证明题_中华文本库
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11?x sin +y sin 当x ≠0, y ≠0?y x 1、（10分）证明函数f(x,y)=?在原点的极限是0.
?0当x =0, y ≠0或x ≠0, y =0?
2、(8分) 证明lim(x 2+xy +y 2) =7 x →2y →1
11?x sin +y sin , 当x ≠0, y ≠0?y x 3、证明： f (x , y ) =?在(0,0)的极限为零。（10分） ?0, 当x =0, y ≠0或x ≠0, y =0?
4. 设f(x,y)
在集合G ?R 2 上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件即 f (x , y ') -f (x , y '') ≤L y '-y ''
试证 f 在G 上处处连续
1、设?, ψ 是任意的二阶可导函数, 证明z=x ?() +ψ()
2?2z ?2z 2?z x +2xy +y =0 22?x ?y ?x ?y 2
2、（8分）设z=1
2a t e 4a t 2?z 2?z =a
证明 ?t ?t 2
3、(10分) 设z=sinx+F(u),u=siny-sinx 证明sec x ?z ?z +secy=1 ?x ?y
x 2y 22224. 证明函数f (x , y ) =2, x +y ≠0; f (x , y ) =0, x +y =0在点(0,0) 连续且偏导2x +y
数存在, 但在此点不可微.
数f (x , y ) =(x 2+y 2x 2+y 2≠0; f (x , y ) =0, x 2+y 2=0在点
(0, 0连续且偏导数存在) , 但在此点偏导数不连续, 而f 在(0,0)可微.
6. 证明:若二元函数f 在点P (x 0, y 0) 的某邻域U (P ) 内的偏导函数f x 与f y 有界, 则f 在 1
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什么叫做证明题
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证明是数学上很难的东西,一般来说没有通用方法的.甚至有很多题要用到一些很高的技巧,这类技巧通常是不具备一般性的,换一道题就会换一种方法.因此要在这里说清楚如何做证明题是不可能的.有些证明只能是凭着灵光一闪突然想到,象这类证明题我称之为“仅供欣赏”.做证明题的一般思路就是先把所有已知条件摆出来,把要证的结论摆出来,简单的题目这样一摆就看到思路了.难题就需要从中寻找它们的联系了,而这也就是证明题中最难的一部分,通常要靠各种定理、定义、公理,或借签其它题的结论.这部分内容只能自己训练.熟能生巧.
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证明题就是要按逻辑思维推理由已知一步步导向未知，得出所需结论。而每一步都必须有理论依据
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初中几何证明题
经典题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）
证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE
∵EG⊥CO，EF⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90°
∴∠EGO+∠EFO=180°
∴E、G、O、F四点共圆
∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90°
∴△EGO∽△FHG ∴EOGO= FGHG
∵GH⊥AB，CD⊥AB
∴GH∥CD GOCO ?HGCD
EOCO∴ ?FGCD∴
2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。
求证：△PBC是正三角形．（初二）
证明：作正三角形ADM，连接MP
∵∠MAD=60°，∠PAD=15°
∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°
∵∠BAD=90°，∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°
∴∠BAP=∠MAP
∵MA=BA，AP=AP
∴△MAP≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA，MP=BP
同理∠CPD=∠MPD，MP=CP
∵∠PAD＝∠PDA＝15°
∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°
∴△BAP≌∠CDP
∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD
∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP，MP=CP
∴△BPC是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN
求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG
∵CN=DN，CG=DG
∴GN∥AD，GN=1AD 2
∴∠DEN=∠GNM
∵AM=BM，AG=CG
∴GM∥BC，GM=1BC 2
∴∠F=∠GMN
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN=∠F
经典题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BHD+∠DBH=90°
∠ACB+∠DBH=90°
∴∠ACB=∠BHD
∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD
又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD
∴四边形OMDG是矩形
（2）连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120°
∵OB=OC，OM⊥BC
∴∠BOM=1∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2
由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.
求证：AP＝AQ．
证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF
∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF
∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF
即∠PAE=∠QAF
∵E、F、C、D四点共圆
∴∠AEF+∠FCQ=180°
∵EF⊥AG，PQ⊥AG
∴∠PAF=∠AFE
∴∠AFE=∠AEF
∴∠AEF=∠PAF 在△AEP和△AFQ中
∵∠PAF+∠QAF=180° ∠AFQ=∠AEP
∴∠FCQ=∠QAF
∴F、C、A、Q四点共圆 ∠QAF=∠PAE
∴∠AFQ=∠ACQ ∴△AEP≌△AFQ
又∠AEP=∠ACQ ∴AP=AQ
∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）
证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG
∵C、D、B、E四点共圆
∴∠B=∠D，∠E=∠C
∴△ABE∽△ADC ∴ABBE2BGBG ???ADDC2FDDF
∴△ABG∽△ADF
∴∠AGB=∠AFD
∴∠AGE=∠AFC
又OG⊥BE，
∴∠OAQ+∠OGQ=180°
∴O、A、Q、E四点共圆
∴∠AOQ=∠AGE
同理∠AOP=∠AFC
∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA
∴△OAQ≌△OAP
4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N
∵OF=OD，DN∥OP∥FL
∴OP是梯形DFLN的中位线
∴DN+FL=2OP
∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90°
又∠BFL+∠FBL=90°
∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB
∴△BFL≌△ABM
同理△AMC≌△CND
∴BM+CN=FL+DN
∴BC=FL+DN=2OP
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG=OD=111BD=AC=AE 222
∴∠EAG=30°
∴∠ACE=∠AEC=75°
又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二）
证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC，又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
1∴ODEG是平行四边形 ∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15° 又∠COD=90° 2
在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF ∴ODEG是矩形
=180°-∠FAC-∠GCE 111∴EG = OD =BD=AC=CE =180°-135°-30°=15° 222
∴∠F=∠CEA ∴∠GCE=30°
∴AE=AF ∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H
∴HCGF是矩形
∵∠HCF=∠GCF
∴HCGF是正方形
∵AP⊥FP 设AB=x，BP=y，CG=z
∴∠APB+∠FPG=90° z：y=（x-y+z）：x
∵∠APB+∠BAP=90° 化简得（x-y）?y=（x-y）?z
∴∠FPG=∠BAP ∵x-y≠0
又∠FGP=∠PBA ∴y=z
∴△FGP∽△PBA 即BP=FG
∴FG：PB=PG：AB ∴△ABP≌△PGF
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，
连接OH、MH、EC
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90° ∴EM=KM
又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∵EK∥BD ∴P、C、H、O四点共圆 OBAOOD∴ ??∴∠HCO=∠HPO EMAMKM又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD
∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO
∴H、C、E、M四点共圆 ∴四边形ABCD的对角
∴∠ECM=∠EHM 线互相平分
又∠ECM=∠EFA ∴ABCD是平行四边形
∴∠EHM=∠EFA ∴AB=DC，BC=AD
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