处的时间除以2所得的数字时针对准太阳阳，为什么十二点钟
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时间：2017-04-19 20:46
&p&画图是理工科工作者的必备技能，以前总结过画图常用软件：&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbef156d5eaab194dedd1%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&你一定要知道的十款主流画图软件，淡定的工作从画出高品格图片开始&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
&/p&&p&也许你已能用它们熟练地画出美美的tif，jpg，bmp或者emf等格式的图片。&/p&&p&确实，以此用于发论文或写结题报告都应该已经够用了。 &/p&&p&但是别忘了：无论毕业以后是继续学术、还是去企业上班，都可能会遇到各种需要做报告的情况。&/p&&p&比如毕业答辩、比如部门总结汇报、比如招标投标竞争…… &/p&&p&这时候，如果能在做报告的PPT里面插入这样一副动图：（各参数随时间的演化，以下图片取自google搜索，侵删）&/p&&img src=&/v2-31f07d88aee0b4a533c42f_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&384& data-thumbnail=&/v2-31f07d88aee0b4a533c42f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-31f07d88aee0b4a533c42f_r.gif&&&br&&p& 或者这样的动图：（随时间的增加，两根曲线或多根曲线的交点变化情况）&/p&&img src=&/v2-31e872fe7ae_b.jpg& data-rawwidth=&1450& data-rawheight=&900& data-thumbnail=&/v2-31e872fe7ae_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1450& data-original=&/v2-31e872fe7ae_r.gif&&&p&或者这样：&img src=&/v2-3e3ef9eb4b50b7eb7ffb191_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&320& data-thumbnail=&/v2-3e3ef9eb4b50b7eb7ffb191_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-3e3ef9eb4b50b7eb7ffb191_r.gif&&&/p&&p&是不是瞬间感觉自己的报告高大上起来？ &br&&/p&&p&没错，看到你秀出来会动的曲线图之后，慧眼识才的领导眼前一亮、直接嘴动点赞、称许满满；中意了很久的男神女神，投来了崇拜和火辣的眼神；远处曾经嚣张的竞争对手一脸的失落，自叹技不如人在墙角默默流泪。&/p&&img src=&/v2-52de2beddfce5b121e646d677cc1927e_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-52de2beddfce5b121e646d677cc1927e_r.jpg&&&p&要的就是这种碾压的效果。（ps, 以上情景纯属歪歪，若无雷同，概不负责…）&br&&/p&&p&效果好是好，可问题是：&/p&&p&(1) 用什么方法能画出这样的图？&br&(2) 画这种图会不会很麻烦？&/p&&p&麻不麻烦取决于你用什么样的工具。 &/p&&p&比如，如果打算采用Matlab，虽然用它自带的诸如movie2avi等函数也可以实现，但是效果并不见得很好。&/p&&p&再比如，如果打算用Flash做动画，那么就是高射炮打蚊子。 &/p&&p&这里，隆重推荐今天的主角——gnuplot。 &/p&&p&&strong&1. gnuplot&/strong&&strong&的基本概念&/strong&&/p&&p&把gnuplot看成gunplot的童鞋，你阅读速度有点略快啊。也许你最近有点焦虑、烦闷？别着急，一切都会好起来的。 &/p&&p&gnuplot画出来的静态图长这样：&/p&&img src=&/v2-fffcdd5fa33ba5236a5acee_b.png& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&159& class=&content_image& width=&300&&&p&gnuplot是一个免费软件，可以在window，linux，mac等系统下使用。 &/p&&p&它使用交互式介面，可以绘制数学函数2D或者3D图形，也可以从纯文字档读入数据、绘制统计图表等等，还包含数学计算、拟合等功能。 &/p&&p&对于用惯了鼠标的童鞋而已，这里可能有个坏消息：gnuplot是基于命令行的交互式绘图软件。 &/p&&p&打开一个终端，输入gnuplot，随着程序启动，会出现下面的信息：（如果是在Windows 电脑上，双击gnuplot.exe 后会自动打开一个命令行窗口） &/p&&img src=&/v2-dd89cfb65fb7cb19181c3d_b.png& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&/v2-dd89cfb65fb7cb19181c3d_r.png&&&p&不过不用太慌张，零基础的童鞋对照教程，大概只用不到半天的时间就能学会。 &/p&&p&&strong&2. &/strong&&strong&简单的例子&/strong&&/p&&p&采用gnuplot画动态曲线图的原理是：多次画图并把所有图片压缩成一个gif动画。具体可使用reread命令或者do for命令。 &/p&&p&下面是一些动图的例子和代码，其它简单的曲线可以此类推：&/p&&p&(1) 随时间衰减的分布曲线图 &/p&&img src=&/v2-fbb9a9e19cf9caa52e1d54f9b05a6dd8_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&360& data-thumbnail=&/v2-fbb9a9e19cf9caa52e1d54f9b05a6dd8_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-fbb9a9e19cf9caa52e1d54f9b05a6dd8_r.gif&&&p&set term gif animateoptimize delay 2 size 480,360&/p&&p&set output 'movie.gif' &/p&&p&do for [i = 0:400 ] {&/p&&p&
t=i*0.02&/p&&p&
plot sqrt(1/(1+t*t))*exp(-(x-t)**2/(1+t*t)) lw 2&/p&&p&
} &/p&&p&set out&/p&&p&set terminal wxt enhanced&/p&&br&&p&(2) 等高线及其二维投影随时间变化图&/p&&img src=&/v2-ca62f2ca5ce9cfc36a6dc4f_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&480& data-thumbnail=&/v2-ca62f2ca5ce9cfc36a6dc4f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-ca62f2ca5ce9cfc36a6dc4f_r.gif&&&p&&em&#set term gif animate optimize delay 10 size 480,480&/em&&/p&&p&&em&#set output 'movie.gif'&/em&&/p&&p&set pm3d at b&/p&&p&set xr[-5:10]&/p&&p&set yr[-5:10]&/p&&p&set zr[0:1]&/p&&p&set cbr[0:1]&/p&&p&set isosamples 50&/p&&p&dofor [i = 0:50 ] {&/p&&p&
t=i*0.05&/p&&p&
splot sqrt(1/(1+t*t))*exp(-(x-t)**2/(1+t*t))*sqrt(1/(1+t*t))*exp(-(y-2*t)**2/(1+t*t))&/p&&p&
}&/p&&p&&em&#set out&/em&&/p&&p&&em&#set terminal wxt enhanced&/em&&/p&&p&(3) 小行星轨迹图&br&&/p&&img src=&/v2-ed05f1c45b94c34c9f8812a_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& data-thumbnail=&/v2-ed05f1c45b94c34c9f8812a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-ed05f1c45b94c34c9f8812a_r.gif&&&br&&p&&em&#set term gif animate optimizedelay 5 size 960,720&/em&&/p&&p&&em&#set output 'movie.gif'&/em&&/p&&p&set param&/p&&p&set size ratio -1&/p&&p&set samples 10000&/p&&p&e = 1&/p&&p&omega=0.1&/p&&p&set tr[1:600]&/p&&p&do for [i = 1:200 ] {
plot e*cos(omega*t)/sqrt(t), sin(omega*t)/sqrt(t)&/p&&p&
set label 1 pointpt 7 ps 3
at e*cos(omega*i*3)/sqrt(i*3),sin(omega*i*3)/sqrt(i*3)&/p&&p&
}&/p&&p&&em&#set out&/em&&/p&&p&&em&#set terminal wxt enhanced&/em&&/p&&br&&p&(4) 两颗行星互相缠绕，最后坠毁在一起 &br&&/p&&img src=&/v2-cc487e25d7e4f0d3c00c4d1d5b6500ad_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&600& data-thumbnail=&/v2-cc487e25d7e4f0d3c00c4d1d5b6500ad_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-cc487e25d7e4f0d3c00c4d1d5b6500ad_r.gif&&&p&set param&/p&&p&set samples 10000&/p&&p&set tr[0.01:1]&/p&&p&imax=100&/p&&p&tmax=20e0*pi&/p&&p&ht=tmax/real(imax)&/p&&p&&em&#set term gif animate optimizedelay 6 size 600,600&/em&&/p&&p&&em&#set output 'orbit.gif'&/em&&/p&&p&do for [i=1:imax] {&/p&&p&
th(t,i)=t*real(i)*ht&/p&&p&
plot 10e0*sin(th(t,i))/th(t,i),10e0*cos(th(t,i))/th(t,i) , \&/p&&p&
10e0*sin(th(t,i)-pi)/th(t,i),10e0*cos(th(t,i)-pi)/th(t,i) lt 1 lc 2&/p&&p&}&/p&&p&&em&#set out&/em&&/p&&p&&em&#set terminal wxt enhanced&/em&&/p&&p&&strong&3. &/strong&&strong&复杂的例子&/strong&&/p&&p&除了上面正经的动态曲线图，gnuplot还可以用来干一些不正经的事情。比如：&/p&&br&&p&(1) 巫婆带着乌鸦海上飞&/p&&p&&img src=&/v2-27fb3f9d34ebaac16992a4fbd7b6ac5b_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&360& data-thumbnail=&/v2-27fb3f9d34ebaac16992a4fbd7b6ac5b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&/v2-27fb3f9d34ebaac16992a4fbd7b6ac5b_r.gif&& (2) 超级马里奥从洞里钻出来&img src=&/v2-80cf78a7c8c1c2c3796e3_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&800& data-thumbnail=&/v2-80cf78a7c8c1c2c3796e3_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-80cf78a7c8c1c2c3796e3_r.gif&&&br&&/p&&br&&p&(3) 电磁炮&br&&/p&&img src=&/v2-92c0df475f9abb3f5aa872d_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& data-thumbnail=&/v2-92c0df475f9abb3f5aa872d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-92c0df475f9abb3f5aa872d_r.gif&&&br&&p&(4) 时钟&/p&&img src=&/v2-af6afbc6b34511f5abed29_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&122& data-thumbnail=&/v2-af6afbc6b34511f5abed29_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&(5) 骑摩托车上下坡&/p&&img src=&/v2-8ea05c46bc9f839f981ad16e307f33e5_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&217& data-thumbnail=&/v2-8ea05c46bc9f839f981ad16e307f33e5_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&(6) 跳舞的星星&br&&/p&&img src=&/v2-eac1ee9a7_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& data-thumbnail=&/v2-eac1ee9a7_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&p&看到这里，是不是觉得这小软件还有那么点意思？ 快去学习吧。画动态曲线图的技术，你值得拥有。&/p&&p&============================&/p&&p&整齐的排版请见这里：&a href=&/?target=https%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dfd7fbb7c0e5a3b%26chksm%3Deaefdd80cb6bedeac3%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何画出会动的曲线图？作图技术进阶之必备技能&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&另，欢迎关注我的微信公号“科研加油站”(keyanbc)，不定时po一些科研干货、论文写作中的经验教训、作图技巧、技术宅和好玩的东西。在对话框界面回复gnuplot可获取上面提及教程、软件、以及例子。&/p&&p&另2，还有一些可能有用的文章：&/p&&p&&strong&1&/strong&论文写作&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3De7c1eb61f04c0c1fc5346%26chksm%3Dea3977cbdd4efeddbab231c3d22b38c46e7a823b0efe4d3b04dabb1c6cscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&论文查重：防止被查重系统误伤的几个注意事项&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D5bf948fc7e0a107d8b1aac%26chksm%3Deaefed38d334fce1dd75b63e8aefee7aee05b4e7e71ba7%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&研究生第一篇学术论文常犯问题总结&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbdbfb25fd1dcf4fbe7e0efea%26chksm%3Dea39778cdd4efe9adfca666b836ae2fc6aaf7b6f350b0adc01%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&写论文和报告容易犯的低级错误&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dab484dfed388a10ce3a26%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&论文写作应该注意的八个细节&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D04b8b9aa2d83f6a6c4c5b%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&SCI投稿全过程信件模板&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D58a96d63c2d7caf4bdc81f7b4bd5001e%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& 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noreferrer&&媲美Matlab的神器——Python语言的十本入门经典&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D1befbscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Matlab数学建模算法全收录，数学建模比赛必备&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D6aac73c5aa010d0af3d95d%26chksm%3Deaefd87ca97b4cfb644e3b6b42f451c16%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Matlab中提高m文件执行效率的小技巧&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&strong&5&/strong&技术宅&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Db00b54d2efe699ef8c42f9%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&买西瓜的高级玩法，用好你的智能手机&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a 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画图是理工科工作者的必备技能，以前总结过画图常用软件： 也许你已能用它们熟练地画出美美的tif，jpg，bmp或者emf等格式的图片。确实，以此用于发论文或写结题报告都应该已经够用了。 但是…
&img src=&/v2-032dd971f68e7a3e133eaca4902a70ab_b.jpg& data-rawwidth=&589& data-rawheight=&288& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&589& data-original=&/v2-032dd971f68e7a3e133eaca4902a70ab_r.jpg&&电化学当中一个很大的分支是研究电子导体（电极）与离子导体（电解质溶液/固体电解质）界面的科学，我们称其为电极/溶液界面。而要想清晰的认识这个界面，我们必须要借助物理模型的帮助才行。&p&人类最伟大的思想就是“建模”思想。由于自然界是很复杂的，有众多的因素在起着影响，我们如何将其中最重要最本质的过程抓出来，这是学科学最美妙的地方。世间万物的低速宏观运动规律都满足牛顿力学，这是一个多漂亮的模型。当然在电催化/电化学当中，也有许多这样类似的模型，我们借助它们可以更好的认识在微观/宏观尺度上电化学体系究竟发生了什么变化。&/p&&p&要了解电化学，电流和电压是两个逃不过的物理量。电化学当中的所有测量也都是针对这两个来进行的，因此下面我们讲讲什么是电流？什么又是电压？&/p&&p&电流，简单说来就是带电粒子的运动，我们假设带电粒子的数密度（在单位体积内的数量）为&img src=&/equation?tex=n_i& alt=&n_i& eeimg=&1&&，其所带电荷量为&img src=&/equation?tex=z_i& alt=&z_i& eeimg=&1&&，运动的速度为&img src=&/equation?tex=v_i& alt=&v_i& eeimg=&1&&，因此由这个粒子运动所引起的电流密度（每平方米上的电流）为：&/p&&img src=&/equation?tex=I_i%3Dz_in_iv_i& alt=&I_i=z_in_iv_i& eeimg=&1&&&p&在电解质溶液当中，由于溶液必须保持电中性，因此阴阳离子的总电荷数必须相等（可能有不同带电荷量的粒子）。这时，在电解质溶液中通过的电流其实是阴阳离子运动的加和，那么总电流的表达式就可以写成（其中a表示anion阴离子，c表示cation阳离子）：&/p&&img src=&/equation?tex=I_%7Btot%7D%3D%5Csum_%7Ba%7D%7Bz_an_av_a%7D%2B%5Csum_%7Bc%7D%7Bz_cn_cv_c%7D+& alt=&I_{tot}=\sum_{a}{z_an_av_a}+\sum_{c}{z_cn_cv_c} & eeimg=&1&&&br&&p&对于这个式子我们要说明的一点是：由于阴阳离子运动方向相反，因此&img src=&/equation?tex=v_a%2Cv_c& alt=&v_a,v_c& eeimg=&1&&只是速率大小，并非是速度。&/p&&p&那么紧接着就可以引入一个非常有趣的概念：迁移数，这是针对每个离子来说的，简而言之就是该离子运动所引起的电流占总电流的比例，我们用&img src=&/equation?tex=t_i& alt=&t_i& eeimg=&1&&来表示：&/p&&img src=&/equation?tex=t_i%3D%5Cfrac%7Bz_in_iv_i%7D%7BI_%7Btot%7D%7D& alt=&t_i=\frac{z_in_iv_i}{I_{tot}}& eeimg=&1&&&br&&p&在金属中由于金属的导电性非常好，因此体系的总电流主要是由电解质溶液以及电极/溶液界面上的电催化反应所产生的电流决定。&/p&&p&下面我们要将电压的概念。这就牵扯到了电势。什么是电势？我们假设处在无穷远点的孤立带电粒子的电势为0，那么将它逐步移到一个电荷周围时，由于两者之间有库伦相互作用，因此库仑力会对试探电荷（我们原先放在无穷远出的电荷）做功。做功就必然导致能量变化，因此这时试探电荷就有了一定能量（相比于无穷远处为0时），那么这时所拥有的能量除以其本身电荷量，我们就能得到某点的电势。当我们知道两点的电势时，我们就能定义这两点的电势差。&/p&&p&在电化学当中电势的概念更加复杂，由于存在电极/溶液界面，因此在界面上会形成“双电层”，这是电化学当中最重要的一个概念，我们在下面会逐步介绍。当然双电层的形成导致界面电势会发生“跳跃”，由于界面宽度很窄（大约10埃左右），而电势降又较大（大约1V左右），因此电场强度可达到&img src=&/equation?tex=10%5E9V%2Fm& alt=&10^9V/m& eeimg=&1&&，这么强的电场是影响电极/溶液界面最重要的因素。回到电化学中的电势，我们会定义三种电势，分别是：（1）外电势（Volta电势，符号为&img src=&/equation?tex=%5Cpsi& alt=&\psi& eeimg=&1&&）（2）界面电势（符号为&img src=&/equation?tex=%5Cchi+& alt=&\chi & eeimg=&1&&）（3）内电势（Galvani电势，符号为&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&）。还有一个电化学中最重要的物理量——电化学势（符号为&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu%7D++& alt=&\tilde{\mu}
