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大学物理第二版课件(屠庆铭版)各章习题.doc 69页
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大学物理第二版课件(屠庆铭版)各章习题.doc
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质点运动学
§1-2 运动方程速度加速度
例1-1 设质点的运动方程为
（1）求他t=3s时的速度．
（2）作出质点的运动轨迹图．
(1) 由题意可得速度分量分别为
t=3s时速度为
速度与轴之间的夹角为
（2）运动方程
由运动方程消去参数t 可得轨迹方程为
例1-2　已知质点的运动方程为
(1)质点的轨道方程;
(2)t=1s和t=2s时,质点的位置矢量;
(3)t=1s和t=2s时,质点的速度和加速度.
解　(1)质点的轨道方程
将运动方程消除参数t可得到轨道方程
(2)t=1s和t=2s时,质点的位置矢量;
由题意知,在t时刻质点的位矢可表示为
t=1s时位矢为:
t=2s时位矢为:
(3)t=1s和t=2s时,质点的速度和加速度.
由运动方程可以求得速度分量为
速度矢量表示式为
t=1s时t=2s时
由运动方程可以求得加速度速度分量为
加速度矢量表示式为 可见,质点的加速度与时间无关不随时间变化　一个质点沿x轴运动,运动方程为
计算下列各时间内的平均速度:
(1)2s和3s之间
(2)2s和2.1s之间
(3)2s和2.001s之间
并计算t=2s时的瞬时速度.
由质点的运动方程可得质点在时间t到(内的位移为
(1) 把t=2s,代入上式得
由运动方程得质点的瞬时速度为
由此得t=2s时的瞬时速度为由以上结论可知,当越小平均速度越接近瞬时速度.　一子弹以98m/s的初速度在100m米高的建筑物顶上向上射出,试求:
(1)子弹到达最大高度所需的时间
(2)子弹距离地面的最大高度
(3)子弹落地面所需的时间
(4)子弹落到地面时的速度解
取y轴正向向上,坐标原点在地面上的C点,如图所示.
当t=0时,v0=98m/s,y0=yA=100m,在任意时刻t有:
(1) 在最高点B处,v=0,可得
(2) 把t=10s代入式(2)中,可得
(3) 令y=yC=0代入式(2)中,可得
(4) 把t=20.97s代入式(1)中,可得
§1-5 圆周运动
例1-5　一歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h ,近似沿圆弧曲线俯冲到点B，其速率为2192 km/h ,所经历时间为3s , 设圆弧的半径约为 3.5km , 飞机从A 到B 过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：(1) 飞机在点B的加速度；(2)飞机由点A到点B 所经历的路程．
1）因飞机作匀变速率运动，所以和为常量.
由题意知: t=3s，在B点r=3.5×103m
解得：at=23.3 m·s-2an=106 m·s-2
在点 B 的加速度
（2）在时间t 内矢径所转过的角度为
经过的路程为
代入数据得:
例1-6　如图所示,一个半径为0.1m的圆盘D可绕通过圆心的水平轴自由转动.一根细绳绕在盘的边缘,绳上系物体A,设A匀加速下落.已知在t=0时A的速度是0.04m/s.而且在t=2s时物体A已下落了0.2m.试求圆盘边缘上任意时刻的切向加速度和法向加速度？
取t=0时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系,A的运动方程为
已知v0=0.04m/s,因此
依题意,t=2s时y=0.2m,代入上式可得加速度
可得运动方程为
圆盘边缘上任意一点B的速率与A的速率相等,B的切向加速度与A的加速度相等.
例1-　A 在以 10 m/s 的速率沿水平轨道前进的平板车上控制一台射弹器，射弹器以与车前进方向呈60°度角斜向上射出一弹丸．此时站在地面上的另一实验者B看到弹丸铅直向上运动，求弹丸上升的高度．
解　地面参考系为S系，平板车参考系为S’系
弹丸上升高度
§2-1 牛顿运动定律
静止的人和加速的车观察墙得出的结论是不同的.人认为墙是静止的牛顿第一定律成立车认为墙向左做加速运动,牛顿第一定律不成立
例2有质量为m的小球放在小车上,接触面光滑小车以加速度a水平直线运动。 以地面为参考系以小车为参考系
以地面为参考系时小球合外力为0,加速度为0,牛顿第二运动定律成立.
