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高中积分微分知识点及习题及答案
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函数可积分 与 是否存在原函数 什么关系？
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& &今天看全书真题跟课本对比了下，搞混了。。
课本上说f（x）有有限个间断点就可积分，但全书上说有第一类间断点好像不可积分，这是不是冲突啊？
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可积时，可以有第一类间断点，就木有原函数。
有原函数时，阔一有无穷限的点吧，就不可积分了吧。
& & 貌似是吧
make the change
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是可积分 但不是原函数
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YIK_翊 发表于
是可积分 但不是原函数
只要连续就有原函数，也可积分（不连续的是反常积分），而如果间断，那么第一类间断点没有原函数，只能是第二类，而可积与否对间断点没必然联系，就像反常积分里有的可积有的不可积一样，
泰勒公式再牛逼也展不开我对你的思念……
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本帖最后由 chicc999 于
23:59 编辑
1.连续函数一定存在原函数，但不一定可积。2.不连续函数，
如果第一类间断：一定不存在原函数（可能可积）
第二类间断：可能存在原函数（一定不可积（可积必要条件：有界））
可积的条件
1.若函数在[a,b]内连续，则可积（注意和1的区别）
2.若函数在[a,b]内单调，则可积
3.若函数在[a,b]内有界，且有有限个间断点，则可积
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连续函数不一定可积？闭区间上连续函数一定有界，有界就可积啊
第二类间断点中的震荡间断点也是可积的
全世界考研者，联合起来
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不要诬陷全书，全书明摆着是说有第一类间断点没有原函数而已
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本帖最后由 manwood 于
10:32 编辑
xiaoxiaojian123 发表于
连续函数不一定可积？闭区间上连续函数一定有界，有界就可积啊
第二类间断点中的震荡间断点也是可积的 ...
木有说是闭区间~
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冀小昆 发表于
只要连续就有原函数，也可积分（不连续的是反常积分），而如果间断，那么第一类间断点没有原函数，只能是 ...
我知道连续就有原函数啊。。 楼主说的是有限个个间断点这个情况 是可积分 但是没有原函数。。 第一类间断点没有原函数 第二类间断点要讨论 没错吧？呵呵 大家讨论讨论
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定积分的性质和基本定理.doc 101页
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第二节定积分的性质和基本定理?用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。?§2.1定积分的基本性质?一、定积分的基本性质?性质1?∫ba1dx=∫badx=b-a??证f(ξi）Δxi＝１·Δxi＝(b-a)=b-a?所以??∫ba1dx=∫badx=b-a??性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且??∫ba［αf(x)+βg(x)］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx??证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由?F(ξi）Δxi＝［αf(ξi)+βg(ξi）］Δxi?＝［αf(ξi）Δxi＋βg(ξi）Δxi］?＝α?∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx，?因此?αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且??∫ba［αf(x)+βg(x)］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx??特别当α=1,β=±1时，有??∫ba［f(x)±g(x)］dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx??当β=0时??∫baαf(x)dx=α∫baf(x)dx??性质2主要用于定积分的计算?性质3对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则??∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx??证a,b,c的位置，由排列知有六种顺序?(i)当a&c&b，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b］时，可以让点C是一个固定的分点，则有??