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用幂级数求解下列微分方程的初值问题： （1)yˊ－y2－x3＝0,y｜x＝0＝1／2； （2)y〞＋ycosx＝0，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝
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用幂级数求解下列微分方程的初值问题： (1)yˊ－y2－x3＝0,y｜x＝0＝1／2； (2)y〞＋ycosx＝0，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝0； (3)y〞＋xyˊ＋y＝0，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝1； (4)xy〞＋yˊ＋xy＝0，y｜x＝0＝1，yˊ｜x＝0＝0．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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常微分方程习题解答：4.3
分类： 格式： 日期：日
§ 4.3高阶 微分方程的降阶和幂级数解法一、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式,0),,,,( )('?nxxxtF?1 不显含未知函数 x,或更一般不显含未知函数及其直到 k-1(k&1)阶导数的方程是)57.4(0),,,,( )()1()( nkk xxxtF?阶方程的则可把方程化为若令 knyyx k,)()58.4(0),,,,( )(' knyyytF?若能求得 (4.58)的通解 ),,,(1 knccty对上式经过 k次积分,即可得 (4.57)的通解即 ),,,(1)( knk cctx为任常数这里 nn cccctx,,),,,,( 11解题步骤,则方程化为令,)( yx k?第一步,0),,,,( )(' knyyytF?第二步,求以上方程的通解),,,( 1 knccty即 ),,,(1)( knk cctx第三步,对上式求 k次积分,即得原方程的通解为任常数这里 nn cccctx,,),,,,( 11)57.4(0),,,,( )()1()( nkk xxxtF?解 令,44ydtxd? 则方程化为01 ytdtdy这是一阶方程,其通解为,cty?即有,44ctdtxd?对上式积分 4次,得原方程的通解为, ctctctctcx例 1.01 4455的通解求方程dtxdtdtxd2 不显含自变量 t的方程,一般形式,)59.4(,0),,,( )('?nxxxF?,,' 作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以 xxy?,ydtdx?因为dtdy?22dtxddxdy?dtdx,dxdyy3232d x d d xd t d t d tdtd?)( dxdyydxdxdyyd )(dtdx,222dxydy?2)(dxdyy?用数学归纳法易得,来表达可用 )(,,,)1()1()( nkdxyddxdyyxkkk?将这些表达式代入 (4.59)可得,2222(,,,( ),) 0dy dy d yF x y y y ydx dx dx即有新方程0),,,,( )1()1(nndxyddxdyyxG?它比原方程降低一阶解题步骤,第一步,原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,,,' xyxy?0),,,,( )1()1(nndxyddxdyyxG?第二步,求以上方程的通解),,,( 11 nccxy第三步,解方程),,,( 11 nccxdtdx即得原方程的通解解 令,,作为新的自变量并以 xydtdx?则方程化为02 ydxdyxy从而可得,0?y 及,xydxdy?这两方程的全部解是,1xcy?例 2.0)( 222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到,1 xcdtdx?所以得原方程的通解为 12,ctx c e?3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶1( 1 ) 0xx设 是二阶齐线性方程22 ( ) ( ) 0,( 4,6 9 )d x d xp t q t xd t d t的非零解令1x x y?则 ' ' '11x x y x y'' '' ' ' ''1 1 12x x y x y x y代入 (4.69)得'' ' ' '' '1 1 1 1 1 1[ 2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0x y x p t x y x p t x q t x y即'' ' '1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y'' ' '1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y引 入新的未知函数',zy?方程变为'1 1 1[ 2 ( ) ] 0dzx x p t x zdt是一阶线性方程,解之得()21,p t d tczex因而()1 1 2 211[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dtx12,cc这里 是任常数.