& eeimg=&1&&）。&/p&&p&下面一幅图完美的说明了这四个量之间的关系：&/p&&img src=&/v2-e15e9a55_b.png& data-rawwidth=&449& data-rawheight=&385& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&449& data-original=&/v2-e15e9a55_r.png&&&p&&b&&i&图 1. 电化学中各个电势以及物理量间的关系&/i&&/b&&/p&&p&下面给出上面四个物理量的解释（注意！不是定义！我个人不太喜欢定义，因为很死板，了解物理概念中最核心的本质之后运用自己的语言描述才是最适合自己的）：&/p&&ul&&li&外电势（Volta电势&img src=&/equation?tex=%5Cpsi+& alt=&\psi & eeimg=&1&&）：将试探电荷从无穷远处移到距离表面一定距离（这个距离既要满足足够贴近表面又要防止与表面的“感应电荷”进行相互作用）时所感受到的电势。这个电势可以用实验进行测量。它同时又是我们理解功函数的基准点。&/li&&li&内电势（Galvani电势&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&）：将试探电荷从无穷远处移到电极内部（但不与电极所带的电子、原子核进行相互作用）时所感受到的电势。&/li&&li&界面电势&img src=&/equation?tex=%5Cchi+& alt=&\chi & eeimg=&1&&：内电势减去外电势就是界面电势，它也可以认为是电子从电极/溶液界面内部跨过电极表面进到内部时所要克服的能量。&/li&&li&电子的化学势&img src=&/equation?tex=%5Cmu+_e& alt=&\mu _e& eeimg=&1&&：由于金属是良导体，因此可以认为金属内部是等势体，因此可以将电势作用忽略。这时电子从金属内部达到费米能级所需要的能量就成为电子的化学势。我们可以看看化学势的定义：&img src=&/equation?tex=%5Cmu_i%3D%28%5Cpartial+G%2F%5Cpartial+n_i%29_%7Bp%2CT%2Cn_%7Bj%5Cne+i%7D%7D& alt=&\mu_i=(\partial G/\partial n_i)_{p,T,n_{j\ne i}}& eeimg=&1&&。因此化学势代表在体系中加入单位量的某种物质可以引起体系Gibbs自由能的变化，这个其中必须牵扯到新引入粒子与原先粒子之间的相互作用。由于金属中新引入的电子必须占据费米能级，因此电子能量就为费米能量，从而化学势就是费米能级与内电势之差。&/li&&br&&li&电子的电化学势&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu%7D_e+& alt=&\tilde{\mu}_e & eeimg=&1&&：将电子从无穷远处引入金属费米能级所引起的总势能变化，由图1我们可以看到，&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu%7D_e%3D%5Cmu_e%2B%28-e%29%5Cvarphi& alt=&\tilde{\mu}_e=\mu_e+(-e)\varphi& eeimg=&1&&&/li&&li&其他物质的电化学势&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu_i%7D%3D%5Cmu_i%2Bz_iF%5Cvarphi& alt=&\tilde{\mu_i}=\mu_i+z_iF\varphi& eeimg=&1&&。这里的&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi& alt=&\varphi& eeimg=&1&&代表了粒子在其所在位置所受到的电势。&/li&&/ul&&p&在物理化学中，判断两相平衡的常用方法是化学势相等。而在电化学体系中，由于引入了电的作用，因此判断两相平衡的常用方法是电化学势相等。因此我们知道：带电粒子在某处的浓度与此处的电势有密切关系。&/p&&p&从图1中我们还可以得到“功函数”的定义：将一个电子从费米能级打到电极外部（类“真空”处，也就是外电势所在的参考点）所需要的能量，它可以认为是电子的化学势加上界面电势（图中的&img src=&/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&）&/p&&p&以上就是电催化中电流和电压（电势）的定义。下面让我们着重看一下双电层。&/p&&p&双电层的形成原因到目前还没有一个准确的理解，众说纷纭。Schmickler教授在1996年有一篇介绍双电层的综述（Chemical Reviews, ), )，对细节感兴趣的可以参考这篇文献。在这篇文章中我想讲讲就从最简单的方式来理解双电层以及其中比较重要的性质（例如零点荷电位，PZC）与界面电容。&/p&&p&由于在双电层区域会有电势变化，因此电荷在双电层区域的分布不是均匀的，会产生电荷分离。电荷分离后就会形成电容（想想电容的模型：两个金属板带相反电荷，中间是电介质）。下面要探讨的问题是：为什么会有电荷分离现象？这就不得不提到金属的物理模型了。&/p&&p&描述金属中电子最简单的模型就是自由电子气模型。由于电子是费米子，因此运用量子统计的知识，我们知道电子满足Fermi-Dirac（费米-狄拉克）分布：&/p&&img src=&/equation?tex=f%28%5Cepsilon%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bexp%28%5Cfrac%7B%28%5Cepsilon-E_f%29%7D%7Bk_BT%7D%29%7D& alt=&f(\epsilon)=\frac{1}{1+exp(\frac{(\epsilon-E_f)}{k_BT})}& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=f%28%5Cepsilon%29& alt=&f(\epsilon)& eeimg=&1&&为电子的“布局数”，而&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&则为电子所拥有的能量。&/p&&p&Fermi-Dirac分布的示意图如下：&/p&&img src=&/v2-89ba1d358bf0b0bcbaec4c76e3d14066_b.png& data-rawwidth=&418& data-rawheight=&241& class=&content_image& width=&418&&&p&&b&&i&图 2. 来自Google（Fermi-Dirac Distribution）&/i&&/b&&br&因此我们可以得到这样的一个直观认识：在&img src=&/equation?tex=T%3E0& alt=&T&0& eeimg=&1&&时，会有部分电子溢出到外面去，这时表面会带少许的正电荷。而这些正电荷会对界面做两件事情：（1）引起水分子（偶极分子）的取向变化（2）吸引阴离子靠近界面。如果我们不考虑特性吸附（也就是离子与表面有化学作用）时，可以认为表面的正电荷与阴离子（负电荷）之间形成了一种“电荷分离”的结构，而这种结构，则是双电层电容属性的来源。当然这只是一个非常简单的模型，更复杂（却更符合实际）的双电层模型请参考具体文献。&/p&&p&下面我们讨论一下如果改变电极电势，会改变什么？我们都知道，如果将电极电势提高（变得更正），则电子的能量会下降（由于电子带负电：&img src=&/equation?tex=%5CDelta+E%3D%28-e_0%29%5CDelta+%5Cvarphi& alt=&\Delta E=(-e_0)\Delta \varphi& eeimg=&1&&），因此这时Fermi能级会下降，原来有的电子会自由的跑到溶液中形成水合电子，而表面由于正电荷（原子核）数量没变，而电子数量减少，因此表面呈现正电性。反之如果我们降低（变得更负）电极电势，则电子的能量会提到，因此费米能级会提高，有更多的电子会在金属当中。因此金属表面呈现负电荷。至于为什么电荷都要存储在表面？那是由于金属是良导体，良导体达到静电平衡时电荷都处于外表面。如果我们能通过改变电势改变金属表面带电荷量（负电到正电），那么势必在某一个电势处界面的电荷量为0，这时所对应的电荷我们称为零电荷电位（Potential of Zero Charge, PZC)。更确切的说应该是零自由电荷电位（Potential of Zero Free Charge, PZFC）。当然也有另一种零电荷电位称为：零总电荷电位（Potential of Zero Total Charge, PZTC）。它们具体的区别以及测量方法请参考期刊。&/p&&p&由于PZC(PZFC)的概念中牵扯到电子的费米能级，而我们知道功函数中包含电子的化学势（也牵扯费米能级），因此我们可以很直观的想到功函数和PZC之间应该有一定的关系，从实验/理论计算也可以得到这个结果：&/p&&p&&img src=&/v2-d22a593deb_b.png& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&467& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&/v2-d22a593deb_r.png&&&b&&i&图 3. 不同金属及其Miller晶面的零电荷电位（PZC）与功函数的相关关系。（来自Schmickler教材《Interfacial Electrochemistry》）&/i&&/b&&/p&&p&零电荷电位会随着金属不同以及电解质溶液的不同而改变。2017年最新的一篇文章中，Koper和Feliu课题组就运用PZC的概念说明为什么氢析出反应（HER）在酸性、碱性中活性不同。它们认为是由于碱性时Pt(111)的PZC已经移动到O物种区域了，因此在HER发生电位下表面带负电，导致水层强烈取向极化，因此水层的转动收到限制，从而降低了HER的活性。&/p&&p&双电层由于产生了界面电荷分离，因此对其有电容属性，电容的计算可以通过平衡时界面电荷分布与该点电势的微分得到：&img src=&/equation?tex=C_%7Bdl%7D%3Ddq%2Fd%5Cvarphi& alt=&C_{dl}=dq/d\varphi& eeimg=&1&&。最后得到的电容是电位&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi& alt=&\varphi& eeimg=&1&&的函数。经过计算/实验测量可以得到电容在某个电势下会出现最小值，这时的电位我们称为——零电荷电位。为啥是零电荷呢？我们可以想想：如果出现电荷分离，分离的电荷量越大则电容越大。当分离的电荷量减小到0时，电容就会变小。但有可能不是0，那么多于部分的电容从哪里来呢？有两种可能性：（1）来自于溶液分子的极化（2）来自于界面“紧密层”(Stern模型）。具体电容的理论推导以后会逐步给大家介绍。可以推荐看看Gouy-Chapman模型以及GCS（加上了Stern的修正的模型）。&/p&&p&&img src=&/v2-140fef8ba5efaf39b63feeb7cc4458e1_b.png& data-rawwidth=&674& data-rawheight=&490& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&674& data-original=&/v2-140fef8ba5efaf39b63feeb7cc4458e1_r.png&&&b&&i&图 4. 通过Gouy-Chapman模型计算出双电层电容与电极电势之间的关系（来自Schmickler教材《Interfacial Electrochemistry》）&/i&&/b&&/p&&p&总结：&/p&&p&本文介绍一下几个概念：&/p&&p&（1）电流是形成以及微观表达式；迁移数的概念&/p&&p&（2）外电势、界面电势、内电势、电化学势、化学势的概念&/p&&p&（3）电极/溶液界面双电层的形成、零电荷电位（PZC，PZTC，PZFC）&/p&&p&以后还会不断介绍更多电催化/电化学中有趣的物理模型。这些物理模型是我们理解电化学过程的“工具”。&/p&&p&“工欲善其事，必先利其器”。&/p&
电化学当中一个很大的分支是研究电子导体（电极）与离子导体（电解质溶液/固体电解质）界面的科学，我们称其为电极/溶液界面。而要想清晰的认识这个界面，我们必须要借助物理模型的帮助才行。人类最伟大的思想就是“建模”思想。由于自然界是很复杂的，有众…
&img src=&/v2-bada1dc2cfd7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-bada1dc2cfd7_r.jpg&&&p&题图是Berry Face，祝老爷子早日拿诺贝尔奖。&/p&因为后面内容很多都离不开Berry Phase，先从基础写起。主要参考Di Xiao &i&et al.&/i& Berry Phase Effects on Electronic Properties. &i&Rev. Mod. Phys. &/i&&b&82&/b&, )以及B. Andrei Bernevig and Taylor L. Hughes, &i&Topologcial Insulator and Topolgocial Superconductor, &/i&Chapter 2，当然二者都来自于Berry原始的文章Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes. &i&Prog. R. Soc. Lond. A &/i&&b&392&/b&, 45-57 (1984)。。。文章里写得都太清楚了所以我这里就抄一遍。。。&p&首先考虑一个物理系统，其哈密顿量由一族参数决定，表示为&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D+%3D+%28%7BR_1%7D%2C%7BR_2%7D%2C...%29& alt=&\bm{R} = ({R_1},{R_2},...)& eeimg=&1&&，即&/p&&img src=&/equation?tex=H+%3D+H%28%5Cbm%7BR%7D%29%2C%5Cquad+%5Cbm%7BR%7D+%3D+%5Cbm%7BR%7D%28t%29& alt=&H = H(\bm{R}),\quad \bm{R} = \bm{R}(t)& eeimg=&1&&&br&&p&我们考虑这一物理系统的缓慢（绝热）演化，参数&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%28t%29& alt=&\bm{R}(t)& eeimg=&1&&在参数空间中沿路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&缓慢移动。我们可以引入每一时刻的正交归一化的哈密顿量&img src=&/equation?tex=H%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&H(\bm{R})& eeimg=&1&&的本征态&/p&&img src=&/equation?tex=H%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle+%3D%7B%5Cvarepsilon+_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&H(\bm{R})| n(\bm{R})\rangle ={\varepsilon _n}(\bm{R})|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&不过上式没有唯一地给定所有的基函数&img src=&/equation?tex=%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&，还有一个任意的相位因子未定，这个相位应该是&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D& alt=&\bm{R}& eeimg=&1&&的函数。我们这里要求这个相位因子在参数空间中应该是光滑而且单值的。&/p&&p&根据量子绝热定理，如果一个系统最初处于其中一个本征态&img src=&/equation?tex=%7Cn%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%280%29%29%5Crangle& alt=&|n({\bm{R}}(0))\rangle& eeimg=&1&&上，在演化过程中的每一时刻它也是哈密顿量&img src=&/equation?tex=H%28%5Cbm%7BR%7D%28t%29%29& alt=&H(\bm{R}(t))& eeimg=&1&&的本征态。此时唯一可以自由规定的就是相位，我们将&img src=&/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&时刻的态写成&/p&&img src=&/equation?tex=%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%28t%29%5Crangle+%3D+%7Be%5E%7Bi%7B%5Cgamma+_n%7D%28t%29%7D%7D%7Be%5E%7B+-+%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar+%7D%5Cint_0%5Et+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7Bt%5E%5Cprime%7D%7B%5Cvarepsilon+_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%28%7Bt%5E%5Cprime%7D%29%29%7D+%7D%7D+%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%280%29%5Crangle& alt=&| {\psi_n}(t)\rangle = {e^{i{\gamma _n}(t)}}{e^{ - \frac{i}{\hbar }\int_0^t {{\rm{d}}{t^\prime}{\varepsilon _n}(\bm{R}({t^\prime}))} }} | {\psi_n}(0)\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&其中第二个相因子就是动力学相因子。将这个表达式代入含时薛定谔方程中&/p&&img src=&/equation?tex=i%5Chbar+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%7B%5Cpartial+t%7D%7D%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%28t%29%5Crangle+%3D+H%28%5Cbm%7BR%7D%28t%29%29%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%28t%29%5Crangle& alt=&i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}| {\psi_n}(t)\rangle = H(\bm{R}(t))| {\psi_n}(t)\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&可以发现相因子&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&可以写成参数空间中沿路径积分的形式&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cgamma+_n%7D+%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%5Crm%7Bd%7D%7D+%7B%5Cbm%7BR%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29& alt=&{\gamma _n} = \int_{\mathcal C} {\rm{d}} {\bm{R}} \cdot {{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})& eeimg=&1&&形式为&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%3Di%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%7B%5Cpartial+%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%7D%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})=i\langle n(\bm{R})|\frac{\partial }{{\partial {\bm{R}}}}|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&这个矢量&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}(\bm{R})& eeimg=&1&&被称为Berry联络&/p&&p&所以我们发现在绝热演化的过程中，量子态除动力学相因子以外还会获得一个额外的相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&&/p&&p&显然矢量&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}(\bm{R})& eeimg=&1&&与所选取的规范有关。如果我们进行规范变换&/p&&img src=&/equation?tex=%7C+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle+%5Cto+%7Be%5E%7Bi%5Czeta+%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%7D%7C+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&| n(\bm{R})\rangle \to {e^{i\zeta ({\bm{R}})}}| n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&\zeta(\bm{R})& eeimg=&1&&是任意光滑函数。&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})& eeimg=&1&&变为&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29+%5Cto+%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%7D%7D%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}}) \to {{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})-\frac{\partial}{{\partial{\bm{R}}}}\zeta(\bm{R})& eeimg=&1&&&br&&p&所以原来的相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&在变换后会改变&img src=&/equation?tex=%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%280%29%29-%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%28T%29%29& alt=&\zeta(\bm{R}(0))-\zeta(\bm{R}(T))& eeimg=&1&&，其中&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%280%29& alt=&\bm{R}(0)& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%28t%29& alt=&\bm{R}(t)& eeimg=&1&&分别是路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&的起点和终点。所以最初人们认为相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&是不重要的，因为总可以通过合适的规范变换将其消去。&/p&&br&&p&不过Berry考虑了系统沿一个&b&闭合&/b&路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&演化的过程，即&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%28T%29%3D%5Cbm%7BR%7D%280%29& alt=&\bm{R}(T)=\bm{R}(0)& eeimg=&1&&。由于我们选取的基函数在路径上都是单值的，所以此时对规范变换的因子&img src=&/equation?tex=e%5E%7Bi%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%29%7D& alt=&e^{i\zeta(\bm{R})}& eeimg=&1&&的要求是&/p&&img src=&/equation?tex=%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%280%29%29-%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%28T%29%29%3D+2+%5Cpi+%5Ctimes+%5Crm%7Binteger%7D& alt=&\zeta(\bm{R}(0))-\zeta(\bm{R}(T))= 2 \pi \times \rm{integer}& eeimg=&1&&&br&&p&所以这是&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&在规范变换中只能改变&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&的整数倍，不能被消去，所以它是一个规范无关的量，被称为Berry相位或者几何相位。&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cgamma+_n%7D+%3D+%5Coint_%7B%5Cmathcal%7BC%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BR%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D& alt=&{\gamma _n} = \oint_{\mathcal{C}} {{\rm{d}}{\bm{R}} \cdot {{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})}& eeimg=&1&&&br&&p&可以看到Berry相位只与闭合路径有关而与时间无关，所以在以后的讨论中会忽略时间。&/p&&p&类似于电动力学，可以用Berry联络规定规范场的张量&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5COmega+_%7B%5Cmu+%5Cnu+%7D%5En%28%5Cbm%7BR%7D%29+%26%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cmu+%7D%7D%7D%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D_%5Cnu+%5En%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cnu+%7D%7D%7D%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D_%5Cmu+%5En%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%5C%5C%0A%26%3D+i%5Cleft%5B%5Clangle+%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+n%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cmu+%7D%7D%7D%7C%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+n%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cnu+%7D%7D%7D%5Crangle+-+%28%5Cnu+%5Cleftrightarrow+%5Cmu+%29%5Cright%5D%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}
\Omega _{\mu \nu }^n(\bm{R}) &= \frac{\partial}{{\partial {R^\mu }}}{\mathcal{A}}_\nu ^n({\bm{R}}) - \frac{\partial }{{\partial {R^\nu }}}{\mathcal{A}}_\mu ^n({\bm{R}})\\
