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数学分析练习题七
一、 叙述题（每小题10分，共20分）
1． 叙述第二类曲线积分的定义。
2． 叙述格林公式的内容。
二、 计算题（每小题10分，共60分）
1．求I (x y)ds ，此处l为联结三点O(0,0), A(1,0), B(1,1)
的直线段。 l
2．计算二重积分I 22(x y)dxdy。其中
是以y x,y x a,y a和
(a 0)为边的平行四边形。
3．一页长方形白纸，要求印刷面积占A cm2，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为h cm，左部与右部之和为r cm，试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的总面积为最小。
4．计算三重积分I
Vx2y2z2x2y2z2(2 2 2)dxdydz。其中V是椭球体2 2 2 1。
dx (b a 0)的值。 x5．计算含参变量积分
0 2u6、设u f(x y z,xyz),f具有二阶连续偏导数，求
三 、讨论题（每小题10分，共20分）
1． 讨论积分
xcosx的敛散性。 pqx x
xy2dydz yz2dzdx zx2dxdyS2、计算曲面积分,其中S为下半椭球
2 2 1,z 02bc面:a的上侧.
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数学分析练习题1.7_数学_小学教育_教育专区。史济怀数学分析教程课后练习题解答练习题1.7 February 1, .1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 第一章 实...数学分析习题集答案7_理学_高等教育_教育专区。数学分析习题集答案,收藏于习题集同个文辑!第七章第1节 5. (1) 可积. (2) 不可积. (3) 不可积. (4)...数学分析试题及答案_一年级数学_数学_小学教育_教育专区。试题复旦大学 ...水全部抽干要做多少功?(答案可保留水的比重 ρ 与重力加速度 g ) 3 7....北京大学2011年数学分析试题+简评New(除5题和7题外)_理学_高等教育_教育专区。北京大学2011年数学分析试题本文由 SCIbird 编辑 北京大学 2011 年数学分析试题 简评...数学系第二学期《数学分析》期末考试题7第二学期《数学分析》期末考试题 学期《数学分析...中央电大本科数学分析专...1/2 相关文档推荐 中央电大本科数学分析专... 暂无...析专题研究试题2011年7...七八年级数学知识点全总结及七年级重点章节习题及答案_数学_初中教育_教育专区。...人教版八年级下册主要包括了分式、反比例函数、勾股定理、 四边形、数据的分析五...七年级上册数学基础训练答案_数学_初中教育_教育专区。选择题 1、两个互为相反...分析:由于有两个负数和两个正数,故任取其中两个数相乘,最大的数为正数, 且...人教版五年级上册数学底七单元试卷分析_数学_小学教育_教育专区。五年级数学上册...这是一道开放性试题,需要学生发挥想象,自己 编排房间号码,一些学生对这类题目...练习七_数学_小学教育_教育专区。南师大仪器分析试题练习七 1.D 2.B 3.A 11.D 12. B 13. C 21.B 22.A 23.D 一、单项选择题(每小题 1 4.A 14...当前位置： >>
习题(数学分析)
复变函数与积分变换习题集第一章 复数与复变函数一、 判断题（8）平面点集 z ? 2 是单联通区域。 （9）如果 z 不是实数，则 a rg z ? ?a rg z 。 二、 选择题5 5 cos( ? ) ? i sin( ? ) 6 6 时， z ?2009 ? z 2357 ? z ?256
? z 74 的值等于（ 1．当 z ? 1 1 cos( ? ) ? i sin( ? ) 3 3 （A） i （B） ? i （C） 0 （D） 1 2．一个复数乘以 ? i ，则( )（A）复数的模不变，辐角减少?/2。 （B）复数的模不变，辐角增加?/2。 （C）复数的模增加，辐角减少?/2。 （D）复数的模减少，辐角增加?/2。 3.设复数 z 满足 arc( z ? 2) ?）?3， arc( z ? 2) ?5? ，那么 z ? （ 6）（A） ? 1 ? 3i 4．复数 z ? tan? ? i (（B） ?3?i（C） ?1 3 ? i 2 2）（D） ?3 1 ? i 2 2? ? ? ? ? ) 的三角表示式是（ 2? （A） se c [cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )]2 2??? （B） se c [cos(3? 3? ? ? ) ? i sin( ? ? )] 2 2? （C） ? se c [cos(3? 3? ? ? ? ? ) ? i sin( ? ? )]（D） ? se c? [cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )] 2 2 2 21复变函数与积分变换习题集5． x, y 为实数，z1 ? x ? 6 ? yi, z 2 ? x ? 6 ? yi 且有 z1 ? z 2 ? 12 ， 设 则动点 ( x, y ) 的 轨迹是（ ） （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线６． ．一个向量顺时针旋转? ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 3） （C） 3 ? i （D） 3 ? i ）1 ? 3i ，则原向量对应的复数是（（A） 2 （B） 1 ? 3i7．设 z 为复数，则方程组 ??2 z1 ? z 2 ? i 的解是（ ?(1 ? i ) z1 ? iz 2 ? 4 ? 3i3 6 ? ? z1 ? ? 5 ? 5 i ? （B） ? ? z ? ? 6 ? 17 i ? 2 5 5 ?3 6 ? ? z1 ? ? 5 ? 5 i ? （A） ? ? z ? ? 6 ? 17 i ? 2 5 5 ? 3 6 ? ? z1 ? ? 5 ? 5 i ? （D） ? ? z ? ? 6 ? 17 i ? 2 5 5 ?8．方程 z ? 2 ? 3i ?3 6 ? ? z1 ? ? 5 ? 5 i ? （C） ? ? z ? ? 6 ? 17 i ? 2 5 5 ?2 所代表的曲线是（） （B）中心为 ? 2 ? 3i ，半径为２的圆周（A）中心为 2 ? 3i ，半径为 2 的圆周（C）中心为 ? 2 ? 3i ，半径为 2 的圆周 （D）中心为 2 ? 3i ，半径为２的圆周 9．下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（ （A） ）z ?1 ?2 z ?1Im z ? 0（B） z ? 3 ? z ? 3 ? 4 （D） zz ? az ? a z ? aa ? c ? 0 (c ? 0)n（C） 1 ? Re z ? 2,10．设 z ? C 且 z ? 1 ， a 为复数，则函数 f ( z ) ?| z ? a | 的最大值为（2）复变函数与积分变换习题集（A） 1? | a |（B）1（C）2（D） | 1 ? a |三、填空题 1．设 z ?( 3 ? 4i )(2 ? 5i ) ，则 Im z ? 2i 2i ，则 arg z ? ?1? i2．设 z ?3．复数 1 ? sin 1 ? i cos 1 的指数表示式为 4．设 z ?5 , arg(z ? i ) ?43? ，则 z ? 45．以方程 z ? 3 ? 7i 的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式 z ? 2 ? z ? 2 ? 12 所表示的区域是 连通区域７．方程2z ? 1 ? i ? 1 所表示曲线的直角坐标方程为 2 ? (1 ? i ) zz ?1 |? a , 0 ? a ? 1 所表示的区域是圆的 z ?1部。８．不等式 |四、若复数 z 满足 zz ? (1 ? 2i )z ? (1 ? 2i )z ? 3 ? 0 ，试求 z ? 2 的取值范围． 五、设 z 1 , z 2 是两个复数且满足 z1 ? z 2 , z1 z 2 都是负实数，证明 z 1 , z 2 必为实数。 六、设复数 | z |? 1, ，试证 Re [1 1 ]? . 1? z 2七、试证非零复数 z 1 , z 2 满足 z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 的充要条件是他们有相同的辅角. 八、设 z ? x ? iy ，试证x? y 2? z ? x? y.九．指出下列各题中点z的存在范围，是否区域，若是，指出是有界区域还是无界区域，单联通 还是多连通的。3复变函数与积分变换习题集（1） Im 2 z ? 1 ； （2） | z ? 1 |? 2（3） 0 ?| z |? 1 ； （4） ?1?? arg z ? ?（5） | z ? 1 |? 4 | z ? 1 | （6） | z ? 2 | ? | z ? 2 |? 6 （7） | z ? 1 |? Re z ? 1 （8） Re (iz ) ? 3答案一、√，√，?，?，?，?，√，?，√ 二、(1) C (2)A (3)A (4)D (5)C (6)A (7)B (8)C (9)A (10)A 三、1． ? 13 8。 外 四、 [ 5 ? 2 , 5 ? 2 ] （或 5 ? 2 ? z ? 2 ? 九、(1)直线 y ? 连通区域 ． 5? 2） 2。 ?3 ? 1 i( ? ) ? 3。 2 cos( ? )e 4 2 4。 ? 1 ? 2i 5。4 6。单 7。 x 2 ? y 2 ? 1 4 4 2? 11 的左边，无界单联通区域。 （2）以 1 为心，以 2 为心的圆的外部，无界多 2（3）以原点为心的去心单位圆，有界多连通区域。 （4）角形域，无界单联通区域. （5）圆 ( x ?17 2 8 x2 y2 ) ? y 2 ? ( ) 2 的外部，无界多连通区域 （6）椭圆 ? ? 1 的内 15 15 9 52 部，有界单联通区域。 （7）圆抛物线 y ? 4 x ，不是区域. （8）直线 x ? ? 3 不是区域.4复变函数与积分变换习题集第二章 解析函数三、 判断题 （1）设 f (z ) 为整函数，则 f (1 / z ) 也是整函数。 （2）设 f (z ) 和 g(z ) 均为整函数，则 f ( g( z )) 也是整函数。 （3）设 f (z ) 和 g(z ) 均为整函数，则 5 f ( z ) ? ig( z ) 也是整函数。 （4）若 u, v 在区域 D 内满足柯西-黎曼方程，则 f ( z ) ? u ? iv 在 D 内解析 （5）若 f ( z ), f ( z ) 均在区域 D 内解析，则 f (z ) 在区域 D 内为常数. (6 )指数函数 e 是以 2? i 为周期的函数。z（7） sin z 在整个复平面上有界. ( 8 ) 对任意复数 z ? 0, ? , Ln(? z ) ? Ln z 。 四、 选择题 ）1．设 f (z ) 和 g(z ) 均为整函数，下列命题错误的是（ （A） f ( z ) 是整函数 （C）3（B） f ( z ) g( z ) 是整函数 （D） g( z ? 2) 是整函数2f (z) 是整函数 g( z )2 2 2．函数 f ( z ) ? x ? iy 在点 z ? 0 处是()（A）解析的 （C）不可导的（B）可导的 （D）既不解析也不可导 )3．假设点 z0 是函数 f (z ) 的奇点，则函数 f (z ) 在点 z0 处( （A）不可导 （B）不解析 （C）不连续 （D）以上答案都不对 4．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( ) （A） x ? y ? 2 xyi2 2（B） x ? xyi25复变函数与积分变换习题集（C） 2( x ? 1) y ? i ( y 2 ? x 2 ? 2 x ) 5．函数 f ( z ) ? z Re (z ) 在 z ? 0 处的导数( （A）等于 0 （B）等于 1（D） x 3 ? 3 xy2 ? 3 x ? i ( y 3 ? 3 x 2 y ? 3 y) ) （C）等于 ? 1 ) （D）不存在6．函数 x 3 ? 3 xy2 ? 3 x ? i ( y 3 ? 3 x 2 y ? 3 y) 在复平面内 ( （A）处处解析 （B）处处可导 7． ．设 ? 为任意实数，则 1 (?（C）在坐标轴上可导 （D）在坐标轴上解析) （B）等于 1 （D）是复数，其模等于 1 ) （D） 2ie?1（A）无定义 （C）是复数，其实部等于 1 8．设 f ( z ) ? e x （A） 2e 9．设 ? 是复数，则(?2? y2[cos( xy) ? i sin( xy)] ，则 f ?(1) ? ( 2 2（B） 2 ei )? （B） z 的模为 z（C） 2e?1（A） z 在复平面上处处解析 （C） z 一般是多值函数 10．下列数中，为实数的是( （A） (1 ? i ) 3 三、填空题 1．假设 f ( z ) ? cos(2 z ) ? i sin( ) ，则 )??（D） z 的辐角为 z 的辐角的 ? 倍?（B） cos i（C） ln i（D） e3? i 2?1 zdf ? dz2．设 f ( z ) ? u ? iv 在区域 D 内是解析的，如果 u ? v 是实常数，那么 f (z ) 在 D 内是2 2 3．设 f ( z ) ? x ? y ? y ? 2 ? ix ，则 f ?(0) ?4．设 f ( z ) ? 5．cos(iln5)=1 5 z ? (1 ? i ) z ，则方程 f ?( z ) ? 0 的所有根为 51 26．复数 Ln(i ) ?6复变函数与积分变换习题集7．复数 (?i ) 2 ? 8．Ln(cosi)=3 9． Im{ln( ? 4i )} ?10．方程 1 ? e?z? 0 的全部解为四、证明：如果 f (z ) 在 z0 连续，则函数 f ( z ), Re f ( z ), Im f ( z ), | f ( z ) | 都在 z0 处连续.? 2z ,z?0 ? 五、设 f ( z ) ? ? z ? 1 , 指出它在哪些点处不连续，并说明原因. ?1, z?0 ?六、讨论下列函数的解析性： （1）z z?22（2） | z | ?2 z （3） xy ? ix y （4） x ? y ? 2 x y i2 2 2 3 3 2 2 ?y（5） x ? y ? x ? i (2 xy ? y ) （6） e2 2(cos x ? i sinx )七、求 e 的实部、虚部。 八．求下列初等函数的值。 （1） e( 2? i ) 4ez?（2） Ln( 3 ? i ) （3） (?1) ? i ； （4） sin 2i1 （5） cos( ? i ) （6）e 1 ? 3 ?i e? 1? i 2?（7） (1 ? i )1? i九、解方程： （1） sin z ? cos z ? 0（2） ln (2iz ) ? 2 ??2i （3） e 2 z ? e z ? 1 ? 0答案一、?，√，√，?，√，√，?，? 二、(1) C (2)B (3)B (4)D (5) A (6) C (7)B (8) A (9) C (10)B?三、 ? 2 sin( z ) ? (i / z ) cos( / z ) 1． 2 12i 2 2。 常值函数 3。 4。 e1 84? 2 k? 4 i5。1 15 ( 6。 k ? )?i 7。 4 37复变函数与积分变换习题集e ? (? ? 4k? ) i8。 lne ?1 ? e ? 2k?i 29。 ? arctg4 10。 ? 2 k?i 3五、除 z ? ?1,0 外连续. 六、 （1）处处不解析（2）仅在原点可导，处处不解析 在 ( 0,0), ( , ) 处可导，处处不解析 （5）在直线 y ?x x co s y（3）在原点可导，处处不解析（4）仅3 3 4 41 上可导，处处不解析 （6）处处解析 2七、实部为 e ecos ycos(e x sin y) ， 虚部为 e esin( x sin y) 。 