以加速运动的小车为参照系：
§2-2 力学中常见的力
例2-3　一个质量
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韩可芳版大学物理习题答案
《基础物理学》习题解答配套教材： 《基础物理学》 （韩可芳主编，韩德培 熊水兵 马世豪编委） ，湖北教育出版社（1999）第一章思考题1-1质点力学试比较以下各对物理量的区别：? （1） ?r 和 ?r ；??<b
r />? dr dr （2） 和 dt dt? d 2r d 2r （3） 和 2 dt 2 dt答： （1） ?r 表示矢量 ? r 的模，位移的大小，而 ?r 表示位矢大小之差 ?r 的绝对值； （2）? dr 表示速度 dt? d 2r dr d 2r 的大小，而 表示位矢的长短随时间的变化率； （3） 表示加速度的大小， 2 位矢的长短对时间 dt dt 2 dt的二阶导数。 1-2 动？ 答：质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。 1-3 设 质 点 的 运 动 学 方 程 为 x ? x(t ) ， y ? y (t ) ， 在 计 算 质 点 的 速 度 和 加 速 度 时 ， 有 人 先 求 出 质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运r?dr d 2r x ? y ，然后根据 v ? 和a ? 求得结果。又有人先计算速度和加速度的分量，再合成而求 dt dt 22 2? dx ? ? dy ? 得结果，即 v ? ? ? ? ? ? 和a ? ? dt ? ? dt ?22? d 2x ? ? d 2 y ? ? 2 ? ? ? 2 ? 。你认为哪一种方法正确？为什么？ ? dt ? ? dt ? ? ? ? ?22答：后一种方法正确。位矢、速度、加速度均为矢量，在本题中先求出分量，再由分量合成得出矢量的大小是正确的，而前一种方法先出位矢 只是位矢大小的时间变化率，而不是速度的大小， 也不是加速度的大小。大小，再求出的-1-1-4图示某质点在椭圆轨道上运动，任何时刻质点加速度的方向均指 P O向椭圆的一个焦点 O，试分析质点通过 P、Q 两点时，其运动分别是加 速的，还是减速的？ 答：在 P 点，总加速度的切向分量与速度方向相反，该行星速率减小； 在 Q 点，总加速度的切向分量与速度方向相同，行星速率正在增大。Q 1-5 （1）匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒不变？思考题 1-4 图（2） 能不能说 “曲线运动的法向加速度就是匀速圆周运动的加速度” ？ （3）在什么情况下会有法向加速度？在什么情况下会有切向加速度？（4）以一定初速度 v0 、抛射角 ? 0 抛出的物体，在轨道上哪一点的切向加速度最大？在哪一点的法向加速 度最大？在任一点处（设这时物体飞行的仰角为 ? ） ，物体的法向加速度为何？切向加速度为何？?答：1）在匀速圆周运动中质点的速率是保持不变的而速度的方向则每时每刻在变化．所以不能说；速度恒定不变．在匀速圆周运动中，质点的加速度量值 变，所以加速度矢量也是恒定不变的。an ?v2 R 始终保持不变，同时它的方向恒指向圆心而转（2）匀速圆周运动是曲线运动的一个特例．当质点作一般的曲线运动时，在某一时刻，位于曲线的 一个确定位置处它的法向加速度 确实可以与匀速圆周运动的向心加速度类比．但是这仅仅是类比而已，两者还是有本质区别的．曲线运动 中曲率中心位空时刻变化的，而匀速率圆周运动的圆心位置不变；此外，匀速圆周运动的速度大小保持不 变，故没有切向加速度．而曲线运动中，一般说来，除了法向加速度外，还有切向加速度 即在曲线的各点切线处，质点运动的速度大小可以随时何而变的，因此法向加速度的数值也随时间而变， 而匀速率圆周运动中加速度大小是不变的．an ?v2 0 n p ，其方向即 n 0 ，指向该处曲线曲率中心．