&= i\left[\langle \frac{{\partial n({\bm{R}})}}{{\partial {R^\mu }}}|\frac{{\partial n({\bm{R}})}}{{\partial {R^\nu }}}\rangle - (\nu \leftrightarrow \mu )\right]\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&称为Berry曲率。根据Stokes定理Berry相位可以写成面积分的形式&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cgamma+_n%7D+%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7BR%5E%5Cmu+%7D+%5Cwedge+%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7BR%5E%5Cnu+%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5COmega+_%7B%5Cmu+%5Cnu+%7D%5En%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D& alt=&{\gamma _n} = \int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{R^\mu } \wedge {\rm{d}}{R^\nu }\frac{1}{2}\Omega _{\mu \nu }^n({\bm{R}})}& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BS%7D& alt=&\mathcal{S}& eeimg=&1&&是任意以路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&为边界的面。&br&&/p&&p&可以知道Berry联络是规范不变的，也是可观测量。&/p&&p&特别地，如果参数空间是三维的，前面的表达式可以写成矢量形式&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%7B%7B%5Cbm%7B%5COmega%7D%7D+_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29+%26%3D+%7B%5Cnabla+_%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%7D+%5Ctimes+%7B%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%5C%5C%7B%5Cgamma+_n%7D+%26%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BS%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5COmega%7D%7D+_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}{{\bm{\Omega}} _n}({\bm{R}}) &= {\nabla _{\bm{R}}} \times {{\mathcal{A}}_n}({\bm{R}})\\{\gamma _n} &= \int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{\bm{S}} \cdot {{\bm{\Omega}} _n}({\bm{R}})}\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&矢量&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbm+%5COmega%7D_n%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{\bm \Omega}_n(\bm{R})& eeimg=&1&&与Berry曲率&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%5En%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&\Omega_{\mu\nu}^n(\bm{R})& eeimg=&1&&关系为&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%5En%3D%5Cepsilon_%7B%5Cmu%5Cnu%5Cxi%7D%28%5Cbm%7B%5COmega%7D_n%29_%5Cxi& alt=&\Omega_{\mu\nu}^n=\epsilon_{\mu\nu\xi}(\bm{\Omega}_n)_\xi& eeimg=&1&&。Berry曲率描述的是参数空间的局域性质，与路径无关。&/p&&p&注意到Berry相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&是实数，因为&img src=&/equation?tex=%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_%7B%5Cbm+R%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&\langle n(\bm{R})|\nabla_{\bm R}|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&是纯虚数：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%3D1+%5Cto+%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_%7B%5Cbm+R%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%3D-+%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_%7B%5Cbm+R%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%5E%2A& alt=&\langle n(\bm{R})|n(\bm{R})\rangle=1 \to \langle n(\bm{R})|\nabla_{\bm R}|n(\bm{R})\rangle=- \langle n(\bm{R})|\nabla_{\bm R}|n(\bm{R})\rangle^*& eeimg=&1&&&p&所以Berry相位也可以写成&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cgamma_n%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7D%5Cbm%7BR%7D%5Ccdot+%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7D%5Cbm%7BS%7D%5Ccdot+%28%5Cnabla%5Ctimes%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%29%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7DS_i%5Cepsilon_%7Bijk%7D+%5Cnabla_j%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_k%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7D%5Cbm%7BS%7D%5Ccdot+%28%5Clangle+%5Cnabla+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Ctimes%7C%5Cnabla+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%29%7D%5C%5C%0A+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}\gamma_n&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}\bm{R}\cdot \langle n(\bm{R})|\nabla|n(\bm{R})\rangle}\\
&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}\bm{S}\cdot (\nabla\times\langle n(\bm{R})|\nabla|n(\bm{R})\rangle)}\\
&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}S_i\epsilon_{ijk} \nabla_j\langle n(\bm{R})|\nabla_k|n(\bm{R})\rangle}\\
&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}\bm{S}\cdot (\langle \nabla n(\bm{R})|\times|\nabla n(\bm{R})\rangle)}\\
\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&我们发现这个表达式无法用于数值计算Berry相位。在哈密顿量求本征值的过程中，本征态的相位完全没有被考虑进来，如果想用上面的表达式计算的话需要一个光滑的相因子，而这不是一个简单的过程，所以我们需要一个与规范无关的表达式。在上面的表达式中插入完备本征态&img src=&/equation?tex=%5Csum%5Cnolimits_m+%7B%7Cm%5Crangle%5Clangle+m%7C%7D%3D1& alt=&\sum\nolimits_m {|m\rangle\langle m|}=1& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_k%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%0A%3D%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%5Crangle%5Clangle+n%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%5C%5C%2B%5Csum%5Climits_%7Bm%5Cne+n%7D%7B%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cm%5Crangle%5Clangle+m%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D& alt=&\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|\nabla_k|n(\bm{R})\rangle
=\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|n\rangle\langle n|\nabla_k n(\bm{R})\rangle\\+\sum\limits_{m\ne n}{\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|m\rangle\langle m|\nabla_k n(\bm{R})\rangle}& eeimg=&1&&&br&&p&由于&img src=&/equation?tex=%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%5Crangle& alt=&\langle\nabla_j n(\bm{R})|n\rangle& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=%5Clangle+n%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&\langle n|\nabla_k n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&都是虚数，其积为实数，所以对表达式的虚部没有贡献可以去掉。此时&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n%3D-%5CIm+%5Cint+%7B%7B%5Cmathrm+d%7DS_i+%5Csum%5Climits_%7Bm%5Cne+n%7D%7B%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cm%5Crangle%5Clangle+m%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D%7D& alt=&\gamma_n=-\Im \int {{\mathrm d}S_i \sum\limits_{m\ne n}{\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|m\rangle\langle m|\nabla_k n(\bm{R})\rangle}}& eeimg=&1&&&br&&p&在继续想办法去除对本征态的导数。我们知道&/p&&img src=&/equation?tex=E_n%5Clangle+m%7C%5Cnabla+n%5Crangle%3D%5Clangle+m%7C%5Cnabla+%28Hn%29%5Crangle%3D%5Clangle+m%7C%28%5Cnabla+H%29n%5Crangle%2BE_m%5Clangle+m%7C%5Cnabla+n%5Crangle& alt=&E_n\langle m|\nabla n\rangle=\langle m|\nabla (Hn)\rangle=\langle m|(\nabla H)n\rangle+E_m\langle m|\nabla n\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&所以&/p&&img src=&/equation?tex=%5Clangle+m%7C%5Cnabla+n%5Crangle%3D%5Cfrac%7B%5Clangle+m%7C%28%5Cnabla+H%29%7Cn%5Crangle%7D%7BE_n-E_m%7D& alt=&\langle m|\nabla n\rangle=\frac{\langle m|(\nabla H)|n\rangle}{E_n-E_m}& eeimg=&1&&&br&&p&同样推导出&img src=&/equation?tex=%5Clangle+%5Cnabla+n%7Cm%5Crangle& alt=&\langle \nabla n|m\rangle& eeimg=&1&&，这样&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%7B%5Cgamma+_n%7D+%26%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BS%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5COmega%7D%7D+_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BS%7D%7D%5Ccdot+%5CIm+%5Csum%5Climits_%7Bm%5Cne+n%7D%7B%5Cfrac%7B%5Clangle+n%7C%5Cnabla+H%7Cm%5Crangle%5Ctimes%5Clangle+m%7C%5Cnabla+H%7Cn%5Crangle%7D%7B%28E_m-E_n%29%5E2%7D%7D%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}
{\gamma _n} &= \int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{\bm{S}} \cdot {{\bm{\Omega}} _n}({\bm{R}})}\\
&=\int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{\bm{S}}\cdot \Im \sum\limits_{m\ne n}{\frac{\langle n|\nabla H|m\rangle\times\langle m|\nabla H|n\rangle}{(E_m-E_n)^2}}}
\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&显然此时的表达式与规范选取无关。不过注意两点，一是把所有能级的Berry相位相加会得到0，二是不能有任何能级交叉/简并的情况出现。&/p&&p&Berry相位也是用来描述能级简并的一个重要的工具。根据上面的表达式可以知道在能级简并出Berry曲率会出现奇点。我们考虑最简单的也最常见的情况，二能级系统。其哈密顿量的一般形式可以写成&/p&&img src=&/equation?tex=H%3D%5Cepsilon%28%5Cbm%7BR%7D%29+%7B%5Cmathcal+I%7D_%7B2%5Ctimes2%7D%2B%5Cbm%7Bd%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Ccdot+%5Cbm%7B%5Csigma%7D& alt=&H=\epsilon(\bm{R}) {\mathcal I}_{2\times2}+\bm{d}(\bm{R})\cdot \bm{\sigma}& eeimg=&1&&&br&&p&两个能级分别是&img src=&/equation?tex=E_%7B%5Cpm%7D%3D%5Cepsilon%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cbm%7Bd%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bd%7D%7D& alt=&E_{\pm}=\epsilon(\bm{R})\pm\sqrt{\bm{d}\cdot\bm{d}}& eeimg=&1&&。使用球坐标把&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bd%7D& alt=&\bm{d}& eeimg=&1&&写成&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bd%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%3D%7Cd%7C%28%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Cphi%2C%5Csin%5Ctheta%5Csin%5Cphi%2C%5Ccos%5Ctheta%29& alt=&\bm{d}(\bm{R})=|d|(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)& eeimg=&1&&，两个本征态分别是&/p&&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7B-i%5Cphi%7D%5C%5C-%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%2C%7C%2B%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7B-i%5Cphi%7D%5C%5C%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&|-\bm{R}\rangle=\left(\begin{array}{c}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\\-\cos\frac{\theta}{2}\end{array}\right),|+\bm{R}\rangle=\left(\begin{array}{c}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\\\sin\frac{\theta}{2}\end{array}\right)& eeimg=&1&&&br&&p&可以计算出&/p&&img src=&/equation?tex=A_%5Ctheta%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Ctheta%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D0%2CA_%5Cphi%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Cphi%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&A_\theta=i\langle-\bm{R}|\partial_\theta|-\bm{R}\rangle=0,A_\phi=i\langle-\bm{R}|\partial_\phi|-\bm{R}\rangle=\sin^2\frac{\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%3D%5Cpartial_%5Ctheta+A_%5Cphi-%5Cpartial_%5Cphi+A_%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&\Omega_{\theta\phi}=\partial_\theta A_\phi-\partial_\phi A_\theta=\frac{\sin\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&p&我们可以注意到在南极点&img src=&/equation?tex=%5Ctheta%3D%5Cpi& alt=&\theta=\pi& eeimg=&1&&时，&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle& alt=&|-\bm{R}\rangle& eeimg=&1&&不是良定义的。如果选择另一个规范，令&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%5Cto+e%5E%7Bi%5Cphi%7D%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle& alt=&|-\bm{R}\rangle\to e^{i\phi}|-\bm{R}\rangle& eeimg=&1&&，我们得到&/p&&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5C%5C-%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7Bi%5Cphi%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&|-\bm{R}\rangle=\left(\begin{array}{c}\sin\frac{\theta}{2}\\-\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}\end{array}\right)& eeimg=&1&&&br&&p&此时&/p&&img src=&/equation?tex=A_%5Ctheta%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Ctheta%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D0%2CA_%5Cphi%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Cphi%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D-%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&A_\theta=i\langle-\bm{R}|\partial_\theta|-\bm{R}\rangle=0,A_\phi=i\langle-\bm{R}|\partial_\phi|-\bm{R}\rangle=-\cos^2\frac{\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%3D%5Cpartial_%5Ctheta+A_%5Cphi-%5Cpartial_%5Cphi+A_%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&\Omega_{\theta\phi}=\partial_\theta A_\phi-\partial_\phi A_\theta=\frac{\sin\theta}{2}& eeimg=&1&&&p&Berry曲率是规范不变的。我们可以把球坐标变换回原来的&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D& alt=&\bm{R}& eeimg=&1&&参数空间&/p&&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7BR_i%2CR_j%7D%3D%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%7D%7B%5Cpartial%28R_i%2CR_j%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%7D%7B%5Cpartial%28R_i%2CR_j%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cphi%2C%5Ccos%5Ctheta%29%7D%7B%5Cpartial%28R_i%2CR_j%29%7D& alt=&\Omega_{R_i,R_j}=\Omega_{\theta\phi}\frac{\partial(\theta,\phi)}{\partial(R_i,R_j)}=\frac{\sin\theta}{2}\frac{\partial(\theta,\phi)}{\partial(R_i,R_j)}=\frac{1}{2}\frac{\partial(\phi,\cos\theta)}{\partial(R_i,R_j)}& eeimg=&1&&&br&&p&对最简单的情形&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bd%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%3D%5Cbm%7BR%7D& alt=&\bm{d}(\bm{R})=\bm{R}& eeimg=&1&&，求出Berry曲率&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B-i%7D%3D%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5COmega_%7BR_j%2CR_k%7D& alt=&\Omega_{-i}=\epsilon_{ijk}\Omega_{R_j,R_k}& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbm%5COmega%7D_-%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Cbm%7Bd%7D%7D%7Bd%5E3%7D%2C%5Cgamma_-%28%7B%5Cmathcal+C%7D%29%3D%5Cint_%5Cmathcal%7BS%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cbm%7BS%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cbm%7Bd%7D%7D%7B2d%5E3%7D%7D%2C+%5Cexp%28i%5Cgamma_-%28%5Cmathcal%7BC%7D%29%29%3D%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Di%5COmega%28%5Cmathcal%7BC%7D%29%5Cright%29& alt=&{\bm\Omega}_-=\frac{1}{2}\frac{\bm{d}}{d^3},\gamma_-({\mathcal C})=\int_\mathcal{S}{\mathrm{d}\bm{S}\cdot\frac{\bm{d}}{2d^3}}, \exp(i\gamma_-(\mathcal{C}))=\exp\left(\frac{1}{2}i\Omega(\mathcal{C})\right)& eeimg=&1&&&br&&p&如果对包含奇点的球面的Berry曲率进行积分，可以得到&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B%7B%5Cmathcal+S%7D%5E2%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cphi%7E%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%7D%3D1& alt=&\frac{1}{2\pi}\int_{{\mathcal S}^2}{\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi~\Omega_{\theta\phi}}=1& eeimg=&1&&&br&&p&这个在闭曲面的Berry曲率积分再除以&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&被称为Chern数。这个积分非零（违反Stokes定理）的原因就是没有办法选择一个覆盖整个球面的规范使得每一点都是良定义的。&/p&&p&作为练习可以计算一下spin-S在磁场中的Berry曲率，已知哈密顿量&img src=&/equation?tex=H%3D%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bs%7D%2CE_n%28B%29%3DnB%2Cn%3D-S%2C-S%2B1%2C...%2CS& alt=&H=\bm{B}\cdot\bm{s},E_n(B)=nB,n=-S,-S+1,...,S& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&Berry相位水水的写完了，接下来计划是一些我觉得石墨烯最有趣的性质，从所谓的Dirac fermion开始&/p&