e八．求下列初等函数的值。 （1） e (2? i ( e 2 ? e ?2 ) 2 2 ?i ) （2） ln 2 ? ( ? 2k? )i （3） e ? ? 2k? ； （4） 6 2 2 2（7） e1 ? ? 1 ln 2 ? ? 2 k? ? ( ? 2 k? ? ln 2 ) i 2 4 4 2e ? e ?1 e ? e ?1 cos1 ? i sin1 （6） ie 2 （5） 2 2九、解方程： （1） z ? ??4? k? （2） 2 e1 4( ? k? ) i 8?（3） (2? 4? ? 2k? )i ， ( ? 2k? )i 3 38复变函数与积分变换习题集第三章复变函数的积分）五、 判断题 （1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。 （ （2） 有界整函数必为常数。 （ ） （3） 积分z?a ?r?1 dz 的值与半径 r ( r ? 0) 的大小无关。 （ z?a）（4） 若在区域 D 内有 f ?( z ) ? g( z ) ，则在 D 内 g ?(z ) 存在且解析。 （）（5） 若 f (z ) 在 0 ? z ? 1 内解析，且沿任何圆周 c : z ? r (0 ? r ? 1) 的积分等于零，则f (z ) 在 z ? 0 处解析。 （（6）） ）设 v 1 , v 2 在区域 D 内均为 u 的共轭调和函数，则必有 v 1 ? v 2 。 （（7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。 （ ） （8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。 （ ） 二、选择题： 1．设 C 为从原点沿 0 至 1 ? 2i 的有向线段，则 Re z d z ? (C?)（A）1 ?i 2（B） ?1 ?i 2（C）1 ?i 2（D） ?1 ?i 2)2．设 C 为不经过点 0,1 与 ? i 的正向简单闭曲线，则?C1 d z 为( z( z ? 1) 2 ( z ? i )（D）(A)(B)(C)都有可能（A）?i 2（B） ??i2（C） 03．设 C 为从 1 沿 x ? y ? 1 至 i 的直线段，则 （A） ? i （B） i （C） 1?C( x 2 ? y 2 ) d x ? 2 xy d y ? (（D） ? 1 ) （D） 2?i1)4．设 C 为正向圆周 z ? 2 ，则 （A） ? 2?ie?z ? (1 ? z ) 2 d z ? ( c（C） 2e?i（B） ? 2e?i9复变函数与积分变换习题集5．设 C 为正向圆周 z ?1 ，则 ? C 2( z ? 2) 3 sin1 z ? 2 dz ? ( z 2 ? 6 z ? 10（C） 6?i cos 1 )) （D） ? 2?i sin 1（A） 2?i (3 cos1 ? sin1) 6．设 f ( z ) ?（B） 0e? d? ，其中 z ? 4 ，则 f ?(?i） ( ? ? 3 ? ? 4 (? ? z )（B） ? 1 （C） ?i（A） ? ?i（D） 1sin ( z ) 2 2 4 dz ? ( 7．设 C 为正向圆周 x ? y ? 2 x ? 0 ，则 ? 2 C z ?1（A）?)2 ?i 22 2（B） 2?i（C） 0（D） ?2 ?i 28．设 C 为椭圆 x ? 4 y ? 1 ，则积分 （A） 2? i （B） ??C1 dz = （ z（C） 0） （D） ? 2?i2 2 9 ． 设 c 为 任 意 实 常 数 ， 那 么 由 调 和 函 数 u ? x ? y 确 定 的 解 析 函 数 f ( z ) ? u ? iv 是() (A) iz ? c2（B）iz 2 ? ic（C） z ? c2（D） z ? ic210．设 v ( x , y ) 在区域 D 内为 u( x, y ) 的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解析函数的是 ( ) （A） v( x , y ) ? iu( x , y ) （C） u( x , y ) ? iv( x , y ) （B） v( x , y ) ? iu( x , y )（D）?u ?v ?i ?x ?x三、填空题10复变函数与积分变换习题集1．设 C 为负向圆周 | z |? 2 ，则 z d z ?C?2．设 C 为正向圆周 z ? i ? 2 ，则5z 2 ? 2z ? 1 ?C ( z ? i ) 3 d z ?x2 y2 ? 2 ?? ? 2 ? ? 1 正 向 ， 则 f (1) ? 3 ． 设 f (z) ? ? d? , 其 中 曲 线 C 为 椭 圆 4 9 ??z Cf ?(2 ? i ) ?4．设 C 为正向圆周 z ? 1 ，则f ??( ? i ) ??Cdz z5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 6．设 C 是从 ? 到 i 的直线段，则积分 e cos z d z ?z C?7 ． 设 C 为 过 点 2 ? 3i 的 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 当 z 从 曲 线 C 内 部 趋 向 2 ? 3i 时 ，e? d? ? z ? 2? 3 i ? ? ? z c limlim， 当 z 从 曲 线 C 外 部 趋 向 2 ? 3i 时 ，z ? 2? 3 i? ? ? z d? ?ccos?。8．调和函数 ? ( x , y ) ? xy ? x ? y 的共轭调和函数为 9．若函数 u( x, y) ? x ? axy 为某一解析函数的虚部，则常数 a ?3 210．设 u( x, y ) 的共轭调和函数为 v ( x , y ) ，那么 v ( x , y ) 的共轭调和函数为 四、计算积分 1．?| z | ?1| z ? 1 || d z | =82.6z dz , 其中 R ? 0, R ? 1 且 R ? 2 。 ( z ? 1)(z ? 2) z ?R?23．? (zC21 dz ，其中 C 为不经过 z ? ? ai 的简单正向闭曲线. ? a 2 )211复变函数与积分变换习题集五、设 f (z ) 在 z 平面上解析，且 f (z ) 恒大于正常数 M, 试证 f (z ) 为常值函数. 六 、 证 明 ： 若f (z ) 在 圆 周 | z ? z0 |? r 上 及 其 内 部 解 析 ， 则f ( n) ( z0 ) ?n! 2?r n?2?0f ( z 0 ? re i? )e ? in? d ? .七 、 设 f (z ) 在 复 平 面 上 处 处 解 析 且 有 界 ， 对 于 任 意 给 定 的 两 个 复 数 a, b ， 试 求 极 限f (z) dz 并由此推证 f (a ) ? f (b) （刘维尔 Liouville 定理）. R ? ?? ( z ? a )(z ? b) z ?R lim?八、 f (z ) 在 z ? R ( R ? 1) 内解析， f (0) ? 1, f ?(0) ? 2 ， 设 且 试计算积分z ?1?( z ? 1) 2f (z) dz z2并由此得出?2?0cos2?2f (e i? )d? 之值.答案： 一、?， ?，?，?，?，?，?，?， 二、1．C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8．A 9. D 10. B 三、1． ? 8?i 2． 10?i 6。 3. 4? i , 0 , 4? i 4. 2? 5. 平均值1 e? e i ? (cosh1 ? i sinh ) 7。 2?ie 2 (cos3 ? i sin3) ，0 8. ( y 2 ? x 2 ) ? y ? x ? c 9. 1 2 2 2? 3 10. ? u( x, y )四、1. 设 z ? e , 则 dz ? ie d? , | dz |? d? , 所以i? i??|z|?1| z ? 1 | | d z |? ? | cos? ? 1 ? i sin? | d? ? 8.02?2．当 0 ? R ? 1 时， 0 ； 当 1 ? R ? 2 时， 8 ? i ； 当 2 ? R ? ?? 时， 0 3．分情况讨论： （1） C 为不包含 z ? ? ai 的简单正向闭曲线12复变函数与积分变换习题集? (zC21 dz =0 ? a 2 )21 2? 1 ]? ? 3. dz ? 2?i[ 2 2 2 ( z ? ai ) z ? ai 4a ?a ) 1 2? 1 ]? ?? 3. dz ? 2?i[ 2 2 2 ( z ? ai ) z ? ? ai 4a ?a )（2） C 为包含 z ? ai ，不包含 z ? ? ai 的简单正向闭曲线? (zC2（3） C 为包含 z ? ? ai ，不包含 z ? ai 的简单正向闭曲线? (zC2（4） C 为即包含 z ? ? ai ，也包含 z ? ai 的简单正向闭曲线? (zC21 dz =0 ? a 2 )21 运用刘维尔定理. f (z)五、提示：对七、提示：估值不等式证明极限 0 . 再用柯西积分公式计算，可验证 f (a ) ? f (b) 。 八、z ?1?( z ? 1) 2f (z) dz ? 8?i , z2?2?0cos2? f (e i? )d? ? 2? . 213复变函数与积分变换习题集第四章级数六、 判断题 （9） 幂级数在收敛圆上处处收敛。 （ ） （10） 幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。 （） ） ）（11） 如果 z0 是 f 和 g 的极点，则 z0 是 f ? g 的极点。 （（12） 如果 z0 是 f 的本性奇点，为 g 的极点，则 z0 是 f ? g 的本性奇点。 （ （13） 如果 z0 是 f 的本性奇点，为 g 的极点，则 z0 是 f ? g 的极点。 （ ）（14） 如果 z0 是 f 的 m 级零点，为 g 的 n 级极点， n ? m ，则 z0 是 f ? g 的可去奇点。 （ ） ）（15） 如果 z ? 0 是 f 的 m 级极点，则 z ? 0 是 f ( z 2 ) 的 2 m 级极点。 （ （16） 若 （ ? f ( z )dz ? 0 ，则 f (z ) 在 c 内无奇点。c）（17） 存在在原点解析，在 一、选择题： 1．设 a n ? ?2 ? i1 1 1 处取值为 1, 0, , 0, , ? 的函数。 （ 3 5 n）( ?1) n ( n ? 1,2,?) ，则 lim a n ( n? ? n2) （D）不存在（A）等于 0 （B）等于 ? 2 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（C）等于 ? 2i?1 ? 3i n （A） ? ( ) 2 n ?1?( 3 ? 4i ) n （B） ? n! n ?1（D）?（C）in ?n n ?1z??n ?1?( ?1) n ? i n?13.设函数 e tg z 的泰勒展开式为?c zn?0 nn，那么幂级数?cn ?0?nz n 的收敛半径 R ? ()14复变函数与积分变换习题集（A） ? ?（B） 1（C）? 2)（D） ?4．级数1 1 ? ? 1 ? z ? z 2 ? ? 的收敛域是( z2 z（B） 0 ? z ? 1（A） z ? 1（C） 1 ? z ? ??（D）不存在的5．函数1 在 z ? ?1 处的泰勒展开式为( z2)?（A）? (?1) n n( z ? 1) n?1n ?1?( z ? 1 ? 1)（B）? (?1)n ?1 ? n ?1n ?1n( z ? 1) n?1( z ? 1 ? 1)（C） ?? n( z ? 1)n ?1?n ?1( z ? 1 ? 1)（D）? n( z ? 1)n ?1( z ? 1 ? 1)6． z ? 0 是函数z2 1 si n z的 ()奇点（A）可去奇点 （C）本性奇点 7．设函数 f ( z ) ? （A）1（B）极点 （D）非孤立奇点1 在以 i 为中心的圆环内的洛朗展开式有 m 个，那么 m ? ( z( z ? 1)2)（B）2（C）3 ）级极点（D）48．设 z0 是 f (z ) 的 m 级极点，则 z0 是 f ?(z ) 的（ (A) m （B） m ? 1 （C） m ? 1（D）1 m) （D）29．设 z ? 0 为函数 （A）81 的 m 级极点，那么 m ? ( ( 2 cos z ? 2 ? z 2 ) 2（B）6 (C)415复变函数与积分变换习题集10. z ? ? 是函数1 1 ? 3 的（ 2 z z）奇点 （B）极点 （D）非孤立奇点（A）可去奇点 （C）本性奇点 二、填空题 1． 若幂级数?cn? 0?n那么该级数在 z ? 2 ? i 处的收敛性为 ( z ? i ) n 在 z ? i 处发散，。2．幂级数?en? 0???niz n 的收敛半径 R ?。3．?z0e z d z 在 z ? 0 处的泰勒展开式为f ?( z ) 的 f (z)2。4．假设 z0 是函数 f (z ) 的 n 级极点，则 z0 是函数极点．5．双边幂级数? (?1) nn ?1?? 1 z ? ? ( ?1) n (1 ? ) n 的收敛域为 2 2 ( z ? 2) n ?1．6．函数ez 在 0 ? z ? i ? 1 内洛朗展开式为 1 ? z2． ． ．7．具有可去奇点 z ? 0 ，6 级级点 z ? 1 和本性奇点 z ? i 的一个函数为 8．函数1 在 1 ? z ? 2 内洛朗展开式为 ( z ? 1)(z ? 2)( z ? 5)sinz z 9 ． 函 数 f (z) ? 的有限奇点为 ( z ? 1) 2 z ( z ? 1) 3为 10 ． 函 数 为 ．，类型sinz ? z 在扩充复平面上的奇点为 z3．；类型16复变函数与积分变换习题集?d f ? f ? 三、用幂级数证明初值问题 ? d z 在 z ? 0 解析的唯一解为 f ( z ) ? e z . ? f ( 0) ? 1 ?四、菲波那契(Fibonacci)数列各项之间的关系为： a0 ? a1 ? 1, a n ? a n?1 ? an?2 (n ? 2) 。证明? 1 z ? 0 处的泰勒展开式 ? a n z n 的系数即为菲波那契(Fibonacci)数列，并明确 函数 在 1 ? z ? z2 n ?0给出 a n 的表达式． 五、试证明 1． e ? 1 ? ez z?1? zez( z ? ?? );( z ? 1);z 2． ( 3 ? e ) z ? e ? 1 ? (e ? 1) z.六、将函数ln(2 ? z ) 在 0 ? z ? 1 ? 1 内展开成洛朗级数. z( z ? 1)?2 1 ( z? ) z七、试证 f ( z ) ? e在 0 ? z ? ??内的洛朗展开式为：n ? ???c?n(? ) z n 其中 c n (? ) ?1 2??2?0cos(n? ? ? sin? ) d ? .答案： 一、?，?，?，?，?，?， ，?，?，? 二、1． （B） 2． （C） ６． （D） ７． （C）?3． （C） ８． （B）4． （B） ９． （A）５． （D） 10． （A）二、 不能确定 1．2． 13．z 2 n?1 ? n!(2n ? 1) , | z |? ? n? 04． 一级5． ? z ? 1 ? 2 11 z?i6 。e ? 1 i 1 i 1 i ? 2 ? z ? i ? (1 ? 2 ) ? ( 4 ? 2 )(z ? i ) ? (? 12 ? 8 )(z ? i ) ? ?? 2i ? ?i7 ．(sinz )e z( z ? 1) 61 ? 1 ? 1 n n n ?1 1 8. ? ( ?1) ? ? ( ) z 9. 1, 0, ? 1; 3 n ?1 z n 3 n? 0 217二级极点、一级极点、三级极点复变函数与积分变换习题集10． z ? 