过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个直线与 a 、 b 都平行 D．过 a 可以并且只可以作一平面与 b 平行 解：A 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平行时，就不能使这个平面与 ? 平行了． B 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平等时，就不能作一条直线与 a ， b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理 4 就可有 a // b ，这与 a ， b 异面矛盾． D 正确，在 a 上任取一点 A，过 A 点做直线 c // b ， 则 c 与 a 确定一个平面与 b 平行，这个平面是惟一的． ∴应选Ｄ． 说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念． 典型例题二十 例 20 (1)直线 a // b ， a // 平面? ，则 b 与平面 ? 的位置关系是_____________． (2) A 是两异面直线 a 、 b 外的一点，过 A 最多可作___________个平面同时与 a 、 b 平行． 解：(1)当直线 b 在平面 ? 外时， b // ? ；当直线 b 在平面 ? 内时， b ? ? ． ∴应填： b // ? 或 b ? ? ． (2)因为过 A 点分别作 a ， b 的平行线只能作一条， （分别称 a ， b ）经过 a ， b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面； 还有不能作的可能，当这个平面经过 a 或 b 时，这个平面就不满足条件了． ∴应填：1． 说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键． 典型例题二十一 例 21 如图， a // ? ， A 是 ? 的另一侧的点， B, C, D ? a ，线段 AB ， AC ， AD 交 ? 于 E ，' ' ' 'F ， G ，若 BD ? 4 ， CF ? 4 ， AF ? 5 ，则 EG =___________． 解：∵ a // ? ， EG ? ? ? 平面ABD ． ∴ a // EG ，即 BD // EG ，EF FG AF EF ? FG EG AF ? ? ? ? ? AF ? FC ． ∴ BC CD AC BC ? CD BD EG ?则AF ? BD 5 ? 4 20 ? ? AF ? FC 5 ? 4 9 ．20 ∴应填： 9 ．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例 性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．二，面面平行的性质与判定典型例题一 例 1：已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ． 求证：平面 AB1D1 // 平面 C1BD ． 证明：∵ ABCD - A1B1C1D1 为正方体， ∴ D1 A // C1B ， 又 C1 B ? 平面 C1BD ， 故 D1 A // 平面 C1BD ． 同理 D1 B1 // 平面 C1BD ． 又 D1 A ? D1B1 ? D1 ， ∴ 平面 AB1D1 // 平面 C1BD ． 说明：上述证明是根据判定定理 1 实现的．本题也可根据判定定理 2 证明，只需连接 A1C 即 可，此法还可以求出这两个平行平面的距离． 典型例题二 例 2：如图，已知 ? // ? ， A ? a ， A ? ? a // ? ． 求证： a ? ? ． 证 明 ： 过 直 线 a 作 一 平 面 ? ， 设 ? ? ? ? a1 ，? ?? ? b ．∵ ? // ? ∴ a1 // b 又 a // ? ∴ a // b 在同一个平面 ? 内过同一点 A 有两条直线 a, a1 与直线 b 平行 ∴ a 与 a1 重合，即 a ? ? ． 说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三 例 3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图， ? // ? ， l ? ? ? A ． 求证： l 与 ? 相交． 证明：在 ? 上取一点 B ，过 l 和 B 作平面 ，由于 与α 有公共点 A ， 与 ? 有公共点 B ．???∴ 与 ? 、 ? 都相交．?设 ? ?? ? a ， ? ? ? ? b ． ∵ ? // ? ∴ a // b 又 l 、 a 、 b 都在平面 ? 内，且 l 和 a 交于 A ． ∵ l 与 b 相交． 所以 l 与 ? 相交．典型例题四 例 4：已知平面 ? // ? ， AB ， CD 为夹在 a ， ? 间的异面线段， E 、 F 分别为 AB 、 CD 的 中点． 求证： EF // ? ， EF // ? ． 证明：连接 AF 并延长交 ? 于 G ． ∵ AG ? CD ? F ∴ AG ， CD 确 定 平 面 ? ， 且 ? ? ? ? AC ，? ? ? ? DG ．∵ ? // ? ，所以 AC // DG ， ∴ ?ACF ? ?GDF ， 又 ?AFC ? ?DFG ， CF ? DF ， ∴ △ ACF ≌△ DFG ． ∴ AF ? FG ． 又 AE ? BE ， ∴ EF // BG ， BG ? ? ． 故 EF // ? ． 同理 EF // ? 说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理． 典型例题六 例 6 如图，已知矩形 ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为 A1 、 B1 、 C1 、 D1 ，且 A1 、B1 、 C1 、 D1 互不重合，也无三点共线．求证：四边形 A1 B1C1 D1 是平行四边形．1 ? ? ， DD 1 ?? 证明：∵ AA 1 // DD 1 ∴ AA 1 确定平面 ? ． 1 和 DD 不妨设 AA1 和 CC1 确定平面 ? ． 同理 BB1 // BB 1 ，且 BB 1 ?? 又 AA 1 // ? ∴ AA同理 AD // ?1 ? AD ? A 又 AA∴ ? // ? 又 ? ? ? ? A1D1 ， ? ? ? ? B1C1 ∴ A1D1 // B1C1 ． 同理 A1B1 // C1D1 ． ∴四边形 A1 B1C1 D1 是平行四边形．典型例题七 例 7 设直线 l 、 m ，平面 ? 、 ? ，下列条件能得出 ? // ? 的是（ A． l ? ? ， m ? ? ，且 l // ? ， m // ?） ．B． l ? ? ， m ? ? ，且 l // m C． l ? ? ， m ? ? ，且 l // mD． l // ? ， m // ? ，且 l // m分析：选项 A 是错误的，因为当 l // m 时，? 与 ? 可能相交．选项 B 是错误的，理由同 A．选 项 C 是正确的，因为 l ? ? ， m // l ，所以 m ? ? ，又∵ m ? ? ，∴ ? // ? ．选项 D 也是错 误的，满足条件的 ? 可能与 ? 相交． 答案：C 说明：此题极易选 A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致． 本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的 准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况． 典型例题八 设平面 ? ? 平面 ? ，平面 ? ? 平面 ? ，且 ? 、 ? 分别与 ? 相交于 a 、 b ， a // b ．求例 8证：平面 ? // 平面 ? ． 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 ? 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们 分别与 ? 平行（如图） ．证明：在平面 ? 内作直线 PQ ? 直线 a ，在平面 ? 内作直线 MN ? 直线 b ．? ∵平面 ? ? 平面 ，? ? ∴ PQ ? 平面 ， MN ? 平面 ，∴ PQ // MN ． 又∵ a // p ， PQ ? a ? Q ， MN ? b ? N ， ∴平面 ? // 平面 ? ． 说明：如果在 ? 、 ? 内分别作 PQ ? ? ， MN ? ? ，这样就走了弯路，还需证明 PQ 、 MN 在? 、 ? 内，如果直接在 ? 、 ? 内作 a 、 b 的垂线，就可推出 PQ // MN ．由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出“线线平行” 、 “线面平行” ，最后得到“面面 平行” ，最后得到“面面平行” ．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非 常重要． 典型例题九 例 9 如图所示，平面 ? // 平面 ? ，点 A 、 C ?? ，点 B、D ? ? ， AB ? a 是 ? 、 ? 的公 垂线， CD 是斜线．若 AC ? BD ? b ， CD ? c ， M 、 N 分别是 AB 和 CD 的中点， (1)求证： MN // ? ； (2)求 MN 的长．分析： （1）要证 MN // ? ，取 AD 的中点 P ，只要证明 MN 所在的平面 PMN // ? ．为此证 明 PM // ? ， PN // ? 即可．(2)要求 MN 之长，在 ?CMA 中， CM 、 CN 的长度易知，关键 在于证明 MN ? CD ，从而由勾股定理可以求解． 证明：(1)连结 AD ，设 P 是 AD 的中点，分别连结 PM 、 PN ． ∵ M 是 AB 的中点，∴ PM // BD ． 又 BD ? ? ，∴ PM // ? ． 同理∵ N 是 CD 的中点，∴ PN // AC ． ∵ AC ? ? ，∴ PN // ? ． ∵ ? // ? ， PN ? PM ? P ，∴平面 PMN // ? ． ∵ MN ? 平面 PMN ，∴ MN // ? ． (2)分别连结 MC 、 MD ．∵ AC ? BD ? b ，AM ? BM ?1 a 2 ， 又∵ AB 是 ? 、 ? 的公垂线，∴ ?CAM ? ?DBM ? 90? ， ∴ Rt ?ACM ≌ Rt ?BDM ，∴ CM ? DM ， ∴ ?DMC 是等腰三角形． 又 N 是 CD 的中点，∴ MN ? CD ．在 Rt ?CMN 中，MN ? CM 2 ? CN 2 ?1 4b 2 ? a 2 ? c 2 2 ．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行” ，然后利用面面平行的性质，推证“线面平 行” ，这是一种以退为进的解题策略． (2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解． (3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线 平行．典型例题十 例 10 如果平面 ? 内的两条相交直线与平面 ? 所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 __________． 分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究． 解：设 a 、 b 是平面 ? 内两条相交直线． (1)若 a 、 b 都在平面 ? 内， a 、 b 与平面 ? 所成的角都为 0? ，这时 ? 与 ? 重合，根据教材 中规定，此种情况不予考虑． (2)若 a 、 b 都与平面 ? 相交成等角，且所成角在 (0? , 90?) 内； ∵ a 、 b 与 ? 有公共点，这时 ? 与 ? 相交． 若 a 、 b 都与平面 ? 成 90 ? 角，则 a // b ，与已知矛盾．此种情况不可能． (3)若 a 、b 都与平面 ? 平行，则 a 、b 与平面 ? 所成的角都为 0? ，? 内有两条直线与平面 ? 平行，这时 ? // ? ． 综上，平面 ? 、 ? 的位置关系是相交或平行． 典型例题十一 例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行． 已知： A ? 平面? ， 求证：过 A 有且只有一个平面 ? // ? ． 分析： “有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可． 证明：在平面 ? 内任作两条相交直线 a 和 b ，则由 A ? ? 知， A ? a ， A ? b ． 点 A 和直线 a 可确定一个平面 M ，点 A 和直线 b 可确定一个平面 N ． 在平面 M 、 N 内过 A 分别作直线 a // a 、 b // b ， 故 a 、 b 是两条相交直线，可确定一个平面 ? ．' ' ' '∵ a ? ? ， a ? ? ， a // a ，∴ a // ? ．' ' '同理 b // ? ．'' ' ' ' 又 a ? ? ， b ? ? ， a ? b ? A ，∴ ? // ? ．所以过点 A 有一个平面 ? // ? ．假设过 A 点还有一个平面 ? // ? ， 则在平面 ? 内取一直线 c ， A ? c ，点 A 、直线 c 确定一个平面? ，由公理 2 知：? ? ? ? m，? ? ? ? n ，∴ m // c ， n // c ， 又 A? m ， A ? n ， 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面 ? 只有一个． 所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 典型例题十二 例 12 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA ? SB ? SC ， SG 为 ?SAB 上的 高， D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系，并 给予证明 分析 1：如图，观察图形，即可判定 SG // 平面 DEF ，要证明结论成立，只需证明 SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线． 怎样证明 SG // FH ？只需证明 H 是 CG 的中点．证法 1：连结 CG 交 DE 于点 H ， ∵ DE 是 ?ABC 的中位线， ∴ DE // AB ． 在 ?ACG 中， D 是 AC 的中点，且 DH // AG ， ∴ H 为 CG 的中点． ∵ FH 是 ?SCG 的中位线，∴ FH // SG ． 又 SG ? 平面 DEF ， FH ? 平面 DEF ， ∴ SG // 平面 DEF ． 分析 2：要证明 SG // 平面 DEF ，只需证明平面 SAB // 平面 DEF ，要证明平面 DEF // 平 面 SAB ，只需证明 SA // DF ， SB // EF 而 SA // DF ， SB // EF 可由题设直接推出． 证法 2：∵ EF 为 ?SBC 的中位线， ∴ EF // SB ． ∵ EF ? 平面 SAB ， SB ? 平面 SAB ， ∴ EF // 平面 SAB ． 同理： DF // 平面 SAB ， EF ? DF ? F ， ∴平面 SAB // 平面 DEF ，又∵ SG ? 平面 SAB ， ∴ SG // 平面 DEF ． 典型例题十三 例 13 如图，线段 PQ 分别交两个平行平面 ? 、 ? 于 A 、 B 两点，线段 PD 分别交 ? 、 ? 于C 、D 两点， 线段 QF 分别交 ? 、? 于 F 、E 两点， 若 PA ? 9 ，AB ? 12 ，BQ ? 12 ，?ACF的面积为 72，求 ?BDE 的面积．分析： 求 ?BDE 的面积， 看起来似乎与本节内容无关， 事实上， 已知 ?ACF 的面积， 若 ?BDE 与 ?ACF 的对应边有联系的话，可以利用 ?ACF 的面积求出 ?BDE 的面积． 解：∵平面 QAF ? ? ? AF ，平面 QAF ? ? ? BE ， 又∵ ? // ? ，∴ AF // BE ． 同理可证： AC // BD ，∴ ?FAC 与 ? EBD 相等或互补，即 sin ?FAC ? sin ?EBD ．∶AF ? QB ∶ QA ? 12 ∶ 24 ? 1 ∶ 2， 由 FA // BE ，得 BEBE ?∴1 AF 2 BD ? 7 AC 3 ．∶21 ? 3 ∶ 7 ，∴ 由 BD // AC ，得： AC∶BD ? PA∶PB ? 91 AF ? AC ? sin ?FAC ? 72 又∵ ?ACF 的面积为 72，即 2 ． S ?DBE ? 1 BE ? BD ? sin ?EBD 2∴ 1 1 7 ? AF ? AC ? sin ?FAC 2 2 3 7 1 ? ? AF ? AC ? sin ?FAC 6 2 ?? 7 ? 72 ? 84 6 ．∴ ?BDE 的面积为 84 平方单位． 说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问 题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相 平行． 典型例题十四 例 14 在棱长为 a 的正方体中，求异面直线 BD 和 B1C 之间的距离． 分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若 a 和 b 是两条异面直线，则过 a 且平行于b 的平面必平行于过 b 且平行于 a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来 解决． 具体解法可按如下几步来求：①分别经过 BD 和 B1C 找到两个互相平等的平面；②作出两个 平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度． 解：如图，根据正方体的性质，易证：BD // B1 D1 ? ? ? 平面A1 BD // 平面CB1 D1 A1 B // D1C ?连结 AC1 ，分别交平面 A1BD 和平面 CB1D1 于 M 和 N 因为 CC1 和 AC1 分别是平面 ABCD 的垂线和斜线， AC 在平面 ABCD 内， AC ? BD 由三垂线定理： AC1 ? BD ，同理： AC1 ? A1D ∴ AC1 ? 平面 A1BD ，同理可证： AC1 ? 平面 CB1D1 ∴平面 A1BD 和平面 CB1D1 间的距离为线段 MN 长度． 如图所示：在对角面 AC1 中， O1 为 A1C1 的中点， O 为 AC 的中点∴AM ? MN ? NC1 ?1 3 AC1 ? a 3 3 ．3 a ∴ BD 和 B1C 的距离等于两平行平面 A1BD 和 CB1D1 的距离为 3 ．说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距．设 a 、 b 是两条异面直线，作出经过 b 而和 a 平行的平面 ? ，通过计算 a 和 ? 的距离，得出 a 和 b 距 离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设 a 、 b 是两条异面直线，作出经过 b 而 和 a 平行的平面 ? ，再作出经过 a 和 b 平行的平面 ? ，通过计算 ? 、 ? 之间的距离得出 a 和b 之间的距离．典型例题十五 例 15 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 a ，求异面直线 AC 与 BC1 的距离． 解法 1： （直接法）如图：1 于 M 、 N 两点， 1 分别交 AC 、 BC 取 BC 的中点 P ，连结 PD 、 PB易证： DB1 // MN ， DB1 ? AC ， DB1 ? BC1 ． 1 3 MN ? DB1 ? a 3 3 ． ∴ MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段，易证：小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时， 难度较大． 解法 2： （转化法）如图：∵ AC // 平面 A1C1B ， ∴ AC 与 BC1 的距离等于 AC 与平面 A1C1B 的距离，1 中，作斜边上的高 OE ，则 OE 长为所求距离， 在 Rt?OBOOB ?∵2 a 2 ， OO1 ? a ，∴O1B ?OO1 ? OB 3 3 OE ? ? a a O1B 3 ． 2 ，∴小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离． 解法 3： （转化法）如图：1 // 平面 A 1C1 B ， ∵平面 ACD 1 与平面 A 1C1 B 的距离． ∴ AC 与 BC1 的距离等于平面 ACD 1 ，且被平面 ACD 1 和平面 A 1C1 B 三等分； ∵ DB1 ? 平面 ACD1 3 B1 D ? a 3 ． ∴所求距离为 3 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离． 解法 4： （构造函数法）如图：任取点 Q ? BC1 ，作 QR ? BC 于 R 点，作 PK ? AC 于 K 点，设 RC ? x ，2 2 2 则 BR ? QR ? a ? x ， CK ? KR ，且 KR ? CK ? CR1 1 KR 2 ? CR 2 ? x 2 2 2 ． ∴ QK 2 ?则1 2 x ? (a ? x) 2 2?3 2 1 1 ( x ? a) 2 ? a 2 ? a 2 2 3 3 3 ，3 a 故 QK 的最小值，即 AC 与 BC1 的距离等于 3 ．小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到 二异面直线之间的距离． 解法 5： （体积桥法）如图：当求 AC 与 BC1 的距离转化为求 AC 与平面 A1C1B 的距离后，设 C 点到平面 A1C1 B 的距离为h，则VC ? A1C1B ? VA1 ?BCC1．1 3 1 1 h? ( 2a ) 2 ? ? a ? a 2 4 3 2 ， ∵3 h∴3 3 a a 3 ．即 AC 与 BC1 的距离等于 3 ．小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后 用体积公式求之．这种方法在后面将要学到． 说明：求异面直线距离的方法有： (1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段， 是求异面直线距离的关键． (2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线 a 、 b 距离，先作出过 a 且平行于 b 的平面 ? ，则 b 与 ? 距离就是 a 、 b 距离． （线面转化法） ． 