不同硬度煤体孔裂隙分布的分形特征研究
江丙友　吴海进摘要：为了研究松软煤样孔裂隙分布的分形特征，对硬度为0.16～0.88范围内的6个煤样进行了电镜扫描，并运用计盒维数法得到了煤样孔裂隙结构的分形维数。研究结果表明：松软煤样的孔裂隙结构具有明显的分形特征。建立了松软煤样孔裂隙的分形维数与煤样硬度之间的耦合关系式，发现随着煤样硬度的减小，煤样孔裂隙结构的分形维数不断增加，说明煤样的孔裂隙越发育。研究成果对于瓦斯抽采与灾害防治均有一定指导意义。关键词：松软煤体；裂隙分布；分形维数中图分类号：TD353文献标志码：A文章编号：（6-05Abstract：In order to study the fractal characteristics of pore and crack distribution of soft coal samples， six kinds of soft coal samples whose hardness is within the range of 0.16 ～ 0.88 were collected， and the fractal dimensions of coal sample crack were obtained by using Scanning Electron Microscope （SEM） and box-counting dimension method. The results showed that the pore and crack structure of soft coal samples has obvious fractal characteristics. The coupling relationship between the fractal dimension and the coal hardness was built. The fractal dimension of coal sample crack increases gradually with coal hardness decrease， which indicates that the pore and crack in the soft coal sample is more developed. These findings have some theoretical significance to gas extraction and gas disaster prevention.Key words：soft coal mass； crack distribution； fractal dimension煤是一种复杂的多孔介质，煤中孔裂隙结构特征影响着瓦斯的富集与运移，煤体的孔裂隙发育程度对煤体的渗透性起主导作用[1]。研究煤体的孔裂隙特征对瓦斯灾害防治和煤层气开发利用都具有十分重要的意义。鉴于煤体的孔裂隙分布十分复杂，采用分形几何学来定量研究煤体孔裂隙的分布规律已被大量学者和专家所认可。文献[2]给出了11个不同变质煤层微观与宏观裂隙的分形维数，从中可知分形维数随着煤的变质程度不同呈现规律性变化。文献[3]显示出煤体的渗透系数随着分形维数的增加而呈指数规律增大。文献[4]展示了岩体的单轴抗压强度与岩体裂隙分形维数的关系式，从中得出岩体单轴抗压强度的对数值与岩体裂隙分形维数呈负线性关系。文献[5]也指出裂隙岩体的分形维数与其单轴抗压强度呈对数关系。文献[6]报道了煤的变质程度与煤外部孔裂隙分形维数呈现正相关关系。文献[7]阐述了采动岩体裂隙分形维数随着开采宽度的增加总体呈增大趋势变化的规律。煤体硬度作为煤矿瓦斯防治工作中一个重要的参数，有关煤体硬度与孔裂隙分形维数之间关系的研究尚未见诸报道。本文采用计盒维数法对煤体孔裂隙特征进行研究，并对表面孔裂隙分布进行分形维数计算，以期得到煤体硬度与孔裂隙分形维数之间的定量耦合关系。1分形盒维数法的分形描述分形盒维数法是分形几何学中应用较广的一种分形量测方法，其具体原理如下：对于分形图形F，用一定尺度的正方形网格覆盖它时，就会出现其中一些网格含有曲线的一部分，而另一些网格却是空的（见图1）。逐渐缩小网格的边长，非空网格的数量就会越来越多。设正方形网格边长为r，非空网格数为N（r），则F的分形盒维数D为[8]由于图2的原始图像中孔裂隙与周围煤样的颜色区别较小，不便于在不同的网格边长r下，计算出不同的N（r）值，所以有必要将原始图像进行处理，得到黑白二值化图像。利用不同边长的网格覆盖在黑白二值化图像上，计算孔裂隙所占网格数量，通过分析网格边长与孔裂隙所占网格数之间的关系即可得到分形维数值。下面以1#煤样为例，详细阐述分形维数值的计算过程（见图3）。用边长52.415 63nm的网格覆盖1#煤样的黑白二值化图像，从图3中可以得到孔裂隙所占网格数为220个。表1列出了不同网格边长条件下的孔裂隙所占网格数量及其对应的对数值。由图5容易得到2#～6#煤样孔裂隙的分形维数值。表2列出了6个煤样的硬度值f及对应的分形维数值D。由表2可知，运用线性方程拟合的最小线性相关系数为99.14%，最大的可以达到100%，均在99%以上，拟合出来的直线拟合度很高，说明孔裂隙具有明显的分形特征，孔裂隙的分形维数计算结果是可靠的。由图6还可知，硬度小于1的松软煤样的表面孔裂隙结构分形维数随着煤样硬度的增加而逐渐减小，煤样分形维数代表了煤样孔裂隙的复杂程度。随着煤样硬度的增加，煤样孔裂隙的复杂程度逐渐降低，而随着煤样硬度的减小，分形维数增加，煤样孔裂隙越发育。3结论
1）通过对硬度为0.16～0.88范围内的6个松软煤样进行电镜扫描，并运用计盒维数法进行分形特征分析，发现用线性方程拟合的相关系数很高，均在99%以上，说明这6个松软煤样的孔裂隙结构具有明显的分形特征，计算得到的分形维数结果可靠。2）建立了松软煤样孔裂隙的分形维数与煤样硬度之间的定量耦合关系式，研究发现随着煤样硬度的增加，煤样孔裂隙结构的分形维数不断减小，说明煤样孔裂隙结构的复杂程度逐渐降低。而随着煤样硬度的减小，分形维数增加，煤样的孔裂隙越发育。参考文献：[1]姚晋宝， 邓蓉蓉， 胡宝林. 新集一矿孔隙结构特征研究[J]. 安徽理工大学学报（自然科学版）， 2012， 32（1）： 7-12.[2]康天合， 赵阳升， 靳钟铭. 煤体裂隙尺度分布的分形研究[J]. 煤炭学报， 1995， 20（4）： 393-398.[3]胡耀青， 赵阳升， 杨栋， 等. 煤体的渗透性与裂隙分维的关系[J]. 岩石力学与工程学报， 2002， 21（10）： 1 452-1 456.[4]冯增朝， 赵阳升. 岩体裂隙分维数与岩体强度的相关性研究[J]. 岩石力学与工程学报， 2003， 22（S1）： 2 180-2 182.[5]赵小平， 裴建良， 戴峰， 等. 裂隙岩体内3维裂隙体的分形描述[J]. 四川大学学报（工程科学版）， 2014， 46（6）： 95-100.[6]许江， 袁梅， 李波波， 等. 煤的变质程度、孔隙特征与渗透率关系的试验研究[J]. 岩石力学与工程学报， 2012， 31（4）： 681-687.[7]王志国， 周宏伟， 谢和平. 深部开采上覆岩层采动裂隙网络演化的分形特征研究[J]. 岩土力学， 2009， 30（8）： 2 403-2 408.[8]栗东平， 周宏伟， 薛东杰， 等. 煤岩体采动裂隙网络的逾渗与分形特征关系研究[J]. 岩土力学， 2015， 36（4）： 1 135-1 140.[9]陈腊娇， 冯利华. 基于AutoCAD日径流过程的分维计算和分析[J]. 长江科学院院报， 2006， 23（6）： 99-102.（责任编辑：何学华吴晓红）
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1、构造迭代关系； 2、进行数据整理迭代形线度L(n)本迭代形线总度L(n+1)及网格r； 3、计算形维数fractal dimension=logr（L(n+1)）/logr（L(n)）； 需要编制形维数二维计算程序
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基于分形网格的最大化熵模型 基于分形网格的最大化熵模型,吴亚晶 北京师范大学,研究背景,[1] Geograph routing in social networks.Proc. Natl. Acad. 102,
(2005).[2] How to search a social network. Social Networks. 27: 187-203(2005).[3] Geographical dispersal of mobile communication networks. Physica A.387: 08).,Online network[1]Email network[2]Mobile phone network[3],,,,近年来，实证研究发现：朋友之间的地理距离很好地服从指数是-1的power law 分布。,为什么社会网络的空间结构会具有这种特性？,[4] Maximizing Entropy Yields Spatial Scaling in Social Networks-arxiv,这种特性使得节点上的信息可以有效地传递到其它节点上。 Hu等[4]提出了一个基于标准二维网格的最大化熵模型，发现：当朋友之间的地理距离符合这种特殊的power law 分布时，熵最大，即最有利于个人收集信息。,基于标准二维网格的最大化熵模型,[4] Maximizing Entropy Yields Spatial Scaling in Social Networks-arxiv,我们的工作,人口分布在空间上一般呈现出不均匀的分形分布。把最大化熵模型推广到二维分形结构的空间上，结果如何？,二维分形结构,Sierpinski carpet(Sierpinski垫片),[5] Kleinberg navigation in fractal small-world networks,PRE,2006(74), 0171012,随机分形,如何在分形上来讨论熵？,在网格上随机找一个点给定W，alpha，找朋友{f1i}为每个朋友f1i找朋友{fij}计算熵,结果（分形网格）,结果（随机分形网格）,谢谢大家！,
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&& 散布谣言、扰乱社会秩序，破坏社会稳定等信息东南大学 博士学位论文 多孔介质扩散、导热、渗流分形模型的研究 姓名：张东辉 申请学位级别：博士 专业：工程热物理 指导教师：施明恒
