大学线性代数二次型中最后正交变换x=cy得出标准型,怎么算出来那个形式的 我知道如果用正交法的话标准型的系数是特征值 那
大学线性代数二次型中最后正交变换x=cy得出标准型,怎么算出来那个形式的 我知道如果用正交法的话标准型的系数是特征值 那如果用配方法呢?另外 k1y1 +k2y2 +k3y3的特征值顺序是随变的吗
1怎么算出哪个形式：求特征向量然后施密特正交化2配方法出来的会是规范形,3是的
与《大学线性代数二次型中最后正交变换x=cy得出标准型,怎么算出来那个形式的 我知道如果用正交法的话标准型的系数是特征值 那》相关的作业问题
x1x2这项为例,系数是-2,除以2=-1,所以a12=a21=-1其余项照这个写,剩下的写0若有x1^2项系数为C,则a11=C, 再问： 非常感谢！ 再答： 不客气！
有问题可以追问,望采纳
我解答的，还是我再解释吧。图中1， 观察法可得。若不嫌麻烦计算，可设 ξ2 = (p, q, r)^T 与 ξ3 正交，得 p+r = 0， q 任意， 取 q = 1， p = r =0 即得 ξ2 = (0, 1, 0)^T， 且已单位化。 当然， 也可取 p = 1， q = 0， r = -1， 单位化后即为
这并不一定,要看标准型是通过什么转换完成的.如果是正交变换,那变换出来的系数是特征值.如果是配方法,那系数就不是特征值. 再问： 配方法的系数有没有什么意义？ 再答： 要说意义的话，配方法转换要比正交转换简单，毕竟不需要求特征值和特征向量，只要保证转换矩阵可逆就行了。对于解题来说，如果题目没有明确要求使用正交法求标准型
同济版线性代数,第五章关于二次型那节有例子,注意的是最后变换的矩阵C必须是可逆的,如果不可逆,说明你变换有误,需要重新选取
学特征值了木有 再答： y前的系数就是A的特征值再问： 学了 可是这个用初等变换法不用求特征值啊 还是一定要算特征值才能出来呀 再答： 再答： 算一下CTAC就好了啊
( a1+b1 2c1 2d1 )A+B=( a2+b2 2c2 2d2 )( a3+b3 2c3 2d3 )|a1+b1 2c1 2d1 ||A+B|=|a2+b2 2c2 2d2 ||a3+b3 2c3 2d3 ||a1 2c1 2d1 | |b1 2c1 2d1|= |a2 2c2 2d2 | + |b2 2c2
没有这么一说,是你做的那道题里A有特征值λ为1吧
如图,化为下三角形
若A可逆,则|A|≠0从而|A^2|=|A|^2≠0即A^2一定可逆
加一列1之后还应该加一行第一列为 1 的 0 否则不成其为行列式了.（这种方法也不比另一个方法简单）r2-r1、r3-r1、...、r n-r1 成《爪形》Dn=|b1+a1 a2 a3 ...an|-b1 b2 0 ...0-b1 0 b3 ...0.-b1 0 0 ...bnr1-r2*a2/b2-r3-a3/b3
我们自动化控制的在系统建模,现代控制里有用到. 再问： 能告诉我么？ 再答： 你要什么？你是学什么专业的？
你要先知道配方法的基本规则就是必须有二次项,一次项和其他项可以没有,文中只有一次项的乘积,所以首先要先化成二次项的和,x1和x2的积化成y1和y2的平方和最好的方法就是如图所示,虽然方法不是唯一的,但却是最好的 再问： 但是这个x1/2/3怎么构造的？再问： 随便等于什么样的y1/2/3都可以？再问： 我也不是很明白
亲,首先你要弄懂矩阵和行列式的区别,矩阵说实在的就是个表格,行列式呢,就是一个运算,或者说就是一个数.矩阵变换,他是一种变换,而不是一直运算,如果你要硬把他说成一直运算的话,那就是矩阵乘以初等矩阵,必然你说的i行乘以k,那么他就在起左边乘以一个第i行为k的初等矩阵.而对于数乘来说是所有的都乘以k,这是两个不同的概念呢,
1、满足x^2+yz=0的三维列向量(x,y,z)'的集合B不能构成R^3的子空间.因为B对于向量的加法不封闭.比如在B中取(0,1,0)'与(0,0,1)',相加得(0,1,1)',不再属于B.2、微分方程的解构成的集合不是F的子空间.这里想找出具体的解有点麻烦,但是这里的微分方程是二阶非齐次线性微分方程,根据它的解
选A.非奇异线性变换只是合同,不是相似.合同是一种等价关系,正因如此,秩相等.正交变换是非奇异变换的一种.二次型里面的矩阵一定是对称阵,这是由二次型对应矩阵的定义所决定的,你可以看看它的定义. 再问： 对称矩阵合同和相似不一样吗？再问： 再问： 不是这个样子的嘛？ 再答： 你写的是正交变换，P是正交阵再问： 再答： 合
