初等数论《完全平方数》&习题集（2）
初等数论《完全平方数》
习题集（2）
11& 两个数x、y，它们的完全平方数之差A=1986，问这两个数是什么？
答：无整数解
A=Y2X2=(YX)*(YX)19861986
(Y+X)(YX)=19861&&
(Y+X)=1986& (YX)=1&&
& 2Y=1987&
Y2X2=984.52983.52=1986
(Y+X)(YX)=9932&&&
& (Y+X)=993& (YX)=2&&
19866331XY
凡完全平方数之差A，不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，就不能写成两个自然数平方差的形式，亦即这两个数以及这两个数的平方，都不是整数。
话又反过来说，若不要求整数解，则
任一整数H，可分解为有限组的两平方数之差，
即H=C2－D2。这是我在
12 &两个完全平方数之差为147，问这两个数是什么？
答：有三组：(73、74)
、(23 、26 )、
Y2X2=(YX)(YX)147
(Y+X)(YX)=147*1&
(Y+X)=147&
(Y+X)(YX)=
&(Y+X)=49&&
(Y+X)(YX)=
(Y+X)=21&&
13& 有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。例如：29就是这样的两位数，29+92=121，而121是11的完全平方数。
答：这样的两位数有：29.&
10AB10BAC2
10AB10BA11A+11B=11(A+B)
29.& 38.& 47.& 56.
29+92=121=112&&
38+83=121=112&&
47+74=121=112&&
56+65=121=112
14& 求一个四位完全平方数n，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
答：n=7744
解：设n=aabb。而aabb的组成方法是：aabb=a0b*11
。例如等等。
(2,9), (3,8),
(4,7), (7,4), (8,3) (9,2) 8a=7b=47744=882
N=x+10y+y=(100x+y)=11(99x+x+y)
9911x+y11x+y=11
N=11(99x+11)=112*(9x+1)9x+1应是一个完全平方数，验算知x=7时，9x+1=64，是82，
x=7x+y=11y=4
还有一个方法。凡aabb
型的完全平方数，bb
44两类，所以可凑：
都开方，得不到整数。
都开方，除√7744=88外，也都得不到整数。所以
15& 自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字也都是完全平方数，这样的自然数有几个。
答：1个，就是49。
16& 25& 36& 49& 64& 81
（03江苏吴江）一个三位数abc，是个完全平方数，它的前两位数ab和个位c也都是完全平方数，符合条件的全部三位数的和是多少
两个三位数的和是<span STYLE="FonT-siZe: 12 mso-fareast-font-family: 楷体_GB
81 abc361=192
169+361=530
17 （01福州“迎春杯”）将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：
第11位上的数字是9，第88位上的数字是多少
& 答：第88位上的数字是8
& 1& 4& 9& 16& 25& 36&&
100& 121&&
9-4+1=62*6=12
31-10+1=223*22=66
3+12+66=81
32102482102418810898
18 （04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少
答：这个最小的数是A=15
*3*5*7*7=22*72*1515AA=152940A=00=2102
2940A4A=15
19 &（02河北香河）有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？
答：A=22&&
ABB=A+56A1043
A&&&&&&&&&&&&&&
B=A+56&&&&
&4& &&&&&&
&4& &&&&&&&
A&&&&&&&&&&&&&&&
&&22&&&&&&
&27&&&&&&&
&78&&&&&&&
&83&&&&&&&
&&6084 &&&7744&&
20 （03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、
孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁。
答：父亲的年龄42，且估计孙子的年龄21、爷爷的年龄72。
1512=23337
1512A151242=2
21 （03ABC）快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。参加排练的学生至少要有多少人。
答：至少要有36人。
&S=N(N+1)2
22& 两个自然数A、B的平方和637，最大公约数M
与最小公倍数G的和49。求A、B。
&&&&&&AMa&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&a&&
A2+B2=637&&&
2 a 2+M 2 b 2=M
2 (a 2+b 2)=637 =7 2&13
2 ( a 2+b 2 ) = 7
M+G=M+M a b=M (1+a b ) = 49
2 + b 2 ) = 7 2&13&&
+ b 2 )=13&