多孔介质扩散、导热、渗流分形模型的研究摘要分形理论给多孔介质传热传质研究提供了一种新的视角！本论文对分形多孔介质中斐克扩散、和压力弥散和热传导过程进行了全面和系统的分析。本文首先采用有限容积法分析了分形多孔介质中的热传导过程，多孔介质可以视为二元混合介质，计算中发现分形结构中的导热规律非常复杂。基质与孔隙之间存在着很强的相互换热，当不考虑孔隙气体中的导热时，本文所构造的随机Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯匕导热系数与基质率（基质 百分含量）大多呈指数关系，这与Ａｒｃｈｉｅ定律的结果是一致韵．进―步模拟计算发现：分形结构中的温度分布和热流分布存在自相似性，与结构紧密关联ｌ Ｅ述模拟的结果使我们对分形多 孔介质中的热传输规律有了更深的了解。在第三章中，对物质在分形介质中的布朗运动作了初步分析，并依此建立了分形介质的扩散模型，并对不同分形结构下影响扩散过程的主要因素作了初步分析，斐克定律不再适用。物质在分形多孔介质中的扩散受到质量分形维数和谱维数的影响很大，分析表明：物质的分形介 质中的扩散是一种不均匀扩散，扩散过程可以认为是―个标度过程．大部分气体粒子沿着结构中最短路径的方向扩散．有效扩散系数和系统的尺度之间存在指数下降关系。对不同孔隙ｉ蝴结率下的弥散规律进行了分析。模拟申发现：在渗流阈值附近，确实存在着反常弥散和优势通道现氛网格中的压力分布也和全部联通时完全不―样．由于在逾潘阈值附近，网格可视为近似分形结构，对二维网格，纵向弥散系数和尺度之间存有指数增加关系ｌ流体微第四章将荣特卡罗（随机模拟）方法应用于多孔介质中的物质传输过程：采用通道逾渗模型，团的概率密度分布函数也表现出多重分形特征Ｉ这实际上表明了逾渗闽值附近的弥散是一种典型的非线性弥散过程ｌ为了更深入地了解物质在多孔介质中的运移，本论文进行了土柱模拟实验，将含颜料的水分渗入不同类型的土壤中，然后对其不同深度的剖面进行观察，并且进行了图像分析，发现颜 料的分布满足分形特征，水分越土壤中的运移存在优势流现象，受到大孔隙的影响很大，这与上述随机模拟的结果是―致的。最后―章本论文对新老有机碳在土壤当中的迁移积累进行了数值模拟，分析了不同参数对有机碳扩散的影响，得到了不同年龄的有机碳在土壤中的分布规律，这为进―步预估中国土壤中的有机碳动态交化打下了基础。 本论文所作出的分析计算和实验研究，对建立符合实际情况的多孔介传热传质模型具有很好的参考价值ｌ关键词：多孔介质，分形，蒙特卡罗方法热传导， 渗流，优势流Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ、Ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｈｅａｔ ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｆｒａｃｔａｌｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａＡＢＳＴＲＡＣＴＦｒａｃｔｓｌ ｔｈｅｏｒｙ ｗｏｕｌｄ ｏｆｆｅｒａｎｅｗ ｓｉｇｈｔｏｎ ｏｎｈｅａｔ ａｎｄ ｍａｓｓ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｉｎ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ． ｔｈｅ ｍａｓｓ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ，ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ａｎｄ ｈｅａｔＴｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｍａｉｎｌｙ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｆｒａｃｔａｌ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｈｅａｔ ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｆｒａｃｔａｌ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｂｙｕｓｅｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｖｏｌｕｍｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｆｒａｃｔａｌ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａｃａｎｂｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄａｓ ａｋｉｎｄ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｍｉｘｔｕｒｅ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｈｅｒｍａｌ ｃｏｎｄｕｃｔｉｖＲｉｅｓ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｈｅａｔ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｉｎ ｆｒｅｃｔａｌ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ ｉｓ ｖｅｒｙ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ，ｔｈｅ ｔｈｅｒｍａｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｐｏｒｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｗｈｅｎｈｅａｔ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｉｎ ｐｏｒｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ，ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｈｅｒｍａｌ ｃｏｎｄｕｃｔｉｖｉｔｙ ｆｏｒ ｒａｎｄｏｍ Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ Ｃａｒｐｅｔ ｉｓ ｓｃａｌｅｄ ｕｐ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｅｒｃｅｎｔ ｏｆ ｍａｔｄｘ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｓｃｄｂｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃ Ａｒｃｈｉｅ’ｓ ｌａｗ．Ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｈｅａｔ ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｉｎ ｐｏｒｏｕｓｍｅｄｉａ． Ｔｈｅｎ，Ｂｒｏｗｎｌａｎ ｍｏｔｉｏｎ ｌｎ ｆｒａｃｔａＩ ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ ｃａｒｉｏｅｔ ｉｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ Ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄｃｈａｌｐｔｅＬ Ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋ Ｉｎ ｆｒａｃｔａｌ ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ ｃａｒｐｅｔ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｔｈｅ Ｆｌｃｋ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ Ｍｏｎｔｅａｓ ａｓｃａｌｅｄｌａｗ ｉｓ ｎｏｔ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ Ｉｎ ｆｒａｃｔａｌ ｍｅｄｉａ．Ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓＣａｄｏ（ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋ）ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｎａｔｍａｓｓ ｄｉ竹ｕｓｉｏｎ Ｉｎ ｆｒａｃｔａ！ｍｅｄｉａ ｉｓ ｎｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ．Ｔｈｅ ｄｉｆｆｕｓｉｃ¨ｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｓｃａｌｅｄ ｕｐ ｗｉｔｈ ｐｏｒｏｓｉｔｙｐｅｒｃｅｎｔ．Ｔｈｅｇａｓ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｉｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｕｓｉｎｇｄｉ开ｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｉｎ ｆｒａｃｔａｌ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ．Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｂｙＣａｄｏ ｍｅｔｈｏｄ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｍａｎｙ ｕｎｕｓｕａｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｒａｎｄｏｍ ｐｏｒｅ ｒｅｍｏｖａｌｏｒ ｎｅａｒｕｓｅｏｆ Ｍｏｎｔｅｔｈｅ ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｂｌｏｃｋａｇｅ ｉｓ ｆｏｕｎｄ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅｄｉｅｔｄｂｕｔｌｏｎ ｉｓ Ａｎｏｍａｌｏｕｓ：Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈ６ｓｐａｃｅ．Ｔｈｉｒｄｌｙ，ｔｈｅｒｅ ｉｓａｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｉｓｉｓ ｍｕｃｈ ｓｌｏｗｌｙ ｔｈａｎ ｉｎ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎｎｅａｒｐｒｅｆｅｒｅｎｔｉａｌｐａｔｈｆｏｒ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｆｌｏｗｔｈｅ ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎｔｈｒｅｓｈｏｌｄ；Ｆｏｕｒｔｈ，ｔｈｅ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｄｉｓｐｅｒｓｉｖｉｔｙｓｃａｌｅｄ ｗｉｔｈ ｇｄｄ ｌｅｎｇｔｈ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｄｓｔｉｃ，ｗｈｉｃｈｉｓ 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ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｏｒｇａｎｉｃ ｃａｒｂｏｎ ｓｔｏｒａｇｅ ｉｎ ｓｏｉｌ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓｗｏｒｋ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｒｅａｔｌｙｖａｌｕａｂｌｅ ａｎｄ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｆｒａｃｔａｌ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ．ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｈｅａｔ ａｎｄ ｍａｓｓ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｉｎＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｆｒａｃｔａｌ，ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ，Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ＭｅｔｈｏｄＨｅａｔ ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ，ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ．ｐｒｅｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｆｌｏｗ东南大学学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我听知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对术研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名日期：东南大学学位论文使用授权声明东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和乜予文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内莩相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的釜部或部分内容。论文的公布（包括刊登）授权东南大学研究生院办理。研究生签名：――导师签名日期：东．南大学博士学位论文第一章绪论多孔介质是自然界中广泛存在的一种多相混合物，自然界实际的多ｉＬ介质结构多变而复杂，总的来说，分成真正的三裂１’刮：（１）颗粒多孔介质，如堆积的谷物，二元金属颗粒混合物等；（２）骨架性多孔介质，如多孔岩石，木材，发育良好的土 壤等：（３）纤维性多孔介质，比如身上穿的衣服等。多孔介质中传热传质过程是工 农业与人类生命活动中最主要的热物理过程之一。因此，研究多孔介质中传热传质 特性具有很重要工程应用背景和科学价值。 在多孔介质领域的研究中，前人已发展了许多描述能量与物质迁移的物理模 型，这些模型可以归纳为“连续介质模型”和“非连续介质模型”两类。以前经典 的工程方法一般都采用连续介质模型，即先定义一个微元控制体积Ｋ然后对之列 出能量、物质平衡方程式，加上边值条件进行求解。求解过程中，多孔介质的宏观 性质，如有效输运系数、反应速率，者Ｂ用与微观量对应的平均值川。对孔隙的模拟 可以采用毛细管模型，物理定律控制着毛细管内流体的输运程度。上述连续介质模 型在实际中有了很多的应用，但也碰到了很多的问题，因为多孔介质结构变化很大， 界面非常不规则，确定流体和固体的边界条件是一个非常重要的问题，有时过于简 化，即使求解也得不至Ⅱ有价值的信息！于是，通常只好采用比个别孔大得多的长度 标度，通过容积平均方法，对过程进行宏观描述Ｉ有人曾三番五次地致力于从基本 的力学原理导出达西定律，即用Ｎａｖｉｃｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程式来求解，这对于理解多孔介质 渗流至关重要，但因为多孔介质边界条件的复杂，这种办法一般都行不通，这就是 为什么大多数多孔介质渗流模型都是用圆的毛细管来近似的原因所在。但这种简化 只能在一定范围内适用，这就激励人们必须寻求不同的解决问题的途径。 这样，多孔介质能量与物质迁移理论之精确与否，关键在于看它能否考虑多孔 介质内部复杂结构的具体影响！连续介质模型的局限性就表现在这个方面，很难讨 论象有效孔隙率，孔隙大小分布对输运的影响！一般多孔介质系统，如土壤．流化床 等系统是不均匀的，孔通道的联结状况会随着人为耕作等原因而发生很大改变，对 团粒结构较好的土壤，土体中各种孔隙大小不等，团聚体内部的小孔隙中的水呈静 止状态，基本不流动，仅有一些缓慢的扩散；而团聚体之间的一些大孔隙中，水流动 得快，是水流的主要通道，为描述溶质在不均匀土体的迁移过程，动水不动水模型和水体多分压模型相继提出：ｓ删ｄｅｇｇ一试图用统计力学的方法来表述多孔介质渗流。在描述多孔介质结构这个关键问题上，采用随机迷宫或流网的方法。但这些 结构模型在应用时都不太方便。很多实际问题表明：系统形态（即其联结性）及其几 何尺寸在物质迁移过程起了重要作用州，平均体积的近似无法描述系统结构。那么 如何描述多孔介质的结构便成为一个难题！。Ｍａｎｄｌｂｒｏｔ等Ｂｑ在７０年代首次提出了分形的思想。自然界很多复杂、貌似不 规则的物体，河流、水系、地形貌、云彩等，都可视作分形物体。对于实际多孔介质 分形结构的描述，Ｋａｔｚ和Ｔｈｏｍｐｓｏｎｔｑ作了很多分析，他们的研究得出结论：多孔东南大学博士学位论文介质的孑Ｌ隙空间（ｐｏｒｅ ｓｐａｃｅｓ）的确具有分形特征，他们采用扫描电镜的实验证明了沙石孔隙空间在一定尺度范围内具有自相似陛，并利用分形统计学预测了精确的孑Ｌ隙度（ｐｏｒｏｓｉｔｙ）。他们还指出：在岩石形成期间，稳态结晶生长是形成自相似几 何的可能原因：ＡｎｄｅｒｓｏｎｐＪ，Ｋａｙｅｔｖｊ等进一步测定了各种不同类型土壤的分形维数， 他们发现孔隙表面也具有分形特征：并尝试将这些分形维数与扩散过程联系起来。 他们的分析实际上表明：对土壤这类多孔介质，其颗粒分布、孔隙通道形状、土壤 颗粒的表面积都可能具有分形特征１ 分形理论的发展使人们在多孔介质迁移过程的研究中引入分形模型，这时随机 的扩散对流过程是在符合分数维分布的孔隙中进行，因此建立一种新的“非连续介 质模型”，从而可以将过程中新的现象与规律揭示出来，这是以前连续介质模型所不 具备的，这无疑也将会推动土壤物理过程复杂性问题的解决。 利用分形理论研究多孔介质的能量与物质迁移过程，前人已作了一定的前期研 究工作，但由于问题的复杂性，至今仍有很多问题尚待探讨。将分形理论应用到多 孔介质却会碰到很多难点，下面首先介绍分形理论中常用的一些关键概念，如分形维数、反常扩散、随机行走、Ｌｅｖｙ分布等，然后对目前分形理论应用于多孔介质领 域国内外进展作一阐述！Ｉ．１分形理论中一些基本概念的讨论分形结构实际上仍是一种理想模型，它是自然界中很多复杂物体的一种抽象。 欧氏几何学研究对象是类似圆、立方体等规则物体，具有几何对称性，维数为整数， 物理过程都是建立在此基础上；而自然界中有很多貌似不规则的物体，这是传统几 何学无法处理的，这些图形一般已经不具有几何对称性，但是在这些不规则的物体 后面，却蕴含着新的规律：标度不变性，即在不同尺度下观察，分形物体具有尺度 上的自相似性（递归性），维数为分数。需要强调的是：在很多文章中提到的分形物 体，如Ｋｏｃｈ曲线，Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯等。虽具有几何对称性，但毕竟这是一些理论 构造模型：自然界中的真实物体更接近随机分形，不具备几何对称性。分形几何学 的诞生使我们研究的图形大大拓宽了。分形物体内的物理过程，如物质的扩散、热量的传递等，都可能与标度不变性、几何不对称性等这些特点相关联。下面就多孔 介质分形模型中所涉及的一些基本概念进行讨论，Ｉ．Ｉ．１表征多孔介质结构的分形参数物质在多孔介质中扩散，孔隙分布、孔壁表面形态、孔网络结构对物质的扩散 起着重要作用。多孔介质结构复杂，其孔隙、孔通道、孔壁表面等都有可能视为分形 结构，如图Ｉ－１所示。２东南大学博士学位论文ａｂＣ图卜１各种分形结构：ａ）表面分形结构，ｂ）质量分形结构：ｃ）ｉＬ隙分形结构单一的分形维数很难完整地描述多孔介质复杂的内部形态，因而就需要多种多 样的分形维数，如下面介绍孔轴分形维数、孔隙质量分形维数等，都是对结构的描述：（１）多孔介质孔通道的结构 多孔介质复杂的通道走向，可以用其通道轴线的形态来描述，孔通道的轴线形 成弯弯曲曲的复杂曲线，具有分形的特征，称之为孔轴分形维数．