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[线性代数]N维向量空间
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向量、矩阵、空间的关系?一个n×1的矩阵（行向量）对应一个n维空间的向量,那么一个1×n的矩阵（列向量）对应的空间概念是什么呢?是否依然对应一个n维空间的向量呢?那一个n×m的矩阵对应的空间概念又是什么呢?
夏末秋凉丶息
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那要看你怎么定义的向量空间由 所有实数上的n×1的矩阵（这是列向量）对于向量的加法与数乘构成一个实数上的向量空间V1,那么一个n×1的矩阵就是向量空间V1中的向量由 所有实数上的1×n的矩阵（这是行向量）对于向量的加法与数乘构成一个实数上的向量空间V2,那么一个1×n的矩阵就是向量空间V2中的向量由 所有实数上的n×m的矩阵对于矩阵的加法与数乘构成一个实数上的向量空间V3,那么一个n×m的矩阵就是向量空间V3中的向量这要根据研究对象具体定义空间
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高维几何是泛函研究的主要对象之一，可对何谓高维几何，笔者没见到明显的定义。笔者认为，所谓高维几何，就是把高维向量空间，同时视为点的集合，研究她的子集的性质和子集之间的关系的学科，就是高维几何(是否如此，请给予点评)。
　　那么点与向量有什么关系，他们的表示方法有何区别，在以往的泛函分析中没有明确的概念。一开始用的概念是向量，但当提到距离时，又变成了点，令人摸不到头绪。
　　当然笔者要研究的几何主要是欧氏空间里的几何。但欧氏空间是特殊的线性空间，我也先犯一次同样的错误，而先说一说线性空间的点与向量的关系及表示方法。用V^n(因这里不能编辑上标,因此用^n表示上标为n,当V为数值时V^n表示V的n次幂)表示n维线性空间。
　　要先指定一点，称其为原点，用O表示。如果网友问。怎样指定呀，我也不能作出准确的答复，我只能说，你读初中时，经常要在平面直角坐标系内画一次函数与二次函数的图象，你是怎样指定原点的，这里与那里一样。而每一个向量都有起点与终点，一个向量的起点可以是空间中的任何位置，但只要起点位置确定，那么它的终点位置也就确定了；反过来说，两点可以确定一个向量。由A,B两点确定的向量写为‘向量AB’，向量的一般表示方法是用一个小写字母。如果向量a是由A,B两点确定，记为a=AB。
　　我们知道，把n个线性无关的向量e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),……,en=(0,0,0,…,1)称为V^n的一组标准基。又因V^n内的任意向量x=(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn∈R,R为实数集)是x=x1*e1+x2*e2+…+xn*en的简化写法,因此可把(x1,x2,…,xn)称为x在标准基下的坐标(简称为x的坐标),xi(i=1,2,…,n)称为x的第i(维)坐标.
　　以原点为起点的向量x=(x1,x2,…,xn)的终点也称为点x，把(x1,x2,…,xn)也称为点x的坐标，即以原点为起点的向量与它的终点可以用同一字母表示，并且坐标表示方法也一样。在叙述过程中，根据需要可以把x时而称为向量，时而称为点，但是点不是向量，向量也不是点，这看上去有点混乱，但应用起来很方便，你会觉得一点混乱的感觉也没有，在微分几何里，图形的向量式方程不就是如此吗。无论x是点还是向量，都可记x=(x1,x2,…,xn)。由此可知,V^n中以原点为起点的向量与V^n中的点一一对应。起点和终点重合的向量是零向量,零向量记为o=(0,0,…,0).当没给出向量的起点时,一般都认为它以原点为起点。当某点的坐标为(a1,a2,…,an)且用大写字母A表示该点时,其坐标可记为A(a1,a2,…,an)或A(a)(其中a=(a1,a2,…,an)),原点为O(0,0,…,0).&
　　无论是《立体几何》，还是《空间解析几何》，它们首先研究的都是直线和平面，因为它们是三维空间里的最基本的图形。如果对直线和平面没有充分的认识，对其它复杂的图形就很难取得很深入的认识。
　　当把n维线性空间V^n视为点集时，把它的每个子集都称为V^n内的图形。
因此对V^n上的几何的研究，也应首先研究类似直线与平面的图形。把V^n中类似直线与平面的图形也称为直线与平面。不过这里的直线与平面的维数并不是1与2。直线一般有一维的，二维的，三维的……直至n-2维的；平面一般有二维的，三维的，直至n-1维的。
