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泰勒公式及其在在計算方法中的应用.doc 17页
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泰勒公式及其在在計算方法中的应用
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泰勒公式在计算方法中的应用
作者姓名：陈琳琳
河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级1班
摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.
关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分
泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.
§2泰勒（Taylor）公式
设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得：
公式（1）称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式,的表达式（2）称为拉格朗日型余项.
若函数在点存在直至阶导数,则有
公式(3)称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式,形如的余项称为佩亚诺型余项.
特别地：在泰勒公式(1)中,如果取,则在0与之间,因此可令从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式:
在公式(3)中,如果取,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
泰勒公式的求法
（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法
只要知道在处n阶可导，就存在=带佩亚诺余项的阶泰勒公式。
（1）直接求法：通过求 ……而求得;
例如求：等
（2）间接求法：利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。
基本根据：泰勒公式的唯一性。
设在处的阶可导，且
将①②式相减得：
将上式两边同除以(),令其余类似可得。
方法：四则运算，变量替换，逐项积分
§4 泰勒公式在计算方法中的应用
（4.1） 泰勒公式在误差估计中的应用
在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。
例1 设有，将被积函数展开为泰勒级数，并取前六项得：
用代替被积函数时再积分所得的近似值：
且0..5，实际上近似真值时有4位有效数字。
，曲线如图所示。
在编辑窗口输入如下命令：
x=0:0.01:1.5;
y1=exp(x.^2);
y2=1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6;
plot(x,y1,x,y2);
legend('exp(x.^2)','1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6');grid
有限代替无限所产生的误差图
由图可知，泰勒公式在泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小。
下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高。
估计近似公式
的绝对误差.
带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：
（4.2）泰勒公式在函数值估测及近似计算中的应用
泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数……相联系起来。
设函数在上存在二阶导数,并且当时,有,
证明 对 ,由泰勒公式,
将在展开为：
将在展开为：
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