则()21211,p t d ty c e d t cx因此 (4.69)的 通解 为1x因它与 之比不等于常数,12,xx故 线性无关12 0,cc?令 = 1 得( 4,6 9 ) 的一个解:()21 211,p t dtx x e dtx()1 1 2 211[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dtx12,cc这里 是任常数.22 ( ) ( ) 0,( 4,6 9 )d x d xp t q t xd t d t解题步骤,第一步,1x x y?令 方程变为'' ' '1 1 12 [ ( ) ] 0x y x p t x y第二步,'zy?令 方程变为'1 1 12 [ ( ) ] 0dzx x p t x zdt解之得()21,p t d tczex即()1 1 2 211[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dtx第三步,1 2 10,c c x?令 =1 得 与 线 性 无 关 一 个 解,()21 211,p t dtx x e dtx第四步,(4.69)的 通解 为()1 1 2 211[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dtx12,cc这里 是任常数.注 一般求 (4.69)的解直接用公式 (4.70)解 这里12 s in( ),tp t xtt由 (4.70)得2212 2[]sindtttc c e dtt例 3 22si n 20.t d x dxxxt dt t dt已 知 是 方 程 的 解,试 求 方 程 的 通 解212 2sin [sinttcctt12sin [t cct121 [ s in c o s ]c t c tt 12,cc这里 是任常数.sin txt?21 ]dttcot ]t( 2 ) 一般已知齐线性方程11 1( ) ( ) 0 ( 4,2 )nnnnnd x d xa t a t xd t d t2,,,,kx x x1的 k 个 线 性 无 关 的 解0,1,2,,,ix i k显然,kx x y?令则' ' 'kkx x y x y'' '' ' ' ''2k k kx x y x y x y( ) ( ) ' ( 1 ) '' ( 2 ) ( )( 1 )2n n n n nk k k knnx x y n x y x y x y代入 (4.2)得( ) ' ( 1 )1[ ( ) ]nnk k kx y nx a t x y( ) ( 1 )1[ ( ) ] 0nnk k n kx a t x a x y( 4.2 )kx因 为 的解,y故 的 系 数 恒 为 零,y即 化 为 不 含 的 方 程,',z y x k令 则 在 0 的 区 间 上 方 程 变 为( 1 ) ( 1 )11( ) ( ) 0,( 4,67 )nn nz b t z b t z'( ),1,2,,1 ( 4,6 7 ) 1iikxz i k kx且 是 的 个线性无关的解事实上 21,,,( 4,2 ),kx x x?1由 为 的 解 及 以 上 变 换 知'()kkxz x x zd tx或21,,,( 4,6 7 ),kz z z?1因此 是 的解若1 2 2 1 1kkz z z1 0则1 2 1kkk k kx x xx x x1 2 k-1即1 2 2 1 1k k k kx x x x1 02,,,,kx x x1由 线 性 无 关 知1 2 1,,kk 全为021,,,,kzz?1故z 线性无关因此,对 (4.67)仿以上做法,1,kz u d t令z-2un则 可 把 方 程 化 为 关 于 的 阶 线 性 方 程( 2 ) ( 3 )12( ) ( ) 0,( 4.68 )nn nu c t u c t u,k且 可 (4.68) 的 -2 个 线 性 无 关 的 解'1( ),1,2,,2iikzu i kz-nk以 上 做 法 一 直 下 去,可 降 低 阶,二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程22 ( ) ( ) 0 ( 4,7 2 )d y d yp x q x yd x d x其求解问题,归结为寻求它的一个非零解,下面考虑该方程及初始条件' ( 1 )0 0 0 0( ),( )y x y y x y 的情况用级数表示解?0 0)x?( 不失一般性,可 设定理 10,( 4,7 2 )p x q x xxR?若 方 程 (4.72) 中 系 数 () 和 () 都 可 展 成 的幂 级 数,且 收 敛 区 间 为 则 方 程 有 形 如0,( 4,7 3 )nnny a x=.xR?的 特 解,也 以 为 级 数 的 收 敛 区 间定理 112( ) ( )( ) ( ),( 4.7 2)p x q xx p x x q xxR?