0, z ? ? ；可去奇点，本性奇点 四、 a n ?11 ? 5 n?1 1 ? 5 n?1 ) ?( ) } (n ? 0,1,2,?) . 2 2 5 {(? n ln(2 ? z ) 1 1 (?1) k ?1 六、 ? ? ? ln(2 ? z ) ? ? (? )( z ? 1) n . z( z ? 1) z ?1 z n? 0 k ? 0 n ? k ? 118复变函数与积分变换习题集第五章 留数理论及其应用七、 判断题 1．若 z0 是函数 f (z ) 的奇点，则可将函数 f (z ) 在 z0 处展开来计算 f (z ) 在 z0 处的留数 （ ）2． f (z ) 在 z ? ? 处的留数与1 在 z ? 0 处的留数相等。 （ f (z)））3．若（ ? f ( z )dz ? 0 ，则 f (z ) 在 c 内无奇点。c4．若 ? 是函数 f (z ) 的可去奇点，则 f (z ) 在 ? 处的留数为 0。 （ 5．假设 z0 是函数 f (z ) 的 m 级极点，则 Re s[ f ( z ), z 0 ] ?）1 d n ?1 l im n?1 [(z ? z 0 ) n f ( z )]， (n ? 1)! z ? z0 d zn? m。 （八、 选择题 1． z ? 0 是函数 （A）可去奇点 （C） 二级极点）tgz 的( z) （B）一级极点 （D）本性奇点2． 设函数 f (z ) 与 g(z ) 分别以 z ? z 0 为 n 级极点与 m 级极点 n ? m ） 则 z ? z 0 为 （ ， （ ） （A）可去奇点 （C） n ? m 级零点f (z) 的 g( z )（B） n ? m 级极点 （D）本性奇点 ）f (z) 3．设 z ? 0 为函数 f (z ) 的本性奇点，则 z ? 0 为函数 e 的（（A）可去奇点 （C）本性奇点?（B）一级极点 （D）非孤立奇点4．设 f ( z ) ??an? 0nz n 在 z ? R 内解析， k 为正整数，那么 Re s[f (z) ,0] ? ( zk)19复变函数与积分变换习题集（A） a k（B） k! a k（C） a k ?1（D） (k ? 1)!a k ?1 ）级极点 （D） n ? 15.如果 z0 为 f (z ) 的 n 级极点，则 z0 为 f ?(z ) 的（ (A) n 6． z ? ? 是函数 （A）可去奇点 （C）二级极点 7． Re s[ z cos3（B） ? n（C） n ? 1 ） （B）一级极点 （D）本性奇点z 3 ? 2z 2 ? i 的（ z2i , ?] ? （ z（B））（A） ?2 32 3（C）2 i 3）（D） ?2 i 38． Re s[z ?1 , n? ](n ? 0, ? 1, ? 2,?) ? （ sinz（B） (?1) n (n? ? 1)（A） (?1) n (n? ? 1)（C） n? ? 1（D） n? ? 1九、 填空题 1．设 z ? 0 为函数sin ( z ) 3 3 ? 的 2 z z奇点．奇点．2 z ? 0 为函数 ctg1 的 z3． z ? ? 是函数 f ( z ) ?z3 ? i 的 z 2 ? 3z ? 2级极点．4．设 z0 为函数 f (z ) 的 m 级零点，那么 Re s[f ?( z ) , z0 ] ? f (z)．20复变函数与积分变换习题集5．设 z0 为函数 f (z ) 的 m 级极点，那么 Re s[f ?( z ) , z0 ] ? f (z)．．6．设 f ( z ) ?z 3 ? 2z ，则 Re s[ f ( z ), i ] ? (z ? i )3ln( ? z ) 1 ，则 Re s[ f ( z ),0] ? z7．设 f ( z ) ?．8．设 f ( z ) ?1 , ，则 Re s[ f ( z ), ?] ? z( z ? 1) 3 ( z ? 4)．．9．积分1 sin dz ? z z ?1?四、计算下列函数在各孤立奇点处的留数。1 ? e 2z 1． f ( z ) ? z21 1 ez 2。 f ( z ) ? z sin 3。 f ( z ) ? 2 4． f ( z ) ? 2 z ?1 z sinz z ?12五、计算下列围线积分。 1．1 ? 2z ?|z|?2 z( z ? 1)(z ? 3) d z2。? 3 cos? ? ?|z|?5 ? ze z ? z 2 ( z ? ? ) 3 ? d z ? ? ? ?3.?1 dz | z| ? 2 ( z ? 1)(z ? 3)54．??Csinz d z ，其中 C 为不经过 0 和 1 的简单闭曲线. z ( z ? 1)25．| z | ?11 ? cos z dz, ( m为正整数). zm答案：一、1。? 2。? 3。? 4。? 5。√ 二、(1)A (2) B (3) C (4) C (5) D (6) C (7) A (8)B 三、1。可去 2。非孤立 3。1 4。 m 5. ? m 6. 3i 7. 0 8. 0 四、(1) z ? 0 为 f ( z ) ?9. 2? i1 ? e 2z 1 ? e 2z ? ?2. 的一级极点， Re s[ f ( z ), z ? 0] ? limz ? z ?0 z2 z2z ? ? 为 f (z) ?1 ? e 2z 的本性奇点， Re s[ f ( z ), z ? ?] ? 2. z221复变函数与积分变换习题集2 (2) z ? 1 为 f ( z ) ? z sin1 1 2 的本性奇点， z ? ? 为 f ( z ) ? z sin 的一级极点 z ?1 z ?1又 z 2 sin 所以，? 1 ? 1 1 1 ? ( z ? 1 ? 1) 2 ? ? ? ? ?? 3 5 z ?1 5! ( z ? 1) ? z ? 1 3! ( z ? 1) ?Re s[ f ( z ), z ? 1] ?5 . 65 Re s[ f ( z ), z ? ? ] ? ? . 6(3) z ? 0 为 f ( z ) ?1 1 的 3 级极点， z ? k? 为 f ( z ) ? 2 的 1 级极点，所以 z sinz z sinz2Re s[ f ( z ), z ? 0] ?1 1 1 lim( z 3 ? 2 )?? ? . 2! z ?0 6 z sinz1 Re s[ f ( z ), z ? k? ] ? 2z sinz ? z 2 cos z（4） z ? ? i 均为 f ( z ) ?z ? k?(?1) k ? . (k? ) 2ez ez 的一级极点， z ? ? 为 f ( z ) ? 2 的极点。 z2 ? 1 z ?1 ez ie i ?? . z?i 2Re s[ f ( z ), z ? i ] ? limz ?iRe s[ f ( z ), z ? ? i ] ? limez ie ? i ? . z ?? i z ? i 2nez 1 由 f (z) ? 2 ? 2 z ?1 z五、1．被积函数 f ( z ) ? 又因为zn ? 1 ? n! ? ? (? z 2 ) 知 Re s[ f ( z),?] ? ? sin1. n? 0 n? 0?1 ? 2z 在积分区域内有 z ? 0, z ? 1 两个奇点，均为单极点。 z( z ? 1)(z ? 3)1 ? 2z 1 Re s[ f ( z ), z ? 0] ? limzf ( z ) ? lim ? . z ?0 z ?0 ( z ? 1)(z ? 3) 322复变函数与积分变换习题集Re s[ f ( z ), z ? 1] ? lim z ? 1) f ( z ) ? lim (z ?0 z ?01 ? 2z 1 ? . z ( z ? 3) 2所以?| z| ? 21 1 5?i 1 ? 2z 。 d z = 2?i ( ? ) ? 3 2 3 z( z ? 1)(z ? 3)3 ? 3 cos? ? cos? z d z = ? ze z d z ? ? 2． ? ? ze ? 2 dz 3 ? | z| ? 5 |z| ?5 |z| ?5 z 2 ( z ? ? )3 z (z ? ? ) ? ? ? ?因为ze z ? z ?31 3 n 32 33 ( ) ? z ? 3? ? ?? 2! z 3! z 2 n? 0 n! z3 z?所以 ze d z ? 2?i Re s[ ze , z ? 0]= 9?i .|z|? 5?3 z?cos? cos z cos z d z ? 2?i Re s[ 2 , z ? 0] ? 2?i Re s[ 2 ,z ? ?] 3 3 | z| ? 5 z ( z ? ? ) z (z ? ? ) z (z ? ? )32因为Re s[cos? 1 d ? cos? ? ? ( z ? ? ) sinz ? 3 cos z 3 , z ? 0] ? lim ? ? lim ?? 4. 3 3? 4 1! z ?0 d z ? ( z ? ? ) ? z ?0 z (z ? ? ) (z ? ? ) ?2cos? 1 d 2 ? cos z ? 1 (6 ? z 2 ) cos z ? 4z sinz (6 ? ? 2 ) Re s[ 2 , z ? ? ] ? lim 2 ? 2 ? ? lim ?? . 2! z ?? d z ? z ? 2 z ?? z (z ? ? )3 z4 2? 4所以3 (6 ? ? ) 2 cos? ) ，从而有 d z = 2?i ( ? 4 ? ?|z|?5 z 2 ( z ? ? ) 3 ? 2? 4? 3 cos? ? 9 3 (6 ? ? ) 2 ze z ? 2 d z ? 2?i ( ? 4 ? ). ? ?|z|?5 ? 2 ? z (z ? ? )3 ? 2? 4 ? ? ?3. 因为? ? 1 1 1 Re s ? 5 , z ? 3? ? lim 5 ? , ? ( z ? 1)(z ? 3) ? z ?3 z ? 1 24223复变函数与积分变换习题集? ? 1 Re s ? 5 , z ? ?? ? ( z ? 1)(z ? 3) ?所以1 ? ? 2 ? ? z ? ? Re s ? , z ? 0? ? 0. ? ( 1 ? 1)( 1 ? 3) ? ? z5 ? z ? ??4． （1）0。?i 1 。 dz=? | z| ? 2 ( z ? 1)(z ? 3) 1215? ? sinz ? （2）C 只包含 0 时，积分为 2?i lim ? ? ? ?2?i . z ?0 z ? 1 ? ?（3）C 只包含 1 时，积分为 2?i limsinz ? 2?i sin1. z ?1 z 2（4）C 包含 0，1 时，积分为 2?i ( ?1 ? sin1). 5．当 m ? 2 时， z ? 0 为可去奇点，积分为零。 当 m ? 3 时， z ? 0 为一级极点， Re s ? 当 m ? 3 时， z ? 0 为 m ? 2 级极点，z ?1 ? c o s ? 1 , z ? 0? ? . m ? z ? 2m?3 2? 1 ? cos z ? Re s ? , z ? 0? ? c ?1 ? (?1) m ? z ?所以1 (m ? 1)!m?3 ? 2?i , m?3 1 ? cos z ?( ?1) 2 . ( m ? 1)! ?|z|?1 z m dz ? ? ? 0, m?3 ?24复变函数与积分变换习题集第七章 傅立叶变换十、 判断题 1．任意函数的傅立叶变换都存在。 （ ） ）2． f (t ) 的正弦变换就是 f (t ) 为奇函数时的傅立叶变换。 （ 3． 若f (t )在(??,??)上满足下列条件:(1).在任一有限区间上满足 Dirichlet条件; ( 2). f ( t )在无限区间 ??,??)上绝对可积(即积分 (?????| f ( t ) | dt收敛),f (t ) ? 1 2?则? ?? ? ??? ??????f (? )e ? i? ? d? ? e i?t d? ? ?成立。 （）? 4． (t ) 具有性质?????f (t )? ( t )dt ? f (0), 其中的积分就是我们数学分析中熟悉的广义积分。（ ）??5．因为?????（ e i?t d? ? 2?? (t ) ，所以 ? e i? d? ? 2?? (1) 。??）6．古典意义下的傅立叶变换的所有性质对于广义傅立叶变换均成立，且形式完全相同。 （ ） 十一、 选择题(1)设f (t ) ? ? (t ? t 0 ),则F[ f (t )] ? ()( A) 1( B) 2?(C )e i?0t( D) e ? i?0t)(2) 设f (t ) ? cos2t , 则F[ f (t )] ? (( A) ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] (C )?i[? (? ? 2) ? ? (? ? 2)]( B)? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] ( D)?i[? (? ? 2) ? ? (? ? 2)]25复变函数与积分变换习题集(3) 设F[ f (t )] ? F (? ),则F[(t ? 2) f (t )] ? ()( A) F ?(? ) ? 2F (? ) (C ) iF ?(? ) ? 2F (? )( B ) ? F ?(? ) ? 2F (? ) ( D) ? iF ?(? ) ? 2F (? ))(4) 设F[ f (t )] ? F (? ),则F[ f (1 ? t )] ? (( A) F (? )e ? i? (C ) F (? )e i?( B ) F ( ?? )e ? i? ( D) F ( ?? )e i?(5) 设f (t ) ? ? (2 ? t ) ? e i?0t , 则F[ f (t )] ? (( A) e ?2?i ? 2? ? (? ? ? 0 ) (C ) e ? 2?i ? 2? ? (? ? ? 0 ))( B ) e 2?i ? 2? ? (? ? ? 0 ) ( D ) e 2?i ? 2? ? (? ? ? 0 )(6) 下列变换中不正确的是 ) ( 1 ( A) F[u( t )] ? ? ? ? (? ) ( B ) F[1] ? 2? ? (? ) i? 2 (C ) F[2? ( t )] ? 1 ( D ) F[sgn ( )] ? t i? t ? 1 2 2 t ?1 (7) 设F[ f (t )] ? F (? ), 假如当t ? ??时, g(t ) ? ? f (t )dt ? 0,则F[? f (t )dt ] ? (?? ??)1 ? e 2 F( ) 2 i? 2 1 i? ? (C ) e F( ) 2 i? 2 ( A)i?( B)1 2 ? e F( ) i? 2 1 ? ( D ) e i? F ( ) i? 2i?(8) 设f (t ) ? te i?0t , 则F[ f (t )] ? (( A) 2?? ?(? ? ? 0 ) (C ) 2?i? ?(? ? ? 0 )（9）设 f ( t ) ? ??t)( B) 2?? ?(? ? ? 0 ) ( D) 2?i? (? ? ? 0 )t?0，则 u(t ) * f (t ) =（ ）? 0,?t ?e , t ? 0（A）e u(t ) （B）(1 ? e )u(t ) （C）(1 ? e )u(t ? 1) （D）(1 ? e?t?t? t ?1 )()u( t ? 1)26复变函数与积分变换习题集十二、填空题?e ?t , t ? 0 (1)设a ? 0, f ( t ) ? ? ??t , 则函数f ( t )的Fourier变换为 ?e , t ? 0 (2)设f (t ) ? cos2 t , 则F[ f (t )] ? .( 3)设F[ f ( t )] ? 3 , 则f ( t ) ? 1?? 2 ..?0, t ? 0 (4)设f ( t ) ? ? ? t , 则u( t ) * f ( t ) ? ?e , t ? 0（5） 积分.?????u(t )e ? i?0t dt ?（6）积分?????1 e i? d? ? 2 ? i?（7）假设函数 f (t ) 的傅立叶变换为 F (? ) ，则函数 f ( 2t ? 4) 的傅立叶变换为 （8）函数 F (? ) ? ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 的傅立叶逆变换为（9）积分方程 十三、???0?1, 0 ? ? ? 1 的解 f (t ) ? f (t ) sin?tdt ? ? ?0, ? ? 1计算下列函数的傅立叶变换 （2） f (t ) ? cos? 0 t ? u(t ) （3） f (t ) ? sin3 t?e t , t ? 0 f (t ) ? ? （1） ? 0, t ? 05 （4） f ( t ) ? sin ( t ?十四、?3)（5） ? (4 ? 2t )计算下列函数的傅立叶变换，并求给出的相应的积分的值。（1） f ( t ) ? ?? t , | t |? 1 ， ?0, 其他?（0??sin??2?cos??） ?td? sin?? sin? ? ? cos? ?1 ? t 2 , | t |? 1 ） ?td? cos （2） f ( t ) ? ? ，? （ 0 ?3 0, | t |? 1 ?27复变函数与积分变换习题集（3） f (t ) ? e ?|t | cost ， 十五、???0?2 ? 2 cos?td? ?4 ? 4已知函数 F [ f ( t )] ? F (? ), 求下列函数的傅立叶变换。 （2） (1 ? t ) f (1 ? t ) （3） ( t ? 1) f ( ?2t ) （4） t（1） tf ( 2t ) 十六、df ( t ) ） dt计算下列函数的傅立叶逆变换。 （2） F (? ) ?（1） F (? ) ? ? cos?t 01 (? ? 1)(? 2 ? 9)2（3） F (? ) ?2? ? 1 ? ? 2? ? 3? 2 ? 2? ? 24 3八、证明：若 F [e i? ( t ) ] ? F (? ), 其中 ? (t ) 为一实函数，则 F [cos? ( t )] ?1 [ F (? ) ? F ( ?? )] 2 1 [ F (? ) ? F ( ?? )] 2iF [sin? ( t )] ?九、证明：d d d [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ? f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 1 (t ) ? f 2 (t ) dt dt dt5。? 6。√ 7。? (5) A (6) C (7) B答案：一、1。? 2。√ 3。? 4。? 二、(1)D (2) A (3) C (4) B 三、1。(8) D(9) B(10) C2a ? 3 ? |t | ?t 2。 ? ? (? ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2) 3。 e 4。 (1 ? e )u(t ) 2 2 2 a ??25.1 i?0? ?? (?0 ) 6. 2? e ?2 7.1 2 i? ? e F ( ) 8. ? i sin? 0 t 2 2??9.2(1 ? cos t ) ?t四、(1) F (? ) ??????f ( t )e ? i?t dt ? ? e (1? i? ) t dt =??1 1 ? i?28复变函数与积分变换习题集(2) 因为 F ( u( t )) ?1 e i?0 t ? e ? i?0 t ? ? ? (? ) ， cos? 0 t ? ，所以 i? 2F (cos? 0 tu( t )) ?1 1 1 1 ( ? ?? (? ? ? 0 )) ? ( ? ?? (? ? ? 0 )) 2 i (? ? ? 0 ) 2 i (? ? ? 0 )（5）因为 ? (4 ? 2t ) ? ? (2t ? 4), 由相似性质 F (? (4 ? 2t )) ?1 ? 2 i? e 2五（1） f ( t ) ? ?? t , | t |? 1 ， ?0, 其他，???0（sin??2?cos??） ?td? sin（2） f ( t ) ? ??1 ? t 2 , | t |? 1 ?0, | t |? 1?????0（sin? ? ? cos??3） ?td? cos（3） f (t ) ? e?|t |cost ， ?0?2 ? 2 cos?td? ?4 ? 429复变函数与积分变换习题集六、 （1）因为 tf ( 2t ) ?i ? 2t 1 1 f ( 2t ), 由相似性质，F [tf ( 2t )] ? ? F [tf ( t )] ? ? ? ? F ?( ) 2 2 2 4 2 2（2）F [(1 ? t ) f (1 ? t )] ??????(1 ? t ) f (1 ? t )e ? i?t dt1 ? t ? ? ? ?f (? )e ? i? (1?? ) d?????? e ? i? ? ?f (? )e ? i ( ?? )? d? ? e ? i? F [tf ( t )] ? ? ?? ? ? ie ? i?????dF ( ?? ) d?（3）因为 (t ? 2) f (?2t ) ? tf (?2t ) ? 2 f (?2t ), 由相似性质， F [(t ? 2) f ( ?2t )] ? ?1 1 ? F [tf ( t )] ? ? ? ? ? 2 F [ f ( ?2t )] 2 2 2=?i ? 1 ? i ? ? F ?( ? ) ? 2 ? F ( ? ) ? ? F ?( ? ) ? F ( ? ) 4 2 2 2 4 2 2?（4）F [tf ?( t )] ? i? F [ f ?( t )]? ? i[ i?F (? )]? 七、 （1）F?1[? cos?t 0 ] ?1 d ?1 1d 1 ?? (t ? t 0 ) ? ? (t ? t 0 )? {F [cos? 0 t ] }= i dt i dt 2=1 ?? ?(t ? t 0 ) ? ? ?(t ? t 0 )? 2i（2） F (? ) ?1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 2 ) , 所以 f ( t ) ? (e ?|t | ? e ? 3|t | ) 2 8 (? ? 1)(? ? 9) 8 ? ? 1 ? ? 92（3） F (? ) ?2? ? 1 1 1 = 2 ，所以 ? 2 ? ? 2? ? 3? ? 2? ? 2 ? ? 1 (? ? 1) 2 ? 14 3f (t ) ? (1 ? e ? it )e ?|t|十七、 证?? ?? ?? ?? ?? ??F (? ) ? ? e i? ( t ) ? e ? i? ( t ) dt , F (?? ) ? ? e i? ( t ) ? e i?t dt ? ? e ? i? ( t ) ? e ? i? ( t ) dt ,30复变函数与积分变换习题集i? ( t ) ?? e 1 ? e ? i? ( t ) ? i?t [ F (? ) ? F ( ?? )] ? ? e dt ?? 2 2? ? cos? (t )e ? i?t dt ? F [cos? ( t )].????同理可证另一等式. 九、证31复变函数与积分变换习题集第八章 拉普拉斯变换十八、 判断题 1．Laplace 变换本质是傅立叶变换。 （ 2．任意函数的拉普拉斯变换都存在。 （ ） ）t 3． si n ( ??3) 和 sin ( ? t?3)u( t ??3) 的拉普拉斯变换结果相同。4．可以通过计算s st s e 在 s ? ?1 处留数得到 的拉普拉斯逆变换。 （ s?1 s?1）5．可以通过计算e s st es e 在 s ? ?1 处留数得到 的拉普拉斯逆变换。 （ s?1 s?1））6．用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。 （ 十九、 选择题(1)设f (t ) ? ? (t ? t 0 ),则L [ f (t )] ? ()( A) 1( B) e t0 s(C )e?t 0 s( D)2?t （2） L [cos( ??4)] ? （）??2 s?1 （A） 2 s2 ? 1(3) L [ e02 s?1 （B） 2 s2 ? 1）2 s ? 1 ?4s （C） e 2 s2 ? 12 s ?1 ?4s （D） e 2 s2 ? 1?t? 3tsint d t ] ? （（A）1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1 1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1?3t（B）1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1 1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1（C） ?t（D） ?(4) L [? te0sint d t ] ? （）（A） ?1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1（B）1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 132复变函数与积分变换习题集（C） ?1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1（D）1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1）(5) 函数s2 的拉普拉斯逆变换为（ ( s ? 1) 2 ? 1（A） ? ( t ) ? 2e ? t cos t （C） ? (t ) ? 2e ? t sint（B） ? ( t ) ? 2 cos t ? 2 sint(D)i ? 1 it e 2）(6) 函数s e ? s 的拉普拉斯逆变换为（ s?1（A） ? (t ? 1) ? e ? t （C） e (7)积分? ( t ?1)（B） ? (t ? 1)u(t ? 1) ? e ? t （D） ? (t ? 1)u(t ? 1) ? e ）? ( t ?1)u(t ? 1)u(t ? 1)???0te ? 2 t costdt 的值为（(B)（A） 03 25(C)?3 25）(D)4 25(8) 积分 （A） 0? [?0???0e ?? cos? d? ]e t dt 的值为（(B) 1 (C)?1）(D) 不存在(9) t ? a 时 u(t ? a ) ? f (t ) 的值为（ （A） 0 二十、 填空题?(B) 1(C)?1(D) 不存在（1）设 L [ f ( t )] ? F ( s ), a ? 0, 则 L [e （2） L [t u(1 ? e )] ?2 ?tt at f ( )] ? a（3） L [e? ( t ?? )cos?t ] ?33复变函数与积分变换习题集t （4） L [sin( ? 2)u( t ? 2)] ?（5） L?1[e ?5 s ? 1 ]? s（6） L?1[1 ]? s ( s ? a)3（7） L?1[lns2 ? 1 ]? s( s ? 1)（8）???0sin2 t dt ? t2（9） ? (t ? a ) ? f (t ) ? 二十一、 计算下列函数的拉普拉斯变换.? 3, 0 ? t ? 0 ? （1） f ( t ) ? ? ? 1, 2 ? t ? 4 ?0, t ? 4 ?（3） f ( t ) ? t cosat（2） f (t ) ? sin2t ? 3 cos2t ? 8e?2 t?2（4） f ( t ) ? sint ? u( t ? 2)（5）e t ? cos 2t ?0 t dtt二十二、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1）s?1 s ? 4s ? 42（2）1 s ? 3s 2 ? 2s3（3）s?3 s ? 4s ? 72（4）s?2 3 s ( s ? 1) 2（5）s2 ( s ? 2) 2 ? 4（6）2 s 2 e ? s ? ( s ? 1)e ?2 s s3六、计算下列积分。 （1）???0t 2e ? 2 t cosatdt（2）???0si nt dt t(3)???0sin( ? 2)u(t ? 2)e ? t dt t34复变函数与积分变换习题集（4）???0sin( ? 2)e t dt t(5)???0[??e? ? cos2?0?d? ]e ? 2 t dt七、利用拉普拉斯变换求解下列微分方程或方程组。 1． f ?? ? 5 f ? ? 6 f ? 0,f (0) ? 1, f ?(0) ? 2?0, 0 ? t ? 3 ? 2． f ?? ? 3 f ? ? 2 f ? ?1, 3 ? t ? 6 , ?0, t ? 6 ?f (0) ? 0, f ?(0) ? 03． f ?? ? 2 f ? ? f ? sint , t ? 0, f (0) ? 1, f ?(0) ? 0. 4． ty ?? ? y ? ? 4ty ? 0, y(0) ? 3, y ?(0) ? 0 5. ty ?? ? (1 ? n ? t ) y ? ? nty ? t ? 1 ( n ? 2,3,?), y(0) ? 0 6． ty ?? ? 2(t ? 1) y ? ? (t ? 2) y ? 0, 7． ?y(0) ? 0? x ?? ? x ? 2 y ? ? e t ? x ? ? y ?? ? 2 y ? t, 23 1 1 x(0) ? ? , x ?(0) ? , y(0) ? 1, y ?(0) ? ? 2 2 2? x ?? ? 2 x ? ? t y(? )d? ? 0 ? ?0 , 8． ? ?4 x ?? ? x ? ? y ? e ? t ?x ( 0 ) ? x ?( 0 ) ? 0答案：一、1。√2。? 3。? 4。? 5。? 6。√ 二、(1)C (2) A (3) B (4) D (5) A (6) D (7) B 三、1。 aF(as ? 1) 2。(8) A(9)A 5. eu( t ? 5)2 s33。( s ? 1)e ?? ( s ? 1) 2 ? ? 24。e ?2 s s2 ? 19. ?6.1 1 at a 2 t 2 ? (e ? ? at ? 1) 7. (1 ? e ? t ? 2 cos t ) 8. 3 t 2 2 at?a ?0, ? f (t ? a ), t ? a四、 （1） L [ f ( t )] ??203e ? st d t ? ? e ? st d t ?4 21 ?4 s (e ? 4e ? 2 s ? 3) s35复变函数与积分变换习题集（2） L [ [ f ( t )] ?2 s 1 2 ?3 2 ?8 ? s?2 s s ?4 s ?42（3） L [ f ( t )] ? ?[ （4） L [ f ( t )] ?s s2 ? a2 ]? ? 2 s2 ? a2 (s ? a 2 )2sintu( t ? 2)e ? st d t ? ? sint ? e ? st d t2?? 2?????0?? cos t ? s sint ? st e s2 ? 1?cos 2 ? s sin2 ? 2 s e . s2 ? 1（5） L [1 ? e t ? cos 2t 1 e t ? cos 2t d t] ? L [ ] ? ? L [e t ? cos2t ]d s ?0 t s s s tt?1 ?? 1 s 1 s2 ? 4 。 ( ? 2 ) d s ? ln s ?s s ? 1 s ? 4 s s ?1五、 （1） L （2）因为?1[s?1 ] ?L s ? 4s ? 42?1[1 1 ? ] ? e ?2t ? te ?2t ( s ? 2 ) ( s ? 2) 2L?1[1 ]=L s ? 3s 2 ? 2s3?1[1 1 ] ? Re s[ e st , s ? 0] + s( s ? 2)(s ? 1) s( s ? 2)(s ? 1)Re s[1 1 1 e st , s ? ?1] + Re s[ e st , s ? ?2] = [1 ? 2e ? t ? e ? 2t ] 2 s( s ? 2)(s ? 1) s( s ? 2)(s ? 1)?1（3） L[s?3 ]? L s ? 4s ? 72?1[s ] +L ( s ? 