它是孔通道弯曲度 的衡量。（２）多孔介质孔壁表面的结构孔壁表面不规则和不光滑的几何结构也可能具有分形特征，这可用吸附的实验 方法测得【Ｉ“，称之为孔壁表面分形维数（维数在２．３之间）。（３）质量和颗粒的不均匀分布由于多孔介质中固相颗粒基质或孔隙不能完全填满剖面，在剖面上并不是均匀 分布。在很多情况下，孔隙或颗粒基质的面积具有分形的特征，称之为孔隙质量分形 维数或基质质量分形维数（在Ｉ－２之间），这些分形维数反映了多孔介质静态结构参数。圈卜２不同结构的Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯（质量分形维数、孔隙率相同）东南大学博士学位论文有些多孔介质虽然孔隙率、孔隙分形维数相同，但孔隙的分布可以不一样““， 如图１－２，可以猜测物质在其中的扩散情况也不一样。因此仅有孔隙分形维数还不 能完全描述分形介质的动态迁移过程，还要涉及到其他分形维数。 上述分形维数分别从不同角度来描述多孔介质的结构，对于一个具体问题，要 分析哪些分形维数起主要作用，然后才能建立合适的多孔介质分形模型。 １．１．２分形布朗运动 。布朗运动（无规行走）在物理、化学中起着重要作用，它是一个与时间有关的 随机分形。如果说上述多孔介质在空间尺度上存在标度不变性，那么布朗运动可以 看作在时间尺度上存在标度不变性。 在欧几里德空间，根据随机行走理论，布朗粒子的扩散分布函数是高斯分布ｐＪ。． 物质粒子在欧几里德空间的平均扩散距离Ｆ（ｔ）为：＜ｒ２（ｆ）＞＝ｆ（１一１）而对于分形结构，物质粒子的平均扩散距离ｒ２（ｔ）为：＜ｒ２（ｆ）＞－ｌ川（１―２）其中Ｈ是一个参量，亦称为Ｈｕｍ数ｕ“。对于欧几里德空闻的布朗运动，Ｈ＝０．５， 时间相关特性表明：布朗运动是一个独立的随机过程，它过去的行为不影响它将来 的行为，即马尔科夫过程，亦可称之为正规布朗运动：当Ｈ≠Ｏ．５时，这时就有依赖 于时间的记忆效应产生，当Ｈ＞０．５时，存在正效应，它的特点是过去有增长的趋势， 将来也会仍然橡持这种增长，如果是过去有减弱的趋势，那么将来也会保持这种减 弱：而当Ｈ＜０．５时，这时的效应是负的，过去的增长倾向将会造成将来的减弱趋势， 具有强烈的时间相关效应，如图１－３：图卜３不同Ｈｕｒｓｔ下的分形布朗运动由于Ｈ不同，分形布朗运动的规律不同，可以推测，粒子在空间的扩散规律也 会有很大差别，扩散系数为【¨１：Ｄ《ｔ２／／－Ｉ‘（１―３）Ｈ＝Ｏ．５时的扩散为正常扩散：Ｈ＜Ｏ．５时的扩散称为“亚扩散”（ｓｕｂｄｉｆｆｕｓｉｏｎ），扩 散过程很慢，发生在无序介质和联结性很差的介质中，包括下面的逾渗介质中，蚂 蚁在迷宫中的随机行走过程也可视为这类分形布朗运动；Ｉ－Ｉ＞０．５时的扩散称为超扩４东南大学博士学位论文散（ｓｕｐｅｒｄｉｆｆｕｓｉｏｎ），在自然界中也很多，比如湍流中的粒子，步长可以很长，扩散 过程很快，在下面介绍的Ｌｅｖｙ运动属于这种类型。 分形结构中的随机行走过程有很多类型，如果假设粒子作正规布朗运动，像一 个“没有记忆力的醉汉”所为，其过去的运动和现在没有关联，粒子的步长很短， 根据随机运动理论可以得到粒子扩散密度函数满足高斯分布，也是通常所讲的Ｆｉｃｋ 扩散。但近来在自然界一些现象，比如湍流、微生物这些系统中，发现上述假设不 太符合实际情况，粒子的运动在过去和现在强烈关联，粒子运动步长有时很大，这 就是目前讨论较多的Ｌｅｖｙ过程１１４１。Ｌｅｖｙ过程像是“还有点记忆的醉汉”所为，其特征是步长分布为幂分布：Ｐ佃）＝硝“（ＰｏｗｅｒＬａｗＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆＳｔｅｐｓ），如图卜４ａ．布朗运动 图１＿４布朗运动和Ｌｅｖｙ运动的比较ｂ．Ｌｅｖｙ运动Ｌｅｖｙ过程的粒子的空间扩散密度函数与稳定分布有很大关系［１１ｌ。稳定分布具有下列特征：遵从某分布的概率变量之和，如果进行一次适当的变换厢琪分布与原来的分布相同，象这样的分布就是稳定分布，换句话说，也具有某种自相似的特性。通常的高斯分布属于稳定分布的一种特殊情况。１．１．３逾渗理论和分形结构中的反常扩散自然界中广泛存在无序和随机结构，统计物理中的逾渗模型是为了描述流体在 无序介质中的随机扩散和流动而建立的【ｌ那。常规的扩散过程是指粒子在介质中无序 行走，比如分子热运动，它的无序性来源于运动的随机性；而逾渗模型中的扩散过 程无序性来源于介质本身的无序结构。逾渗模型的研究表明：在渗流阈值附近，这 时渗流集团具有统计自相似结构，具有标度不变性，可以认为是一个典型的分形， 其结构是不规则的，扩散过程也与正常扩散不同， 的均匀体，扩散与普通的欧几里德空间规律相同。 对分形结构的扩散，物质粒子平均扩散距离＜ｒ２（ｔ）＞式也可表示为： 是上面所述的亚扩散：而当大 于逾渗闽值很多后，整个点阵上的位置均被占据，这时的逾渗集团是一个各向同性东南大学博士学位论文为了描述分形结构中扩散动力学过程，引入谱维数ｄ，谱维数与其他分形维数 之间存在一个很著名鸽关系式㈣１５１：２ｄ， ｄ＝―ｏ．（１―５）ｄｗｄ是谱维数，卉是质量分形维数，巩是分形结构中的随机行走的分形维数。指 数ｄ／ｄ：在欧氏空间正好等于１．Ｏ，而对分形介质耍小于１．０。ｄ／ｄ越，３、，平均扩散距离．： 也越小。由于分形结构上存在很多空洞和分支岔道，流体需走很多”冤枉路”，扩散 过程就缓慢。在分形结构中的随机扩散比欧几里得空间要慢得多，这种扩散特性称 为反常扩散或扩散慢化｜１们，对应上面所阐述的Ｈ＜０．５时的分形布朗运动。谱维数 的概念很重要。因为它是联系静态的分形维数西和动态的行走分形维数九的桥 梁，这样就可以找到一条“几何结构”与“动力学行为”相联系的途径。 逾渗模型可以作为多孔介质的一种近似理论模型。多孔介质中物质扩散过程受 孔隙连通性的影响很大，即使是相同孔隙率的多孔介质，由于曲折性不同，物质的扩 散过程也会不同。连通性不好的多孔介质，西与分形空隙的不均匀性（ｈｅｔｅｒｇｅｎｅｉｔｙ） 有关，ｄ则和孔通道的连通性有关（ｔｏｒｔｕｏｕｓｉｔｙ）。ｄ越大，扩散粒子的前进就会受到 更大阻碍，卉和烈即不均匀性和连通性）对粒子的扩散有相互竞争的效应【６１，这方面 的具体影响会在本文详细探讨。１．２．分形理论中动力学传输模型由上所述，分形介质上的扩散援律己与欧氏空间不同，那么，如何在分形结构 上模拟热量和物质的传输？这里主要介绍三种方法：１．２．ｉ扩散微分方程在ｄ维欧氏空间的扩散方程具有如下形式：ａｆ，ｄ’１掣：鲁兰ｔ，“掣】（１―６）ａ，‘‘ａ，１ 、‘。７其扩散密度函数为对称的高斯分布。 对于分形结构，是以反常扩散性质为基础，有入尝似将Ｄ一）＝Ｄ矿“代入上式， 首先导出了分形介质扩散方程１１０］．．ａｆ，４掣：｛鲁矣【，∽…掣】（１―７）ｔ一１ａｒ‘ａ１、’ｒ其近似解：盹乒端南南ｅ卅志，㈣６上述分形结构扩散方程是在欧氏空间扩散方程的基础上，引入Ｄ―哂纠和ｄ东南大学博士学位论文吨标度性质的修正，丽导出分形结构扩散方程的近似形式。Ｇｏｉｎａ等【ｌ ０’“１给出了更具～般意义的分形介质的分数微分方程形式，开拓了分形介质扩散动力学的新形式。但因为分形结构本身是处处不可微的，这些扩散微分方程仍然是一种近似方程， 上述概率密度函数ｐ亿砂只是一种近似解。实际上分形结构中精确的概率密度函数 Ｐ防耖是根难得到的，因为谱维数的测量与ｐ（ｒ，Ｏ本身有很大关系，理论上ｐ佛砂应是稳 定分布。虽然分形结构的扩散微分方程只是一种近似方程，但可以了解分形结构中 扩散的一些趋势，所以仍然有一定的价值，目前已经有人将这种方法应用于土壤中 多相有机物污染传输问题的讨论““。１．２．２随机模拟方法 采用微分方程讨论分形介质中的物质扩散，在对物理现象的描述上总是不太直 观。随机模拟理论即蒙特卡罗方法，是一种比较新颖的方法，物理学研究中，经常碰到随机性问题呻侧，比如分子、电子等粒子的输运、表面迁移、粒子碰撞等，蒙 特卡罗方法可以对这些随机过程进行直接模拟。图１―５给出了物质的随机扩散示意穿避返回图卜５物质在多孔介质中的随机扩散图。随机模拟理论实用性很强，多孔介质中的粘性指进等现象，都通过随机模拟模 型得到了解释。其基本思想是用随机数来产生一个个粒子的历史，粒子的行走方式 由概率模型决定，根据概率模型抽样，通过跟踪大量粒子随机行走的历史再进行统 计计算来实行模拟的，其中概率模型是最重要的一步，这要根据具体问题的特点而 定，目前应用这种方法讨论问题时，碰到的最大难点还是物质扩散概率密度分布函 数的给出，一般都是采用近似估计的方法１２１１。 由于随机过程不同，物理规律表现出很大差别，蒙特卡罗方法可以对这些过程 直接模拟。比较直观、灵活，而且可以考虑分形介质复杂多变的结构。流体在多孔 介质的运动受到毛细力、粘滞力、壁面摩擦阻力的作用等，这些影响因素的不同决 定了物理规律的不同。将该方法应用于多孔介厦的流体传输时，需考虑哪些因素是 圭导因素，有些情况还涉及多孔介质吸附特性、死穴等因素，只有仔细地分析这些因素，才能建立与实际问题吻合的概率模型哗】。７东南大学博士学位论文１．２．３有限差分网格法有限差分网格法采用“人工构造分形体”［２３１模拟自然界真实的多孔介质，对上 述分形介质容积离散化，离散所得的每一控制容积网格中仅包含一种材料，多孔分 形介质里物质扩散，包含了三部分：孔隙中的扩散、骨架基质里的扩散、孔隙与基 质之间的扩散。所面对的问题可简化为二元组合材料的扩散问题，基质和孔隙分别 采用不同的扩散系数。Ｔｈｏｖｅｒｔ［２４］曾经采用这种方法分析了分形多孔介质中的热传导 规律，得到了一些有价值的结果。文献¨刈中也是用这种方法分析微生物（厌氧菌）在土壤颗粒中的分布。以后进一步将分形理论应用到多孔介质问题中，可以从下面两种途径入手： 一种途径是从理论上探讨，有很多基本问题有待解决，比如分形介质上的非线 性方程的求解，目前仍是一个难题，虽然知道稳定分布是上述方程的解，但以前稳 定分布一直被认为数学上的“怪物”，很少有人研究，目前很多物理学家开始关心稳 定分布的特性，这方面的讨论渐渐多起来。随机行走理论、分形扩散方程和传统的 相似理论之间存在什么样的联系？这些研究需要很好的数学和物理基础，并对统计热力学有很深入的了解∞５３，”’¨引。另一种途径是与具体问题相结合。在解决不同问题的过程中，总结得出一般性 规律。如上所述，在物理上将多孔介质简化为逾渗结构时，只是把阈值附近的结构 视为分形结构，但一般的实际多孔介质，如土壤，在什么条件下可视为分形结构， 这是需要探讨的基本问题。由于物质在非均匀多孔介质中的扩散不能视为传统的布 朗运动，而是分形布朗运动。那么这种分形布朗运动效应与多孔介质物质传质理论 有何联系？