(1+a b) = 49&&&&&&
b) = 49&&&&&
(1+a b)=7&&&&
解(3) (4)& & M=7 &&&a=2&
&B=Mb=73=21&
n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．
3n+1=m23mm=3k+1m=3k+2
3n+1=(3k+1)2& &
3n+1=9k2+6k+1&
3n= 9k2+6k&& n=
3n+1=3k2+2k+1=
k2+2k+1)= k2+ k2+(
3n+1=(3k+2)2& &
3n+1=9k2+12k+4&
3n= 9k2+12k +3& n=
n+1=3k2+4k+2=
k2+(k+1)2+(
&&&&&&&&&&&&&&&&
3n+1=m2& &&&&&&&4&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&16&&
&&&&&&&&()
rn=3k+1& &&&&
&&&&2&&&&&&
&&&&&&4&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
&&&1/3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&
&n+1= &&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&2=0.332+0.332+1.332&
&&&6=1+1+4&
&&&(n+l)&&
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&133
3n+1 =m2& &&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&400
&&&&&&&&&()
=3k+2&&&&&&&
&& &&5&&&&&&&&&&
&k =&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&1&&&&&&&&&&
&n+1= &&&&&&&&&&&&&&&
k2+(k+1)2+(
9=1+4+4&&&&&&&
&134=36+49+49&
24& 己知Z=169是3n+1型的完全平方数。反算：N+1是哪3个完全平方数之和。
答：Z=169是3n+1型的完全平方数，则N+1=57。而是M=√Z
=13是3K+1型的数，
N+1是4、4、5三个数的平方之和。
3n+1=169 &→
N=56 & N+1=57& Z=M2&&
K=4& M=3K+1&&
N+1= k2+k2+(
57 =42+42+52=16+16+25
25& 己知Z=29929是3n+1型的完全平方数，反算：N+1是哪3个完全平方数之和．
答：Z=29929是3n+1型的完全平方数，N+1=9977。而是M=√Z=173是3K+2型的数，N+1是57、58、58三个数的平方之和
Z=29929 & 3n+1=29929& →
k2+(k+1)2+(
=572+(57+1)2+(57+1)2=572+582+582
26& 证明：每四个连续自然数的积加1，必定是一个完全平方数
x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^4+6x^3+9x^2+2x^2+6x+1
=x^4+6x^3+9x^2+2x^2+6x+1=x^2(x+3)^2+2x(x+3)+1=[
x(x+3) ]^2+2x(x+3)+1
=[x(x+3)+1]^2=(x^2+3x+1)^2=[x(x+1)+(2x+1)]^2x(x+1)2x+1
[x(x+1)+(2x+1)] & 3*4*5*6+1=361=92
27& 两个奇数的平方和一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2&
、92+152=306≠y2
两个奇数的平方和的20()
28 &证明：两个质数的平方和一定不是完全平方数
a=222+b2=c222=c2-b2=(c-b)*(c+b)
(c-b)*(c+b)
&&(c-b)*(c+b)=2*2b=0C=2b=0C=0
&&(c-b)*(c+b)=1*4
(c+b)(c-b)*(c+b)
29& 若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。
00 44A0000A4444
& A*=4&2500A+1111
42500A+11112500AA00&
( A=192500A++
)2500A+11111144444
& A*=4&2500A+0000AAA*A=16A*=4&2500A+0000=160000
30& 仿照第29题，我来出一题：某整数为完全平方数，且末三位数字相同，求此整数。
答：A444型的数，当A是1&
213 … 时，它是完全平方数，但很少，见表。
A000型的数，当A是自然数平方的10倍时，它是完全平方数，数量无穷多。
00 44A000A444
& A*&250A+111
422250A+111250AA11
( A=6250A+111=1
1 ( A=7250A+111=1
81A250A+111
250A+111=&
&361&&&&&&&&&
&19&&&&&&&&&&&&&&&
1444&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&53361&&&&&&&&
& &&231&&&&&&&&&&
&213444&&&&&
&&&&=&&&&&&&&&&&&&&
