第23卷第6期Vol.23No.6；济宁师范专科学校学报JournalofJinin；Dec.2002；文章编号:02)06-0；用定义证明数列的极限应注意的几个问题；丁长银；(济宁师专旅游地理系,山东济宁272037)；摘要:通过几个具体例子论说用数列极限的定义证明题；关键词:数列极限;不等式；中图分类号:O122?3文献标识码:A
第23卷第6期Vol.23No.6济宁师范专科学校学报JournalofJiningTeachers'College2002年12月Dec.2002文章编号:02)06-0009-02用定义证明数列的极限应注意的几个问题丁长银(济宁师专旅游地理系,山东济宁　272037)　　摘　要:通过几个具体例子论说用数列极限的定义证明题的正确方法。关键词:数列极限;不等式中图分类号:O122?3　　　　　文献标识码:A尤其用定义证明数列极限是学好极限的关键。特别　　学过数学分析的人,都知道数列极限是既重要又难掌握的概念。对初学者来说,这一点是不容易做到的,不少人只是形式地套用定义、模仿证题的格式,根本不理解证明的真实含义,从而给出不正确的做法。为了讨论的方便,先给出数列极限的定义:对于数列xn,如果存在常数A,对于任给??>0,总存在自然数N,当n>N,恒有xn-A<??.则称常数A为数列xn当n趋向于无穷大时的极限。记为limxn=A.n→∞　　一、不理解定义的真实含义例1.用定义证明lim3n2+n3=.n→∞3n2-123n2+n32n+33n2+nlim[错证]由于-=,所以对任给??>0,总存在N,当n>N时,恒有<??,所以222n-122(2n-1)2n2-1n→∞23n+n3=。2n2-1233n2+n[分析]依定义,欲证“是的极限,”在给出??>0之后,需找出符合条件的N,而上面的证明只是形式地套22n2-1用了定义,根本没有找到N,从实质上说,就是不理解定义的真实含义。??n2+n32n+32n+32n+413n2+n3-==0,欲使-2n2-122(2n2-1)4n2-24n2-162n-42n2-12lim3n2+n3+2,令N=+2,则当n>N时,恒有<,∴=-2??2n-42??2??2n2-1n→∞2n2-12[正证]∵　　<??,只要二、??为预先“任给”的充分小的正数需特别强调　　例2用定义证明limn=1。n→∞n+1n111[错证]:∵-1=10),∴对任给??>0,取定??=,则有N=10,当n>N时,恒有n+1n+111n10limnn-1<??,∴=1。n+1n→∞n+1[分析]依定义,??是预先给定的充分小的正数,即??具有这样的特点??充分小,??任意性,??固定性,三者缺一不可,1,显然是错误的。同时找出的N也是错误的,所以上面的证明是不对的。10n11[正证]任给??>0,由于-1=<<??,n+1n+1n而上面的证明限定了??=收稿日期:作者简介:丁长银(1956-),男,山东省嘉祥人,济宁师专旅地系副教授。―9―∴n>1,取N=??1nlimn,则当n>N时,恒有-1<??,∴=1.??n+1n+1n→∞　　三、忽视了??为任给“充分小”的正数,造成错误的解不等式例3,判断数列5n的极限是否为2?2n-35nn+66+3??6+3??[错解]任给??>0,∵-2=<??,∴n+66+3??,∴n>,取N=,2n-32n-32??-12??-15n5n则当n>N,恒有-2<??,∴常数2是数列的极限。2n-32n-3limlim5n55[分析]显然上面的解法是错误的,因为==。错误的原因是忽视了??为“充分小”的正数,2n→∞2n-3n→∞2-3n16+3??6+3??当??6+3??不能推出n>,只能推出n<,所以符合条件的N不存在,即2不是22??-12??-15n的极限。2n-3　　四、选取的N只能与??有关(常数除外),与n无关例4,用定义证明limcosn??=0n→∞ncosn??cosn??cosn??cosn??