电路与模拟4-共享资料网
电路与模拟4
第4章交流电路4.1 正弦交流电的基本概念 4.2 单一参数的正弦交流电路 4.3 简单正弦交流电路的分析 4.4 电路的谐振4.5 非正弦周期信号的电路本章学习目标? 正弦量的概念1. 正弦量的三要素：周期，初相位和有效值。 2. 正弦量的相量表示法：相量式和相量图。? 相量分析法 ? 简单正弦交流电路的分析1.基尔霍夫定律的相量形式。 2.阻抗Z的定义为：当?=0时，电路呈阻性。 当?&0时，电路呈感性；当?&0时，电路呈容性。 3.正弦稳态电路的功率:有功功率,无功功率和视在功率? 电路的谐振的特征 ? 功率因数的提高的意义及方法。4.1 正弦交流电的基本概念交流电如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复 变化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。正弦交流电如果交流电的大小与方向均随时间按正弦规律变 化，称为正弦交流电。正弦交流电路如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。正弦量正弦电压和电流u实际方向和假设方向一致正弦量的正方向指正弦量正半周的方向wt实际方向和假设方向相反正弦交流电的优点 ?传输经济； ?变压方便； ?交流电机运行稳定，价格便宜； ?波形不畸变。4.1.1 正弦量的三要素Im?iwti = I m sin (ω t + ? )Im ：三要素:电流幅值（最大值）ω ： 角频率（弧度/秒）?： 初相角1、周期与频率表示正弦量的变化速度iTwt1) 周期 T： 变化一周所需的时间。 单位：S，mS 2) 频率 f： 每秒变化的次数。 单位：Hz，kHz 3) 角频率 ω： 每秒变化的弧度。 单位：rad/s1 f? T2? w? ? 2? f T? 电网频率：中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz? 有线通讯频率：300 - 5000 Hz ? 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz2、幅值（最大值）与有效值 表示正弦量的大小瞬时值: 正弦量每一瞬间都有一个确定的值与 之对应，成为瞬时值，必须用小写字 母表示。u、i、e最大值:电量名称必须大写,下标加 m。如：Um、Im 、EmuUmwtu ? U m sin(wt ? ? )有效值:与交流热效应相等的直流定义 为交流电的有效值热效应相当有 效 值 概 念?T0i R dt ? I RT22交流直流1 I? T?T0i dt2（方均根值）当i ? I m sin ?w t ?? ?时，可得,Im I? 2？若购得一台耐压为 300V 的电器， 是否可用于 220V 的线路上?~ 220V有效值 U = 220V 最大值 Um =电器最高耐压 =300V电源电压2 ? 220V = 311V不能用！3、初相位与相位差i=2 I sin (ω t + ? )正弦波的相位角或相位（ ωt + ? ）?it = 0 时的相位，称为初相位或初相角。wt??：初相位? 可正负时间起点距离变化起点的角度变化起点i时间起点若时间起点在变化起 点的右边，则?为正wt?i若时间起点在变化起 点的左边，则?为负wt?? ：相位差两个同频率正弦量的初相之差 i1i2? ? ? 1- ? 2?1 ?2wt? ? ?1-?2 & 0 称i 超前于i 1 2i1 i 2? ? ?1-?2 & 0 称i1滞后于i2i2i1?1=0wtwt?1?2?2? ? ?1-?2 = 0 称i1与i2 同相位i1 i2? ? ?1-?2 = 1800 i1与i2 反相位i1 i2wtwt?1 ?2?1?2注意 ！瞬时值：小写字母表示正弦量每一瞬间的数值。 有效值：大写字母表示正弦量的大小。? 交流电压、电流表测量数据为有效值 ? 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值最大值：大写字母加下标m表示瞬时值中最大的数值。u ，i ，e瞬时值U ， I ，E有效值Um ，Im ，Em最大值4.1.2 正弦量的相量表示法1.复数及其运算 代数式虚部b 模r 幅角? 实部a 欧拉公式jA+1A ? a ? jb三角函数式A ? r (cos? ? j sin? ) ? a ? jbb r ? a ? b ? ? ? arctan a 指数式和极坐标式2 2A ? rej?? r??指数形式极坐标形式复数的加、减运算 ―― 采用代数式若则A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) A1+A2ImIm A2A2 A1A1 o ReoRe图解法A1-A2 -A2复数的乘、除运算 ―― 采用极坐标式若则:A1=|A1| ? 1 ，A2=|A2| ? 2模相乘 角相加j( ?1 ?? 2 )A1 ? A2 ? A1 ej?1? A2 ej? 1j? 2? A1 A2 e? A1 A2 ??1 ? ? 2A1 | A1 | e | A1 | j ( ? 1-? 2 ) 除法： ? ? e j? 2 A2 | A2 | e | A2 |模相除 角相减设：σ桓词A旋转因子1 1 ?-90°= -j = j1 ?90°= +jo1 A ? ?±90 ? ( ± j )? AAj（-j） ? A?一个相量乘以 j，该相量模不变， 逆时针转90°一个相量除以 j（乘以- j ），该相量模不变， 顺时针转90° .2.正弦量的相量表示法问题的提出两个同频正弦量的相加： KCL、KVL方程运算： + RuiLL+uC- Ci1 ? 2 I1 sin( w t ?? 1 )i2 ? 2 I 2 sin( w t ?? 2 )结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想w角频率：u, i i1 I1i10wi2i2 I2i1+i2 ?i3 i3 wI3 wt有效值： ? 1?2?3初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，正弦量复数正弦波的相量表示方法1) 正弦量的相量表示 在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路 中所有的电压电流为同频率正弦量，此时，w 可 不考虑，主要研究正弦量的幅度与初相位的变化可用一个有向线段（矢量）表示正弦量： 其长度表示正弦量的有效值； 其与横轴的夹角表示正弦量的初相位。 