2) 2 ? 3?1[ 33 ] ( s ? 2) 2 ? 3= e ?2t (cos 3t ? （4） L?13 sin 3t )[s?2 s?2 s?2 ] ? Re s[ 3 e st , s ? 0] + Re s[ 3 e st , s ? 1] 2 2 2 s ( s ? 1) s ( s ? 1) s ( s ? 1)336复变函数与积分变换习题集= t 2 ? 5t ? 8 ? (3t ? 8)e t （5） L?1[s2 ]?L ( s ? 2) 2 ? 4?1[1 ?4( s ? 2) ] = ? (t ) ? 4e ?2t cos2t ( s ? 2) 2 ? 4?1（6） L?1[2 s 2 e ? s ? ( s ? 1)e ?2 s ] ? 2L s3[e ?s ]? L s?1[e ?2 s ]? L s2?1[e ?2 s ] s31 ? 2u( t ? 1) ? ( t ? 2)u( t ? 2) ? ( t ? 2) 2 u( t ? 2) 2六、 （1）因为 L [t cosat] = ? (s s2 ? a2 )? ? 2 ， s2 ? a2 (s ? a 2 )2所以???0te?2ts2 ? a2 cosat d t ? 2 (s ? a 2 )2si nt ]? ts?24 ? a2 ? (4 ? a 2 ) 2（2）因为 L [??s?? sint 1 ? ? ? d s ? arctgs s ? ? arctgs ，所以 ? dt ? . 2 0 2 t 2 s ?1t (3) 因为 L [sin( ? 2)u( t ? 2)] ? e???2s1 ，所以 s ?12?0sin( ? 2)u( t ? 2)e ? t d t ? t1 ?2 e . 2t （4）因为 L [sin( ? 2)] ?(5) 因为?? cos 2 ? s sin2 cos 2 ? sin2 , 所以 ? sin( ? 2)e t d t ? t 。 2 0 2 s ?1L [??e ? ? cos2?0??1 ?? 1 s ? 1 s2 ? 4 d? ] = ? ? ? ? d s ? ln s s ? s ? 1 s2 ? 4 ? s s ?1d? ]e ? 2 t dt ????0[?e ? ? cos 2?0?1 s2 ? 4 ln s s ?1?s?23 ln 2 . 237复变函数与积分变换习题集七、(1) f (t ) ? 4e 2t ? 3e 3t? ?0, 0?t ?3 ? ?1 1 （2） f ( t ) ? ? ? e 2 t ? 6 ? e t ? 3 , 3?t ?6 ?2 2 ? 1 2 t ? 6 1 2 t ?12 ? e ? e t ?6 ? e t ? 3 , t ? 6 ?2 e 2 ?(3) 假设 L [ f ( t )] ? F ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有( s 2 ? 2 s ? 1)F ( s ) ? s ? 2 ?整理得1 s ?12F ( s) ?s?2 1 ? 2 s ? 2s ? 1 ( s ? 2 s ? 1)(s 2 ? 1)2将上式右端的第一项写为s?2 1 1 ? ? s ? 2 s ? 1 s ? 2 ( s ? 1) 22L?1[1 ] ? e ?t s?2L?1[1 1 ] ? Re s[ e st , s ? ?1] ? te ? t , 2 ( s ? 1) ( s ? 1) 2可得s?2 的拉普拉斯逆变换为 s ? 2s ? 12f 1 (t ) ? e ? t ? te ? t将上式右端的第二项写为1 1 1 1 1 1 s ? ? ? 2 2 2 s2 ? 1 ( s ? 2s ? 1)(s ? 1) 2 s ? 1 2 ( s ? 1)2其拉普拉斯逆变换为f 2 (t ) ?1 ?t 1 ?t 1 e ? te ? cos t . 2 2 2因此，原方程的解为38复变函数与积分变换习题集f (t ) ?3 ?t 3 ?t 1 e ? te ? cos t . 2 2 2（4）假设 L [ f ( t )] ? F ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有?从而d 2 d [ s Y ( s ) ? sy (0) ? y ?(0)] ? [ sY ( s ) ? y(0)] ? 4 Y ( s ) ? 0 ds ds( s 2 ? 4)即dY ? sY ( s ) ? 0 dsdY sds ?? 2 ds s ?4两 边 积 分 得 lnY ?1 ln (s 2 ? 4) ? c 或 Y ( s ) ? 2c s2 ? 4， 取 逆 变 换 得 y(t ) ? cJ 0 (2t ). 又y(0) ? 3, 知 y(0) ? cJ 0 (0) ? c ? 3, 所以方程的解为y(t ) ? 3J 0 (2t ),其中 J 0 ( x ) ?1 (?1) k x 2 k ? k! ?(k ? 1) ( 2 ) . k ?0?（5）假设 L [ f ( t )] ? F ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有?d 2 d 1 1 [ s Y ( s ) ? sy(0) ? y ?(0)] ? (1 ? n)[sY ( s ) ? y(0)] ? [ sY ( s ) ? y(0)] ? nY ( s ) ? 2 ? ds ds s s整理得d n?1 1 Y ( s) ? Y ( s) ? 3 . ds s s这是一个一阶线性非齐次微分方程，这里39复变函数与积分变换习题集P( s) ?所以n?1 1 , Q( s ) ? 3 , s sY ( s) ? e ? ?所以方程的解为P ( s ) ds[ ? Q( s )e ?P ( s ) ds? c]?1 sn?1[?1 n?1 s ds ? c ] s31 sn?1[1 n ?1 1 c s ? c] ? ? n?1 2 n?1 ( n ? 1) s sy( t ) ?t c t ? tn ? ? c1 t n , c1 为任意常数。 n ? 1 n! n?1（6）假设 L [ y( t )] ? Y ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有? [ s 2Y ( s) ? sy(0) ? y?(0)]? ? 2[ sY ( s) ? y(0)]? ? 2[ sY ( s) ? y(0)] ? Y ?( s) ? 2Y ( s) ? 0所以Y ?( s ) ?则4 3 y(0) Y ( s) ? s?1 ( s ? 1) 2Y ( s) ?求拉普拉斯逆变换得y ( 0) c ? s ? 1 ( s ? 1) 4y(t ) ? y(0)e ? t ? ct 3 e ? t3 ?t 又 y(0) ? 0, 所以 y(t ) ? ct e .（7）假设 L [ x( t )] ? X ( s ), L [ y( t )] ? Y ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有1 ? 2 ? s X ( s ) ? sx (0) ? x ?(0) ? X ( s ) ? 2[ sY ( s ) ? y(0)] ? s ? 1 ? ? ? sX ( s ) ? x(0) ? [ s 2Y ( s ) ? sy (0) ? y ?(0)] ? 2Y ( s ) ? 2 ? s3 ?整理得40复变函数与积分变换习题集3 1 2 ? ? X ( s) ? ? 2 s ? 1 ? s 2 ? ? 1 3 ?Y ( s ) ? ? 1 ? 3 ? ? 2( s ? 1) s 2s ?进行拉普拉斯逆变换，有3 t ? ? x ( t ) ? ? 2 e ? 2t ? . ? 1 t 1 2 3 ? y( t ) ? ? e ? t ? ? 2 2 2 ?（8） ．假设 L [ x( t )] ? X ( s ), L [ y( t )] ? Y ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有1 ? 2 ? s X ( s ) ? 1 ? 2 sX ( s ) ? s Y ( s ) ? 0 ? ? ?4 s 2 X ( s ) ? 4 ? sX ( s ) ? Y ( s ) ? 1 ? s?1 ?即?( s 3 ? 2 s 2 ) X ( s ) ? Y ( s ) ? ? s ? ? 2 1 ?4 ?(4s ? s ) X ( s ) ? Y ( s ) ? s?1 ?化简得3 1 1 13 1 5 1 ? ? X ( s ) ? s ? 4 ? s ? 1 ? 4 ? s ? 1 ? 2 ? ( s ? 1) 2 ? ? 31 1 ?Y ( s ) ? ? 1 ? 1 ? 15 ? 1 ? ? 2 ? 4 s ? 1 2 ( s ? 1) 4 s ?1 ?求拉普拉斯逆变换得1 ? t 13 t 5 t ? ? x( t ) ? 3 ? 4 e ? 4 e ? 2 te ? ? ? y( t ) ? ? 1 e ? t ? 15 te t ? 31 e t ? 4 2 4 ?41复变函数与积分变换习题集第二章 复数与复变函数一、 选择题 1．当 z ? （A） i1? i 100 75 50 时， z ? z ? z 的值等于（ 1? i（B） ? i （C） 1 ， arc( z ? 2) ?） （D） ? 1 ）2．设复数 z 满足 arc( z ? 2) ??35? ，那么 z ? （ 6（A） ? 1 ? 3i 3．复数 z ? tan? ? i (（B） ?3?i（C） ?1 3 ? i 2 2）（D） ?3 1 ? i 2 2? ? ? ? ? ) 的三角表示式是（ 2? （A） se c [cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )]2 2??? （B） se c [cos(3? 3? ? ? ) ? i sin( ? ? )] 2 2? （C） ? se c [cos(3? 3? ? ? ? ? ) ? i sin( ? ? )]（D） ? se c? [cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )] 2 2 2 2）2 2 4．若 z 为非零复数，则 z ? z 与 2 zz 的关系是（ 2 2 （A） z ? z ? 2 zz 2 2 （C） z ? z ? 2 zz2 2 （B） z ? z ? 2 zz（D）不能比较大小５． x, y 为实数，z1 ? x ? 11 ? yi, z 2 ? x ? 11 ? yi 且有 z1 ? z 2 ? 12 ， 设 则动点 ( x, y ) 的轨迹是（ ） （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线６．一个向量顺时针旋转? ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 3） （C） 3 ? i421 ? 3i ，则原向量对应的复数是（（A） 2 （B） 1 ? 3i（D） 3 ? i复变函数与积分变换习题集７．使得 z ? z 成立的复数 z 是（22） （C）纯虚数 ） （D）实数（A）不存在的（B）唯一的８．设 z 为复数，则方程 z ? z ? 2 ? i 的解是（ （A） ?3 ?i 4（B）3 ?i 4（C）3 ?i 4）（D） ?3 ?i 4９．满足不等式z?i ? 2 的所有点 z 构成的集合是（ z?i（B）无界区域 （C）有界闭区域 ）（A）有界区域（D）无界闭区域10．方程 z ? 2 ? 3i ?2 所代表的曲线是（（A）中心为 2 ? 3i ，半径为 2 的圆周（B）中心为 ? 2 ? 3i ，半径为２的圆周（C）中心为 ? 2 ? 3i ，半径为 2 的圆周 （D）中心为 2 ? 3i ，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ （A） ）z ?1 ?2 z?2 z?a ? 1 ( a ? 1) 1 ? az（B） z ? 3 ? z ? 3 ? 4（C）（D） zz ? az ? a z ? aa ? c ? 0 (c ? 0)12．设 f ( z ) ? 1 ? z , z1 ? 2 ? 3i , z 2 ? 5 ? i , ，则 f ( z1 ? z 2 ) ? （ （A） ? 4 ? 4i 13． lim （B） 4 ? 4i ） （C）等于 0 （C） 4 ? 4i）（D） ? 4 ? 4iIm(z ) ? Im(z 0 ) （ x ? x0 z ? z0（B）等于 ? i（A）等于 i（D）不存在 ）14．函数 f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y ) 在点 z 0 ? x0 ? iy0 处连续的充要条件是（ （A） u( x, y ) 在 ( x 0 , y0 ) 处连续 （B） v ( x , y ) 在 ( x 0 , y0 ) 处连续（C） u( x, y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x 0 , y0 ) 处连续（D） u( x, y ) ? v( x, y ) 在 ( x 0 , y0 ) 处连续43复变函数与积分变换习题集15．设 z ? C 且 z ? 1 ，则函数 f ( z ) ? （A） ? 3 二、填空题 1．设 z ? （B） ? 2z2 ? z ? 1 的最小值为（ z（C） ? 1） （D） 1(1 ? i )(2 ? i )(3 ? i ) ，则 z ? ( 3 ? i )(2 ? i )2．设 z ? ( 2 ? 3i )(?2 ? i ) ，则 arg z ? 3．设 z ?5 , arg(z ? i ) ?3? ，则 z ? 4(cos5? ? i sin5? ) 2 4．复数 的指数表示式为 (cos3? ? i sin3? ) 25．以方程 z ? 7 ? 15i 的根的对应点为顶点的多边形的面积为6６．不等式 z ? 2 ? z ? 2 ? 5 所表示的区域是曲线的内部７．方程2z ? 1 ? i ? 1 所表示曲线的直角坐标方程为 2 ? (1 ? i ) z和 的线段８．方程 z ? 1 ? 2i ? z ? 2 ? i 所表示的曲线是连续点 的垂直平分线 ９．对于映射 ? ?2i 2 2 ，圆周 x ? ( y ? 1) ? 1 的像曲线为 z410． lim (1 ? z ? 2 z ) ?z ?1? i三、若复数 z 满足 zz ? (1 ? 2i )z ? (1 ? 2i )z ? 3 ? 0 ，试求 z ? 2 的取值范围．2 四、设 a ? 0 ，在复数集 C 中解方程 z ? 2 z ? a .44复变函数与积分变换习题集五、设复数 z ? ? i ，试证z 是实数的充要条件为 z ? 1 或 IM ( z ) ? 0 . 1 ? z2六、对于映射 ? ?1 1 ( z ? ) ，求出圆周 z ? 4 的像. 2 z七、试证１.z1 ? 0 ( z 2 ? 0) 的充要条件为 z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ； z2 z1 ? 0 ( z j ? 0, k ? j , k , j ? 1,2,?, n)) 的充要条件为 z2２.z1 ? z 2 ? ?? z n ? z1 ? z2 ? ? ? zn .八、若 lim f ( z ) ? A ? 0 ，则存在 ? ? 0 ，使得当 0 ? z ? z0 ? ? 时有 f ( z ) ?x ? x01 A. 2九、设 z ? x ? iy ，试证x? y 2? z ? x? y.十、设 z ? x ? iy ，试讨论下列函数的连续性：? 2 xy , z?0 ? 1. f ( z ) ? ? x 2 ? y 2 ? 0, z?0 ?? x3 y ? , z?0 2. f ( z ) ? ? x 2 ? y 2 . ? 0, z?0 ?第二章一、选择题： 1．函数 f ( z ) ? 3 z 在点 z ? 