【图文】二重积分的计算_百度文库
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二重积分的计算
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> 第8章 重积分
第2节 二重积分的计算法
按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。
8.2.1 利用直角坐标计算二重积分
下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。
在讨论中我们假定f（x，y）& 0。并设积分区域D可以用不等式
j 1（x）& y & j 2（x），a&x&b
来表示[插图1]，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
我们应用&平行截面面积为已知的立体的体积&的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。
为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图2]中阴影部分），所以这截面的面积为
一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
于是，得曲顶柱体的体积为
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式
上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作
因此，等式（1）也写成
在上述讨论中，我们假定f（x，y）& 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。
类似地，如果积分区域D可以用不等式
&1（y）& x & &2（y），c&y&d
来表示[插图3]，其中函数&1（y）、 &2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作
因此，等式（2）也写成
这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。
我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1&）及（2&）就得
上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分
二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。
例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。
解法1 首先画出积分区域D[插图4]。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得
解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。
对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。
例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2
利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图5]的体积V1，然后再乘以8就行了。
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是，
利用公式（1）得
从而所求立体体积为
8.2.2 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，&比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。
按二重积分的定义有
下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。
假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：&=常数，把D分成n个小闭区域[插图6]。
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是
由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrd&就是极坐标系中的面积元素。
公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcos&、rsin&，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrd&。
极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图7]，二重积分化为二次积分的公式为
上式也写成
。（5'）
特别地，如果积分区域D是[插图8]所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中&1（&）&0，&2（&）=&（&）。这时闭区域D可以用不等式
0&r&&（&），&&&&&
来表示，而公式（5'）成为
如果积分区域D如图[插图9]）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中&= 0、&= 2&。这时闭区域D可以用不等式
0&r&&（&），0&&&2&
来表示，而公式（5'）成为
由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为
在极坐标系中，面积元素ds = rdrd&，上式成为
如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有
特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则&1（&）&0，&2（&）=&（&）。于是
例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。
解 在极坐标系中，闭区域D可表示为
0&r&a，0&&&2&。
由公式（4）及（5）有
例4 求球体x2+y2+z2&4a2圆柱面x2+y2=2ax（a&0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图10]。
解 由对称性，
其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等式
0&r&2acos（&），0&&&&/2
来表示。于是
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