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )： 相量的模（长度）表示正弦量的有效值； 相量的幅角（与横轴的夹角）表示正弦量的初相位。2) 相量的两种表示形式相量式: 相量图:U ? U?? ? U cos? ? jU sin?把相量表示在复平面的图形（可省略坐标轴）?U?U3) 相量的书写方式 用符号:IUE表示。包含幅度与相位信息。同样可以建立正弦电流与相量的对应关系：i( t ) ? 2 I sin( w t ? θ ) ? ? ? I?θ I例1i ? 141.4 sin( 314t ? 30o )A 已知 o u ? 311.1sin(3 14t - 60 )V试用相量表示i, u . 解I ? 100?30 A,o??U ? 220? - 60o Vo?例2解已知 I ? 50?15 A, f ? 50Hz .试写出电流的瞬时值表达式。i ? 50 2sin( 314t ? 15 ) Ao例3有效值i1 = 8 2 sin (w t + 60 o ) i2 = 6 2 sin (w t - 30 o )I1初相位60 o 30 oI 2 ? 6? - 30 Ao.I 1 ? 8?60 Ao.I2相量图 相量式4) 同频率正弦量的运算?加减用相量图―平行四边形法则Ubu1? 40 2 sin ?w t ? 60 o ? U2 u2? 30 2 sin ?w t - 30 o ??bU1Ua U260 o ?a 30 o 23oua = u1 + u2ua? 50 2 sin ?w t ? 23 o ? Ub = U1 - U2 = 50?97o ub? 50 2 sin ?w t ? 97 o ?Ua = U1 + U2 = 50?ub = u1 - u2注意 ！1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上 行比较运算，不同频率不行。 3. 复数只能表示正弦量，不等于正弦量。 4. 用复数表示正弦量时，要注意正弦量所在象限。已知:相量 U1, U2 U3 U4 , ,求: u1 , u2 , u3 , u4 .U2+jU1+1 解:U1 ? 3 ? j 4 u1 ? 5u2 ? 5U3 U4o2 sin( w t ? 53 ?? 1)U2 ? - 3 ? j 4U3 ? - 3 - j 4w t ? 126. 9 o ) 2 sin(u3 ? 5w t - 126. 9 o ) 2 sin(U4 ? 3 - j 4u4 ? 52 sin( w t - 53. 1 )o例4 在下列几种情况下，哪些可以用相量行 运算，如何运算？1. 4 sin 200 t ? 20 sin(314 t ? 30 0 );2. 50 sin 314 t - 100 sin(628t ? 90 0 ); 3. 6 sin(314 t ? 40 ) ? 8 sin(314 t - 40 );0 0解: 只能用相量法计算3式:同频率 正弦量6?40 ? 8? - 4000? 6 cos 40 0 ? j 6 sin 40 0 ? 8 cos 40 0 - j sin 40 0 0 0 ? 14 cos 40 ? j5 sin 40例5 判断下列各式的正误：u ? 100 sin w t ? 100?00瞬时值复数U ? 50 e复数j15 °? 50 2 sin(w t ?15 )o瞬时值i ? 10 sin(w t ? 45 )o有效值10 o I ? ?45 2ou ? 2 10 sin ( w t - 15 )I ? 100 ? 50oU ?10 ?oi ? 100 sin( w t ? 50 )I m ? 2 I ? 100 2最大值小结瞬时值表达式 波形图正弦量的四种表示法i?2I2I sin(wt ? ? )iwtI?I.相量图 相量式?I ? I??瞬时值 --小写 u, i, e；有效值 C 大写 U, I, E； 最大值 --大写+下标m； 复数、相量 --- 大写 + D.‖4.2 单一参数的正弦交流电路4.2.1 电阻元件的交流电路u ? iR设uiRi ? 2 I sinw t ? Im sinw tR R u ? i ? = 2I ? sinw t则= 2U sinw t ? Um w t sini ? 2 I sinw t ? Im sinw t u = 2 I? sinw t ? Um w t sin RI1. 频率关系 2. 相位相同 3. 大小关系 电阻元件上电压、电流同频率U电阻元件上电压、电流同相位U ? IRoUm ? Im Ro4. 相量关系则R I ? I ?0 U ? I? ?0 U ?0 o I ? R U ?IR 或相量关系亦满足欧姆定律即5、功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积iuRi ? 2 I sin (w t ) u ? 2 U sin (w t )2 2p ? u ?? R i ? u / R i小写= 2U sinw t ? 2 I sinw t 2 = 2UI sinw t =UI（1-cos2 w t）p ? u i =UI- UI cos2 w ti u ωtpωt瞬时功率以2w交变，始终大于零，表明电阻 始终吸收功率平均功率（有功功率）P：瞬时功率在一周期内的平均值为平均功率(有功功率)1 T 1 T P ? ? p dt ? ? u ? i dt T 0 T 0大写?? T1T0（UI- UI cos2 w t） dt? UIU? ? R I 2 ? U 2/ R P? IP 的单位：W（瓦）平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有 功功率。表示电路实际消耗的功率.4.2.2 电感元件的正弦交流电路 u、i 基本关系式：设 则di u? L dtiuLi?2 I sin w t2 I?w L cos w t 2 I w L sin( w t ? 90 )odi ? u?L dt ??2 U sin( w t ? 90 )o电感电路中电流、电压的关系i ? 2 I sin w t1. 频率关系 2. 相位关系u ? 2 I w L sin(w t ? 90 )o? 2 U sin(w t ? 90 )o电感元件上电压、电流同频率u 领先 i 90 °u i90?wtIwLUIIw u ? 2 I w Lsin( t ? 90 )o? 2 U sin( t ? 90 ) wo3. 大小关系U ? IwL则：U ? I XL定义：感抗（Ω ）X L ? wL ? 2?fLRXL+ _ω =0时L XL = 0R+_eEω感抗是频率的函数， 表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。