第1章命题演算；1.1命题概念1.2复合命题和联结词；1．分析下列语句哪些是命题，哪些不是命题；如果是；i）白色加红色可以调和成粉红色．j）明天你去看电；c）不是命题．d）是命题，真值为假．e）是命题，；2．试给出三个语句是真命题，三个语句是假命题，三；（1）1+2=3；（2）1是整数；（3）5是素数；（1）1+1=1；（2）1是虚数；（3）3是偶数；（1）
第1章 命题演算
1.1 命题概念 1.2 复合命题和联结词
1．分析下列语句哪些是命题，哪些不是命题；如果是命题，指出其真值． a）北京是中国的首都．
b）上海是全国人口最多的城市． c）今天天气多么好啊！
d）11+1=100． e）雪是黑色的，当且仅当5&0． f）全体起立． g）不存在最大素数．
h）x+y≥16．
i）白色加红色可以调和成粉红色． j）明天你去看电影吗？
k）火星上有生物．
答：a）是命题，真值为真．
b）是命题，真值为假．
c）不是命题．
d）是命题，真值为假． e）是命题，真值为假．
f）不是命题． g）是命题，真值为真．
h）不是命题． i）是命题，真值为真．
j）不是命题． k）是命题，真值为假．
2．试给出三个语句是真命题，三个语句是假命题，三个不是命题的实例． 答：真命题：
（1）1+2=3；
（2）1是整数； （3）5是素数． 假命题：
（1）1+1=1；
（2）1是虚数； （3）3是偶数．
（1）我好高兴啊！ （2）好热啊！ （3）真棒！ 3．试将下列命题符号化．
a）小李不但聪明而且用功．
b）昨天晚自习时小赵做了二三十道数学题． c）如果天下大雨，他就在体育馆内锻炼． d）除非天下大雨，否则他不在室内运动． e）不经一事，不长一智．
答：a）设P：小李聪明，Q：小李用功，则本命题符号化为P∧Q．
b）设P：昨天晚自习小赵做了超过20题数学题，Q：昨天晚自习小赵做了少于30道数学题，则本命题符号化为P∧Q．
c）设P：天下大雨，Q：他在体育馆内锻炼，则本命题符号化为P→Q．
d）设P：天下大雨，Q：他在室内运动，则本命题符号化为P→Q．
e）设P：经一事，Q：长一智，则本命题符号化为P→Q． 4．将下列复合命题分成若干原子命题． a）今天天气炎热，且有雷阵雨．
b）如果你不去比赛，那么我也不去比赛．
c）我既不看电视，也不看电影，我准备做作业．
d）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行． 答：a）P：今天天气炎热，Q：今天有雷阵雨．
b）P：你不去比赛，Q：我不去比赛．
c）P：我不看电视，Q：我不看电影，R：我做作业．
d）四边形ABCD是平行四边形，Q：四边形ABCD的对边平行．
答：（1）合取式：5大于3且小于7．
（2）析取式：他是这次运动会的跳高冠军或跳水冠军． （3）条件式：如果明天不下雨，我就出去玩．
（4）双条件式：我晚上去看电影，当且仅当天不下雨．
1.3 命题公式与真值表
1．判别下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式． a）(Q?R?S)；
b）(P?(R?S))； c）((?P?Q)?(Q?P))
d）(RS?K)； e）((P?(Q?R))?((P?Q)?(P?R)))． 答：a、b、c、e是合式公式，d不是合式公式． 2．根据定义，说明下列公式如何形成合式公式． a）(A?(A?B))；
b）((?A?B)?A)；
c）((?A?B)?(B?A))．
答：说明？说你妹啊！
3．设P、Q的真值为0；R、S的真值为1；求下列各命题公式的真值． a）P?(Q?R)；
b）(P?R)?(?Q?S)； c）(P?(Q?R))?((P?Q)?(R?S))
d）?(P?(Q?(R??P)))?(R??S)． 答：a、b真值为0，c、d真值为1．
1.4 等价变换与蕴含式
1．判断下列各式，哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，方法不限． a）P?(P?Q?R)；
b）(P??P)??P； c）?(Q?P)?P；
d）(P?Q)?(Q??P)； e）(?P?Q)?(Q??P)；
f）(P??P)?((Q??Q)??P)； g）(P??P)?Q；
h）(P?Q)??(P?Q)．
答：a）P?(P?Q?R)??P?(P?Q?R)?T?Q?R?T，故P?(P?Q?R)是永真式；
b）(P??P)??P?(?P??P)??P?P??P?T，故(P??P)?P是永真式；