题图是Berry Face，祝老爷子早日拿诺贝尔奖。因为后面内容很多都离不开Berry Phase，先从基础写起。主要参考Di Xiao et al. Berry Phase Effects on Electronic Properties. Rev. Mod. Phys. 82, )以及B. Andrei Bernevig and Taylor L. Hughes, …
看闲书能直接看到大师们的深刻思想的话，何必听普通人的杂烩呢。视野差了好几个量级呢。&br&&br&1. 通向实在之路——宇宙法则的完全指南
罗杰·彭罗斯&br&不需怎么介绍。标题很准确，一本完全指南。&br&看了目录你就懂。&br&&blockquote&第一章 科学的根源&br&第二章 古代定理和现代问题&br&第三章 物理世界里数的种类&br&第四章 奇幻的复数&br&第五章 对数、幂和根的几何学&br&第六章 实数微积分&br&第七章 复数微积分&br&第八章 黎曼曲面和复映射&br&第九章 傅里叶分解和超函数&br&第十章 曲面&br&第十一章 超复数&br&第十二章 n维流形&br&第十三章 对称群&br&第十四章 流形上的微积分&br&第十五章 纤维丛和规范联络&br&第十六章 无限的阶梯&br&第十七章 时空&br&第十八章 闵可夫斯基几何&br&第十九章 麦克斯韦和爱因斯坦的经典场&br&第二十章 拉格朗日量和哈密顿量&br&第二十一章 量子粒子&br&第二十二章 量子代数、几何和自旋&br&第二十三章 纠缠的量子世界&br&第二十四章 狄拉克电子和反粒子&br&第二十五章 粒子物理学的标准模型&br&第二十六章 量子场论&br&第二十七章 大爆炸及其热力学传奇&br&第二十八章 旱期宇宙的推测性理论&br&第二十九章 测量疑难&br&第三十一章 超对称、超维和弦&br&第三十二章 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量&br&第三十三章 更彻底的观点；扭量理论&br&第三十四章 实在之路通向何方&/blockquote&&br&2. Ideas and Opinions
Albert Einstein&br&爱因斯坦文集。直接和站在顶点的男人对话吧。&br&&br&我觉得似乎没有其他几位大神写的那么好，大概爱神意不在此。这本书只是别人整理的爱因斯坦的文稿。考虑到他的深远的影响力，还是把这本书列出来。&br&&br&爱因斯坦带的学生最后没有出现大师级人物。而费米不仅自己厉害，带学生也厉害，六位诺奖得主，其中第一位是杨振宁。&br&&br&爱因斯坦还和一位普林斯顿大学的教授合写过一本科普书《物理学的进化》。很精彩，适合初高中生了解物理学的发展历程。有孩子的可以预备一本..&br&&br&3. The Character of Physical Law/物理之美
理查德 费曼&br&&br&这是我读过的最好的物理类“闲书”了。充满了对于物理定律有趣而深刻的思考。&br&这是在康奈尔大学的一个系列讲座。从学生到教授都来聆听大师对物理定律独特的诠释。思维如水般自在流淌。&br&这个系列讲座还有录音，耳机里传出费曼的声音，可以感觉到这位导师近在咫尺。&br&&br&无论是《费曼物理学讲义》还是这本《物理之美》都可以称得上传世之作。&br&每一名物理系的学生都可以叫您一声老师啊.. &br&（比爱因斯坦的Ideas and Opinions好太多。忽然觉得爱神的学生都没能成长为大师级的科学家也是有原因的。与费曼在教学上的倾心付出相比，爱因斯坦几乎把全部精力都用来独自解决难题。）&br&&br&&br&4.玻尔哲学文选
尼尔斯 玻尔&br&哥本哈根学派的开创者。&br&之所以哥本哈根是量子力学的圣地，一度也是物理学术中心，都因为一个人——玻尔。&br&玻尔不仅自己厉害，更重要的是，他会忽悠.. 不对，是教导年轻人。&br&&br&他和爱因斯坦是一辈人。但是他们下一辈人几乎都更信任玻尔的意见。&br&美剧《曼哈顿计划》里，玻尔一出场，几乎所有人都要去拜见这位物理学的领袖。&br&最后的结果证明玻尔的方向非常准确。&br&他同时也慧眼识英才，把当时最优秀的年轻人带入了自己的研究方向。在海森堡和泡利22岁时就把这两位年轻人揽入哥本哈根。&br&而爱因斯坦晚年的研究则是门可罗雀。&br&&br&和爱因斯坦那场旷日持久的论战时期写的文章是此书最精华的部分。科学史上很难找到比这还要精彩、重要的论战了。&br&&br&哥本哈根学派的闲书总是和哲学思想有些关联。&br&&img src=&/a382c597cbd9cf6c37bd47b7f3f8108e_b.jpg& data-rawwidth=&248& data-rawheight=&330& class=&content_image& width=&248&&&br&这是玻尔的家徽。他认为那个太极图是最能代表“互补思想”的图案，于是放入了徽章中。&br&&br&互补思想是从波粒二象性/不确定性原理里延伸出来的一种哲学思想。&br&&br&主要思想是，人类不可能准确描述自然，每一种自然科学的概念在描述宇宙的一部分信息时，总会失去另一部分信息。我们会用轨道去描述物体的运动，但是实际上，宇宙并没有由粒子模型构成的物体，也没有人类观察到的“轨道”。无论是粒子，还是波，都是自然科学的概念，都只是对自然某一面的描述。&br&&br&&br&&br&5. Physics and Philosophy
维纳.海森堡&br&哥本哈根学派最好的“闲书”。玻尔的思想已然深远，而海森堡这本书比他老师玻尔的书更加深刻。&br&&br&量子力学不只是对科学的变革，更是对人类思维方式，如何看待宇宙的变革。&br&有一段讨论自然科学里的常数让人印象深刻。&br&讨论经典力学、量子力学和热力学、电动力学等物理理论的相容性时更是让人大开眼界。&br&&br&比费曼的书差的只是年代有些久远了，没有涉及到上个世纪自然科学的后续发展。但是这本书对物理学思想的探讨更为深入，费曼的书则更关注物理定律。&br&&br&海森堡是玻尔的学生。&br&费曼是玻尔学生的学生。&br&&br&6. What is Life/生命是什么
薛定谔&br&物理学思想引入到其他领域的典范。&br&&br&7.确定性的终结
伊利亚.普利高津&br&热力学/统计物理一直是物理学里很特别的一个领域。这位非平衡热力学大师的视角会是怎样的？&br&1977年诺奖得主普利高津从热力学和量子力学的角度对确定性进行的探讨。&br&&br&&br&8.Symmetry/对称
Weyl&br&外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”。师从希尔伯特。&br&多次再版的一本名作。历史、数学、科学、自然中的对称性。&br&（我还没来得及读这本《对称》就离开物理系了，但是觉得应该很精彩吧，毕竟是另一位的大神推荐的...）&br&&br&9. 科学发现的逻辑 卡尔·波普尔&br&从爱因斯坦到索罗斯都推崇的一种看待世界的方法。&br&这本书可能需要静下心来才能读进去。&br&&br&10. Scientific American/中文版：环球科学 （杂志）&br&也可以涉猎一下这个时代各个领域的进展。&br&在国内的时候连续六七年，几乎每期不落地看。很好的休闲读物。&br&&br&&br&&br&&br&其他的想到再补充。
看闲书能直接看到大师们的深刻思想的话，何必听普通人的杂烩呢。视野差了好几个量级呢。 1. 通向实在之路——宇宙法则的完全指南 罗杰·彭罗斯 不需怎么介绍。标题很准确，一本完全指南。 看了目录你就懂。 第一章 科学的根源 第二章 古代定理和现代问题 第…
&p&&b&高能预警！！！多图杀猫！！！我是认真的！！！&/b&&/p&&p&首先发个链接：&a href=&///?target=http%3A///index.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/index.htm&/span&&span class=&invisible&&l&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 这哥们的 visualization 能力完爆所有答案（包括我的）加起来，实在是牛逼……&/p&&p&==&/p&&p&这题目都给写成这样了，我就不指望赞了。你们就当福利好了。&/p&&p&这个回答里的图都是我自己画的，盗图必…… 算了你们想拿去玩就拿去吧……&/p&&p&看到这个问题的时候我有点纠结问题里的最后一张图是怎么画的，不过仔细看了一下我觉得应该是二维空间里画的。所以 Asymptote 和 Metapost 都可以。&/p&&p&对了补充一点，在我的另一个回答里（&a href=&/question//answer/& class=&internal&&当别人问你的研究有什么实际价值的时候，你是怎么回答的？&/a&），我提到对于科研的价值，科研圈和大众的定义是不一样的。对于“漂亮的插图”也是一样。君不见大众媒体里少有数据图，就算有也是寥寥几笔，fancy 为主，使用符合当前大众审美的风格（比如现在是扁平、极简），测量从来不画 errorbar，甚至极简风格的连坐标轴都不画，一条颜色风骚的曲线牛逼闪闪。对于大众来说，看起来牛逼、fancy 才是漂亮。但是在科研圈里显然不是这样，而且不同的学科之间对图的严谨、清晰程度的要求也不一样。所以单纯地说一个插图“漂亮”其实没什么意义。&/p&&p&——————————————
正文：&/p&&p&我觉得这个问题让我答简直太合适了…… 只要是用来画图的玩意我基本都用过，也都会。这个回答主要介绍工具，为什么不说方法呢？因为感觉好像没什么好说的，你觉得什么地方难看，改一下就行了啊…… 从最简单的开始吧。&/p&&ul&&li&菜鸟级：
&/li&&/ul&&br&&p&&b&Matlab, Mathematica&/b& 和 &b&R&/b& 就不说了。&/p&&p&&b&Python 有个著名的库叫 Matplotlib&/b&, 主要用来数据作图，但本身带有层次较低的 API, 原则上可以用来画任意种类的图。这玩意自带 TeX 数学语法。数据作图效果这样：&/p&&img src=&/b97f00d11a7826fbbe12a8_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&512& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/b97f00d11a7826fbbe12a8_r.png&&&br&&img src=&/8b13fda01e_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&358& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/8b13fda01e_r.png&&&br&&br&&p&丧病一点可以这样：&/p&&img src=&/acf34b8de12a020c886560bcc1d8e942_b.png& data-rawwidth=&2242& data-rawheight=&1796& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2242& data-original=&/acf34b8de12a020c886560bcc1d8e942_r.png&&&p&这种牛逼闪闪的等高线也是小意思~~&/p&&img src=&/15152d9bba9f55d50e15d1a60ca5bce4_b.png& data-rawwidth=&696& data-rawheight=&343& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&696& data-original=&/15152d9bba9f55d50e15d1a60ca5bce4_r.png&&&br&&img src=&/2fcc83b26d958e074c6aabe330a970ae_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&512& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/2fcc83b26d958e074c6aabe330a970ae_r.png&&&br&&p&这么多点也是没问题的：&/p&&img src=&/1824265eaac0a1b7cd7f_b.png& data-rawwidth=&893& data-rawheight=&657& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&893& data-original=&/1824265eaac0a1b7cd7f_r.png&&&br&&p&这玩意极其的灵活，比如 Mathematica 有个功能就是画函数曲线的时候自动选择合适的采样率，斜率或者曲率比较大的地方会自动使用高采样率。于是我在 Python 里也实现了一个，这样就可以用 Matplotlib 无脑画函数曲线了，比如这样：&/p&&img src=&/5c3ddfb431fe66_b.png& data-rawwidth=&576& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&576& data-original=&/5c3ddfb431fe66_r.png&&&br&&br&&p&&b&Gnuplot&/b&. 纯画图方面与 Matplotlib 不相上下，优点是快，超级快。图就不放了，和 Matplotlib 差不多。&/p&&ul&&li&普通级：
&/li&&/ul&&br&&p&&b&Metapost. &/b&脱离菜鸟级以后，我们离开了 API 和程序的地盘，开始撸绘图语言。首先当然要介绍大名鼎鼎的 Metapost. 这货的历史最早要追溯到 Knuth 大神设计的 Metafont, 但是 Metafont 是用来制作字体的，于是一帮人仿照 Metafont 设计了通用绘图语言 Metapost. 写程序画图相对于使用 GUI 工具来说最大的好处就是可以精确地控制，和自动化。这种绘图语言尤其适合画示意图。还是上图吧……&/p&&img src=&/6c051c72b1f5c63dcece_b.png& data-rawwidth=&349& data-rawheight=&252& class=&content_image& width=&349&&&img src=&/82baa59adbdef4b22a1ef_b.png& data-rawwidth=&398& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&398&&&img src=&/7a5551adaca9_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&364& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/7a5551adaca9_r.png&&&br&&img src=&/32fe50cafcff4def44f1d_b.png& data-rawwidth=&149& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&149&&&img src=&/43cdbabaed1d4a04fd7ff9_b.png& data-rawwidth=&124& data-rawheight=&208& class=&content_image& width=&124&&&br&&img src=&/45ea77ee1a8f8ead51f5e059a766961c_b.png& data-rawwidth=&421& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&/45ea77ee1a8f8ead51f5e059a766961c_r.png&&&br&&p&费曼图什么的简直就是不在话下…… 其实我是不太明白为什么有些软件画出的费曼图那么难看的……&/p&&img src=&/b8e2d2717a_b.png& data-rawwidth=&176& data-rawheight=&123& class=&content_image& width=&176&&&img src=&/1603236dba024add0def_b.png& data-rawwidth=&515& data-rawheight=&109& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&515& data-original=&/1603236dba024add0def_r.png&&&br&&p&然后这是我用 Metapost 给我的统计力学笔记撸的封面：&/p&&img src=&/0d55cac05b_b.png& data-rawwidth=&544& data-rawheight=&704& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&544& data-original=&/0d55cac05b_r.png&&&br&&p&&b&Asymptote&/b&. 有一小撮人用 Metapost 不爽，毕竟语法太古老了，于是搞出了类 C++ 语法的面向对象语言 Asymptote, 也是醉了…… 除了写出来比 metapost 好看一些意外，基本上差不多：&/p&&img src=&/a362477fec224b47cc1f2c2c7e4e2312_b.png& data-rawwidth=&270& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&270&&&br&&img src=&/82e287d399a98dfccdde9b_b.png& data-rawwidth=&268& data-rawheight=&225& class=&content_image& width=&268&&&br&&img src=&/e6f0b5fdde67c90f60df11b_b.png& data-rawwidth=&563& data-rawheight=&304& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&563& data-original=&/e6f0b5fdde67c90f60df11b_r.png&&&br&&p&初中几何题都是可以的。&/p&&img src=&/542af1bdc98cc_b.png& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&285& class=&content_image& width=&266&&&br&&p&这玩意比较逆天的功能是 3D 矢量作图~~ 你看我这么一比划，你不就知道面心立方&/p&&p&的晶胞是什么样的了么~~&/p&&img src=&/9b1ce1f9eabe3caea80d6b_b.png& data-rawwidth=&343& data-rawheight=&264& class=&content_image& width=&343&&&p&你看我这么一笔划，你不就知道 RGB 空间是怎么嵌在 xyz 空间里的了么~~&/p&&img src=&/v2-7dde6f8dd3cb1c06884acad9c5681892_b.png& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&/v2-7dde6f8dd3cb1c06884acad9c5681892_r.png&&&p&继续&/p&&img src=&/2f2f8df837abfed2e289_b.png& data-rawwidth=&398& data-rawheight=&386& class=&content_image& width=&398&&&p&嗯，还有好多图懒得找了，Asymptote 就先这样吧。&/p&&p&&b&……&/b& &b&……&/b& &b&……&/b&&/p&&br&&p&&更新 &
最近又折腾了一下传说中的 &a href=&///?target=http%3A//d3js.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&D3.js&i class=&icon-external&&&/i&&/a&. 这个东西的核心实际上是一套 selector 实现和把数据绑定到 DOM 上的机制，非常紧凑。然后 HTML 的 DOM 里可以包含 SVG, 这就很好玩了。&/p&&p&我试了一下数据作图&/p&&img src=&/7c12ae945a1ba_b.png& data-rawwidth=&1508& data-rawheight=&910& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1508& data-original=&/7c12ae945a1ba_r.png&&&br&&p&然后顺便撸了个 &a href=&///?target=http%3A//darksair.org/game-of-life/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Game of Life&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, 你们可以玩玩~~ （暂不支持移动端……），长这样：&/p&&img src=&/0dc84de4c2bcb10b47ffcaf68673b23c_b.png& data-rawwidth=&765& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&765& data-original=&/0dc84de4c2bcb10b47ffcaf68673b23c_r.png&&&br&&p&看上去挺好用，对吧？但是！！这个东西其实并不是特别适合给论文出图，原因是你用的时候需要把 SVG 保存下来。SVG 是 DOM 的一部分，一般只能用 Javascript 把 SVG 序列化，然后抛出一个文件让你在浏览器里下载，或者打开一个新窗口你手动另存为什么的，这不是关键，关键是我们写 SVG 的时候经常会用 CSS 来指定样式，这样如果你需要所有的线都粗一点，只要改下 CSS 就好，不用碰逻辑。然而你序列化 SVG 的时候是没法同时序列化 CSS 的（吧？）……………………………………
&/更新&&/p&&ul&&li&&b&地狱级：&/b& &/li&&/ul&&br&&p&这个级别的工具当之无愧地给了 Postscript 这个基于堆栈的底层页面描述语言，这个语言是如此的强大，以至于 Adobe 后来不得不发展了简化版（更易于实现）：EP}
&/p&&p&也许你已能用它们熟练地画出美美的tif，jpg，bmp或者emf等格式的图片。&/p&&p&确实，以此用于发论文或写结题报告都应该已经够用了。 &/p&&p&但是别忘了：无论毕业以后是继续学术、还是去企业上班，都可能会遇到各种需要做报告的情况。&/p&&p&比如毕业答辩、比如部门总结汇报、比如招标投标竞争…… &/p&&p&这时候，如果能在做报告的PPT里面插入这样一副动图：（各参数随时间的演化，以下图片取自google搜索，侵删）&/p&&img src=&/v2-31f07d88aee0b4a533c42f_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&384& data-thumbnail=&/v2-31f07d88aee0b4a533c42f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-31f07d88aee0b4a533c42f_r.gif&&&br&&p& 或者这样的动图：（随时间的增加，两根曲线或多根曲线的交点变化情况）&/p&&img src=&/v2-31e872fe7ae_b.jpg& data-rawwidth=&1450& data-rawheight=&900& data-thumbnail=&/v2-31e872fe7ae_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1450& data-original=&/v2-31e872fe7ae_r.gif&&&p&或者这样：&img src=&/v2-3e3ef9eb4b50b7eb7ffb191_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&320& data-thumbnail=&/v2-3e3ef9eb4b50b7eb7ffb191_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-3e3ef9eb4b50b7eb7ffb191_r.gif&&&/p&&p&是不是瞬间感觉自己的报告高大上起来？ &br&&/p&&p&没错，看到你秀出来会动的曲线图之后，慧眼识才的领导眼前一亮、直接嘴动点赞、称许满满；中意了很久的男神女神，投来了崇拜和火辣的眼神；远处曾经嚣张的竞争对手一脸的失落，自叹技不如人在墙角默默流泪。&/p&&img src=&/v2-52de2beddfce5b121e646d677cc1927e_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-52de2beddfce5b121e646d677cc1927e_r.jpg&&&p&要的就是这种碾压的效果。（ps, 以上情景纯属歪歪，若无雷同，概不负责…）&br&&/p&&p&效果好是好，可问题是：&/p&&p&(1) 用什么方法能画出这样的图？&br&(2) 画这种图会不会很麻烦？&/p&&p&麻不麻烦取决于你用什么样的工具。 &/p&&p&比如，如果打算采用Matlab，虽然用它自带的诸如movie2avi等函数也可以实现，但是效果并不见得很好。&/p&&p&再比如，如果打算用Flash做动画，那么就是高射炮打蚊子。 &/p&&p&这里，隆重推荐今天的主角——gnuplot。 &/p&&p&&strong&1. gnuplot&/strong&&strong&的基本概念&/strong&&/p&&p&把gnuplot看成gunplot的童鞋，你阅读速度有点略快啊。也许你最近有点焦虑、烦闷？别着急，一切都会好起来的。 &/p&&p&gnuplot画出来的静态图长这样：&/p&&img src=&/v2-fffcdd5fa33ba5236a5acee_b.png& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&159& class=&content_image& width=&300&&&p&gnuplot是一个免费软件，可以在window，linux，mac等系统下使用。 &/p&&p&它使用交互式介面，可以绘制数学函数2D或者3D图形，也可以从纯文字档读入数据、绘制统计图表等等，还包含数学计算、拟合等功能。 &/p&&p&对于用惯了鼠标的童鞋而已，这里可能有个坏消息：gnuplot是基于命令行的交互式绘图软件。 &/p&&p&打开一个终端，输入gnuplot，随着程序启动，会出现下面的信息：（如果是在Windows 电脑上，双击gnuplot.exe 后会自动打开一个命令行窗口） &/p&&img src=&/v2-dd89cfb65fb7cb19181c3d_b.png& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&/v2-dd89cfb65fb7cb19181c3d_r.png&&&p&不过不用太慌张，零基础的童鞋对照教程，大概只用不到半天的时间就能学会。 &/p&&p&&strong&2. &/strong&&strong&简单的例子&/strong&&/p&&p&采用gnuplot画动态曲线图的原理是：多次画图并把所有图片压缩成一个gif动画。具体可使用reread命令或者do for命令。 &/p&&p&下面是一些动图的例子和代码，其它简单的曲线可以此类推：&/p&&p&(1) 随时间衰减的分布曲线图 &/p&&img src=&/v2-fbb9a9e19cf9caa52e1d54f9b05a6dd8_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&360& data-thumbnail=&/v2-fbb9a9e19cf9caa52e1d54f9b05a6dd8_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-fbb9a9e19cf9caa52e1d54f9b05a6dd8_r.gif&&&p&set term gif animateoptimize delay 2 size 480,360&/p&&p&set output 'movie.gif' &/p&&p&do for [i = 0:400 ] {&/p&&p&
