2016考研数学线性代数类型题一：行列式的运算
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之前我们分析了线性代数的命题特点，接下来，我们就对线性代数考研题目的第一类题目做一下总结，那就是第一章行列式的运算。行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧,一直是学生不易领会和掌握的,本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法。
计算行列式的主要方法:
一、降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。用到的知识点是代数余子式的性质：
展开行列式计算方法一般适用于行列式当中有很多的零元素。一般情况下，在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开，对于n阶行列式，一般情况下是有规律可循的，或者展开后由归纳法得出。
二、化为三角形行列式
一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算。
行列式的重要公式：
四、利用范德蒙行列式(再次就不再举例)
五、加边法(升阶法)
加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。要求：1&保持原行列式的值不变;&2&新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行(列)有一个相同的字母外，也可用于其第&列(行)的元素分别为&n-1&个元素的倍数的情况。
六、利用方阵特征值
在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.
计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面是文都考研数学老师介绍的计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。重要的是同一道题不仅仅局限于某一种计算方法,而是要用多种方法综合起来才能完成。
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如图所示，所需要满足的条件应该是 “其下标应有Pi≤i,即P1≤1，P2≤2...Pn≤n”.
按照这样来说，整个左下部分都应该是可以满足条件的啊！
求各位指点，先谢谢了
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lianghuiguan 发表于
我是真心想问个问题，您何必嘲讽呢{:soso_e134:}
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没必要在这个纠结了 这个结论是为解题的 所以记住就好
而且行列式的全排列不会基本不会考到
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fysunhaiying 发表于
我是真心想问个问题，您何必嘲讽呢
我没有嘲讽。只是提醒你为什么其他项没有了 。是因为n阶行列式的定义，是不同行不同咧的积前面有符号。&&这个还是有点用的，对于后面利用矩阵多项式求特征值时，如果，矩阵里0比较多的时候可以直接写出来的。 需要理解记忆。用三阶行列式规则的那个公式可以帮助理解。& &
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线性代数习题 行列式
线性代数习题 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式：
0-481b b 2
1a b c a x y
b y x +y x
-1=2?(-4) ?3+0?(-1) ?(-1) +1?1?8 3
-0?1?3-2?(-1) ?8-1?(-4) ?(-1)
=-24+8+16-4 =-4
a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc
=3abc -a -b -c
c =bc +ca +ab -ac -ba c
=(a -b )(b -c )(c -a )
=x (x +y ) y +yx (x +y ) +(x +y ) yx -y -(x +y ) -x
=3xy (x +y ) -y -3x y -3y x -x -y -x
=-2(x +y )
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为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。为此，先介绍排列的有关知识。
㈠排列与逆序：(课本P4)
１、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组i1i2?in，
称为一个n级排列。
【例1】1234是一个4级排列，
3412也是一个4级排列，
而52341是一个5级排列。(课本P4中例)
【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。
【例3】数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列。
２、逆序的定义：在一个n级排列i1i2?in中，如果有较大的数it排在is
的前面，则称it与is构成一个逆序。(课本P4)
【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，
在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。 3、逆序数的定义：一个n级排列i1i2?in中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为N(i1i2?in)。(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N(3412) = 4，
排列52341的逆序数为N(52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。
4、奇、偶排列的定义：如果排列i1i2?in的逆序数N(i1i2?in)是奇数，
则将i1i2?in称为奇排列；如果排列i1i2?in的逆序数N(i1i2?in)是偶数，则将i1i2?in称为偶排列。(课本P4)
【例6】由于N(3412) = 4，知排列3412是偶排列，
由于N(52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N(123…n) = 0，知自然排列123…n是偶排列。
【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。奇偶排列各占一半。
5、对换的定义：在一个n级排列i1?it?is?in中，如果其中某两个数it与is对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列
i1?is?it?in，这样的变换称为一个对换，记作(it,is)。(课本P5)
【例8】在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214。 【例9】偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214；
反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。 定理1.1
任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。(课本P5) 定理的证明见课本P5。
【例10】奇排列132经对换(3，2)得到偶排列123，
偶排列312经对换(1，2)得到奇排列321。
n个数码(n?2)共有n！个n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。(课本P6)
定理的证明见课本P6。
【例11】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有
123，312，231三个。
相应练习见课本
【第四版】习题一(A)中的8大题。
=============================================== ㈡ n阶行列式的定义：(课本P6)
我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n阶行列式的定义。 二阶行列式为
?a11a22?a12a21，
三阶行列式为a21
a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33
?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，
我们可以从二阶、三阶行列式中发现以下规律：
(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，
三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行
和不同的列；
(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。
作为二、三阶行列式的推广，我们给出n阶行列式的定义。 定义1.2
用n个元素aij（i,j?1,2,?,n）和双竖线组成的记号
a11a21?an1
a22?a2n???an2?ann
称为n阶行列式。有时简记为aij。(课本P7)
n阶行列式的定义包含如下的内容：
⑴构成：n阶行列式的横排称为行，纵排称为列。元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示这个元素位于第j列，称为列标。(课本P7)
【例12】三阶行列式 A?1
47有3行3列共32 = 9个元素。
其中，第二行元素为 1，4，7；第二列元素为5，4，6，
元素7的位置为第2行第3列。
⑵含义：n阶行列式是n ! 个项的代数和，其中每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积。(课本P8)
由于一个项中的n个乘积元素来自不同的行，而乘法满足交换率，故为方便分析，可以将n个元素按行码的自然数顺序排列，再分析列码的状态。
当行码按自然序列排列后，列码的不同排列即对应不同的项，由于n个元素共有不同排列n!个，从而n阶行列式中共有n!个不同的项。 【例13】一阶行列式│a│=
a只有1个项。 【例14】三阶行列式
a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33
?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，
共有3！＝6个不同的项，
a11a22a33和a13a21a32的元素都来自不同行且不同列，都可能是A
中的一个项，
而a11a21a33中的a11与a21同来自第1列，不是其中的一个项，
a13a21a22中的a21与a22同来自第2行，也不是其中的一个项， a11a22a33与a22a11a33是同一个项， a11a23a32与a11a22a33是不同的项。
⑶各项符号：n阶行列式中各项符号的确定有两种方法：
①只考察列标的排列：若该项中各元素的行标按自然数顺序排列，
则列标构成的排列为偶排列时，该项取正号；为奇排列时，该项取负号。
亦即，将某项中各元素的行标按自然数顺序排列后得到
a1i1a2i2?anin，含ai1j1ai2j2?ainjn的项应带符号为(?1)N(i1i2?in)。
于是n阶行列式所表示的代数和中的一般项为
(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。(课本P7)
【例15】在5阶行列式中，a12a23a35a41a54与a12a21a35a43a54这两项各取什么符号？
【解】由于该两项的行标已按自然数顺序排列，故
a12a23a35a41a54应取符号为(?1)N(23514)?(?1)4??1，为正号， a12a21a35a43a54应取符号为(?1)N(21534)?(?1)3??1，为负号。
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线性代数练习题(行列式)
线性代数练习题（行列式）A
一、填空题
) =_____________ 3、N (631254
4、四阶行列式det(a ij ) 的反对角线元素之积（即a 14a 23a 32a 41）一项的符号为12-3
5. 行列式2-10中元素0的代数余子式的值为_______
二、选择题
D a +1 A a -1B -a -1C 1-a
） 3、11+a
A 1+a B a C a +1D (1+a )(1-a )
1x 0x 0≠0，则x =（
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