从瞬时的观点看，它at ?dv 0 t dt ，亦（3）法向加速度 a n ?v2 0 n p， n 0 是指向曲率中心的单位矢量，P 为曲率半径，当质点运动的速度之方向改变时，就会有法向加速度．切向加速度 a t ?dv 0 ， 0 是质点所在处的曲线之切线沿运动方向一侧 t t dt的单位矢量，当质点运动的速度之数值改变时就会有切向加速度。 （4）在抛射体运动中，当不计任何阻力时，其加速度是恒定的，即重力加速度 g，如图所示．设在抛 物线上某一点处其仰角为 ? ，则该物体的法向加速度为an ? g cos?n 0 切向加速度为 at ? ? g sin ?t 0 。当 ? ? 0 0时， cos ? ? 1 ，即位于抛物线的最高点处有最大的法向加Ya ? g sin? 的最大值 速度 an max ? ? gj 。而切向加速度 tvatO? an a n g g v?? 取得最大值处， 。即在抛出点 at ? ? g sin ? 0 。及 在落地点 at ? g sin ? 0 (落地点在同一水平面处） ，若落地出现在 点为深渊则 at ? g 。 1-6 一质点做斜抛运动，试分别说明下列积分式的意义。-2-atX（1） （2）?t10v x dt ，A?t10v y dt ， ? vdt ，式中 t1 为落地时间。0t1? ?BAB ? ? dr ， ? dr ，式中 A 和 B 分别代表抛点和落地点位置。答： （1） （2）B?t10v x dt 水平方向的射程， ? v y dt 竖直方向的所经过的路程， ? vdt 质点所经过的路程。0t1t10A? ? dr 抛点和落地点之间的位移， ? dr 抛点和落地点之间的路程。B A1-7试举例说明以下两种说法是不正确的：（1）摩擦力总是阻碍物体运动的； （2）物体受到的摩擦力的方向总是与物体运动方向相反。 答：(1)传送带上的物体，摩擦力带动物体运动。摩擦力只是阻碍物体的相对运动,，不一定阻碍物体的运 动； （2）否。传送带上的物体，摩擦力带动物体运动1-8 律？有人认为牛顿第一定律是牛顿第二定律的特例， 即合力为零的情形， 那么为何还要单独的牛顿第一定答：不能认为牛顿第一定律是牛顿第二定律的特例.牛顿第一定律有它自身的物理意义和地位，牛顿第一定 律阐明了物体不受外力作用时的运动规律，同时还引入物体惯性的概念，即物体具有保持原来运动状态的 性质.牛顿第一定律虽然引入了力的概念，但没有说明力怎样改变物体的运动状态.而牛顿第二定律却说明 了物体受力时，力和物体加速度之间的关系.所以说，牛顿第一定律是用来阐明物体不受外力作用时的运动 规律，而牛顿第二定律是用来阐明物体受到外力作用时的运动规律，二者不能替代. 1-9 如图所示，一根绳子悬挂着小球在水平面内做匀速圆周运动。在求绳子对小球的拉力 T 时，有人把 T??投影在竖直方位，写出T c o ? ? mg ? 0 ， s ? 也有人把重力 mg 投影在绳子所在方位，写出 T ? mgc o ? ? 0 。 s显然两者不能同时成立，哪种做法是正确的？说明其理由。 答：第一种方法正确。小球在重力和拉力的共同作用下，受到的合力指 向圆心 O。所以，沿水平和竖直方向分解，竖直方向的加速度为零， 故第一式成立。但是，如果把重力投影在绳子所在方位，该方向上的加 速度并非为零，所以第二式不成立。 O? T? mg思考题 1-9 图习题解答1-1 一人站在 OXY 平面上的某点(x1、y1)处，以初速度 v0 竖直向上抛出一球。 （1）试以时间 t 为变量写出球的位矢 r （2）求出球的速度矢量 v 和加速度矢量 a 解： （1） r ? x1i ? y1 j ? (v0 t ????1 2 ? gt )k 2-3-（2） v ? (v0 ? gt)k ， a ? ? gk 1-2????一质点做直线运动，它的运动学方程是 x=bt-ct2，方程中 a、b、c 是常数。 （1）此质点的速度和加速度与时间的函数关系是怎样的？（2）作出 x-t 图象、v-t 图象和 a-t 图象。 解： （1） v ?dx dv ? b ? 