c）?(Q?P)?P??(?Q?P)?P?Q??P?P?F，故?(Q?P)?P是永假式；
d）(P?Q)?(Q??P)?(?P?Q)?(?Q??P)??(?P?Q)?(?Q??P) ?(P??Q)??P??Q??P??Q，故(P?Q)?(Q??P)是可满足式；
e）(?P?Q)?(Q??P)?(P?Q)?(?P??Q)??(P?Q)?(?P??Q) ?(?P??Q)??P??Q??P??Q，故(?P?Q)?(Q??P)是可满足式；
f）(P??P)?((Q??Q)??P)?T?(F??P)?T?F?F，故(P??P)?((Q??Q)??P)是永假式；
g）(P??P)?Q?F?Q?(F?Q)?(Q?F)?(T?Q)?(?Q?F)??Q，故(P??P)?Q是可满足式；
h）(P?Q)??(P?Q)?((P?Q)?(Q?P))??(P?Q)?((?P?Q)?(?Q?P))??(P?Q) ??((?P?Q)?(?Q?P))??(P?Q)??(?P?Q)??(?Q?P)??(P?Q)
?(P??Q)?(?P?Q)?(?P??Q)??P??Q，故(P?Q)??(P?Q)是可满足式．
2．证明下列等价式．
a）P?(Q?P)??P?(P??Q)；
易得P?(Q?P)?P?(?Q?P)??P?(?Q?P)?T，?P?(P??Q)??P?(?P??Q)?P??P??Q?T，故P?(Q?P)与?P?(P??Q)等价．
b）?(P?Q)?(P?Q)??(P?Q)；
?(P?Q)??((P?Q)?(Q?P))??((?P?Q)?(P??Q))??(?P?Q)??(P??Q) ?(P??Q)?(?P?Q)??((P?Q)?(?P??Q))?(P?Q)?(?P??Q)?(P?Q)??(P?Q)
可知?(P?Q)与(P?Q)??(P?Q)等价． c）?(P?Q)?P??Q；
易得?(P?Q)??(?P?Q)?P??Q，故?(P?Q)与P??Q等价． d）P?(Q?R)?(P??Q)?R；
易得P?(Q?R)??P?Q?R，(P??Q)?R??(P??Q)?R??P?Q?R，故P?(Q?R)与(P??Q)?R等价． e）(P?R)?(Q?R)?(P?Q)?R；
易得(P?R)?(Q?R)?(?P?R)?(?Q?R)?P?，?Q?(P?R?Q)?R??(P?Q)?R??P??Q?R，故
与(P?Q)?R等价． (P?R)?(Q?R)?
f）(?P?Q)??(P?Q)．
(?P?Q)?(?P?Q)?(Q??P)?(P?Q)?(?P??Q)?(P??Q)?(?P?Q)， ?(P?Q)??((P?Q)?(Q?P))??((?P?Q)?(P??Q)?(P??Q)?(?P?Q)，故
(?P?Q)与?(P?Q)等价．
3．设A、B、C为任意命题公式．
a）已知A?C?B?C，问A?B吗？
易得当A为假、B为真、C为真时A?C?B?C，此时A与B并不等价． b）已知A?C?B?C，问A?B吗？
易得无论A为假、B为真、C为假时A?C?B?C，此时A与B并不等价． c）已知?A??B，问A?B吗？
?A??B即?A与?B真值相同，故A与B真值相同，因此A?B． 4．不构造真值表证明下列蕴含式： a）P?(P?Q)?Q；
(P?(P?Q))?Q?(P?(?P?Q))?Q?(P?Q)?Q??(P?Q)?Q?(?P??Q)?Q?T．
b）P?Q?P?(P?Q)；
(P?Q)?(P?(P?Q))?(?P?Q)?(?P?(P?Q))??(?P?Q)?(?P?(P?Q)) ?(P??Q)??P?(P?Q)?((P??Q)?(P?Q))??P?P??P?T．
c）(P?Q)?Q?P?Q；
((P?Q)?Q)?(P?Q)??(?(?P?Q)?Q)?(P?Q)??((P??Q)?Q)?P?Q
?(?P??Q)?(Q??Q)?P?Q?((?P??Q)?(?P?Q))?((P??Q)?(P?Q))??P?P?T．
d）(P?Q)?(Q?R)?P?R；
((P?Q)?(Q?R))?(P?R)??((?P?Q)?(?Q?R))?(?P?R) ?(?(?P?Q)??(?Q?R))?(?P?R)?(P??Q)?(Q??R)??P?R ?(P??Q)?(?P??Q)?(?P?Q)?(Q??R)?(Q?R)?(?Q?R) ??Q?(?P?Q)?Q?(?Q?R)?T．
e）(?A?(B?C))?(D?E)?((D?E)??A)?B?C．