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面， 两平行平面的距离就是两条异面直线 距离． （面面转化法） ． (3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求． (4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解． 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离） ，这方面的 问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求． 典型例题十六 例 16 如果 ? // ? ，AB 和 AC 是夹在平面 ? 与 ? 之间的两条线段，AB ? AC ， 且 AB ? 2 ， 直线 AB 与平面 ? 所成的角为 30 ? ，求线段 AC 长的取值范围． 解法 1：如图所示：作 AD ? ? 于 D ，连结 BD 、 CD 、 BC2 2 2 ∵ AB ? BD ， AC ? DC ， AB ? AC ? BC ，∴在 ?BDC 中，由余弦定理，得：cos?BDC ?BD2 ? CD 2 ? BC 2 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? ?0 2 BD ? CD 2 BD ? CD ．∵ AD ? ? ，∴ ? ABD 是 AB 与 ? 所在的角． 又∵ ? // ? ， ∴ ? ABD 也就等于 AB 与 ? 所成的角，即 ?ABD ? 30? ． ∵ AB ? 2 ， ∴ AD ? 1 ， BD ? 3 ， DC ?AC2 ?1 ， BC ? 4 ? AC2 ，0?，即：?1 ?∴3 ? AC2 ? 1 ? 4 ? AC2 2 3 ? AC2 ? 1?01 AC 2 ? 1? 3．AC ?∴?2 3 ? 2 3 , ? ?? ? ? ?． 3 ，即 AC 长的取值范围为 ? 3解法 2：如图：∵ AB ? AC ∴ AC 必在过点 A 且与直线 AB 垂直的平面 ? 内 设 ? ? ? ? l ，则在 ? 内，当 AC ? l 时， AC 的长最短，且此时 AC ? AB ? tan ?ABCAB ? tan30? ?2 3 3而在 ? 内， C 点在 l 上移动，远离垂足时， AC 的长将变大，AC ?从而2 3 3 ，?2 3 ? , ? ?? ? ? 3 ?． 即 AC 长的取值范围是 ?说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间 想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习． (2)解法 1 利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于 AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．(3)解法 2 从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很 高， 根据此解法可知线段 AC 是连结异面直线 AB 和 l 上两点间的线段， 所以 AC 是 AB 与 l 的 公垂线段时，其长最短． 典型例题十七 例 17 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知： ? // ? ， ? // ? ，求证： ? // ? ． 分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称 两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也 可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行 来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线． 证明一：如图，假设 ? 、 ? 不平行，则 ? 和 ? 相交． ∴ ? 和 ? 至少有一个公共点 A ，即 A ? ? ， A ? ? ． ∵ ? // ? ， ? // ? ， ∴ A ?? ． 于是，过平面 外一点 A 有两个平面 ? 、 ? 都和平面 平行，??这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。 ∴ ? // ? ． 证明二：如图，在平面 ? 内任取一点 A ，过 A 点作直线 l 与 ? 相交．? ∵ ? // ? ，∴ l 与 也相交．∵ ? // ? ，∴ l 与 ? 也相交． 过 l 作两相交平面分别与 ? 交于直线 m1 、 n1 ，且与 m2 、 n2 ，交 ? 于直线m3 、 n3 ．m // m3 ． ∵ ? // ? ，∴ 1∵ ? // ? ，∴ ∴ m1 // m2 ． ∵ m1 ? ? ， m2 ? ? ， ∴ m1 // ? ． 同理 n1 // ? ． 又∵ m1 ? n1 ? A ， m1 、 n1 ? ? ， ∴ ? // ? ． 证明三：如图，任作直线 l ? ? ，m2 // m3 ．∵ ? // ? ，∴ l ? ? ． ∵ ? // ? ，∴ l ? ? ． ∴ ? // ? ． 说明：证明两个平面平行，可根据定义、应用判定定理来证明．典型例题十八 例 18 如图，已知 a 、 b 是异面直线，求证：过 a 和 b 分别存在平面 ? 和 ? ，使 ? // ? ． 分析：本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力．根据前面学过的知识，过异面 直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行． 这样过 a 和 b 分别有平面与另一条线平行． 那 么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的 ? 和 ? ？ 证明：在直线 a 上任取一点 P ，过 P 点作直线 b // b ． 故过 a 和 b 可确定一平面记为 ? ，' '在直线 b 上任取一点 Q ． 过 Q 点作直线 a // a ．'同理过 b 和 a 可确定一平面，记为 ? ．'∵ a // a ， a ? ? ，'∴ a // ? ．同理 b // ? ．'∵ a ? ? ，b ? ? ， a ?b ? Q ．' '∴ ? // ? ． 说明：由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中．所以两异面直线间 的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证 a 和 b 的公垂线段垂直于两平行平面）三，直线与平面垂直的判定 典型例题一 例 1 下列图形中，满足唯一性的是（ A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面 C．过平面外一点与平面平行的直线 ） ． D．过一点作已知平面的垂线 分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意 空间垂直并非一定相关． 解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以 作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面． B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直 线平行． C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面 平行的直线应有无数条． D． 过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条． 假设空间点 A 、 平面 ? ， 过点 A 有两条直线 AB 、AC 都垂直于 ? ，由于 AB 、AC 为相交直线，不妨设 AB 、AC 所确定的平面为 ? ，? 与 ?的交线为 l ，则必有 AB ? l ， AC ? l ，又由于 AB 、 AC 、 l 都在平面 ? 内，这样在 ? 内经 过 A 点就有两条直线和直线 l 垂直， 与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直 相矛盾． 故选 D． 说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来 证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面 也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到． 典型例题二 例 2 已知下列命题： （1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行； （3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直； （4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两 条直线在这个平面上的射影互相垂直． 上述命题正确的是（ ） ． A． （1） 、 （2） B． （2） 、 （3） C． （3） 、 （4） D． （2） 、 （4） 分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面 内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形． 解： （1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之 间也平行； （3） 根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直， 但不能进一步说明直线和直线垂直； （4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选 D． 说明： （3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如1 和 BB 1 上的点， G 为棱 BC 上的点，且 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E、F 分别为棱 AA EF ? BB1 ， FC1 ? EG ，求 ?D1FG ．典型例题三1 的中点， O 是底面正方形 ABCD 的中 例 3 如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 是 BB 1． 心，求证： OE ? 平面 ACD分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明 OE ? 平面ACD 1 ，只要在平面 ACD 1 内找两条相交直线与 OE 垂直．证明：连结 B1D 、 A1D 、 BD ，在△ B1BD 中， ∵ E、O 分别是 B1B 和 DB 的中点， ∴ EO // B1D ．1 D1 D ， ∵ B1 A1 ? 面 AA 1 为 DB 1 在面 AA 1 D1 D 内的射影． ∴ DA 1 ? A 1D ， 又∵ AD 1 ? DB 1． ∴ AD同理可证， B1D ? D1C ．1， 又∵ AD1 ? CD1 ? D1 ， AD1 、 D1C ? 面 ACD 1． ∴ B1 D ? 平面 ACD∵ B1D // EO ，1． ∴ EO ? 平面 ACD另证：连结 AE、CE ， D1O ，设正方体 DB1 的棱长为 a ，易证 AE ? CE ． 又∵ AO ? OC ， ∴ OE ? AC ． 在正方体 DB1 中易求出： ? 2 ? 6 ? ? D1O ? DD ? DO ? a ? ? a a ? 2 ? 2 ? ? ，2 1 2 2 2 2 ? 3 ?a? ? 2 2 OE ? BE ? OB ? ? ? ? ? a? ? a ? ? 2 ? 2? ? 2 ? ， 22D1 E ? D1 B12 ? B1 E 2 ?∵ D1O ? OE ? D1E ，2 2 2a? ? 2a ? ? ? ? ? 222? ??3 a 2 ．∴ D1O ? OE ．1， ∵ D1O ? AC ? O ， D1O 、 AC ? 平面 ACD 1． ∴ OE ? 平面 ACD说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明 线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直， 即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四 例 4 如图，在△ ABC 中， ?B ? 90 ， SA ? 平面 ABC ，点 A 在 SB 和 SC 上的射影分别为?M、N ，求证： MN ? SC ．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思 想． 欲证 SC ? MN ， 可证 SC ? 面 AMN ， 为此须证 SC ? AN ， 进而可转化为证明 AN ? 平 面 SBC ，而已知 AN ? SB ，所以只要证 AN ? BC 即可．由 于图中线线垂直、 线面垂直关系较多， 所以本题也可以利用三 垂线定理和逆定理来证线线垂直． 证明：∵ SA ? 面 ABC ， BC ? 平面 ABC ， ∴ SA ? BC ．? ∵ ?B ? 90 ，即 AB ? BC ， BA ? SA ? A ，∴ BC ? 平面 SAB ． ∵ AN ? 平面 SAB ． ∴ BC ? AN ． 又∵ AN ? SB ， SB ? BC ? B ， ∴ AN ? 平面 SBC ． ∵ SC ? 平面 SBC ， ∴ AN ? SC ， 又∵ AM ? SC ， AM ? AN ? A ， ∴ SC ? 平面 AMN ． ∵ MN ? 平面 AMN ． ∴ SC ? MN ． 另证：由上面可证 AN ? 平面 SBC ． ∴ MN 为 AM 在平面 SBC 内的射影． ∵ AM ? SC ， ∴ MN ? SC ． 说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线 面垂直又转化为证明线线垂直． 立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的． 本 题若改为下题，想想如何证：已知 SA ? ⊙ O 所在平面， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上任SC 于点 M、N ， 意一点 （ C 与 A、B 不重合） ． 过点 A 作 SB 的垂面交 SB 、 求证：AN ? SC ．典型例题五 例 5 如图， AB 为平面 ? 的斜线， B 为斜足， AH 垂直平面 ? 于 H 点， BC 为平面 ? 内的 直线， ?ABH ? ? ， ?HBC ? ? ， ?ABC ? ? ，求证： cos ? ? cos? ? cos? ． 分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余 弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求 出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理． 证明：过 H 点作 HD 垂直 BC 于 D 点，连 AD ． ∵ AH ? ? ， ∴ AD 在平面 ? 内射影为 HD ． ∵ BC ? HD ， BC ? ? ， ∴ BC ? AD ．在 Rt △ ABH 中有：cos ? ?BH BA BD BH BD BA①在 Rt △ BHD 中有：cos ? ?②在 Rt △ ABD 中有：cos ? ?③由①、②、③可得： cos ? ? cos? ? cos? ． 说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为 ? ，则斜线与平面内其它直线所成角 ? 的范围? ?? ??， ? 为? 2?．典型例题六 例 6 如图，已知正方形 ABCD 边长为 4 ， CG ? 平面 ABCD ， CG ? 2 ， E、F 分别是AB、AD 中点，求点 B 到平面 GEF 的距离．分析：此题是 1991 年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空 间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求 另一点到该平面的距离．为此要寻找过点 B 与平面 GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线 上所有点到平面的距离相等． 证明：连结 BD、AC ， EF 和 BD 分别交 AC 于 H、O ， 连 GH ，作 OK ? GH 于 K ． ∵ ABCD 为正方形， E、F 分别为 AB 、AD 的中点， ∴ EF // BD ， H 为 AO 中点． ∵ BD // EF ， BD ? 平面 GFE ， ∴ BD // 平面 GFE ． ∴ BD 与平面 GFE 的距离就是 O 点到平面 EFG 的距离． ∵ BD ? AC ，∴ EF ? AC ． ∵ GC ? 面 ABCD ，∴ GC ? EF ． ∵ GC ? AC ? C ， ∴ EF ? 平面 GCH ． ∵ OK ? 平面 GCH ， ∴ EF ? OK ． 又∵ OK ? GH ， GH ? EF ? H ， ∴ OK ? 平面 GEF ． 即 OK 长就是点 B 到平面 GEF 的距离． ∵正方形边长为 4， CG ? 2 ， ∴ AC ? 4 2 ， HO ? 2 ， HC ? 3 2 ． 在 Rt △ HCG 中， HG ?HC2 ? CG2 ? 22 ．HO ? GC 2 11 ? HG 11 ．在 Rt △ GCH 中，OK ?说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线 段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长 CB 交 FE 的延长 线于 M ， 连结 GM ， 作 BP ? ME 于 P ， 作 BN // CG 交 MG 于 N ， 连结 PN ， 再作 BH ? PN 于 H ，可得 BH ? 平面 GFE ， BH 长即为 B 点到平面 EFG 的距离．二是转移法．将该点到 平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点 到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七 例 7 如图所示，直角 ?ABC 所在平面外一点 S ，且 SA ? SB ? SC ． (1)求证：点 S 与斜边 AC 中点 D 的连线 SD ? 面 ABC ； (2)若直角边 BA ? BC ，求证： BD ? 面 SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直． 证明：(1)在等腰 ?SAC 中， D 为 AC 中点，∴ SD ? AC ． 取 AB 中点 E ，连 DE 、 SE ． ∵ ED // BC ， BC ? AB ，∴ DE ? AB ． 又 SE ? AB ，∴ AB ? 面 SED ，∴ AB ? SD ． ∴ SD ? 面 ABC （ AB 、 AC 是面 ABC 内两相交直线） ． (2)∵ BA ? BC ，∴ BD ? AC ． 又∵ SD ? 面 ABC ，∴ SD ? BD ． ∵ SD ? AC ? D ，∴ BD ? 面 SAC ． 说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰 三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等． 典型例题八 例 8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知： a // b ， a ? ? ．求证： b ? ? ． 分析：由线面垂直的判定定理知，只需在 ? 内找到两条相交直线与 b 垂直即可．证明：如图所示，在平面 ? 内作两条相交直线 m 、 n ． ∵ a ? ? ，∴ a ? m ， a ? n ． 又∵ b // a ，从而有 b ? m ， b ? n ． 由作图知 m 、 n 为 ? 内两条相交直线． ∴b ?? ． 说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确 或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直． 典型例题九 例 9 如图所示，已知平面 ? ? 平面 ? = EF ， A 为 ? 、? 外一点， AB ? ? 于 B ， AC ? ? 于 C ， CD ? ? 于 D ．证明： BD ? EF ．分析：先证 A 、 B 、 C 、 D 四点共面，再证明 EF ? 平面 ABCD ，从而得到 BD ? EF ． 证明：∵ AB ? ? ， CD ? ? ，∴ AB // CD ． ∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面． ∵ AB ? ? ， AC ? ? ， ? ? ? ? EF ，∴ AB ? EF ， AC ? EF ． 又 AB ? AC ? A ，∴ EF ? 平面 ABCD ． ∴ EF ? BD ． 说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即 要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“ A 、 B 、 C 、 D 四点共面”非常重要，仅由 EF ? 平面 ABC ，就断定 EF ? BD ，则证明是无效的． 典型例题十 例 10 平面 ? 内有一半圆， 直径 AB ， 过 A 作 SA ? 平面 ? ， 在半圆上任取一点 M ， 连 SM 、SB ，且 N 、 H 分别是 A 在 SM 、 SB 上的射影．(1)求证： NH ? SB ； (2)这个图形中有多少个线面垂直关系？ (3)这个图形中有多少个直角三角形？ (4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？ 分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连 AM 、 BM ．如上图所示， ∵ AB 为已知圆的直径，∴ AM ? BM ． ∵ SA ? 平面 ? ， BM ? ? ，∴ SA ? MB ． ∵ AM ? SA ? A ，∴ BM ? 平面 SAM ． ∵ AN ? 平面 SAM ，∴ BM ? AN ． ∵ AN ? SM 于 N ， BM ? SM ? M ，∴ AN ? 平面 SMB ． ∵ AH ? SB 于 H ，且 NH 是 AH 在平面 SMB 的射影，∴ NH ? SB ． 解(2)：由(1)知， SA ? 平面 AMB ， BM ? 平面 SAM ， AN ? 