例7-11设f(x)在[0,；上连续，f′(x)在(0,内连续，且满足22；cos2x?f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(0；)与η∈(0,；，分别使得；f′(ξ)=2f(ξ)tanξ与f′(η)=f(；【证】首先由分部积分，；20；cosx?f(x)dx=?∫2x(?2cosxs；由被积函数的连续性，则存在ξ∈(0,；)，使得；ξ(?2cosξsinξ?f
例7-11 设f(x)在[0,
上连续，f′(x)在(0,内连续，且满足 22
cos2x?f(x)dx=0, 证明: 存在ξ∈(0,
)与η∈(0,
，分别使得
f′(ξ)=2f(ξ)tanξ 与 f′(η)=f(η)tanη。
【证】首先由分部积分，
cosx?f(x)dx=?∫2x(?2cosxsinx?f(x)+cos2x?f′(x))dx=0，
由被积函数的连续性，则存在ξ∈(0,
ξ(?2cosξsinξ?f(ξ)+cos2ξ?f′(ξ))=0，
其次，ξcosξ≠0, 必有 ?2sinξ?f(ξ)?cosξ?f′(ξ))=0， 即有 f′(ξ)=2f(ξ)tanξ。另由分部积分得到：
即有 f′()=f()tan
例7-12 设f(x)在[a,b](a&b)上连续，且存在两点
．ｗcosx?f(x)dx=∫cosx?f(x)dsinx=?∫sinx(cosx?f′(x)?sinxf(x))dxｗｗ（
=?(cosη?f′(η)?sin区η?f(η))∫sinx?dx=0
1≠0,ηηηηη∫sinx?dx=研考
宝f(x)dx=0∫xf(x)dx=0∫识x知,x∈(a,b),x≠xf(x)=f(x)
因此cos?f′()?sin?f())=0，
，证明：至少
【证】 设F(x)=又
f(t)dt，则F(a)=F(b)=0，
xf(x)dx=∫xdF(x)=xF(x)ba?∫F(x)dx
=?∫F(x)dx=?F(ξ)(b?a)=0
但b?a≠0，可知?ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=0，又F'(x)=f(x)， 可知?x1∈(a,ξ),x2∈(ξ,b)，使得f(x1)=f(x2)=0。
例7-13 设f(x)是[?a,+a]上的连续偶函数，且f(x)&0，
∫tf(t)dt=A，设
F(x)=∫|x?t|f(t)dt。
（1）证明当x∈[?a,a]时，F′(x)单调增加。
（2）证明F(x)在[?a,+a]上有最小值，并求出最小值； 【解】（１）x∈[?a,a]，
F(x)=∫(x?t)f(t)dt+∫(t?x)f(t)dt
=x∫f(t)dt?∫tf(t)dt+∫tf(t)dt?x∫f(t)dt
F′(x)=xf(x)+∫f(t)dt?xf(x)?xf(x)+xf(x)?∫f(t)dt
=∫f(t)dt+∫f(t)dt
F′′(x)=f(x)+f(x)=2f(x)&0,
故F′(x)单调增加。 （２）F′(x)=
f(t)dt+∫f(t)dt=∫
=?∫f(t)dt+∫f(t)dt=∫f(t)dt=2∫f(t)dt
因为f(x)&0，故F′(x)=0有唯一解x=0。又F′′(0)&0，故x=0是F(x)的唯一极小值点．且为F(x)在[?a,+a]上的唯一最小值。以下求此最小值F(0)=minF(x)。
F(0)=?∫tf(t)dt+∫tf(t)dt。
tf(t)dt取变换u=?t, 则dt=?du，
?∫tf(t)dt=?∫uf(?u)du=∫uf(u)du=A，
f(?u)d(?u)+∫f(t)dt
所以F(x)的最小值F(0)=?
tf(t)dt+∫tf(t)dt=2A。
例7-14 设f(x)是连续函数，且有f(x)+
(x?t)f(t)dt=e+2x∫f(xt)dt, 求f(x).