t=i*0.02&/p&&p&
plot sqrt(1/(1+t*t))*exp(-(x-t)**2/(1+t*t)) lw 2&/p&&p&
} &/p&&p&set out&/p&&p&set terminal wxt enhanced&/p&&br&&p&(2) 等高线及其二维投影随时间变化图&/p&&img src=&/v2-ca62f2ca5ce9cfc36a6dc4f_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&480& data-thumbnail=&/v2-ca62f2ca5ce9cfc36a6dc4f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/v2-ca62f2ca5ce9cfc36a6dc4f_r.gif&&&p&&em&#set term gif animate optimize delay 10 size 480,480&/em&&/p&&p&&em&#set output 'movie.gif'&/em&&/p&&p&set pm3d at b&/p&&p&set xr[-5:10]&/p&&p&set yr[-5:10]&/p&&p&set zr[0:1]&/p&&p&set cbr[0:1]&/p&&p&set isosamples 50&/p&&p&dofor [i = 0:50 ] {&/p&&p&
t=i*0.05&/p&&p&
splot sqrt(1/(1+t*t))*exp(-(x-t)**2/(1+t*t))*sqrt(1/(1+t*t))*exp(-(y-2*t)**2/(1+t*t))&/p&&p&
}&/p&&p&&em&#set out&/em&&/p&&p&&em&#set terminal wxt enhanced&/em&&/p&&p&(3) 小行星轨迹图&br&&/p&&img src=&/v2-ed05f1c45b94c34c9f8812a_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& data-thumbnail=&/v2-ed05f1c45b94c34c9f8812a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-ed05f1c45b94c34c9f8812a_r.gif&&&br&&p&&em&#set term gif animate optimizedelay 5 size 960,720&/em&&/p&&p&&em&#set output 'movie.gif'&/em&&/p&&p&set param&/p&&p&set size ratio -1&/p&&p&set samples 10000&/p&&p&e = 1&/p&&p&omega=0.1&/p&&p&set tr[1:600]&/p&&p&do for [i = 1:200 ] {
plot e*cos(omega*t)/sqrt(t), sin(omega*t)/sqrt(t)&/p&&p&
set label 1 pointpt 7 ps 3
at e*cos(omega*i*3)/sqrt(i*3),sin(omega*i*3)/sqrt(i*3)&/p&&p&
}&/p&&p&&em&#set out&/em&&/p&&p&&em&#set terminal wxt enhanced&/em&&/p&&br&&p&(4) 两颗行星互相缠绕，最后坠毁在一起 &br&&/p&&img src=&/v2-cc487e25d7e4f0d3c00c4d1d5b6500ad_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&600& data-thumbnail=&/v2-cc487e25d7e4f0d3c00c4d1d5b6500ad_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-cc487e25d7e4f0d3c00c4d1d5b6500ad_r.gif&&&p&set param&/p&&p&set samples 10000&/p&&p&set tr[0.01:1]&/p&&p&imax=100&/p&&p&tmax=20e0*pi&/p&&p&ht=tmax/real(imax)&/p&&p&&em&#set term gif animate optimizedelay 6 size 600,600&/em&&/p&&p&&em&#set output 'orbit.gif'&/em&&/p&&p&do for [i=1:imax] {&/p&&p&
th(t,i)=t*real(i)*ht&/p&&p&
plot 10e0*sin(th(t,i))/th(t,i),10e0*cos(th(t,i))/th(t,i) , \&/p&&p&
10e0*sin(th(t,i)-pi)/th(t,i),10e0*cos(th(t,i)-pi)/th(t,i) lt 1 lc 2&/p&&p&}&/p&&p&&em&#set out&/em&&/p&&p&&em&#set terminal wxt enhanced&/em&&/p&&p&&strong&3. &/strong&&strong&复杂的例子&/strong&&/p&&p&除了上面正经的动态曲线图，gnuplot还可以用来干一些不正经的事情。比如：&/p&&br&&p&(1) 巫婆带着乌鸦海上飞&/p&&p&&img src=&/v2-27fb3f9d34ebaac16992a4fbd7b6ac5b_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&360& data-thumbnail=&/v2-27fb3f9d34ebaac16992a4fbd7b6ac5b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&/v2-27fb3f9d34ebaac16992a4fbd7b6ac5b_r.gif&& (2) 超级马里奥从洞里钻出来&img src=&/v2-80cf78a7c8c1c2c3796e3_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&800& data-thumbnail=&/v2-80cf78a7c8c1c2c3796e3_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-80cf78a7c8c1c2c3796e3_r.gif&&&br&&/p&&br&&p&(3) 电磁炮&br&&/p&&img src=&/v2-92c0df475f9abb3f5aa872d_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& data-thumbnail=&/v2-92c0df475f9abb3f5aa872d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-92c0df475f9abb3f5aa872d_r.gif&&&br&&p&(4) 时钟&/p&&img src=&/v2-af6afbc6b34511f5abed29_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&122& data-thumbnail=&/v2-af6afbc6b34511f5abed29_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&(5) 骑摩托车上下坡&/p&&img src=&/v2-8ea05c46bc9f839f981ad16e307f33e5_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&217& data-thumbnail=&/v2-8ea05c46bc9f839f981ad16e307f33e5_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&(6) 跳舞的星星&br&&/p&&img src=&/v2-eac1ee9a7_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& data-thumbnail=&/v2-eac1ee9a7_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&p&看到这里，是不是觉得这小软件还有那么点意思？ 快去学习吧。画动态曲线图的技术，你值得拥有。&/p&&p&============================&/p&&p&整齐的排版请见这里：&a href=&/?target=https%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dfd7fbb7c0e5a3b%26chksm%3Deaefdd80cb6bedeac3%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何画出会动的曲线图？作图技术进阶之必备技能&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&另，欢迎关注我的微信公号“科研加油站”(keyanbc)，不定时po一些科研干货、论文写作中的经验教训、作图技巧、技术宅和好玩的东西。在对话框界面回复gnuplot可获取上面提及教程、软件、以及例子。&/p&&p&另2，还有一些可能有用的文章：&/p&&p&&strong&1&/strong&论文写作&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3De7c1eb61f04c0c1fc5346%26chksm%3Dea3977cbdd4efeddbab231c3d22b38c46e7a823b0efe4d3b04dabb1c6cscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&论文查重：防止被查重系统误伤的几个注意事项&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D5bf948fc7e0a107d8b1aac%26chksm%3Deaefed38d334fce1dd75b63e8aefee7aee05b4e7e71ba7%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&研究生第一篇学术论文常犯问题总结&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbdbfb25fd1dcf4fbe7e0efea%26chksm%3Dea39778cdd4efe9adfca666b836ae2fc6aaf7b6f350b0adc01%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&写论文和报告容易犯的低级错误&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dab484dfed388a10ce3a26%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&论文写作应该注意的八个细节&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D04b8b9aa2d83f6a6c4c5b%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&SCI投稿全过程信件模板&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D58a96d63c2d7caf4bdc81f7b4bd5001e%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&发表SCI论文有哪些实用工具？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&strong&2&/strong&实用妙招&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbe9fa0bchksm%3Deaefebb4a3e7cafead44fe3bf85e7a217b6648efab84%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&编辑公式效率太低？来看MathType的重要技巧&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dc12bf7a0b0d0c5da59a929bc2e4b1ebd%26chksm%3Deaefec439f4082dcbfd4b4029f3aaceebbe56713da7baa%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何把图片格式的Pdf转化为可编辑的Word?&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbba5f2bcebedbc7fa49b%26chksm%3Deaefda0a66e73b5cec8eb0b8af32%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何使用Matlab将其画出的图片，直接生成PPT？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D771da429b607fchksm%3Deaefd7e40e56abebbcad88b89dfeafabscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&21个最出名最好用的免费电子书下载网站&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D2ad34fa5cf9e2a%26chksm%3Deaefd8daee420ace92b391f79eescene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&搜不到专业的资料、文献和数据？用这些网站试试&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D3accf41a14d88c7cec88c59%26chksm%3Dea39772add4efe3c28cc91cea2aa70fa11b35ed0fc00f%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Google学术网址打不开如何愉快地科研？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&strong&3&/strong&作图技巧&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbef156d5eaab194dedd1%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&你一定要知道的十款主流画图软件&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D668ab9b4cdca2scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何把别人论文中的曲线图，自动转化为数据点？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D4fb5e4cafc808ea70a8fc%26chksm%3Deaefd466acb7af9b773b85de04dad63fc8b46b2e51edf04e5faf0969%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高级版：如何从别人论文的曲线图中获取数据点？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dde36f51c65e50b77cd502c5a114b7c77%26chksm%3Deaefee1dc492495fccb2bf291f84aff9bdff%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何在横纵坐标、标题上显示公式或特殊符号？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Defe66b1e1757bea25b8f%26chksm%3Deaefe372ffdd33ef5c17aeb8dc2f7f7b0b611a9ffe82709b%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何自动裁剪掉图像多余的白边和坐标系边框？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dc170e9fd8bc5ba9ff139dbd%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Matlab导出高清图片的正确方法&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&strong&4&/strong&编程技巧&/p&&p&&a 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noreferrer&&媲美Matlab的神器——Python语言的十本入门经典&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D1befbscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Matlab数学建模算法全收录，数学建模比赛必备&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D6aac73c5aa010d0af3d95d%26chksm%3Deaefd87ca97b4cfb644e3b6b42f451c16%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Matlab中提高m文件执行效率的小技巧&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&strong&5&/strong&技术宅&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Db00b54d2efe699ef8c42f9%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&买西瓜的高级玩法，用好你的智能手机&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D72efda9c56fbff96%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&家里没人怎么防火防盗？装上这段自动看家程序&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D501a5ace8fc02ab093bd646f4662bab7%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&半夜看小说伤眼睛怎么办？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D5d8c4fabbbae2fc2bf5ebb%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&放学快走，你的电脑在实验室自己喊啪嗒！&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D14ee41fabee%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何利用普通计算器求解高次方程的解&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&/?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dcfaf8f427bc6f%26chksm%3Dea39743cdd4efd2a42f38d61e95da3dac98ebe5e1aecc8a80f516bb4e%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&手机还能干这事？以后再也不担心忘带激光笔了&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
画图是理工科工作者的必备技能，以前总结过画图常用软件： 也许你已能用它们熟练地画出美美的tif，jpg，bmp或者emf等格式的图片。确实，以此用于发论文或写结题报告都应该已经够用了。 但是…
&img src=&/v2-032dd971f68e7a3e133eaca4902a70ab_b.jpg& data-rawwidth=&589& data-rawheight=&288& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&589& data-original=&/v2-032dd971f68e7a3e133eaca4902a70ab_r.jpg&&电化学当中一个很大的分支是研究电子导体（电极）与离子导体（电解质溶液/固体电解质）界面的科学，我们称其为电极/溶液界面。而要想清晰的认识这个界面，我们必须要借助物理模型的帮助才行。&p&人类最伟大的思想就是“建模”思想。由于自然界是很复杂的，有众多的因素在起着影响，我们如何将其中最重要最本质的过程抓出来，这是学科学最美妙的地方。世间万物的低速宏观运动规律都满足牛顿力学，这是一个多漂亮的模型。当然在电催化/电化学当中，也有许多这样类似的模型，我们借助它们可以更好的认识在微观/宏观尺度上电化学体系究竟发生了什么变化。&/p&&p&要了解电化学，电流和电压是两个逃不过的物理量。电化学当中的所有测量也都是针对这两个来进行的，因此下面我们讲讲什么是电流？什么又是电压？&/p&&p&电流，简单说来就是带电粒子的运动，我们假设带电粒子的数密度（在单位体积内的数量）为&img src=&/equation?tex=n_i& alt=&n_i& eeimg=&1&&，其所带电荷量为&img src=&/equation?tex=z_i& alt=&z_i& eeimg=&1&&，运动的速度为&img src=&/equation?tex=v_i& alt=&v_i& eeimg=&1&&，因此由这个粒子运动所引起的电流密度（每平方米上的电流）为：&/p&&img src=&/equation?tex=I_i%3Dz_in_iv_i& alt=&I_i=z_in_iv_i& eeimg=&1&&&p&在电解质溶液当中，由于溶液必须保持电中性，因此阴阳离子的总电荷数必须相等（可能有不同带电荷量的粒子）。这时，在电解质溶液中通过的电流其实是阴阳离子运动的加和，那么总电流的表达式就可以写成（其中a表示anion阴离子，c表示cation阳离子）：&/p&&img src=&/equation?tex=I_%7Btot%7D%3D%5Csum_%7Ba%7D%7Bz_an_av_a%7D%2B%5Csum_%7Bc%7D%7Bz_cn_cv_c%7D+& alt=&I_{tot}=\sum_{a}{z_an_av_a}+\sum_{c}{z_cn_cv_c} & eeimg=&1&&&br&&p&对于这个式子我们要说明的一点是：由于阴阳离子运动方向相反，因此&img src=&/equation?tex=v_a%2Cv_c& alt=&v_a,v_c& eeimg=&1&&只是速率大小，并非是速度。&/p&&p&那么紧接着就可以引入一个非常有趣的概念：迁移数，这是针对每个离子来说的，简而言之就是该离子运动所引起的电流占总电流的比例，我们用&img src=&/equation?tex=t_i& alt=&t_i& eeimg=&1&&来表示：&/p&&img src=&/equation?tex=t_i%3D%5Cfrac%7Bz_in_iv_i%7D%7BI_%7Btot%7D%7D& alt=&t_i=\frac{z_in_iv_i}{I_{tot}}& eeimg=&1&&&br&&p&在金属中由于金属的导电性非常好，因此体系的总电流主要是由电解质溶液以及电极/溶液界面上的电催化反应所产生的电流决定。&/p&&p&下面我们要将电压的概念。这就牵扯到了电势。什么是电势？我们假设处在无穷远点的孤立带电粒子的电势为0，那么将它逐步移到一个电荷周围时，由于两者之间有库伦相互作用，因此库仑力会对试探电荷（我们原先放在无穷远出的电荷）做功。做功就必然导致能量变化，因此这时试探电荷就有了一定能量（相比于无穷远处为0时），那么这时所拥有的能量除以其本身电荷量，我们就能得到某点的电势。当我们知道两点的电势时，我们就能定义这两点的电势差。&/p&&p&在电化学当中电势的概念更加复杂，由于存在电极/溶液界面，因此在界面上会形成“双电层”，这是电化学当中最重要的一个概念，我们在下面会逐步介绍。当然双电层的形成导致界面电势会发生“跳跃”，由于界面宽度很窄（大约10埃左右），而电势降又较大（大约1V左右），因此电场强度可达到&img src=&/equation?tex=10%5E9V%2Fm& alt=&10^9V/m& eeimg=&1&&，这么强的电场是影响电极/溶液界面最重要的因素。回到电化学中的电势，我们会定义三种电势，分别是：（1）外电势（Volta电势，符号为&img src=&/equation?tex=%5Cpsi& alt=&\psi& eeimg=&1&&）（2）界面电势（符号为&img src=&/equation?tex=%5Cchi+& alt=&\chi & eeimg=&1&&）（3）内电势（Galvani电势，符号为&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&）。还有一个电化学中最重要的物理量——电化学势（符号为&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu%7D++& alt=&\tilde{\mu}