289&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&289444&&&&&&&&&
= &&&&&&&&&&&&&&&
231361&&&&&&&&&&&&
& & 481&&&&&&&&&&&&&
925444&&&&&&&&&
= &&&&&&&&&&&&&&
1077&&&&&&
269361&&&&&&&&&&&
&519&&&&&&&&&
1077444&&&&&&&&&
=&&&&&&&&&&&&&&&&10382
2137&&&&&&
534361&&&&&&&&&
&& 731&&&&&&&&&&&
2137444&&&&&&&&&
=&&&&&&&&&&&&&&&&14622
2365&&&&&&
591361&&&&&&&&&&
& 769&&&&&&&&&&&
2365444&&&&&&&&&
=&&&&&&&&&&&&&&&
3849&&&&&&
962361&&&&&&&&&
&& 981&&&&&&&&&&&
3849444&&&&&&&&&
=&&&&&&&&&&&&&&&
1038361&&&&&&&&
1019&&&&&&&&&&&&&
4153444&&&&&&&
& A*&250A+000250=2*53
AA=104090160250
274225002500AA250A
证明：不存在一个平方数的2倍，等于另一个平方数。即2n2≠m2
先假设2n2=m2
存在。分析：因为2n2是偶数，所以m2是偶数，m是偶数。因此可设m=2a
回代到2n2=m2，又有2n2=
=(2a)2=4a2
，n2是偶数，n是偶数
。又设n=2b
→(2b)2=4b2=2a2
，所以a2是偶数，a是偶数。这样，可以反复进行，以致无穷。由于m和n都是有限的，即使他们都是偶数，也可以通过有限次的约去2而成为奇数，不可能无穷的都是偶数，所以这个过程不可能无穷次进行下去。说明这个假设是错误的，于是命题得证。
实际上m2&#8725;n2
不可能为2，见下表：
m2&#8725;n2&&
&4 &&&2.25&&
，就是m&#8725;n=√2
，√2是个无理数，而无理数是无法用分数表示的，光凭这一点，就能证明2
m2不存在。
32 &证明3（5n+1）不是平方数（n为自然数）。
nn5n55n+1635n+180145698
n5n05n+1135n+13n35n+1
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数学五年级上册第71页第1题2（x-2.6)=85(x=1.5)=17.58(x-6.2)=41.6(x-3)除2=7.5要方程。
来源： |人气：492 ℃|时间： 17:01:09
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第一题是6.6的2（x-2.6)=85（x+1.5)=17.5解：2（x-2.6）÷2=8÷2解:5（x+1.5）÷5=17.5÷.5x-2.6=4x+1.5=3.5x-2.6+2.6=4+2.6x+1.5-1.5=3.5-1.5x=6.6x=28（x-6.2)=41.6（x-3)÷2=7.5解：8（x-6.2）÷8＝41.6÷8解：（x-3）÷2×2=7.5×2x-6.2=5.2x-3=15x-6.2+6.2=5.2+6.2x-3+3=15+3x=11.4x=18
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多项式xy2-9xy+5x2y-25的二次项系数是______．
多项式xy2-9xy+5x2y-25的二次项-9xy，系数是-9．
三角函数应用题求解已知角A属于（0,2π）且sinA和cosA是方程x2-kx+k+1=0的2个根,求K和A
sinA和cosA是方程x2-kx+k+1=0的2个根所以有：sina+cosa=ksina*cosa=k+1sina^2+cosa^2=1(sina+cosa)^2-2sina*cosa=1k^2-2(k+1)-1=0k^2-2k-3=0(k+1)(k-3)=0k=-1,k=3(不符合,舍去）sina+cosa=-1,sina*cosa=0A(0,2pai)无解
cos40 + cos60 + cos80 + cos160= cos(60-20)+ cos60 + cos(60+20)+cos(180-20)= cos60cos20 + sin60sin20 + cos60 + cos60cos20 -sin60sin20 + cos180cos20 + sin180sin20= 1/2 cos20 + 1/2 + 1/2 cos20 -cos20 +0=1/2参考公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB技巧,将非特殊角转化成特殊角与另一个角相加,然后设法消掉那个角
0所以m/n>0,n/m>0所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2当m/n=n/m,m=n时取等号2m+n=1,m=n,有解,等号能取到所以最小值=4+2*2=8">x=-2,y=loga(1)-1=-1所以A(-2,-1)所以-2m-n+1=02m+n=1(1/m+2/n)*1=(1/m+2/n)(2m+n)=4+2(m/n+n/m)mn>0所以m/n>0,n/m>0所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2当m/n=n/m,m=n时取等号2m+n=1,m=n,有解,等号能取到所以最小值=4+2*2=8
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