感抗有效值感抗:电感在正弦条件下阻抗电流通过的能力XL=U/I=wL=2?fL，称为感抗，单位为? (欧姆) 感抗的性质XL①表示限制电流的能力；②感抗和频率成正比。ww ?0 (直流) X L ? 0, 短路; , w ? ?, X L ? ?, 开路;③由于感抗的存在使电流落后电压。4. 相量关系i ?u ?I2 I sin w tw t ? 90 o ) 2 U sin(oo? I? 0UU ? U ? 90则：? I w L ? 90ooIU ? U? 90 I I? w L ? 90oU ? I ( jX L ) ? jwL I5、功率瞬时功率 p ： i u Li ? 2 I sin wt u ? 2 U sin(wt ? 90 )op ? i ? u ? 2UI sin wt coswt ? UI sin 2wt瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期内刚好 互相抵消，表明电容只储能不耗能。iu Lp ? i ? u ? UI sin 2wtuiiwti u u i u iuP+可逆的 能量转换 过程P &0+P &0P &0P &0储存 能量释放 能量wt平均功率 P （有功功率）1 T P ? ? p dt T 0 1 T ? ? U I sin (2wt ) dt ? 0 T 0纯电感不消耗能量，只和电源行能量 交换（能量的吞吐）。无功功率 Q电感瞬时功率所能达到的最大值。用以 衡量电感电路中能量交换的规模。p ? i ? u ? UI sin 2wtQ ? U I ? I XL ? U2 2XLQ 的单位：乏、千乏 (var、kvar)的大小反映网络与外电路交换功率的速率。 是由储能元件L、C的性质决定的?Q4.2.3 电容元件的正弦交流电路u，i基本关系式:i uCdu i?C dt设： u ?则：2U sin wtdu i?C ? 2UCw coswt dt o ? 2Uw C ? sin(wt ? 90 )电容电路中电流、电压的关系u?2U sin wti?1. 频率关系2Uw C ? sin(wt ? 90 )o电感元件上电压、电流同频率2. 相位关系ui领先 u 90 °i90?wtUwCIUUu?2U sin wti?3. 大小关系2Uw C ? sin(wt ? 90 )oI ? U ?w CXC1 或 U ? I wC定义容抗（Ω ）1 1 ? ? wC 2?fC则：U ? I XC容抗有效值容抗：电容在正弦条件下阻抗电流通过的能力 XC=I/U=1/w C， 称为容抗，单位为 ?(欧姆) 容抗的性质 ①容抗和频率成反比 w?0， |XC|?? 直流开路(隔直) w?? ，|XC|?0 高频短路 ②由于容抗的存在使电流领先电压|XC|w4. 相量关系u ? 2U sin wti ? 2Uw C ? sin(wt ? 90 )o设： U ? U ? 0oI ? I?90 ? Uw C?90ooI则：U? I1wC? - 90ooUU ?I1wC? - 90 ? - jIX C ? I1jw C5、功率瞬时功率 piui ? 2 I sin w t u ? 2U sin(w t - 90 )op ? i ? u ? -U I sin2w t瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期内刚好 互相抵消，表明电容只储能不耗能。p ? i ? u ? -U I sin2wti uωti u放电充电i u p放电iu P&0充电i uP&0释放 能量储存 能量平均功率 P1 T P ? ? Pdt T 0 1 T ? ? - U I sin2wt ? 0 T 0纯电容不消耗能量，只和电源行能量 交换（能量的吞吐）。无功功率 Q 瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）p ? -UI sin 2wtQ ? -UI（电容性无功取负值）Q&0，表示网络“发出”无功功率。注意1. XC、XL与R一样，有阻碍电流的作用。2.适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。3. XL与 f 成正比，XC 与 f 成反比，R 与 f 无关。 对直流电 f=0，L可视为短路 ， ? ? ，C可视为开路。 XC对交流电 f 愈高，XL愈大，XC愈小。R、L、C元件的有功功率和无功功率i+ u i + u i + u -R PR =UI=I2R=U2/R QR =0PL=0L Q =UIsin90? =UI=U2/X =I2X &0 L L LPC=0CQC = -UI=U2/XC=I2XC&0例1 求电容中的电流。i uC已知： C ＝1μFu ? 70.7 2sin(314 t 求：I 、i?6)1 解： X C ? 1 ? ? 3180 Ω -6 ωC 314 ? 10电流有效值I?U 70.7 ? ? 22 . 2 mA XC 3180电流有效值U 70.7 I? ? ? 22 . 2 mA X C 3180i 领先于 u 90°?2 )瞬时值i? ?2 ? 22.2s in(314t 2 ? 22.2s in(314t ?? ?6 3?I ) mA?3-?6U小结：1. 正弦量三要素：Im , w , ? 2. 电阻 电感时域表达式 u=Riu ? L di dt电容i ? C du dt? ? 相量表达式 U ? RI有效值关系 U=RI 相位图 相量关系??? ? U ? jwLI? ? I ? jwCUU=XLI XL= w L?U= XCI XC= 1/(wC)?IUU?I?IU? ? ? ? U与I同相 U L超前于I 90o? ? UC 落后于I 90o4.3 简单正弦交流电路的分析4.3.1 基尔霍夫定律的相量形式对正弦交流电路的σ唤诘:KCL:?I ? 0??i ? 0对正弦交流电路的σ换芈:KVL:?U ? 0??u ? 0R，L，C串联电路设i ? 2 I sin wtiRu ? uR ? uL ? uCuRuLu? 2 IRsinwtouL C? 2 I (wL) sin(wt ? 90 ) 1 o 则 ? 2I ( ) sin(wt - 90 ) wcuC电压和电流的相量关系 相量模型 相量方程式IRU = U R +U L +UCUR UL? 设 I ? I?0?（参考相量）? ? U R ? IR ? ? U L ? I( jX L ) ? ? U C ? I( - jX C )UjXL -jXCUC相量模型相量图IRULUL ?UCUUR ULUC电压 三角形IUjXL -jXCUR先画出参 考相量UC相量表达式：U ? U R ?U L ?UCULU ? U ? (U L - U C )2 R22UL ?UC?2U? ( IR ) ? ( IX L - IX C )?I R 2 ? ( X L- X C ) 2IUCURXL - XC ? ? arctan R相量图的三种情况当UL&UC时（XL&XC）， ? &0 u超前i一个?