[错证]∵-0=,∴对任给??>0,欲使-0<??,只要nnnncosn??cosn??limcosn??,则当n>N时,有-0<??,所以=0。??nn→∞n以上面的证明是错误的。[正证]任给??>0,由于limcosn??=0。n→∞n　　cosn??-0=ncosn??,令N=??[分析]依定义,对给??>0,需找出符合条件的N,而上面证明中找到的N是不能确定的,它要随n的变化而不同,所cosn??111cosn??<,令N=[],则当n>N,有-0<??,∴nn??n????n五、当n限定时,比如n=n。,N的取法应受n。约束。例5用定义证明limn2-n+51=2n→∞3n+2n-432n-n+515n-195n5n[错证]∵-=<4),∴对任给??>0,欲使2223n+2n-433(3n+2n-4)3(3n-4)3?2n2n2-n+515n555n2-n+51-<,只要<,即,取=,则当>时,有-<??,∴????6n??n6??NnN2n-43?2n3n+2n-43limn2-n+51=。2n→∞3n+2n-435[分析]上面的证明是错误的,其原因是N的取法不对,正确的N=max4,[],这样当n>N时,才有6??2n-n+51555-<[],也不能保证n>4。236n6??6??3n+2n-4[正证]在上面的证明过程中,只要令N=max4,[5],其余步骤均不变即可。6??　　六、对放大不等式的意义不理解例6.用定义证明lim(n→∞n2+n-n)=1(下转第18页)2―10―术队伍的素质及稳定与否,直接影响着师专实验教学的改革与发展。对此,学校应制定相应的激励政策,在技术职务评聘和工资改革上向实验系列倾斜,鼓励和支持高水平的优秀教师从事实验教学和管理工作,选调一批职称高、具有一定的管理能力、德才兼备的同志担任实验室主任,提高实验技术队伍的整体水平;并建立健全各项规章制度,对实验技术人员实行定编、定岗,持证上岗,有计划、有目的地对实验技术人员进行培训,提高他们的专业技术能力;鼓励他们参与科学实验和实验教学研究;坚持岗位考评制度,为他们职称评定创造条件。通过一系列政策的制定和落实,相信实验技术队伍会得到巩固和加强,综合素质会进一步提高,积极性和创造性会得到极大调动和发挥。有了这样一只业务素质高、创新能力强的实验技术队伍,培养创新人才的重任就能担当起来了。3.增加经费投入　加强实验室建设实验室装备情况如何,直接反映出一个学校办学水平的高低,最终决定人才的质量。实验室仪器设备精良,不仅能最大限度地满足实验教学的需求,而且也为师生提供一个良好的科学研究基地,对学校教学、科研水平的提高提供了物质保障。近几年来,师范专科学校加大了实验设备的投资力度,特别是利用世界银行贷款,购置了部分仪器设备,缓解了实验仪器设备的紧张局面。但是,由于师专实验室基础较差,底子薄,设备陈旧落后,学校每年投入的设备经费仅够实验教学设备的配套和实验教学的正常开出使用。而世行贷款购置的大多是微机、多媒体和校园网等设备,真正购置用在基础课教学实验室的设备相对较少。随着学校办学规模的逐渐扩大,实验教学设备的缺口将会越来越大。设备经费的紧张,严重影响实验室仪器设备的更新换代和科研设备的购置,无法满足教师教学、科研所需的仪器设备,教师的科研项目无法实施,聪明才智不能极大的发挥,造成高水平的人才不愿意、也无法在师专从教,这也是造成师范专科学校教师队伍力量薄弱的原因之一。因此,学校领导和决策部门应拿出魄力,切实加强实验室仪器设备的投资力度,从教育事业费中按比例给足实验设备费;制定政策,鼓励和支持实验室向社会开放;积极申报省教育厅自然科学基金项目;创造条件,争取社会、企业和个人对学校的赞助等,变单一途径为多渠道筹措资金。通过多方共同努力,争取把实验室仪器设备装备到一个更高水平,以满足学校实验教学、科学研究和创新人才培养的需求。