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已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)=x3+x22[m-2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln(122+1)+ln(132+1)+ln(142+1)+…+ln(1n2+1)＜1(n≥2，n∈N*)．
题型：解答题难度：中档来源：荆州模拟
（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=1x-a，当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1a），减区间为（1a，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（4分）（Ⅱ）g(x)=x3+x22[m-2f′(x)]=x3+(m2+a)x2-x，∴g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，∵g（x）在区间（a，3）上有最值，∴g（x）在区间（a，3）上不总是单调函数，又g′(0)=-1∴g′(a)＜0g′(3)＞0（6分）由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）oa-1=5a2+ma-1＜0恒成立，∴m＜1-5a2a=1a-5a，因为a∈[1，2]，所以m＜-192，对任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-323∴-323＜m＜-192（9分）（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），∴lnx＜x-1对一切x∈（0，+∞）成立，∴ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有ln(1n2+1)＜1n2，（12分）∴ln(122+1)+ln(132+1)++ln(1n2+1)＜122+132++1n2＜11×2+12×3++1(n-1)n=(1-12)+(12-13)++(1n-1-1n)=1-1n＜1（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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已知定义域为R的函数f（x)=3x＋b3x＋a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[－3，3
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提问人：匿名网友
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已知定义域为R的函数f(x)=3x+b3x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[-3，3]，不等式f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
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已知f（x）=（x-2）2，x∈[-1，3]，求函数f（x+1）得单调递减区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详
函数f（x+1）=[（x+1）-2]2=（x-1）2=x2-2x+1，x∈[-2，2]，故函数的单调递减区间为[-2，1]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）=（x-2）2，x∈[-1，3]，求函数f（x+1）得单调递减区间．-数学..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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