A的特征值为: 10,1,1特征向量分别为 a1=(1,2,-2)',a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)--已正交P= 1/3 2√5 2/√45 2/3 -1√5 4/√45-2/3 0 5/√45则X=PY是正交变换,且 f=10y1^2+y2^2+y3^2字数限制 无奈
X' = （x1,x2,x3） 1 2 3 x1f(x1,x2,x3) = (x1,x2,x3) (4 5 6) (x2) 7 8 9 x3然后就是按照矩阵的乘法计算得到了 再问： 请问x'是列矩阵还是x是列矩阵呢？他们是转置的关系对么？ 再答： x'是行矩阵x是列矩阵再问： 奥谢谢
对二次型来说, 变换需要是合同变换.正交变换既是相似变换也是合同变换所以标准形是对的, 但对二次型来说一般需要把特征向量正交化和单位化 再问： 在考研论坛看见的 http://（去掉我）bbs.kaoyan.com/t 请教大家一道李永乐复习全书上的题(数三P385第三大题第2小题）。我觉得书上的解答小木虫 --- 700万学术达人喜爱的学术科研平台
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&&一个稀疏矩阵线性代数方程组的解法
一个稀疏矩阵线性代数方程组的解法
如图所示的线性代数方程组，其中系数矩阵中的所有子块Aij都是带状方阵，请教用什么方法求解最好。最关键的是希望计算中不要过多的增加存储空间，即希望计算中的临时矩阵依然是稀疏的，因为现在矩阵中不为零的元素仅仅只占总元素的五百分之一的样子。
推荐方法的同时最好能够同时推荐下相关的文献或者书籍，谢谢！
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非线性代数方程组的解法
第二章非线性代数方程组的解法从数学的角度， 非线性问题的求解可以归纳为偏微分方程的边值问题和初值问题。 大部 分静力问题属于边值问题，动力响应分析、热传导和流体力学问题则是初值问题。以下 2.1 至 2.3 节为非线性方程的边值解法，节 2.4 简单介绍非线性方程的初值解法。 在非线性力学中，有多种类型的非线性问题，如材料非线性、几何非线性、接触非线性 等。 无论是哪一类非线性问题， 经有限元离散后， 它们都归结为求解一个非线性代数方程组：ψ1 (δ 1 δ 2 L δ n ) = 0ψ 2 (δ 1 δ 2 L δ n ) = 0 LL ψ n (δ 1 δ 2 L δ n ) = 0其中 δ 1 , δ 2 , L, δ n 是未知量，ψ1 , ψ 2 , L, ψ n 是 δ 1 , δ 2 , L, δ n 的非线性函数，现引用矢量记号δ = [δ 1 δ 2 L δ n ]T ψ = [ψ1 ψ 2 L ψ n ]T上述方程组可表示为ψ ( δ) = 0还可以将它改写为ψ ( δ) ≡ F ( δ ) ? R ≡ K ( δ ) δ ? R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵， 其元素 k ij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。 在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ (δ) = 0 表示结点的平衡方程。 在线弹性有限元中，线性代数方程组Kδ ? R = 0可以毫无困难地求解，但对非线性方程组 ψ (δ) = 0 则不行。一般来说，难以求得其精确解， 通常采用数值解法， 把非线性问题转化为一系列线性问题。 为了使这一系列线性解收敛于非 线性解， 曾经有过许多方法， 但它们都有一定的局限性。 某一解法对某一类非线性问题有效， 但对另一类问题可能不合适。 因而， 根据问题性质正确选用求解方法成为非线性有限元的一 个极重要的问题。本章将介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。2.1迭代法前面已经提到， 目前求解非线性方程组的方法一般为线性化方法。 若对总荷载进行线性化处理，则称为迭代法。 