角。ULUL +UCU电路呈感性UC ULURI当UL&UC时（XL&XC）， ? &0 u滞后i一个?角。URUL +UCI电路呈容性UUC当UL=UC时（XL=XC）， ? =0u与I同相位。ULUR电路呈电阻性UCUI参数设置造成电路性质的不同。 若要改变电路的性质， 只要改变电路的参数设置例1?Z?=2000 ?，f=1000Hz，若从电容两端输出u2 ，通过 相量图说明输出电压与输入电压的相位关系，若两者之 间的相位差为30o，计算R和C。解： 1、画相量图（因是串联电路，取电流为参考相量） UR 2、输出电压滞后于输入电压 I R R 3、 tan30o = I? o 30 uR XC I? C X I? C X1uRu2=0.577CI? U1 R U2R2+XC 2= ?Z? 2 =2000 2解得：R =1000 ?， C =0.1 ?F例2、 图示电路的答案正确否？? U3? 5?V1 6V V2 10V? U10? 8?V1 20V V2 16V(a)Z ? 8? U ? 16 V(b)Z ? 18? U ? 36 V(a )错, U ? 6 2 ? 102 ? 11.66V Z ? 3 2 ? 5 2 ? 5.83?(b) 正确。R，L，C并联电路设ii ? iR ? i L ? i CiR iL iC则L Cu ? 2 U sinw tuRUm i? sin wt R Um o ? sin(wt - 90 ) wL? U mwC sin(wt ? 90 )oI相量模型ICI L ?IC相量图IIR IL ICURjXL -jXC?ILIR电流 三角形U先画出参 考相量相量表达式：I ?I R ?I L ?I?其中： I R?U ? R??CILU ? jX L??ICU ? - jX CI ? I R ? ( IC - I L )22ICIU 2 U U 2 ? ( ) ?( ) R XC X L IL?IRUIC - IL ? ? arctan IR例3、 图示电路的答案正确否？ ? ?II4A A1 4A A24A A1 4A A24?4?4?4?(c) (c)Z ? 2? I ? 8A错, I ?2(d)Z ? 2? I ? 8A?2 242 ? 42 ? 4 2 A ?1? ?1? ? ? ?? ? ? 4? ? 4?2Z ? 1/(d) 正确。例3 电路如图示：已知： XL = XC = R ，I1=10A 求： I2=？ Ic=？I1 UI2 LIcRC解： 1、画相量图（因是并联电路，取电压为参考相量） 由相量图得ICI2IRI2=10 2AIc=10AILUI14.3.2 正弦交流电路的阻抗1. 阻抗 正弦稳态情况下+? I+? Udef? I无源 线性 网络? U-Z欧姆定律的相 量形式 Z ― 复阻抗；|Z| ―复阻抗的模；?z ―阻抗角；? U ? ? U ? IZ Z ? ?| Z | ?φz ? ? I? U U?? u U Z? ? ? ?(? u - ? i ) ?| Z | ??Z ? I I?? i IU Z ? ? I阻抗模 阻抗角? z ? ? u -? iZ的模(阻抗值)为电压和电流有效值之比， Z的幅角(阻抗角)为电压和电流的相位差(电压 超前于电流的角度)。2）.复阻抗的代数形式：Z ? R ? jX ? Z ?? ZR ―电阻(阻抗的实部)；X―电抗(阻抗的虚部)。? | Z |? R 2 ? X 2 ? ? X ? φz ? arctan R ?或R=|Z|cos?zX=|Z|sin?z|Z| ?Z R X是角频率的函数：Z(jw)= R(w)+j X(w)阻抗三角形对于单一电阻、电感、电容的复阻抗分别为:? I ? I? IC + ? U L+ ? U -R+ ? U -? U Z? ?R ? I? ? U 1 U Z ? ? -j ? - jX C Z ? ? jw L ? jX L ? ? I I wC纯电阻 Z R ? R 纯电感 Z ? jwL ? jX 感抗 X L ? wL L L 纯电容 ZC ? 1 ? - jXC 容抗 X C ? 1 jwC wCZ 可以是实数，也可以是虚数。.4）. RLC串联电路IRjw L +.? U 复阻抗 Z ? ? ? I1 ? R ? jwL ? jw C. +U + + ? L UR 1 ? ? U ? U U. UR ? L ?C jω C ? IUC -? R ? j(wL -1? R? jX电阻wC电抗)Z=R+j(w L-1/w C)=|Z|∠? Z. 阻抗三角形：Z ? R ? j ( X L - X C )? Z ??Z ? R ? (X L - XC )2 2X L - XC ? ? tg R-1Z阻抗 三角形?RX ? X L - XCZ 和电路性质的关系Z ? Z ? ? ? R ? j ?X L - X C阻抗角?w 一定时电路性质由参 数决定? ? ?u - ?i ? tg当 XL & XC 时， ?当 XL& X 时，? C-1X L - XCRu 领先 i －－电路呈感性u 落后 i －－电路呈容性 u 、i同相 －－电路呈电阻性&0&00当 XL? XC 时， ? ?? UR _ ? + I+? UL _+? USRL +? UC假设R、L、C已定， 电路性质能否确定？ C__1 ? X L ? wL 、 X C ? wC 当ω不同时，可能出现：不能！XL &XC ，或 XL & XC , 或 XL = XC 。 对于同一电路, 电源的频率不同时，会呈现出不同的性质注意1、RLC串联电路中，所有的电压和电流量都是同 频率的正弦量，可以行加减运算，作相量图。 2、复阻抗Z是一个复数：? U Z? ? I但是Z不代表正弦量，因此不是相量，? 不能写成： Z也不能画相量图。练习：? 1、设 U ? 10?30?（2）U? I? 解：（1）电路为感性 R LZ ? 5 ? j5?（1）判断电路性质，画等效串联电路并计算电路参数。R=XL=5?（2）U=10vU 10 I? ? ? 2A |Z| 5 2? 2、已知： U ? -10?30?? I ? 5? - 60?判断电路性质，画等效串联电路，计算电路参数。? U 10? - 150? 解： Z ? ? ? 2? - 90? ? I 5? - 60?电路为容性XC= 2?2. 