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椭圆标准方程的角度与参数方程角度的关系是?
羊驼骚年0179
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M在参数方程中对应的角不是∠MOX,而是∠φ/i?ct=&z=0&tn=baiduimagedetail&word=%C0%EB%D0%C4%BD%C7&in=14790&cl=2&lm=-1&pn=0&rn=1&di=&ln=2000&fr=&fmq=&ic=&s=0&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=2#pn0&-1
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包括（圆为椭圆的特例），，。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（）的距离与到定直线（）的距离的商是常数e（）的点的轨迹。当e&1时，为的一支，当e=1时，为，当0&e&1时，为，当e=0时，为一。
圆锥曲线起源
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截，得到的是；把平面渐渐倾斜，得到；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条平行时，得到；用平行于圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到[1]
）。曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
圆锥曲线定义
圆锥曲线几何观点
用一个平面去截一个，得到的就称为圆锥曲线（conic sections）。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
1) 当平面与的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。
6) 当平面与两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此中的一个圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。
圆锥曲线代数观点
在笛卡尔平面上，二元二次方程
的图像称为二次曲线。根据的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。
圆锥曲线焦点--准线及其推广观点
传统的焦点-准线统一定义
（许多年来沿用的焦点--准线观点只能定义圆锥曲线的主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，而受青睐并广泛运用。）
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：
1) e=0，轨迹为一点或一个圆；
2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线[2]
3) 0&e&1，轨迹为椭圆；
4) e&1，轨迹为双曲线。
2.一、二次曲线的统一定义
（《》2016.12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文中，我国中学数学教师将焦点--准线进行了推广，从而可以给出以下完整的一、二次曲线的统一定义）
平面上有两条互相垂直且相交于点E的直线l，m，点F是直线m上的一定点，|EF|=p，点N 是直线l上一动点，轨迹动点M同时满足下列两条件：
（Ⅰ）动点N与动点M到定直线m的有向距离Nm与Mm有
Nm=（1+t）Mm，其中t为实常数；
（Ⅱ）动点M到定点F的距离|MF|与到动点N的距离|MN|有
|MF|=e|MN|，其中e为非负常数，
则在直角坐标变换观点下，动点M的轨迹是一、二次曲线
（约定e=1，t =1，p=0不同时成立）．
点 M 的轨迹具体情形如下：
（A）p≠0时：含六类一、二次曲线类．
（1）当e=1，|t|=1 时，轨 迹 是 一 条 一 重直线；
（2）当e=1，|t|≠1时，轨迹是抛物线；
（3）当e&1，e|t|&1， 或e&1,e|t|&1时，轨迹是椭圆．其中|t|=1时是圆；
（4）当e≠1，e|t|=1 时，轨 迹 是 两 条 平 行直线；
（5）当e&1,e|t|&1时，或e&1，e|t|&1时，轨迹是双曲线；
e=0时，轨迹是一点
（B）p=0时：含三类一、二次曲线类．
（1）当e&1,e|t|&1时，或e&1，e|t|&1时，轨迹是两条相交直线；
（2）当e=1，e|t|≠1时，或e≠1，e|t|=1时，轨迹是两条重合直线；
（3）当e&1，e|t|&1，或e&1，e|t|&1时，轨迹是一点．
称其中的定点F 和定直线l为对应轨迹曲线 的拟焦点和与拟焦点F相应的拟．
圆锥曲线概念
（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）
考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的；定直线称为圆锥曲线的；固定的常数（即圆锥曲线上一点到与的距离比值）称为圆锥曲线的；焦点到准线的距离称为；焦点到曲线上一点的称为。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的，物理学中又称为。
圆锥曲线是光滑的，因此有切线和的概念。
类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为；过焦点的弦称为。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。
Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以。
Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点。（对于退化的情形也适用）
Brianchon定理：圆锥曲线的六边形，其三条共点。
圆锥曲线定理
由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的为R，则PR为P到d的（），而∠PRH=α。因为PE、PF同为之，得PE=PF。
如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
其中：PF/PR=sinα/sinβ为。
圆锥曲线历史
对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的，即
，从而求得
。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。
早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家（，前262~前190）。他与是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与的《》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人（的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。
我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1所示。
在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。
这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴，轴未必垂直于底。
设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的△ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P’，PP’未必是圆锥曲线的轴，PP’M是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ’是圆锥曲线平行于DE的弦，同样QQ’被PP’平分，即VQ=QQ’。
现作AF∥PM，交BM于F，再在截面上作PL⊥PM。
对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，则满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。
在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论表明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR&PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。
阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代来表示：
趋向无穷大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的形式。
在阿波罗尼的《》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有。直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家（,）继承了的，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家（,）得出物体的轨道是。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年（Guidobaldo del Monte,）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。
17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，若左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。
随着的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家（Desargue）、（Pascal，）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的既不同于，又不同于和截影法，而是朝着的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。
到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除之外又建立，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的也被化为几种标准形式，或者引进曲线的。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的，总可以化以下标准形式之一：
继之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶以及各种等。
总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。
在此，要提到的是我国数学教师胡新平在2016年给出的新成果，千百年来，平面解析几何的主要理论一直再无大的进展，即使焦点—准线系统统一性从公元300多年Pappus首次发现至今已1700年了，其存在的明显不足也一直没能得到完善。事实上，人们也一直在寻求以几何方式统一七类二次曲线，而胡新平老师给出了包含一、二次曲线全部八类曲线的几何统一形式，该统一是焦点-准线下统一性的推广，也是仅见到的完备的、几何形式的统一，这使得平面解析几何向前迈出了里程碑的一步。也是我国数学工作者在平面解析几何学科发展史上留下的深深印记。
圆锥曲线性质
一、二次曲线的统一方程和性质可以参看《数学通报》2016，12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文。
圆锥曲线椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个与一条定的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的。
1、中心在，在x轴上的标准方程：
2、中心在，在y轴上的标准方程：
（θ为参数，0≤θ≤2π)
圆锥曲线双曲线（的一支）
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则│PF1-PF2│=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的。
标准方程：
1、中心在原点，焦点在x轴上的标准：
其中a&0，b&0，c?=a?+b?.