2.1.1 直接迭代法 对非线性方程组K (δ)δ ? R = 0设其初始的近似解为 δ = δ ，由此确定近似的 K 矩阵0(2.1)K 0 = K (δ 0 )根据式〈2.1〉可得出改进的近似解7δ1 = ( K 0 ) ?1 R重复这一过程，以第 i 次近似解求出第 i＋1 次近似解的迭代公式为K i = K (δ i ) δ i +1 = ( K i ) ?1 R直到Δδ i = δ i ? δ i ?1(2.2)(2.3)变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。 在迭代过程中，得到的近似解一般不会满足〈2.1〉式，即ψ (δ i ) ≡ K (δ i )δ i ? R ≠ 0ψ (δ) 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。对于一个单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过程如图 2.1 和图 2.2 所示，它 们分别给出 F~δ为凸和凹曲线时的迭代过程。可以看出 K(δ)就是过曲线上点(δ, F(δ)与原点 的割线斜率。对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，但对多自由度情况，由于未知量通 过矩阵 K 耦合，不仅收敛速度慢，而且迭代过程不一定收敛。迭代次数 (a) 位移初值较小时的迭代过程迭代次数 (b) 位移初值较大时的迭代过程 图 2.1 F~δ为凸曲线时的迭代过程8迭代次数 (a) 位移初值较小时的迭代过程迭代次数 (b) 位移初值较大时的迭代过程 图 2.2 F~δ为凹曲线时的迭代过程2.1.2 Newton―Raphson 方法 Newton―Raphson 方法是求解非线性方程组ψ ( δ) ≡ F ( δ) ? R = 0的一个著名方法，简称 Newton 法。以下将介绍这种方法。(2.4)设 ? (δ) 为具有一阶导数的连续函数， δ = δ i ?1 是方程（2.4）的第 i-1（i=1, 2, …）次近 似解。若ψ i ?1 = ψ (δi ?1 ) ≡ F (δi ?1 ) ? R ≠ 0希望能找到一个更好的、方程（2.4）的近似解为δ = δ i = δ i ?1 + Δδ i(2.5)i ?1将（2.5）代入（2.4） ，并在 δ = δ 似表达式为i ?1附近按一阶 Taylor 级数展开，则 ψ (δ) 在 δ 处的线性近?ψ i ?1 i ) Δδ ?δψ i = ψ i ?1 + (其中( ?ψ i ?1 ?ψ ) = ( ) δ = δi?1 ?δ ?δ?ψ1 ? ?ψ ? ?ψ ? ?? ? ( ) ≡ ? 2 ?? ?δ ? M ?? ?δ 1 ?ψ n ? ? ?? ?δ 2L? ? ? ?δ n ?9引入记号i K T = K T (δi ) ≡ (?ψ i ) ?δ假定 δ i 为真实解，则由i ψ (δi ) = ψ (δi ?1 + Δδi ) = ψ i ?1 + KT?1Δδi = 0解出修正量 Δδ 为ii i Δδi = ?( KT?1 ) ?1 ψ i ?1 = ( KT?1 )?1 ( R ? F i ?1 )(2.6)由于这样确定的 Δδ 仅考虑了 Taylor 级数的线性项，因而按式（2.6）和（2.5）求出的i新解仍然是近似解。这样，Newton 法的迭代公式可归纳为i i Δδi = ?( K T?1 ) ?1 ψ i ?1 = ( K T?1 ) ?1 ( R ? F i ?1 )?ψ i ?1 ?F ) = ( )i ?1 ?δ ?δ i i ?1 i δ = δ + Δδi K T?1 = ((2.7)对于单变量的非线性问题，其迭代过程见图 2.3 和 2.4，可以看出 K T (δ ) 是 F ~ δ 曲线 上通过点 (δF (δ )) 的切线斜率Newton 法的收敛性是好的，但对某些非线性问题，如理想塑性和塑性软化问题，在迭 代过程中 K T 可能是奇异或病态的，于是 K T 的求逆就会出现困难。为此，可引入一个阻尼 因子η ，使矩阵 K T + η I 或者成为非奇异的，或者使它的病态减弱。这儿 I 为 n × n 阶的单i i位矩阵。 η 的作用是改变矩阵 K T 主对角线元素不占优的情况。当 η 变大时，收敛速度变i i i慢，当η →0 时，收敛速度最快。引入η 后，将用下式代替（2.6）i ii Δδi = ?( KT?1 + η i ?1 I )?1 ψ i ?1(2.8)图 2.3 初值较小时 Newton 法迭代过程图 2.4 初值较大时 Newton 法迭代过程102.1.3 修正的 Newton-Raphson 法 采用直接迭代法和 Newton 法求解非线性方程组时，在迭代过程的每一步都需要重新计 算 K T 。