阻抗（导纳）的串联和并联 ①阻抗的串联IIUZ1 Z2U1U2UZU = U1 + U2 = I（Z1+Z2）Z= Z1+Z2?XK中，感抗XL取正，容抗XC取负?? ? _ +U _ ? ? _ + U1 + Un 2 _ + ? U? I Z1Z2Zn? I+? U-Z? ? ? ? ? ? U ? U1 ? U 2 ? ? ? U n ? I ( Z1 ? Z 2 ? ? ? Z n ) ? IZZ ? ? Z k ? ? ( Rk ? jX k )分压公式k ?1 k ?1 n n? ? Zi U ? Ui Z②阻抗的并联III1I2UiZ1Z2UiZ1 1 U U ? ? ? U（ ） I ? I1 ? I2 ? Z1 Z2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z? Z1 ? Z 2例1：求图示电路的等效复阻抗。已知： R=1K?，C=1?F，w=1000rad/s解：1 XC ? ? 1000? wCR( - jX C ) - j106 Z eq ? ? R - jX C 1000 - j1000RC?10 ? - 90?32? - 45?? 500 2? - 45?(?)? I+? I2? I1? U 20? _10?例2：已知 u ? 220 2 cos wt( v )10?写出i、i1、i2的瞬时值表达式? 220?0? 220?0? U ? ? 解： I 1 ? ? 10 ? j10 10 2?45? R ? jX L? 11 2? - 45?( A)? U 220?0? ? ? I2 ? 11?90?( A ) ? - jX C 20? - 90?? ? ? I ? I1 ? I 2 ? 11 2? - 45? ? 11?90?? (11 - j11) ? j11? 11Ai1 ? 22 cos(wt - 45?)Ai 2 ? 11 2 cos(wt ? 90?)Ai ? 11 2 cos wt( A)例3 图示电路中，R1=10?，L=0.5H，R2=1000? C=10?F，Us=100V， w=314rad/s。求： ? 各支路的电流和电压 U10? I? US1+R1L+? U10? I1? I2_C0_R2Z10R2 ( - jX C ) 1000( - j318.5) Z10 ? ? ? 92 - j289(?) R2 - jX C 1000 - j318.5Zeq ? R1 ? jX L ? Z10 ? 10 ? j157 ? (92 - j289) ? 102 - j132(?)? I? US1+R1L+? U10? I1? I2_C0_R2? U S ? 100?0? 为参考相量? US 100?0? ?? I ? ? 0.6?52.3? Z eq 167? - 52.3?? ? U10 ? Z10I ? 182? - 20?? I? US1+R1L+? U10? I1? I2_C0_R2? U10 ? 182? - 20?? U10 ? I1 ? ? 0.57?70?( A ) - jX C? U10 ? I2 ? ? 0.18? - 20?( A) R2正弦稳态电路的分析方法1、根据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）R ?R、L ? jXL、 C ? - jXCu ?U、 i ?I、 e ?E2、 用相量图法：选定参考相量，画出相量图，根据 各相量的几何关系求解。 用复数符号法：根据相量模型及支路电流法、结点电 压法、叠加 原理、 戴维宁定理列出相量方程式。 3、将结果变换成要求的形式例4j4(v)j2-j2? I2?2ej0?(A)? 求： I用复数符号法 -j4+j2(-2ej0?)+U使用戴维宁定理j2 j4(v) a -j2 2ej0?(A) b.? U oc0c=0.U0c=8j等效内阻：j2Z0=2j ?等效电路：2j? 8j? I2?? U 8j ?? I ? Z0 ? 2 2 ? 2 j?8j 2 2?45?? 2 2?45?j2-j2? Ij4(v) 2?2ej0?(A)使用叠加定理j2 j2 -j2? I'j4(v) 2?? I' '2?2ej0?(A)? I' ?4j 2j ? 2 ? 2 j 1? j?' ' ? 2 ? 2 j ? 2 j I 2 ? 2 j 1? j? ? ? I ? I' ? I' ' ? 2 2?45?j2 j4(v)? U? I2?-j2 2ej0?(A)使用节点电压法4j/ 2j?2 ? U? ? 4 2?45? 1 1 ? 2j 2 ? U ? ? ? 2 2?45? I 24.3.3 正弦交流电路的功率1、瞬时功率i N+ u _N中不含独立电源，其吸收 的瞬时功率为：p ? uiu ? U m sin(wt ? ? ) i ? I m sin wt则:p ? ui ? U m sin(wt ? ? ) I m sin wt ? UI cos ? - UI cos(2wt ? ? )p(t ) ? UI[cos φ - cos(2wt - φ)]p u oUIcos? 恒定分量。iwtUIcos (2w t －?) 为正弦分量。 ? p 有时为正, 有时为负； ? p&0, 电路吸收功率； ? p&0，电路发出功率；2.有功功率、平均功率 Pu 与 i 的夹角(阻抗角)瞬时功率在一周期内的平均值为平均功率1 T 1 T P ? ?0 pdt ? ?0 [UI cos ? - UI cos( 2wt - ? )]dt T T? UI cosφ大写P ? UI cosφ总电压P 的单位：W（瓦）总电流? =?u-?i ： 功 率 因 数 角 。 对 无 源 网 络 ， 为其等效阻抗的阻抗角。cos ? ：功率因数。一般地 , 有： 0??cos???1 电感元件, ? =90o cos? =0 电容元件, ? = -90o cos? =0 电阻元件, ? =0o cos? =1X&0, ? &0 , 感性，滞后功率因数X&0, ? &0 ,容性，超前功率因数结论平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为 有功功率。表示电路实际消耗的功率.3. 无功功率 Q (reactive power)瞬时功率的可逆分量在一周期内的最大值为无功功率。Q ? UI sin φdef单位：var (乏)。? Q&0，表示网络“吸收”无功功率； ? Q&0，表示网络“发出”无功功率。 ? Q＝0，阻性，网络与外界没有能量交换。 ?Q的大小反映网络与外电路交换功率的速 率。是由储能元件L、C的性质决定的R、L、C元件的有功功率和无功功率i+ u i + u i + u -R PR =UIcos ? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R QR =UIsin ? =UIsin0? =0 PL=UIcos ? =UIcos90? =0LQL =UIsin ? =UIsin90? =UI=U2/XL=I2XL&0PC=UIcos ? =UIcos(-90?)