2ct ， a ? ? ?2c dt dt（2）若 b&0，c&0，则图象如下所示：(注意：要注明是 b&0，c&0 这种情况，另外，时间一定是大于零) xb2 4cv bab 2ctb 2ctt -2c a-tx-tv-t1-3一质点从 P 点出发以匀速率 1cm?s-1 做顺时针转向的圆周运动， 圆的半Y径为 1m。取 P 点为原点，坐标系如图所示，求： （1） 当它走过 2/3 圆周时， 位移是多少？走过的路程是多少？这段时间内， 平均速度是多少？在该点的瞬时速度如何？ （2）当它走过 1/2 圆周时，以上各值又如何？ （3）写下该质点的运动学方程 x =x (t) 和 y =y (t) 的函数式。 P 1-4 一质点运动学方程为 x=t2, y=(t-1)2 ，x 和 y 均以 m 为单位，t 以 s 为 O题 1-3 图CX单位，试求： （1）质点的轨道方程； （2）在 t=2s 时，质点的速度 v 和加速度 a. 解： （1） ??x ? t 2 ? ? y ? ?t ? 1?2 ??y??x ?1?2（2）由运动学方程： r ? xi ? yj ? t 2 i ? ?t ? 1? j2?????? ? ? ? dr v? ? 2ti ? ?2t ? 2? j dt ? ? ? ? ? ? dv ? t ? 2s 时， v ? 4i ? 2 j m/s ， a ? ? ?2i ? 2 j ?m/s 2 （注意矢量的写法，写成分量形式就不用加单位 dt??矢量了）1-5如图湖中有一小船，岸上人用绳跨定滑轮拉船靠岸。当人以匀速 v 拉绳，船运动的速度 v’为多少？设滑轮距水面高度为 h，滑轮到船原位置的绳长为 l0 。-4-解一：如图所示，当船发生元位移 dx 时，绳长的变化为 dl=dx cosθdl dx ? cos ? ? ?v ? v? cos ? dt dt h sin ? 0 ? l0? sin ? ?v? ? ?h l0 ? vt ? vih 2 1? ( ) l 0 ? vtdxdl?解二：x 2 ? h2 ? l 2等式两边微分得：2 xdx ? 2ldl dx dl x ?l dt dt dx l dl l v ? ? v ? v? ? l dt x dt x xl ? l0 ? vt x ? l 2 ? h2 ? viv? ? ?1? (? ? ? r ? xi ? hjh 2 ) l 0 ? vt解法 3：用矢量表示 则船的运动速度可以表示为-5-? ? dr dx ? ?? v ? i dt dt ? d ? ( r 2 ? h2 ) i dt ? 1 dr ? vi ? i ?? h 2 dt h 1? ( ) 1 ? ( )2 r r dr v?? r ? l0 ? vt dt ? vi v? ? ? h 2 1? ( ) l 0 ? vt1-6 一质点具有恒定加速度 a=(6i+4j) m?s-2。在 t=0 时，其速度为零，位置矢量 r0=10im。求（1）在任意时刻的速度和位置矢量； （2）质点在 XOY 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。解：由加速度定义式，根据初始条件 t0 = 0 时 v0 = 0，积分可得?v 0dv ? ? adt ? ? [(6 m ? s ?2 ) i ? (4 m ? s ?2 ) j ]dt0 0ttv ? (6 m ? s ?2 ) ti ? (4 m ? s ?2 ) t jv? dr dt又由及初始条件 t = 0 时，r0 = (10 m)i，积分可得?r 0dr ? ? vdt ? ? [(6 m ? s ?2 ) t i ? (4 m ? s ?2 ) t j ]dt0 0ttr ? [10 m ? (3 m ? s ?2 )t 2 ] i ? [(2 m ? s ?2 ) t 2 ] j由上述结果可得质点运动方程的分量式，即x ? 10 m ? 3 m ? s ?2 t 2 y ? 2 m ? s ?2 t 2????消去参数 t，可得运动的轨迹方程： 3 y ? 2 x ? 20 mk? dy 2 ? tan? ? ? dx 3 ， ? ? 