【解】首先f(0)=1。其次， 对 原方程化为
∫f(xt)dt取变换u=xt则有 ∫f(xt)dt=∫f(u)du。
f(t)dt?∫tf(t)dt=e+2∫f(t)dt
求导一次得：f′(x)+xf(x)+
f(t)dt?xf(x)=ex+2f(x)， f′(0)=3
再次求导得到： f′′+f=e+2f′。
该方程以f(0)=1与f′(0)=3为初始条件的为 f(x)=?1+2x+
8. 三十六技之八：用积分表达与计算应用问题的技巧, 广义积分问题
8.1 技巧描述
数学物理累加量，积分处理是正道。正确表达背景量，合理简化选坐标。遇到含参问题时，区间变换是技巧。
广义积分有两类，掌握尺度最重要，收敛分析用比较，搞错方向最糟糕！
计算方法与定积分计算相雷同，只需注意极限运算。 8.2掌握要点
基本几何应用，包括面积、弧长旋转体体积与侧面积，简单物理应用，包括质量中心问题、作功问题与压力问题。
对广义积分问题，应掌握两把尺度，重点掌握直接比较法与极限比较法（比阶法）。还应注意混合性广义积分问题。
为奇点时，
f(x)dx=∫f(x)dx+
f(x)dx为混合型广义积分
8.3相关知识点
函数的极坐标与参数方程的表达，积分定义与性质，变限积分与含有参数的积分，极限概念与方法。 8.4典型例题
例8-1 设曲线族y=cx，其中c为正的常数，为自然数，0&a&b。
曲线y=cx（1）设曲线y=cx与直线x=ξn∈(a,b)，y=ca围成的区域面积为S1，
n与直线x=ξn，y=cb围成的区域面积为S2，证明存在唯一一点ξn∈(a,b)，使得
（2）求limξn。
【解】（1）
?ξ知S=∫c(x?a)dx=c?
?an(ξn?a)?
?ξnn+1?bn+1?
+bn(b?ξn)?
S2=∫c(b?x)dx=c?
nbn+1?an+1
，移项造辅助函数，考虑零点问题，令 由S1=S2可得 ξn=
?tn+1?an+1????tbnn
S(t)=S1(t)?S2(t)=c??a(t?a)??c?+b(b?t)?
11++nn????????
??bn+1?an+1
+an+1?bn+1+(bn?an)t?。
S′(t)=c(bn?an)&0，则S(t)是严格单调增函数，因此ξn是S(t)的唯一零点。 nbn+1?an+1
（2）limξn=lim=b。
n→+∞n→+∞n+1bn?an
y=kx2与y=cosx(0≤x≤
在x=t处相交，记 S1为y=kx2与
y=cost及x=0 围成的面积，S2为 y=cost,y=cosx 与 x=
试证：S(t)=S1+S2 在(0,
围成的面积。
)内必有唯一最大值。 2
【证】 首先，曲线交点为(t,cost)，且cost=kt，因此，k=2，t∈(0,)
S1(t)=∫(cost?2x2)dx=tcost，
?t)cost?sint，t∈[0,， 2322
′(0)=&0，S?′(=?&0 ，因此存在t0∈(0,)使得 且S+
3223S(t)=1+(
S′′(t)=?sint?(?t)cost，
且S′(t)单调，驻点唯一，因此S(t0)为(0,
例8-3 设曲线y=f(x)由
ｚS(t)=∫(cost?cosx)dx=(?t)cost?1+sint１．2
ｗｗ（πππ
区S′(t)=0
研π考库宝
识x(t)=∫esinuy(t)=∫ecos2udu
)时，S′′(t)&0，因此S(t0)为(0,
)内的极大值。 2
)内的唯一最大值。 2
确定.则该曲线当t=
时 的法线方程为y=x。
?dt?uu?t?uut
【解】 x′(t)=?e∫esin?=e∫esin+sin
dt?π3?33π
y′(t)=?e∫ecos2udu?=e∫e?ucos2udu+cos2t
=f′()=?2，法线斜率为k=，方程y=x。
* 绕x轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）
平面区域D=(x,y)a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕x轴旋转体的体积为
Vx=∫πf2(x)dx
* 绕y轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） Vy=* 曲线y=f(x),
2xπf(x)dx。
a≤x≤b绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为
A=2π∫f(x)+f′(x)dx。A=2π∫y(t)x′(t)++y′(t)dt。
例8-4 设有曲线y=x?1, 过原点作
其切线, 求此曲线,切线及x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体表
面积。 【解】 y′=
，设切点为
(x0,x0?1)，则切线为y=
切点应满足x0?1=
可以求得切点为
旋转体表面积由两部分组成:
由曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为
，切线为y=
A1=2π∫y+y′2dx=π∫
5?1 由切线绕x轴旋
转一周所得到的旋转体表面积为A2=2π所以旋转体表面积A=A1+A2=
15xdx=5π， 22
* 设f(x),g(x)在区间[a,b]上可积, 则平面图形
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关于x*f(sinx)在0到π上积分的问题，一个技巧是把x提到积分号前面变成π/2
那么计算x*cosx*(1-sinx)的积分时貌似不能用？
那这个题怎么用不了这个技巧
那这个题用完技巧和直接分布积分结果不一样
你咋这么轴，你看下你能写出来不是分段的f(sinx)不。都说了，简单形式，无论是否可以用，一般都不用，优势体现不出，ok?