=0C QC =UIsin ? =UIsin (-90?)= -UI=-U2/XC=-I2XC&04. 视在功率S (apparent power) 定义电压电流有效值的乘积为视在功率S ? UIdef单位: VA (伏安)电气设备的容量有功，无功，视在功率的关系：P=UIcos? 无功功率: Q=UIsin?有功功率: 视在功率: S=UI单位：W 单位：var 单位：VAS?P ?Q22S?Q功率三角形S? UZ?RX L - XC? ? UL ? UCQ P? UR阻抗三角形| Z |? R 2 ? ( X L - XC )2电压三角形U ? U 2 ? (U L - U C )2 R功率三角形S ? P2 ? Q2R ?| Z | cos ?XL - XC ?| Z | sin?U R ? U cos ?U L - UC ? U sin?P ? S cos ? Q ? S sin?例1. 在RLC串联电路中，已知 R=20?，L=0.25H， C=50?F，正弦电压源U=220V，f=50Hz。试求：（1）感 抗XL，容抗XC，电抗X，阻抗|Z|，阻抗角?，复阻抗Z； ? ? ? （2）电流I和(3)R,L和C上的电压 U R , U L , U C 及uR , uL , uC ； （4）平均功率P；（5）当f变化时，电流i是否变化？解：（1） w ? 2 ? 3.14? 50 ? 314rad / sX L ? wL ? 314? 0.25 ? 78.5?1 1 XC ? ? ? 63.7? -6 wC 314? 50 ? 10 X ? X L - X C ? 78.5 - 63.7 ? 14.8? Z ? R 2 ? X 2 ? 202 ? 14.8 2 ? 24.9? X 14.8 ? ? arctg ? arctg ? 36.5? R 20 Z ? R ? jX ? 20 ? j14.8?U 220 ? ? 8.84A （2） I ? Z 24.9 设u ? 220 2 cos 314tV , 则 : i ? 8.84 2 cos(314t - 36.5? )A ? （3） I ? 8.84? - 36.5? A ? ? U ? IR ? 176.8? - 36.5? VR? ? U L ? jX L I ? 693.94? 53.5? V ? ? U C ? - jX C I ? 563.11 - 126.5? V ? uR ? 176.8 2 sin(314t - 36.5? )V uL ? 693.94 2 sin(314t ? 53.5? )V（4）P ? UICOS? ? 220 ? 8.84 ? COS36.5? ? 1562.9WuC ? 563.11 2 sin(314t - 126.5? )V例2. 图示电路， ? 220 2 cos(314t ? 30?)V, i ? 5.4 2 cos(314t - 54?)A u 试求：（1）二端网络的串联等效电路；（2）二端网络 的功率因数，输入的有功功率和无功功率。u i 无源 网络? U 220?30? (1) Z ? ? ? 40.7?84? ? 4.25 ? j 40.48? ? 5.4? - 54? I所以等效电路的 R=4.25 ? ，XL=40.48? X L 40.48 L? ? ? 0.129H w 314（2）cos ? ? cos 84? ? 0.105P ? UI cos ? ? 220? 5.4 ? 0.105 ? 124.7 W Q ? UI sin? ? 220? 5.4 ? sin84? ? 1181.5Var4. 功率因数的提高功率因数： COS? = P/S? ：电路的阻抗角1）功率因数低的影响： 传递功率一定时，增加线路损耗P = UICOS ?P I? U cos ?COS ? ? ? I? ? I2r ?电源的利用率低P = UICOS ? = SCOS ? 当COS ? = 0.5时，利用率为50%2）功率因数低的原因： 工业负载及日常用电中，大部分为感性负载iRuRuLULUuL?URI常用电路的功率因数纯电阻电路 纯电感电路或 纯电容电路 COS ? ? 1(? ? 0 )COS ? ? 0 (? ? 90o )R-L-C串联电路电动机空载满载 日光灯 （R-L串联电路）0 & COS? & 1 ( -90o & ? & ?90o )COS? ? 0.2 ~ 0.3 COS? ? 0 .7 ~ 0 .9COS ? ? 0 .5 ~ 0 . 63) 提高功率因数的原则必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载 上的电压和负载的有功功率不变。 4) 提高功率因数的措施:在感性负载 两端并电容iRuRuLuCL5) 并联电容值的计算设原电路的功率因数为cos?1，要求补偿到cos? 须并联多大电容？（设 U、P 为已知）iRICuRuLuCULIIRL显然，?1?? &?1cos? & cos?1分析依据：补偿前后 P、U 不变。由相量图可知：IC ? IRL sin?1 -I sin?P IRL? U cos ? 1 ICUP ?UIRL cos? 1P ? UI cos ?IC ?U XCI?P?U w CU cos ?IIRL?1?P P \U wC ? sin ?1 sin ? U cos ? 1 U cos ?P P U wC ? sin ?1 sin ? U cos ?1 U cos ?P ?1 - tg ? ) C ? 2 ( tg wUiRuRuL?1 ：负载的阻抗角CuL? ：并联电容后电路的阻抗角6）提高功率因数的讨论IC? &0UIIC? ?0I UIC? &0I UIRL呈电感性IRL呈电阻性IRL呈电容性cos? & 1欠补偿cos? ? 1全补偿cos? & 1过补偿一般情况下很难做到完全补偿 （即： cos? ? 1）功率因数补偿成感性好，还是容性好？ICI?UC 较大IC欠 补 偿 过 补 偿IUIRLIRL感性（ C 较小） 容性（ C 较大）从经济上考虑，一般工作在欠补偿状态。并联电容补偿后，电路中哪些量发生变化？哪些量不变？iRICuRuLuCI & IRLUL? & ?1cos? ， I ， QIIRL变化的量 线路的总?1?不变的量感性负载的电压不变，所以其IRL、COS ?1 、P均不变因电容不产生 有功功率，所以线路的总功率不变。提高功率因数除并电容外，用串联电容方法行不行？补偿前 补偿后串电容 行否? C R Li uR LiuRL大小不等！