如何运用它来解释实验现象中的反常规律？这些研究可能为地下水污 染、溶质运移的模拟提供了新概念与方法…’“…。而且通过实验和图像处理技术相结 合，有可能发展比较可行的研究方法。 在上面阐述了分形理论应用于多孔介质所碰到的一些概念，那么多孔介质传热 传质领域方面的研究，下一节就这方面研究的前国内外进展作一些介绍１１．３多孔介质渗透率和导热系数的分形理论研究进展一直以来，在国内工程热物理界，对分形理论的态度是：它只能用来测量“分 形维数”，无法讨论复杂的迁移过程，所以在这方面的研究工作一直没有什么实质性 进展。由上面的介绍可以清楚地看到，分形理论虚用到多孔介质传热传质领域涉及 到很多新的物理概念，对其中的物理过程用一种新的视角来看待，这样就会有新的 更丰富的理解。近十年来，国外很多学者尝试将分形理论应用于多孔介质渗透率和 导热系数的研究，取得了很多进展。 根据目前所查得的国外文献资料表明，将分形理论应用于多孔介质导热系数和 渗透率的研究，目前的研究思路无非是两条：东南大学博士学位论文一．采用的由简化的分形物理模型推导出热物性系数分析解： 二．由逾渗理论或有限差分法或随机模拟理论来分析具体结构对传热传质过程的影响。１．３．１多孔介质导热分形模型 先分析导热系数方面的研究，由于多孔介质结构复杂，以前，导热系数的得到 一般采用近似公式口Ｊ：屯＝噍＋（１一ｖ）红（１－９）这个公式没有考虑固相和气相之问的换热，并且隐含着平行传导模型的假设。施明恒［２６，２７］等对上述公式进行了改进，考虑了孔隙的规则分布，得到了多孔介 质导热系数公式：…尼。ｋ２７３‰＝（１一”到３弘ｇ＋――――兰―＝。４ｖｋ―――――一憾！１－（。ｋ）３：ｔｖ＋２，》０但公式终久无法考虑多孔介质结构对导热系数的影响，。这不能不说是很大的遗 郁ｔ＝８，２９】等在这方面作了很多探索。首先采用有限差分法计算了对称分形体的温 度场，但不知是何原因，这方面的工作并没有深入下去；并且根据多孔介质的微结 构，把多孔介质看成由非接触的颗粒和连在一起的弯弯曲曲的颗粒链组成。而弯弯 曲曲的颗粒链假设服从分形分布规律，推导了双弥散多孔介质等效导热系数的分形模型【ｊ…，并和实验结果进行了比较。 在多孔介质分形理论的传热研究工作中，逾渗理论的应用也是有人作过尝试的，田长霖，粱新刚等也将逾渗理论应用到复合材料（气固复合材料，微电子薄膜等）的 传热Ｉ＇＝－１题的研究中去，在文献１３１．３ｚ］中系统分析了复合材料厚度对导热系数的影响以 及各向异性传热的问题。 国外Ｐｉｔｃｈｕｍａｎ和Ｙａｏｔ”１通过引入横向和纵向局部（１０ｃａｌ）分形维数来表示纤 维材料的结构参数。然后用传统的传热学模型得到了其等效导热系数，并且和过去 文献的实验数据进行了仔细比较，证明是可行的，这属于上面所述的第一类工作。 他们的工作的确是值得参考的。但其中也是有很多值得推敲之处，首先是他们的方 法只对某种特殊结构的多孔介质（比如纤维）适用，其次是否还有可能受到其他分 形维数的影响，也需要进一步考虑。Ａｄｌｅｒ和Ｔｈｏｖｅｒｔ…采用了有限差分法对确定性分形介质的导热系数作了数值计算，其结果与Ａｒｃｈｉｅ’ｓ定律是一致的：（１―１Ｄ 式中ｍ＝１．６４＿２．０５，取决于不同的分形几何，工作并没有深入下去，对随机分形 介质是什么情况，并没有作出讨论。然而他们的工作表明：有限差分法是可以应用一ｋｏｃ矿到分形多孔介质中去的，并且可以应用于双孑Ｌ隙率颗粒多孔介质。这是属于第二类 工作。９东南大学博士学位论文Ｓｈａｓｈｗａｔｉ和Ｔａｒａｆｄａｒｌ３４］采用反常扩散理论，结合分形体的几何标度特性，简单 推导了对称分形体的导热系数公式：七。Ｃ妒ｌ＋（２－ｄ／ａ，一３’ｆ１―１２）ｄ是谱维数，由随机行走的方法估算出来的． 但上述公式并不一定对随机分形体适用，也没有实验的检验。而且在上述公式 中，都没有考虑分形介质各向异性传热的问题。随机分形介质一般都是不对称的， 因而也就存在着各个方向上导热系数不一样的情况，而且在颗粒型多孔介质中还会 有很强的接触热阻问题，但是这些工作中都没有考虑到这些方面。Ｈａｍｂｌｙ￥口Ｊｏｎｅｓ［２１ 在最近发表的一篇文献中，详细分析了热量在分形结构中所碰到的一些问题！这就 是说寻找更好的导热系数表达式，仍需要进一步探索１Ｊ１．３．２多孔介质物质传输分形模型物质在多孔介质通道中的流动，比传热情况要复杂一些。对于流体传输的分形 模型，土壤物理学界作了很多深入的研究。 国内郁伯铭【３５】近年来在多孔介质渗透率分析解的推导方面取得了很大进展：足：艘；熹竖ｇＬ磁 ．１（…’ ＡＰＡ习１ ３＋玉ｒ一１ ２８ Ａ －ｄ这个方程是对Ｄａｒｃｙ定律的修改。如果流动通道是直的，那么上述方程可以简 化为：置＝篙去怎。０－１４）这个公式也是对Ｋｏｚｅｎｙ－Ｃａｒｍａｎ渗透率方程Ⅲ作了改进：Ｋ＝―ｂ＾“＋Ｉｃｏ一庐）“（１―１５）、在这两个方程中指数ｎ和常数Ｃ为Ｋｏｚｅｎｙ－Ｃａｒｍａｎ常数，不同的介质两个常数 的数值也是不同的。 施明恒等［３６】通过Ｔａｙｌｏｒ公式的修正，考虑了多孔介质的截面分维，颗粒分布和 通道的通透性，得到了多孔介质渗透率的表达形式：Ｋ：Ｂ善！≯ｄ：塑；趔莓竺塾±坠孥篓李４（１―１６）‘（ｄｐ＋１）‘（１一（：Ｙ％一‘）３式中Ｂ是经验常数，磊是孔隙分形维数，西是颗粒分形维数，砍是谱维数。 Ｄ。。Ｄ。ｍ是土壤中最大和最小颗粒直径！ Ｃｍｗｆｏｒｄ［。／Ｊ采用物理学中的重整化理论推导了饱和和非饱和水力传导系数的表 达式，对于分形结构的饱和水力传导系数：ｌＯ东南大学博士学位论文ｋｆ＝ＣＬ（２一Ａ’Ｐ＞ｅ只是多孔介质的渗流阈值，Ｐ是孔隙率。Ｃ，毋。是常数，关系。（１―１７）上式实际上表明当多孔介质的孔隙率大于渗流阈值时，饱和水力传导系数与多孔介质的尺度大小成指数 对于分形结构的非饱和水力传导系数，也发现与尺度存在标度特性，这是传统 模型无法得到的结论。Ｄ．Ｇｈｅｎｅｚ等旧３９Ｊ分析了不同长度，不同直径土柱的实验结果，确证了Ｃｒａｗｆｏｒｄ的结论（尺度越大，水力传导系数越小），不过指数可能是单一常数（单一分形），也可能是一个函数（多重分形）。而且ＧｕｅⅡ洒【ｑ叫假设水分在土柱中的运动是一个标 度过程，即分形布朗运动。并尝试用分形布朗运动来分析多孔介质中水分的非饱和 流动，非常好的估计了水分扩散率反常实验结果！ＥＭ．Ａｄｌｅｒｆ４１’４２］…………ｘ…………，，多孑Ｌ介质中的Ｓｔｏｋｅｓ流动。采用有限差分方法和Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ方法研究一维、二维、三维Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯中的Ｓｔｏｋｅｓ流动和Ｔａｙｌｏｒ弥散，他们发现对于一二维分形体，不同方向上渗透率（各向异性）与 孔隙率成指数关系：！生Ｋ《（占）２一ｄ／ （１＿１８）三维的情况要复杂一些。计算结果与传统的Ｃａｒｍａｎ方程的结果有差异，倒是和 ＡｒｃｂＪｅ方程比较一致。１弭ｅｒ和ｗｈｅａｔｍｆＩ【４ｊ１又将分形理论应用于多孔介质吸水和放水问题（ＳｏｉｌＲｅｔｅｎｔｉｏｎ），得到下面分形体的水力势与含水率的指数关系：Ｗａｔｅｒｙ＝ｙ。（芸）Ｖ‘叶－２’ 口ｊ卉是多孔介质的面积分形维数。（１―１９）将分形理论应用于多孔介质领域，逾渗模型起了很大作用，Ｋｏｐｌｉｋ［ａ＃］， Ｓａｈａｍｉ［４５１，Ｙａｎｕｋａ［４６】，Ｏｘ勰ｌ［４７】等作了很多工作，逾渗模型有很多类型，在文献【４８】 作了一些介绍。这里简单介绍一下键逾渗模型，它是把复杂的多孔介质简化为一个 正方形点阵，点与点之间由不同大小的孔隙通道（物理中称为”键’，）组成。流体物质 在其中不同管径的通道里行走，然后用随机模拟理论得到整个模型的水动力特性。 这些通道当中，有的通道是开的，有的通道是闭合的，正如上面所述，当整个键逾 渗网络处于逾渗阚值附近时，由于处于临界状态，整个随机网络可以视为近似的分 形结构，水动力弥散特性与尺度之闯也会表现出一种标度特性：（１―２０） Ｄ￡ｃｃ∥ 这与Ｗｌａｅａｔｃｒａｆｆ［４９１假设溶质在水分中的弥散是分形布朗运动得到的结论是一致 的，并和野外测试的数据是相符合的。Ｖ．Ｖ．Ｍｏｕｒｚｅｒ血ｏｐｗ等根据多孔介质三维微观地貌特征，构造随机分形体（与真实 的情况非常接近），然后直接进行数值模拟，Ｎｅｕｍａｎ［５１１等尝试将物理学中的重整化东南大学博士学位论文理论引入多孔介质水动力学方面，并取得了很大进展！这些都是目前比较前沿的工作。总之，将分形理论应用于多孔介质传热传质现象，已有了很大的进展，但目前还缺乏系统陛的研究工作，还有很多问题有待解决，比如Ｗｈｅａｔｃｒａｆｔｔ４Ｕｌ并１］ＧｕｅｒｒｉｎｉＬ斗ｗ在分析中都假设多孔介质中水分和溶质的运动是分形布朗运动，但这种先入为见的 假设还是会使人疑虑！另外从上面已发表文献的介绍可以比较情楚地看到：分形多 孔介质的热物性和分形维数的关联表达式多种多样，比如式（１．１４）、（１－１６）与（１．１８）。 这些不同形式的渗透率表达式，能否经得起大量实验的检验，有待进一步验证，文 献中对这些公式的内涵缺乏清楚地说明！这些问题实际上涉及到对基于分形结构上传热传质过程的深入理解，即当结构满足不同尺度下的自相似规律时，会对其中的物理过程造成如何的影响？从上面的 文献综述中也可以看到：只有比较深入地了解这个问题，才能更好地理解不同尺度、不同结构下热物性的变化规律！由于多孔介质传热传质对科学的发展和工农业的进步以及生命活动的重大作用，多孔介质传热传质己成为现代工程热物理的前沿研究 领域。利用分形理论研究实际多孔介质的传热传质规律，已成为一个十分有前景的 研究热点。而且这方面的工作也可以和地理地质科学、非晶体物理等其他领域［４８１”１ 的研究结合起来，对新的边缘科学的生长也有很广阔的发展空间。目前这方面的研 究工作尚属起步阶段，国内在这方面的研究仍然很欠缺，本文就是从这种角度出发， 对分形结构中的基本物理过程：导热过程、扩散过程、渗流过程进行系统讨论，希 望在这方面作一些初步地探索。１２东南大学博士学位论文１．４本文研究的内容和目标本论文的研究内容涉及到非线性物理学、地下水动力学和传热传质学的交叉领域，主要着眼于以下几个方面：１）在第二章，本文采用Ｃ语言构造随机Ｓｉｅｒｐｉｍｋｉ地毯，以此作为分形多孔介质 模型，视之为基质与孔隙二元混合介质，然后采用有限容积法分析了其中的 热传导过程，分析结构自相似性对导热系数的影响，进一步了解分形多孑Ｌ介 质中的温度场、热流分布情况； ２）第三章对物质粒子在不同分形结构中的布朗运动进行了讨论，建立分形结构 下的无压差扩散模型，计算不同分形多孔介质的谱维数，仔细‘分析了不同 分形结构的扩散系数的变化规律，并和欧氏空间下扩散进行了比较。３）第四章主要讨论两端有压差二维键逾渗网格的流体微团扩散模型。