　　n维线性空间中也有封闭的几何图形，如平行六面体，三棱锥等也都可以是V^n中的图形，如果它们在一个“三维平面”内，即是说立体图形在平面内，在语言上总有点别扭，因此该给其再取一个名字。因有平面几何，立体几何之分，因此笔者认为称其为“立体”是比较合适的(取这个名字是否合适，请阅读帖子的网友或老师给予指正，笔者不胜感激。)
　　这里的直线，平面，立体是相对概念。象三辈人站在一起一样，处在中间辈份的人，在他爸爸面前，他是儿子，在他儿子面前，他是爸爸。一个立体，在比它高一维的立体前，可称它为平面，在比它高两维的立体面前，可以称它为直线；一条直线在比它低一维的直线面前，可称它为平面，在比它低两维的直线面前，又可称它为立体。这样称呼，可增加V^n的直观感。
(一维)直线的方程
　　在三维以内的空间里，对几何问题所以能作出定量分析，就是因为对作定量分析的图形都给出了方程。可在泛函分析中，为什么不给出一些构造简单的图形的方程呢？
先来考察平面解析几何中直线的参数方程，设以t(-∞≤t≤+∞)为参数的直线p的参数方程为：
　　x=2t-1
　　y=3t+4
　　显然直线p经过点(-1,4)，而(x,y)是p上的任意一点。把方程用向量的形式表示出来，就是
　　(x,y)=(2,3)t+(-1,4)
　　把这种形式的方程称为向量式(可以这样定义吧)，实质上是参数式的变形。
　　这时(x,y)与(-1,4)是点还是向量，说得清吗，可以说这时它们既是点，又是向量，在运算过程中它们是向量，运算前与运算后的结果，它们是点。因此时而把它们称为点，时而把它们称为向量，什么时候称向量，什么时候称点，只能是根据语言环境的需要(这种说法能得到阅读者的首肯吗，如有不同观点，请给予指点)。
　　如果令r=(x,y),a=(2,3),b=(-1,4)，则的方程形式为r=at+b,可以说直线p经过点b由向量a确定。显然p是有向直线，称向量a的方向为p的正向。从而-a是直线的负向。p又是数直线，b是它的原点，a是它的单位。
　　如果已知直线q经过两点a(c,d),b(e,f),正方向为b-a，原点为a，则直线q的方程为：
　　r=(b-a)t+a，
这个方程可称为有向直线方程的两点式；
　　因r=(b-a)t+a=a(1-t)+bt,令u=1-t,v=t，则u+v=1，从而方程又变形为
　　r=au+bv(u+v=1)
　　用这种形式表示的直线是没有方向的。可称无向两点式，那前面的就是有向两点式了。
　　设直线p以t为参数的参数方程为
　　　x=ct+f
　　　y=dt+g
　　　z=et+h
变形为向量式为
　　(x,y,z)=(c,d,e)t+(f,g,,h)
　　令p上的任意一点r=(x,y,z),p上的定点b=(f,g,h),向量a=(c,d,e),则直线p的方程变形为：
　　r=at+b
　　称p为过点b由向量a确定的直线。
　　如果直线q过a,b两点，则有两点式有
　　r=(b-a)t+a&或
　　r=au+bv(u+v=1)
　　设直线p过n维线性空间的点b=(b1,b2,…,bn),由向量a=(a1,a2,…,an),p上的任意一点
　　x=(x1,x2,…,xn)
　　推论得p的向量式方程为：
　　x=at+b
　　即它的参数方程为：
　　x1=a1*t+b1
　　x2=a2*t+b2&
　&……　……　……
　　xn=an*t+bn
　　过两点a,b的直线q的方程可分别为
　　x=(b-a)t+a&或
　　x=au+bv(u+v=1)
　　直线x=at+b上的任意一点由t的值决定，当t=t0时所确定的点A可记为点A(t0)。
　　设A(t1),B(t2)是直线x=at+b上的两点，则闭线段[AB]的方程为
　　x=at+b(t1≤t≤t2)
　　开线段(AB)的方程为
　　x=at+b(t1＜t＜t2)
　　直线x=(b-a)t+a上，a,b两点间的线段方程为
　　x=(b-a)t+a(0≤t≤1)&(有方向，由a到b)&或
　　x=au+bv(u+v=1,u≥0,v≥0)(无方向)
　　n维线性空间内有向量AB＋向量BC＝向量AC，从而知若向量a+b=c，则是把b的起点放在a的终点，那么和向量c的起点是a的起点，c的终点是b的终点。
　　又因向量AC－向量BC＝向量AB，可知向量c-b的几何意义为，使c,b的终点重合，则c的起点是差向量a的起点，b的起点是差向量a的终点。
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