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开普勒第三定律如何证明?
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数学证明 开普勒第一定律的证明 　　设太阳与行星质量分别 M和m,取平面极作标系,行星位置用（r,α）来描述.如图行星位置矢量 是垂直单位矢量.　　开普勒定律行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r° 首先证明行星一定在同一平面内运动,有牛顿第二定律：F=m(dv/dt) 　　力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0.　　d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0.　　积分,得r×v=h(常矢量)　　上式表明,行星径矢r始终与常矢量h正交,故行星一定在同一平面内运动.　　为了得出行星运动的轨迹,采用图中平面极坐标方向,取静止的太阳为极点o,行星位置为(r,α).在平面 极坐标中,行星运动有关物理量如下：　　径行r=r﹒r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)﹒r°+r﹒(dα/dt)﹒α° 　　r°是径向单位矢量,α°为径向垂直单位矢量.　　dr/dt是径向速度分量,r﹒(dα/dt)是横向速度分量　　速度大小满足v²=(dr/dt)²+( r﹒(dα/dt))² 　　动量mv=m(dr/dt)+m( r﹒(dα/dt))　　角动量L=r×mv=m·r²(dα/dt)·(r°×α°)　　得L=m·r ²·(dα/dt)　　行星所受的太阳引力指向o点,故对o点力矩M=0,由角动量定理,知角动量守恒.L为常量　　太阳行星系统的机械能守恒,设系统总能量为E,则　　E=½mv²-GMm/r 　　因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式　　(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r　　上边两式同乘m²/ L²,得　　dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r　　为了简化式子,令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)　　于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²　　上式对α求导.并注意E与L为常量.得　　2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα) 开普勒第二定律的证明 　开普勒定律　开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内,行星与恒星的连线扫过的面积相等.O为恒星,直线AC为行星不受引力时的轨迹.设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等,A处的时刻为t1,B为t2,C为t3.现在假设行星不受O的引力作用,那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）.现在行星受到引力作用了,因为引力的方向时刻指向恒星,所以在从t1到t3这段 时间里,行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）.因此,t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO,因此沿BO方向的向量等价于CC’）.这样,SΔBCO=SΔBC’O(同底等高).因此,SΔBC’O=SΔABO.因为Δt是任取的,所以在相等的时间内,行星与恒星的连线扫过的面积相等.开普勒第三定律的证明 　　在图中,A,B分别为行星运动的近日点和远日点,以Va和Vb分别表示行星在该点的速度,由于速度沿轨道切线方向,可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直,则行星在此两点时对应的面积速度分别为 SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1} 　　sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB　　根据开普勒第二定律,应有SA=SB,因此得 　　vB=[(a-c)/(a+c)]vA……………………………………………{2}　　行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和,则当他经过近日点和远日点时,其机械能应分别为　　EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}　　Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)　　根据机械能守恒,应有EA=EB,故得　　1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……………………{4}　　由{2}{4}两式可解得　　（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}　　（vB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}　　由{5}式和{1}式得面积速度为　　SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]　　椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为　　T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}　　将{6}式两边平方,便得　　(a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2
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奶瓶君1425
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F=GMm/R^2F=mω^2Rω=2л/T整合GM/R^2=ω^2R
(m约掉）GM/R^2=R4л^2/T^2GM/4л^2=R^3/T^2K=R^3/T^2证完了
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万有引力F＝GMm/R??向心加速度a＝F/m＝mv??/r因此v＝√(GM/R)周期T＝2πR/vT??＝4π??R??/v??代入v得T??＝4π??R??/(GM)所以R??/T??＝GM/(4π??)＝k。
万有引力F＝GMm/R??向心加速度a＝F/m＝mv??/r因此v＝√(GM/R)周期T＝2πR/vT??＝4π??R??/v??代入v得T??＝4π??R??/(GM)
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开普勒第三定律如何证明?
来源：互联网 发表时间： 1:20:29 责任编辑：王亮字体：
为了帮助网友解决“开普勒第三定律如何证明?”相关的问题，学网通过互联网对“开普勒第三定律如何证明?”相关的解决方案进行了整理,用户详细问题包括:RT,我想知道:开普勒第三定律如何证明?，具体解决方案如下：解决方案1：数学证明 开普勒第一定律的证明 　　设太阳与行星质量分别 M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。如图行星位置矢量 是垂直单位矢量。　　开普勒定律行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r° 首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt) 　　力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。　　d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。　　积分，得r×v=h(常矢量)　　上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。　　为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面 极坐标中，行星运动有关物理量如下：　　径行r=rqr° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)qr°+rq(dα/dt)qα° 　　r°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。　　dr/dt是径向速度分量， rq(dα/dt)是横向速度分量　　速度大小满足v²=(dr/dt)²+( rq(dα/dt))² 　　动量mv=m(dr/dt)+m( rq(dα/dt))　　角动量L=r×mv=m?r²(dα/dt)?(r°×α°)　　得L=m?r ²?(dα/dt)　　行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量　　太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则　　E=½mv²-GMm/r 　　因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式　　(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r　　上边两式同乘m²/ L²，得　　dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r　　为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)　　于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²　　上式对α求导。并注意E与L为常量。得　　2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα) 开普勒第二定律的证明 　开普勒定律　开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段 　　 时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。 开普勒第三定律的证明 　　在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为 SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1} 　　sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB　　根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得 　　vB=[(a-c)/(a+c)]vA……………………………………………{2}　　行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为　　EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}　　Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)　　根据机械能守恒，应有EA=EB，故得　　1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……………………{4}　　由{2}{4}两式可解得　　（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}　　（vB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}　　由{5}式和{1}式得面积速度为　　SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]　　椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为　　T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}　　将{6}式两边平方，便得　　(a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2
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