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在看线性代数这一部分的时候，真是一头雾水。虽然明白了特征值和特征向量的求法，但总觉得没有用。在《理解矩阵》一文中，虽然提到了这与矩阵的本质有关，但并未详细提及，但我知道了一定具有一定的几何意义。
后来，查看了《特征向量的几何意义》一文，才明白了。特别是wikipedia中关于《》的文章，终于对特征向量有了一点认识。
因为l是常数，所以lx与x的方向相同。即，一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。
下图是从wikipedia的《特征向量》一文中引用的。通过这个图可以对变与不变有一个进一步的了解。
图1. 在这个变换中，的图像被变形，但是中心的纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了，但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们构成这个特征值的特征空间。
在wikipedia的《特征向量》一文中还提到了一个地球旋转的例子，旋转本身是一种线性变化，出来在旋转轴上的向量之外，所有从地心指向地表的向量的方向都变了。在旋转轴上的向量的向量就是这个线性变化的特征向量。
说到这我想很多人应该明白了，矩阵是一种线性变化，特征向量就是在这个变化当中不变的向量。说白了就是在变化当中寻找不变的东西。这不就是很多学科研究的内容吗？
关于这个主题的更多内容可以参考《》一文，该文对这个主题做了一个深入浅出的解释，是一篇比较好的文章。
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求矩阵特征向量的三种方法
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06-07-1《线性代数》试题A
导读：山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案，06-07-1《线性代数》试题A，（A）必有r个行向量线性无关（B）任意r个行向量线性无关，（C）任意r个行向量都构成极大线性无关组，（D）任意一个行向量都可以由其余r?1个行向量线性表示，1．设n维向量组?1,?2,?,?s,?s?1(s?n)线性无关，(1)?1能由?2,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关，?3线性表示，(2)?4山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案 06-07-1《线性代数》试题A 一、选择题（每小题4分，共20分） 1．设四阶矩阵A???,?2,?3,?4?，其中?,?,?2,?3,?4B???,?2,?3,?4?，均为4维列向量，且已知行列式A?4，B?1，则行列式A?B?（
） （A） 5；
（C） 50；
（D） 40。 2．设A为3×3矩阵，B为4×4矩阵，且A?1，B??2，则BA?（
）。 （A） ?2；
（B） ?4；
（C） ?8；
（D） 1。 3．设A是n阶方阵，且R(A)?r?n，则在A的n个行向量中（
）. （A）必有r个行向量线性无关 （B）任意r个行向量线性无关 （C）任意r个行向量都构成极大线性无关组 （D）任意一个行向量都可以由其余r?1个行向量线性表示 4．若齐次方程组AX?0有无穷多解，则非齐次方程组AX?B
必有无穷多解；
可能有唯一解 ?C?
?D?有解时必有无穷多组解. 5．设三阶方阵A的三个特征值为?1?0, ?2?3, ?3??6，对应于?1的特征向量为 x1??1,0,?1?，对应?2的特征向量为x2??2,1,1?，记向量TTx3?x1?x2，则(
). ?A? x3是对应于特征值?1?0的特征向量. ?B? x3是对应于特征值?2?3 的特征向量. ?C? x3是对应于特征值?3??6的特征向量. ?D? x3不是A的特征向量. 二、填空题（每小题4分，共20分） 1．设n维向量组?1,?2,?,?s,?s?1(s?n) 线性无关， 则向量组?1,?2,?,?s 的秩为
. 2． 已知矩阵A与B???20??相似，则矩阵A的特征值为
山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案 a03．行列式D?103b20T00c052?
. 3dT4．设???3,5,7,9?，????1,5,2,0?，向量?满足3??2??5?，则??
. 5．设A为n阶方阵，且A?2，则AA*?
. 三、(8分) 计算n?1阶行列式 a0Dn?1a1a2?an00 ???0?x??0x?xx?0?x?0?0四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X ?010??100??1?43????????100?X?001???20?1? ?001??010??1?20???????五、（8分）设向量组?1,，证明 (1) ?1能由?2,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关?3线性表示； (2) ?4不能由?1,?2,?3线性表示. ?λx1?x2?x3?λ?3?六、（10分）设?x1?λx2?x3??2，问?取何值时，此方程组有惟?x?x?λx??223?1一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。
山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案 七、（10分）求向量组?1,?2,?3,?4的秩和它的一个极大无关组，并?0??3??????1???2?将其余向量用该极大无关组线性表示。其中?1??， ， ??2????24?????3??3??????2???1?????0???2?， ?3????4???. 6?6?????3??4?????222八、（16分）已知二次型f?x1,x2,x3??2x1?3x2?3x3?4x2x3，通过正交变换化作标准形，给出所作的正交变换。
06-07-1《线性代数》试题B 一、选择题（每小题4分，共20分） ?12??x11．设???11???????x2x1y1??2?1?????01??, 则xy2?2???y1y2?（
?D??6 33n?1n?n-1?n?1n?12．A是n阶矩阵，k是非零常数，则?kA?*??