平面 SMB ． ∵ SB ? AH 且 SB ? HN ，∴ SB ? 平面 ANH ， ∴图中共有 4 个线面垂直关系． (3)∵ SA ? 平面 AMB ，∴ ?SAB 、 ?SAM 均为直角三角形． ∵ BM ? 平面 SAM ，∴ ?BAM 、 ?BMS 均为直角三角形． ∵ AN ? 平面 SMB ，∴ ?ANS 、 ?ANM 、 ?ANH 均为直角三角形． ∵ SB ? 平面 ANH ，∴ ?SHA 、 ?BHA 、 ?SHN 、 ?BHN 均为直角三角形． 综上，图中共有 11 个直角三角形． (4)由 SA ? 平面 AMB 知， SA ? AM ， SA ? AB ， SA ? BM ． 由 BM ? 平面 SAM 知， BM ? AM ， BM ? SM ， BM ? AN ． 由 AN ? 平面 SMB 知， AN ? SM ， AN ? SB ， AN ? NH ． 由 SB ? 平面 ANH 知， SB ? AH ， SB ? HN ． 综上，图中共有 11 对互相垂直的直线． 说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线 ? 面”可得到“线 ? 面内 线” ，当“线 ? 面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线 ? 面内线”且不相交时，可得 到异面且垂直的一对直线． 典型例题十一 例 11 如图所示，?BAC ? 90? ． 在平面 ? 内，PA 是 ? 的斜线，?PAB ? ?PAC ? 60? ． 求PA 与平面 ? 所成的角．分 析 ： 求 PA 与 平 面 ? 所 成 角 ， 关 键 是 确 定 PA 在 平 面 ? 上 射 影 AO 的 位 置 ． 由?PAB ? ?PAC ，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定 AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理． 解：如图所示，过 P 作 PO ? ? 于 O ．连结 AO ， 则 AO 为 AP 在面 ? 上的射影， ?PAO 为 PA 与平面 ? 所成的角． 作 OM ? AC ，由三重线定理可得 PM ? AC ． 作 ON ? AB ，同理可得 PN ? AB ． 由 ?PAB ? ?PAC ， ?PMA ? ?PNA ? 90? ， PA ? PA ， 可得 ?PMA ≌ ?PNA ，∴ PM ? PN ． ∵ OM 、 ON 分别为 PM 、 PN 在 ? 内射影，∴ OM ? ON ． 所以点 O 在 ?BAC 的平分线上．设 PA ? a ，又 ?PAM ? 60? ，∴AM ?1 a 2 ， ?OAM ? 45? ，AO ? 2 AM ?∴2 a 2 ． AO 2 ? PA 2 ，在 ?POA 中，cos?PAO ?∴ ?PAO ? 45? ，即 PA 与 ? 所成角为 45 ? ． 说明： (1)本题在得出 PA 在面 ? 上的射影为 ?BAC 的平分线后， 可由公式 cos? ? cos? ? cos ? 来计 算 PA 与平面 ? 所成的角，此时 ?PAC ? ? ? 60? ， ?PAO ? ? ， ?CAO ? ? ? 45? ． (2) 由 PA 与平面 ? 上射影为 ?BAC 平分线还可推出下面结论：四面体 P ? ABC 中，若?PAB ? ?PAC ， ?PBA ? ?PBC ，则点 A 在面 ABC 上的射影为 ?ABC 的内心．典型例题十二 例 12 如图所示，在平面 ? 内有 ?ABC ，在平面 ? 外有点 S ，斜线 SA ? AC ， SB ? BC ， 且斜线 SA 、 SB 分别与平面 ? 所成的角相等，设点 S 与平面 ? 的距离为 4cm ， AC ? BC ， 且 AB ? 6cm ．求点 S 与直线 AB 的距离．DB ? BC ， DA ， 分析： 由点 S 向平面 ? 引垂线， 考查垂足 D 的位置， 连 DB 、 推得 DA ? AC ， 又 ?ACB ? 90? ，故 A 、 B 、 C 、 D 为矩形的四个顶点． 解：作 SD ? 平面 ? ，垂足为 D ，连 DA 、 DB ． ∵ SA ? AC ， DB ? BC ， ∴由三垂线定理的逆定理，有： DA ? AC ， DB ? BC ， 又 AC ? BC ，∴ ACBD 为矩形． 又∵ SA ? SB ，∴ DA ? DB ，∴ ACBD 为正方形， ∴ AB 、 CD 互相垂直平分． 设 O 为 AB 、 CD 的交点，连结 SO ， 根据三垂线定理，有 SO ? AB ，则 SO 为 S 到 AB 的距离．在 Rt ?SOD 中， SD ? 4cm ， ∴ SO ? 5cm ．DO ?1 AB ? 3cm 2 ，因此，点 S 到 AB 的距离为 5cm ． 说明：由本例可得到点到直线距离的作法： (1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求． (2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直 线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离． (3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离 符合定义，再通过解直角三角形进行计算． 典型例题十三 例 13 如图， ABCD 是正方形， SA 垂直于平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 的平面交 SB 、SC 、 SD 分别于点 E 、 F 、 G ，求证： AE ? SB ， AG ? SD ．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由 于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证 AE ? SB ，可证 AE ? 平面 SBC ，为 此须证 AE ? BC 、 AE ? SC ，进而转化证明 BC ? 平面 SAB 、 SC ? 平面 AEFG ． 证明：∵ SA ? 平面 ABCD ， BC ? 平面 ABCD ， ∴ SA ? BC ． 又∵ ABCD 为正方形， ∴ BC ? AB ． ∴ BC ? 平面 ASB ． ∵ AE ? 平面 ASB ， ∴ BC ? AE ． 又∵ SC ? 平面 AEFG ， ∴ SC ? AE ． ∴ AE ? 平面 SBC ． 又∵ SB ? 平面 SBC ， ∴ AE ? SB ，同理可证 AG ? SD ． 说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂 线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直． (2)本题的证明过程中 反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性． 典型例题十四 例 14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内 的射影在这个角的平分线上． 已知： ?BAC 在平面 ? 内，点 P ? ? ， PE ? AB ， PF ? AC ， PO ? ? ，垂足分别是 E 、F 、 O ， PE ? PF ．求证： ?BAO ? ?CAO ． 证明：∵ PO ? ? ， ∴ OE 为 PE 在 ? 内的射影． ∵ AB ? PE ， AB ? 平面? ， ∴ AB ? OE ． 同理可证： AC ? OF ． 又∵ PO ? ? ， PE ? PF ， OE ? OF ， ∴ ?BAO ? ?CAO ． 说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所 在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角 的平分线所在的直线． 由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题： 已知 ?ACB ? 90? ，S 为平面 ACB 外一点， ?SCA ? ?SCB ? 60 ? ，求 SC 与平面 ACB 所成角． 典型例题十五 例 15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． （ ） (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． （ (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边． （ ） (4)过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 ? 的平面内． （ ））(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． （ ） 解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面， 因此应打“×”号 (2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号； 若为相交，则该命题应打“√” ，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这 数条线的位置关系，则该命题应打“×”号． (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线 必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√” ． (4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一 条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点 A 垂直于直线 a 的平面惟一，因此，过点 A 且与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号． (5)三条共点直线两两垂直，设为 a ， b ， c 且 a ， b ， c 共点于 O ， ∵ a ? b ， a ? c ， b ? c ? 0 ，且 b ， c 确定一平面，设为 ? ，则 a ? ? ， 同理可知 b 垂直于由 a ， c 确定的平面， c 垂直于由了确定的平面， ∴该命题应打“√”号． 说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必 须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用． 典型例题十六 例 16 如图， 已知空间四边形 ABCD 的边 BC ? AC ，AD ? BD ， 引 BE ? CD ，E 为垂足， 作 AH ? BE 于 H ，求证： AH ? 平面BCD ．分析：若证 AH ? 平面BCD ，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证 AH 垂直平面 BCD 中两条相交直线即可． 证明：取 AB 中点 F ，连 CF 、 DF ， ∵ AC ? BC ，∴ CF ? AB ． 又∵ AD ? BD ，∴ DF ? AB ，∴ AB ? 平面CDF ， 又 CD ? 平面CDF ，∴ CD ? AB 又 CD ? BE ，∴ CD ? 平面ABE ， CD ? AH ， 又 AH ? BE ，∴ AH ? 平面BCD ． 典型例题十七 例 17 如果平面 ? 与 ? 外一条直线 a 都垂直 b ，那么 a // ? ． 已知：直线 a ? ? ， a ? 直线b ， b ? ? ．求证： a // ? ． 分析：若证线面平行，只须设法在平面 ? 内找到一条直线 a ，使得 a // a ，由线面平行判定' '定理得证． 证明：(1)如图，若 a 与 b 相交，则由 a 、 b 确定平面 ? ，设 ? ? ? ? a ．'' ? b?a ? a // a ∵b ? ? ? ? ? ' ' ??b ? a ? ? 又a ? ? ? ? a // ? ' a ?? ? ? a, b, a ' ? ? ? ? a ?? ?．(2)如图，若 a 与 b 不相交，' ' 则在 a 上任取一点 A ，过 A 作 b // b ， a 、 b 确定平面 ? ，设 ? ? ? ? a ．'' ? ∵ b ' // b ? b ? ? ? ? ' ' ' ? ? ? b ? a ? a // a ? ? ' b ? ? ? 又a ? ? ? ? ? ? ? 又a ' ? ? ? ? a // ? ? ∵ b ' // b ? b ' ? a ? a ?? ? ?? ? ? ' ' b ? a ? 又b , a , a ? ? ? ．典型例题十八 例 18 如图，已知在 ?ABC 中， ?BAC ? 60? ，线段 AD ? 平面ABC ， AH ? 平面DBC ，H 为垂足．求证： H 不可能是 ?DBC 的垂心． 分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明． 证明：如图所示，假设 H 是 ?DBC 的垂心，则 BH ? DC ． ∵ AH ? 平面DBC ，∴ DC ? AH ， ∴ DC ? 平面ABH ，∴ AB ? DC ． 又∵ DA ? 平面ABC ，∴ AB ? DA ， ∴ AB ? 平面DAC ， ∴ AB ? AC ，这与已知 ?BAC ? 60? 矛盾， ∴假设不成立，故 H 不可能是 ?DBC 的垂心． 说明：本题只要满足 ?BAC ? 90? ，此题的结论总成立．不妨给予证明． 典型例题十九 例 19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确 ） ．分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的；②如图，直线 a ? 平面 ? ， b ? ? ， c ? ? ，且 b ? c ? A ，则 a ? b ， a ? c ，即平面 ? 内两条直交直线 b ， c 都垂直于同一条直线 a ，但 b ， c 的位置关系并不是平行．另外， b ， c 的位置关系也可以是 异面，如果把直线 b 平移到平面 ? 外，此时与 a 的位置关系仍是垂直，但此时， b ， c 的位置 关系是异面． ③如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，易知 A1B1 // 平面ABCD ， A1D1 // 平面ABCD ，但A1B1 ? A1D1 ? A1 ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的． 综上可知①、④正确． ∴应选 B． 典型例题二十 例 20 设 a ， b 为异面直线， AB 为它们的公垂线 (1)若 a ， b 都平行于平面 ? ，则 AB ? ? ； (2)若 a ， b 分别垂直于平面 ? 、 ? ，且 ? ? ? ? c ，则 AB // c ． 分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明 AB ? ? ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关 系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明 AB // c ．图１图２'证明：(1)如图 1，在 ? 内任取一点 P ，设直线 a 与点 P 确定的平面与平面 ? 的交线为 a ， 设直线 b 与点 P 确定的平面与平面 ? 的交线为 b ∵ a // ? ， b // ? ，∴ a // a ， b // b' ' '' ' 又∵ AB ? a ， AB ? b ，∴ AB ? a ， AB ? b ， ∴ AB ? ? ． (2)如图 2，过 B 作 BB ? ? ，则 BB // a ，' '则 AB ? BB'' 又∵ AB ? b ，∴ AB 垂直于由 b 和 BB 确定的平面．∵ b ? ? ，∴ b ? c ， BB ? ? ，∴ BB ? c ．' '∴ c 也垂直于由 BB 和 b 确定的平面．'故 c // AB ． 说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出 平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线 BB ，构造出平面，即由相交直 线 b 与 BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得． 典型例题二十一 例 21 如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， EF 为异面直线 A1D 与 AC 的公垂线，求证：' 'EF // BD1 ．1 ，构造与 EF 、 BD 1 都垂直的平面是关键．由于 EF 是 AC 和 A 1 D 的公 分析：证明 EF // BD垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用． 证明：连结 A1C1 ，由于 AC // A1C1 ， EF ? AC ， ∴ EF ? A1C1 ． 又 EF ? A1D ， A1D ? A1C1 ? A1 ， ∴ EF ? 平面A1C1D ． ①∵ BB1 ? 平面A1B1C1D1 ， A1C1 ? 平面A1B1C1D1 ， 1 ? A 1C1 ． ∴ BB∵四边形 A1 B1C1 D1 为正方形， ∴ A1C1 ? B1D1 ， B1D1 ? BB1 ? B1 ， ∴ A1C1 ? 平面BB1D1D ，1 ? 平面BB 1D 1D ，∴ A 1C1 ? BD 1． 而 BD 1 ， DC1 ? A 1C1 ? C1 ， 同理 DC1 ? BD 1 ? 平面A 1C1D ． ∴ BD 1． 由①、②可知： EF // BD②典型例题二十二 如图，已知 P 为 ?ABC 外一点， PA 、 PB 、 PC 两两垂直， PA ? PB ? PC ? a ，例 22求 P 点到平面 ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长． 解：过 P 作 PO ? 平面ABC 于 O 点，连 AO 、 BO 、 CO ， ∴ PO ? AO ， PO ? BO ， PO ? CO ∵ PA ? PB ? PC ? a ， ∴ ?PAO ≌ ?PBO ≌ ?PCO ， ∴ OA ? OB ? OC ， ∴ O 为 ?ABC 的外心． ∵ PA 、 PB 、 PC 两两垂直， ∴ AB ? BC ? CA ? 2a ， ?ABC 为正三角形， AO ?∴3 3 6 PO ? PA2 ? AO2 ? a AB ? a 3 ． 3 3 ，∴3 a 因此点 P 到平面 ABC 的距离 3 ．说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某 一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离． (2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、 余弦定理及有关三角函数知识． (3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面 提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总 结． 典型例题二十三1 ? 5 ， AB ? 12 ，求直线 B1C1 和平 例 23 如图，已知在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，棱 AA面 A1BCD1 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有 关方法求解． 解：如图，∵ B1C1 // BC ，且 B1C1 ? 平面A1BCD1 ， BC ? 平面A1BCD1 ， ∴ B1C1 // 平面A1BCD1 ． 从而点 B1 到平面 A1BCD1 的距离即为所求． 过点 B1 作 B1 E ? A1 B 于 E ，1 ，且 B1 E ? 平面AA 1 B1 B ， ∵ BC ? 平面A1 ABB∴ BC ? B1E ． 又 BC ? A1B ? B ， ∴ B1E ? 平面A1BCD1 ． 即线段 B1E 的长即为所求， 在 Rt?A1B1B 中，B1E ?A1B1 ? BB1 5 ?12 60 ? ? 2 2 A1B 13 ， 5 ? 1260 B C A BCD 1 的距离为 13 ． ∴直线 1 1 到平面 1说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想， 解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解， 这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从 而求解． 典型例题二十四例 24AD 、 BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为 30 ? ，AD ? 8cm ， AB ? BC ， DC ? BC ．求线段 BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线 AD 、 BC 所成的角、垂直关系转化 到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出 BC 之长．解：如图，在平面 ? 内，过 A 作 AE // BC ，过 C 作 CE // AB ，两线交于 E ． ∵ AE // BC ， ∴ ? DAE 就是 AD 、 BC 所成的角，?DAE ? 30? ．∵ AB ? BC ， ∴四边形 ABCE 是矩形．连 DE ， ∵ BC ? CD ， BC ? CE ，且 CD ? CE ? C ， ∴ BC ? 平面CDE ． ∵ AE // BC ，∴ AE ? 平面CDE ．∵ DE ? 平面CDE ，∴ AE ? DE ． 在 Rt ?AED 中，得 AE ? 4 3 ，∴ BC ? AE ? 4 3(cm) ． 说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平 面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．面面垂直的判定与性质典型例题一 例 1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明． （１）如图 1，已知 ? ? ? ? l , A ? l ．在 ? 内作 PA ? l 于 A ，在 ? 内作 QA ? l 于 A ．（２）如图２，已知 ? ? ? ? l , A ? ? , A ? l ．作 AP ? ? 于 P ，在 ? 内作 AQ ? l 于 Q ，连 结 PQ ．（３） 已知 ? ? ? ? l , A ? ? , A ? ? ． 