& 等边三角形的性质知识点 & “如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的...”习题详情
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如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．（1）当α=0°时（如图2所示），求x，y的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
α&0°&15°&30°&45°&60°&75°&90°&x&&0.03&0&&&0.29&&y&&0.29&0.13&&&0.03&&（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．（参考数据：√3≈1.732，sin15°=√6-√24≈0.259，sin75°=√6+√24≈0.966）
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2008-江西
分析与解答
习题“如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．（1）当α=0°时（...”的分析与解答如下所示：
（1）本题要依靠辅助线的帮助．过G作MN⊥AB于M交CD于N，GK⊥BC于K．求出MG，BM，求出x，y的值．（2）过G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q，过G作JP∥AB交AD，BC于J，P．证明Rt△GEI≌Rt△GFJ，推出∠AEF=∠AFE=45°．得出当α=45°时，点G在对角线AC上．已知∠AEG=105°，∠GEI=75°利用三角函数得出GI，GQ的值后得出x与y的关系．（3）（4）是根据题意利用三角函数把α值代入可求解．
解：（1）过G作MN⊥AB于M交CD于N，GK⊥BC于K．∵∠ABG=60°，BG=1，∴MG=√32，BM=12．（2分）∴x=1-√32，y=12．（3分）（2）当α=45°时，点G在对角线AC上，其理由是：（4分）过G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q，过G作JP∥AB交AD，BC于J，P．∵AC平分∠BCD，∴GP=GQ，∴GI=GJ．∵GE=GF，∴Rt△GEI≌Rt△GFJ，∴∠GEI=∠GFJ．∵∠GEF=∠GFE=60°，∴∠AEF=∠AFE．∵∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=45度．即α=45°时，点G落在对角线AC上．（6分）（以下给出两种求x，y的解法）方法一：∵∠AEG=45°+60°=105°，∴∠GEI=75度．在Rt△GEI中，GI=GEosin75°=√6+√24，∴GQ=IQ-GI=1-√6+√24．（7分）∴x=y=1-√6+√24．（8分）方法二：当点G在对角线AC上时，有12+√32+√2x=√2，（7分）解得x=1-√6+√24∴x=y=1-√6+√24．（8分）（3）
&α&0°&&15°&&30°&&45°&&60°&&75°&90°&&y&0.13&0.03&0&0.03&0.13&0.29&0.50&x&0.50&0.29&0.13&0.03&0&0.03&0.13&（10分）（4）由点G所得到的大致图形如图所示：（12分）说明：1、第（2）问回答正确的得（1分），证明正确的得（2分），求出x，y的值各得（1分）；2、第（3）问表格数据，每填对其中4空得（1分）；3、第（4）问图形画得大致正确的得（2分），只画出图形一部分的得（1分）．
点评：这是一道较好的压轴题，起点低，思路宽，一改那种“谈题色变”的面孔，而且又有较好的区分度．本题从表面看来是一个针对几何的相关知识进行考查的问题，但从试题的更深层次来理解，可以看到：在所有动态几何问题中，除去由于说理的需要而必须进行相关的合情推理论证及演绎推理外，更多的情况下还会遇到其运动变化过程中相关特殊位置的研究，而对这些特殊位置的研究常常是和几何问题的量化描述密不可分的，而其量化的描述一般会用到函数、方程或不等式．另外，还强化了对数形结合及用代数方法解决几何问题能力的考查．
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如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．（1）当α...
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经过分析，习题“如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．（1）当α=0°时（...”主要考察你对“等边三角形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
与“如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．（1）当α=0°时（...”相似的题目：
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2给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
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该知识点易错题
1给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
2如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（　　）
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{[α][0°][15°][30°][45°][60°][75°][90°][x][][0.03][0][][][0.29][][y][][0.29][0.13][][][0.03][]}（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．（参考数据：根号3≈1.732，sin15°=根号6-根号2/4≈0.259，sin75°=根号6+根号2/4≈0.966）”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．（1）当α=0°时（如图2所示），求x，y的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
{[α][0°][15°][30°][45°][60°][75°][90°][x][][0.03][0][][][0.29][][y][][0.29][0.13][][][0.03][]}（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．（参考数据：根号3≈1.732，sin15°=根号6-根号2/4≈0.259，sin75°=根号6+根号2/4≈0.966）”相似的习题。>> data.txt
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