如将 Newton 法迭代公式中的 K T 改用初始矩阵 K T = K T (δ ) ，就成了修正的i i 0 0Newton-Raphson 法（简称修正 Newton 法，图 2.5） 。此时，仅第一步迭代需要完全求解一个 线性方程组，并将三角分解后的 K T 存贮起来，以后的每一步迭代都采用公式00 Δδi = ?( KT )?1 ψ i ?1(2.9)这样，只需按式(2.9)右端的 ψ 进行回代即可。i修正 Newton 法的每一步迭代所用的计算时间较少，但迭代的收敛速度降低。为了提高 收敛速度，可引入过量修正因子 w 。在按（2.9）式求出 Δδ 之后，采用下式计算新解i iδ i = δ i ?1 + wi Δδ ii i i(2.10)w 为大于 1 的正数。可以采用一维搜索的方法确定 w ，此时将 Δδ 看作 n 维空间中的搜索 （使 ψ (δ) = 0 的解） 方向， 希望在这一方向上找到一个更好的近似值， 即使不能得到精确解 , i 但可通过选择 w 使 ψ (δ) 在搜索方向上的分量为零，即Gi = (Δδi )T ψ (δi ?1 + wi Δδi ) = 0i(2.11)这是一个关于 w 的单变量非线性方程。虽然一维搜索需要机时，但计算表明，将其用于修 正的 Newton-Raphson 方法和下面的拟 Newton 法时，能够明显加速整个收敛过程。 在应用修正的 Newton 法时，还可以在每经过若干次迭代后再重新计算一个新的 K T ，0也可达到提高收敛速度的目的。图 2.5 修正 Newton 法图 2.6 拟 Newton 法2.1.4 拟 Newton 法 前面所谈的 Newton 法，每次迭代后需要重新计算一个新的矩阵 K T ，而修正的 Newton 法保持 K T 不变。 Newton 法的主要特点是每次迭代后用一个简单的方法修正 K ，K 的修 拟0正要满足以下的拟牛顿方程K i (δi ? δi ?1 ) = ψ (δi ) ? ψ (δi ?1 )ii ?1(2.12)对于单变量情况，上式中的 K 是导数 (?ψ ?δ)δ =δ 的近似表达式，实际上就是割线劲度 矩阵。由图 2.6 可知Δδ 1 = ?( K 0 )?1ψ 0 = ( K 0 )?1 ( R ? F 0 )δ 1 = δ 0 + Δδ 111( K 1 ) ?1 =Δδ 1 δ1 ?δ 0 = 1 F 1 ? F 0 ψ ?ψ 0Δδ 2 = ( K 1 ) ?1 ( R ? F 1 )………( K i ) ?1 = Δδ i δ i ? δ i ?1 = i Δψ i ψ ?ψ i ?1(2.13)显然 K i 就是相应于 Δδ i = δ i ? δ i ?1 与 Δψ i = ψ i ?ψ i ?1 的割线劲度。但实际上对于多维情 况，无法由（2.13）式求出 K 。.我们可仿照位移的迭代公式来建立劲度矩阵逆矩阵的迭代i公式：( K i ) ?1 = ( K i ?1 )?1 + (ΔK i )?1ii i ?1(2.14)那么只要由 Δδ 和 Δψ 求出 (ΔK ) ，就可以确定 ( K i ) ?1 。.得到 ( K i ) ?1 后，再由它和拟 牛顿方程（2.12）求出 ΔδiΔδi = ( K i )?1 Δψ ii ?1 i ?1(2.15)关键的问题是如何确定 (ΔK ) ？现假定修正矩阵 (ΔK ) 的秩m≥1， 通常取m=1 或 2。 对于秩为m的 N × N 阶矩阵，总可以将它表示为ABT的形式，A和B均为 N × m 阶矩阵。以 下介绍计算 (ΔK ) 的秩 1 和秩 2 算法。 (1) 秩 1 算法 修正矩阵 (ΔK ) 表示为i ?1 i ?1(ΔK i ) ?1 = AB T式可得ABT Δψ i = Δδi ? ( K i ?1 )?1 Δψ i(2.16)其中 A 和 B 均为 N×1 阶向量。将（2.16）式代入（2.14）后，再将（2.14）式代入（2.15）若 B T Δψ i ≠ 0 ，则A = [Δδi ? ( K i ?1 )?1 Δψ i ]/ BT Δψ i(2.17)将（2.17）式代入（2.16）得(ΔK i ) ?1 = ξ [Δδi ? ( K i ?1 ) ?1 Δψ i ]BT(2.18)式中? 1 ? ξ = ? B T Δψ i ? 0 ?