& eeimg=&1&&）。&/p&&p&下面一幅图完美的说明了这四个量之间的关系：&/p&&img src=&/v2-e15e9a55_b.png& data-rawwidth=&449& data-rawheight=&385& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&449& data-original=&/v2-e15e9a55_r.png&&&p&&b&&i&图 1. 电化学中各个电势以及物理量间的关系&/i&&/b&&/p&&p&下面给出上面四个物理量的解释（注意！不是定义！我个人不太喜欢定义，因为很死板，了解物理概念中最核心的本质之后运用自己的语言描述才是最适合自己的）：&/p&&ul&&li&外电势（Volta电势&img src=&/equation?tex=%5Cpsi+& alt=&\psi & eeimg=&1&&）：将试探电荷从无穷远处移到距离表面一定距离（这个距离既要满足足够贴近表面又要防止与表面的“感应电荷”进行相互作用）时所感受到的电势。这个电势可以用实验进行测量。它同时又是我们理解功函数的基准点。&/li&&li&内电势（Galvani电势&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&）：将试探电荷从无穷远处移到电极内部（但不与电极所带的电子、原子核进行相互作用）时所感受到的电势。&/li&&li&界面电势&img src=&/equation?tex=%5Cchi+& alt=&\chi & eeimg=&1&&：内电势减去外电势就是界面电势，它也可以认为是电子从电极/溶液界面内部跨过电极表面进到内部时所要克服的能量。&/li&&li&电子的化学势&img src=&/equation?tex=%5Cmu+_e& alt=&\mu _e& eeimg=&1&&：由于金属是良导体，因此可以认为金属内部是等势体，因此可以将电势作用忽略。这时电子从金属内部达到费米能级所需要的能量就成为电子的化学势。我们可以看看化学势的定义：&img src=&/equation?tex=%5Cmu_i%3D%28%5Cpartial+G%2F%5Cpartial+n_i%29_%7Bp%2CT%2Cn_%7Bj%5Cne+i%7D%7D& alt=&\mu_i=(\partial G/\partial n_i)_{p,T,n_{j\ne i}}& eeimg=&1&&。因此化学势代表在体系中加入单位量的某种物质可以引起体系Gibbs自由能的变化，这个其中必须牵扯到新引入粒子与原先粒子之间的相互作用。由于金属中新引入的电子必须占据费米能级，因此电子能量就为费米能量，从而化学势就是费米能级与内电势之差。&/li&&br&&li&电子的电化学势&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu%7D_e+& alt=&\tilde{\mu}_e & eeimg=&1&&：将电子从无穷远处引入金属费米能级所引起的总势能变化，由图1我们可以看到，&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu%7D_e%3D%5Cmu_e%2B%28-e%29%5Cvarphi& alt=&\tilde{\mu}_e=\mu_e+(-e)\varphi& eeimg=&1&&&/li&&li&其他物质的电化学势&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmu_i%7D%3D%5Cmu_i%2Bz_iF%5Cvarphi& alt=&\tilde{\mu_i}=\mu_i+z_iF\varphi& eeimg=&1&&。这里的&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi& alt=&\varphi& eeimg=&1&&代表了粒子在其所在位置所受到的电势。&/li&&/ul&&p&在物理化学中，判断两相平衡的常用方法是化学势相等。而在电化学体系中，由于引入了电的作用，因此判断两相平衡的常用方法是电化学势相等。因此我们知道：带电粒子在某处的浓度与此处的电势有密切关系。&/p&&p&从图1中我们还可以得到“功函数”的定义：将一个电子从费米能级打到电极外部（类“真空”处，也就是外电势所在的参考点）所需要的能量，它可以认为是电子的化学势加上界面电势（图中的&img src=&/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&）&/p&&p&以上就是电催化中电流和电压（电势）的定义。下面让我们着重看一下双电层。&/p&&p&双电层的形成原因到目前还没有一个准确的理解，众说纷纭。Schmickler教授在1996年有一篇介绍双电层的综述（Chemical Reviews, ), )，对细节感兴趣的可以参考这篇文献。在这篇文章中我想讲讲就从最简单的方式来理解双电层以及其中比较重要的性质（例如零点荷电位，PZC）与界面电容。&/p&&p&由于在双电层区域会有电势变化，因此电荷在双电层区域的分布不是均匀的，会产生电荷分离。电荷分离后就会形成电容（想想电容的模型：两个金属板带相反电荷，中间是电介质）。下面要探讨的问题是：为什么会有电荷分离现象？这就不得不提到金属的物理模型了。&/p&&p&描述金属中电子最简单的模型就是自由电子气模型。由于电子是费米子，因此运用量子统计的知识，我们知道电子满足Fermi-Dirac（费米-狄拉克）分布：&/p&&img src=&/equation?tex=f%28%5Cepsilon%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bexp%28%5Cfrac%7B%28%5Cepsilon-E_f%29%7D%7Bk_BT%7D%29%7D& alt=&f(\epsilon)=\frac{1}{1+exp(\frac{(\epsilon-E_f)}{k_BT})}& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=f%28%5Cepsilon%29& alt=&f(\epsilon)& eeimg=&1&&为电子的“布局数”，而&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&&则为电子所拥有的能量。&/p&&p&Fermi-Dirac分布的示意图如下：&/p&&img src=&/v2-89ba1d358bf0b0bcbaec4c76e3d14066_b.png& data-rawwidth=&418& data-rawheight=&241& class=&content_image& width=&418&&&p&&b&&i&图 2. 来自Google（Fermi-Dirac Distribution）&/i&&/b&&br&因此我们可以得到这样的一个直观认识：在&img src=&/equation?tex=T%3E0& alt=&T&0& eeimg=&1&&时，会有部分电子溢出到外面去，这时表面会带少许的正电荷。而这些正电荷会对界面做两件事情：（1）引起水分子（偶极分子）的取向变化（2）吸引阴离子靠近界面。如果我们不考虑特性吸附（也就是离子与表面有化学作用）时，可以认为表面的正电荷与阴离子（负电荷）之间形成了一种“电荷分离”的结构，而这种结构，则是双电层电容属性的来源。当然这只是一个非常简单的模型，更复杂（却更符合实际）的双电层模型请参考具体文献。&/p&&p&下面我们讨论一下如果改变电极电势，会改变什么？我们都知道，如果将电极电势提高（变得更正），则电子的能量会下降（由于电子带负电：&img src=&/equation?tex=%5CDelta+E%3D%28-e_0%29%5CDelta+%5Cvarphi& alt=&\Delta E=(-e_0)\Delta \varphi& eeimg=&1&&），因此这时Fermi能级会下降，原来有的电子会自由的跑到溶液中形成水合电子，而表面由于正电荷（原子核）数量没变，而电子数量减少，因此表面呈现正电性。反之如果我们降低（变得更负）电极电势，则电子的能量会提到，因此费米能级会提高，有更多的电子会在金属当中。因此金属表面呈现负电荷。至于为什么电荷都要存储在表面？那是由于金属是良导体，良导体达到静电平衡时电荷都处于外表面。如果我们能通过改变电势改变金属表面带电荷量（负电到正电），那么势必在某一个电势处界面的电荷量为0，这时所对应的电荷我们称为零电荷电位（Potential of Zero Charge, PZC)。更确切的说应该是零自由电荷电位（Potential of Zero Free Charge, PZFC）。当然也有另一种零电荷电位称为：零总电荷电位（Potential of Zero Total Charge, PZTC）。它们具体的区别以及测量方法请参考期刊。&/p&&p&由于PZC(PZFC)的概念中牵扯到电子的费米能级，而我们知道功函数中包含电子的化学势（也牵扯费米能级），因此我们可以很直观的想到功函数和PZC之间应该有一定的关系，从实验/理论计算也可以得到这个结果：&/p&&p&&img src=&/v2-d22a593deb_b.png& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&467& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&/v2-d22a593deb_r.png&&&b&&i&图 3. 不同金属及其Miller晶面的零电荷电位（PZC）与功函数的相关关系。（来自Schmickler教材《Interfacial Electrochemistry》）&/i&&/b&&/p&&p&零电荷电位会随着金属不同以及电解质溶液的不同而改变。2017年最新的一篇文章中，Koper和Feliu课题组就运用PZC的概念说明为什么氢析出反应（HER）在酸性、碱性中活性不同。它们认为是由于碱性时Pt(111)的PZC已经移动到O物种区域了，因此在HER发生电位下表面带负电，导致水层强烈取向极化，因此水层的转动收到限制，从而降低了HER的活性。&/p&&p&双电层由于产生了界面电荷分离，因此对其有电容属性，电容的计算可以通过平衡时界面电荷分布与该点电势的微分得到：&img src=&/equation?tex=C_%7Bdl%7D%3Ddq%2Fd%5Cvarphi& alt=&C_{dl}=dq/d\varphi& eeimg=&1&&。最后得到的电容是电位&img src=&/equation?tex=%5Cvarphi& alt=&\varphi& eeimg=&1&&的函数。经过计算/实验测量可以得到电容在某个电势下会出现最小值，这时的电位我们称为——零电荷电位。为啥是零电荷呢？我们可以想想：如果出现电荷分离，分离的电荷量越大则电容越大。当分离的电荷量减小到0时，电容就会变小。但有可能不是0，那么多于部分的电容从哪里来呢？有两种可能性：（1）来自于溶液分子的极化（2）来自于界面“紧密层”(Stern模型）。具体电容的理论推导以后会逐步给大家介绍。可以推荐看看Gouy-Chapman模型以及GCS（加上了Stern的修正的模型）。&/p&&p&&img src=&/v2-140fef8ba5efaf39b63feeb7cc4458e1_b.png& data-rawwidth=&674& data-rawheight=&490& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&674& data-original=&/v2-140fef8ba5efaf39b63feeb7cc4458e1_r.png&&&b&&i&图 4. 通过Gouy-Chapman模型计算出双电层电容与电极电势之间的关系（来自Schmickler教材《Interfacial Electrochemistry》）&/i&&/b&&/p&&p&总结：&/p&&p&本文介绍一下几个概念：&/p&&p&（1）电流是形成以及微观表达式；迁移数的概念&/p&&p&（2）外电势、界面电势、内电势、电化学势、化学势的概念&/p&&p&（3）电极/溶液界面双电层的形成、零电荷电位（PZC，PZTC，PZFC）&/p&&p&以后还会不断介绍更多电催化/电化学中有趣的物理模型。这些物理模型是我们理解电化学过程的“工具”。&/p&&p&“工欲善其事，必先利其器”。&/p&
电化学当中一个很大的分支是研究电子导体（电极）与离子导体（电解质溶液/固体电解质）界面的科学，我们称其为电极/溶液界面。而要想清晰的认识这个界面，我们必须要借助物理模型的帮助才行。人类最伟大的思想就是“建模”思想。由于自然界是很复杂的，有众…
&img src=&/v2-bada1dc2cfd7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-bada1dc2cfd7_r.jpg&&&p&题图是Berry Face，祝老爷子早日拿诺贝尔奖。&/p&因为后面内容很多都离不开Berry Phase，先从基础写起。主要参考Di Xiao &i&et al.&/i& Berry Phase Effects on Electronic Properties. &i&Rev. Mod. Phys. &/i&&b&82&/b&, )以及B. Andrei Bernevig and Taylor L. Hughes, &i&Topologcial Insulator and Topolgocial Superconductor, &/i&Chapter 2，当然二者都来自于Berry原始的文章Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes. &i&Prog. R. Soc. Lond. A &/i&&b&392&/b&, 45-57 (1984)。。。文章里写得都太清楚了所以我这里就抄一遍。。。&p&首先考虑一个物理系统，其哈密顿量由一族参数决定，表示为&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D+%3D+%28%7BR_1%7D%2C%7BR_2%7D%2C...%29& alt=&\bm{R} = ({R_1},{R_2},...)& eeimg=&1&&，即&/p&&img src=&/equation?tex=H+%3D+H%28%5Cbm%7BR%7D%29%2C%5Cquad+%5Cbm%7BR%7D+%3D+%5Cbm%7BR%7D%28t%29& alt=&H = H(\bm{R}),\quad \bm{R} = \bm{R}(t)& eeimg=&1&&&br&&p&我们考虑这一物理系统的缓慢（绝热）演化，参数&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%28t%29& alt=&\bm{R}(t)& eeimg=&1&&在参数空间中沿路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&缓慢移动。我们可以引入每一时刻的正交归一化的哈密顿量&img src=&/equation?tex=H%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&H(\bm{R})& eeimg=&1&&的本征态&/p&&img src=&/equation?tex=H%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle+%3D%7B%5Cvarepsilon+_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&H(\bm{R})| n(\bm{R})\rangle ={\varepsilon _n}(\bm{R})|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&不过上式没有唯一地给定所有的基函数&img src=&/equation?tex=%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&，还有一个任意的相位因子未定，这个相位应该是&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D& alt=&\bm{R}& eeimg=&1&&的函数。我们这里要求这个相位因子在参数空间中应该是光滑而且单值的。&/p&&p&根据量子绝热定理，如果一个系统最初处于其中一个本征态&img src=&/equation?tex=%7Cn%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%280%29%29%5Crangle& alt=&|n({\bm{R}}(0))\rangle& eeimg=&1&&上，在演化过程中的每一时刻它也是哈密顿量&img src=&/equation?tex=H%28%5Cbm%7BR%7D%28t%29%29& alt=&H(\bm{R}(t))& eeimg=&1&&的本征态。此时唯一可以自由规定的就是相位，我们将&img src=&/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&时刻的态写成&/p&&img src=&/equation?tex=%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%28t%29%5Crangle+%3D+%7Be%5E%7Bi%7B%5Cgamma+_n%7D%28t%29%7D%7D%7Be%5E%7B+-+%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar+%7D%5Cint_0%5Et+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7Bt%5E%5Cprime%7D%7B%5Cvarepsilon+_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%28%7Bt%5E%5Cprime%7D%29%29%7D+%7D%7D+%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%280%29%5Crangle& alt=&| {\psi_n}(t)\rangle = {e^{i{\gamma _n}(t)}}{e^{ - \frac{i}{\hbar }\int_0^t {{\rm{d}}{t^\prime}{\varepsilon _n}(\bm{R}({t^\prime}))} }} | {\psi_n}(0)\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&其中第二个相因子就是动力学相因子。将这个表达式代入含时薛定谔方程中&/p&&img src=&/equation?tex=i%5Chbar+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%7B%5Cpartial+t%7D%7D%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%28t%29%5Crangle+%3D+H%28%5Cbm%7BR%7D%28t%29%29%7C+%7B%5Cpsi_n%7D%28t%29%5Crangle& alt=&i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}| {\psi_n}(t)\rangle = H(\bm{R}(t))| {\psi_n}(t)\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&可以发现相因子&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&可以写成参数空间中沿路径积分的形式&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cgamma+_n%7D+%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%5Crm%7Bd%7D%7D+%7B%5Cbm%7BR%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29& alt=&{\gamma _n} = \int_{\mathcal C} {\rm{d}} {\bm{R}} \cdot {{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})& eeimg=&1&&形式为&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%3Di%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%7B%5Cpartial+%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%7D%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})=i\langle n(\bm{R})|\frac{\partial }{{\partial {\bm{R}}}}|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&这个矢量&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}(\bm{R})& eeimg=&1&&被称为Berry联络&/p&&p&所以我们发现在绝热演化的过程中，量子态除动力学相因子以外还会获得一个额外的相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&&/p&&p&显然矢量&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}(\bm{R})& eeimg=&1&&与所选取的规范有关。如果我们进行规范变换&/p&&img src=&/equation?tex=%7C+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle+%5Cto+%7Be%5E%7Bi%5Czeta+%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%7D%7C+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&| n(\bm{R})\rangle \to {e^{i\zeta ({\bm{R}})}}| n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&其中&img src=&/equation?tex=%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&\zeta(\bm{R})& eeimg=&1&&是任意光滑函数。&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})& eeimg=&1&&变为&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29+%5Cto+%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%7D%7D%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}}) \to {{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})-\frac{\partial}{{\partial{\bm{R}}}}\zeta(\bm{R})& eeimg=&1&&&br&&p&所以原来的相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&在变换后会改变&img src=&/equation?tex=%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%280%29%29-%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%28T%29%29& alt=&\zeta(\bm{R}(0))-\zeta(\bm{R}(T))& eeimg=&1&&，其中&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%280%29& alt=&\bm{R}(0)& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%28t%29& alt=&\bm{R}(t)& eeimg=&1&&分别是路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&的起点和终点。所以最初人们认为相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&是不重要的，因为总可以通过合适的规范变换将其消去。&/p&&br&&p&不过Berry考虑了系统沿一个&b&闭合&/b&路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&演化的过程，即&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D%28T%29%3D%5Cbm%7BR%7D%280%29& alt=&\bm{R}(T)=\bm{R}(0)& eeimg=&1&&。由于我们选取的基函数在路径上都是单值的，所以此时对规范变换的因子&img src=&/equation?tex=e%5E%7Bi%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%29%7D& alt=&e^{i\zeta(\bm{R})}& eeimg=&1&&的要求是&/p&&img src=&/equation?tex=%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%280%29%29-%5Czeta%28%5Cbm%7BR%7D%28T%29%29%3D+2+%5Cpi+%5Ctimes+%5Crm%7Binteger%7D& alt=&\zeta(\bm{R}(0))-\zeta(\bm{R}(T))= 2 \pi \times \rm{integer}& eeimg=&1&&&br&&p&所以这是&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&在规范变换中只能改变&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&的整数倍，不能被消去，所以它是一个规范无关的量，被称为Berry相位或者几何相位。&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cgamma+_n%7D+%3D+%5Coint_%7B%5Cmathcal%7BC%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BR%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D& alt=&{\gamma _n} = \oint_{\mathcal{C}} {{\rm{d}}{\bm{R}} \cdot {{\bm{\mathcal{A}}}_n}({\bm{R}})}& eeimg=&1&&&br&&p&可以看到Berry相位只与闭合路径有关而与时间无关，所以在以后的讨论中会忽略时间。&/p&&p&类似于电动力学，可以用Berry联络规定规范场的张量&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5COmega+_%7B%5Cmu+%5Cnu+%7D%5En%28%5Cbm%7BR%7D%29+%26%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cmu+%7D%7D%7D%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D_%5Cnu+%5En%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cnu+%7D%7D%7D%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D_%5Cmu+%5En%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%5C%5C%0A%26%3D+i%5Cleft%5B%5Clangle+%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+n%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cmu+%7D%7D%7D%7C%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+n%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7BR%5E%5Cnu+%7D%7D%7D%5Crangle+-+%28%5Cnu+%5Cleftrightarrow+%5Cmu+%29%5Cright%5D%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}