uuRLURL ?UU RL?I UCU? ?0Iuc iC uURLRU RL & UUIuRLUCL串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到1，但 不可以这样做！ 原因是：在外加电压不变的情况下，负载得不到所 需的额定工作电压。例 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos?1=0.6，要使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前 ? ? IC I 后电路的总电流各为多大？解P L C? ( tgφ1 - tgφ2 ) wU 2 10 ? 103 ? ( tg53.13o - tg 25.84o ) ? 557 ? F 2 314 ? 220 P 10 ?103 ? ? 75.8A 未并电容时： I ? I L ? U cos ?1 220 ? 0.6 P 10 ?103 并联电容后： I? ? ? 50.5A U cos ? 2 220 ? 0.9cos φ1 ? 0.6 ? φ1 ? 53.13 o cos φ2 ? 0.9 ? φ2 ? 25.84o+? U _R? ILC若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增 加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？ 解cos φ1 ? 0.9 ? φ1 ? 25.84o cos φ2 ? 0.95 ? φ2 ? 18.19oP 10 ? 103 C? (tgφ1 - tgφ2 ) I? ? 47.8A 2 wU 220 ? 0.95 10 ? 10 3 ? (tg 25.84o - tg18.19o ) ? 103? F 314 ? 2202cos? 提高后，线路上总电流减少，但继 续提高cos? 所需电容很大，增加成本，总电流减 小却不明显。因此一般将cos? 提高到0.9即可。注意4.4 电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊 物理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广 泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。谐振的定义：含R、L 、 C的一端口电路，在特定条件下出现端 口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。? I? UR,L,C 电路? U ?Z ?R ? I发生 谐振4.4.1 串联谐振 1.串联谐振的条件Z ? R ? j( ωL - 1 ) ? R ? j( X L ? X C ) ωC ? R ? jX?I+?U_R jw L 1 jwC当 X ?0 ?ω 0 L ? 1 时，电路发生谐振 。 w0C谐振条件谐振角频率ω0 ?f0 ?1 LC仅与电路参数有关1 2π LC谐振频率串联电路实现谐振的方式： (1) L C 不变，改变 ww0由电路参数决定，一个R L C串联电路只有一 个对应的w0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。(2)电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。2、参数 ①特性阻抗? ? w0L ? 1 ? L w 0C C单位：?② 品质因数 定义：电路处于串联谐振时，电感或 电容上的电压和总电压之比。Uc UL 1 L ρ ω 0L 1 Q? ? ? ? ? ? R R ω 0 RC U U R C无量纲3. RLC串联电路谐振时的特点? ? (1). 谐振时U 与I 同相 .入端阻抗为纯电阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。(2) 电流I 和电阻电压UR达到最大值 I0=U/R (U一定)。X＝0 Z ? RZ ?R ? ?X L - X C2? ?R2最小IU I ? I0 ? Imax ? RI0最大0 ωω?(3)谐振时元件上的电压+IR + ? UL + ? UC jw LU ? U R ? IRU L ? I ? w0 L ? IR ??w0 LUR I ? - IR ? UQ UC ? w0C Rw0C谐振时电感电压和电容电压有效值相等 ，均 为外施电压的Q倍? UQ_1 jω C在电路的Q值较高时，电感电压和电容电压的 数值都将进大于外施电压的数值串联谐振又称电压谐振谐振时出现过电压当 ?＝w0L=1/(w0C )&&R 时， Q&&1 UL= UC =QU &&U(4) LC上的电压大小相等，相位相反，串联 总电压为零，也称电压谐振，即UL ? UC ? 0, LC相当于短路。 ? 电源电压全部加在电阻上，? R ? U U? ?UL?I+?R jw L1 jω CURUL ? U C ? 0 X ?0? ?IU _UUC?I(5).阻抗频率特性 频率特性：R? UL? UC+?+jw L1 jω CU _+ -阻抗、电压电流随频率变化的特性称为频率特性 阻抗 幅频特性 相频特性Z ? R ? j(ωL - 1 ) ?| Z (ω) | ?φ (ω) ωC1 )2 | Z (ω) |? R ? (wL wC wL - 1 wC φ (ω) ? tg -1 R2| Z (w ) ||Z(w )|XL(w ) X(w )R 0w0XC(w )阻抗幅频特性w感性 ?w &w ? 0容性 ?w & w ? 0| Z (ω) |? R 2 ? (wL - 1 )2 wC(6) 谐振时的功率i2 2LCP ? UI cos? ? UI ? RI ? U / R电源向电路输送电阻消耗的功率 电阻功率达到最大+QP R_1 QL ? ω0 LI , QC ? I 2 ? -w 0 LI 2 ω0C2Q = UIsin ? =QL＋QC＝ 0电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中 的无功大小相等，互相补偿，彼此行能量交换。(7).串联谐振特性曲线U I0 ? R谐振电流 谐振频率 下限截止频率 上限截止频率 I0 2II0f0f1f2Df ? f2 - f1 通频带f1 f 0 f 2fR愈小，曲线愈尖锐，Q值愈大（选择性愈好）R愈大，通频带愈宽，Q值愈小（选择性愈差）串联谐振应用举例收音机接收电路RL2L2L1Ce1自3个不同电台e 1 ,e 2 ,e 3为来CL2 L3L1 : 接收天线e2 e3（不同频率）的电动势信号L 2 与 C ：组成谐振电路 选出所需的电台。