分别讨论不同孔隙通道联结率下的弥散特性，特别是对逾渗阈值附近情况作详细分析， 这主要是由于逾渗阙值附近，键逾渗网格可以近似看作是分形结构：了解 分形结构下的物质弥散正是大家所感兴趣的内容：和第五章为了更深入地了解物质在多孔介质中的运移，本论文进行了土柱模拟实验，通过将含颜料的水分渗入不同类型土壤中的方法，对其不同深度的剖 面进行观察，并且测定分形维数，以实际了解水分在土壤中的运移与结构之 间的关系。 ５）第六章是以有机碳在土壤中的迁移为对象，研究新老有机碳在土壤当 中的迁移积累机理，分析不同年龄的有机碳在土壤中的分布规律，这为预估 土壤中的有机碳动态变化打下了基础。东南是拳博士学位论文第二章分形多孔介质中的热传导在航空航天，建筑，纺织，农业，能源，食品等很多实际领域的应用中”’“，多 孔介质的导热特性是人们所关一１１，的重要问题。 当多孔介质的固体颗粒相互紧密接触且不移动，多孔材料的温度不太高，且孔 隙中的流体处于接近静止的状态，这时可不需要考虑辐射换热、对流换热和固体颗 粒间的接触热阻，多孑Ｌ介质中的传热过程主要是由热传导所控制。按其导热过程是 否随时间变化，又可分为稳态和非稳态导热两种。 对于多孔介质中的纯导热过程，一般说来，它包括：（１）通过固体颗粒的导热过 程；（２）多孔孔隙中气体或液体的导热：（３）固体颗粒与气体或液体之间的导热。研究结果表明：影响多孔介质导热过程的因素很多，其中，包括孔隙尺寸、形状及分布、多孔介质固体颗粒的物性、气体或液体种类，组分，形态和特性等等，正因为如此 众多的因素，将这些因素按其影响大小及变化规律组合起来，以形成统一的导热系 数数学表达式并非易事。因而需采取恰当的简化方法对之进行研究。 以往的研究中曾采用过两种简化方法对多孔介质的导热特性进行分析：（１）以简 化模型为基础的简化解析法，将多孔介质所有孔隙视为相互联通，相互平行的一系 列圆柱通道，气体或液体在其中流动，气体或液体不断与固体中交换热量。由此建 立导热方程．分析导热特性。这种方法已经应用于汽轮机叶片等很多冷却问题研究 中；（２）简单组合法，将多孔介质的颗粒视为球形、六角形、正方形等，颗粒排列均 匀，然后通过模拟电路计算或电热模拟法得到有效导热系数的估算式，这种方法己 被广泛地应用于由金属材料行业中；也有人ｐ’删采用这种方法对含湿多孔物品进行 研究，将孔隙通道视为那种既有与热流平行，又有与热流垂直的规则组合通道，如 图２―１。对之进行热阻分析，然后得到多孔介质的有效导热系数。噩Ｑ图２－ｉ含有两种不同方向孔隙的多 孔体示意图虽然上述两种方法在一定的范围内有效，但由于系统形态（即其联结性１及其几何尺寸在热量传输过程起了重要 作用，这些近似结构模型与实际的多孔 介质相去甚远，对实际复杂多孔结构的 介质，其导热系数预测值与实验结果有 较大误差，为此需要开辟新的研究途径， 以得到更好的多孔介质有效导热系数估 算式。要做到这一点，必须对多孔介质 的结构作进一步考虑。分形理论的引入 对如何描述多孔介质的结构提供了一条 新的有效的途径！一些研究工作表明； 对于很多颗粒性多孔介质，其颗粒或孔 隙的大小分布在一定尺度范围内具有分１４东南大学博士学位论文形特征，有着统计的自相似性。对多孔介质建立分形导热模型将会与实际导热情况吻合得更好。Ａｄｌｅｒｔ［圳采用了有限差分法对确定性分形介质的导热系数作了讨论，本章在此 基础上，首先构造随机分形体，然后采用有限容积法，讨论热量在这些分形结构上 的传输规律，并分析各种影响因素，最后计算了这些分形体上的温度场和热流分布。 通过这些讨论，希望能够深入了解分形多孔介质结构热量传输的一些规律。在分析 中没有考虑多孔介质中的辐射换热、对流换热和固体颗粒间的接触热阻。２．１多孔介质分形结构的构造本文采用随机Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯模拟自然界真实的多孔介质，这是一种“人工构造 分形体”．自然界真实的多孔介质是复杂多变的，构造随机Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯的方法多 种多样，在文献【２３］中作了详细的阐述。 这里用类似文献［２４］的方法来构造，由于真实的多孔介质的图像是黑白二色的， 经扫描处理后，输入计算机后得到ＢＭＰ或其他格式的文件，一般用二值象素（Ｏ和 １），来代表整个多孔介质基质和孔隙随机分布的信息。这里简单地描述一下图 ２－２ａ，ｂ，ｃ，ｄ构造情况：把一个单位正方形Ｅ，假设分成九个边长为ｌ／３的小正方形， 其中如果被基质占据，那么就标志为１，如果为孔隙所占据，那么就标志为０；孔隙 所占的百分比为Ｐ，这些小正方形所代表的值组成子集Ｅ。；类似地，对于上述九个 正方形中的每一个，如其为１，那么重复以上操作；如其为０，那么其中九个小正 方形都标志为０，组成集Ｅ：…。这样就构成一个含递归关系随机分形集合的集合， 那么就可以用Ｃ语言根据这些数据集逐级绘出图形。这里不妨称Ｅｌ为一级分形，亦 可称为元胞；Ｅ２为二级分形，依次类推。 绘制Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯的计算机算法步骤如下：（１）设置递归深度ｎ：（２）用黑色随机填充辨（卜Ｐ）个正方形，为多孔介质的基质，设其为ｌ；其他的 正方形为白色，为多孔介质的孔隙，设其为０；这些小正方形所代表的值组成 子集Ｅ。．并将上述图像信息储存在数组Ａ（３，３），并用Ｃ语言依此决定定点坐标， 绘制３＊３个正方形； （３）对上述九个正方形进行递归操作，如果正方形为１，对其细分九个小正方形， 重复第（２）步操作；如果正方形为０，对其细分九个小正方形，统设为Ｏ；这些 小正方形所代表的值组成子集Ｅ２；并将上述图像信息储存在数组Ｂ（９，９）；并用 Ｃ语言依此决定定点坐标，绘制９＊９个正方形 （４）重复上述过程，直到递归深度／，１为止；东南大学博士学住论文ａｂＣｄ臣岛囡如踊踞Ｉ级分形ＩＩ级分形图２＿２各种类型Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯（基质分布满足指数分布）对图２－２ａ，尸值为１／９，其关系为九叉树数据结构，如图２－３所示，图２－２ａ，ｂ，ｃ，ｄ 各阶分形基质的面积分布经计算发现满足指数分布（孔隙面积分布并不满足）：Ｓ。ａｔｒ／．ｚ＝ＰａＣ（１一Ｐ）４（３―１）式中尸一元胞孔隙率，ｐ―基质率，口―分形递归阶数对图２―２ａ，这里就可以计算出每级Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ分形体的孔隙和基质的面积含量屯ｍＩ＝８／９ｓ二ｍ．２＝（８／９）２Ｓ。ｎ。３＝（８／９）３●………●…‘…’＿●●．．Ｓ，。ｌ＝Ｉ一８１９Ｓ口。。．２＝１－（８１９）２ Ｓｐ。。，３＝１－（８／９）３…－……●●……●●●●－，由此也可以看到，对于图２－２，基质的面积分布满足指数分布，而孔隙的面积１６分布则不满足，因此对上述生成的分形体，实际上是基质分形体。∥’１’１’腻１㈡＼．（Ｏ，ｏ，ｏ，ｏ，ｏ，ｏ，ｏ，ｏ，ｏ，ｏ）东南大学博士学位论文图２－３随机Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯所对应的九叉树数据结构图２－２ａ，ｂ所示的自相似图形，Ｐ＝１１９，ｒ＝ｌ／３，单元数Ｍ等于曼其基质分形维数为：ｄ，：！煎！＝１２丝２：坚：１．８９３ ｌｎ（Ｉ／ｒ）。Ｉｎ ３（２―２、对图２―２ｃ，ｄ，Ｐ＝２／９，孔隙的分布不一样，基质分形维数是由上述类似计算可得 都等于Ｉ．７７１。 本文主要对两种不同类型的元胞（３＋３单元，４＊４单元）所生成的各阶分形体 进行了计算分析，其信息如表２．１，２－２所示：表２－１各种不同Ｐ值元胞（３＊３单元）下，分形维数值和各阶分形基质百分含量各级分３?３两格Ｐ １／９ ２，９ ３／９ ４／９形的基 ２７＂２７网格 ＩＩＩ级分形０．７０２ ０．４７１ ０．２９５ ０．１７１质百分 ８１＋８ｌ网格ｌｖ级分形０．６２４ ０．３６６ ０．１９７ ０．０９５比 ２４３＊２４３网格 ｖ级分形０．５５５ ０．２８４ ０．１３２ ０．０５３９＂９网格ＩＩ级分形０．７９０ ０．６０４ ０．４４４ ０．３０７西１．８９３ １．７７１ ｌ，６３ｌ １，４６５Ｉ级分形０．８８９ ０．７７７ ０．６６７ ０．５５６表２―２不同Ｐ值元胞（４?４单元）下，分形维数和各阶分形基质百分含量各级Ｐ分形 Ⅱ级分形 １６＂１６网格０．８７８ Ｏ．７６６ Ｏ．６６０ Ｏ．５６３的基质ＩＩＩ级分形百分比玉１．９５３ １．９０４ １．８５０ １．７９２Ｉ级分形 ４＊４嗣格０．９３８ ０．８７５ ０．８１３ ０．７５０ ０．６８８Ⅳ级分形２５６＊２５６网格０．７７１ ０．５８６ ０．４３６ ０３１６． ０．２２４“?６４网格０．８２５ ０．６７０ ０．５３７ ０．４２２ ０．３２５１／１６ ２／１６ ３／１６４，１６ ５／１６１．７３００．４７３由表２－１，表２－２可以看到，在同一基质分形维数下，各阶分形体基质百分率 依次下降；而当基质分形维数比较小时。其高阶分形体的基质百分含量已经下降到 一阈值以下，整个网格被高热阻的大小孔隙所隔断，这时候固体骨架在某些区域不 再连续，热量不能连续地通过骨架传递１１７东南大学博士学位论文孔隙或基质面积的大小具有分形的特征，称之为孔隙质量分形维数或基质质量 分形结构，图２－２ａ，ｂ，Ｃ，ｄ都属于基质分形结构。在后面第三章扩散问题的讨论中，分 形结构的构造也是和上面类似，但是为了讨论的需要，在那里孔隙相当于这里的基 质，所以是属于孔隙分形结构。有一点必须强调：上述数学推算表明，对于Ｓｉｃｒｐｉｎｓｋｉ 地毯，或者是孔隙分形体，或者是基质分形体，不可能两者兼备。 上述分形维数属于多孔介质静态结构参数。有些多孔介质虽然孔隙率、孔隙分 形维数相同，但孔隙的分布可啦不一样【ｌ刮，可以推测物质在其中的热传输情况也不 一样，因此还需要其他分形维数来分析其动态过程。如表２―１中的Ｐ＝－ｌ／９和表２－２中 的Ｐ＝２／１６，基质分形维数近似相等，但结构、孔隙含量却完全不一样。 最后还需要强调的是这里计算的分形维数是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ（豪斯多夫）维数，但在实 际的多孔介质中，很多都属于比较复杂的分形结构，直接测量Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数是很困 难的，所以在第四章中，针对各种土壤剖面，用目前广泛应用的盒维数来替代。关于Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数与盒维数的区别与联系见文献［１０］。