2、中心在原点，焦点在y轴上的标准：
其中a&0，b&0，c?=a?+b?.
参数方程：x=asecθ；y=btanθ （θ为参数 )
圆锥曲线抛物线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的，定直线是抛物线的。
x=2pt? y=2pt (t为参数） t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定）特别地，t可等于0
y=ax?+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay?+by+c （开口方向为x轴，a≠0 )
圆锥曲线离心率
，，这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当0&e&1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e&1时为。
这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
圆锥曲线极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线可表示为：
其中l表示半径，e表示离心率；
2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中e表示离心率，表示焦点到的距离。[3]
圆锥曲线焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y），则焦半径为：
|PF1|=a+ex(PF1&PF2)
|PF2|=a-ex(PF2&PF1)
P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
|PF|=x+p/2
圆锥曲线切线方程
圆锥曲线上一点P（
圆锥曲线焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的，或。
圆锥曲线焦点三角形
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。
设F?、F?分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PF?F?能构成三角形。
若∠F?PF?=θ，则的面积为
双曲线焦点三角形的面积为
圆锥曲线通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为。
椭圆的通径：
双曲线的通径：
抛物线的：2p
圆锥曲线对比
x?/a?+y?/b?=1 (a&b&0)
x?/a?-y?/b?=1 (a&0,b&0)
y?=2px (p&0)
x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)
x∈[0,+∞)
关于x轴，y轴，原点对称
关于x轴，y轴，原点对称
关于x轴对称
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(a,0),(-a,0)
(c,0),(-c,0)
【其中c?=a?-b?】
(c,0),(-c,0)
【其中c?=a?+b?】
——————
y=±(b/a)x[4]
—————
e=c/a,e∈（0,1)
e=c/a,e∈（1,+∞）
∣PF?∣=a+ex
∣PF?∣=a-ex
∣PF?∣=∣ex+a∣
∣PF?∣=∣ex-a∣
∣PF∣=x+p/2
x=a·cosθ
y=b·sinθ，θ为参数
x=a·secθ
y=b·tanθ，θ为参数
y=2pt,t为参数
过圆锥曲线上一点
(x0,y0）的方程
x0·x/a?+y0·y/b?=1
x0x/a?-y0·y/b?=1
y0·y=p(x+x0)
y=kx±√(a?·k?+b?)
y=kx±√(a?·k?-b?)
圆锥曲线中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程：
用设出该弦的（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的和关于y的一元二次方程，由得到两根之和的表达式，再由和两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2、（代点相减法）
设出弦的两端点坐标（x?，y?）和（x?，y?)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用得[(x?+x?)(x?-x?)]/a?+[(y?+y?)(y?-y?)/b?]=0
由为（y?-y?)/(x?-x?），可以得到斜率的取值（使用时注意的问题）
圆锥曲线统一方程
平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示：
其中，α∈[0,2π)，p&0，e≥0。
①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到距离的。其中
与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。
②0&e&1时，表示以F1(g,h)为一个焦点，p为焦点到距离，e为离心率的。其中
与极轴夹角α。
③e&1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到距离，e为离心率的。其中
与极轴夹角α。
④e=0时，表示点F(g,h)。
五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。
注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如等。
附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：
圆锥曲线判别法
设圆锥曲线的方程为
Ax?+2Bxy+Cy?+2Dx+2Ey+F=0
Δ=|B C E |, δ=|A B| , S=A+C , 分别称为
|D E F |　 |B C|
有一实点的虚
D?+E?-AF-CF&0
D?+E?-AF-CF=0
D?+E?-AF-CF&0
圆锥曲线CGY-EH定理
CGY-EH定理（又称[5]
）是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时?、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的算法.