33 41? 。这是一个直线方程，直线斜率-6-轨迹如图所示。1-7在高处将一小石子以 15m?s-1 的速度沿水平方向抛出。不计空气阻力，以抛出点为坐标原点，取 OX轴的正方向与初速度的方向一致，OY 的正向竖直向下，从抛出时刻开始计时，并取 g=10m?s-2，试求： （1）2s 末小石子的位置坐标； （2）小石子的运动轨道方程； （3）2s 末小石子所在处的轨道曲率半径。 解：1 2 gt ? 20 m ，位置坐标为 (30, 20). 2 1 2 1 2 2 x （2）x=v0t=15t， y ? gt ? 5t ， ? y ? 2 45 ? ? ? （3）石子轨迹如图所示。在 P 点建立自然坐标系。把 g 沿 ? ， n 方向分解，设 g 与 ? 之间的夹角为?，则：（1）t=2s 时，x=v0t=30m， y ?a? ? g cos? ， a n ? g sin ? ?当 t=2s 时， v ?v2?22 2 v x ? v y ? 152 ? ?gt? ? 25 m/ssin ? ?v x 15 3 ? ? v 25 5??v2 252 (1 ? y ? 2 ) 3 / 2 ） ? ? 104.2 m （可以用曲率半径的定义直接计算 ? ? g sin ? 6 y ??有两个抛体以相同的速率 v0 抛出，但它们的速度与水平面的夹角分别为1-8?4?? 和?4? ? ，其中0?? ??4。 （1）试证这两个抛体有相同的射程； （2）计算证明它们飞行的时间差为 ?t ? 时的情形。2 2v 0 sin ? ； （3） g讨论 ? ??41-9设从某一点 M，以同样的速率，沿着同一铅直面内各个不同方向，同时抛出几个物体。试证，在任意时刻，这几个物体总是散落在某一圆周上。-7-1-10低速迫击炮弹以发射角 45?发射，其初速率 v0=90m?s-1。在与发射点同一水平面上落地。不计空气阻力，求炮弹在最高点和落地点其运动轨道的曲率半径。 解：将炮弹视为质点,不计空气阻力. 在直交坐标系 O-xy 中,炮弹运动的速度与加速度为? ? ? ? ? ? a ? g ? ? gj v ? v0 cos?i ? (v0 sin ? ? gt) j (1)在最高点 vy ? v0 sin ? ? gt ? 0 an ? g v ? v0 cos? (90? 2 2) 2 R ? v2 an ? (v0 cos? )2 g ? m ? 413.3m 9.8 ? ? (2)在落地点 v ? v e v?van ? g cos(?45 )0 t 0 ?2 v0 v2 902 ? ? m ? 1169m an g cos(45? ) 9.8 ? 2 2R?1-11一质点沿半径为 R 的圆周按规律 s ? v 0 t ?1 2 bt 而运动，v0、b 都是常数。求： 2（1）t 时刻质点的总加速度； （2）t 为何值时总加速度在数值上等于 b？ （3）当加速度到达 b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？ 解： （1） v ?ds ? v 0 ? bt dt2 2 n? ? dv ? a? ? ? ? ?b? dt2? v 2 ? ?v ? bt? ? an ? n ? 0 n ? R2加速度大小 a ?a? ? a ? b ?2?v0 ? bt?4R4?v ? bt? a ，方向 tan? ? n ? 0 a? ? bRv0 b2（2）令 a ? b ，即 b ? （3）当 a ? b 时， t ?2?v0 ? bt?4R4? b 2 ，有 v0 ? bt ， t ?v0 ，代入方程，得： b2s ? v0 ?v0 1 v0 v v s s ? b? ? 0 ，运行圈数 n ? ? ? 0 b 2 b 2b ? 2?R 4?bR21-12一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置?（以弧度表示）可用下式表示：?=2+4t3，式中 t 以秒计。