作 AP ? ? 于 P ，AQ ? ? 于 Q ，l ? 平面 PAQ ? H ， 连结 PH 、 QH ． 作图与证明在此省略． 说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最 常用，还需补充这种方法的其他典型图形． 典型例题二 例 2. 如图，在立体图形 D ? ABC 中，若 AB ? CB, AD ? CD, E 是 AC 的中点，则下列命题 中正确的是（ ）.（A）平面 ABC ⊥平面 ABD （B）平面 ABD ⊥平面 BDC （C）平面 ABC ⊥平面 BDE ，且平面 ADC ⊥平面 BDE （D）平面 ABC ⊥平面 ADC ，且平面 ADC ⊥平面 BDE 分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与 第一个平面垂直. 解：因为 AB ? CB, 且 E 是 AC 的中点，所以 BE ? AC , 同理有 DE ? AC ，于是 AC ? 平 面 BDE .因为 ? CA 平面 ABC ，所以平面 ABC ? 平面 BDE .又由于 AC ? 平面 ACD , 所以平面 ACD ? 平面 BDE .所以选 C. 说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平 面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线 ,由线线垂直得到线面垂直 ,由线 面垂直可得到面面垂直.典型例题三 例３． 如图，P 是 ?ABC 所在平面外的一点， 且 PA ? 平面 ABC ， 平面 PAC ? 平面 PBC ． 求 证 BC ? AC ． 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入 一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直． ． 证明： 在平面 PAC 内作 AD ? PC ， 交 PC 于 D ． 因为平面 PAC ? 平面 PBC 于 PC ，AD ? 平 面 PAC ， 且 AD ? PC ， 所 以 AD ? 平面P B C ． 又 因为 BC ? 平 面 PBC ， 于 是 有AD ? BC ① ． 另 外 PA ? 平 面 ABC ， BC ? 平 面 ABC ， 所 以 PA ? BC ． 由 ① ② 及AD ? PA ? A ，可知 BC ? 平面 PAC ．因为 AC ? 平面 PAC ，所以 BC ? AC ．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到， 面面垂直 ?线面垂直 ?线线垂直． 典型例题四 例４．如图， AB 是⊙ O 的直径， PA 垂直于⊙ O 所在的平面， C 是圆周上异于 A 、 B 的任 意一点，求证：平面 PAC ? 平面 PBC ．分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂 直的判定定理．由于 C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直． 证明：因为 AB 是⊙ O 的直径， C 是圆周上的点，所以有 BC ? AC ①． 因为 PA ? 平面 ABC ， BC ? 平面 ABC ，则 PA ? BC ②． 由①②及 AC ? PA ? A ，得 BC ? 平面 PAC ． 因为 BC ? 平面 PBC ，有平面 PAC ? 平面 PBC ． 说明： 低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据， 根据条件， 由线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和 性质共同构成了一个完整的知识体系． 典型例题五 例５． 如图， 点 A 在锐二面角 ? ? MN ? ? 的棱 MN 上， 在面 ? 内引射线 AP ， 使 AP 与 MN? ? 所成的角 ?PAM 为 45 ，与面 ? 所成的角大小为 30 ，求二面角 ? ? MN ? ? 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是 直角三角形） ，通过解三角形使问题得解． 解：在射线 AP 上取一点 B ，作 BH ? ? 于 H ，连 结 AH ，则 ?BAH 为射线 AP 与平面 ? 所成的角，? ?BAH ? 30? ．再作 BQ ? MN ，交 MN 于 Q ， HQ ? MN ， ? ?BQH 连结 HQ ， 则 HQ 为 BQ 在平面 ? 内的射影． 由三垂线定理的逆定理，为二面角 ? ? MN ? ? 的平面角． 设 BQ ? a ，在 Rt?BAQ 中， ?BQA ? 90 , ?BAM ? 45 ,? AB ?? ?2a ,在 Rt △ BHQ 中，2 a 2 sin ?BQH ? BH ? 2 ? 2 ? ?BHQ ? 90 , BQ ? a, BH ? a, BQ a 2 , 2? ?BQH 是锐角，? ?BQH ? 45? ,即二面角 ? ? MN ? ? 等于 45? ．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二 面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平 面角的定义添加适当的辅助线． 典型例题六 例６． 如图， 将边长为 a 的正三角形 ABC 以它的高 AD 为折痕折成一个二面角 C ? ? AD ? C ．（１）指出这个二面角的面、棱、平面角； （２）若二面角 C ? ? AD ? C 是直二面角，求 C ?C 的长； （３）求 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角；? （４）若二面角 C ? ? AD ? C 的平面角为 120 ，求二面角 A ? C ?C ? D 的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决． 解： （１） ? AD ? BC ,? AD ? DC , AD ? DC ?,?二面角 C ? ? AD ? C 的面为 ADC 和面AD C ? ，棱为 AD ，二面角的平面角为 ?CDC ? ．（２）若 ?CDC ? ? 90 ，?? AC ? a,? DC ? DC ? ?1 2 a,? CC ? ? a 2 2 ．（３）? AD ? DC ?, AD ? DC ,? AD ? 平面 DC ?C ，? ?AC ?D 为 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角．在直角三角形 AD C ? 中，DC ? DC ? ?1 AC ,? ?DA C ? ? 30 ? ? 2 ，于是 ?AC ?D ? 60 ．（４）取 CC ? 的中点 E ，连结 AE 、 DE ，? DC ? ? DC , AC ? ? AC ,? AE ? CC ?, DE ? CC ? ，? ?AED 为二面角 A ? C ?C ? D 的平面角．? ?C ?DC ? 120 ? , C ?D ? CD ?1 1 a,? DE ? a, 2 43 a ? 2 ?2 3 AD 3 1 AD ? a, ? tan ?AED ? a DE 2 4 在直角三角形 AED 中， ． 说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变 量． 典型例题七P 是 AD 的中点． 例 7 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1， 求二面角 A ? BD1 ? P 的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上 分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易 的， 所以在解题中不大应用． 在解题中应用得较多的是 “三垂线定理” 的方法， 如图考虑到 AB1 在平面 AD 1 上的射影就是 AD 1 ．再过 P 作 AD 1 的垂线 PF ，则 PF ? 垂直于平面 AD1 ， BD1 ，过 F 作 D1 B 的垂线 FE ， ? PEF 即为所求二面角的平面角了． 面 ABD1 及 AD 1 的垂线，垂足分别是 E 、 F ，连结 EF ． 解：过 P 作 BD∵ AB ? 面 AD1 ， PF ? 面 AD1 ， ∴ AB ? PF ，1．}
＞＞＞给出下列四个命题：①过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；②过..
给出下列四个命题：①过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；②过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行；③如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果两个平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．&&&其中正确的是（ ）A．①③B．①②C．②③D．③④
题型：单选题难度：中档来源：不详
①正确，因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内；②正确，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，因为只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可；③错，如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面可能平行，可能相交；④错，如墙角上的三个平面，它们的交线相交于一点，故选B．
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据魔方格专家权威分析，试题“给出下列四个命题：①过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；②过..”主要考查你对&&真命题、假命题&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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真命题、假命题
命题的概念：
1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题； 2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 注意：
1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。
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线线平行,线面平行、面面平行集体备课资料_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...领悟空间观念与空间图形性质。] 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系...最近访问：北京总部
数学学习方法：辅助线应该怎么加？
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。而在数学这学科，辅助线就是解决一些问题的连接桥梁，学会辅助线的做法很重要。 基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： (1)连对角线或平移对角线： (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形 (3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 (5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有： (1)在梯形内部平移一腰。 (2)梯形外平移一腰 (3)梯形内平移两腰 (4)延长两腰 (5)过梯形上底的两端点向下底作高 (6)平移对角线 (7)连接梯形一顶点及一腰的中点。 (8)过一腰的中点作另一腰的平行线。 (9)作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 (1)见弦作弦心距 有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。 (2)见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用&直径所对的圆周角是直角&这一特征来证明问题。 (3)见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用&切线与半径垂直&这一性质来证明问题。 (4)两圆相切作公切线 对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。 (5)两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。 想知道更多学习方法现在登录环球优学教育的官方网站
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点线面位置关系典型例题
点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一 例 1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线 a ?平面 ? ，直线 b ? a ? A ，则 b 和 ? 的位置关系如何？ （2）直线 a ? ? ，直线 b // a ，则直线 b 和 ? 的位置关系如何？ 分析： （1）由图（1）可知： b ? ? 或 b ? ? ? A ； （2）由图（2）可知： b // ? 或 b ? ? ．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例 2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是 PA 的中点，求证： PC // 平面 BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平 行就可以了． 证明：如图所示，连结 AC ，交 BD 于点 O ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO ? CO ，连结 OQ ，则 OQ 在平面 BDQ 内，且OQ 是 ?APC 的中位线，∴ PC // OQ ． ∵ PC 在平面 BDQ 外， ∴ PC // 平面 BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平 行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能 证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结 为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三 例 3 经过两条异面直线 a ， b 之外的一点 P ，可以作几个平面都与 a ， b 平行？并证明你的 结论． 分析：可考虑 P 点的不同位置分两种情况讨论． 解： （1）当 P 点所在位置使得 a ， P （或 b ， P ）本身确定的平面平行于 b （或 a ）时，过 P 点再作不出与 a ， b 都平行的平面； （2）当 P 点所在位置 a ， P （或 b ， P ）本身确定的平面与 b （或 a ）不平行时，可过点 P 作 a // a? ，b? // b ．由于 a ，b 异面，则 a? ，b ? 不重合且相交于 P ．由于 a? ? b? ? P ， a? ，b ? 确定的平面 ? ，则由线面平行判定定理知： a // ? ， b // ? ．可作一个平面都与 a ， b 平行． 故应作“0 个或 1 个”平面． 说明：本题解答容易忽视对 P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面 的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线 a // b ， a // 平面 ? ， b ? ? ． 求证： b // ? ． 证明：如图所示，过 a 及平面 ? 内一点 A 作平面 ? ． 设? ? ? ? c ， ∵ a // ? ， ∴ a // c ． 又∵ a // b ， ∴ b // c ． ∵ b ? ? ， c ?? ， ∴ b // ? ． 说明：根据判定定理，只要在 ? 内找一条直线 c // b ，根据条件 a // ? ，为了利用直线和平面 平行的性质定理，可以过 a 作平面 ? 与 ? 相交，我们常把平面 ? 称为辅助平面，它可以起到 桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如， 本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五 例 5 已知四面体 S ? ABC 的所有棱长均为 a ．求： （1）异面直线 SC 、AB 的公垂线段 EF 及 EF 的长； （2）异面直线 EF 和 SA 所成的角． 分析： 依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 SC 、AB 的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移构造法求解． 解： （ 1 ）如图，分别取 SC 、AB 的中点 E、F ，连结SF 、CF ．由已知，得 ?SAB ≌ ?CAB ． ∴ SF ? CF ， E 是 SC 的中点， ∴ EF ? SC ． 同理可证 EF ? AB ∴ EF 是 SC 、AB 的公垂线段． 在 Rt ?SEF 中，2SF ?21 3 a SE ? a 2 ． 2 ，∴ EF ? SF ? SE3 2 1 2 2 a ? a ? a 4 4 2 ．（2）取 AC 的中点 G ，连结 EG ，则 EG // SA ． ∴ EF 和 GE 所成的锐角或直角就是异面直线 EF 和 SA 所成的角．连结 FG ，在 Rt ?EFG 中， 由余弦定理，得EG ?1 1 2 a GF ? a EF ? a 2 ， 2 ， 2 ．1 2 2 2 1 2 a ? a ? a EG2 ? EF 2 ? GF 2 4 4 4 ? 2 cos?GEF ? ? 2 ? EG ? EF 2 1 2 2? a ? a 2 2 ．∴ ?GEF ? 45 ．?故异面直线 EF 和 SA 所成的角为 45 ． 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来， 然后再求值．?典型例题六 例 6 如果一条直线与一个平面平行， 那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在 这个平面内． 已知：直线 a // ? ， B ? ? ， B ? b ， b // a ． 求证： b ? ? ． 分析：由于过点 B 与 a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面 ? 外，不 存在过 B 与 a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法． 证明：如图所示，设 b ? ? ，过直线 a 和点 B 作平面 ? ，且 ? ? ? ? b ．'∵ a // ? ，∴ b // ? ．'这样过 B 点就有两条直线 b 和 b 同时平行于直线 a ，与平行公理矛盾． ∴ b 必在 ? 内． 说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．' 如上图，过直线 a 及点 B 作平面 ? ，设 ? ? ? ? b ．∵ a // ? ，∴ b // ? ．''这样， b 与 b 都是过 B 点平行于 a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴ b 与 b 重合．∵ b ? ? ，∴ b ? ? ．' ''典型例题七 例 7 下列命题正确的个数是（ ） ．(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内，则 l // ? ； (2)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线，则 l // ? ； (3)若直线 l 与平面 ? 平行，则 l 与平面 ? 内的任一直线平行； (4)若直线 l 在平面 ? 外，则 l // ? ． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题 的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按 照直线是否在平面内来分类． 解：(1)直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内，并没有说明是所在点都不在平面 ? 内，因而直线 可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有” ．(2)直线 l 虽与 ? 内 无数条直线平行，但 l 有可能在平面 ? 内，所以直线 l 不一定平行 ? ．(3)这是初学直线与平面 平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当 l // ? 时，若 m ? ? 且 m // l ，则在平 面 ? 内，除了与 m 平行的直线以外的每一条直线与 l 都是异面直线．(4)直线 l 在平面 ? 外，应 包括两种情况： l // ? 和 l 与 ? 相交，所以 l 与 ? 不一定平行． 故选 A． 说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑 要全面．如直线 l 、 m 都平行于 ? ，则 l 与 m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面； 再如直线 l // m 、 l // ? ，则 m 与 ? 的位置关系可能是平行，可能是 m 在 ? 内． 典型例题八 例 8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线 a // b ， a ? 平面? ? P ．求证：直线 b 与平面 ? 相交．分析：利用 a // b 转化为平面问题来解决，由 a // b 可确定一辅助平面 ? ，这样可以把题中相 关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用． 解：∵ a // b ， ∴ a 和 b 可确定平面 ? ． ∵ a ?? ? P ， ∴平面 ? 