(?A?(B?C))?(D?E)?((D?E)??A)?(A?B?C)?(D?E)?(?(D?E)??A)?B?C．
5．检验下述论证的有效性：如果我学习，那么我数学不会不及格．如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习．我数学课不及格，因此我热衷于玩扑克．
设P：我学习，Q：我数学及格，R：我热衷于玩扑克，则该问题化为证明(P?Q)?(?R?P)??Q?R，又
，因此“我数学课不及格，因此我热衷于玩扑克”的论证有效． (P?Q)?(?R?P)??R?Q?Q?R??Q?R
1.5 最小联结词组与范式
1．将下面公式化为与之等值并且仅含{?，?，?}中的联结词的公式．
a）?(p?(q?(p?r)))；
?(p?(q?(p?r)))??((?p?(?q?p?r))?(?(?q?p?r)?p)) ?(p??q?r)??p??p?(?q?r)；
b）((p?q)?r)?(p?r)；
((p?q)?r)?(p?r)??((p?q)?r)?p?r??(p?q)??r?p?r?T；
c）(p?q)?r； 需要化么？
d）(p?(q?r))．
(p?(q?r))??p?(?q?r)??p??q?r．
2．将下列公式化为与之等值并且仅含{??}中的联结词的公式． a）p?q??r； 需要化么？
b）(p?q)?r；
(p?q)?r?(?p?q)?(p??q)?r??(?(p??q)??(?p?q)??r)．
c）p?(q?r)．
p?(q?r)?p??(?q??r)．
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《离散数学》符号表
全称量词（任意量词）
断定符（公式在L中可证）
满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足） ┐
命题的“非”运算
命题的“合取”（“与”）运算
命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 →
命题的“条件”运算
命题的“双条件”运算的
命题A与B等价关系
命题A与B的蕴涵关系
公式A的对偶公式
命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ） ↑
命题的“与非” 运算（ “与非门” ） ↓
命题的“或非”运算（ “或非门” ） □
模态词“必然”
模态词“可能”
属于（?不属于）
集合A的特征函数
集合A的幂集
集合A的点数
集合A的笛卡儿积 ???????
关系R的“复合” R?R?R (R?R
集合的并运算 集合的交运算 集合的差运算 集合的对称差运算 同余加 同余乘
限制 集合关于关系R的等价类 集合A上关于R的商集 集合A关于关系R的划分 集合A关于划分?的关系
元素a产生的循环群
元素a形成的R等价类
由相容关系r产生的最大相容类
模n的同余类集合
a与b模k相等
关系R的自反闭包
关系R的对称闭包
关系R的传递闭包
关系R的自反、传递闭包
矩阵H的第i个行向量
矩阵H的第j个列向量
命题演绎的定理（CP 规则）
存在推广规则（存在量词引入规则）
存在量词特指规则（存在量词消去规则） UG
全称推广规则（全称量词引入规则） US
全称特指规则（全称量词消去规则）
集合A的补集
所有X到自身的映射
所有从集合X到集合Y的函数
集合A的势（基数） XYXXK[A]
?1R （Rc）
关系R与关系S的复合
rR?SR?R?????R?????nn
关系R的n次幂 B2???B2,B2?????
布尔代数B2的r次幂
含有2r个元素的布尔代数
函数f的定义域（前域） domf
函数f的值域
f （X???Y）
f是X到Y的函数 f：X?Y
x,y最大公约数
x,y的最小公倍数 e
元素a的逆元
H关于a的左（右）陪集 aH(Ha)
同态映射f的核（或称f的同态核） A，B，C
合式公式 ?n???k??
二项式系数 ??
n???n,n,?,np?12??
多项式系数 ??
1到n的整数集合
[x]k?x(x?1)?(x?k?1)
[x]?x(x?1)?(x?k?1)
点u与点v间的距离 d(u,v)
点集为V，边集为E的图 d(v) G?(V,E)
包含总结汇报、外语学习、IT计算机、旅游景点、出国留学、行业论文、人文社科以及《离散数学》符号表等内容。本文共2页
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