问： （1）在 t=2 秒时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？在 t=4 秒时又如何？ （2）当切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，?的值是多少？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰好有相等的值？-8-解：d? ? 0.1 ? 12t 2 ? 1.2t 2 , dt dv ? a? ? ? 2.4t , dt v 2 (1.2t 2 ) 2 an ? ? ? 14.4t 4 , r 0.1 (1) : v ? r? a? t ?2 ? 2.4 ? 2 ? 4.8(m / s 2 ),an a?ant ?2 t ?4t ?4? 14.4 ? 2 4 ? 230.4(m / s 2 ); ? 2.4 ? 4 ? 9.6(m / s 2 ),? 14.4 ? 4 4 ? 3686 4(m / s 2 ). .1 2 a ?2 ? a n , 2 1 ? 2.4t ? (2.4t ) 2 ? (14.4t 4 ) 2 , 2 (2) : a ? ?1-13 一质点从静止出发沿半径为 R=3m 的圆周运动，切向加速度为 a? =3m?s-2。 （1）经过多少时间它的总加速度 a 愉好与半径成 45?角？ （2）在上述时间内，质点经过的路程和角位移各为多少？ 解：已知 at ?dv ? 3 ，即 dv ? 3dt dtv t由初始条件: t =0 时， v0 ? 0 ，得质点的瞬时速率v ? ? dv ? ? 3dt ? 3t0 0质点的法向加速度的大小为an ?v 2 (3t ) 2 ? ? 3t 2 R 3这样总加速度为： a ? at ? an ? 3t ? 3t 2 n 其中 n 为沿半径指向圆心的单位矢量， t 为切向单位矢量。 （1）设总加速度与半径夹角为 ? ， 则有：a cos? ? an ， a sin? ? at当 ? =45?时，有 at ? an ，即要求 3t2 =3，t =1s（另一负根舍去） 所以 t =1s 时，总加速度 a 与半径成 45?角。ds ? v 和初始条件：t =0 时，s0=0 ，得： dt t 3 s ? ? vdt ? ? 3tdt ? t 2 0 2 将 t =1s 代入，求出这段时间内的路程：（2）由3 2 ?1 ? 1.5m 2 s 由角位移与路程的关系 ? ? R s 1.5 当 t =1s 时, ?1 ? 1 ? ? 0.5rad R 3t ?13 s1 ? t 2 2?-9-1-14一质点做半径 R=0.5m 的圆周运动，其运动学方程为?＝t3+3t，式中?以弧度计，t 以秒计。试求 t=2s时，质点运动的角位置、角速度和角加速度。1-15一敞顶电梯以 2 m?s-1 的速率上升。当电梯底板离地面 10m 时，从电梯底板上竖直上抛一小球，小球相对电梯的初速率为 5 m?s-1。以地面为参考系，求： （1）小球能达到的最大高度； （2）小球抛出后多长时间再回到电上。1-16一人骑自行车向东而行。在速率为 10 m?s-1 时，觉得有南风；速率增至 15 m?s-1 时，觉得有东南风。 S’ Y (北)求风的速度。 解：以地面为 S 系，运动的自行车为 S’系。建立坐标系。? 在 S 系中，风的速度始终为 v在 S’系中： 在速率为 10m? 时， s-1 觉得有南风 （速度矢量为北） 即： ；? ? ? 在u1 ? 10i , 风在S &#39; 系中速度为 1&#39; ? aj v在速率为 15m? 时，觉得有东南风（速度矢量为西北） s-1 ；? ? ? ? u2 ? 15i 时，风在 &#39; 系中速度为 2&#39; ? ?ai ? aj 。 S v? ? ? ? v ? u1 ? v1&#39; ?? ? ?&#39; ?v ? u 2 ? v 2X(东)由相对运动的速度变换公式，得：? ? ? ? ? ? 10i ? aj ? 15i ? ai ? aj ? a ? 