0 处是( （A）解析的2解析函数)（B）可导的45复变函数与积分变换习题集（C）不可导的（D）既不解析也不可导 )2．函数 f (z ) 在点 z 可导是 f (z ) 在点 z 解析的( （A）充分不必要条件 （C）充分必要条件 3．下列命题中，正确的是(（B）必要不充分条件 （D）既非充分条件也非必要条件 )（A）设 x, y 为实数，则 cos(x ? iy) ? 1 （B）若 z0 是函数 f (z ) 的奇点，则 f (z ) 在点 z0 不可导 （C）若 u, v 在区域 D 内满足柯西-黎曼方程，则 f ( z ) ? u ? iv 在 D 内解析 （D）若 f (z ) 在区域 D 内解析，则 if (z ) 在 D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( （A） x 2 ? y 2 ? 2 xyi （C） 2( x ? 1) y ? i ( y ? x ? 2 x )2 2) （B） x 2 ? xyi （D） x ? iy3 35．函数 f ( z ) ? z 2 Im(z ) 在 （A）等于 0（B）等于 12 26．若函数 f ( z ) ? x ? 2 xy ? y ? i ( y ? axy ? x ) 在复平面内处处解析，那么实常2 2数a ?( ) （A） 0（B） 17．如果 f ?(z ) 在单位圆 z ? 1 内处处为零，且 f (0) ? ?1 ，那么在 z ? 1 内 f (z ) ? ( （A） 0 （B） 1 （C） ? 1 （D）任意常数8．设函数 f (z ) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，正确的是 （A）若 f (z ) 在 D 内是一常数，则 f (z ) 在 D 内是一常数 （B）若 Re ( f ( z )) 在 D 内是一常数，则 f (z ) 在 D 内是一常数 （C）若 f (z ) 与 f (z ) 在 D 内解析，则 f (z ) 在 D 内是一常数0?z处的导数() （D）不存在（C）等于 ? 1（C） 2（D） ? 2 )46复变函数与积分变换习题集（D）若 arg f ( z ) 在 D 内是一常数，则 f (z ) 在 D 内是一常数 9．设 f ( z ) ? x 2 ? iy 2 ，则 f ?(1 ? i ) ? ( （A） 2 10． i 的主值为( （A） 0 11． e 在复平面上(z i) （C） 1 ? i （D） 2 ? 2i（B） 2i )?（B） 1 )（C） e 2（D） e??2（A）无可导点 （C）有可导点，且在可导点集上解析（B）有可导点，但不解析 （D）处处解析 )12．设 f ( z ) ? sinz ，则下列命题中，不正确的是( （A） f (z ) 在复平面上处处解析（B） f (z ) 以 2? 为周期e iz ? e ? iz （C） f ( z ) ? 213．设 ? 为任意实数，则 1 (?（D） f (z ) 是无界的) （B）等于 1 （D）是复数，其模等于 1 ) （C） ln i?3? i 2（A）无定义 （C）是复数，其实部等于 1 14．下列数中，为实数的是( （A） (1 ? i )3?（B） cos i )（D） e15．设 ? 是复数，则(?（A） z 在复平面上处处解析 （C） z 一般是多值函数 二、填空题 1．设 f (0) ? 1, f ?(0) ? 1 ? i ，则 limz ?0? （B） z 的模为 z?（D） z 的辐角为 z 的辐角的 ? 倍?f (z) ? 1 ? z2．设 f ( z ) ? u ? iv 在区域 D 内是解析的，如果 u ? v 是实常数，那么 f (z ) 在 D 内是47复变函数与积分变换习题集3．导函数 f ?( z ) ??u ?v ?i 在区域 D 内解析的充要条件为 ?x ?x 3 3 ? i) ? 2 24．设 f ( z ) ? x 3 ? y 3 ? ix 2 y 2 ，则 f ?( ?5．若解析函数 f ( z ) ? u ? iv 的实部 u ? x 2 ? y 2 ，那么 f (z ) ? 6．函数 f ( z ) ? z Im(z ) ? Re(z ) 仅在点 z ? 7．设 f ( z ) ? 处可导1 5 z ? (1 ? i ) z ，则方程 f ?( z ) ? 0 的所有根为 58．复数 i 的模为i3 9． Im{ln( ? 4i )} ?10．方程 1 ? e 三 、 设?z? 0 的全部解为为f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y )z ? x ? iy的 解 析 函 数 ， 若 记w( z , z ) ? u(?w z?z z?z z?z z?z , ) ? iv( , ) ，则 ? 0． 2 2i 2 2i ?z四、试证下列函数在 z 平面上解析，并分别求出其导数 1． f ( z ) ? cos x cosh y ? 2． f ( z ) ? e ( x cos y ? y sin y) ? ie ( y cos y ? ix sin y);x x五、设 w ? 2zw ? e ? 0 ，求3 zdw d 2 w , . dz dz 2? xy 2 ( x ? iy ) ? , z?0 六、设 f ( z ) ? ? x 2 ? y 4 试证 f (z ) 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导. ? 0, z?0 ?2 2 七、已知 u ? v ? x ? y ，试确定解析函数 f ( z ) ? u ? iv .48复变函数与积分变换习题集八、设 s 和 n 为平面向量，将 s 按逆时针方向旋转???? ? 即得 n .如果 f ( z ) ? u ? iv 为解析函数， 2则有? ? ?u ?v ?u ?v ? ? ? , ?? （ 与 分别表示沿 s , n 的方向导数）. ?s ?n ?n ?s ? s ? n九、若函数 f (z ) 在上半平面内解析，试证函数 f (z ) 在下半平面内解析. 十、解方程 sin z ? i cos z ? 4i .第三章一、选择题：复变函数的积分1．设 c 为从原点沿 y 2 ? x 至 1 ? i 的弧段，则 ( x ? iy )dz ? (2 c?)（A）1 5 ? i 6 6（B） ?1 5 ? i 6 6（C） ?1 5 ? i 6 6（D）1 5 ? i 6 6)2．设 c 为不经过点 1 与 ? 1 的正向简单闭曲线，则? ( z ? 1)(z ? 1)cz2dz 为(（A）?i 2（B） ??i2（C） 0（D）(A)(B)(C)都有可能3．设 c1 : z ? 1 为负向， c 2 : z ? 3 正向，则 （A）sinz dz ? ( z2 c ? c1 ? c2?) （D） 4? i? 2? i（B） 0（C） 2? i4．设 c 为正向圆周 z ? 2 ，则 （A） ? sin 1? (1 ? z )ccos z2dz ? () （D） 2?i sin 1（B） sin 1（C） ? 2?i sin 15．设 c 为正向圆周 z ?1 ，则 ? 2 cz 3 cos1 z ? 2 dz ? ( (1 ? z ) 2) （D） ? 2?i sin 1（A） 2?i (3 cos1 ? sin1)（B） 049（C） 6?i cos 1复变函数与积分变换习题集e? d? ，其中 z ? 4 ，则 f ?(?i） ( 6．设 f ( z ) ? ? ? ? ?4 ? ? z（A） ? 2? i （B） ? 1 （C） 2? i) （D） 17．设 f (z ) 在单连通域 B 内处处解析且不为零， c 为 B 内任何一条简单闭曲线，则积分f ??( z ) ? 2 f ?( z ) ? f ( z ) dz ( ?c f (z)（A）于 2? i 8．设 c 是从 0 到 1 ?) （C）等于 0 ） （D）不能确定（B）等于 ? 2? i?2i 的直线段，则积分 ? ze z dz ? （c（A） 1 ??e2(B) ? 1 ??e2(C) 1 ??e2i(D) 1 ??e2isi n ( z ) 2 2 9．设 c 为正向圆周 x ? y ? 2 x ? 0 ，则 ? 2 4 dz ? ( z ?1 c（A）?)2 ?i 2（B） 2?i（C） 0（D） ?2 ?i 210．设 c 为正向圆周 z ? i ? 1, a ? i ，则? (a ? i )cz cos z2dz ? ()（A） 2?ie（B）2?i e（C） 0（D） i cos i11．设 f (z ) 在区域 D 内解析， c 为 D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于 D ．如果f (z ) 在 c 上的值为 2，那么对 c 内任一点 z0 , f ( z 0 ) (（A）等于 0 （B）等于 1 12．下列命题中，不正确的是( ) （A）积分) （D）不能确定（C）等于 2z?a ?r?1 dz 的值与半径 r ( r ? 0) 的大小无关 z?a50复变函数与积分变换习题集（B）? (xc2? iy 2 )dz ? 2 ,其中 c 为连接 ? i 到 i 的线段（C）若在区域 D 内有 f ?( z ) ? g( z ) ，则在 D 内 g ?(z ) 存在且解析 （D）若 f (z ) 在 0 ? z ? 1 内解析，且沿任何圆周 c : z ? r (0 ? r ? 1) 的积分等于零，则f (z ) 在 z ? 0 处解析13．设 c 为任意实常数，那么由调和函数 u ? x 2 ? y 2 确定的解析函数 f ( z ) ? u ? iv 是 ( ) (A) iz ? c2（B）iz 2 ? ic)（C） z ? c2（D） z ? ic214．下列命题中，正确的是(（A）设 v 1 , v 2 在区域 D 内均为 u 的共轭调和函数，则必有 v 1 ? v 2 （B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C）若 f ( z ) ? u ? iv 在区域 D 内解析，则?u 为 D 内的调和函数 ?x（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 15．设 v ( x , y ) 在区域 D 内为 u( x, y ) 的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解析函数的是 ( ) （A） v( x , y ) ? iu( x , y ) （C） u( x , y ) ? iv( x , y ) （B） v( x , y ) ? iu( x , y )（D）?u ?v ?i ?x ?x二、填空题 1．设 c 为沿原点 z ? 0 到点 z ? 1 ? i 的直线段，则 2 z dz ?c?z 2 ? 3z ? 2 2．设 c 为正向圆周 z ? 4 ? 1 ，则 ? dz ? c ( z ? 4) 251复变函数与积分变换习题集sin( ? ) 2 d? ,其中 z ? 2 ，则 f ?(3) ? 3．设 f ( z ) ? ? ? ?2 ? ? z4．设 c 为正向圆周 z ? 3 ，则??cz?z dz ? z5．设 c 为负向圆周 z ? 4 ，则ez ? ( z ? ?i )5 dz ? c6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设 f (z ) 在单连通域 B 内连续，且对于 B 内任何一条简单闭曲线 c 都有 么 f (z ) 在 B 内 8．调和函数 ? ( x, y ) ? xy 的共轭调和函数为 9．若函数 u( x, y) ? x ? axy 为某一解析函数的虚部，则常数 a ?3 2? f ( z )dz ? 0 ，那c10．设 u( x, y ) 的共轭调和函数为 v ( x , y ) ，那么 v ( x , y ) 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.6z dz ,其中 R ? 0, R ? 1 且 R ? 2 ; ( z ? 1)(z ? 2) z ?R?22.dz ． 2 z ?2 z ? 2z ? 2?4四、设 f (z ) 在单连通域 B 内解析，且满足 1 ? f ( z ) ? 1 ( x ? B) .试证 １．在 B 内处处有 f ( z ) ? 0 ；２．对于 B 内任意一条闭曲线 c ，都有?cf ??( z ) dz ? 0 f (z)z ?a ? r五、设 f (z ) 在圆域 z ? a ? R 内解析，若 max f ( z ) ? M ( r )(0 ? r ? R) ，52复变函数与积分变换习题集则 f( n)(a ) ?n! M ( r ) ( n ? 1,2,?) . rn六、求积分? ez cos? ? ??1 z dz ，从而证明 ?0 e cos(sin )d? ? ? . z七 、 设 f (z ) 在 复 平 面 上 处 处 解 析 且 有 界 ， 对 于 任 意 给 定 的 两 个 复 数 a, b ， 试 求 极 限f (z) dz 并由此推证 f (a ) ? f (b) （刘维尔 Liouville 定理）. R ? ?? ( z ? a )(z ? b) z ?R lim?八、 f (z ) 在 z ? R ( R ? 1) 内解析， f (0) ? 1, f ?(0) ? 2 ， 设 且 试计算积分z ?1?( z ? 1) 2f (z) dz z2并由此得出?2?0cos2?2f (e i? )d? 之值.九、设 f ( z ) ? u ? iv 是 z 的解析函数，证明? 2 ln( ? f ( z ) ) 1 ?x 22?? 2 ln( ? f ( z ) ) 1 ?y 22?4 f ?( z )2 2(1 ? f ( z ) ) 2.2 2 十、若 u ? u( x ? y ) ，试求解析函数 f ( z ) ? u ? iv .第四章一、选择题：级数( ?1) n ? ni ( n ? 1,2,?) ，则 lim a n ( 1．设 a n ? n? ? n?4（A）等于 0 （B）等于 1 2．下列级数中，条件收敛的级数为( （A） ) （B）) （D）不存在（C）等于 i?(n ?1?1 ? 3i n ) 2( 3 ? 4i ) n ? n! n ?1?in （C） ? n ?1 n?（D）?n ?1?( ?1) n ? i n?153复变函数与积分变换习题集3．下列级数中，绝对收敛的级数为( （B）?) （B）1 i ? n (1 ? n ) n ?1??[n ?1 ??(?1) n i ? n] n 2(C)in ? lnn n?2（D）( ?1) n i n ? 2n n ?1)4．若幂级数?cn ?0?nz n 在 z ? 1 ? 2i 处收敛，那么该级数在 z ? 2 处的敛散性为(（B）条件收敛 （D）不能确定?（A）绝对收敛 （C）发散 5．设幂级数? c n z n , ? ncn z n?1 和n? 0 n? 0??n?1zn? 0?cnn ?1的 收 敛 半 径 分 别 为 R1 , R2 , R3 ， 则R1 , R2 , R3 之间的关系是(（A） R1 ? R2 ? R3 （C） R1 ? R2 ? R3 6．设 0 ? q ? 1 ，则幂级数) （B） R1 ? R2 ? R3 （D） R1 ? R2 ? R3?qn ?0?n2z n 的收敛半径 R ? ()（A） q（B）1 q（C） 0（D） ? ?7．幂级数?n ?1?si nn? 2 ( z ) n 的收敛半径 R ? ( n 2（B） 2)（A）?1（C） 2（D） ? ?8．幂级数( ?1) n n?1 ? n ? 1 z 在 z ? 1 内的和函数为 n? 01 （B） ln( ? z )541 （A） ln( ? z )复变函数与积分变换习题集（D） ln1 1? z(D) ln1 1? z)9．设函数? ? ez 的泰勒展开式为 ? cn z n ，那么幂级数 ? c n z n 的收敛半径 R ? ( cos z n?0 n ?0（A） ? ?（B） 1（C）? 2)（D） ?10．级数1 1 ? ? 