∫ba?f(x)dx=?f(ξi）Δxi?＝［f(ξi）Δxi＋f(ξi)Δxi］?＝f(ξi)Δxi＋f(ξi）Δxi?＝?∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx??（ii)当c&b&a?由(i)知?∫acf(x)dx=∫bcf(x)dx+∫abf(x)dx有?-∫caf(x)dx=∫bcf(x)dx-∫baf(x)dx,则?∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx??对于其它4种位置与(ii)证明类似。?性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。。?性质4若f(x)在［a,b］上可积，f(x)≥0，且a&b,则?∫ba?f(x)dx≥0?证由f(ξi）≥0,Δxi&0，有f(ξi）Δxi&0有?f(ξi）Δxi&0，由函数极限不等式知??∫ba?f(x)dx=f(ξi）Δxi≥0?性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。?性质5若f(x),g(x)在［a,b］上可积，f(x)≥g(x)，且a&b，则??∫baf(x)dx≥∫bag(x)dx??证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4知。??∫baf(x)dx-∫bag(x)dx＝∫ba［f(x)-g(x)］dx≥0??性质5用于不通过计算，比较两定积分大小。?性质6若f(x)在［a,b］上连续f(x)≥0但f(x)?０，则?∫baf(x)dx&0??证由f(x)=0，则存在x0∈［a,b］，不妨设x０∈(a,b)，有f(x０)&0，由f(x)在［a,b］上连续，所以在点x０处连续，即f(x)=f(x０)&0，由连续保号性知，对0&&f(x０），存在δ１&0，当x∈(x０-δ１,x０＋δ１）时，有f(x)&?x∈［x０－，x０＋］(x０－δ１，x０＋δ１）时，f(x)&，则??∫baf(x)dx=∫?x０－?af(x)dx+f(x)dx+∫b?x０＋?f(x)dx?≥f(x)dx≥dx=dx=&0??性质6用于判断定积分值的符号?推论若f(x),g(x)在［a,b］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a&b，则?∫baf(x)dx&∫bag(x)dx??该推论用于不通过计算比较两定积分的大小?若将性质5用不等式?－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)｜，有?－?∫ba｜f(x)｜dx≤∫baf(x)dx≤∫ba｜f(x)｜dx，?于是有?性质7若f(x)在［a,b］上连续，则??｜∫baf(x)｜dx≤∫ba｜f(x)｜dx??性质8若f(x)在［a,b］上连续，m、M是f(x)区间［a,b］上的最小值与最大值，则?m(b-a)≤?∫ba?f(x)dx≤M(b-a)?该性质用于估计定积分值的范围?证：由m≤f(x)≤M,x∈［a,b］a&b?由性质5知?m(b-a)=?∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫bamdx=M(b-a)??性质9(积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b］上连续，a&l
正在加载中，请稍后...【图片】[整理]函数可积 积分上限函数 原函数存在 间断点关系分析【高等数学吧】_百度贴吧
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最近这类帖子不少
无论是高数吧还是其他的考试类贴吧 都经常有吧友问这些问题 这些问题确实容易搞混掉 ，贴吧吧貌似也没有这类帖子的总结 我就当个整理工吧（大神绕道） ~更新打公式较慢 ~ ！先从基本概念开始，弄混这些关系的主要原因之一 就是定义了。原函数：可积：积分上限函数：Load.....
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这贴必须顶
赶上直播了
原函数存在与函数的可积与否反例最后一起给出
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不连续的函数 即可积又存在原函数的例子：
终于等到楼主发教学贴了
存在原函数但是不可积的例子：
有界函数不一定可积 例如狄利克雷函数
此函数没有也没有原函数（此函数很重要，很多反例都能通过这个为原型构造出来）再者黎曼函数：该函数有界可积 但是不存在原函数，问：这样我们是否可以构造一个∫（0，x）R（x）dx的积分上限函数
这个函数只是连续并且 无理点可导 有理点不可导？区别：黎曼函数在有理点都是不连续的，无理点都连续，狄利克雷函数的不连续点是无数个不连续点的可数与不可数导致了是否可积。要使函数可积 它的连续点必须足够多 多到一个稠密集
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我尽量解答 也可能我不会。累死了
竟然没几个人看 太不尊重劳动成果了
楼主，函数在某领悟内可导，那么导函数一定是连续的吗
在某个证明题见过这个函数不知道可导性如何？
睡前一顶 就是这么邪恶
谢谢，收藏了，好贴
多谢楼主！学习了！！！
这帖子值得抄下来，好好回味，
看完了，很有帮助，重新排下
果断点赞，收藏
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