? （A） kAn?1； （B） kA；
（C） kA；
（D） kn-1A 3． 若向量组?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，则（
）。 （A）?必可由?,?,?线性表示
（B）?必不可由?,?,?线性表示 （C）?必可由?,?,?线性表示
（D）?必不可由?,?,?线性表示 4．齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充要条件是（
3 山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案 （A）系数矩阵A的行向量组线性无关； （B）系数矩阵A的列向量组线性无关； （C）系数矩阵A的行向量组线性相关； （D）系数矩阵A的列向量组线性相关。 5．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量?是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵P?1AP是（
） （A）P?；
(D) P?1二、填空题（每小题4分，共20分） 1.若R(?1,?2,?3,?4)?4， R??1,?2,?3?=
. 2． 已知矩阵A与B???1T??T的属于特征值λ的特征向量 ???。T?20??相似，则矩阵A的行列式A?
. ??35??00?2????13. 设A??130? , 则A =
. ?240???4．向量组?1??1,a,?2?，则a?
。 ?2??3,6,?6?线性相关，TT5. 设矩阵A???1 ?2 ? n??1 ??，B???1 ?2 ? ?n?1 ??，其中?1,?,?n?1,?,?都是n维列向量，若A的行列式A?a，B的行列式B?b 则A?B的行列式A?B?
。 三、（8分）计算行列式 1?a11Dn?1?111?a21?111?1??111?1111?1?an， 1?a3??其中ai?0(i?1,?,n) 四、（8分）设A，B为3阶方阵，且满足ABA?6A?BA， ?1 4
山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案 ?1??3若A??0???0?五、（8分）证明题 ?，求B。 ?1??7?（1） 证明可逆矩阵的特征值都不为零. （2） 设矩阵A,B及A?B都可逆，证明A?B也可逆，并求其逆矩阵. ?1?1?2x1?4x2?5x3?1?六、（10分）?取何值时，方程组?3x1?6x2?4x3?2有解，有解时求?4x?8x?3x??23?1出通解。 七、（10分）设有向量组?1?(1,1,0,2)T，?2?(?1,1,0,0)T，?3?(2,2,2,2)T，?4?(2,1,1,2)T，?5?(1,0,1,0)T，求该向量组的秩和它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 八、(16分) 用正交变换化二次型 22f?x1,x2,x3??x12?2x2?2x3?6x2x3 为标准形，给出所用的变换x?Py，并指出f是否为正定的.
06-07-2《线性代数》试题A 一．填空题（本题满分12分，每小题3分） ?101???1、设0是矩阵A??020?的特征值，则a?_____________ ?10a??? 5 包含总结汇报、自然科学、出国留学、外语学习、高中教育、经管营销、医药卫生、高等教育、工程科技以及06-07-1《线性代数》试题A等内容。本文共10页
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求矩阵2112的特征值及对应的特征向量．
题型：解答题难度：中档来源：扬州一模
特征多项式f(λ)=.λ-2-1-1λ-2.=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3，（3分）由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3．（6分）将λ1=1代入特征方程组，得-x-y=0-x-y=0=>x+y=0．可取1-1为属于特征值λ1=1的一个特征向量．（8分）将λ2=3代入特征方程组，得x-y=0-x+y=0=>x-y=0．可取11为属于特征值λ2=3的一个特征向量．综上所述，矩阵2112有两个特征值λ1=1，λ2=3；属于λ1=1的一个特征向量为1-1，属于λ2=3的一个特征向量为11．（10分）
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据魔方格专家权威分析，试题“求矩阵2112的特征值及对应的特征向量．-数学-魔方格”主要考查你对&&矩阵与变换&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
矩阵与变换
矩阵的定义：
由m×n个数排成的m行n列的表称为m行n列矩阵（matrix），简称m×n矩阵。
特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当m=n时，A称为n阶方阵；（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵； 列矩阵：只有一列的矩阵，叫做列矩阵；（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵。
二阶矩阵与平面图形的变换：（1）二阶矩阵的定义：由4个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵；（2）几种特殊线性变换：主要有旋转变换、反射变换、伸压变换、投影变换、切变变换这几种。求经矩阵变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法（转移代入法）来解。 矩阵的运算律：
（1）矩阵的和（差）：当两个矩阵A、B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A、B的和（差），记作：。运算律：加法运算律：；加法结合律：。（2）数乘矩阵：矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A。运算律：（） 分配律：；结合律：。（3）矩阵的乘积：一般地，设A是m×k阶矩阵，B是k×n阶矩阵，设C为m×n矩阵，如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么矩阵C叫做A与B的乘积，记作：C=AB。运算律：分配律：；；结合律：；。注：（1）交换律不成立，即：AB≠BA；（2）只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积才有意义。
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