??υ1?x0?,υ2?x0???为底，以z?f；A?x0???；υ2(x0)；υ1(x0)；f(x0,y)dy.；图10-6；由此，我们可以看到这个截面面积是x0的函数，为已；A?x???；υ2(x)；υ1(x)；f(x,y)dy，；其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间；bbυ2(x)；V??A(x)dx????f(x,y)dy?dx；aa??
??υ1?x0?,υ2?x0???为底，以z?f(x0,y)为曲边的曲边梯形(见图10-6)，所以这截面的面积为
f(x0,y)dy.
由此，我们可以看到这个截面面积是x0的函数，为已知.一般地，过区间上任一点且［a,b］平行于yOz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为
f(x,y)dy，
其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间上，A?x?是x的函数，为已知.现［a,b］在用第五章公式(5-3-1)得曲顶柱体的体积为
V??A(x)dx????f(x,y)dy?dx，
aa??υ1(x)??
?υ2(x)f(x,y)dy?dx， f(x,y)dσ???D?a????υ1(x)?
f(x,y)dσ??dx?
上式右端是一个先对y，后对x.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为是在求x处的截面积A?x?，所以x是a,b之间任何一个固定的值，y是积分变量；做第二次积分时，是沿着x轴累加这些薄片的体积A?x??dx，所以x是积分变量.
在上面的讨论中，开始假定了f(x,y)?0，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正
确.这里把此结论叙述如下：
若z?f(x,y)在闭区域D上连续，D：a?x?b，υ1?x??y?υ2?x?，则
??f(x,y)dxdy??dx?
υ2(x)υ1(x)
完全类似地，先对x积分再对y积分就有结论：若z?f(x,y)在闭区域D上连续，D: c?y?d，ψ1?y??x?ψ2?y? (见图10-7)，则有
f(x,y)dxdy??dy?
当我们把二重积分化成累次积分时，需要先画出积分区域D的图形，按图形找出区域D中点的x,y坐标所满足的不等式，然后再来确定两次定积分的上下限.
计算二重积分??xydσ，其中D为直线y?x与抛物线y?x2所包围的闭区域.
先画出区域D的图形，再求出y?x与y?x2两条曲线的交点，它们是(0，0)及(1，1).区域D(见图10-8)可表示为：
0?x?1，x2?y?x
因此由公式(10-1-3)得
??xydσ??xdx?2ydy???y2?dx ??D0x0?2?x2
111??(x3?x5)dx?. 2024
本题也可以化为先对x，后对y的积分，这时区域D
可表为：0?y?1，y?x?由公式(10-1-4)得
积分后与上面结果相同.
xydσ??ydydx.
计算二重积分??σ，其中D是由直线y?x，x??1和y?1所围成的闭区域.
解 画出积分区域D，易知D：?1?x?1，x?y?1 (见图10-9)，若利用公式(10-1-3)，得
??σ??(?y)dx
????1?x2?y2
x?1dx???(x3?1)dx
若利用公式(10-1-4)，就有
也可得同样的结果.
计算二重积分??x2dσ,其中D是直线y?2，y?x和双曲线xy?1所围之闭区域.
求得三线的三个交点分别是?那么当1?x?1时，?,2?,(1,1)及(2,2).如果先对y积分，
y的下限是双曲线y?，而当1?x?2时，y的下限是直线y?x，因此需要用直线x?1把区
域D分为D1和D2两部分(见图10-10).
D1:?x?1， ?y?2；
D2:1?x?2， x?y?2.
12x222x2x2x2x2
dσ?dσ?dσ?dxdy?dx??Dy2??D1y2??D2y2?11y2?1?
??1???dx?????dx
1y?1?y?x2?1
2??3x2?x2?
?1?x??dx???x??dx
?x4x3??x2x3?
6?1?26?1?4
8127. ?19264
1如果先对x积分，那么D:1 ?y?2， ?x?y，于是 y
????5?dy??? 4?1363y12y????127. ?64
由此可见，对于这种区域D，如果先对y积分，就需要把区域D分成几个区域来计算.这比先对x积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D和被积函数的特点，选择适当的次序进行积分.
设f(x,y)连续，求证
dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx.
按照公式(10-1-3)，上式左端可表为
dx?f(x,y)dy???f(x,y)dσ，
其中D:a?x?b，a?y?x (见图10-11)区域D也可表为：a?y?b，y?x?b，
于是改变积分次序，由公式(10-1-4)可得
由此可得所要证明的等式.
f(x,y)dσ??dy?f(x,y)dx
例5 计算二重积分??sinxdσ，其中D是直线y?x与抛物线y?x2所围成的区域.
xD解 把区域D表示为x型区域，即D=?x,y?|0?x?1,x2?y?x（如图10-12）.于是
1xsinx1?sinxsinxdσ?dxdy?y???dx 2?????0x0?xxx?x2
???1?x?sinxdx
???cosx?xcosx?sinx?
?1?sin1?0.1585
注：如果化为y型区域即先对x积分，则有
1xsinxdσ?dydx. ???0yxxD
由于sinx的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，除了
要注意积分区域D的特点（区分是x型区域，还是y型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.
四、 二重积分的换元法
与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分
?f?x?dx作变量替换x?υ(t)时，要把f?x?变成f?υ?t??，dx变成υ?(t)dt,积分限a,b也要变成对应t的值.同样，对二重积分??f?x,y?dσ作变量替换
?x?x?u,v?,?
y?yu,v,????
时，既要把f?x,y?变成f?x?u,v?,y?u,v??，还要把xOy面上的积分区域D变成uOv面上的区
域Duv，并把D中的面积元素dσ变成Duv中的面积元素dσ*.其中最常用的是极坐标系的情形.
1.极坐标系的情形
下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标P?r,ζ?与该点的直角坐标P?x,y?有如下互换公式：
x?rcosζ,y?rsinζ;0?r???,0?ζ?2π；
;???x,y???. x
我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分
rζ?arctan
??f?x,y?dσ
用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设z?f?x,y?在区域D上连续.
在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形，从而得到面积元素dσ?dxdy.
在极坐标系中，与此类似，我们用“r?常数”的一族同心圆，以及“ζ?常数”的一族过极点的射线，将区域D分成n个小区域?σij?i,j?1,2,?,n?，如图10-12所示.
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椭圆积分，不初等
能帮我看看哪部错了吗
d（sint/cost）＝sec?tdt，costd1/cost＝cost*（sint）/cos?tdt＝sint/costdt＝tant≠sec?tdt，
也就是说你不能认为da/b＝（a）'d1/b。类似举个例子，dx≠dx?/x≠2xd1/x＝2x*-1/x?dx＝-2/xdx
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