和平面 ? 相交于过点 P 的直线 l ． ∵在平面 ? 内 l 与两条平行直线 a 、 b 中一条直线 a 相交， ∴ l 必定与直线 b 也相交， 不妨设 b ? l ? Q ， 又因为 b 不在平面 ? 内 （若 b 在平面 ? 内， 则? 和 ? 都过相交直线 b 和 l ，因此 ? 与 ? 重合， a 在 ? 内，和已知矛盾） ． 所以直线 b 和平面 ? 相交． 说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平 面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点， 则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明） ． 典型例题九 例 9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知： a 与 b 是异面直线．求证：过 b 且与 a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义． “有” 就是要证明过直线 b 存在一个平面 ? ，且 a // ? ， “只有”就是要证满足这样条件的平面是唯 一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论． 证明：(1)在直线 b 上任取一点 A ，由点 A 和直线 a 可确定平面 ? ． 在平面 ? 内过点 A 作直线 a ，使 a // a ，则 a 和 b 为两相交直线，' ' '所以过 a 和 b 可确定一平面 ? ．'∵ b ? ? ， a 与 b 为异面直线， ∴ a ?? ． 又∵ a // a ， a ? ? ，' '∴ a // ? ． 故经过 b 存在一个平面 ? 与 a 平行． (2)如果平面 也是经过 b 且与 a 平行的另一个平面， 由上面的推导过程可知 也是经过相交直线 b 和 a 的． 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面 ? 与 重合， 即满足条件的平面是唯一的． 说明：对于两异面直线 a 和 b ，过 b 存在一平面 ? 且与 a 平行，同样过 a 也存在一平面 ? 且 与 b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证） ．对于异面直线 a 和 b 的距离，也可转化??'? 为直线 a 到平面 ? 的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法． 典型例题十 例 10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知： ? ? ? ? l ， a // ? ， a // ? ，求证： a // l ． 分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理， 可以先证明直线 a 分别和两平面的某些直线平行， 即线面平行可得线线平行． 然后再用线面平 行的判定定理和性质定理来证明 a 与 l 平行．证明：在平面 ? 内取点 P ，使 P ? l ，过 P 和直线 a 作平面 ? 交 ? 于 b ． ∵ a // ? ， ∴ a // b ． 同理过 a 作平面 ? 交 ? 于 c ． ∵ a // ? ， a ? ? ， ? ? ? ? c ， ∴ a // c ． ∴ b // c ． ∵b ? ? ，c ? ? ， ∴ b // ? ． 又∵ b ? ? ， ? ? ? ? l ， ∴ b // l ． 又∵ a // b ， ∴ a // l ．a ? ? ， ? ?? ? b ， 另证：如图，在直线 l 上取点 M ， 过 M 点和直线 a 作平面和 ? 相交于直线 l1 ，和 ? 相交于直线 l 2 ．∵ a // ? ，∴ a // l1 ， ∵ a // ? ，∴ a // l2 ， 但过一点只能作一条直线与另一直线平行． ∴直线 l1 和 l 2 重合． 又∵ l1 ? ? ， l2 ? ? ， ∴直线 l1 、 l 2 都重合于直线 l ， ∴ a // l ． 说明： “线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体 几何中非常重要． 典型例题十一Q， 例 11 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ， 在 AE 、BD 上各取一点 P 、且 AP ? DQ ．求证： PQ // 面 BCE ． 分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面 BCE 中如何 找一直线与 PQ 平行．可考察过 PQ 的平面与平面 BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找 的交线也不同． 证明一：如图，在平面 ABEF 内过 P 作 PM // AB 交 BE 于 M ， 在平面 ABCD 内过 Q 作 QN // AB 交 BC 于 N ，连结 MN ． PM PE ? AE ． ∵ PM // AB ，∴ AB又∵ QN // AB // CD ，QN BQ QN BQ ? ? BD ，即 AB BD ． ∴ DC∵正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB ， ∴ AE ? DB ． ∵ AP ? DQ ，∴ PE ? BQ ． ∴ PM ? QN ． 又∵ PM // AB ， QN // AB ， ∴ PM // QN ． ∴四边形 PQNM 为平行四边形． ∴ PQ // MN ． 又∵ MN ? 面 BCE ， ∴ PQ // 面 BCE ． 证明二：如图，连结 AQ 并延长交 BC 于 S ，连结 ES ． AQ DQ ? QB ． ∵ BS // AD ，∴ QS又∵正方形 ABEF 与正方形 ABCD 有公共边 AB ， ∴ AE ? DB ， ∵ AP ? DQ ，∴ PE ? QB ．AP DQ AQ ? ? ∴ PE QB QS ．∴ PQ // ES ， 又∵ ES ? 面 BEC ， ∴ PQ // 面 BEC ． 说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平 行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法 要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩 形” ，那么题中的结论是否仍然成立？ 典型例题十二 例 12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点． 已知： ? ? ? ? a ， ? ? ? ? b ， ? ? ? ? c ． 求证： a 、 b 、 c 互相平行或相交于一点． 分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手， 根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系． 证明：∵ ? ? ? ? a ， ? ? ? ? b ， ∴ a、b ? ? ． ∴ a 与 b 平行或相交． ①若 a // b ，如图∵ b ? ? ， a ? ? ，∴ a // ? ． 又∵ ? ? ? ? c ， a ? ? ，∴ a // c ． ∴ a // b // c ． ②若 a 与 b 相交，如图，设 a ? b ? O ，∴ O ? a ， O ?b ． 又∵ a ? ? ? ? ， b ? ? ? ? ． ∴ O ?? ， O ?? 又∵ ? ? ? ? c ，∴ O ? c ． ∴直线 a 、 b 、 c 交于同一点 O ． 说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体 ABCD 中，M 、 N 分别是 CC1 、 A1B1 的中点，画出点 D 、 M 、 N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？ 典型例题十三 例 13 已知空间四边形 ABCD ， AB ? AC ， AE 是 ?ABC 的 BC 边上的高， DF 是 ?BCD 的 BC 边上的中线，求证： AE 和 DF 是异面直线． 证法一： （定理法）如图由题设条件可知点 E 、 F 不重合，设 ?BCD 所在平面 ? ． ? DF ? ? ? A ?? ? ? ? ?E ?? ? AE 和 DF 是异面直线． ∴ ? E ? DF证法二： （反证法） 若 AE 和 DF 不是异面直线，则 AE 和 DF 共面，设过 AE 、 DF 的平面为 ? ． (1)若 E 、 F 重合，则 E 是 BC 的中点，这与题设 AB ? AC 相矛盾． (2)若 E 、 F 不重合， ∵ B ? EF ， C ? EF ， EF ? ? ，∴ BC ? ? ． ∵ A? ? ， D ? ? ， ∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面，这与题设 ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立． 故 AE 和 DF 是异面直线． 说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题： “三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清 楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？ 用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 9 个 单数之和仍为单数，与 36 这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题． 典型例题十四 例 14 已知 AB 、 BC 、 CD 是不在同一平面内的三条线段， E 、 F 、 G 分别是 AB 、 BC 、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行．分析： 欲证明 AC // 平面 EFG ， 根据直线和平面平等的判定定理只须证明 AC 平行平面 EFG 内的一条直线，由图可知，只须证明 AC // EF ． 证明：如图，连结 AE 、 EG 、 EF 、 GF ． 在 ?ABC 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点． ∴ AC // EF ．于是 AC // 平面 EFG ． 同理可证， BD // 平面 EFG ． 说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2) 根据直线和平面平行的判定定理． 典型例题十五 例 15 已知空间四边形 ABCD ， P 、 Q 分别是 ?ABC 和 ?BCD 的重心， 求证： PQ // 平面ACD ． 分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明 PQ 与平面 ACD 中的某条直线平行，根据条 件，此直线为 AD ，如图．证明：取 BC 的中点 E ． ∵ P 是 ?ABC 的重心，连结 AE ，∶ 1 ，连结 DE ， 则 AE∶PE ? 3∵ Q 为 ?BCD 的重心，∶ QE ? 3 ∶ 1， ∴ DE∴在 ?AED 中， PQ // AD ． 又 AD ? 平面ACD ， PQ ? 平面ACD ， ∴ PQ // 平面ACD ． 说明：(1)本例中构造直线 AD 与 PQ 平行，是充分借助于题目的条件： P 、 Q 分别是 ?ABC 和 ?BCD 的重心，借助于比例的性质证明 PQ // AD ，该种方法经常使用，望注意把握． (2)“欲证线面平行，只须证线线平行” ．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根 据问题具体情况要熟练运用． 典型例题十六 例 16 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 、 G 分别是 BC 、 C1 D1 的中点如下图． 求证： EG // 平面BB1D1D ．分析：要证明 EG // 平面BB1D1D ，根据线面平等的判定定理，需要在平面 BB1D1D 内找到与EG 平行的直线，要充分借助于 E 、 G 为中点这一条件．证明：取 BD 的中点 F ，连结 EF 、 D1F ． ∵ E 为 BC 的中点，∴ EF 为 ?BCD 的中位线，则 EF // DC ，且 ∵ G 为 C1 D1 的中点，EF ?1 CD 2 ．∴ D1G // CD 且D1G ?1 CD 2 ，∴ EF // D1G 且 EF ? D1G ，1G 为平行四边形， ∴四边形 EFD 1B 1 ， EG ? 平面BDD 1 B1 ， ∴ D1F // EG ，而 D1F ? 平面BDD 1B 1． ∴ EG // 平面BDD典型例题十七 例 17 如果直线 a // 平面? ，那么直线 a 与平面 ? 内的（） ．A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A、B．对于 C，无数条直线可能是一组平行线，也 可能是共点线，∴C 也不正确，应排除 C． 与平面 ? 内任意一条直线都不相交，才能保证直线 a 与平面 ? 平行，∴D 正确． ∴应选 D． 说明：本题主要考查直线与平面平行的定义． 典型例题十八 例 18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 ） ．解：如图中的甲图，分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系； 如图中的乙图，分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系． 综上，可知应选 D． 说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力． 典型例题十九例 19a 、 b 是两条异面直线，下列结论正确的是（） ．A．过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个平面与 a 、 b 平行 B．过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个直线与 a 、 b 相交 C．过不在 a 、 b 上的任一点，可作一个直线与 a 、 b 都平行 D．过 a 可以并且只可以作一平面与 b 平行 解：A 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平行时，就不能使这个平面与 ? 平行了． B 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平等时，就不能作一条直线与 a ， b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理 4 就可有 a // b ，这与 a ， b 异面矛盾． D 正确，在 a 上任取一点 A，过 A 点做直线 c // b ， 则 c 与 a 确定一个平面与 b 平行，这个平面是惟一的． ∴应选Ｄ． 说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念． 典型例题二十 例 20 (1)直线 a // b ， a // 平面? ，则 b 与平面 ? 的位置关系是_____________． (2) A 是两异面直线 a 、 b 外的一点，过 A 最多可作___________个平面同时与 a 、 b 平行． 解：(1)当直线 b 在平面 ? 外时， b // ? ；当直线 b 在平面 ? 内时， b ? ? ． ∴应填： b // ? 或 b ? ? ． (2)因为过 A 点分别作 a ， b 的平行线只能作一条， （分别称 a ， b ）经过 a ， b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面； 还有不能作的可能，当这个平面经过 a 或 b 时，这个平面就不满足条件了． ∴应填：1． 说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键． 典型例题二十一 例 21 如图， a // ? ， A 是 ? 的另一侧的点， B, C, D ? a ，线段 AB ， AC ， AD 交 ? 于 E ，' ' ' 'F ， G ，若 BD ? 4 ， CF ? 4 ， AF ? 5 ，则 EG =___________． 解：∵ a // ? ， EG ? ? ? 平面ABD ． ∴ a // EG ，即 BD // EG ，EF FG AF EF ? FG EG AF ? ? ? ? ? AF ? FC ． ∴ BC CD AC BC ? CD BD EG ?则AF ? BD 5 ? 4 20 ? ? AF ? FC 5 ? 4 9 ．20 ∴应填： 9 ．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例 性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．二，面面平行的性质与判定典型例题一 例 1：已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ． 求证：平面 AB1D1 // 平面 C1BD ． 证明：∵ ABCD - A1B1C1D1 为正方体， ∴ D1 A // C1B ， 又 C1 B ? 平面 C1BD ， 故 D1 A // 平面 C1BD ． 同理 D1 B1 // 平面 C1BD ． 又 D1 A ? D1B1 ? D1 ， ∴ 平面 AB1D1 // 平面 C1BD ． 说明：上述证明是根据判定定理 1 实现的．本题也可根据判定定理 2 证明，只需连接 A1C 即 可，此法还可以求出这两个平行平面的距离． 典型例题二 例 2：如图，已知 ? // ? ， A ? a ， A ? ? a // ? ． 求证： a ? ? ． 证 明 ： 过 直 线 a 作 一 平 面 ? ， 设 ? ? ? ? a1 ，? ?? ? b ．∵ ? // ? ∴ a1 // b 又 a // ? ∴ a // b 在同一个平面 ? 内过同一点 A 有两条直线 a, a1 与直线 b 平行 ∴ a 与 a1 重合，即 a ? ? ． 说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三 例 3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图， ? // ? ， l ? ? ? A ． 求证： l 与 ? 相交． 证明：在 ? 上取一点 B ，过 l 和 B 作平面 ，由于 与α 有公共点 A ， 与 ? 有公共点 B ．???∴ 与 ? 、 ? 都相交．?设 ? ?? ? a ， ? ? ? ? b ． ∵ ? // ? ∴ a // b 又 l 、 a 、 b 都在平面 ? 内，且 l 和 a 交于 A ． ∵ l 与 b 相交． 所以 l 与 ? 相交．典型例题四 例 4：已知平面 ? // ? ， AB ， CD 为夹在 a ， ? 间的异面线段， E 、 F 分别为 AB 、 CD 的 中点． 求证： EF // ? ， EF // ? ． 证明：连接 AF 并延长交 ? 于 G ． ∵ AG ? CD ? F ∴ AG ， CD 确 定 平 面 ? ， 且 ? ? ? ? AC ，? ? ? ? DG ．∵ ? // ? ，所以 AC // DG ， ∴ ?ACF ? ?GDF ， 又 ?AFC ? ?DFG ， CF ? DF ， ∴ △ ACF ≌△ DFG ． ∴ AF ? FG ． 又 AE ? BE ， ∴ EF // BG ， BG ? ? ． 故 EF // ? ． 同理 EF // ? 说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理． 典型例题六 例 6 如图，已知矩形 ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为 A1 、 B1 、 C1 、 D1 ，且 A1 、B1 、 C1 、 D1 互不重合，也无三点共线．求证：四边形 A1 B1C1 D1 是平行四边形．1 ? ? ， DD 1 ?? 证明：∵ AA 1 // DD 1 ∴ AA 1 确定平面 ? ． 1 和 DD 不妨设 AA1 和 CC1 确定平面 ? ． 同理 BB1 // BB 1 ，且 BB 1 ?? 又 AA 1 // ? ∴ AA同理 AD // ?1 ? AD ? A 又 AA∴ ? // ? 又 ? ? ? ? A1D1 ， ? ? ? ? B1C1 ∴ A1D1 // B1C1 ． 同理 A1B1 // C1D1 ． ∴四边形 A1 B1C1 D1 是平行四边形．典型例题七 例 7 设直线 l 、 m ，平面 ? 、 ? ，下列条件能得出 ? // ? 的是（ A． l ? ? ， m ? ? ，且 l // ? ， m // ?） ．B． l ? ? ， m ? ? ，且 l // m C． l ? ? ， m ? ? ，且 l // mD． l // ? ， m // ? ，且 l // m分析：选项 A 是错误的，因为当 l // m 时，? 与 ? 可能相交．选项 B 是错误的，理由同 A．选 项 C 是正确的，因为 l ? ? ， m // l ，所以 m ? ? ，又∵ m ? ? ，∴ ? // ? ．选项 D 也是错 误的，满足条件的 ? 可能与 ? 相交． 答案：C 说明：此题极易选 A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致． 本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的 准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况． 典型例题八 设平面 ? ? 平面 ? ，平面 ? ? 平面 ? ，且 ? 、 ? 分别与 ? 相交于 a 、 b ， a // b ．求例 8证：平面 ? // 平面 ? ． 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 ? 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们 分别与 ? 平行（如图） ．证明：在平面 ? 内作直线 PQ ? 直线 a ，在平面 ? 内作直线 MN ? 直线 b ．? ∵平面 ? ? 平面 ，? ? ∴ PQ ? 平面 ， MN ? 平面 ，∴ PQ // MN ． 又∵ a // p ， PQ ? a ? Q ， MN ? b ? N ， ∴平面 ? // 平面 ? ． 说明：如果在 ? 、 ? 