圆锥曲线定理内容
与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:
; △‘为一与△的值，
圆锥曲线定理说明
应用该于椭圆
应用于双曲线
不应为零,即ε不为零。
求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与?'的值不会因此而改变。
圆锥曲线定理补充
联立曲线方程与y=kx+
是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
与直线y=kx+
相交于E、F两点,则:
既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：
由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：
联立两方程得……（二次式子）（*）
所以x1+x2=……①，x1x2=……②；
所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）
化简得|x1-x2|=
(偷偷地直接套公式，不必真化简)
下面就可求弦长
圆锥曲线定理简证
设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线 Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：
(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0
应用，可得:
x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)
x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)
?=4mnB^2 (ε-C^2)
对于的一元二次方程?的数值不唯一,且 ?的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2&0恒成立,则可取与?同号的?'=mn(ε-C^2)作为?的值。[3]
由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )
可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)
令ε=A^2 m+B^2 n 则得到CGY-EH定理:
x_1+x_2=(-2ACm)/ε ; x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ?'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)?'))/(|ε|)
圆锥曲线漫谈
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。
由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。
圆锥曲线光学性质
圆锥曲线椭圆
从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，都汇聚到椭圆的另一个上。
圆锥曲线双曲线
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
圆锥曲线抛物线
从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。
一束垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。
圆锥曲线图说应用
椭圆的声学性质
如图所示为圆锥曲线中椭圆的应用——回声山谷。在西方某些椭圆的大教堂里也有这种现象。
．王朝网络．[引用日期]
．百度百科．[引用日期]
．百度[引用日期]
．百度百科 双曲线渐近线方程[引用日期]
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　椭圆参数方程教学设计2.doc 6页
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椭圆的参数方程教学设计一、基本说明 1、教学内容所属模块：选修2、年级：高? 3、所用教材出版单位人民教育出版社（A版） 4所属的章节：第二第节第1课时 5学时数：45 分钟? 二、教学设计?
重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义难点：巧用椭圆的参数方程解题（四）、学情分析： “坐标法 ”是现代数学最重要的基本思想之一是教师首先应使学生。??
根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“发现法”。通过，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握的深层实质。教学流程为：创设情境→实例探究启发思维→类比形成→应用研究明确原理→ （六）、教具准备：
多媒体、PowerPoint课件、《几何画板》（七）、教学过程：教学环节 教师活动 学生活动 学生学习过程的观察和考查及设计意图
（填空）2〉（1）圆x2＋y2＝r2的参数方程为
；（2）圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为
学生充分发表自己的意见，并讨论。 激发学生的思维。
实例探究启发思维 是参数，求椭圆的参数方程。 提示：(法一) 将代入中求出y.（法二）将变为求解y
学生思考动手求借后请代表回答学生讨论后，在老师的引导下的参数方程 通过类比学习，
类比形成类比的参数方程，教师启发学生总结得出的一个参数方程 （2）探究二：
类比圆的参数方程中参数的意义，此椭圆的参数方程中参数j 的意义是什么？?
以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B.过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.问题：求点M的参数方程.
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
1、学生讨论，引导学生得出结论。
2、学生动手：利用《几何画板》 演示体会当j变化时点M的轨迹的形状，学生通过观察得出结论：参数j是点M所对应的圆的半径OA (或OB)的旋转角(称为点M的离心角)。 利用信息技术让学生明确理解椭圆参数的几何意义。和了解椭圆规的构造原理。
应用研究明确原理 .它的构造。如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？
1、学生演示实验。 2、分组充分思考、讨论
例题讲解运用新知
三、例题讲解（教师讲解解题过程）（15分钟）示例1. 在椭圆上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，并求出最小距离。 分析：本题如果用直角坐标，则点到直线的距离表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化一个变量的，但是表达式比较复杂，而利用参数方程，只有一个参变量j距离表达式可以得到简化，而且可以用到三角变换，从而拓广了解决问题的途经。学生可以感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中具有重要作用，体现了参数方程的优势. 示例2. 如图，已知椭圆上一点M(除短轴端点处)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证|OP| · |OQ|为定值.分析：本题先设点M的参数坐标，再写出所在直线方程，用j表示该直线与x轴的交点P的横坐标，同理表示Q的横坐标，化简可知是定值。??
探究四：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足的前提下，求出z＝x－2y的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？
1、在学生熟悉的。明确。正确书写解题过程，明确解题格式。
3、类比思想运用深化对参数方程认识，提升学生能力。
课堂实践巩固新知 四、自主练习（任选两题完成）（10分钟）练习1. 椭圆若q∈[0,2p]，则椭圆上的点对应的q ＝(
练习2. 当参数q变化时，动点P(2cosq, 3sinq)所确定的曲线必过(
) 练习3. 椭圆的内接矩形的最大面积是__________.练习4. 已知A、B是椭圆与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大.
学生独立完成 五、课堂小结（2分钟）1.
的一个参数方程2.
椭圆参数的意义
学生回顾总结归纳这节课所学知识， 教师补充. ?培养学生总结、表达能力、语言组织能力
课后巩固提升 1. (教材第34版)一个人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15 565km，短轴长为15 443km.取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程.2. 已知实数x、y满足z＝x＋2y的最大值与最小值
课后独立完成 信
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