基础课教学实验室评估是进一步贯彻《普通高校实验室工作规程》、深化实验室管理体制改革、提高实验教学质量和水平的一次大检阅,它促进了各级管理部门和学校领导对实验室工作的重视。我们要以基础课教学实验室评估为契机,开拓创新、励精图治,不断完善和改进实验室管理体制,全面推动实验室建设,为我校上本科、上水平创造条件,为培养更多业务能力强、综合素质高和具有刨新能力的人才提供保障。参考文献[1]叶向燕.实验室建设与创新人才培养[J]实验室研究与探索,2000(2)(责任编辑　刘汉忠)(上接第10页)[错证]∵(1+1,n∴对任给??>0,欲使((n2+n-n)-n2+n-n)-12111,令N=[],则当n>N时,恒有n??-1??-11n2+n-n)=2<??,只1+1n+n-n)-=22n(n+n+n2-12=n2+n-n)2(n+n+n)2<n2+n2(n+n+n)2<n2+n1=2n21+1<n1lim=<??,∴(2n→∞[分析]从形式上看证明过程似乎不错,实际上证明是错误的,原因是对放大不等式的意义不理解,忽视了放大不等式的目的是使绝对值(n2+n-n)-11充分小,即小于预先任给的充分小的正数??,而1+当然不符合要求。2n2(n2+n+n)2(n2+n+n)21lim1n2+n-n)-<??,∴(n2+n-n)=22n→∞12=n2+n-n)=n=<n11<2=2nn??n2n[正证]对任给??>0,考虑(n2+n-n)-11,取N=[],则当n>N时,恒有(????(责任编辑　庞新琴)―18―三亿文库包含各类专业文献、高等教育、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、专业论文、应用写作文书、行业资料、文学作品欣赏、中学教育、外语学习资料、生活休闲娱乐、用定义证明数列的极限应注意的几个问题_丁长银(1)39等内容。　
　用定义证明数列的极限应注意的几个问题_丁长银(1)_数学_自然科学_专业资料 暂无评价 | 0人阅读 | 0次下载 |举报文档 用定义证明数列的极限应注意的几个问题_...利用单调有界原理求数列极限时,当证明出数列单调且有界时,那个界怎样证明就是数列的极限?
利用单调有界原理求数列极限时,当证明出数列单调且有界时,那个界怎样证明就是数列的极限?如： x1>0,xn+1=1/2(xn+1/xn),求xn的极限时,已求得下界为1,且数列单调递减,则极限怎么说明也为1?
好像没有任何证据证明“界”=“极限” 不过可以求得极限因递减数列Xn存在下界,所以Xn有极限AXn+1也有极限,所以可两边求极限lim（Xn+1）=lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)等价于limXn×lim（Xn+1）=limXn×lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)右式=lim（Xn×1/2(Xn^2+1)/Xn)=1/2(limXn)^2+1/2=1/2A^2+1/2左式=A^2+A解得A=1
与《利用单调有界原理求数列极限时,当证明出数列单调且有界时,那个界怎样证明就是数列的极限?》相关的作业问题
一般分母不为0时即可 经验来说
不要求,杨超180课里明确说了数列不要求
当然不可以,数列求和总是从n=1开始求,如果你把通项给等价无穷小了,就说明你从n=1就开始运用等价无穷小了 比如说n=1 sin（n)~n? 所以你得先把数列给求和出来,去掉求和号然后就可以用了
n趋于无穷大时,an=a（n+1）=a（n+2）=.=A
因为1/0这个形式可以确定极限为无穷,而1^∝是未定式,所以不可以确定极限
祖暅（公元前5-6世纪）是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.这个原理很容易理解.取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上,然后用手推一下以改变