东南大学博士学住论文２．２分形结构中导热的物理模型本章主要从下列两个方面探讨分形介质中的导热特征：一方面是横向比较同一元胞下（比如图２－２ａ），各级分形体仉ＩＩ，ＩＩＩ，Ｍ、，）有效导热系数之间的变化；另一方面是纵向比较不同元胞下，不同基质分形维数（比如图２－２ａ，ｂ，ｃ，ｄ）对有效导热系数 的影响。这样就可以比较清楚地了解不同分形结构对导热的影响．ＴＪ｝０１丑嘲绝热壁面一●■ 一一●叶 一二：Ｔ２叫＿口叶孔隙中的导热十Ｖ－＋孔隙Ｔ与基质耦台导热一?一基质：的导热图２－４热量在多孔介质中的传输示意图如图２－４，多孔介质中的导热（不考虑对流换热和辐射换热），包含了三部分： 孔隙气体介质中的热量传输、骨架基质里的热量传输、孔隙与基质之间的耦合导热。 所面对的问题可简化为二元组合材料的导热问题。■一■ －■－■■■：；：■一■－■■■■■●一■ ●●■■■■■■■■■■ ■■■１■‘ ■●－●●一 一●■ ■■■ ■一● ●■■ ■■■ ■■■：鼍：ｏ■一■■一■ｊＩｔ毛■■■ 一■■ ■■■■●■■●‘ ■●ｏ ●１一■●圃：鼍：●●一：’： ：謇：Ｌ－一■ ｌｌ■■●■图２－５分形物质示意图 三是体系长度 ｆ是分形元胞的长度图２－５是分形物质示意图（当然实际情况没有这么规则），三是体系长度，，是分 形元胞的长度。ｚ亦称逾渗模型中的相关长度。为什么要提出相关长度的概念呢？ 因为实际的多孔介质都是在一定的尺度范围４内满足自相似递归规律，在上图的分形物质中，如≤４。羁超过尺度ｆ，就可视为近似的周期结构，即由一个个分形结构体（形象地说，也可称为“分形细胞”）组成的周期结构［５町。这样研究整体分形物 质的热传导规律，就可简化为研究分形结构体相关长度内的导热规律。Ｔ面用－－＋ 比较简单的示意图，如图２－６，就可说明这个问题。东南大学博士学位论文图２－６分形介质简化图上图中９个相同热阻的小正方形组成的大正方形，根据傅立叶定律，其总热阻 也是Ｒ，温度梯度也是相似的。 采用传统有限容积法，对各级分形介质平面离散化，离散所得的每一控制容积 仅包含一种材料，如图２―７所示。ｎ■３圈 审３：一ｉ：７扭＇７￥９Ｉ（计算网格３Ｘ３） 控制容积 计算弼格’Ｔ０６’１ｂ９’ＴＯ图２．７Ｉ级分形下所取的控制容积图２－７是有序的Ｓｉｅｒｐｉｍｌｄ地毯，分形元胞Ｉ（１级分形）取３×３控制容积，计 算采用内节点法，每个节点代表图中９个单元中的一个，当达到稳定状态时，每个 节点与周围节点达到热平衡。为了了解分形介质所蕴含的自相似性特性的影响，这 里分别计算各级分形下导热规律。Ⅱ级分形以此类推，共计算五级分形（网格数２４３ ×２４３）。对于基质（导热系数为ｋ。）和孔隙（导热系数为ｋ）控制窖积之间的图２－８４结点与５结点之间的组舍导热系数导热系数，比如图２＿８中４结点与５结点之间的组合导热系数，涉及到二元组合材料的导热问题，由于这里孔隙导热系数和基质导热系数相差很大，为了能够精确处理这种导热系数突然变化的情况，采用类似文献［５７］的方法，其组合导热系数为：东南大学博士‘学位论文七。，：（掣＋二）一－Ｍｐ（２―３）Ｋｍ式ｅｐｆ是面积百分比，这里户Ｏ．５，那么就有：‰＝麓是想象中的算术平均值．（２＿４）上式说明，组合导热系数是孔隙导热系数和介质导热系数的调和平均值，而不 对于边界上节点与控制容积节点之间的导热系数，比如１’与１节点的导热系数为：ｋ¨＝冬ｋｌ是１节点所代表的控制容积的导热系数。（２―５）已知网络两端温度分别为Ｔｌ和Ｔ２，采用类似电路中的克希荷夫定律，每个节点 处流入的热量与流出的热量相等，如图２－７中的２结点对每结点列出能量平衡方程：ｑｔ２＋ｑ，２＋ｑ５２＝０ｋ１２Ａ警＋ｋ３２Ａ警＋ｋ５２Ａ警＝ｏ（２－６）整理可得：ｋｔ２Ｔｔ＋七３２五＋七５２正一（ｋ１２＋也２＋七５２）正＝０ 得到～组对角占优的五对角方程，然后用Ｇａｕｓｓ－Ｓｅｉｄｅｌ迭代求解得到各结点的 温度分布：Ａ’图２－９ ９Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ方法线迭代示意图对于图２一所示位于Ａ．Ａ？直线上的各节点，采用Ｊａｃｏｂｉ线迭代法的公式为ａｐ矽’＝ａＮ毋’＋口ｓ砖“’＋％蹬．１’＋口矿矽＿１’（２―８）ａ一，ａＮ，ａＳ，ａＥ，ａｗ值由类似式给出。由于第如一ｊ）轮的迭代值为已知，上式右边后 两项可视为常数？于是位于Ａ―Ａ’线上各节点都可列出上述方程，组成一个三对角 矩阵，可以用ＴＤＭＡ算法［５８】进行求解，如此逐列向前推进，在做完了全区内各列的 求解后就完成了一轮迭代。 分形介质总有效导熟系数（为了和上述基质、孔隙单元导熟系数区分开），由下可得：２ｌ东南大学博士学位论文七盯＝Ｑ’Ｌ／Ｃ（Ｔ２一正）‘彳）（２―９）Ｖ有效导热系数，９一分形介质上总的截面热流量。４一垂直于热流黔截面积￡一分形体沃度对于单位厚度、单位面积的多孔介质，Ｌ／Ａ＝１．０。上式可表示为：ｋｅｙ２９，（？。２一Ｔ１）为了更好地了解两元馄合介质中的导热机理，可以将两部分导热分开讨论，在分析其中一种介质的热量传输时，另一种介质假设导热系数很小，近似为绝热的（实 际上不是）。这样就可以很清楚地了解至８各部分热量传输与介质结构之间的关系了。 那么这里引伸出另外两个折算有效导热系数：基质折算有效导热系数和孔隙折算有 效导热系数！ 所谓基质的折算有效导热系数（简称基质有效导热系数），是为了讨论分形结构 中单单基质中的热量传输．那么这时假设孔隙的导热系数非常小（小到可以认为是 绝热的，实际上不是的），对于某一分形结构，两端加温度场，这样可以算得基质 中的导热量Ｑ。。，根据这个导热量就可算得单位面积、单位厚度的基质折算有效导 热系数：．｜｝酊。Ｍ嗽＝Ｑ。。俯／（Ｔ２一正）而孔隙的折算有效导热系数（简称孔隙有效导热系数），其定义也和上面类似， 是为了讨论分形结构中单单孔隙中的热量传输，这时假设基质的导热系数非常小 （小到可以认为是绝热的），对于某一分形结构，两端加温度场，这样可以算得孔 隙中的导热量Ｇ一根据这个导热量就可算得单位面积、单位厚度的孔隙折算有效 导热系数：ｋ酊，Ⅳ＂＝Ｑ ｐｏｒｅ／（Ｔ２一ＴＩ）对于某些分形结构，比如图２－２ａ，大小孔隙不连续地散布在基质中，那么这时 候只要分析一下基质的折算有效导热系数就可以了．讨论孔隙的折算有效导热系数 并没有太多意义！ 计算中均采用无因次量处理， 由于这里（Ｌ／Ａ）等于１．０，即对单位厚度的多孔 介质进行讨论！所以有效导热系数与尺度无关。文中所取的基质和孑Ｌ隙导热系数 都是相对值，对计算结果的趋势不会造成影响。东南大学博士学位论文２。３分形结构导热系数计算结果与分析２．３．１与文献数据的比较图２―１１纤维复合物周期结构单个元胞计算网格为了验证本文有限差分计算方法的正确性，本文将这种方法应用于纤维复合物周期结构的导热系数的计算，以便和文献中现有的经过实验验证的结果进 行比较。由上可知，只要计算单个纤维复合物的元胞就可以了，如图２－１１。 纤维基质＠ａｔｎｘ）的导热系数为ｋｍ，中间纤维管（ｆｉｂｅｒ）的的导热系数为ｋ“整 个纤维的有效导热系数为１ｃｅ，Ｙ的物理意义是：当Ｙ等于４５。，那么Ｘ方向纤维排列密度和ｙ方向纤维排列密度是一样的；当Ｙ大于４５ ９，那么Ｘ方向纤维排列较ｙ方向要密一些的；当ｙ小于４５。，那么Ｘ方向纤维排列较Ｙ方向要疏一些的。当纤维管的体积含量为０．５时。Ｙ为４５。时，单个元胞的计算网格取为８０＊８０，Ｙ为３５。时，单个元胞的计算网格取为５６＊８０（５５。则反之）；当纤维管体积含量为０．６时，Ｙ为４５。时，单个元胞的计算网格取为８０＊８０，Ｙ为４０。时，单个元胞的计算网格取为６９＇ｇＯ（ｓｏ。则反之）。固２－１２是与Ｈａｎ，Ｃｏｎｓｅｒ”“的计算数据的比 较。Ｂ＝（ｋｇｋ。＞图２―１２本文计算结果与Ｈａｎ，Ｂｅｈｅｒｍ的分析结果的比较由此可见本文所采用的方法是可行的，上图中虚线是由Ｂｅｈｅｍ［５９］给出的纤维复 合物的导热系数计算公式：ｋ。／ｋ。＝［（卢＋１）＋Ｖ（卢一１）３／［（卢＋１）～ｖ（ｐ―１）】＿；Ｂ＝ｋ．ｆ，七。（２～１０）东南大学博士学位论文在同一纤维体积含量下，当ｖ－＇ｑ）．５时，对Ｙ为３５。和５５。的情况，实际上是同 样的纤维复合物，只不过是不同方向上有效导热系数，即各向异性导热系数。当ｖ＝Ｏ．６ 时，对Ｙ为４０。和５０。的情况，亦是同理。 ２．３．２完全随机二元介质的导热系数“二元混台物质；‰”“ｃ器一ｗｔ‰…图２―１３导热系数随导热介质含量的 变化本文首先讨论一种比较简单的情况：二元完全随机混合介质（ｒａｎｄｏｍ ｍｉｘｔｕｒｅ）的 导热系数，其中，一种物质是绝热材料（这里取ｋ＝Ｏ．０００１），另一种物质是晕热材料 ０ｃ＝１００．０），如图１３，导热材料为白色单元，绝热组分为黑色单元，计算中取８１．８１ 单元，导热单元与绝热单元随机掺混。当导热组分很低的时候，整个介质处于绝热 状态（导热系数很底）；当导热组分含量大到一定比率时，整个介质处于热导通状态， 这一比率就称为导通阈值。整个介质高导热系数单元大都处于联通状态，这时就相 当于一个各向同性的均匀体，热传导的情况与普通欧几里德空间规律相同，导热满 足傅立叶定律。 按本文计算方法所得的整个介质导热系数随高导热系数材料含量的变化，见图 ２―１３．与文［２４］的结果是相吻合的，这也证明本文所采用的计算方法是正确的。上 述完全随机介质与分形介质的区别是前者一般不具有自相似性．随机介质只有在导 通闽值附近，这时导热单元所组成的集团具有统计自相似结构，具有标度不变性， 可以认为是一种分形结构。东南大拳博士学位｛鲁文２．３．３分形介质中各部分的导热：：：ｊ ｖ．。ｖ：‘：譬’‘ ““｛ｖ?【Ｖ罩 矧’ ＝。?：：：ｊ ｖ．１＿：：。Ｉｌｌ 母．ｊ ：Ｖ?霉１：’１?｛旧＋｛ｉｑ 。繇ｏｏｊｏｏ“３｛ｏｊｏ”４Ｉ０ｉ图２～１４分形物质中的导热系数，’（黑圆圈）代表总的导热系数，◆（菱形）代表 基质有效导联热系数，。ｔ匮圉）代表孔隙有效导热系数如上所述，分形介质中的导热包含了两部分：基质（ｍａｔｒｉｘ）中的导热、孔隙 （ｐｏｒｅ）中气体的导热和两部分之间互相导热，总的导热量实际上是三部分之和。 过去的研究一般用固、气相各自所占的体积比或面积比相加的方法计算有效导热系数，冠，产口一ｐ，丘。十ｐｋ。这里已经隐含简单的平行熟传导模型，并没有考虑到孔隙与基质之间的相互导热。本文对这个问题进行了计算分析。如图２一１４，所计 算的。分形结构是由分形元胞２ｃ生成的各级分形体，基质的导热系数是置ｍ＝１００，右 图的孔隙导热系数是５．０，左图孔隙导热系数１．０，可以比较清楚地看到：Ｑ／ｒ０乃，并不等于Ｑ一仃＿ｒ玉，＋“一∞马Ｊ（这里（Ｌ／Ａ）等于１．ｏ，Ｑｋ√∞ｎ）定义为孔隙的折算有效导热系数，‰／仃＇，乃）定义为基质的折算有效导热系数，Ｑ／仍．