内分别作 PQ ? ? ， MN ? ? ，这样就走了弯路，还需证明 PQ 、 MN 在? 、 ? 内，如果直接在 ? 、 ? 内作 a 、 b 的垂线，就可推出 PQ // MN ．由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出“线线平行” 、 “线面平行” ，最后得到“面面 平行” ，最后得到“面面平行” ．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非 常重要． 典型例题九 例 9 如图所示，平面 ? // 平面 ? ，点 A 、 C ?? ，点 B、D ? ? ， AB ? a 是 ? 、 ? 的公 垂线， CD 是斜线．若 AC ? BD ? b ， CD ? c ， M 、 N 分别是 AB 和 CD 的中点， (1)求证： MN // ? ； (2)求 MN 的长．分析： （1）要证 MN // ? ，取 AD 的中点 P ，只要证明 MN 所在的平面 PMN // ? ．为此证 明 PM // ? ， PN // ? 即可．(2)要求 MN 之长，在 ?CMA 中， CM 、 CN 的长度易知，关键 在于证明 MN ? CD ，从而由勾股定理可以求解． 证明：(1)连结 AD ，设 P 是 AD 的中点，分别连结 PM 、 PN ． ∵ M 是 AB 的中点，∴ PM // BD ． 又 BD ? ? ，∴ PM // ? ． 同理∵ N 是 CD 的中点，∴ PN // AC ． ∵ AC ? ? ，∴ PN // ? ． ∵ ? // ? ， PN ? PM ? P ，∴平面 PMN // ? ． ∵ MN ? 平面 PMN ，∴ MN // ? ． (2)分别连结 MC 、 MD ．∵ AC ? BD ? b ，AM ? BM ?1 a 2 ， 又∵ AB 是 ? 、 ? 的公垂线，∴ ?CAM ? ?DBM ? 90? ， ∴ Rt ?ACM ≌ Rt ?BDM ，∴ CM ? DM ， ∴ ?DMC 是等腰三角形． 又 N 是 CD 的中点，∴ MN ? CD ．在 Rt ?CMN 中，MN ? CM 2 ? CN 2 ?1 4b 2 ? a 2 ? c 2 2 ．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行” ，然后利用面面平行的性质，推证“线面平 行” ，这是一种以退为进的解题策略． (2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解． (3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线 平行．典型例题十 例 10 如果平面 ? 内的两条相交直线与平面 ? 所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 __________． 分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究． 解：设 a 、 b 是平面 ? 内两条相交直线． (1)若 a 、 b 都在平面 ? 内， a 、 b 与平面 ? 所成的角都为 0? ，这时 ? 与 ? 重合，根据教材 中规定，此种情况不予考虑． (2)若 a 、 b 都与平面 ? 相交成等角，且所成角在 (0? , 90?) 内； ∵ a 、 b 与 ? 有公共点，这时 ? 与 ? 相交． 若 a 、 b 都与平面 ? 成 90 ? 角，则 a // b ，与已知矛盾．此种情况不可能． (3)若 a 、b 都与平面 ? 平行，则 a 、b 与平面 ? 所成的角都为 0? ，? 内有两条直线与平面 ? 平行，这时 ? // ? ． 综上，平面 ? 、 ? 的位置关系是相交或平行． 典型例题十一 例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行． 已知： A ? 平面? ， 求证：过 A 有且只有一个平面 ? // ? ． 分析： “有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可． 证明：在平面 ? 内任作两条相交直线 a 和 b ，则由 A ? ? 知， A ? a ， A ? b ． 点 A 和直线 a 可确定一个平面 M ，点 A 和直线 b 可确定一个平面 N ． 在平面 M 、 N 内过 A 分别作直线 a // a 、 b // b ， 故 a 、 b 是两条相交直线，可确定一个平面 ? ．' ' ' '∵ a ? ? ， a ? ? ， a // a ，∴ a // ? ．' ' '同理 b // ? ．'' ' ' ' 又 a ? ? ， b ? ? ， a ? b ? A ，∴ ? // ? ．所以过点 A 有一个平面 ? // ? ．假设过 A 点还有一个平面 ? // ? ， 则在平面 ? 内取一直线 c ， A ? c ，点 A 、直线 c 确定一个平面? ，由公理 2 知：? ? ? ? m，? ? ? ? n ，∴ m // c ， n // c ， 又 A? m ， A ? n ， 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面 ? 只有一个． 所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 典型例题十二 例 12 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA ? SB ? SC ， SG 为 ?SAB 上的 高， D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系，并 给予证明 分析 1：如图，观察图形，即可判定 SG // 平面 DEF ，要证明结论成立，只需证明 SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线． 怎样证明 SG // FH ？只需证明 H 是 CG 的中点．证法 1：连结 CG 交 DE 于点 H ， ∵ DE 是 ?ABC 的中位线， ∴ DE // AB ． 在 ?ACG 中， D 是 AC 的中点，且 DH // AG ， ∴ H 为 CG 的中点． ∵ FH 是 ?SCG 的中位线，∴ FH // SG ． 又 SG ? 平面 DEF ， FH ? 平面 DEF ， ∴ SG // 平面 DEF ． 分析 2：要证明 SG // 平面 DEF ，只需证明平面 SAB // 平面 DEF ，要证明平面 DEF // 平 面 SAB ，只需证明 SA // DF ， SB // EF 而 SA // DF ， SB // EF 可由题设直接推出． 证法 2：∵ EF 为 ?SBC 的中位线， ∴ EF // SB ． ∵ EF ? 平面 SAB ， SB ? 平面 SAB ， ∴ EF // 平面 SAB ． 同理： DF // 平面 SAB ， EF ? DF ? F ， ∴平面 SAB // 平面 DEF ，又∵ SG ? 平面 SAB ， ∴ SG // 平面 DEF ． 典型例题十三 例 13 如图，线段 PQ 分别交两个平行平面 ? 、 ? 于 A 、 B 两点，线段 PD 分别交 ? 、 ? 于C 、D 两点， 线段 QF 分别交 ? 、? 于 F 、E 两点， 若 PA ? 9 ，AB ? 12 ，BQ ? 12 ，?ACF的面积为 72，求 ?BDE 的面积．分析： 求 ?BDE 的面积， 看起来似乎与本节内容无关， 事实上， 已知 ?ACF 的面积， 若 ?BDE 与 ?ACF 的对应边有联系的话，可以利用 ?ACF 的面积求出 ?BDE 的面积． 解：∵平面 QAF ? ? ? AF ，平面 QAF ? ? ? BE ， 又∵ ? // ? ，∴ AF // BE ． 同理可证： AC // BD ，∴ ?FAC 与 ? EBD 相等或互补，即 sin ?FAC ? sin ?EBD ．∶AF ? QB ∶ QA ? 12 ∶ 24 ? 1 ∶ 2， 由 FA // BE ，得 BEBE ?∴1 AF 2 BD ? 7 AC 3 ．∶21 ? 3 ∶ 7 ，∴ 由 BD // AC ，得： AC∶BD ? PA∶PB ? 91 AF ? AC ? sin ?FAC ? 72 又∵ ?ACF 的面积为 72，即 2 ． S ?DBE ? 1 BE ? BD ? sin ?EBD 2∴ 1 1 7 ? AF ? AC ? sin ?FAC 2 2 3 7 1 ? ? AF ? AC ? sin ?FAC 6 2 ?? 7 ? 72 ? 84 6 ．∴ ?BDE 的面积为 84 平方单位． 说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问 题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相 平行． 典型例题十四 例 14 在棱长为 a 的正方体中，求异面直线 BD 和 B1C 之间的距离． 分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若 a 和 b 是两条异面直线，则过 a 且平行于b 的平面必平行于过 b 且平行于 a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来 解决． 具体解法可按如下几步来求：①分别经过 BD 和 B1C 找到两个互相平等的平面；②作出两个 平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度． 解：如图，根据正方体的性质，易证：BD // B1 D1 ? ? ? 平面A1 BD // 平面CB1 D1 A1 B // D1C ?连结 AC1 ，分别交平面 A1BD 和平面 CB1D1 于 M 和 N 因为 CC1 和 AC1 分别是平面 ABCD 的垂线和斜线， AC 在平面 ABCD 内， AC ? BD 由三垂线定理： AC1 ? BD ，同理： AC1 ? A1D ∴ AC1 ? 平面 A1BD ，同理可证： AC1 ? 平面 CB1D1 ∴平面 A1BD 和平面 CB1D1 间的距离为线段 MN 长度． 如图所示：在对角面 AC1 中， O1 为 A1C1 的中点， O 为 AC 的中点∴AM ? MN ? NC1 ?1 3 AC1 ? a 3 3 ．3 a ∴ BD 和 B1C 的距离等于两平行平面 A1BD 和 CB1D1 的距离为 3 ．说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距．设 a 、 b 是两条异面直线，作出经过 b 而和 a 平行的平面 ? ，通过计算 a 和 ? 的距离，得出 a 和 b 距 离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设 a 、 b 是两条异面直线，作出经过 b 而 和 a 平行的平面 ? ，再作出经过 a 和 b 平行的平面 ? ，通过计算 ? 、 ? 之间的距离得出 a 和b 之间的距离．典型例题十五 例 15 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 a ，求异面直线 AC 与 BC1 的距离． 解法 1： （直接法）如图：1 于 M 、 N 两点， 1 分别交 AC 、 BC 取 BC 的中点 P ，连结 PD 、 PB易证： DB1 // MN ， DB1 ? AC ， DB1 ? BC1 ． 1 3 MN ? DB1 ? a 3 3 ． ∴ MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段，易证：小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时， 难度较大． 解法 2： （转化法）如图：∵ AC // 平面 A1C1B ， ∴ AC 与 BC1 的距离等于 AC 与平面 A1C1B 的距离，1 中，作斜边上的高 OE ，则 OE 长为所求距离， 在 Rt?OBOOB ?∵2 a 2 ， OO1 ? a ，∴O1B ?OO1 ? OB 3 3 OE ? ? a a O1B 3 ． 2 ，∴小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离． 解法 3： （转化法）如图：1 // 平面 A 1C1 B ， ∵平面 ACD 1 与平面 A 1C1 B 的距离． ∴ AC 与 BC1 的距离等于平面 ACD 1 ，且被平面 ACD 1 和平面 A 1C1 B 三等分； ∵ DB1 ? 平面 ACD1 3 B1 D ? a 3 ． ∴所求距离为 3 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离． 解法 4： （构造函数法）如图：任取点 Q ? BC1 ，作 QR ? BC 于 R 点，作 PK ? AC 于 K 点，设 RC ? x ，2 2 2 则 BR ? QR ? a ? x ， CK ? KR ，且 KR ? CK ? CR1 1 KR 2 ? CR 2 ? x 2 2 2 ． ∴ QK 2 ?则1 2 x ? (a ? x) 2 2?3 2 1 1 ( x ? a) 2 ? a 2 ? a 2 2 3 3 3 ，3 a 故 QK 的最小值，即 AC 与 BC1 的距离等于 3 ．小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到 二异面直线之间的距离． 解法 5： （体积桥法）如图：当求 AC 与 BC1 的距离转化为求 AC 与平面 A1C1B 的距离后，设 C 点到平面 A1C1 B 的距离为h，则VC ? A1C1B ? VA1 ?BCC1．1 3 1 1 h? ( 2a ) 2 ? ? a ? a 2 4 3 2 ， ∵3 h∴3 3 a a 3 ．即 AC 与 BC1 的距离等于 3 ．小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后 用体积公式求之．这种方法在后面将要学到． 说明：求异面直线距离的方法有： (1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段， 是求异面直线距离的关键． (2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线 a 、 b 距离，先作出过 a 且平行于 b 的平面 ? ，则 b 与 ? 距离就是 a 、 b 距离． （线面转化法） ． 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面， 两平行平面的距离就是两条异面直线 距离． （面面转化法） ． (3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求． (4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解． 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离） ，这方面的 问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求． 典型例题十六 例 16 如果 ? // ? ，AB 和 AC 是夹在平面 ? 与 ? 之间的两条线段，AB ? AC ， 且 AB ? 2 ， 直线 AB 与平面 ? 所成的角为 30 ? ，求线段 AC 长的取值范围． 解法 1：如图所示：作 AD ? ? 于 D ，连结 BD 、 CD 、 BC2 2 2 ∵ AB ? BD ， AC ? DC ， AB ? AC ? BC ，∴在 ?BDC 中，由余弦定理，得：cos?BDC ?BD2 ? CD 2 ? BC 2 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? ?0 2 BD ? CD 2 BD ? CD ．∵ AD ? ? ，∴ ? ABD 是 AB 与 ? 所在的角． 又∵ ? // ? ， ∴ ? ABD 也就等于 AB 与 ? 所成的角，即 ?ABD ? 30? ． ∵ AB ? 2 ， ∴ AD ? 1 ， BD ? 3 ， DC ?AC2 ?1 ， BC ? 4 ? AC2 ，0?，即：?1 ?∴3 ? AC2 ? 1 ? 4 ? AC2 2 3 ? AC2 ? 1?01 AC 2 ? 1? 3．AC ?∴?2 3 ? 2 3 , ? ?? ? ? ?． 3 ，即 AC 长的取值范围为 ? 3解法 2：如图：∵ AB ? AC ∴ AC 必在过点 A 且与直线 AB 垂直的平面 ? 内 设 ? ? ? ? l ，则在 ? 内，当 AC ? l 时， AC 的长最短，且此时 AC ? AB ? tan ?ABCAB ? tan30? ?2 3 3而在 ? 内， C 点在 l 上移动，远离垂足时， AC 的长将变大，AC ?从而2 3 3 ，?2 3 ? , ? ?? ? ? 3 ?． 即 AC 长的取值范围是 ?说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间 想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习． (2)解法 1 利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于 AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．(3)解法 2 从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很 高， 根据此解法可知线段 AC 是连结异面直线 AB 和 l 上两点间的线段， 所以 AC 是 AB 与 l 的 公垂线段时，其长最短． 典型例题十七 例 17 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知： ? // ? ， ? // ? ，求证： ? // ? ． 分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称 两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也 可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行 来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线． 证明一：如图，假设 ? 、 ? 不平行，则 ? 和 ? 相交． ∴ ? 和 ? 至少有一个公共点 A ，即 A ? ? ， A ? ? ． ∵ ? // ? ， ? // ? ， ∴ A ?? ． 于是，过平面 外一点 A 有两个平面 ? 、 ? 都和平面 平行，??这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。 ∴ ? // ? ． 证明二：如图，在平面 ? 内任取一点 A ，过 A 点作直线 l 与 ? 相交．? ∵ ? // ? ，∴ l 与 也相交．∵ ? // ? ，∴ l 与 ? 也相交． 过 l 作两相交平面分别与 ? 交于直线 m1 、 n1 ，且与 m2 、 n2 ，交 ? 于直线m3 、 n3 ．m // m3 ． ∵ ? // ? ，∴ 1∵ ? // ? ，∴ ∴ m1 // m2 ． ∵ m1 ? ? ， m2 ? ? ， ∴ m1 // ? ． 同理 n1 // ? ． 又∵ m1 ? n1 ? A ， m1 、 n1 ? ? ， ∴ ? // ? ． 证明三：如图，任作直线 l ? ? ，m2 // m3 ．∵ ? // ? ，∴ l ? ? ． ∵ ? // ? ，∴ l ? ? ． ∴ ? // ? ． 说明：证明两个平面平行，可根据定义、应用判定定理来证明．典型例题十八 例 18 如图，已知 a 、 b 是异面直线，求证：过 a 和 b 分别存在平面 ? 和 ? ，使 ? // ? ． 分析：本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力．根据前面学过的知识，过异面 直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行． 这样过 a 和 b 分别有平面与另一条线平行． 那 么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的 ? 和 ? ？ 证明：在直线 a 上任取一点 P ，过 P 点作直线 b // b ． 故过 a 和 b 可确定一平面记为 ? ，' '在直线 b 上任取一点 Q ． 过 Q 点作直线 a // a ．'同理过 b 和 a 可确定一平面，记为 ? ．'∵ a // a ， a ? ? ，'∴ a // ? ．同理 b // ? ．'∵ a ? ? ，b ? ? ， a ?b ? Q ．' '∴ ? // ? ． 说明：由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中．所以两异面直线间 的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证 a 和 b 的公垂线段垂直于两平行平面）三，直线与平面垂直的判定 典型例题一 例 1 下列图形中，满足唯一性的是（ A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面 C．过平面外一点与平面平行的直线 ） ． D．过一点作已知平面的垂线 分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意 空间垂直并非一定相关． 解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以 作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面． B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直 线平行． C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面 平行的直线应有无数条． D． 过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条． 假设空间点 A 、 平面 ? ， 过点 A 有两条直线 AB 、AC 都垂直于 ? ，由于 AB 、AC 为相交直线，不妨设 AB 、AC 所确定的平面为 ? ，? 与 ?的交线为 l ，则必有 AB ? l ， AC ? l ，又由于 AB 、 AC 、 l 都在平面 ? 内，这样在 ? 内经 过 A 点就有两条直线和直线 l 垂直， 与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直 相矛盾． 故选 D． 说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来 证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面 也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到． 