当Δψ i ≠ 0时 当Δψ i = 0时(2.19)若取 BT = (Δψ i )T ( K i ?1 )?1 ，由（2.18）和（2.19）式得(ΔK i ) ?1 = [Δδi ? ( K i ?1 )?1 Δψ i ] (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 i （当 Δψ ≠ 0 时） (Δψ i )T ( K i ?1 )?1 Δψ i(2.20)根据上式和式（2.14）求出的 ( K i ) ?1 是不对称的，因而式（2.20）是非对称秩 1 算法。 若取 B = Δδi ? ( K i?1 )?1 Δψ i ，由（2.18）和（2.19）式可(ΔK i ) ?1 = [Δδi ? ( K i ?1 ) ?1 Δψ i ] [Δδi ? ( K i ?1 )?1 Δψ i ]T （当 Δδi ≠ ( K i ?1 )?1 Δψ i 时） [Δδi ? ( K i ?1 ) ?1 Δψ i ]T Δψ i(2.21)12可以看出，只要初始逆矩阵 ( K ) 是对称的，那么按式（2.21）和（2.14）求出的 ( K i )?1 总 是对称矩阵。所以式（2.21）是对称秩 1 算法。 (2) 秩 2 算法 一个 N × N 阶的秩 2 矩阵，总可以表示为0 ?1(ΔK i ) ?1 = [A1?B T ? T A2 ]? 1T ? = A1 B1T + A2 B2 ? B2 ?(2.22)，再代入（2.15）得 式中A1、A2、B1和B2均为N×1 维向量。将上式代入（2.14）T A1 B1T Δψ i + A2 B2 Δψ i = Δδi ? ( K i?1 )?1 Δψ i(2.23)为满足（2.23）式，可取A1 =代回（2.22）式得Δδ i B1T Δψ iA2 = ?( K i ?1 ) ?1 Δψ i T B2 Δψ iT (ΔK i ) ?1 = ξ1Δδi B1T ? ξ 2 ( K i ?1 ) ?1 Δψ i B2(2.24)其中? 1 ? T ξ1 = ? B1 Δψ i ? 0 ? ? ? ? ? 1 0当Δψ i ≠ 0时 当Δψ i = 0时(2.25)T ξ 2 = ? B2 Δψ i当Δψ i ≠ 0时 当Δψ i = 0时(2.26)为了使它具有更普遍的意义，考虑作以下的变换B1 =则显然有TB1TT B1 Δψ iB2 =TT B2 T B 2 Δψ iB 1 Δψ i = B 2 Δψ i = 1于是式（2.24）成为( ΔK i ) ?1 = Δδi B1 ? ( K i ?1 ) ?1 Δψ i B 2T TTT(2.27)(2.28)引入参数 β ，将 B 和 B 取为如下的组合形式T 1 T 2B1 = [1 + β (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i ]T(Δδi )T ? β (Δψ i )T ( K i ?1 )?1 i i T (Δδ ) Δψ（ (Δδ i ) T Δψ i ≠ 0 ）B 2 = [1 ? β (Δδi )T Δψ i ]T(2.29)(Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 + β (Δδi )T (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i13（ (Δψ i )T ( K i?1 )?1 Δψ i ≠ 0 ）T T(2.30)显然，这样选择的 B 1 和 B 2 满足（2.27）式。现将（2.29）和（2.30）代入（2.28）式得 Δδi (Δδi )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 (ΔK i ) ?1 = ? + (Δδi )T Δψ i (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i+ β [(Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i Δδi (Δδi )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 + ( Δδ i )T Δ ψ i (Δδi )T Δψ i (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i(2.31)?