乃）定义为换热量较多。总有效导热系数），特别是随着分形级数的增大，这种差别愈加明显。而且当孔隙中 气体的导热系数与基质相差比较大时，两者之间的相互换热量比较少；反之，互相 上述计算对预测多孔介质的等效导热系数会有帮助，因为原来在讨论多孔介质 导热特性时，对结构很难提出适当的描述。而采用分形几何描述后，等于把多孔介 质的图像债息“真实”的摆在眼前，函两就可以缀方便讨论其中的导热过程。 这里需要指出的是，基质的折算有效导热系数和基质本身的导热系数是不同的 概念，前者是求出的一个折算导热系数，它与基质的含量和分布有关。东南大学博士学位论文２．３．４不同质量分形维数下的有效导热系数图２―１５由图２―２ａ元胞生成各级分形体有效导热系数计算结果 ?（黑圆圈）代表总的有效导热系数◆ （菱形）代表基质有效导热系数图２―１６由图２－２ｂ元胞生成各级分形体有效导热系数计算结果 ’（黑圆圈）代表总的有效导热系数，◆（菱形）代表基质有效导热系数Ａ１．。田。ｋ卜?ｍ：：二：ｊｖ．Ⅳ｜。一∞｛∞．、‘?ｌ矿１１１：ｌＩ，，７，／么。。＋。．柏。／。ｍ’一Ｉ”ｌ。（’Ｒａｔｊ等ｉ Ｍ。Ⅲｘｌ＾。ｋ图２一１７由Ａ元胞生成各级分形体有效导热系数计算结果◆（菱形）代表总的有效导热系数’．（黑圆圈）代表基质有效导热系数２６东南大学博士学位论文图２一１８由Ｂ元胞生成各级分形体有效导热系数计算结果’（黑圆圈）代表总的导热系数，◆（菱形）代表基质有效导热系数图２一１５，１６，１７，１８分别是总有效导热系数、基质有效导热系数（不同分形维数和 不同元胞结构懒ｉ基质率的变化，结果同时用普通坐标系和对数坐标系表示。从图中 可以清楚看到，对于同一分形元胞下，随着分形阶数增大，基质率减小．总的有效 导热系数呈单调下降：当分形元胞孔隙比率增大时，即基质分形维数的减小，也会 导致分形体的导热系数迅速下降。从对数坐标中可以看出，当基质分形维数很大时， 如图２―１５，１６，西－１．８９０，各阶分形体之间的总有效导热系数在对数坐标系中非常好 地满足线性关系，也就是直角坐标下导熟系数和基质率之间的指数关系。但是当基 质分形维数减小时，如图２一１７，１８，西＝１．７７０，各阶分形体之间的总有效导热系数与 基质率在对数坐标系中不是很好地满足线性关系，即在直角坐标系下，并不是严格满足指数关系。其实，仔细观察图２．１５，１６，１７，１８对数坐标，尽管总有效导热系数与基质率并不是严格满足线性关系（即直角坐标下指数关系），但是也可以用直线来近似拟 合。只要孔隙上下没有联成一片，拟合的关系式如下：ｋｅｒｒ《（ＳＭ№）‘ａｃＰｏ（２一１１）ｆ值是图２－１５１１６，１７，１８右图中总导热系数拟合直线（对数坐标）的斜率，对本文 所例举的分形体，ｆ值范围在１．０－２．７内，这和Ａｒｃｈｉｅ定律是一致的，Ａｒｃｈｉｅ定律。‘“１是针对不同类型的多孔介质实验数据得到的经验公式，而式（２．１１）表示的是在同 一分形元胞下各级分形体的近似拟合关系． 为了说明基质率对分形结构导热特性的影响，下面进一步对基质有效导热系数 与基质率的联系进行了计算。如图２―１９，２０。东南走学幸等士学位论文２．３．５不同质量分形维数下的基质有效导热系数图２―１９分形介质（对应图２－２ａ，图２－２ｂ）基质折算有效导热系数随基质 百分含量的变化左图：直角坐标：右图：对数坐标图２－２０分形介质（对应图２．２ｃ，２－２ｄ）基质折算有效导热系数随基质 百分含量的变化 左圈：直角坐标；右圈；对数坐标为了了解热量在分形介质基质中的传输，只要假设孔隙的导热系数为极小量（程 序中取１０寸１，近似为绝热孔隙，基质导热系数取１００。图２―１９，２０是图２－２ａ，２ｂ，２ｃ，２ｄ分形图形的有效导热系数计算结果，图中自右向左五个点分别代表每种元胞所对应Ｉ，ＩＩ，ＩＩＩ，ｉｖ，ｖ五级分形下计算结果。左图对应直角坐标，右图对应对数坐标（Ｘ代表基 质率对数值，Ｙ代表导热系数对数值），由此可以看至８：在同一元胞下，随着分形级 数的增加，基质率按指数方式递减，基质折算有效导热系数也是不断减小，两者对 数坐标下呈直线关系，即在直角坐标下的指数关系｛对同级分形体，Ｐ值不同的元胞， Ｐ值越大，即基质率越小，基质折算有效导热系数也小；因为Ｐ值代表孔隙率的相 对大小，绝热的孔隙越多，当然有效导热系数就越小。经过大量计算表明：当孔隙 没有上下连成一片，那么同一元胞下，各级分形体基质折算有效导热系数与基质率之间很好地满足指数分布：ｋｅｆｆ．，４俯∞（５二Ⅲ）”“Ｐ“（２－１２）５，值是图２－１９，２０右图中拟合直线（对数坐标）的斜率．ｆ，与基质分形维数有很大关联，对于圜２－２ａ，ｂ这类Ｐ－－－－ｌ／９分形体，番比较大，ｆ，大约在１．９－２．８之间，而东南大学博士学位论文图２―２ｌ各级分形体“高热阻墙”的出现对导热系数的影响对于图２．２ｃ，ｄ这类Ｐ＝２／９分形体，毋相对较小，ｆ，大约在３。２．４。０之间。这是可 以理解的，因为基质分形维数越小，比较Ｐ＝－２／９的元胞和Ｐ＝ｌ／９的元胞，随着分形 体每增加一级，就绝热的孔隙含量增幅而言。前者是后者的两倍。所以前者的ｆ，值要比后者大。那么可否认为基质折算有效导热系数一定与基质率成指数规律呢？未必尽然！ 在采用公式（２―１２）时，它的一个前提是孔隙没有上下联成一片，在各种情况的计算 中可以发现：当Ｐ＝２／９或者更大时，一种比较特别的情况会经常发生，那就是随着 分形级数的增大，孔隙有可能上下连成一片，形成一道“高热阻墙”，这时候整个分 形结构基质折算的有效导热系数一下子变得很小。那么这时候虽然各级分形结构的 基质分布满足式（２．２），但基质折算有效导热系数却不再满足式（２．１２）的指数关系。 从图２－２１．中可以看出：在ｍ级分形处，出现了“高热阻墙”，如图２．２２，很有趣的 是，在对数坐标上，导热系数的分布可以拟合为两条不同斜率的直线！在三级分形处是个拐点！＼由孔隙形成的高热阻 墙（面对热流方向Ｉ图２－２２“高热阻墙”现象卫日ｑＬｕｍｒｌｘ＝Ｌ／＂３鸟日旦一 Ｌｍ曲－ｔＪ３＋Ｉ．，，９图２－２３有效基质迎风宽度示意图东南大学博士学位论文因此，分形多孔介质的有效导熟系数和基质率的关联比较复杂！ 仔细观察各种分形结构图，便可发现：总的有效导热系数随各级分形体基质率 的减小，还与各级分形体有效基质迎风宽度的增加有关。所谓“有效基质迎风宽度”，可以定义为在主热流方向上最小基质宽度，即热流“瓶颈”之处，定义为厶一，如图２―２３。而（厶。。ＩＬ）则定义为有效基质迎风宽度比率。当分形体主热流方向上有效基质迎风宽度大，那么相同温差下，热流量就越大。对于同～元胞下的各阶分形 体，随着分形阶数的增大，基质率减小，有效基质迎风宽度也随之减小，有效导热 系数也会随之下降。当有效基质迎风宽度等于零时，即如图２―２２的情况，那么就会 出现有效导热系数的很快下降，基质有效导热系数与基质率之间的指数关系也就不 成立了！‘大孔隙’是影响有效基质迎风宽度最重要的因素！多孑Ｌ介质中的导热过 程与“大孔隙（Ｍａｃｒｏｐｏｒｅ）＇’的数量和分布有很大关联。大孔隙数量越多，有效导热 系数就相对较小；大孔隙在垂直于导热方向上分布越多，那么该方向上的有效导热系数也越小。川～／．一＾Ｉ暮百；Ｉ￡ｏｕ墨－ ｜Ｊ罩～４”Ｉｇ埘如咖删Ｉｘ嘲万Ⅳ量Ｉｔａｔｌｌ／１“…一Ｉｇ（Ｅｆｆａｃｔ～ｅｍａｔｃｌｘＷｌ帅Ｒａｔｅ）（２）（ｔ）万一一一图２―２４有效导热系数和有效基质迎风宽度比翠的关系示意圆（对数坐标）（１）代表图２―２ｂ各级分形体，匆＝１．８９３ （２）代表图２―２ｄ各级分形体．西＝１．７７１ 图２－２４（１）、（２）分别是图２－２ｂ，２－２ｄ各级分形体有效导热系数和江。。舡）关系示 意图，从中可以看出：分形体有效导热系数与伍。删犯）间的确存在正相关关系，特 别对基质分形维数比较大的情况，比如上图（１），各级分形体有效导热系数与旺。越１间成正比（在对数坐标下），斜率接近１．Ｏ；而当基质分形维数比较小时，比如上图（２），虽然各级分形体有效导热系数与伍。由亿）间也成正比（在对数坐标下），但斜率却比１．０大得多，这表明各级分形体有效导热系数除了和缸。耐∞有关外， 还和其他因素有关。比如孔隙结构的复杂分布！有待进一步深入研究！ 通过上面引入的“有效基质迎风宽度”概念的分析，可以认为；随着分形阶数 的增大，基质率成指数增加，“有效基质迎风宽度”也是成近似指数增长，这样就有 了基质有效导热系数与基质率之间的指数关系。当它为零时，表示孔隙上下连成一东南大学博士学位论文片，形成一道‘‘高热阻墙”，分形体的导热系数就会变得非常小！但“有效基质迎风宽度”毕竟不能代表分形结构中孔隙和基质分布的全部信息，可以把它看作是分形结构导热分析的一个辅助参量！基质分形体孔隙中的导热特性也作了计算，但对于类似图２―２ａ、ｂ的分形体，由 于只存在很少分布于基质中的孔隙，所以单单分析孔隙导热系数并没有太大意义。 ２．３．６分形结构的各向异性导热特性图２－２５不同分形维数不同结构的横向纵向的导热系数之比现在传热界对各向异性传热问题很关心，由于本论文主要讨论随机分布的分形 结构，那么也会存在横向和纵向不对称，因此就会出现各向异性导热问题，对于这 一问题本文也作了计算分析，图２－２５给出了两种不同分形维数下，四种不同结构的 横向与纵向的导热系数之比。图中每一个点实际上是不同方向的导热系数之比，如 果等于１．０，就意味着不同方向的导热系数相等，即是各向同性导热体：如果与１．０偏离很大，就意味着不同方向的导热系数相差较大，即是强烈各向异性导热体。计算发现：对基质分形维数较高的情况（ｖ＝ｔ／９，卉＝１ｔ８９３），这时分形元胞只有一个大孔隙，各级分形体不同方向的导熟系数（岛倪），非常接近１．０：而当Ｐ＝２／９，西＝１．７７１， 分形元胞有两个大孔隙，通过图２―２５（１）两种不同结构算例可以发现，在第Ⅵ阶，第ｖ阶，由于小孔隙的影响，横向纵向的导热系数之比趋近于１．０，也就是说高阶分 形体基本上是各向同性；而对于低阶分形体，却由于不同元胞大孔隙的分布不同， 有的情况（比如图２－２ｃ）表现出各向异性传热现象，也有的情况（比如图２ｂ）传热基 本上是各向同性，区分各向同性和各向异性的辅助标准可以看在主要传热方向上有 效基质迎风宽度是否相同，如果接近，那么传热大致是各向同性：反之是各向异性。 对于分形维数更高的情况，极有可能出现这样一种’隋况，在低阶分形体时，在横向 已经出现了“高热阻墙”，热流很小；而在纵向是热导通，热流强度仍然很大。当 分形体阶数较高时，由于小孔隙的大量分布，传热基本上是各向同性。而一般在工 程中接触到的都是类似Ｖ阶分形体这样的多孔介质，所以对于本文构造的典型随机东南大学博士学位论文分形多孔介质，并不需要太多地考虑各向异性传热问题。 ２．３．７．分形多孔介质导热影响因素分析 由上面的计算可以看到：即使对于同一基质分形维数下}