给这楼主跪了
谢谢你们真厉害，祝考研成功！
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2012年考研数学一难度适中 题目区分度很高
主持人：各位网友，大家好，欢迎来到真题点评的访谈间，我们今天很荣幸请到海天的数学名师张伟老师来到我们访谈间，欢迎张老师。张伟：大家好。主持人：张老师看过试卷之后，觉得试卷整体难度是怎样的？张伟：我大概看了一下，题目虽然不完全，但是我基本上发现和2011难度基本是一致的。主持人：下面请张老师给我们重点讲一数（一）考了什么内容，特点是什么样的？张伟：下面我点评一下今年的整体难度，估计一下分数的情况，我相信对2013的同学怎么备考有一个指导性。我就题目说一下。那我们来看数学（一）的考题。我们选择题的第一小题，这是一个典型的常规题目，渐近线的题目，我们曾经反复的讲渐近线有三种情况，所谓的水平、垂直，以及斜渐近线，如果求垂直渐近线，我们基本上只需要关注分母为零的点，两个点，正负1，如果取-1的话，分子也为0。所以，只需要看正1，X趋向1，它是无穷的，如果是水平的，趋向无穷，如果是无穷的话，正负无穷需要关注，而这个题目不需要，X趋向无穷，如果有水平的一定没有斜的，显然一个垂直，一个是水平的，只有两个，答案是C。第2小题也是一个基本题目，某一点处求导，函数表达非常复杂，我们用导数定义求，发现A选项是明显正确的。我相信第3小题考场上的同学出错率有可能比较高，这和1、2小题不太一样，不是一个计算性选择题，而是一个概念性，甚至是一个推理性的选择题。这个题目我们无论是强化班、冲刺班还是点题班，都反复的讲，应该是一种特殊代入法，你们可以通过举特例，A选项让分子直接等于X的绝对值加上Y的绝对值，它肯定是不可微的。所以，A选项明显错误。同样，C、D选项也是完全类似的，如果保证可微，根本不能保证极限的存在，该题目答案是B。第3小题如果出一个小的证明题难度也是比较大的。第5题，线性相关，如果你计算能力好的话，α3，α4是局部成比例的，你很容易用α3+α4，结果出现0，0，C3+C4。所以，1、3、4肯定相关。如果计算能力过关，毫无疑问，答案是C。只要你计算能力过关就没有丝毫难度。第6个选择题，和我们以前的考研真题是完全一样的，基本上是换汤不换药，某种程度上甚至可以说是原题，我这样讲，这个题目我们有一种非常好的方法，做选择题的特殊值代入法，α1是1，0，0，α2是0，1，0，α3是0，0，1，代入以后很容易求答案，计算很简单。第8题，我们强化班和冲刺班，线段分成两段，两者相加是1，有明显的线性关系，直接选D，非常基本。填空第10小题，常规方法做也是可以的，但是我希望这个题目，积分下限是0，上限是2，通过配方能够变成一个“X-1”作为整体，如果变成上限1，下限-1，利用奇偶性，以及定积分的几何意义，很容易解决。如果你掌握方法，计算量非常小。第13小题，我们同学往往比较怵，因为X是一个抽象的向量，我们以后通过阅卷将会发现得分率不会太高，也是特殊值代入法，X是一个特殊的单位向量，比如说X是1，0，0，往下很容易代，这也是一个基本题目。只要把我们以前讲的基本题目掌握了，锁定高分没有任何疑问。第15小题，这属于一个基本题型，属于不等式的证明题目，不等式证明最基本的方法是单调性，这个题目我们可以先把不等式从右往左移，构建F（x），我相信你们都会，但是我希望你这样想，如果这样想能够简化你的运算，这个函数如果移项以后，是明显的偶函数，移项以后，只需要证明左端比0大，因为是偶函数，在-1到1之间证明比0大，我们只需要证明0到1之间就可以了。