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如何用数列极限定义证明数列极限问题
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[求助] 利用定义证明极限相关题目
新手上路, 积分 8, 距离下一级还需 92 积分
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& && && & 说来惭愧，大学时高数没学好，工作好几年了（计算机软件方面），现在看国外的学术文章涉及到数学的部分很是吃力，所以想抽空补一补，先从大学高数补起，前几天买了同济六版的书，才看到极限的部分就有很多疑问，现在请教一下各位，可能太简单大家别笑话。
这个如果让我证，肯定证到红线的地方就直接取 δ=√x0ε （数学符号不好打，word中的公式粘上来就成了框，没办法所以手打，希望大家看得懂），然后这样的δ存在就证明完毕了，可是看到书上的证法居然还有“隐藏关卡”，这里有几处疑问，a.红线后面的这个“且x≥0”是如何在这个时候顺其自然的“且”出来的（换做我怎么都想不到那里去），b. 表达式 x≥0 的变种表示方法无限种，怎么就“恰好”想到用 |x-x0|≤x0 这个来表示呢？一切就好像提前就知道硬是往那里凑似的，感觉好牵强啊（或许我的思维方式不适合学数学吧）c.为什么一定要取 δ=min{x0, √x0ε } 呢？按定义不是只要证明满足|f(x)- A|&ε 的 δ 确实存在就行了么？为什么一定要揪出那个最小的δ？证明时必须找到最小的δ吗？（我知道这几个问题可能很白痴而且钻牛角尖了，所以烦请大家找出我的顽症所在点，一针见血的开导一下我，不甚感激！）
这个定理3的证明过程，如果没有下面的定理3‘，我也就一眼扫过去了（虽然当时心里很疑惑 ε 是一个任意小的正数，为什么恰好取值 A/2 呢，当时告诉自己可能为了证明方便吧）。可是当看到下面的定理3’ 时，完全懵了啊，如果证明定理3的过程中， ε 取了别的值（比如&&2A/3），那定理3‘ 得出的结论就变了（比如变成了 |f(x)| & |A|/3 了），可是定理肯定是唯一的这一点很确定，所以就矛盾了，我到底在哪一步想错了，请发现的各位亲一语点醒我吧，快要抓狂了。。
中级战友, 积分 614, 距离下一级还需 2386 积分
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我最近也在看高数，当时也看到了这个地方疑惑了一下。 我的想法 ，与你分享 ，错了还请指正。
a 我的理解是 极限定义中的 前提是在一个去心邻域内有意义 而√x的定义域是x&=0
b表示称这样 |x-x0|≤x0因为定义中的|x-x0|≤δ就是这个形式的 也就为下一步铺垫
c只有去两者较小的 才能满足|x-x0|≤x0与|f(x)-A|≤ε 同时成立 这道题中之所以去了两者之小 是考虑到满足那两个要求 并不是最小的δ 只是两者中较小的罢了
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我最近也在看高数，当时也看到了这个地方疑惑了一下。 我的想法 ，与你分享 ，错了还请指正。
多谢你的耐心解答，你的理解应该是正确的，拨云见日，再次感谢！最近工作忙回复晚了见谅啊！
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极限 定义证明
极限 定义证明
作者/编辑：佚名
　　[]极限 定义趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ&0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|&ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2&ξ^2,即sinx^2/x&ξ^2(∵x→+∞),则x&sinx^2/ξ^2,
∵|sinx| ≤1∴只需不等式x&1/ξ^2成立，
所以取X=1/ξ^2，当x&X时，必有|sinx/√x-0|&ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ&0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|&ξ成立，只
需要0&|x+1/2|&ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0&|x+1/2|&δ时，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|&ξ，
由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷，。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b&a&=0,M&1;
那么存在N1,当x&N1,有a/M&=f1(x)
注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x&N2时，0&=f2(x)
同理，存在Ni，当x&Ni时，0&=fi(x)
取N=max{N1,N2...Nm};
那么当x&N,有
(a/M)^n&=f1(x)^n&=f1(x)^n+...fm(x)^n
所以a/M&=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)
对n取极限，所以a/M&=g(x)N时成立;
令x趋于正无穷，
a/M&=下极限g(x)&=上极限g(x)&=b;
注意这个式子对任意M&1,b&a都成立，中间两个极限都是固定的数。
令M趋于正无穷，b趋于a;
有a&=下极限g(x)&=上极限g(x)&=a;
这表明limg(x)=a;
证明有点古怪是为了把a=0的也包含进去。
还有个看起来简单些的
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}，《》()。
其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。
多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
用定义验证函数极限的基本思.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
]:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3]:关于 的有理分式当 时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
极限 定义证明2　　　　〖预览〗如何证明极限不存在反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，
使|sin[1/x1(n)]-L|&1/3，
和|sin[1/x2(n)]-L|&1/3，
同时成立。
即|1-L|&1/2，|-1-L|&1/2，同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
所以原命题成立
令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
两种情况极限值不同，故原极限不存在
2答案： 首先需要二项式定理：
(a+b)^n=∑ C(i=0 C i=n)n ……【】极限 定义证明3　　　　〖预览〗函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|Xn+1-A|&|Xn-A|/A
以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|&|Xn-1-A|/A ;
|Xn-1-A|&|Xn-2-A|/A;
|X2-A|&|X1-A|/A;
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|&|Xn-A|/(A^n)
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5&x(1);
设x(k+1)&x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)
=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】&0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1&4，
设x(k)&4，则
x(k+1)=√[2+3x(k)]&√(2+3*4)&4。
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t&1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t&1)
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→……【】极限 定义证明4　　　　〖预览〗重要极限的证明极限是e
在n比较大时，(1+(1-a)/n)^n&=原式&=(1+1/n)^n
取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)
由a的任意性，得
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a&0，Xo&0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx&0,x^2&0,故lnx/x^2&0
且lnx1),lnx/x^2&(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0&√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2&0,单调递减
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2&√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0&√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符……【】极限 定义证明5　　　　〖预览〗定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A
关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0&户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周&。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一……【】极限 定义证明6　　　　〖预览〗用定义证明二重极限利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a&0，Xo&0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx&0,x^2&0,故lnx/x^2&0
且lnx1),lnx/x^2&(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0&√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2&0,单调递减
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2&√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0&√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑……【】极限 定义证明7　　　　〖预览〗函数极限证明记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b&a&=0,M&1;
那么存在N1,当x&N1,有a/M&=f1(x) 注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x&N2时，0&=f2(x) 同理，存在Ni，当x&Ni时，0&=fi(x) 取N=max{N1,N2...Nm};
那么当x&N,有
(a/M)^n&=f1(x)^n&=f1(x)^n+...fm(x)^n 所以a/M&=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)……【】极限 定义证明8　　　　〖预览〗二元函数极限证明设P=f(x,y),P0=(a,b) ，当P→P0 时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形： ’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在
函数f(x )当x →X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x →X0)
根据定义:对任意ε&0,存在δ&0,使当|x-x0|&δ时,有|f(x)-a|&ε
而|x-x0|&δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|&ε=1,即:a-1
再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ&0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|
3首先，我的方法不正规， 其次，正确不正确有待考察。
1，y以 y=x^2-x 的路径趋于0 Limited sin (x+y)/x^2 =Limited sinx^2/x^2=1 而 y=x 的路径趋于0 结果是无穷大。
2，3 可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点……【】
　　〔极限 定义证明〕
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