Δδi (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 ? ( K i ?1 ) ?1 Δψ i (Δδi )T ]可以看出，只要初始逆矩阵 ( K ) 是对称的，那么按（2.31）和（2.14）式得到的 ( K i ) ?1 总 是对称矩阵，因而（2.31）式是对称的秩 2 算法。 如令式（2.31）中的 β =0，便得到 DFP〈Davidon-Fletcher-Powell〉公式(ΔK i ) ?1 =i T i ?10 ?1Δδi (Δδi )T ( K i ?1 ) ?1 Δψ i (Δψ i )T ( K i ?1 )?1 ? (Δδi )T Δψ i (Δψ i )T ( K i ?1 )?1 Δψ i(2.32)如令 β = ((Δδ ) Δψ ) ，可得 BFS（Broyden-Fletcher-shanno）公式(ΔK i ) ?1 = (1 + (Δψ i )T ( K i ?1 ) =1 Δψ i Δδ i (Δδ i )T ) + (Δδi )T Δψ i (Δδ i )T Δψ iΔδ i (Δψ i )T ( K i ?1 ) ?1 + ( K i ?1 ) ?1 Δψ i (Δδ i )T ? (Δδi )T Δψ i(2.33)式（2.20）（2.21）（2.32）和（2.33）中的任一个与式（2.14）（2.15）联立，便构成 、 、 、 解非线注方程组的拟 Newton 法。实践表明，BFS 的秩 2 算法是目前最成功的算法之一，它 具有较好的数值稳定性。 从以上迭代法的计算过程可以看出， 随着迭代次数的增加， 失衡力 ψ = K δ ? R 逐渐i i i减小， 并趋于平衡。 可见迭代法就是用总荷载作用下不平衡的线性解去逼近平衡的非线性解， 迭代的过程就是消除失衡力的过程。 对于不同的迭代方法， 这一过程的快慢也就是收敛速度 是不同的。一般来说，Newton 法最快，拟 Newton 法次之，修正的 Newton 法最慢。理论上 可证明，Newton 法的收敛速度为二次，修正的 Newton 法收敛速度只有一次，BFS 秩 2 拟 Newton 法的收敛速度介于一次和二次之间。不过，各种方法的效率不仅与收敛速度有关， 还与每一步迭代所需的计算量有关。Newton 法每一步的计算量最大，拟 Newton 法次之， 修正 Newton 法最小。因而对于某个具体问题，往往需要进行数值实验，才能判断哪个方法 较高。一般来说，不同问题可选用不同方法，究竟用哪一种？与所研究问题的性质、计算规 模及容许误差等因素有关。2.2 增量法在用线性方法求解非线性方程组时，若对荷载增量进行线性化处理，则称增量法。它的 基本思想是将荷载分成许多小的荷载部分（增量） ，每次施加一个荷载增量。此时，假定方 程是线性的，劲度矩阵 K 为常矩阵。对不同级别的荷载增量，K 变化的。这样，对每级增 量求出位移增量 Δδ ，对它累加，就可得到总位移。实际上就是以一系列的线性问题代替了 非线性问题。 2.2.1 Euler 法14设 R 为总荷载，引入参数 λ 一一荷载因子，令 R = λ R ，则非线性方程组成为 (2.34) ψ ( δ, λ ) = F ( δ ) ? R = F ( δ ) ? λ R = 0 问题成为对一个任意给定的 λ （ λ ≥0） ，求 δ = δ(λ ) 。现设 δ 是对应于 λ 的解，而 δ + Δδ 是 对应于 λ + Δλ 的解，则有ψ (δ, λ ) = ψ (δ + Δδ, λ + Δλ ) = 0对上式按 Taylor 级数展开，(2.35)ψ (δ + Δδ, λ + Δλ ) = ψ (δ, λ ) +?ψ ?ψ Δδ + Δλ + L ?δ ?λ略去高次项，令 K T (δ, λ ) =?ψ ?ψ = ? R 和式（2.34） ，并注意 ，可得 ?λ ?δ? ? Δδ = K T 1 RΔλ = K T 1 ΔR(2.36)这就是增量法的基本公式，现设0 = λ0 & λ1 & λ2 & L & λ M = 1将 λ 分成 M 个增量Δλ m = λ m ? λ m ?1此时，第 m 级荷载增量为∑ Δλm =1Mm=1(2.37)ΔRm = Rm ? Rm ?1 = Δλ m R迭代公式成为? ? Δδm = K T 1 (δm?1 λ m?1 ) RΔλm = K T ,1m?1 ΔRm(2.38)δm = δm?1 + Δδm应变增量 Δε m 和应力增量 Δσ m ，则(2.39)初始值可取 λ0 = 0 ， R0 = 0 ， δ0 = 0 。 