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若k为自然数，且关于x的一元二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值和方程的根．
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∵k2-1≠0，∴k≠±1．∵k为自然数，且关于x的一元二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个不相等的正整数根∴△=36（3k-1）2-4（k2-1）×72＞0，∴k≠3，用求根公式可得：x1=，x2=，∵x1，x2是正整数，∴k-1=1，2，3，6，k+1=1，2，3，4，6，12，解得k=2．这时x1=6，x2=4．
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首先根据已知条件可得k2-1≠0，进而得到k≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得k≠3；再利用求根公式用含k的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论k的值即可．
本题考点：
解一元二次方程-因式分解法．
考点点评：
此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．
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已知关于x的方程（4-k）（8-k）x2-（80-12k）x+32=0的解都是整数，求k的值．
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当k=4时，原方程为-32x+32=0，所以x=1，符合题意；当k=8时，原方程为16x+32=0，所以x=-2，符合题意；当k≠4且k≠8时，原方程化为[（4-k）x-8][（8-k）x-4]=0，解得x1=，x2=．∵k为整数，且x1，x2均为整数根，∴4-k=±1，±2，4，±8，得k=3，5，2，6，0，-4，12或8-k=±1，±2，-4，得k=7，9，6，10，12．综上所述，当k的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．
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本题若从参数和方程的解来分析，用韦达定理和判别式法未尝不可，但实际操作中很难做到．我们注意到方程的两个解极易求出且形式简单，故可用因式分解法求出其根再利用整除理论求解．
本题考点：
一元二次方程的整数根与有理根．
考点点评：
本题并未说此方程为一元二次方程，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．本题是分类讨论的典范．
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已知关于x的方程x2+（a-6）x+a=0的两根都是整数，求a的值．
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设两个根为x1≥x2，由韦达定理得1+x2＝6-ax1x2＝a，从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2=6，∴（x1+1）（x2+1）=7，∴1+1＝7x2+1＝1或1+1＝-1x2+1＝-7，∴1＝6x2＝0或1＝-2x2＝-8，∴a=x1x2=0或16．
为您推荐：
利用韦达定理，然后把a消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程即可．
本题考点：
一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．
考点点评：
主要考查了求解为整数的二次方程的系数问题；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键．
扫描下载二维码& 利用导数研究曲线上某点切线方程知识点 & “已知f（x）=ax-2/x-3lnx，其...”习题详情
175位同学学习过此题，做题成功率72.0%
已知f（x）=ax-2x-3lnx，其中a为常数．（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（23，f（23））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[32，3]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点P（1，-4）作函数F（x）=x2[f（x）+3lnx-3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知f（x）=ax-2/x-3lnx，其中a为常数．（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（2/3，f（2/3））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[3/2，3]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上既有...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）求出导数f′（x），由f（x）的图象在点（23，f（23））处的切线的斜率为1，得f′(23)=1，可得a的方程，解出a可得f（x），由导数可求得函数的极小值，同时也为最小值；（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上既有极大值也有极小值，等价于f′（x）=0有两个不等正实根，从而可化为二次方程根的分布问题，根据两根之和、两根之积大于0及判别式符号可得不等式组；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x），从而可得F（x），F′（x），分P为切点，P不为切点两种情况讨论，当P为切点时，斜率k=F′（1），由点斜式可得切线方程；当P不为切点时，由两点连线的斜率公式及斜率相等可得方程，解出即可；
解：f′(x)=a+2x2-3x，∵f（x）的图象在点（23，f（23））处的切线的斜率为1，∴f′(23)=1，即a+2(23)2-323=1，化简，得a=1，故f（x）=x-2x-3lnx，f′(x)=(x-1)(x-2)x2，当32≤x＜2时，f′（x）＜0，当2＜x≤3时，f′（x）＞0，∴x=2是f（x）的极小值点，也是最小值点，∴f（x）min=f（2）1-3ln2；（Ⅱ）f′（x）=a+2x2-3x=ax2-3x+2x2（x＞0），∵f（x）在（0，+∞）上既有极大值也有极小值，∴f′（x）=0即ax2-3x+2=0有两个不等的正实根，不妨设这两个正实根为x1、x2，并令h（x）=ax2-3x+2，则{△=9-8a＞0x1+x2=3a＞0x1x2=2a＞0，解得0＜a＜98；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=x-2x-3lnx，故F（x）=x3-3x2-2x（x＞0），F′（x）=3x2-6x-2（x＞0），设切点为T（x0，y0），由于点P在函数F（x）的图象上，则（1）当切点T不与点P（1，-4）重合，即当x0≠1时，由于切线过点P（1，-4），则y0+4x0-1=3x02-6x0-2，∴x03-3x02-2x0+4=(x0-1)(3x02-6x0-2)，化简得x03-3x02+3x0-1=0，即(x0-1)3=0，解得x0=1（舍去）；（2）当切点T与点P（1，-4）重合，即x0=1时，则切线的斜率k=F′（1）=-5，于是切线方程为5x+y-1=0，综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为5x+y-1=0．
本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想，考查学生的运算能力及分析解决问题的能力．
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已知f（x）=ax-2/x-3lnx，其中a为常数．（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（2/3，f（2/3））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[3/2，3]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+...
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经过分析，习题“已知f（x）=ax-2/x-3lnx，其中a为常数．（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（2/3，f（2/3））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[3/2，3]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上既有...”主要考察你对“利用导数研究曲线上某点切线方程”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究曲线上某点切线方程．
与“已知f（x）=ax-2/x-3lnx，其中a为常数．（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（2/3，f（2/3））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[3/2，3]上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上既有...”相似的题目：
设曲线y=x4+ax+b在x=1处的切线方程是y=x，则a=&&&&，b=&&&&．
已知函数为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则t的值为&&&&．
已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是&&&&y=2x-1y=y=3x-2y=-2x+3
“已知f（x）=ax-2/x-3lnx，其...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1．
2已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1+kx，求k的取值范围．
3已知曲线y=13x3+43，则过点P（2，4）的切线方程是&&&&．
该知识点易错题
1已知曲线y=13x3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程．
2曲线C1：y=12ex关于直线y=x对称得曲线C2，动点P在C1上，动点Q在C2上，则|PQ|最小值为（　　）
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设x0是方程lnx+2x-6=0的近似解,且x属于(a,b),b-a=1,求a,b的值
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题中应是：“ x0属于(a,b)”设f(x) = lnx+2x-6.注意到 e=2.73,ln2 1,我们有：f(2) = ln2 -2 < 0f(3)=ln3 >0.因f(x)连续,所以在区间（2,3）中必有一个根.所以可以取 a = 2,b=3.注：因为没要求a,b是整数,a,b的取法不唯一.比如 a= 2.01,b=3.01 也可以.
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