若 方 程 (4.72) 中 系 数 和 都 具 有 这 样 的性 质,即 和 均 可 展 成 x 的 幂 级 数,且 收 敛 区间 为 则 方 程 有 形 如00,( 4,7 5 )nnnnnny x a x a x0 0,.axR的 特 解,这 里 是 一 个 待 定 常 数,级 数 (4.75) 也 以为 收 敛 区 间例 4''2 4 0 (0 ) 0,.x y y yy&求方程y 满足初始条件(0)=1 的解解 设级数1 nna a x a x0y=为方程的解,( 1,2,)ai?i这 里 是 一 个 待 定 常 数,由初始条件得,10,1 ;aa0因而22 nny x a x a x=122 nny a x n a x=1 ( 1 ) nny a a x n n a x=将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得220a?33 2 2 4 0a 4 0aaa22( 1 ) 2 ( 2 ) 4 0n n nn n a n a a即2 0,a? 3 1,a? 4 0,a?,22,1nnaan?因而51,2!a? 6 0,a? 7 1,3!a? 8 0,a? 9 1,4!a?也即211,!kak?2 0,ka?;k对一切正整数 成立故方程的解为5 2 132 ! !kxxxxky=422( 1 )2 ! !kxxxxk2xxe?例 522 2 22( ) 0 ( 4,7 4 ).d y d yx x x n yd x d xn求 解 n 阶 Bessel 方 程这 里 为 非 负 常 数解 将方程改写为2 2 2221 0d y dy x n ydx x dx x易见,它满足定理 11条件,且2 2 2( ) 1,( )x p x x q x x n,11xx按 展成的幂级数收敛区间为由定理 方程有形如0,( 4,7 5 )knky a x?0 0,a的 解,这 里 是 一 个 待 定 常 数,将 (4.75)代入 (4.74)中,得220kkx a xk( + k ) ( + k - 1 ) 10kkx a x k( + k )220( ) 0kkx n a x? kx比较 的同次幂系数得220 ( ) 0an221 [ ( 1 ) ] 0an22 2[ ( ) ] 0,2,3,kka k n a k(4.76)a?0因 为 0,22 0,n则有,n从而,n为确定起见暂令 由 (4.76)得1 0,a? 2,2,3,( 2 )kkaakk n k即2121,( 2 1 ) ( 2 2 1 )kkaak n k222,2 ( 2 2 )kkaak n k1,2,k?从而可得21 0,1,2,kak02 2( 1 ),2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )kk kaak n n n k1,2,k?0,n B e s s e l因此在 时 得到 方程的一个解2010 21( 1 ),( 4.77 )2 ! ( 1 ) ( )n k k nkkay a x xk n n k0a若 将 任 常 数 取 为012 ( 1 )nan-10( ) ( 1 ) ( )xpp e x d x p p p这 里,注 意 到 时,因此 (4.77)变为2101( 1 ) ( ) ( ),( 4,7 7 )! ( 1 ) 2k k nnkxy J xk n k( ) ( 4,7 4 ),.nJ x B e sse ln B e sse l是由 方程 定义的特殊函数 称为 阶 函数,n当 时 完全类可得21 0,1,2,kak02 2( 1 ),2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )kk kaak n n n k1,2,k?若取012 ( 1 )nan?则可得 (4.74)的另一个特解2201( 1 ) ( ) ( ),( 4.78 )! ( 1 ) 2k k nnkxy J xk n k( ) ( 4.74),.nJ x Be ss e ln Be ss e l是由 方程 定义的特殊函数 称为- 阶 函数由达朗贝尔判别法,对任 x值 (4.77),(4.78)收敛,-,( ) ( )nnJ x J x?因 此,当 不 等 于 非 负 整 数 时 和 都 是(4.74) 的 解,且 线 性 无 关,因而 (4.74)的通解为12( ) ( ),nny c J x c J x12,.cc这 里 为 任 常 数()n n a k n2k当 等 于 正 整 数,而,不 能 从 (4.76) 确 定因此,不能象上面一样求得通解 ;()nJx但 可 用 一 3 介 绍 的 降 阶 法,求 出 与 线 性 无 关 的 解,因此,(4.74)的通解为112 21( ) [ ],()dxxnny J x c c e d xJx12 21( ) [ ],()n nJ x c c dxx J x 12,.cc 为 任 常 数例 62 & ' 2 9( 4 ) 0,25x y x y x y求方程 的通解解 2tx?引 入 新 变 量 我 们 有2d y d y d t d yd x d t d x d t22( 2 ) 4d y d d y d t d yd x d t d t d x d t代入方程得22229( ) 025d y d yt t t yd t d t3,5n B e s s e l?这 是 的 方 程 故 方 程 的 通 解 为1 3 2 355( ) ( ),y c J t c J t代回原来的变量得原方程的通解为1 3 2 355( 2 ) ( 2 ),y c J x c J x12,.cc 为 任 常 数作业P165 2,5,P165 8,10
课件名称：课件分类：数学课件类型：参考资料文件大小：8.27MB下载次数：120评论次数：18用户评分：5.7
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常微分方程习题解
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