一道数分问题求解_数学吧_百度贴吧
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一道数分问题求解收藏
设函数f:[a,b]→R在有理点上取无理数值，在无理点上取有理数值.证明f不是连续函数
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我的想法是这样的，有理数是可数的，无理数是不可数的，那么一定有不可数个无理数的函数值为同一个有理数，现在只需在这不可数个无理数里找一个数列来逼近一个有理数，如果是连续函数那么在这个有理数上的取值也应该是有理数，矛盾了
问题是是否能找到这样的数列
反证，假设f连续，根据定义，任取定义域点x0，在x0的邻域，分别取有理点序列和无理点序列，两者都趋于x0，对应序列函数值分别无理数和有理数，这与连续函数定义矛盾，故f不连续
{xn}的每个值都是无理数，其极限可能是有理数吗？我感觉不能。
居然可能。
考虑值域的基数导出矛盾。
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