5S系 Y(北)X(东)? ? ? ? v ? 10i ? 5 j速度矢量指向东偏北（是西偏南风）? v ? 10 2 ? 52 ? 11.2角度：? ? arctan( / 10) ? 51-17 在一只半径为 R 的半球形碗内，有一粒质量为 m 的小钢球。当钢球以角速度?在水平面内沿碗的内壁 做匀速圆周运动时，它距碗底有多高？ 解：由题意作示意图如图 2-6 所示。钢球 m 距离碗底高 h，沿碗内壁在水平面内以角速度 ? 转动时，其向 心加速度由图 2-5 可知为 an ? r? 2 ? R? 2 sin? ，钢球受两个力作用：重力 mg 与碗内壁的支持力 N ， 见图 2-6。 mg 与 N 的合力提供了为钢球做匀速圆周运动所需的向心力。由图 2-6 可知 F ? mgtg? 再由牛顿 第二定律可得 F ? mgtg? ? mR? 2 sin? ，简化后得 cos ? ?????g R?2，再由图 2-5 知 cos ? ?R?h ， R- 10 -所以 h ? R ?g?2oR?1-18 一质量为 10kg 的质点在力 F=(120t+40)N 作用下沿 X 轴做直线运o? r m动。在 t=0 时，质点位于 x0=5.0m 处，其速度 v0=6.0 m?s-1。求质点在任 意时刻的速度和位置。 解：由牛顿第二定律可得?h? N ? Ft图 2-5?mF ?mdv dtt则任意时刻的速度v ? v0 ? ? Fdt ? v0 ? ? ?120t ? 40 ? dt0 0? mg图 2-6? v0 ? ? 60t 2 ? 40t ? ? ? 6 ? 60t 2 ? 40t ? m st 0任意时刻的位置为? x0 ? 6t ? 20t ? 20t ? ? 5 ? 6t ? 20t 3 ? 20t 2 ? m3 2x ? x0 ? ? vdt ?x0 ? ? ? 6 ? 60t 2 ? 40t ?dtt t 0 01-19 如本题图所示，已知两物体的质量 m=M=3.0kg，物体 m 以加速度 a =1.6 m?s-2 运动。求物体 M 与桌 面间的摩擦力。解： 分别为 m 和 M 做受力分析，有：?mg ? 2T ? ma ? ? ?T ? f ? 2Maf ? 2.7 N （g 取 9.8，g 取 10，则 f=3N）1-20 一质量为 m 的小球最初位于如本题图所示的点 A，然后沿半径为 r 的光滑圆弧内表面 ADCB 下滑。 试求小球在点 C 时的角速度和对圆弧表面的作用力。- 11 -解： （一） 根据机械能守恒定律： mgr ?1 2 mv ? mg ?r ? r cos ? ? 21 2 mv ? mgr cos ? 2? v ? 2 gr cos ??? ?v 2g ? cos? F ? m g cos? ? m r? 2 r r mr ? 2 g ? cos ? ?F ? ? mg cos ? ? 3mg cos ? r（二）设质点与竖直方向成θ 角时，分析其受力情况F? ? ?mg sin ? ? ma ? ? mdv dt两 边? ? g sin ? ??dv dv ds dv ? ?v dt ds dt dsv? ? g sin ?ds ? vdv? c o s gr ? ? 1 2 v 2? ?g sin ? rd? ? vdv积分? ? ? g sin ? rd? ? ? vdv0 0? v ? 2gr cos?Fn ? N ? mgcos? ? man ? mv2 / r1-21? N ? 3mg c o ? s桌上有一块质量 M=1kg 的木板，板上放着一个质量 m=2kg 的物体。物体和板之间、板和桌面之间的动摩擦因数均为 ? =0.25，静摩擦数均为? s =0.30。 （1）现在水平力 F 拉板，物体与板一起以加速度 a = m?s-2 运动，试计算物体和板的相互作用力以及板和 桌面的相互作用力。 （2）现在要使板从物体下抽出，须用的力 F 要加到多大？1-22 如本题图所示，质量为 2.0kg 的物体静止在光滑的水平面上，物体系在绳索的一端，绳索通过无摩 擦的滑轮。