\Omega _{\mu \nu }^n(\bm{R}) &= \frac{\partial}{{\partial {R^\mu }}}{\mathcal{A}}_\nu ^n({\bm{R}}) - \frac{\partial }{{\partial {R^\nu }}}{\mathcal{A}}_\mu ^n({\bm{R}})\\
&= i\left[\langle \frac{{\partial n({\bm{R}})}}{{\partial {R^\mu }}}|\frac{{\partial n({\bm{R}})}}{{\partial {R^\nu }}}\rangle - (\nu \leftrightarrow \mu )\right]\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&称为Berry曲率。根据Stokes定理Berry相位可以写成面积分的形式&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cgamma+_n%7D+%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7BR%5E%5Cmu+%7D+%5Cwedge+%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7BR%5E%5Cnu+%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5COmega+_%7B%5Cmu+%5Cnu+%7D%5En%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D& alt=&{\gamma _n} = \int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{R^\mu } \wedge {\rm{d}}{R^\nu }\frac{1}{2}\Omega _{\mu \nu }^n({\bm{R}})}& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BS%7D& alt=&\mathcal{S}& eeimg=&1&&是任意以路径&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D& alt=&\mathcal{C}& eeimg=&1&&为边界的面。&br&&/p&&p&可以知道Berry联络是规范不变的，也是可观测量。&/p&&p&特别地，如果参数空间是三维的，前面的表达式可以写成矢量形式&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%7B%7B%5Cbm%7B%5COmega%7D%7D+_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29+%26%3D+%7B%5Cnabla+_%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%7D+%5Ctimes+%7B%7B%5Cmathcal%7BA%7D%7D_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%5C%5C%7B%5Cgamma+_n%7D+%26%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BS%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5COmega%7D%7D+_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}{{\bm{\Omega}} _n}({\bm{R}}) &= {\nabla _{\bm{R}}} \times {{\mathcal{A}}_n}({\bm{R}})\\{\gamma _n} &= \int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{\bm{S}} \cdot {{\bm{\Omega}} _n}({\bm{R}})}\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&矢量&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbm+%5COmega%7D_n%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&{\bm \Omega}_n(\bm{R})& eeimg=&1&&与Berry曲率&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%5En%28%5Cbm%7BR%7D%29& alt=&\Omega_{\mu\nu}^n(\bm{R})& eeimg=&1&&关系为&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%5En%3D%5Cepsilon_%7B%5Cmu%5Cnu%5Cxi%7D%28%5Cbm%7B%5COmega%7D_n%29_%5Cxi& alt=&\Omega_{\mu\nu}^n=\epsilon_{\mu\nu\xi}(\bm{\Omega}_n)_\xi& eeimg=&1&&。Berry曲率描述的是参数空间的局域性质，与路径无关。&/p&&p&注意到Berry相位&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n& alt=&\gamma_n& eeimg=&1&&是实数，因为&img src=&/equation?tex=%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_%7B%5Cbm+R%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&\langle n(\bm{R})|\nabla_{\bm R}|n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&是纯虚数：&/p&&img src=&/equation?tex=%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%3D1+%5Cto+%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_%7B%5Cbm+R%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%3D-+%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_%7B%5Cbm+R%7D%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%5E%2A& alt=&\langle n(\bm{R})|n(\bm{R})\rangle=1 \to \langle n(\bm{R})|\nabla_{\bm R}|n(\bm{R})\rangle=- \langle n(\bm{R})|\nabla_{\bm R}|n(\bm{R})\rangle^*& eeimg=&1&&&p&所以Berry相位也可以写成&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cgamma_n%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7D%5Cbm%7BR%7D%5Ccdot+%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7D%5Cbm%7BS%7D%5Ccdot+%28%5Cnabla%5Ctimes%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%29%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7DS_i%5Cepsilon_%7Bijk%7D+%5Cnabla_j%5Clangle+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_k%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5CIm+%5Coint_%7B%5Cmathcal+C%7D+%7B%7B%5Cmathrm+d%7D%5Cbm%7BS%7D%5Ccdot+%28%5Clangle+%5Cnabla+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Ctimes%7C%5Cnabla+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%29%7D%5C%5C%0A+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}\gamma_n&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}\bm{R}\cdot \langle n(\bm{R})|\nabla|n(\bm{R})\rangle}\\
&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}\bm{S}\cdot (\nabla\times\langle n(\bm{R})|\nabla|n(\bm{R})\rangle)}\\
&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}S_i\epsilon_{ijk} \nabla_j\langle n(\bm{R})|\nabla_k|n(\bm{R})\rangle}\\
&=-\Im \oint_{\mathcal C} {{\mathrm d}\bm{S}\cdot (\langle \nabla n(\bm{R})|\times|\nabla n(\bm{R})\rangle)}\\
\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&我们发现这个表达式无法用于数值计算Berry相位。在哈密顿量求本征值的过程中，本征态的相位完全没有被考虑进来，如果想用上面的表达式计算的话需要一个光滑的相因子，而这不是一个简单的过程，所以我们需要一个与规范无关的表达式。在上面的表达式中插入完备本征态&img src=&/equation?tex=%5Csum%5Cnolimits_m+%7B%7Cm%5Crangle%5Clangle+m%7C%7D%3D1& alt=&\sum\nolimits_m {|m\rangle\langle m|}=1& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7C%5Cnabla_k%7Cn%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%0A%3D%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%5Crangle%5Clangle+n%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%5C%5C%2B%5Csum%5Climits_%7Bm%5Cne+n%7D%7B%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cm%5Crangle%5Clangle+m%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D& alt=&\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|\nabla_k|n(\bm{R})\rangle
=\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|n\rangle\langle n|\nabla_k n(\bm{R})\rangle\\+\sum\limits_{m\ne n}{\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|m\rangle\langle m|\nabla_k n(\bm{R})\rangle}& eeimg=&1&&&br&&p&由于&img src=&/equation?tex=%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cn%5Crangle& alt=&\langle\nabla_j n(\bm{R})|n\rangle& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=%5Clangle+n%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle& alt=&\langle n|\nabla_k n(\bm{R})\rangle& eeimg=&1&&都是虚数，其积为实数，所以对表达式的虚部没有贡献可以去掉。此时&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cgamma_n%3D-%5CIm+%5Cint+%7B%7B%5Cmathrm+d%7DS_i+%5Csum%5Climits_%7Bm%5Cne+n%7D%7B%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Clangle%5Cnabla_j+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%7Cm%5Crangle%5Clangle+m%7C%5Cnabla_k+n%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Crangle%7D%7D& alt=&\gamma_n=-\Im \int {{\mathrm d}S_i \sum\limits_{m\ne n}{\epsilon_{ijk}\langle\nabla_j n(\bm{R})|m\rangle\langle m|\nabla_k n(\bm{R})\rangle}}& eeimg=&1&&&br&&p&在继续想办法去除对本征态的导数。我们知道&/p&&img src=&/equation?tex=E_n%5Clangle+m%7C%5Cnabla+n%5Crangle%3D%5Clangle+m%7C%5Cnabla+%28Hn%29%5Crangle%3D%5Clangle+m%7C%28%5Cnabla+H%29n%5Crangle%2BE_m%5Clangle+m%7C%5Cnabla+n%5Crangle& alt=&E_n\langle m|\nabla n\rangle=\langle m|\nabla (Hn)\rangle=\langle m|(\nabla H)n\rangle+E_m\langle m|\nabla n\rangle& eeimg=&1&&&br&&p&所以&/p&&img src=&/equation?tex=%5Clangle+m%7C%5Cnabla+n%5Crangle%3D%5Cfrac%7B%5Clangle+m%7C%28%5Cnabla+H%29%7Cn%5Crangle%7D%7BE_n-E_m%7D& alt=&\langle m|\nabla n\rangle=\frac{\langle m|(\nabla H)|n\rangle}{E_n-E_m}& eeimg=&1&&&br&&p&同样推导出&img src=&/equation?tex=%5Clangle+%5Cnabla+n%7Cm%5Crangle& alt=&\langle \nabla n|m\rangle& eeimg=&1&&，这样&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%7B%5Cgamma+_n%7D+%26%3D+%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BS%7D%7D+%5Ccdot+%7B%7B%5Cbm%7B%5COmega%7D%7D+_n%7D%28%7B%5Cbm%7BR%7D%7D%29%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BS%7D%7D+%7B%7B%5Crm%7Bd%7D%7D%7B%5Cbm%7BS%7D%7D%5Ccdot+%5CIm+%5Csum%5Climits_%7Bm%5Cne+n%7D%7B%5Cfrac%7B%5Clangle+n%7C%5Cnabla+H%7Cm%5Crangle%5Ctimes%5Clangle+m%7C%5Cnabla+H%7Cn%5Crangle%7D%7B%28E_m-E_n%29%5E2%7D%7D%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned}
{\gamma _n} &= \int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{\bm{S}} \cdot {{\bm{\Omega}} _n}({\bm{R}})}\\
&=\int_{\mathcal{S}} {{\rm{d}}{\bm{S}}\cdot \Im \sum\limits_{m\ne n}{\frac{\langle n|\nabla H|m\rangle\times\langle m|\nabla H|n\rangle}{(E_m-E_n)^2}}}
\end{aligned}& eeimg=&1&&&br&&p&显然此时的表达式与规范选取无关。不过注意两点，一是把所有能级的Berry相位相加会得到0，二是不能有任何能级交叉/简并的情况出现。&/p&&p&Berry相位也是用来描述能级简并的一个重要的工具。根据上面的表达式可以知道在能级简并出Berry曲率会出现奇点。我们考虑最简单的也最常见的情况，二能级系统。其哈密顿量的一般形式可以写成&/p&&img src=&/equation?tex=H%3D%5Cepsilon%28%5Cbm%7BR%7D%29+%7B%5Cmathcal+I%7D_%7B2%5Ctimes2%7D%2B%5Cbm%7Bd%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Ccdot+%5Cbm%7B%5Csigma%7D& alt=&H=\epsilon(\bm{R}) {\mathcal I}_{2\times2}+\bm{d}(\bm{R})\cdot \bm{\sigma}& eeimg=&1&&&br&&p&两个能级分别是&img src=&/equation?tex=E_%7B%5Cpm%7D%3D%5Cepsilon%28%5Cbm%7BR%7D%29%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cbm%7Bd%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bd%7D%7D& alt=&E_{\pm}=\epsilon(\bm{R})\pm\sqrt{\bm{d}\cdot\bm{d}}& eeimg=&1&&。使用球坐标把&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bd%7D& alt=&\bm{d}& eeimg=&1&&写成&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bd%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%3D%7Cd%7C%28%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Cphi%2C%5Csin%5Ctheta%5Csin%5Cphi%2C%5Ccos%5Ctheta%29& alt=&\bm{d}(\bm{R})=|d|(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)& eeimg=&1&&，两个本征态分别是&/p&&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7B-i%5Cphi%7D%5C%5C-%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%2C%7C%2B%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7B-i%5Cphi%7D%5C%5C%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&|-\bm{R}\rangle=\left(\begin{array}{c}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\\-\cos\frac{\theta}{2}\end{array}\right),|+\bm{R}\rangle=\left(\begin{array}{c}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\\\sin\frac{\theta}{2}\end{array}\right)& eeimg=&1&&&br&&p&可以计算出&/p&&img src=&/equation?tex=A_%5Ctheta%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Ctheta%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D0%2CA_%5Cphi%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Cphi%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&A_\theta=i\langle-\bm{R}|\partial_\theta|-\bm{R}\rangle=0,A_\phi=i\langle-\bm{R}|\partial_\phi|-\bm{R}\rangle=\sin^2\frac{\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%3D%5Cpartial_%5Ctheta+A_%5Cphi-%5Cpartial_%5Cphi+A_%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&\Omega_{\theta\phi}=\partial_\theta A_\phi-\partial_\phi A_\theta=\frac{\sin\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&p&我们可以注意到在南极点&img src=&/equation?tex=%5Ctheta%3D%5Cpi& alt=&\theta=\pi& eeimg=&1&&时，&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle& alt=&|-\bm{R}\rangle& eeimg=&1&&不是良定义的。如果选择另一个规范，令&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%5Cto+e%5E%7Bi%5Cphi%7D%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle& alt=&|-\bm{R}\rangle\to e^{i\phi}|-\bm{R}\rangle& eeimg=&1&&，我们得到&/p&&img src=&/equation?tex=%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5C%5C-%5Ccos%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7De%5E%7Bi%5Cphi%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&|-\bm{R}\rangle=\left(\begin{array}{c}\sin\frac{\theta}{2}\\-\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}\end{array}\right)& eeimg=&1&&&br&&p&此时&/p&&img src=&/equation?tex=A_%5Ctheta%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Ctheta%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D0%2CA_%5Cphi%3Di%5Clangle-%5Cbm%7BR%7D%7C%5Cpartial_%5Cphi%7C-%5Cbm%7BR%7D%5Crangle%3D-%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&A_\theta=i\langle-\bm{R}|\partial_\theta|-\bm{R}\rangle=0,A_\phi=i\langle-\bm{R}|\partial_\phi|-\bm{R}\rangle=-\cos^2\frac{\theta}{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%3D%5Cpartial_%5Ctheta+A_%5Cphi-%5Cpartial_%5Cphi+A_%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%7D& alt=&\Omega_{\theta\phi}=\partial_\theta A_\phi-\partial_\phi A_\theta=\frac{\sin\theta}{2}& eeimg=&1&&&p&Berry曲率是规范不变的。