arcsin(x-1)等价x-1ln(2x-1)=ln(1+2(x-1))等价2(x-1)原式=1/2
不可以用你说的那个等价无穷小代换,虽然等价无穷小代换在乘除中可以用,但是一但问题涉及指数函数或对数函数,就要小心,因为那可能本质上还是加减运算.本题中ln(arctanx/x)=lnarctanx-lnx,因此换了可能会出问题.本题正确解法,由于ln(arctanx/x)→0,则ln(1+(arctanx-x)/x)等
是的啊 再答： 你的推法完全正确 再答： 亲，我的回答你满意吗？给个好评吧，或者你可以继续问我哦再问： 还有，一般情况∞前没有正负号，表示都满足吗？ 再答： 是的，包括正无穷和负无穷 再答： 亲，右上角采纳吧再问： 别慌啊，lime^1/x x->∞，这种题怎么做 再答： e的x分之一次方？ 再答： 这个式子写的有歧义
设:甲烷在空气中的体积分数达到X时会发生最强烈的爆炸,即此时甲烷与氧气完全反应.CH4+2O2=CO2+2H2O由于空气中氧气含量为21%,所以当发生最强烈的爆炸时,一体积空气中氧气为(1-X)*21%体积,甲烷为X体积.则(1-X)*21%=2X→ 0.21-0.21X=2X解得:X=0.095所以甲烷在空气中体积分
& 再问： 第二问能不能讲详细些，不怎么明白 再答： &再问： 明白了，谢谢哦
∵数列{an}的前n项和Sn=n2+1∴当n=1时，a1=S1=2当n≥2时，an=sn-sn-1=n2+1-（n-1）2-1=2n-1∴an=2，n＝12n-1，n≥2∵当n≥2时，bn=abn-1若bn-1=1，则bn=a1=2（舍）；若bn-1≠1，则bn=abn-1=2bn-1-1，∴bn-1=2（bn-1-1
k=1num=[k];den=[1 5 8 6 0];sys=tf(num,den);%求零极点[p z]=pzmap(num,den)%根轨迹图rlocus(sys);p =& &0.0000 + 0.0000i& -3.0000 + 0.0000i& -1.0000 + 1.
将X=-2,Y=5带入函数y=x+bx-3,得b=—2.二次函数y=x-2x-3,对称轴为X=1,因为开口向上,所以在1＜x≤3时,函数为增函数.在X=1时,y=-4,x=3时,y=0,所以1＜x≤3时y的取值范围为（-4,0】.麻烦采纳,谢谢!
还原糖中含醛基,醛基与菲林试剂中的氢氧化铜反应,生成红色的氧化亚铜.缩脲法的原理双缩脲(NH2-CO-NH-CO-NH2)在碱性溶液中可与铜离子产生紫红色的络合物.关于第三个碘和淀粉显色原理至今没有信服的解答.目前据我所知有一种解释认为是由于络合导致的电子离域作用增强,所以出现了可见光波段的吸收. 希望以上解释对你有帮
这是常数1.y=1是一个斜率为0的直线,无所谓单调增减
这样的求对比不难,但未明白你描述的意思.补充,A1中有几个数字“123489”,B1中有另外几个数字“12356”,现在希望将这两个单元格中都有出现的数字“123”在C1中显示出来? 再问： 是的 再答： 可在C1输入： =IF(ROW(A1)>SUM(COUNTIF(A$1:A$7,B$1:B$7)),"",INDE
数列写成{a[n]}了哈.a[n]∈(0,1),且fn(a[n])=0所以a[n+1]+a[n+1]^2+...+a[n+1]^n=1-a[n+1]^(n+1) 再问： 幸苦了 还是有点不懂 为什么an属于0到再问： 1 再答： 不是第一问的结论吗？你没证出来？请问如何用数列极限的ε-N定义证明下列极限 lim√n?＋1/n=1 n-∞？ - 知乎2被浏览213分享邀请回答0添加评论分享收藏感谢收起09-1009-1109-1509-16
02-2510-1703-2002-09
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