物体最初放在距滑轮水平距离 l =2.0m 处，绳索与水平面之间的夹角为 30?。设作用在绳索上的 恒力为 28N，问在距出发点的哪个位置上物体将离开平面。- 12 -解：tan30? ?a la ? tan30? ? l ?2 3 3支当物体将离开地面时，地面对物体的支撑力 F=0。即绳对物体的拉力的垂直向上的分力 F? = mgsin ? ?F? m g 19.6 ? ? ? 0.7 F F 28tan? ?7 51s ? l ? x ? 2 ? 1.18 ? 0.822 mx ? a / tan? ?2 3 51 2 153 ? ? ? 1.178 3 7 21即距出发点 0.822m 处。 1-23 如本题图所示， 有两物体 A 与 B 被一弹簧相连， 物体 B 放在一支承面上。 已知 mA=20kg， B =40kg， m 物体 A 的运动学方程为 y =0.01sin8? t 。试求物体 B 对支承面的压力的极大值和极小值。设弹簧的质量略 去不计，y 的单位为米，t 的单位为秒。1-24 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底板上，其段角为? ，如本题图所示。当升降机以 匀加速度 aI 上升时，物体 m 从斜面的顶点沿斜面下滑，求物体 m 相对于斜面的加速度 a’以及相对于地 面的加速度 a 各如何？- 13 -NYNG FIX G????物体受力图（以地面为参考系）物体受力图（以升降机为参考系）解：以升降机为参考系， 取向上方向为正。 则物块受力如右图所示。 物体受到支持力 N ， 重力 G 和惯性力 FI 。 由牛顿第二定律，有 N ? G ? FI ? ma&#39; 沿斜面表面的平行方向和垂直方向作受力分解。 在斜面表面的垂直方向，加速度为 0， N ? ?G ? FI ?cos? 在斜面表面的平行方向，加速度为 a’， ma&#39; ? ?FI ? G ?sin ? 。 又 FI ? ?ma I （负号表示方向与 aI 相反，实际上与 G 相同） ，故 a&#39; ? ?g ? a I ?sin ? ，方向沿斜面表面平行 方向向下。 以地面为参考系，建立如图坐标系。 在水平 x 轴方向：Nsin? = max 由第（1）问有 N ? ?mg ? FI ?cos? ? ?mg ? maI ?cos? 在竖直方向，有 N cos? ? mg ? may (3) 相对地面的加速度 a ? ?aI ? g ?sin ? cos? i ? aI cos (1) (2)????????????2? ? g sin 2 ? ? j?1-25 设电梯相对地面以加速度 a 铅直向上运动。电梯中有一质量可略去不计的滑轮，在滑轮的两侧用轻 绳悬挂着质量分别为 m1 和 m2 的重物，如图所示。已知 m1 & m2 ，如以加速运动的升降机为参考系，求 物体相对地的加速度度和绳的张力为多少？TTm1 m 1a m1gm2 m2gm2a解：- 14 -取向上为正方向 在电梯参考系中，m1 受力为：方向向下的重力 m1g，向上的绳的拉力 T，方向向下的惯性力 m1a。m1 的加 速度为 a1&#39; 。T ? m1 g ? m1a ? m1a1 &#39; T ? m2 g ? m2 a ? m2 a2 &#39;(1) (2) (3)m2 受力为：方向向下的重力 m2g，向上的绳的拉力 T，方向向下的惯性力 m2a。m2 的加速度为 a2&#39; 。 考虑到数值和方向，有： a1 &#39; ? ?a2 &#39; 联立解(1)、(2)和(3)，得：a1&#39; ?a 2&#39; ?T?? ?m1 ? m 2 ?? g ? a ? m1 ? m 2?m1 ? m 2 ??g ? a ?m1 ? m 22m1m2 ?g ? a ? m1 ? m2对地面，则有a1 ? a ? a1&#39; ? ??m1 ? m2 ?g ? 2m2 am1 ? m 2a 2 ? a ? a 2&#39; ??m1 ? m 2 ?g ? 2m1am1 ? m 2- 15 -}