《高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)(2)》
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)(2)
一、极限的定义高等数学求极限的14种方法1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x??时函数的极限和x?x0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：limf(x)?A，收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的 （i）数列?xn?充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（ii）f(x)?A?f(x)??Ax??(iii)limx???x?x0lim?x????A?limx?x0limf(x)?A?lim?limx?x0(iv)单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limx?x0f(x)存在的充分必要条件是：???0,???0,使得当x1、x2?U?o(x0)时，恒有|f(x1)?f(x2)|??二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x)f(x)?g(x)?11g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。1 0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）x2xne?xe?1?x?????xn?1 ；2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3msinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xnln（1+x）=x- ????(?1)?(?1)n?123n(n?1)(1??x)(1+x)u=1?ux?u(u?1)2x???Cunxn?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零，P（x）=anxn?an?1xn?1???a1x?a0,Q(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0 ?an?b,(m?n)nP(x)P(x0)P(x)?? (i)（ii）若Q(x0)?0，则 ?limQ(x)??0,(n?m)Q(x)Q(x)0x?x0??,(n?m)x?????lim5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设a?b?c?0，xn?an?bn?cn，求limxnn??解：由于a?xn?a,以及a?a,(alimlim)?a，由夹逼定理可知limxn?a n??n??n????（2）求lim?1?1???1?2(n?1)2(2n)2?n???n解：由0?1?2n111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnnlim0?limn??n??1?0可知，原式=0 n(3)求解：?1?11?? ????lim??222n???n?1n?2n?n?由n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n,以及21n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：n??n??lim1?limnn?n2?limn??1??1得，原式=1求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1 (|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：?111?=?111????????1???????n?1)??lim??1?n?1)???1 limlim?1?22?3???n(n?1)?n???223?n??n???9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。ann??解:设liman=A，（显然A?0）则A?2?1，即A2?2A?1?0，解得结果并舍去负值得A=1+2n??A（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如 设x1?2,x2?2?2,?,xn?2?xn?1,求limxnn??解：（i）显然x1?x2?2（ii）假设xk?1?xk?2,则2?xk?1?2?xk?2?2，即xk?xk?1?2。所以，?xn?是单调递增数列，且有上界，收敛。设lim?A，（显然A?0)则A?n??2?A，即A2?A?2?0。解方程并舍去负值得A=2.即limxn?2n??10.两个重要极限的应用。 （i）sinx?1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 limx0x?01(ii)lim?1?xx?e，在“1”型未定式中常用?x?011.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限nnlimx?0arccosx??。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。sin2x22arccosx?2x??limx?0原式=2xlimx?0sin2xarccosx?2x??limt?0t1???2sint2111?。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim?，所以???????n?in?2n?n?n???n?11?1n3????1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11???1?nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这'种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）例:设f(a)?0,f(a)'??1??fa?????n?? 存在，求lim??fa?n???????nf(a)1f(a?)?f(a)n?nf(a)n??1??1??f(a?)?f(a)??fa??fa??nf(a?)?f(a)????n??n??lim?1?解：原式=lim?1??f(a)f(a)?n???n??????????1f(a?)?f(a)1nf(a)nf'(a)f(a)=limen???e45本文由()首发，转载请保留网址和出处！
免费下载文档：科技信息○教学研究○；SCIENCE&TECHNOLOGYIN；求极限的几种常用方法；陈慧泽；（定西市第一中学甘肃定西；743000）；【摘要】极限是数学分析中最重要最基本的概念之一，；【关键词】极限；方法；数列；函数极限概念是数学分；一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)；是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把；x→x0；值，即
科技信息○教学研究○
SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2010年第15期
求极限的几种常用方法
（定西市第一中学甘肃定西
【摘要】极限是数学分析中最重要最基本的概念之一，而求极限是数学分析中的主要运算之一。求极限的方法因题而异、变化多端，有时甚至感到变化莫测无从下手。本文就极限的求法总结了七种方法，只要掌握了这是七种方法，一般求极限的问题都能够得以解决。