Δλm 一般可取等分值。根据位移增量 Δδm ，可求出ε m = ε m?1 + Δε m σ m = σ m?1 + Δσ m(2.40) (2.41)K T , 0 为初始切线劲度矩阵，K T , m ?1 是对应于第 m 级荷载开始时应力状态 σ m?1 的切线劲度矩阵，式（2.39）是基本的增量法，又称 Euler 法，对一维问题，其求解过程如图 2.7 所示。15(a) 应力与应变 图 2.7 一维 Euler 法(b) 荷载与位移从图 2.7 可以看出，每步计算都会引起偏差，使折线偏离曲线，解答产生漂移，随着求 解步数的增加，由于偏差的积累使最后的解答离开真解较远，从而降低了计算精度，为此须 对这一方法做些改进。 2.2.2 修正的 Euler 法' 将由 Euler 法第 m 级荷载增量求得的 δm 作为中间结果，记为 δm ，它与前一级结果 δm ?1加权平均为' δm ?θ = θδm ?1 + (1 ? θ ) δm(2.42)式中 θ 为加权系数，由 δm ?θ 确定 K T ,m ?θ ，并代替式（2.39）中的 K T , m ?1 ，则得? Δδm = K T ,1m ?θ ΔRmδm = δm ?1 + Δδm上式就是修正 Euler 法的基本公式，实际计算步骤为 (1) 由荷载增量(2.43)ΔRm ?θ = (1 ? θ )( Rm ? Rm ?1 )按下式计算中间位移 δm ?θ? Δδm?θ = K T ,1m?1 ΔRm?θ(2.44)δm ?θ = δm?1 + Δδm?θ(2) 计算相应于 δm ?θ 的劲度矩阵 K T ,m ?θ (3) 施加全部荷载增量 ΔRm ，按式（2.43）计算 δm(2.45)单变量的修正 Euler 法求解过程如图 2.8 所示。当 θ ＝0.5 时，修正的 Euler 法就是 Runge-Kutta 法。图 2.8 修正 Euler 法图 2.9 Euler-Newton 法2.3 混合法16如对同一非线性方程组混合使用增量法和迭代法， 则称为混合法或逐步迭代法。 一般在 总体上采用 Euler 增量法，而在同一级荷载增量内，采用迭代法。 2.3.1 Euier--Newton 法0 在增量步内采用 Newton 迭代法。现以 δm 和 δm 分别表示第 m 级荷载增量时 δ 的初值和终值，以 Rm 表示第 m 级增量时 R 的终值，则由式（2.7）得第 m 增量步的迭代公式0 δm = δm ?10 K T ,m = K T ,m ?1i i ψ m = Fm ? Rm ?1Rm = λ m Ri i i δm = δm?1 + Δδmi i i i i Δδm = ( K T?1 ) ?1 (λ m R ? Fm?1 ) = ( K T?1 ) ?1 (ΔRm ? ψ m?1 ) ,m ,m(2.46)逐步迭代过程可由图 2.9 所示的一维问题清楚地看出。 如果每一增量步内只迭代一次，此时1 δm = δm 1 Δδ m = Δδ m则对第 m 增量步有0 0 Δδm = ( K T ,m ) ?1 (ΔRm ? ψ m )δm = δm ?1 + Δδm这实际上是对 Euler 法所产生的、与真解偏差的修正，因而称为自修正方法。(2.47)当前一增量步的计算结果精确时，式（2.39）成立，则自修正方法回到 Euler 法。 2.3.2 Euler-修正 Newton 法 在每一增量步内，采用修正的 Newton 法，取其初始的切线劲度矩阵作为这一增量步内 不变的劲度矩阵，则由于i 0 K T?,1 = K T ,m = K T ,m ?1 m所以，在第 m 增量步内0 δm = δm ?1Rm = λ m R(2.48)i i i Δδm = ( K T ,m ?1 ) ?1 (λ m R ? Fm?1 ) = ( K T ,m ?1 ) ?1 (ΔRm ? ψ m?1 ) i i i δm = δm?1 + Δδm按同样的思路，还可给出 Euler-拟 Newton 法。2.4 软化问题的非线性求解前面的非线性发出求解方法适合于强化问题，对于图 2.10 的软化区2.4 迭代收敛准则及增量法的步长选择2.4.1 收敛性 解的收敛性是指非线性方程进行迭代求解时， 其解能否向某一确定场 （不一定是非线性 方程的真解）逼近的性质。