我们可以把球坐标变换回原来的&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7BR%7D& alt=&\bm{R}& eeimg=&1&&参数空间&/p&&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7BR_i%2CR_j%7D%3D%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%7D%7B%5Cpartial%28R_i%2CR_j%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%7D%7B%5Cpartial%28R_i%2CR_j%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cphi%2C%5Ccos%5Ctheta%29%7D%7B%5Cpartial%28R_i%2CR_j%29%7D& alt=&\Omega_{R_i,R_j}=\Omega_{\theta\phi}\frac{\partial(\theta,\phi)}{\partial(R_i,R_j)}=\frac{\sin\theta}{2}\frac{\partial(\theta,\phi)}{\partial(R_i,R_j)}=\frac{1}{2}\frac{\partial(\phi,\cos\theta)}{\partial(R_i,R_j)}& eeimg=&1&&&br&&p&对最简单的情形&img src=&/equation?tex=%5Cbm%7Bd%7D%28%5Cbm%7BR%7D%29%3D%5Cbm%7BR%7D& alt=&\bm{d}(\bm{R})=\bm{R}& eeimg=&1&&，求出Berry曲率&img src=&/equation?tex=%5COmega_%7B-i%7D%3D%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5COmega_%7BR_j%2CR_k%7D& alt=&\Omega_{-i}=\epsilon_{ijk}\Omega_{R_j,R_k}& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbm%5COmega%7D_-%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Cbm%7Bd%7D%7D%7Bd%5E3%7D%2C%5Cgamma_-%28%7B%5Cmathcal+C%7D%29%3D%5Cint_%5Cmathcal%7BS%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cbm%7BS%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cbm%7Bd%7D%7D%7B2d%5E3%7D%7D%2C+%5Cexp%28i%5Cgamma_-%28%5Cmathcal%7BC%7D%29%29%3D%5Cexp%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Di%5COmega%28%5Cmathcal%7BC%7D%29%5Cright%29& alt=&{\bm\Omega}_-=\frac{1}{2}\frac{\bm{d}}{d^3},\gamma_-({\mathcal C})=\int_\mathcal{S}{\mathrm{d}\bm{S}\cdot\frac{\bm{d}}{2d^3}}, \exp(i\gamma_-(\mathcal{C}))=\exp\left(\frac{1}{2}i\Omega(\mathcal{C})\right)& eeimg=&1&&&br&&p&如果对包含奇点的球面的Berry曲率进行积分，可以得到&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B%7B%5Cmathcal+S%7D%5E2%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cphi%7E%5COmega_%7B%5Ctheta%5Cphi%7D%7D%3D1& alt=&\frac{1}{2\pi}\int_{{\mathcal S}^2}{\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi~\Omega_{\theta\phi}}=1& eeimg=&1&&&br&&p&这个在闭曲面的Berry曲率积分再除以&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&被称为Chern数。这个积分非零（违反Stokes定理）的原因就是没有办法选择一个覆盖整个球面的规范使得每一点都是良定义的。&/p&&p&作为练习可以计算一下spin-S在磁场中的Berry曲率，已知哈密顿量&img src=&/equation?tex=H%3D%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bs%7D%2CE_n%28B%29%3DnB%2Cn%3D-S%2C-S%2B1%2C...%2CS& alt=&H=\bm{B}\cdot\bm{s},E_n(B)=nB,n=-S,-S+1,...,S& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&Berry相位水水的写完了，接下来计划是一些我觉得石墨烯最有趣的性质，从所谓的Dirac fermion开始&/p&
题图是Berry Face，祝老爷子早日拿诺贝尔奖。因为后面内容很多都离不开Berry Phase，先从基础写起。主要参考Di Xiao et al. Berry Phase Effects on Electronic Properties. Rev. Mod. Phys. 82, )以及B. Andrei Bernevig and Taylor L. Hughes, …
看闲书能直接看到大师们的深刻思想的话，何必听普通人的杂烩呢。视野差了好几个量级呢。&br&&br&1. 通向实在之路——宇宙法则的完全指南
罗杰·彭罗斯&br&不需怎么介绍。标题很准确，一本完全指南。&br&看了目录你就懂。&br&&blockquote&第一章 科学的根源&br&第二章 古代定理和现代问题&br&第三章 物理世界里数的种类&br&第四章 奇幻的复数&br&第五章 对数、幂和根的几何学&br&第六章 实数微积分&br&第七章 复数微积分&br&第八章 黎曼曲面和复映射&br&第九章 傅里叶分解和超函数&br&第十章 曲面&br&第十一章 超复数&br&第十二章 n维流形&br&第十三章 对称群&br&第十四章 流形上的微积分&br&第十五章 纤维丛和规范联络&br&第十六章 无限的阶梯&br&第十七章 时空&br&第十八章 闵可夫斯基几何&br&第十九章 麦克斯韦和爱因斯坦的经典场&br&第二十章 拉格朗日量和哈密顿量&br&第二十一章 量子粒子&br&第二十二章 量子代数、几何和自旋&br&第二十三章 纠缠的量子世界&br&第二十四章 狄拉克电子和反粒子&br&第二十五章 粒子物理学的标准模型&br&第二十六章 量子场论&br&第二十七章 大爆炸及其热力学传奇&br&第二十八章 旱期宇宙的推测性理论&br&第二十九章 测量疑难&br&第三十一章 超对称、超维和弦&br&第三十二章 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量&br&第三十三章 更彻底的观点；扭量理论&br&第三十四章 实在之路通向何方&/blockquote&&br&2. Ideas and Opinions
Albert Einstein&br&爱因斯坦文集。直接和站在顶点的男人对话吧。&br&&br&我觉得似乎没有其他几位大神写的那么好，大概爱神意不在此。这本书只是别人整理的爱因斯坦的文稿。考虑到他的深远的影响力，还是把这本书列出来。&br&&br&爱因斯坦带的学生最后没有出现大师级人物。而费米不仅自己厉害，带学生也厉害，六位诺奖得主，其中第一位是杨振宁。&br&&br&爱因斯坦还和一位普林斯顿大学的教授合写过一本科普书《物理学的进化》。很精彩，适合初高中生了解物理学的发展历程。有孩子的可以预备一本..&br&&br&3. The Character of Physical Law/物理之美
理查德 费曼&br&&br&这是我读过的最好的物理类“闲书”了。充满了对于物理定律有趣而深刻的思考。&br&这是在康奈尔大学的一个系列讲座。从学生到教授都来聆听大师对物理定律独特的诠释。思维如水般自在流淌。&br&这个系列讲座还有录音，耳机里传出费曼的声音，可以感觉到这位导师近在咫尺。&br&&br&无论是《费曼物理学讲义》还是这本《物理之美》都可以称得上传世之作。&br&每一名物理系的学生都可以叫您一声老师啊.. &br&（比爱因斯坦的Ideas and Opinions好太多。忽然觉得爱神的学生都没能成长为大师级的科学家也是有原因的。与费曼在教学上的倾心付出相比，爱因斯坦几乎把全部精力都用来独自解决难题。）&br&&br&&br&4.玻尔哲学文选
尼尔斯 玻尔&br&哥本哈根学派的开创者。&br&之所以哥本哈根是量子力学的圣地，一度也是物理学术中心，都因为一个人——玻尔。&br&玻尔不仅自己厉害，更重要的是，他会忽悠.. 不对，是教导年轻人。&br&&br&他和爱因斯坦是一辈人。但是他们下一辈人几乎都更信任玻尔的意见。&br&美剧《曼哈顿计划》里，玻尔一出场，几乎所有人都要去拜见这位物理学的领袖。&br&最后的结果证明玻尔的方向非常准确。&br&他同时也慧眼识英才，把当时最优秀的年轻人带入了自己的研究方向。在海森堡和泡利22岁时就把这两位年轻人揽入哥本哈根。&br&而爱因斯坦晚年的研究则是门可罗雀。&br&&br&和爱因斯坦那场旷日持久的论战时期写的文章是此书最精华的部分。科学史上很难找到比这还要精彩、重要的论战了。&br&&br&哥本哈根学派的闲书总是和哲学思想有些关联。&br&&img src=&/a382c597cbd9cf6c37bd47b7f3f8108e_b.jpg& data-rawwidth=&248& data-rawheight=&330& class=&content_image& width=&248&&&br&这是玻尔的家徽。他认为那个太极图是最能代表“互补思想”的图案，于是放入了徽章中。&br&&br&互补思想是从波粒二象性/不确定性原理里延伸出来的一种哲学思想。&br&&br&主要思想是，人类不可能准确描述自然，每一种自然科学的概念在描述宇宙的一部分信息时，总会失去另一部分信息。我们会用轨道去描述物体的运动，但是实际上，宇宙并没有由粒子模型构成的物体，也没有人类观察到的“轨道”。无论是粒子，还是波，都是自然科学的概念，都只是对自然某一面的描述。&br&&br&&br&&br&5. Physics and Philosophy
维纳.海森堡&br&哥本哈根学派最好的“闲书”。玻尔的思想已然深远，而海森堡这本书比他老师玻尔的书更加深刻。&br&&br&量子力学不只是对科学的变革，更是对人类思维方式，如何看待宇宙的变革。&br&有一段讨论自然科学里的常数让人印象深刻。&br&讨论经典力学、量子力学和热力学、电动力学等物理理论的相容性时更是让人大开眼界。&br&&br&比费曼的书差的只是年代有些久远了，没有涉及到上个世纪自然科学的后续发展。但是这本书对物理学思想的探讨更为深入，费曼的书则更关注物理定律。&br&&br&海森堡是玻尔的学生。&br&费曼是玻尔学生的学生。&br&&br&6. What is Life/生命是什么
薛定谔&br&物理学思想引入到其他领域的典范。&br&&br&7.确定性的终结
伊利亚.普利高津&br&热力学/统计物理一直是物理学里很特别的一个领域。这位非平衡热力学大师的视角会是怎样的？&br&1977年诺奖得主普利高津从热力学和量子力学的角度对确定性进行的探讨。&br&&br&&br&8.Symmetry/对称
Weyl&br&外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”。师从希尔伯特。&br&多次再版的一本名作。历史、数学、科学、自然中的对称性。&br&（我还没来得及读这本《对称》就离开物理系了，但是觉得应该很精彩吧，毕竟是另一位的大神推荐的...）&br&&br&9. 科学发现的逻辑 卡尔·波普尔&br&从爱因斯坦到索罗斯都推崇的一种看待世界的方法。&br&这本书可能需要静下心来才能读进去。&br&&br&10. Scientific American/中文版：环球科学 （杂志）&br&也可以涉猎一下这个时代各个领域的进展。&br&在国内的时候连续六七年，几乎每期不落地看。很好的休闲读物。&br&&br&&br&&br&&br&其他的想到再补充。
看闲书能直接看到大师们的深刻思想的话，何必听普通人的杂烩呢。视野差了好几个量级呢。 1. 通向实在之路——宇宙法则的完全指南 罗杰·彭罗斯 不需怎么介绍。标题很准确，一本完全指南。 看了目录你就懂。 第一章 科学的根源 第二章 古代定理和现代问题 第…
&p&&b&高能预警！！！多图杀猫！！！我是认真的！！！&/b&&/p&&p&首先发个链接：&a href=&///?target=http%3A///index.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/index.htm&/span&&span class=&invisible&&l&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 这哥们的 visualization 能力完爆所有答案（包括我的）加起来，实在是牛逼……&/p&&p&==&/p&&p&这题目都给写成这样了，我就不指望赞了。你们就当福利好了。&/p&&p&这个回答里的图都是我自己画的，盗图必…… 算了你们想拿去玩就拿去吧……&/p&&p&看到这个问题的时候我有点纠结问题里的最后一张图是怎么画的，不过仔细看了一下我觉得应该是二维空间里画的。所以 Asymptote 和 Metapost 都可以。&/p&&p&对了补充一点，在我的另一个回答里（&a href=&/question//answer/& class=&internal&&当别人问你的研究有什么实际价值的时候，你是怎么回答的？&/a&），我提到对于科研的价值，科研圈和大众的定义是不一样的。对于“漂亮的插图”也是一样。君不见大众媒体里少有数据图，就算有也是寥寥几笔，fancy 为主，使用符合当前大众审美的风格（比如现在是扁平、极简），测量从来不画 errorbar，甚至极简风格的连坐标轴都不画，一条颜色风骚的曲线牛逼闪闪。对于大众来说，看起来牛逼、fancy 才是漂亮。但是在科研圈里显然不是这样，而且不同的学科之间对图的严谨、清晰程度的要求也不一样。所以单纯地说一个插图“漂亮”其实没什么意义。&/p&&p&——————————————
正文：&/p&&p&我觉得这个问题让我答简直太合适了…… 只要是用来画图的玩意我基本都用过，也都会。这个回答主要介绍工具，为什么不说方法呢？因为感觉好像没什么好说的，你觉得什么地方难看，改一下就行了啊…… 从最简单的开始吧。&/p&&ul&&li&菜鸟级：
&/li&&/ul&&br&&p&&b&Matlab, Mathematica&/b& 和 &b&R&/b& 就不说了。&/p&&p&&b&Python 有个著名的库叫 Matplotlib&/b&, 主要用来数据作图，但本身带有层次较低的 API, 原则上可以用来画任意种类的图。这玩意自带 TeX 数学语法。数据作图效果这样：&/p&&img src=&/b97f00d11a7826fbbe12a8_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&512& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/b97f00d11a7826fbbe12a8_r.png&&&br&&img src=&/8b13fda01e_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&358& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/8b13fda01e_r.png&&&br&&br&&p&丧病一点可以这样：&/p&&img src=&/acf34b8de12a020c886560bcc1d8e942_b.png& data-rawwidth=&2242& data-rawheight=&1796& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2242& data-original=&/acf34b8de12a020c886560bcc1d8e942_r.png&&&p&这种牛逼闪闪的等高线也是小意思~~&/p&&img src=&/15152d9bba9f55d50e15d1a60ca5bce4_b.png& data-rawwidth=&696& data-rawheight=&343& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&696& data-original=&/15152d9bba9f55d50e15d1a60ca5bce4_r.png&&&br&&img src=&/2fcc83b26d958e074c6aabe330a970ae_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&512& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/2fcc83b26d958e074c6aabe330a970ae_r.png&&&br&&p&这么多点也是没问题的：&/p&&img src=&/1824265eaac0a1b7cd7f_b.png& data-rawwidth=&893& data-rawheight=&657& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&893& data-original=&/1824265eaac0a1b7cd7f_r.png&&&br&&p&这玩意极其的灵活，比如 Mathematica 有个功能就是画函数曲线的时候自动选择合适的采样率，斜率或者曲率比较大的地方会自动使用高采样率。于是我在 Python 里也实现了一个，这样就可以用 Matplotlib 无脑画函数曲线了，比如这样：&/p&&img src=&/5c3ddfb431fe66_b.png& data-rawwidth=&576& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&576& data-original=&/5c3ddfb431fe66_r.png&&&br&&br&&p&&b&Gnuplot&/b&. 纯画图方面与 Matplotlib 不相上下，优点是快，超级快。图就不放了，和 Matplotlib 差不多。&/p&&ul&&li&普通级：
&/li&&/ul&&br&&p&&b&Metapost. &/b&脱离菜鸟级以后，我们离开了 API 和程序的地盘，开始撸绘图语言。首先当然要介绍大名鼎鼎的 Metapost. 这货的历史最早要追溯到 Knuth 大神设计的 Metafont, 但是 Metafont 是用来制作字体的，于是一帮人仿照 Metafont 设计了通用绘图语言 Metapost. 写程序画图相对于使用 GUI 工具来说最大的好处就是可以精确地控制，和自动化。这种绘图语言尤其适合画示意图。还是上图吧……&/p&&img src=&/6c051c72b1f5c63dcece_b.png& data-rawwidth=&349& data-rawheight=&252& class=&content_image& width=&349&&&img src=&/82baa59adbdef4b22a1ef_b.png& data-rawwidth=&398& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&398&&&img src=&/7a5551adaca9_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&364& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/7a5551adaca9_r.png&&&br&&img src=&/32fe50cafcff4def44f1d_b.png& data-rawwidth=&149& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&149&&&img src=&/43cdbabaed1d4a04fd7ff9_b.png& data-rawwidth=&124& data-rawheight=&208& class=&content_image& width=&124&&&br&&img src=&/45ea77ee1a8f8ead51f5e059a766961c_b.png& data-rawwidth=&421& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&/45ea77ee1a8f8ead51f5e059a766961c_r.png&&&br&&p&费曼图什么的简直就是不在话下…… 其实我是不太明白为什么有些软件画出的费曼图那么难看的……&/p&&img src=&/b8e2d2717a_b.png& data-rawwidth=&176& data-rawheight=&123& class=&content_image& width=&176&&&img src=&/1603236dba024add0def_b.png& data-rawwidth=&515& data-rawheight=&109& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&515& data-original=&/1603236dba024add0def_r.png&&&br&&p&然后这是我用 Metapost 给我的统计力学笔记撸的封面：&/p&&img src=&/0d55cac05b_b.png& data-rawwidth=&544& data-rawheight=&704& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&544& data-original=&/0d55cac05b_r.png&&&br&&p&&b&Asymptote&/b&. 有一小撮人用 Metapost 不爽，毕竟语法太古老了，于是搞出了类 C++ 语法的面向对象语言 Asymptote, 也是醉了…… 除了写出来比 metapost 好看一些意外，基本上差不多：&/p&&img src=&/a362477fec224b47cc1f2c2c7e4e2312_b.png& data-rawwidth=&270& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&270&&&br&&img src=&/82e287d399a98dfccdde9b_b.png& data-rawwidth=&268& data-rawheight=&225& class=&content_image& width=&268&&&br&&img src=&/e6f0b5fdde67c90f60df11b_b.png& data-rawwidth=&563& data-rawheight=&304& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&563& data-original=&/e6f0b5fdde67c90f60df11b_r.png&&&br&&p&初中几何题都是可以的。&/p&&img src=&/542af1bdc98cc_b.png& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&285& class=&content_image& width=&266&&&br&&p&这玩意比较逆天的功能是 3D 矢量作图~~ 你看我这么一比划，你不就知道面心立方&/p&&p&的晶胞是什么样的了么~~&/p&&img src=&/9b1ce1f9eabe3caea80d6b_b.png& data-rawwidth=&343& data-rawheight=&264& class=&content_image& width=&343&&&p&你看我这么一笔划，你不就知道 RGB 空间是怎么嵌在 xyz 空间里的了么~~&/p&&img src=&/v2-7dde6f8dd3cb1c06884acad9c5681892_b.png& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&/v2-7dde6f8dd3cb1c06884acad9c5681892_r.png&&&p&继续&/p&&img src=&/2f2f8df837abfed2e289_b.png& data-rawwidth=&398& data-rawheight=&386& class=&content_image& width=&398&&&p&嗯，还有好多图懒得找了，Asymptote 就先这样吧。&/p&&p&&b&……&/b& &b&……&/b& &b&……&/b&&/p&&br&&p&&更新 &
最近又折腾了一下传说中的 &a href=&///?target=http%3A//d3js.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&D3.js&i class=&icon-external&&&/i&&/a&. 这个东西的核心实际上是一套 selector 实现和把数据绑定到 DOM 上的机制，非常紧凑。然后 HTML 的 DOM 里可以包含 SVG, 这就很好玩了。&/p&&p&我试了一下数据作图&/p&&img src=&/7c12ae945a1ba_b.png& data-rawwidth=&1508& data-rawheight=&910& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1508& data-original=&/7c12ae945a1ba_r.png&&&br&&p&然后顺便撸了个 &a href=&///?target=http%3A//darksair.org/game-of-life/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Game of Life&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, 你们可以玩玩~~ （暂不支持移动端……），长这样：&/p&&img src=&/0dc84de4c2bcb10b47ffcaf68673b23c_b.png& data-rawwidth=&765& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&765& data-original=&/0dc84de4c2bcb10b47ffcaf68673b23c_r.png&&&br&&p&看上去挺好用，对吧？但是！！这个东西其实并不是特别适合给论文出图，原因是你用的时候需要把 SVG 保存下来。SVG 是 DOM 的一部分，一般只能用 Javascript 把 SVG 序列化，然后抛出一个文件让你在浏览器里下载，或者打开一个新窗口你手动另存为什么的，这不是关键，关键是我们写 SVG 的时候经常会用 CSS 来指定样式，这样如果你需要所有的线都粗一点，只要改下 CSS 就好，不用碰逻辑。然而你序列化 SVG 的时候是没法同时序列化 CSS 的（吧？）……………………………………
&/更新&&/p&&ul&&li&&b&地狱级：&/b& &/li&&/ul&&br&&p&这个级别的工具当之无愧地给了 Postscript 这个基于堆栈的底层页面描述语言，这个语言是如此的强大，以至于 Adobe 后来不得不发展了简化版（更易于实现）：EP}
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