【关键词】极限；方法；数列；函数极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念都可以用极限概念来表达。例如函数在某点x0处导数的定义，偏导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义等。因此极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点联系在了一起。所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限是学好数学分析的基础。求极限主要有函数的极限和数列的极限，但是，二者不是孤立的，由归结原则把二者联系起来，因此在求解时所用的方法是一样的。掌握求极限的方法对数学分析的学习有十分重要的作用，下面归纳总结了求极限的几种常用方法。
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0
是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数
值，即limf(x)=f(x0)
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u=φ(x)在x0连续且u0=φ(x0),y=f(u)在u0处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在x0处也连续，从而limf[φ(x)]=f[φ(x0)]或limf[φ(x)]=f[limφ(x)]
例3：求limlnsinx
1利用极限的定义求极限
解：复合函数lnsinx在x=π处是连续的，即有limlnsinx=lnsinπ=
利用极限的定义求极限时，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：limf(x)=A的ε-δ定义是指：坌ε＞0,埚δ=δ(x0,ε)＞0,0＜|x-x0|＜δ圯|f
4利用无穷小的性质求极限
(x)-A|＜ε为了求δ可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。
例4：求lim
｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1
从φ(x)＜求δ2出后，取δ＝min(δ1,δ2),当0＜|x-x0|＜δ时，就有|f(x)-A|＜ε例1：设limxn＝a,则有limx1+x2+…+xn＝a
n→∞n→∞证明：因为limxn=a,对坌ε＞0，埚N1=N1(ε),当n＞N1时,|xn-a|＜ε
n→∞x+x+…+xn-a于是当n＞N1时，12=|x1+x2+…+xn-na|
|x1-a｜+|x2-a|+…+|xN-a||xN+1-a|+|xn-a|An-N1Aε≤+≤+＜＋
其中A＝｜x1-a｜+｜x2-a｜+…|xN+1-a|是一个定数，
4x-7解：当x→分母的极限为0.而分子的极限不为0，可先求出所给函数倒数的极限
limx-3x+2＝1-3+2＝0，故lim4x-7＝∞x→1x→15利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。
例5：求lim
姨a+姨a+…+姨,则xn+1=姨n.由归结法可证xn＜
x+x+…+xn-a当n＞N时，12＜ε＋ε＝ε
再由A＜ε，解得n＞2A，故取N=max{N1,[2A]}
解：令x＝姨a+姨a+…+姨姨(有界性)又因为姨a+姨＞姨，即xn+1＞xn,所以数列{xn}单调递增由单调有界定理知：lim
姨a+姨a+…+姨=1＋有极限，并设为A而
2利用极限的四则用算法则求极限
利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子
limxn+1=lim姨n.,即A＝姨，则A＝1＋n→∞n→∞2
极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现0，
姨a+姨a+…+姨∞，∞-∞等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变
形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
6利用罗必塔法则求极限
罗必塔法则是计算不定式极限的重要方法，可用来求诸如0型，
-1）由于当x→时，3与1的极限都不存在，故不能利用“和的
例2：求lim（3
∞型,∞-∞型,0?∞型等多种形式的极限。需要注意的是要验证原式
是否为不定式，如果不是就不能用此法则；在重复使用此法则时，必须每步都做检查，一旦发现不是不定式就要停止使用。
例6：求limxnlnx
极限等于极限的和”，这一法则，这时可先进行化简
3-1＝3-（1＋x+x2）=（2＋x）(1-x)=2＋x1-x31-x1-x3(1-x)（1+x+x2）1+x+x2
这样得到的新的函数，当x→时,分子、分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即：lim（3
-1）=lim=1
x→11+x+x21
lnx∞解：limxlnx(0?∞)=lim()=lim=lim(-x)=0，若把上
n→0x→0x→0x→0-n
3利用函数的连续性求极限
2010年第15期
SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION
○教学研究○科技信息
（上接第323页）
表2杜邦2009年度世界汽车流行油漆颜色研究报告
地区北美欧洲
白色17.8%黑色27%白色28%下降趋势银色36%上升趋势银色26.4%
黑色17%上升趋势银色19.9%下降趋势银色23%下降趋势黑色23%下降趋势白色23.4%
银色16.7下降趋势白色10.2%上升趋势黑色23%
蓝色12%红色11%
地区北美欧洲亚太
PPG工业公司2009年度“汽车颜色流行趋势展示”
自然色自然色
5混合动力型轿车面饰色彩设计提案
根据前面对混合动力型轿车市场主色分析，用户色彩偏好分析以及相关权威机构对于汽车色彩流行趋势的报告的研究，提出混合动力型轿车设计提案。
主题一：“自然?纯净”。未来汽车颜色的流行趋势会和环境、自然紧密相关，车与自然环境的关系逐渐被人们所重视。人们对颜色的选择将体现在对环境关注的一面，汽车颜色将强调与自然的协调，并且出现更丰富的色彩设计。在经济不景气和失业背景下，各界将倾向选择能让人振作精神、心情舒畅的冷色。我们之所以热爱大自然，是因为大自然是一位最伟大的艺术大师，它调尽天下所有最丰富的色彩，使任何人类艺术大师都相形见绌。蓝色代表天空、海洋，象征冷静、和谐、沉稳，似乎沉浸于碧海蓝天一样的开阔自在。而水作为平静的一种象征，对于新世纪的调色板具有很大的影响。
主题二：“科技?质感”。黑色是亚洲四大重点色系之一。尽管纯黑色大势已去，但金属光泽的加入为这一主流颜色增添了几分高贵。混以古铜、蓝色和绿色的黑色系将继续成为重要的色彩风向标。混合动力型轿车宜采用具有科技感的色彩，如稍带柔铜色的香槟银、带有深蓝或深绿色调的质感黑色底漆，由传统色彩向科技色彩转化。突破性的汽车面饰工艺赋予以往单一的传统色以液态金属质感，这些质感强烈的色彩将会为混合动力型轿车面饰设计注入新的活力。
汽车面饰设计在品牌的研发、制造、营销等各方面作用明显。调查表明，色彩与质感设计能够为产品与品牌的推广提高多于40%的认知度，是成本控制前提下提高产品附加值的最优途径。创新汽车面饰设计，能够最大程度满足人们的审美与情感需求，也会大大提升汽车产品的附加值。中国汽车市场已经日趋成熟，市场竞争从基本的性能需求转向品牌文化内涵及个人风格与品位的诉求。汽车面饰的研究与开发，是在提升产品价值的同时，对品牌文化与个人风格表达的无声语言。科
【参考文献】
［1］任秋平.工业造型材料与面饰工艺.重庆：重庆大学出版社，1992年.［2］欧秀明.应用色彩学.台湾：雄狮图书股份有限公司，1994年.［3］薛澄岐.产品色彩设计.南京：东南大学出版社，2007年.