1 ? z ? z 2 ? ? 的收敛域是( 2 z z（B） 0 ? z ? 1（A） z ? 1（C） 1 ? z ? ??（D）不存在的11．函数1 在 z ? ?1 处的泰勒展开式为( z2?)?（A）? (?1) n n( z ? 1) n?1n ?1( z ? 1 ? 1)（B）? (?1)n ?1 ? n ?1n ?1n( z ? 1) n?1( z ? 1 ? 1)（C） ?? n( z ? 1) n?1n ?1?( z ? 1 ? 1)（D）? n( z ? 1)n ?1( z ? 1 ? 1)12．函数 sin z ，在 z ???2处的泰勒展开式为()(?1) n ? （A） ? ( z ? ) 2 n?1 2 n ? 0 ( 2n ? 1)!（B）(z??2? ??)( ?1) n ? ? (2n)! ( z ? 2 ) 2n n? 0?(z??2? ??)（C）( ?1) n?1 ? ? (2n ? 1)! ( z ? 2 ) 2n?1 n? 0? ?(z??2? ??)(?1) n?1 ? （D） ? ( z ? ) 2n 2 n? 0 ( 2n)!(z??2? ??)55复变函数与积分变换习题集13．设 f (z ) 在圆环域 H : R1 ? z ? z0 ? R2 内的洛朗展开式为n ? ???c?n( z ? z0 )n ， c 为 H 内绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，那么 (A) 2?ic ?1 14．若 c n ? ? （B） 2?ic1? (z ? zcf (z) dz ? ( 2 0)（C） 2?ic 2) （D） 2?if ?( z 0 )?3 n ? ( ?1) n , ? 4 ,nn ? 0,1,2,? n ? ?1,?2,?，则双边幂级数n ? ???c?nz n 的收敛域为()（A）1 1 ? z ? 4 3 1 ? z ? ?? 4（B） 3 ? z ? 4（C）（D）1 ? z ? ?? 315．设函数 f ( z ) ?1 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 m 个，那么 z( z ? 1)(z ? 4)（B）2 （C）3 （D）4m?(（A）1 二、填空题)1．若幂级数 为??cn? 0?n(z ? i )n 在 z ? i 处 发 散 ， 那 么 该 级 数 在 z ? 2 处 的 收 敛 性． 2．设幂级数? c n z n 与 ? [Re (c n )]z n 的收敛半径分别为 R1 和 R2 ，那么 R1 与 R2 之间的关n ?0 n ?0?系是 3．幂级数．? ( 2i )n? 0?nz 2 n?1 的收敛半径 R ?4．设 f (z ) 在区域 D 内解析， z0 为内的一点， d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离，那么56复变函数与积分变换习题集当 z ? z0 ? d 时， f ( z ) ??cn? 0?n( z ? z 0 ) n 成立，其中 c n ?．．5．函数 arctan z 在 z ? 0 处的泰勒展开式为 6．设幂级数 为 7．双边幂级数?cn ?0?nzn 的 收 敛 半 径 为 R ， 那 么 幂 级 数．? (2n? 0?n? 1)c n z n 的 收 敛 半 径? (?1) nn ?1?? 1 z ? ? ( ?1) n (1 ? ) n 的收敛域为 2 2 ( z ? 2) n ?1．18．函数 e ? e z 在 0 ? z ? ??内洛朗展开式为z．9．设函数 cot z 在原点的去心邻域 0 ? z ? R 内的洛朗展开式为 收敛域的外半径 R ? 10．函数 ．n ? ???c?nz n ，那么该洛朗级数1 在 1 ? z ? i ? ?? 内的洛朗展开式为 z( z ? i )．三、若函数? 1 n 在 z ? 0 处的泰勒展开式为 ? a n z ，则称 ?a n ? 为菲波那契(Fibonacci)数 1 ? z ? z2 n ?0列，试确定 a n 满足的递推关系式，并明确给出 a n 的表达式． 四、试证明 1． e ? 1 ? ez z?1? zez( z ? ?? );( z ? 1);z 2． ( 3 ? e ) z ? e ? 1 ? (e ? 1) z五、设函数 f (z ) 在圆域 z ? R 内解析， S n ??k ?0nf ( k ) ( 0) k z 试证 k!1． S n ( z ) ?1 2?i? ?f (? )?r? n ? 1 ? z n ? 1 d? ? ? z ? n?1( z ? r ? R) .57复变函数与积分变换习题集z n?1 ? 2． f ( z） S n ( z ) ? 2?i?? ??r?n?1f (? ) d? (? ? z )?( z ? r ? R) 。六、设幂级数? n 2 z n 的和函数，并计算 ?n ?1n2 之值. n n ?1 2?七、设 f ( z ) ???an? 0?nz ( z ? R1 ), g( z ) ? ? bn z n ( z ? R2 ) ，则对任意的 r (0 ? r ? R1 ) ，在n n? 0z ? rR2 内 ? a n bn z n ?n? 01 2?i? ?z d? 。 f (? ) g( )?r? ?八、设在 z ? R 内解析的函数 f (z ) 有泰勒展开式 f ( z ) ? a0 ? a1 z ? a2 z 2 ? ? ? an z n ? ? 试证当 0 ? r ? R 时1 2??2?0f ( re i? ) d? ? ? a n r 2 n .2 2 n? 0?九、将函数ln(2 ? z ) 在 0 ? z ? 1 ? 1 内展开成洛朗级数. z( z ? 1)十、试证在 0 ? z ? ??内下列展开式成立：z? 1 ze? c0 ? ? c n ( z n ?n ?1?1 1 ) 其中 c n ? n ? z??0e 2 cos? cos n?d?( n ? 0,1,2,?)第五章一、选择题： 1．函数留数cot ?z 在 z ? i ? 2 内的奇点个数为 ( 2z ? 3（B）2) （D）4（A）1（C）32．设函数 f (z ) 与 g(z ) 分别以 z ? a 为本性奇点与 m 级极点，则 z ? a 为函数 f ( z ) g( z ) 的( ) （A）可去奇点 （C） m 级极点（B）本性奇点 （D）小于 m 级的极点58复变函数与积分变换习题集1? ex 3．设 z ? 0 为函数 4 的 m 级极点，那么 m ? ( z sinz2) （D）2（A）5（B）4(C)3 ) （B）一级极点 （D）本性奇点 ) （B）一级极点 （D）本性奇点4． z ? 1 是函数 ( z ? 1) sin (A)可去奇点 （C） 一级零点 5． z ? ? 是函数1 的( z ?13 ? 2z ? z 3 的( z2(A)可去奇点 （C） 二级极点 6．设 f ( z ) ??an? 0?nz n 在 z ? R 内解析， k 为正整数，那么 Re s[（B） k! a k （C） a k ?1f (z) ,0] ? ( zk)（A） a k（D） (k ? 1)!a k ?17．设 z ? a 为解析函数 f (z ) 的 m 级零点，那么 Re s[ （B） ? m （C） m ? 1 ）f ?( z ) , a] ? ( f (z))(A) m（D） ? ( m ? 1)8．在下列函数中， Re s[ f ( z ),0] ? 0 的是（（A）ez ? 1 f (z) ? z2（B） f ( z ) ?sinz 1 ? z z（C） f ( z ) ?sinz ? cos z z)?m(D) f ( z ) ?1 1 ? e ?1 zz9．下列命题中，正确的是( （A） 设 f ( z ) ? ( z ? z 0 ) 极点．? ( z ) ，? (z ) 在 z0 点解析，m 为自然数，则 z0 为 f (z ) 的 m 级（B） 如果无穷远点 ? 是函数 f (z ) 的可去奇点，那么 Re s[ f ( z ), ?] ? 059复变函数与积分变换习题集（C） 若 z ? 0 为偶函数 f (z ) 的一个孤立奇点，则 Re s[ f ( z ),0] ? 0 （D） 若? f ( z )dz ? 0 ，则 f (z ) 在 c 内无奇点c10． Re s[ z cos32i , ?] ? ( z（B）)（A） ?2 32 1 z?i2 3（C）2 i 3（D） ?2 i 311． Re s[ z e （A） ?, i] ? ()1 ?i 6（B） ?5 ?i 6)（C）1 ?i 6（D）5 ?i 612．下列命题中，不正确的是(（A）若 z 0 (? ?) 是 f (z ) 的可去奇点或解析点，则 Re s[ f ( z ), z0 ] ? 0 （B）若 P (z ) 与 Q (z ) 在 z0 解析， z0 为 Q (z ) 的一级零点，则 Re s[ （ C ） 若P( z0 ) P( z) , z0 ] ? Q( z ) Q ?( z 0 )z0 为f (z ) 的 m 级 极 点 ， n ? m 为 自 然 数 ， 则Re s[ f ( z ), z 0 ] ?1 dn lim n [(z ? z 0 ) n?1 f ( z )] n! x ? x0 dz1 z（ D ） 如 果 无 穷 远 点 ? 为 f (z ) 的 一 级 极 点 ， 则 z ? 0 为 f ( ) 的 一 级 极 点 ， 并 且1 Re s[ f ( z ), ?] ? limzf ( ) z? 0 z13．设 n ? 1 为正整数，则1 dz ? ( z ?1 z ?2?n)(A) 0（B） 2? i（C）2?i n（D） 2 n ? i60复变函数与积分变换习题集14．积分z?z9 ? 3 z 10 ? 1 dz ? (2)（A） 0（B） 2? i（C） 10（D）?i 515．积分1 z 2 sin dz ? ( z z ?1?)（A） 0 二、填空题（B） ?1 6（C） ??i3（D） ? ?i3 3 1．设 z ? 0 为函数 z ? sinz 的 m 级零点，那么 m ?．2 ． 函 数 f (z) ?1 1 cos z在 其 孤 立 奇 点 zk ?1 k? ??2( k ? 0,?1,?2, ??) 处 的 留 数Re s[ f ( z ), z k ] ?3．设函数 f ( z ) ? e xp{z ?2．1 } ，则 Re s[ f ( z ),0] ? z24．设 z ? a 为函数 f (z ) 的 m 级极点，那么 Re s[ 5．双曲正切函数 tanh z 在其孤立奇点处的留数为 6．设 f ( z ) ?f ?( z ) , a] ? f (z)． ．．2z ，则 Re s[ f ( z ), ?] ? 1 ? z27．设 f ( z ) ?1 ? cos z ，则 Re s[ f ( z ),0] ? z5e dz ?1 z．8．积分z ?1?z3．61复变函数与积分变换习题集9．积分1 dz ? sin z z ?1?．10．积分xe ix ??? 1 ? x 2 dx ???．三、计算积分?z?z sinz dz ． 2 1 (e ? 1 ? z )z 4四 、 设 a 为 f (z ) 的 孤 立 奇 点 ， m 为 正 整 数 ， 试 证 a 为 f (z ) 的 m 级 极 点 的 充 要 条 件 是lim( z ? a ) m f ( z ) ? b ，其中 b ? 0 为有限数．z ?a五、设 a 为 f (z ) 的孤立奇点，试证：若 f (z ) 是奇函数，则 Re s[ f ( z ), a] ? Re s[ f ( z ),?a] ； 若 f (z ) 是偶函数，则 Re s[ f ( z ), a] ? ? Re s[ f ( z ),?a]62复变函数与积分变换习题集第七章1. 单项选择题Fourier 变换)(1)设f (t ) ? ? (t ? t 0 ),则F[ f (t )] ? (( A) 1( B) 2?(C )e i?0t( D) e ? i?0t)(2) 设f (t ) ? cos? 0 t , 则F[ f (t )] ? (( A)? [? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )] (C )?i[? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )]( B)? [? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )] ( D)?i[? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )])(3) 设F[ f (t )] ? F (? ),则F[(t ? 2) f (t )] ? (( A) F ?(? ) ? 2F (? ) (C ) iF ?(? ) ? 2F (? )( B ) ? F ?(? ) ? 2F (? ) ( D) ? iF ?(? ) ? 2F (? ))(4) 设F[ f (t )] ? F (? ),则F[ f (1 ? t )] ? (( A) F (? )e ? i? (C ) F (? )e i?( B ) F ( ?? )e ? i? ( D) F ( ?? )e i?(5) 设f (t ) ? ? (2 ? t ) ? e i?0t , 则F[ f (t )] ? (( A) e ?2?i ? 2? ? (? ? ? 0 ) (C ) e ? 2?i ? 2? ? (? ? ? 0 ))( B ) e 2?i ? 2? ? (? ? ? 0 ) ( D ) e 2?i ? 2? ? (? ? ? 0 )(6) 下列变换中不正确的是 ) ( 1 ( A) F[u( t )] ? ? ? ? (? ) ( B ) F[1] ? 2? ? (? ) i? 2 (C ) F[2? ( t )] ? 1 ( D ) F[sgn ( )] ? t i?(7) 设F[ f (t )] ? F (? ), 假如当 ? ??时, g(t ) ? ? tt??f (t )dt ? 0,则F[?2t??f (t )dt ] ? ()63复变函数与积分变换习题集1 ? F( ) 2 i? 2 1 (C ) F (? ) 2 i? ( A)( B)F( ) i? 2 1 ( D) F (? ) i?1?(8) 设f (t ) ? te i?0t , 则F[ f (t )] ? (( A) 2?? ?(? ? ? 0 ) (C ) 2?i? ?(? ? ? 0 ) 具有奇偶性其中 , ( ))( B) 2?? ?(? ? ? 0 ) ( D) 2?i? (? ? ? 0 )(9) 函数f (t )的振幅频谱 F (? ) | 与相位频谱 (? ) | ?( A) | F (? ) | 为 奇 函 数? (? )为 偶 函 数 , ( B ) | F (? ) | 为 偶 函 数? (? )为 奇 函 数 , (C ) | F (? ) | 与? (? )均 为 偶 函 数 ( D ) | F (? ) | 与? (? )均 为 奇 函 数(10)设 F[ f (t )] ? F (? ),则下列公式中不正确的 是( )( A) F[ f ( t ) * f ( t )] ? ( F (? ))2 1 F (? ) * F (? ) 2? (C ) F[ f ( t )e ? i? 0 t ] ? F (? ? ? 0 ) ( B ) F[( f ( t ))2 ] ? ( D ) ? [ f ( t )]2 dt ??? ??1 2??????| F (? ) |2 d?2.填 空 题 ?e ?t , t ? 0 (1)设a ? 0, f ( t ) ? ? ??t , 则 函 数 ( t )的Fourier为 f ?e , t ? 0 .(2)设f (t ) ? sin2 t , 则F[ f (t )] ?( 3)设F[ f ( t )] ? 3 , 则f ( t ) ? 1?? 2..64复变函数与积分变换习题集?0, t ? 0 (4)设f ( t ) ? ? ? t , 则u( t ) * f ( t ) ? . ?e , t ? 