典型例题二 例 2 已知下列命题： （1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行； （3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直； （4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两 条直线在这个平面上的射影互相垂直． 上述命题正确的是（ ） ． A． （1） 、 （2） B． （2） 、 （3） C． （3） 、 （4） D． （2） 、 （4） 分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面 内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形． 解： （1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之 间也平行； （3） 根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直， 但不能进一步说明直线和直线垂直； （4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选 D． 说明： （3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如1 和 BB 1 上的点， G 为棱 BC 上的点，且 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E、F 分别为棱 AA EF ? BB1 ， FC1 ? EG ，求 ?D1FG ．典型例题三1 的中点， O 是底面正方形 ABCD 的中 例 3 如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 是 BB 1． 心，求证： OE ? 平面 ACD分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明 OE ? 平面ACD 1 ，只要在平面 ACD 1 内找两条相交直线与 OE 垂直．证明：连结 B1D 、 A1D 、 BD ，在△ B1BD 中， ∵ E、O 分别是 B1B 和 DB 的中点， ∴ EO // B1D ．1 D1 D ， ∵ B1 A1 ? 面 AA 1 为 DB 1 在面 AA 1 D1 D 内的射影． ∴ DA 1 ? A 1D ， 又∵ AD 1 ? DB 1． ∴ AD同理可证， B1D ? D1C ．1， 又∵ AD1 ? CD1 ? D1 ， AD1 、 D1C ? 面 ACD 1． ∴ B1 D ? 平面 ACD∵ B1D // EO ，1． ∴ EO ? 平面 ACD另证：连结 AE、CE ， D1O ，设正方体 DB1 的棱长为 a ，易证 AE ? CE ． 又∵ AO ? OC ， ∴ OE ? AC ． 在正方体 DB1 中易求出： ? 2 ? 6 ? ? D1O ? DD ? DO ? a ? ? a a ? 2 ? 2 ? ? ，2 1 2 2 2 2 ? 3 ?a? ? 2 2 OE ? BE ? OB ? ? ? ? ? a? ? a ? ? 2 ? 2? ? 2 ? ， 22D1 E ? D1 B12 ? B1 E 2 ?∵ D1O ? OE ? D1E ，2 2 2a? ? 2a ? ? ? ? ? 222? ??3 a 2 ．∴ D1O ? OE ．1， ∵ D1O ? AC ? O ， D1O 、 AC ? 平面 ACD 1． ∴ OE ? 平面 ACD说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明 线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直， 即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四 例 4 如图，在△ ABC 中， ?B ? 90 ， SA ? 平面 ABC ，点 A 在 SB 和 SC 上的射影分别为?M、N ，求证： MN ? SC ．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思 想． 欲证 SC ? MN ， 可证 SC ? 面 AMN ， 为此须证 SC ? AN ， 进而可转化为证明 AN ? 平 面 SBC ，而已知 AN ? SB ，所以只要证 AN ? BC 即可．由 于图中线线垂直、 线面垂直关系较多， 所以本题也可以利用三 垂线定理和逆定理来证线线垂直． 证明：∵ SA ? 面 ABC ， BC ? 平面 ABC ， ∴ SA ? BC ．? ∵ ?B ? 90 ，即 AB ? BC ， BA ? SA ? A ，∴ BC ? 平面 SAB ． ∵ AN ? 平面 SAB ． ∴ BC ? AN ． 又∵ AN ? SB ， SB ? BC ? B ， ∴ AN ? 平面 SBC ． ∵ SC ? 平面 SBC ， ∴ AN ? SC ， 又∵ AM ? SC ， AM ? AN ? A ， ∴ SC ? 平面 AMN ． ∵ MN ? 平面 AMN ． ∴ SC ? MN ． 另证：由上面可证 AN ? 平面 SBC ． ∴ MN 为 AM 在平面 SBC 内的射影． ∵ AM ? SC ， ∴ MN ? SC ． 说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线 面垂直又转化为证明线线垂直． 立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的． 本 题若改为下题，想想如何证：已知 SA ? ⊙ O 所在平面， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上任SC 于点 M、N ， 意一点 （ C 与 A、B 不重合） ． 过点 A 作 SB 的垂面交 SB 、 求证：AN ? SC ．典型例题五 例 5 如图， AB 为平面 ? 的斜线， B 为斜足， AH 垂直平面 ? 于 H 点， BC 为平面 ? 内的 直线， ?ABH ? ? ， ?HBC ? ? ， ?ABC ? ? ，求证： cos ? ? cos? ? cos? ． 分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余 弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求 出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理． 证明：过 H 点作 HD 垂直 BC 于 D 点，连 AD ． ∵ AH ? ? ， ∴ AD 在平面 ? 内射影为 HD ． ∵ BC ? HD ， BC ? ? ， ∴ BC ? AD ．在 Rt △ ABH 中有：cos ? ?BH BA BD BH BD BA①在 Rt △ BHD 中有：cos ? ?②在 Rt △ ABD 中有：cos ? ?③由①、②、③可得： cos ? ? cos? ? cos? ． 说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为 ? ，则斜线与平面内其它直线所成角 ? 的范围? ?? ??， ? 为? 2?．典型例题六 例 6 如图，已知正方形 ABCD 边长为 4 ， CG ? 平面 ABCD ， CG ? 2 ， E、F 分别是AB、AD 中点，求点 B 到平面 GEF 的距离．分析：此题是 1991 年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空 间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求 另一点到该平面的距离．为此要寻找过点 B 与平面 GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线 上所有点到平面的距离相等． 证明：连结 BD、AC ， EF 和 BD 分别交 AC 于 H、O ， 连 GH ，作 OK ? GH 于 K ． ∵ ABCD 为正方形， E、F 分别为 AB 、AD 的中点， ∴ EF // BD ， H 为 AO 中点． ∵ BD // EF ， BD ? 平面 GFE ， ∴ BD // 平面 GFE ． ∴ BD 与平面 GFE 的距离就是 O 点到平面 EFG 的距离． ∵ BD ? AC ，∴ EF ? AC ． ∵ GC ? 面 ABCD ，∴ GC ? EF ． ∵ GC ? AC ? C ， ∴ EF ? 平面 GCH ． ∵ OK ? 平面 GCH ， ∴ EF ? OK ． 又∵ OK ? GH ， GH ? EF ? H ， ∴ OK ? 平面 GEF ． 即 OK 长就是点 B 到平面 GEF 的距离． ∵正方形边长为 4， CG ? 2 ， ∴ AC ? 4 2 ， HO ? 2 ， HC ? 3 2 ． 在 Rt △ HCG 中， HG ?HC2 ? CG2 ? 22 ．HO ? GC 2 11 ? HG 11 ．在 Rt △ GCH 中，OK ?说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线 段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长 CB 交 FE 的延长 线于 M ， 连结 GM ， 作 BP ? ME 于 P ， 作 BN // CG 交 MG 于 N ， 连结 PN ， 再作 BH ? PN 于 H ，可得 BH ? 平面 GFE ， BH 长即为 B 点到平面 EFG 的距离．二是转移法．将该点到 平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点 到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七 例 7 如图所示，直角 ?ABC 所在平面外一点 S ，且 SA ? SB ? SC ． (1)求证：点 S 与斜边 AC 中点 D 的连线 SD ? 面 ABC ； (2)若直角边 BA ? BC ，求证： BD ? 面 SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直． 证明：(1)在等腰 ?SAC 中， D 为 AC 中点，∴ SD ? AC ． 取 AB 中点 E ，连 DE 、 SE ． ∵ ED // BC ， BC ? AB ，∴ DE ? AB ． 又 SE ? AB ，∴ AB ? 面 SED ，∴ AB ? SD ． ∴ SD ? 面 ABC （ AB 、 AC 是面 ABC 内两相交直线） ． (2)∵ BA ? BC ，∴ BD ? AC ． 又∵ SD ? 面 ABC ，∴ SD ? BD ． ∵ SD ? AC ? D ，∴ BD ? 面 SAC ． 说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰 三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等． 典型例题八 例 8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知： a // b ， a ? ? ．求证： b ? ? ． 分析：由线面垂直的判定定理知，只需在 ? 内找到两条相交直线与 b 垂直即可．证明：如图所示，在平面 ? 内作两条相交直线 m 、 n ． ∵ a ? ? ，∴ a ? m ， a ? n ． 又∵ b // a ，从而有 b ? m ， b ? n ． 由作图知 m 、 n 为 ? 内两条相交直线． ∴b ?? ． 说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确 或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直． 典型例题九 例 9 如图所示，已知平面 ? ? 平面 ? = EF ， A 为 ? 、? 外一点， AB ? ? 于 B ， AC ? ? 于 C ， CD ? ? 于 D ．证明： BD ? EF ．分析：先证 A 、 B 、 C 、 D 四点共面，再证明 EF ? 平面 ABCD ，从而得到 BD ? EF ． 证明：∵ AB ? ? ， CD ? ? ，∴ AB // CD ． ∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面． ∵ AB ? ? ， AC ? ? ， ? ? ? ? EF ，∴ AB ? EF ， AC ? EF ． 又 AB ? AC ? A ，∴ EF ? 平面 ABCD ． ∴ EF ? BD ． 说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即 要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“ A 、 B 、 C 、 D 四点共面”非常重要，仅由 EF ? 平面 ABC ，就断定 EF ? BD ，则证明是无效的． 典型例题十 例 10 平面 ? 内有一半圆， 直径 AB ， 过 A 作 SA ? 平面 ? ， 在半圆上任取一点 M ， 连 SM 、SB ，且 N 、 H 分别是 A 在 SM 、 SB 上的射影．(1)求证： NH ? SB ； (2)这个图形中有多少个线面垂直关系？ (3)这个图形中有多少个直角三角形？ (4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？ 分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连 AM 、 BM ．如上图所示， ∵ AB 为已知圆的直径，∴ AM ? BM ． ∵ SA ? 平面 ? ， BM ? ? ，∴ SA ? MB ． ∵ AM ? SA ? A ，∴ BM ? 平面 SAM ． ∵ AN ? 平面 SAM ，∴ BM ? AN ． ∵ AN ? SM 于 N ， BM ? SM ? M ，∴ AN ? 平面 SMB ． ∵ AH ? SB 于 H ，且 NH 是 AH 在平面 SMB 的射影，∴ NH ? SB ． 解(2)：由(1)知， SA ? 平面 AMB ， BM ? 平面 SAM ， AN ? 平面 SMB ． ∵ SB ? AH 且 SB ? HN ，∴ SB ? 平面 ANH ， ∴图中共有 4 个线面垂直关系． (3)∵ SA ? 平面 AMB ，∴ ?SAB 、 ?SAM 均为直角三角形． ∵ BM ? 平面 SAM ，∴ ?BAM 、 ?BMS 均为直角三角形． ∵ AN ? 平面 SMB ，∴ ?ANS 、 ?ANM 、 ?ANH 均为直角三角形． ∵ SB ? 平面 ANH ，∴ ?SHA 、 ?BHA 、 ?SHN 、 ?BHN 均为直角三角形． 综上，图中共有 11 个直角三角形． (4)由 SA ? 平面 AMB 知， SA ? AM ， SA ? AB ， SA ? BM ． 由 BM ? 平面 SAM 知， BM ? AM ， BM ? SM ， BM ? AN ． 由 AN ? 平面 SMB 知， AN ? SM ， AN ? SB ， AN ? NH ． 由 SB ? 平面 ANH 知， SB ? AH ， SB ? HN ． 综上，图中共有 11 对互相垂直的直线． 说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线 ? 面”可得到“线 ? 面内 线” ，当“线 ? 面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线 ? 面内线”且不相交时，可得 到异面且垂直的一对直线． 典型例题十一 例 11 如图所示，?BAC ? 90? ． 在平面 ? 内，PA 是 ? 的斜线，?PAB ? ?PAC ? 60? ． 求PA 与平面 ? 所成的角．分 析 ： 求 PA 与 平 面 ? 所 成 角 ， 关 键 是 确 定 PA 在 平 面 ? 上 射 影 AO 的 位 置 ． 由?PAB ? ?PAC ，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定 AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理． 解：如图所示，过 P 作 PO ? ? 于 O ．连结 AO ， 则 AO 为 AP 在面 ? 上的射影， ?PAO 为 PA 与平面 ? 所成的角． 作 OM ? AC ，由三重线定理可得 PM ? AC ． 作 ON ? AB ，同理可得 PN ? AB ． 由 ?PAB ? ?PAC ， ?PMA ? ?PNA ? 90? ， PA ? PA ， 可得 ?PMA ≌ ?PNA ，∴ PM ? PN ． ∵ OM 、 ON 分别为 PM 、 PN 在 ? 内射影，∴ OM ? ON ． 所以点 O 在 ?BAC 的平分线上．设 PA ? a ，又 ?PAM ? 60? ，∴AM ?1 a 2 ， ?OAM ? 45? ，AO ? 2 AM ?∴2 a 2 ． AO 2 ? PA 2 ，在 ?POA 中，cos?PAO ?∴ ?PAO ? 45? ，即 PA 与 ? 所成角为 45 ? ． 说明： (1)本题在得出 PA 在面 ? 上的射影为 ?BAC 的平分线后， 可由公式 cos? ? cos? ? cos ? 来计 算 PA 与平面 ? 所成的角，此时 ?PAC ? ? ? 60? ， ?PAO ? ? ， ?CAO ? ? ? 45? ． (2) 由 PA 与平面 ? 上射影为 ?BAC 平分线还可推出下面结论：四面体 P ? ABC 中，若?PAB ? ?PAC ， ?PBA ? ?PBC ，则点 A 在面 ABC 上的射影为 ?ABC 的内心．典型例题十二 例 12 如图所示，在平面 ? 内有 ?ABC ，在平面 ? 外有点 S ，斜线 SA ? AC ， SB ? BC ， 且斜线 SA 、 SB 分别与平面 ? 所成的角相等，设点 S 与平面 ? 的距离为 4cm ， AC ? BC ， 且 AB ? 6cm ．求点 S 与直线 AB 的距离．DB ? BC ， DA ， 分析： 由点 S 向平面 ? 引垂线， 考查垂足 D 的位置， 连 DB 、 推得 DA ? AC ， 又 ?ACB ? 90? ，故 A 、 B 、 C 、 D 为矩形的四个顶点． 解：作 SD ? 平面 ? ，垂足为 D ，连 DA 、 DB ． ∵ SA ? AC ， DB ? BC ， ∴由三垂线定理的逆定理，有： DA ? AC ， DB ? BC ， 又 AC ? BC ，∴ ACBD 为矩形． 又∵ SA ? SB ，∴ DA ? DB ，∴ ACBD 为正方形， ∴ AB 、 CD 互相垂直平分． 设 O 为 AB 、 CD 的交点，连结 SO ， 根据三垂线定理，有 SO ? AB ，则 SO 为 S 到 AB 的距离．在 Rt ?SOD 中， SD ? 4cm ， ∴ SO ? 5cm ．DO ?1 AB ? 3cm 2 ，因此，点 S 到 AB 的距离为 5cm ． 说明：由本例可得到点到直线距离的作法： (1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求． (2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直 线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离． (3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离 符合定义，再通过解直角三角形进行计算． 典型例题十三 例 13 如图， ABCD 是正方形， SA 垂直于平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 的平面交 SB 、SC 、 SD 分别于点 E 、 F 、 G ，求证： AE ? SB ， AG ? SD ．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由 于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证 AE ? SB ，可证 AE ? 平面 SBC ，为 此须证 AE ? BC 、 AE ? SC ，进而转化证明 BC ? 平面 SAB 、 SC ? 平面 AEFG ． 证明：∵ SA ? 平面 ABCD ， BC ? 平面 ABCD ， ∴ SA ? BC ． 又∵ ABCD 为正方形， ∴ BC ? AB ． ∴ BC ? 平面 ASB ． ∵ AE ? 平面 ASB ， ∴ BC ? AE ． 又∵ SC ? 平面 AEFG ， ∴ SC ? AE ． ∴ AE ? 平面 SBC ． 又∵ SB ? 平面 SBC ， ∴ AE ? SB ，同理可证 AG ? SD ． 说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂 线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直． (2)本题的证明过程中 反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性． 典型例题十四 例 14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内 的射影在这个角的平分线上． 已知： ?BAC 在平面 ? 内，点 P ? ? ， PE ? AB ， PF ? AC ， PO ? ? ，垂足分别是 E 、F 、 O ， PE ? PF ．求证： ?BAO ? ?CAO ． 证明：∵ PO ? ? ， ∴ OE 为 PE 在 ? 内的射影． ∵ AB ? PE ， AB ? 平面? ， ∴ AB ? OE ． 同理可证： AC ? OF ． 又∵ PO ? ? ， PE ? PF ， OE ? OF ， ∴ ?BAO ? ?CAO ． 说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所 在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角 的平分线所在的直线． 由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题： 已知 ?ACB ? 90? ，S 为平面 ACB 外一点， ?SCA ? ?SCB ? 60 ? ，求 SC 与平面 ACB 所成角． 典型例题十五 例 15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． （ ） (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． （ (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边． （ ） (4)过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 ? 