不收敛的表现有两种：一是振荡，即迭代计算次数 n 达到一定值 后，其解不是逼近某一确定值，而是随 n 的增加在某一确定值上下摆动。二是发散，即迭代17达到某一值后，再增加迭代次数，计算结果反而越来越远离某个确定值，无法返回该确定值 的邻域内。 为了研究解的收敛性， 在采用迭代法或混合法求解非线性方程组时， 必须给出迭代的收 敛准则，也就是容许误差，否则就无法终止迭代计算。收敛准则取得不合适，会使计算结果 不精确或多费机时。目前，在非线性有限元计算中常用的迭代收敛准则有以下三种 1． 位移准则Δδ i ≤ α d δ i式中符号 表示范数，它的定义是(2.49)Δδ = (Δδ T Δδ)1 2δ = ( δ δ)T(2.50) (2.51)12α d 为位移收敛容差，是事先指定的一个很小的正数。当材料硬化明显时，位移增量的微小变化将引起失衡力的很大偏差。还有，当相邻两次 迭代得到的位移增量范数之比跳动较大时， 会使一个应当能收敛的问题判定为不收敛。 对于 这两种情况，不能使用位移收敛准则。 2． 失衡力准则ψ (δ i ) ≤ α q R(2.52)α q 是失衡力收敛容差。当失衡力很小时，可认为式（2.1）满足，逼近了真解。当材料表现出明显软化时， 或材料接近理想塑性时， 失衡力的微小变化将引起位移增量 的很大偏差，此时不能采用失衡力准则。 3．能量准则 能量准则是把每次 这是一种比较好的收敛准则， 因为它同时考虑了位移增量和失衡力。 迭代后的内能增量与初始内能增量相比较。 内能增量指失衡力在位移增量上所做的功。 这一 准则可表示为( Δδ i ) T ψ i ≤ α e ((Δδ 0 ) T ψ 0 )(2.53)α e 是能量收敛容差。收敛准则确定后，剩下的问题就是选择一个合适的收敛容差 α 。对于Newton-Raphson 方法，考虑到收敛较快，迭代次数少，如果不考虑舍入误差，两次就可能收敛，所以 α 可 以取计算机精度的一半。因此，如果计算的精度是 16 位数字，可以取 α ＝10 8。对于采用－大量时间步的问题，如果 α 过大，会使求解过程不稳定，也推荐采用计算机的一半精度作 为容许容差。对于修正的Newton法和拟Newton法，收敛较慢，需要更多的迭代次数以保证 较高的计算精度。此时，通常采用比较大的收敛容差，一般在 0.001～0.05 之间。 非线性问题求解不收敛的情况经常发生，引起不收敛的原因很多，大概有： (1) 多数是算法问题。一种算法应用于不同的非线性问题，其收敛性可能不一样，甚至 不收敛。 (2) 收敛准则和收敛容差。所选用的收敛准则不适合求解的非线性问题，导致不收敛。 收敛容差取得太小会降低收敛速度，有时也会使迭代不收敛。当然，容差也不能取得太大， 导致计算不收敛，或者虽然收敛了，但没有到达真解。18(3) 增量步长和迭代次数。增量步长太大，不能使问题较好地线性化，导致问题求解失 真，或使迭代不收敛，特别是对一些非线性明显的问题。 (4) 单元形态太差。单元形态不好不仅降低计算结果的精度，严重时甚至影响迭代求解 的收敛性。 (5) 非线性问题本身。对于强非线性问题，由于分叉和混沌现象的存在，可能使问题不 收敛。 2.4.2 增量步长的选择 在用增量法或混合法求解非线性方程组时， 需要合理选择荷载增量的步长。 步长太大使 计算不收敛，步长太短则增加了计算时间。 由于增量法是一种线性化方法， 应当根据问题的非线性程度来选择合理的步长。 一般来 说，随着非线性程度的增大，步长要减小。 P. G. Bergan 等提出根据不同荷载阶段的结构劲度，计算增量步长的方法。初始（线弹 性）劲度可用下式度量R1T R1 S = T δ1 R1* 1(2.54)第 m 增量步的劲度用式（2.55）度量T ΔRm ΔRm S = T Δδm ΔRm * m（m＝1, 2, …）(2.55)第 m 增量步的劲度参数则表示为* S m = S m S1*(2.56)由于R1 = λ1 R由式（2.54）～（2.56）可得ΔRm = Δλ m RSm =Δλm δ1T RT λ1 Δδm R(2.57)这样就可按下面的递推公式选择荷载增量的步长Δλ m = Δλ m ?1ΔS S m ? 2 ? S m ?1(m≥3)(2.58)式中 Δ S 是劲度参数的变化值，事先给出，可在 0.05~0.2 范围内选取。如果给定进入非线性 状态后的第一个荷载增量因子 Δλ2 ，就可按上式确定 Δλ3 ， Δλ4 ，……。19
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