0 ?? ?1, 0 ? ? ? 1 (5)积分方程 f (t ) sin?tdt ? ? 的解f (t ) ? ?0 ?0, ? ? 1.3 求函数 (t ) ? te ? t 的Fourier变换, 并推证 f2???0?e?1 4? 2sin ?td? ? 2 ? te ? t .265复变函数与积分变换习题集二、 选择题(1)设f (t ) ? ? (t ? t 0 ),则L [ f (t )] ? ()( A) 1( B) e t0 s(C )e?t 0 s( D)2?t （2） L [cos( ??4)] ? （）??（A）2 s?1 2 s2 ? 1（B）2 s?1 2 s2 ? 1）（C）2 s ? 1 ?4s e 2 s2 ? 1（D）2 s ?1 ?4s e 2 s2 ? 1(3) L [ e0?t? 3tsint d t ] ? （（A）1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1 1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1? 3t（B）1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1 1 1 s ( s ? 3) 2 ? 1（C） ?t（D） ?(4) L[t?e0sint d t ] ? （）（A） ?1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1 1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1（B）1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1 1 3s 2 ? 12s ? 10 s 2 ( s ? 3) 2 ? 1）（C） ?（D）s2 (5) 函数 的拉普拉斯逆变换为（ ( s ? 1) 2 ? 1（A） ? ( t ) ? 2e （C） ? (t ) ? 2e?tcost（B） ? ( t ) ? 2 cos t ? 2 sint?tsint(D)i ? 1 it e 2）(6) 函数s e ? s 的拉普拉斯逆变换为（ s?166复变函数与积分变换习题集（A） ? (t ? 1) ? e ? t （C） e ? ( t ?1) u(t ? 1) (7)积分（B） ? (t ? 1)u(t ? 1) ? e ? t （D） ? (t ? 1)u(t ? 1) ? e ?( t ?1) u(t ? 1) ）???0te ? 2 t costdt 的值为（(B)（A） 03 25(C)?3 25）(D)4 25(8) 积分 （A） 0???0[ ? e ?? cos? d? ]e t dt 的值为（0?(B) 1(C)?1）(D) 不存在(9) t ? a 时 u(t ? a ) ? f (t ) 的值为（ （A） 0 三、 填空题 （1）设 L [ f ( t )] ? F ( s ), a ? 0, 则 L [e （2） L [t u(1 ? e )] ?2 ?t?(B) 1(C)?1(D) 不存在t at f ( )] ? a（3） L [e? ( t ?? )cos?t ] ?t （4） L [sin( ? 2)u( t ? 2)] ?（5） L?1e ?5 s ? 1 [ ]? s（6） L?1[1 ]? s ( s ? a)3（7） L?1[lns2 ? 1 ]? s( s ? 1)67复变函数与积分变换习题集（8）???0si nt dt ? t（9） ? (t ? a ) ? f (t ) ? 四、 计算下列函数的拉普拉斯变换.? 3, 0 ? t ? 0 ? （1） f ( t ) ? ? ? 1, 2 ? t ? 4 ?0, t ? 4 ?（3） f ( t ) ? t cosat（2） f (t ) ? sin2t ? 3 cos2t ? 8e?2 t?2（4）e t ? cos 2t ?0 t dtt五、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。s?1 （1） 2 s ? 4s ? 4五、计算下列积分。 （1）1 （2） 3 s ? 3s 2 ? 2ss2 （3） ( s ? 2) 2 ? 42 s 2 e ? s ? ( s ? 1)e ?2 s （4） s3???0t e2 ? 2tcosatdt（2）???0sin2 t dt t2(3)???0sin( ? 2)u(t ? 2)e ? t dt t六、利用拉普拉斯变换求解下列微分方程或方程组。 1． f ?? ? 5 f ? ? 6 f ? 0,f (0) ? 1, f ?(0) ? 22． f ?? ? 2 f ? ? f ? sint , t ? 0, f (0) ? 1, f ?(0) ? 0. 3． ty ?? ? y ? ? 4ty ? 0, y(0) ? 3, y ?(0) ? 0 4. ty ?? ? (1 ? n ? t ) y ? ? nty ? t ? 1 ( n ? 2,3,?), y(0) ? 0 5． ty ?? ? 2(t ? 1) y ? ? (t ? 2) y ? 0,y(0) ? 0? x ?? ? x ? 2 y ? ? e t , 6． ? 2 ? x ? ? y ?? ? 2 y ? t答案： 一、(1)C (2) A (3) B3 1 1 x(0) ? ? , x ?(0) ? , y(0) ? 1, y ?(0) ? ? 2 2 2(4) D (5) A (6) D (7) B (8) A (9)A68复变函数与积分变换习题集二、1。 aF(as ? 1)2。2 s33。( s ? 1)e ?? ( s ? 1) 2 ? ? 24。e ?2 s s2 ? 15. eu( t ? 5)6.1 1 at a 2 t 2 ? (e ? ? at ? 1) 7. (1 ? e ? t ? 2 cos t ) 8. 3 t 2 2 a9. ?t?a ?0, ? f (t ? a ), t ? a三、 （1） L [ f ( t )] ??203e ? st d t ? ? e ? st d t ?4 21 ?4 s (e ? 4e ? 2 s ? 3) s（2） L [ [ f ( t )] ?2 s 1 2 ?3 2 ?8 ? s?2 s s ?4 s ?42（3） L [ f ( t )] ? ?[s s2 ? a2 ]? ? 2 s2 ? a2 (s ? a 2 )2（4） L [1 ? e t ? cos 2t 1 e t ? cos 2t d t] ? L [ ] ? ? L [e t ? cos2t ]d s ?0 t s s s tt?1 ?? 1 s 1 s2 ? 4 。 ( ? 2 ) d s ? ln s ?s s ? 1 s ? 4 s s ?1四（1） L （2）因为?1[s?1 ] ?L s ? 4s ? 42?1[1 1 ? ] ? e ?2t ? te ?2t 2 ( s ? 2 ) ( s ? 2)L?1[1 ]=L s ? 3s 2 ? 2s3?1[1 1 ] ? Re s[ e st , s ? 0] + s( s ? 2)(s ? 1) s( s ? 2)(s ? 1)Re s[1 1 1 e st , s ? ?1] + Re s[ e st , s ? ?2] = [1 ? 2e ? t ? e ? 2t ] 2 s( s ? 2)(s ? 1) s( s ? 2)(s ? 1)?1（3） L[s2 ]?L ( s ? 2) 2 ? 4?1[1 ?4( s ? 2) ] = ? (t ) ? 4e ?2t cos2t ( s ? 2) 2 ? 4?1（4） L?1[2 s 2 e ? s ? ( s ? 1)e ?2 s ] ? 2L s3[e ?s ]? L s69?1[e ?2 s ]? L s2?1[e ?2 s ] s3复变函数与积分变换习题集1 ? 2u( t ? 1) ? ( t ? 2)u( t ? 2) ? ( t ? 2) 2 u( t ? 2) 2五、 （1）因为 L [t cosat] = ? (s s2 ? a2 )? ? 2 ， s2 ? a2 (s ? a 2 )2所以???0te???2ts2 ? a2 cosat d t ? 2 (s ? a 2 )2s?24 ? a2 ? (4 ? a 2 ) 2?? 0（2）?0?? sin2 t 1 sin2 t 2 ?dt ? ? dt ? ? ? sin t ( ) 0 t t t2????0sin2t dt ? t??s2 ? ds ? . 2 s ?42t (3) 因为 L [sin( ? 2)u( t ? 2)] ? e???2s1 ，所以 s ?12?六、(1) f (t ) ? e2t0sin( ? 2)u( t ? 2)e ? t d t ? t1 ?2 e . 2(2) 假设 L [ f ( t )] ? F ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有( s 2 ? 2 s ? 1)F ( s ) ? s ? 2 ?整理得1 s ?12F ( s) ?s?2 1 ? 2 s ? 2s ? 1 ( s ? 2 s ? 1)(s 2 ? 1)2将上式右端的第一项写为s?2 1 1 ? ? s ? 2 s ? 1 s ? 2 ( s ? 1) 22L?1[1 ] ? e ?t s?2L?1[1 1 ] ? Re s[ e st , s ? ?1] ? te ? t , 2 2 ( s ? 1) ( s ? 1)70复变函数与积分变换习题集可得s?2 的拉普拉斯逆变换为 s ? 2s ? 12f 1 (t ) ? e ? t ? te ? t将上式右端的第二项写为1 1 1 1 1 1 s ? ? ? 2 2 2 s2 ? 1 ( s ? 2s ? 1)(s ? 1) 2 s ? 1 2 ( s ? 1)2其拉普拉斯逆变换为f 2 (t ) ?1 ?t 1 ?t 1 e ? te ? cos t . 2 2 2因此，原方程的解为f (t ) ?3 ?t 3 ?t 1 e ? te ? cos t . 2 2 2（3）假设 L [ f ( t )] ? F ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有?从而d 2 d [ s Y ( s ) ? sy (0) ? y ?(0)] ? [ sY ( s ) ? y(0)] ? 4 Y ( s ) ? 0 ds ds( s 2 ? 4)即dY ? sY ( s ) ? 0 dsdY sds ?? 2 ds s ?4两 边 积 分 得 lnY ?1 ln (s 2 ? 4) ? c 或 Y ( s ) ? 2c s2 ? 4， 取 逆 变 换 得 y(t ) ? cJ 0 (2t ). 又y(0) ? 3, 知 y(0) ? cJ 0 (0) ? c ? 3, 所以方程的解为y(t ) ? 3J 0 (2t ),71复变函数与积分变换习题集其中 J 0 ( x ) ?1 (?1) k x 2 k ? k! ?(k ? 1) ( 2 ) . k ?0?（4）假设 L [ f ( t )] ? F ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有?d 2 d 1 1 [ s Y ( s ) ? sy(0) ? y ?(0)] ? (1 ? n)[sY ( s ) ? y(0)] ? [ sY ( s ) ? y(0)] ? nY ( s ) ? 2 ? ds ds s s整理得d n?1 1 Y ( s) ? Y ( s) ? 3 . ds s s这是一个一阶线性非齐次微分方程，这里P( s) ?所以n?1 1 , Q( s ) ? 3 , s sY ( s) ? e ?P ( s ) dss 1 n ?1 1 c ? n?1 [ s ? c] ? ? n?1 2 n?1 s ( n ? 1) s s 1[ ? Q( s )e ?P ( s ) ds? c]?1n?1[?1 n?1 s ds ? c ] s3所以方程的解为y( t ) ?t c t ? tn ? ? c1 t n , c1 为任意常数。 n ? 1 n! n?1（5）假设 L [ y( t )] ? Y ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有? [ s 2Y ( s) ? sy(0) ? y?(0)]? ? 2[ sY ( s) ? y(0)]? ? 2[ sY ( s) ? y(0)] ? Y ?( s) ? 2Y ( s) ? 0所以Y ?( s ) ?则4 3 y(0) Y ( s) ? s?1 ( s ? 1) 2Y ( s) ?y ( 0) c ? s ? 1 ( s ? 1) 472复变函数与积分变换习题集求拉普拉斯逆变换得y(t ) ? y(0)e ? t ? ct 3 e ? t又 y(0) ? 0, 所以 y(t ) ? ct 3 e ? t . （6）假设 L [ x( t )] ? X ( s ), L [ y( t )] ? Y ( s ), 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有1 ? 2 ? s X ( s ) ? sx (0) ? x ?(0) ? X ( s ) ? 2[ sY ( s ) ? y(0)] ? s ? 1 ? ? ? sX ( s ) ? x(0) ? [ s 2Y ( s ) ? sy (0) ? y ?(0)] ? 2Y ( s ) ? 2 ? s3 ?整理得3 1 2 ? ? X ( s) ? ? 2 s ? 1 ? s 2 ? ? 1 3 ?Y ( s ) ? ? 1 ? 3 ? ? 2( s ? 1) s 2s ?进行拉普拉斯逆变换，有3 t ? ? x ( t ) ? ? 2 e ? 2t ? . ? ? y( t ) ? ? 1 e t ? 1 t 2 ? 3 ? 2 2 2 ?73复变函数与积分变换习题集第三章 复数与复变函数一、1． （B） ６． （A） 11． （B）2． （A） ７． （D） 12． （C）3． （D） ８． （B） 13． （D）4． （C） ９． （D） 14． （C）16 ? i５． （B） 10． （C） 15． （A）二、1． 22． ? ? arctan 83． ? 1 ? 2i4． e5． 3 3x2 y2 ? ? 1） ６． z ? 2 ? z ? 2 ? 5 （或 5 3 ( )2 ( )2 2 2８． ? 1 ? 2i ,2 ? i７． x 2 ? y 2 ? 1( ９． R e w ) ?1 210． ? 7 ? 2i ． 5? 2）三、 [ 5 ? 2 , 5 ? 2 ] （或 5 ? 2 ? z ? 2 ?四、当 0 ? a ? 1 时解为 ? (1 ? 1 ? a )i 或 ? ( 1 ? a ? 1) 当 1 ? a ? ?? 时解为 ? ( 1 ? a ? 1) .17 ? u ? cos? ? u2 v2 2 ? ? 1. 六、像的参数方程为 ? 0 ? ? ? 2? ．表示 w 平面上的椭圆 15 17 2 15 2 ? v ? sin? ( ) ( ) 2 ? 2 2十、1． f (z ) 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续； 2． f (z ) 在复平面处处连续.第二章一、1． （B） ６． （C） 2． （B） ７． （C）解析函数4． （C） ９． （A） ５． （A） 10． （D）3． （D） ８． （C）74复变函数与积分变换习题集11． （A） 二、填空题 1． 1 ? i12． （C）13． （D）14． （B）15． （C）2．常数3．?u ?v ? 2u ? 2v ? 2u ? 2v , 可微且满足 2 ? , ?? 2 ?x ?x ?x?y ?x?y ?x ?x24．27 27 ? i 4 85． x 2 ? y 2 ? 2 xyi ? ic 或 z ? ic ， c 为实常数6． i? ? ? 2k? ? 2k? 7． 8 2 (cos 4 ? i sin 4 }