这个题也属于基本题目，但是这个题目我在做的过程中发现运算中间对同学的计算能力是有一定的要求，而且这中间有一个基本的小公式同学都应该关注，X如果落在0—π/2之间，X>sinx，难题如果基础过关，根本是不难的。第17大题，这也是我们讲的数（一）、数（三），数（一）是必考的，我们强化班、冲刺班、点睛班都反复提到过，和常规题目如果有一点不同的话，x的2n次方系数并非是一个真分式，我们要变成一个真分式加上一个多项式，然后再求和就成为一个常规题了，这是一个非常好的结果。当然，我相信以后我们会发现有不少同学在区间的端点上的敛散性可能有人会忽略，只要你注意了，应该就没问题。再看一下20大题，这和2008年考题是完全类似的，如果有不一样，只是原来的考题A是一个N阶方阵，计算行列完全一样，这种行列式属于数值型的计算，常规方法直接按照某一行或者某一列展开，为什么这样做？因为0的元素非常多。计算行列式按照某一行或者某一列展开很容易计算。第二小问，第一问和第二问之间是一个铺垫关系，根据行列式要想保证有无穷多解，行列式必须为0，根据行列式为0，能求出a的取值。有两个，其中有一个我们要淘汰一下，如果有，A的秩要等于A的增广矩阵的秩，往下再求解就完全是按步就班了。第21大题，这也是一个非常好的小题目，这个题目条件是已知二次型的秩，二次型的秩就是二次型矩阵的秩，你把A的转置乘以A，它的秩就是A的秩为2。无论是强化班还是冲刺班，包括点题班都讲了，要想求a，画出一个行阶梯型求a完全是按步就班，求完a，大A是完全已知的，再往下完全是我们讲过的常规题目。22大题也是我们在反复强调的，二维离散型虽然不是考试的难点，但是从来都是考试的重点，x=2y的概率，表格里一共有9个小概率，只有两个对应x=2y，一个四分之一，一个零。肯定四分之一。计算x-y和y的协方差，协方差有所谓的分解率，我们可以分解成x，y的协方差再减去y的方差。根据这个表格，五大期望我们也很熟，一个是EX，一个是EY，一个是EX的平方，一个是EY的平方，还有一个是EXY。有了这5个期望，注意一个细节，22题本身不难，但是计算要小心，有一个地方出错可能就会前功尽弃。23大题我们的强化班、冲刺班、点题班反复重点强调的，数（一）同学，是考试的重点和难点，应该属于基本的。我点评一下，要想求密度完全是基本公式，Z是X，Y的线性组合，X，Y都是正态独立的，要想求概率密度，一个是Z的期望，一个是Z的方差，完全是最基本的，Z的期望很容易发现，Z的方差很容易发现，是3倍的西格玛的平方。要想求密度，我们只需要代入正态分布的概率公式完全可以。第二小问，我们反复强调，只要先求似然函数。第二小问是点评班题目一个原题的选项。只要计算过关，第二小问没有丝毫难度。第三小问，只需要求期望就可以了。我把数（一）的题目像流水帐一样过了一下。总结一下，整个题目难度是非常适中的，我相信区分度很高，有些题目你看起来很简单，但是真正计算出最终结果，我相信应该能出现不少错误，区分度应该是很高的。我估计按照今年的题目难度，我对照最近几年，我发现2012年和2011年应该是大体相当，有可能稍微低一点，这是我对数（一）的感觉。主持人：非常感谢张老师，谢谢大家。
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