作者简介：王炜（1985―），湖北孝感人，武汉理工大学艺术与设计学院硕士研究生。
［责任编辑：汤静］
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1. 极限的保号性很重要：设
（i ）若A &0，则有δ&0，使得当0&|x -x 0|&δ时，f (x ) &0；
（ii ）若有δ&0, 使得当0&|x -x 0|&δ时，f (x ) ≥0, 则A ≥0。
限是否存在在：
（i ）数列{x n }a 的
（ii ）lim f (x ) lim f (x ) =A ，
x →∞ (iii)x →x 0lim f (x ) = (iv)单调有界准则
（vi ）柯西收必要条件是：
?ε&0, ?1. 2. 洛必达（L ’
x 趋近告诉f （x ）、g （x ）, 没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”, 并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
0∞”“”时候直接用 0∞
(ii)“0?∞”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i ）“
-项之后，就能变成(i)中的形式了。即f (x ) g (x ) =f (x ) 或f (x ) g (x ) =g (x ) ；g (x ) f (x )
f (x ) -g (x ) =111
g (x ) f (x ) f (x ) g (x ) 11
(iii)“0”“1”“∞”对于幂指函数, 方法主要是取指数还取对数的方法，即
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0?∞”型未定式。
1 0∞0f (x ) g (x ) =e g (x ) ln f (x ) ，
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&&请教一个极限的求解
请教一个极限的求解
各位大神，请问下面一个极限是如何求解的？谢谢解答。
我学的是通信专业，在运用CORDIC（数学专业的应该比我更了解这个算法吧，呵呵）算法设计数字锁相环的时候遇到这个问题，文献中只给出工程数值是0.607，应该是收敛的。
这个是我看CORDIC算法的时候遇到的，设 tan(theta_k)=1/2^k;
求解 cos(theta_k)累积的极限。
这个式子的每一项都是小于1的，所以极限值应该不会大于1吧，呵呵。
谢谢，我学的是通信专业，您发的链接看的不是很懂，不过同样很感谢您，谢谢了。
这种推导是正确的，谢谢！
怎么证明An的取无穷极限后的值取对数后就是Bn取取无穷极限后的值？如果n有限，确实可以，但是无穷就不一定了！比如说有限个无穷小的和是无穷小，无限个无穷小的和就不知道是什么了！又比如求数列前n项和的无穷级数时，只有数列绝对收敛才能，改变和数列中Sn中各An的顺序(我也不知道这是为什么，书上就这么说的，哪会没去深究，现在还没复习到)
你不会把 -i 次方变成正的么？
还有一个问题：单调有界必收敛，也就是说，单调增未必发散，Cn单调了，你是怎么知道他无界的？要不然不能说明问题(数列{x^-2}的级数，通过限制，x的范围就可以收敛，他也是单调增的)。
你知道怎么收敛到那个数值了吗？
数值解大约是 0.607253
--------------------------------------------------------
#include&stdio.h&
#include&math.h&
void main()
& & & & double x,
& & & & y=1;
& & & & for(i=0; i&100000; i++)
& & & & & & & & x=(float)i;
& & & & & & & & y*=1/sqrt(1+pow(4,-x));
& & & & printf(&\n\sum=%f\n&, y);&&//输出
嗯，对工程人员来说，编程实现确实是一个比较好的方法，谢谢提供了一个新的思路。:hand:
不好意思，暂时还不知道。;)
哦，我还以为你知道了呢，还想问问你呢
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