L2 - C 组成谐振电路 ，L3: 将选择的信号送 接收电路例1RL2L2在如图所示的收音机选频电路中,已知: L2 ? 250? H，RL2 ? 20 ?。 求：1）欲收听 f1 ? 820 kHz 的广播，C = ？ 2）当E1=10 ?V时，UC1=？解：1）1 ? fCe11 2? L 2C 1C ??2 ? f ?2 L 21e2 e3C??2? ? 820 ? 103? 2 ? 250 ? 10 - 6? 150 pF所希望的信号 被放大了64倍2） f ? 820 kHz 1 XL ? XC? wL ? 2? f1L? 1290? E1 ? ? A I ? RL2 0.5 UC1 ? IXC ? 645 ? V4.4.2 并联谐振(电容与线圈并联的电路)IUICIRLICIIRLUI , U 同相时则谐振谐振时阻抗角为0（Z的虚部为0）I ? IRL ? IC1.并联谐振条件Z?? （R ? j w L）jwC R ? jwL ? w R C - w 2LC ? 1 jR ? jwL ?jwC11IUICIRL通常满足：w0L&&R，所以在谐振时上式可等效为?jwLw R C - w 2LC ? 1 jZ?? ?R ? jwL j w R C - w 2LC ? 1 jwL当? =0wC ? w L1时电路谐振w R C - w 2LC ? 1 j1谐振频率：RC ? w - j j C L1wL11 w0 ? LC f0 ?1 2? LC?1 RC ? w j （ C - wL） L2. 并联谐振的特点IC1）2）U,I 同相。电路的总阻抗最大。 电压一定时，电流最小IUZ 0 = Z max =L RCIRL= U = I min I ZO3）并联支路中产生大电流ICIUICIRL支路电流可能 大于总电流IUIRL并联谐振亦称电流谐振4）品质因数--Q :Q为支路电流和总电流之比。? U ? w 0CU IC XCIUICIRLU ? RC I? U Z0 L IC ? w 0 L Q ? I R当 w 0 L && R 时,若w0L & R 则 IC & IQ?IRL ? IC1 w 0 CR*4.5 非正弦周期信号的电路1.非正弦周期交流信号的特点 (1)不是正弦波 (2)按周期规律变化f ( t ) ? f ( t ? nT )2.非正弦周期信号的几种情况①.发电机发出电压的不是严格的正弦波 ②.交直流共存电路 +VEs③.半波整流电路④.示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波⑤ 脉冲电路中的脉冲信号tT3. 非正弦周期性电路的分析方法①傅里叶级数分解通过傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分 解成一系列频率为基波频率整数倍（包括直流） 的正弦函数，称为各次谐波分量。②叠加原理分析各次谐波分量单独激励下的电路响应，最后, 利用叠加原理将它们在时域内叠加,得到总响应。4.5.1 周期函数分解为傅里叶级数若周期函数满足狄利赫利条件：①周期函数极值点的数目为有限个；②间断点的数目为有限个；③在一个周期内绝对可积，即：T?0f (t ) dt & ?可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。1、傅里叶级数傅里叶，法国数学家，物 理学家（）周期函数展开成傅里叶级数： 直流分量f (t ) ? A0 ? A1m cos(w1t ? ?1 ) ?? A2 m cos( 2w1t ? ?2 ) ? ?基波（和原 函数同频）二次谐波 （2倍频） 高次谐波? Anm cos( nw1t ? ?n ) ?? k ?1f (t ) ? A0 ? ? Akm cos(kw1t ? ?k )f (t ) ? A0 ? ? Akm COS (kw1t ? ?k )k ?1?A0； 直流分量 ：一次谐波分量，基波A1m COS (w1t ? ?1 )A2 m COS (2w1t ? ?2 ) ：二次谐波分量AkmCOS (kw1t ? ?k ) ：k 次谐波分量K为奇数时称 为奇次谐波 K为偶数时称 为偶次谐波 K&2时称为 高次谐波非正弦周期交流电路的谐波分析法利用傅里叶级数展开法将非正弦周期激 分解为一系列不同频率的正弦量之和。 分别计算在各种频率正弦量的单独作用下 电路中引起的响应。 应用叠加原理将各响应瞬时值叠加。4.5.2 非正弦周期量的有效值和平均值1. 有效值 有效值的热效应公式（以i为例）：1 T 2 I? ?0 i dt Ti ? I 0 ? ? I km cos( kwt ? ? k )k ?1?I ? I ? I ? I ?? ? I ? ?I2 0 2 1 2 2 2 0 k ?1?2 kI ? I ? I ? I ??2 0 2 1 2 2I0 ―― 直流分量I1 ―― 一次谐波的有效值 Ik ―― k次谐波的有效值U ? U ? U ? U ??2 0 2 1 2 2非正弦周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。例1 一非正弦周期电压为：u ? 100 ? 50 cos(t - 30?) ? 10 cos(2t ? 60?) - 5 cos(3t -120 ?)求该电压的有效值?解： U ? U 0 2 ? U 1 2 ? U 2 2 ? U 3 2 ? ?50 2 10 2 5 2 ? 100 ? ( ) ?( ) ?( ) ? 106.36V 2 2 222 .非正弦周期量的平均值方法1 T U 0 ? ? udt T 01 T I 0 ? ? idt T 0平均值=傅里叶级数的恒定分量。 平均值=面积周期面积：一个周期内，波形与横轴的面积 横轴上为正、下为负。4.5.3 非正弦周期电流电路的计算步骤1.把给定的非正弦周期电压（电流）分解为 傅里叶级数，高次谐波取到哪一项为止，视 准确度而定。2. 分别计算恒定分量和各谐波分量单独作用 时的稳态电压和电流； 3. 将以上计算结果，用瞬时值迭加。绝不能 将各次谐波响应的相量直接叠加。非正弦周期交流电路的功率1、瞬时功率p = ui ?? [U 0 ? ? U km cos(kwt ? ? uk )] ? [I 0 ? ? I km cos(kwt ? ? ik )]k ?1 k ?1?2、有功功率1 T P ? ? pdt T 0不同频率的正弦电压与电流乘积的积分等于 0? 1 T P ? ? pdt ? U 0 I 0 ? ? U k I k cos ?k T 0 k ?1? P0 ? P1 ? P2 ? ?? 非正弦周期电路的平均功率等于 ――恒定分量和各次谐波平均功率的代数和。各次谐波电压、电流产生的有功功率具有可加性。? 不同频率的电压和电流之间不产生有功功率。END}