的平面内． （ ））(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． （ ） 解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面， 因此应打“×”号 (2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号； 若为相交，则该命题应打“√” ，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这 数条线的位置关系，则该命题应打“×”号． (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线 必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√” ． (4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一 条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点 A 垂直于直线 a 的平面惟一，因此，过点 A 且与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号． (5)三条共点直线两两垂直，设为 a ， b ， c 且 a ， b ， c 共点于 O ， ∵ a ? b ， a ? c ， b ? c ? 0 ，且 b ， c 确定一平面，设为 ? ，则 a ? ? ， 同理可知 b 垂直于由 a ， c 确定的平面， c 垂直于由了确定的平面， ∴该命题应打“√”号． 说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必 须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用． 典型例题十六 例 16 如图， 已知空间四边形 ABCD 的边 BC ? AC ，AD ? BD ， 引 BE ? CD ，E 为垂足， 作 AH ? BE 于 H ，求证： AH ? 平面BCD ．分析：若证 AH ? 平面BCD ，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证 AH 垂直平面 BCD 中两条相交直线即可． 证明：取 AB 中点 F ，连 CF 、 DF ， ∵ AC ? BC ，∴ CF ? AB ． 又∵ AD ? BD ，∴ DF ? AB ，∴ AB ? 平面CDF ， 又 CD ? 平面CDF ，∴ CD ? AB 又 CD ? BE ，∴ CD ? 平面ABE ， CD ? AH ， 又 AH ? BE ，∴ AH ? 平面BCD ． 典型例题十七 例 17 如果平面 ? 与 ? 外一条直线 a 都垂直 b ，那么 a // ? ． 已知：直线 a ? ? ， a ? 直线b ， b ? ? ．求证： a // ? ． 分析：若证线面平行，只须设法在平面 ? 内找到一条直线 a ，使得 a // a ，由线面平行判定' '定理得证． 证明：(1)如图，若 a 与 b 相交，则由 a 、 b 确定平面 ? ，设 ? ? ? ? a ．'' ? b?a ? a // a ∵b ? ? ? ? ? ' ' ??b ? a ? ? 又a ? ? ? ? a // ? ' a ?? ? ? a, b, a ' ? ? ? ? a ?? ?．(2)如图，若 a 与 b 不相交，' ' 则在 a 上任取一点 A ，过 A 作 b // b ， a 、 b 确定平面 ? ，设 ? ? ? ? a ．'' ? ∵ b ' // b ? b ? ? ? ? ' ' ' ? ? ? b ? a ? a // a ? ? ' b ? ? ? 又a ? ? ? ? ? ? ? 又a ' ? ? ? ? a // ? ? ∵ b ' // b ? b ' ? a ? a ?? ? ?? ? ? ' ' b ? a ? 又b , a , a ? ? ? ．典型例题十八 例 18 如图，已知在 ?ABC 中， ?BAC ? 60? ，线段 AD ? 平面ABC ， AH ? 平面DBC ，H 为垂足．求证： H 不可能是 ?DBC 的垂心． 分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明． 证明：如图所示，假设 H 是 ?DBC 的垂心，则 BH ? DC ． ∵ AH ? 平面DBC ，∴ DC ? AH ， ∴ DC ? 平面ABH ，∴ AB ? DC ． 又∵ DA ? 平面ABC ，∴ AB ? DA ， ∴ AB ? 平面DAC ， ∴ AB ? AC ，这与已知 ?BAC ? 60? 矛盾， ∴假设不成立，故 H 不可能是 ?DBC 的垂心． 说明：本题只要满足 ?BAC ? 90? ，此题的结论总成立．不妨给予证明． 典型例题十九 例 19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确 ） ．分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的；②如图，直线 a ? 平面 ? ， b ? ? ， c ? ? ，且 b ? c ? A ，则 a ? b ， a ? c ，即平面 ? 内两条直交直线 b ， c 都垂直于同一条直线 a ，但 b ， c 的位置关系并不是平行．另外， b ， c 的位置关系也可以是 异面，如果把直线 b 平移到平面 ? 外，此时与 a 的位置关系仍是垂直，但此时， b ， c 的位置 关系是异面． ③如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，易知 A1B1 // 平面ABCD ， A1D1 // 平面ABCD ，但A1B1 ? A1D1 ? A1 ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的． 综上可知①、④正确． ∴应选 B． 典型例题二十 例 20 设 a ， b 为异面直线， AB 为它们的公垂线 (1)若 a ， b 都平行于平面 ? ，则 AB ? ? ； (2)若 a ， b 分别垂直于平面 ? 、 ? ，且 ? ? ? ? c ，则 AB // c ． 分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明 AB ? ? ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关 系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明 AB // c ．图１图２'证明：(1)如图 1，在 ? 内任取一点 P ，设直线 a 与点 P 确定的平面与平面 ? 的交线为 a ， 设直线 b 与点 P 确定的平面与平面 ? 的交线为 b ∵ a // ? ， b // ? ，∴ a // a ， b // b' ' '' ' 又∵ AB ? a ， AB ? b ，∴ AB ? a ， AB ? b ， ∴ AB ? ? ． (2)如图 2，过 B 作 BB ? ? ，则 BB // a ，' '则 AB ? BB'' 又∵ AB ? b ，∴ AB 垂直于由 b 和 BB 确定的平面．∵ b ? ? ，∴ b ? c ， BB ? ? ，∴ BB ? c ．' '∴ c 也垂直于由 BB 和 b 确定的平面．'故 c // AB ． 说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出 平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线 BB ，构造出平面，即由相交直 线 b 与 BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得． 典型例题二十一 例 21 如图，在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中， EF 为异面直线 A1D 与 AC 的公垂线，求证：' 'EF // BD1 ．1 ，构造与 EF 、 BD 1 都垂直的平面是关键．由于 EF 是 AC 和 A 1 D 的公 分析：证明 EF // BD垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用． 证明：连结 A1C1 ，由于 AC // A1C1 ， EF ? AC ， ∴ EF ? A1C1 ． 又 EF ? A1D ， A1D ? A1C1 ? A1 ， ∴ EF ? 平面A1C1D ． ①∵ BB1 ? 平面A1B1C1D1 ， A1C1 ? 平面A1B1C1D1 ， 1 ? A 1C1 ． ∴ BB∵四边形 A1 B1C1 D1 为正方形， ∴ A1C1 ? B1D1 ， B1D1 ? BB1 ? B1 ， ∴ A1C1 ? 平面BB1D1D ，1 ? 平面BB 1D 1D ，∴ A 1C1 ? BD 1． 而 BD 1 ， DC1 ? A 1C1 ? C1 ， 同理 DC1 ? BD 1 ? 平面A 1C1D ． ∴ BD 1． 由①、②可知： EF // BD②典型例题二十二 如图，已知 P 为 ?ABC 外一点， PA 、 PB 、 PC 两两垂直， PA ? PB ? PC ? a ，例 22求 P 点到平面 ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长． 解：过 P 作 PO ? 平面ABC 于 O 点，连 AO 、 BO 、 CO ， ∴ PO ? AO ， PO ? BO ， PO ? CO ∵ PA ? PB ? PC ? a ， ∴ ?PAO ≌ ?PBO ≌ ?PCO ， ∴ OA ? OB ? OC ， ∴ O 为 ?ABC 的外心． ∵ PA 、 PB 、 PC 两两垂直， ∴ AB ? BC ? CA ? 2a ， ?ABC 为正三角形， AO ?∴3 3 6 PO ? PA2 ? AO2 ? a AB ? a 3 ． 3 3 ，∴3 a 因此点 P 到平面 ABC 的距离 3 ．说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某 一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离． (2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、 余弦定理及有关三角函数知识． (3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面 提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总 结． 典型例题二十三1 ? 5 ， AB ? 12 ，求直线 B1C1 和平 例 23 如图，已知在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，棱 AA面 A1BCD1 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有 关方法求解． 解：如图，∵ B1C1 // BC ，且 B1C1 ? 平面A1BCD1 ， BC ? 平面A1BCD1 ， ∴ B1C1 // 平面A1BCD1 ． 从而点 B1 到平面 A1BCD1 的距离即为所求． 过点 B1 作 B1 E ? A1 B 于 E ，1 ，且 B1 E ? 平面AA 1 B1 B ， ∵ BC ? 平面A1 ABB∴ BC ? B1E ． 又 BC ? A1B ? B ， ∴ B1E ? 平面A1BCD1 ． 即线段 B1E 的长即为所求， 在 Rt?A1B1B 中，B1E ?A1B1 ? BB1 5 ?12 60 ? ? 2 2 A1B 13 ， 5 ? 1260 B C A BCD 1 的距离为 13 ． ∴直线 1 1 到平面 1说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想， 解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解， 这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从 而求解． 典型例题二十四例 24AD 、 BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为 30 ? ，AD ? 8cm ， AB ? BC ， DC ? BC ．求线段 BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线 AD 、 BC 所成的角、垂直关系转化 到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出 BC 之长．解：如图，在平面 ? 内，过 A 作 AE // BC ，过 C 作 CE // AB ，两线交于 E ． ∵ AE // BC ， ∴ ? DAE 就是 AD 、 BC 所成的角，?DAE ? 30? ．∵ AB ? BC ， ∴四边形 ABCE 是矩形．连 DE ， ∵ BC ? CD ， BC ? CE ，且 CD ? CE ? C ， ∴ BC ? 平面CDE ． ∵ AE // BC ，∴ AE ? 平面CDE ．∵ DE ? 平面CDE ，∴ AE ? DE ． 在 Rt ?AED 中，得 AE ? 4 3 ，∴ BC ? AE ? 4 3(cm) ． 说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平 面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．面面垂直的判定与性质典型例题一 例 1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明． （１）如图 1，已知 ? ? ? ? l , A ? l ．在 ? 内作 PA ? l 于 A ，在 ? 内作 QA ? l 于 A ．（２）如图２，已知 ? ? ? ? l , A ? ? , A ? l ．作 AP ? ? 于 P ，在 ? 内作 AQ ? l 于 Q ，连 结 PQ ．（３） 已知 ? ? ? ? l , A ? ? , A ? ? ． 作 AP ? ? 于 P ，AQ ? ? 于 Q ，l ? 平面 PAQ ? H ， 连结 PH 、 QH ． 作图与证明在此省略． 说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最 常用，还需补充这种方法的其他典型图形． 典型例题二 例 2. 如图，在立体图形 D ? ABC 中，若 AB ? CB, AD ? CD, E 是 AC 的中点，则下列命题 中正确的是（ ）.（A）平面 ABC ⊥平面 ABD （B）平面 ABD ⊥平面 BDC （C）平面 ABC ⊥平面 BDE ，且平面 ADC ⊥平面 BDE （D）平面 ABC ⊥平面 ADC ，且平面 ADC ⊥平面 BDE 分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与 第一个平面垂直. 解：因为 AB ? CB, 且 E 是 AC 的中点，所以 BE ? AC , 同理有 DE ? AC ，于是 AC ? 平 面 BDE .因为 ? CA 平面 ABC ，所以平面 ABC ? 平面 BDE .又由于 AC ? 平面 ACD , 所以平面 ACD ? 平面 BDE .所以选 C. 说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平 面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线 ,由线线垂直得到线面垂直 ,由线 面垂直可得到面面垂直.典型例题三 例３． 如图，P 是 ?ABC 所在平面外的一点， 且 PA ? 平面 ABC ， 平面 PAC ? 平面 PBC ． 求 证 BC ? AC ． 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入 一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直． ． 证明： 在平面 PAC 内作 AD ? PC ， 交 PC 于 D ． 因为平面 PAC ? 平面 PBC 于 PC ，AD ? 平 面 PAC ， 且 AD ? PC ， 所 以 AD ? 平面P B C ． 又 因为 BC ? 平 面 PBC ， 于 是 有AD ? BC ① ． 另 外 PA ? 平 面 ABC ， BC ? 平 面 ABC ， 所 以 PA ? BC ． 由 ① ② 及AD ? PA ? A ，可知 BC ? 平面 PAC ．因为 AC ? 平面 PAC ，所以 BC ? AC ．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到， 面面垂直 ?线面垂直 ?线线垂直． 典型例题四 例４．如图， AB 是⊙ O 的直径， PA 垂直于⊙ O 所在的平面， C 是圆周上异于 A 、 B 的任 意一点，求证：平面 PAC ? 平面 PBC ．分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂 直的判定定理．由于 C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直． 证明：因为 AB 是⊙ O 的直径， C 是圆周上的点，所以有 BC ? AC ①． 因为 PA ? 平面 ABC ， BC ? 平面 ABC ，则 PA ? BC ②． 由①②及 AC ? PA ? A ，得 BC ? 平面 PAC ． 因为 BC ? 平面 PBC ，有平面 PAC ? 平面 PBC ． 说明： 低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据， 根据条件， 由线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和 性质共同构成了一个完整的知识体系． 典型例题五 例５． 如图， 点 A 在锐二面角 ? ? MN ? ? 的棱 MN 上， 在面 ? 内引射线 AP ， 使 AP 与 MN? ? 所成的角 ?PAM 为 45 ，与面 ? 所成的角大小为 30 ，求二面角 ? ? MN ? ? 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是 直角三角形） ，通过解三角形使问题得解． 解：在射线 AP 上取一点 B ，作 BH ? ? 于 H ，连 结 AH ，则 ?BAH 为射线 AP 与平面 ? 所成的角，? ?BAH ? 30? ．再作 BQ ? MN ，交 MN 于 Q ， HQ ? MN ， ? ?BQH 连结 HQ ， 则 HQ 为 BQ 在平面 ? 内的射影． 由三垂线定理的逆定理，为二面角 ? ? MN ? ? 的平面角． 设 BQ ? a ，在 Rt?BAQ 中， ?BQA ? 90 , ?BAM ? 45 ,? AB ?? ?2a ,在 Rt △ BHQ 中，2 a 2 sin ?BQH ? BH ? 2 ? 2 ? ?BHQ ? 90 , BQ ? a, BH ? a, BQ a 2 , 2? ?BQH 是锐角，? ?BQH ? 45? ,即二面角 ? ? MN ? ? 等于 45? ．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二 面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平 面角的定义添加适当的辅助线． 典型例题六 例６． 如图， 将边长为 a 的正三角形 ABC 以它的高 AD 为折痕折成一个二面角 C ? ? AD ? C ．（１）指出这个二面角的面、棱、平面角； （２）若二面角 C ? ? AD ? C 是直二面角，求 C ?C 的长； （３）求 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角；? （４）若二面角 C ? ? AD ? C 的平面角为 120 ，求二面角 A ? C ?C ? D 的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决． 解： （１） ? AD ? BC ,? AD ? DC , AD ? DC ?,?二面角 C ? ? AD ? C 的面为 ADC 和面AD C ? ，棱为 AD ，二面角的平面角为 ?CDC ? ．（２）若 ?CDC ? ? 90 ，?? AC ? a,? DC ? DC ? ?1 2 a,? CC ? ? a 2 2 ．（３）? AD ? DC ?, AD ? DC ,? AD ? 平面 DC ?C ，? ?AC ?D 为 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角．在直角三角形 AD C ? 中，DC ? DC ? ?1 AC ,? ?DA C ? ? 30 ? ? 2 ，于是 ?AC ?D ? 60 ．（４）取 CC ? 的中点 E ，连结 AE 、 DE ，? DC ? ? DC , AC ? ? AC ,? AE ? CC ?, DE ? CC ? ，? ?AED 为二面角 A ? C ?C ? D 的平面角．? ?C ?DC ? 120 ? , C ?D ? CD ?1 1 a,? DE ? a, 2 43 a ? 2 ?2 3 AD 3 1 AD ? a, ? tan ?AED ? a DE 2 4 在直角三角形 AED 中， ． 说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变 量． 典型例题七P 是 AD 的中点． 例 7 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1， 求二面角 A ? BD1 ? P 的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上 分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易 的， 所以在解题中不大应用． 在解题中应用得较多的是 “三垂线定理” 的方法， 如图考虑到 AB1 在平面 AD 1 上的射影就是 AD 1 ．再过 P 作 AD 1 的垂线 PF ，则 PF ? 垂直于平面 AD1 ， BD1 ，过 F 作 D1 B 的垂线 FE ， ? PEF 即为所求二面角的平面角了． 面 ABD1 及 AD 1 的垂线，垂足分别是 E 、 F ，连结 EF ． 解：过 P 作 BD∵ AB ? 面 AD1 ， PF ? 面 AD1 ， ∴ AB ? PF ，1．}
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