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经典证明：不断把凹的部分翻出来,总能把凹多边形变凸 本文档属于精品文档、课件类技术资料，转载请联系作者
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经典证明：不断把凹的部分翻出来,总能把凹多边形变凸
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上一篇里说&矩阵是运动的描述&，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白&高等数学是研究运动的数学&这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，&运动&的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个&运动&，一下子就&跃迁&到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的&运动&，或者说&跃迁&，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，&运动&这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是&跃迁&。因此这句话可以改成：
&矩阵是线性空间里跃迁的描述&。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语&&变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着&为了使用中方便&，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学&&几何工具算法详解》。
一旦我们理解了&变换&这个概念，矩阵的定义就变成：
&矩阵是线性空间里的变换的描述。&
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个&对立矛盾统一体&。这样一来，&选定一组基&就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
&矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。&
理解这句话的关键，在于把&线性变换&与&线性变换的一个描述&区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
这个留在下一篇再写吧。
#&&&hongqing&发表于 14:29:00&&IP: 85.181.103.*
实在是很感动,写那么好的文章,一定花了不少时间 如果能有多一点的象你那么优秀中文,原创,科技,作家,我们的技术水平能提高的很快. 自己也想写,就是没时间,文笔太差
#&&&酷鱼&发表于 14:39:00&&IP: 218.20.117.*
#&&&Solstice&发表于 15:57:00&&IP: 207.46.89.*
好像看到了我熟悉的线性系统理论的影子 :)
#&&&Flair@ZJU&发表于 17:57:00&&IP: 218.108.51.*
赞~ 几年没碰数学了，没想到到现在为止还看得懂
#&&&子丰&发表于 19:10:00&&IP: 218.201.71.*
感动，收藏，继续关注&&
#&&&cyrano&发表于 17:10:00&&IP: 218.57.113.*
写的太好了! 期待下一篇:)
#&&&dlxlinux&发表于 22:59:00&&IP: 219.245.67.*
我觉得矩阵是表示二元关系的，更确切的说，这种二元关系是有序的。在图论的课程中，矩阵的出现是经常性的。这种有序的二元关系对本身可以有自身的含义，例如在计算机图形学中对显示器（Displsay）的像素的表达。
#&&&lpspider&发表于 20:30:00&&IP: 219.236.214.*
茅塞顿开，豁然开朗，佩服！
#&&&cnzhangzhen&发表于 20:54:00&&IP: 58.213.191.*
最近流行复古？以前学数学深恶痛绝，今天才知道妙用无穷。
#&&&onlyxuyang&发表于 21:14:00&&IP: 221.232.155.*
关注关注 好久没看到这么好的文章了 孟岩老师,加油啊
#&&&myan&发表于 07:38:00&&IP: 218.197.128.*
to dlxlinux: 你的提法可以考虑，不过我觉得用矩阵来表示二元关系仅仅是矩阵一个很具体的应用，拿来说图论都不见得完全能说清楚，要使用这个定义来解释矩阵在线性变换、坐标变换、线性方程组求解等场合中的功能，恐怕很难。要去解释什么叫矩阵特征值，什么叫行列式，什么叫相似矩阵，为什么要进行所谓对角化或者约当标准化，那就更难说清楚了。 你可以试着解释一下，或许能说服我，但目前我觉得你的这个提法不够实质。
#&&&Robbie Mosaic&发表于 09:18:00&&IP: 211.167.159.*
孟先生的文章真不错！
#&&&michael yang&发表于 09:53:00&&IP: 219.136.105.*
听君一席言，胜读十年书！继续关注学习。
#&&&lihuibin&发表于 11:32:00&&IP: 218.17.227.*
非常好的文章，期待下文。看了让人心情激动
#&&&晓鹤&发表于 12:03:00&&IP: 218.94.62.*
很不错的内容，支持，希望能写完，可以出本书了。
#&&&abblly&发表于 15:00:00&&IP: 218.97.242.*
以前上大学的时候，差点没挂了，稀里糊涂就过了，感觉线性代数太不爽了，看了这篇文章，感觉线性代数真是奥妙啊，真佩服自己当初什么都不懂，竟然过了，虽然是提心吊胆，生怕挂了，要交重修费。
#&&&dongbin&发表于 13:58:00&&IP: 202.108.130.*
#&&&fdshenjia&发表于 14:07:00&&IP: 218.1.127.*
知己啊！也是我想探索的东西，但看了你的文章，觉得自己以前想的还很不成熟，我看了您的文章的时候，一边拍桌子，一边叫好！真想来壶酒，细细品味你的文章，就像诗一样，太赞了！
#&&&NoProblem&发表于 16:00:00&&IP: 202.110.116.*
线性代数我上大学的时候是免修的。 兄弟就数学还凑合！
#&&&IAMZXX&发表于 16:02:00&&IP: 222.50.61.*
哎,想起大学一直不知道学数学有什么用,早看到这编文章就好了
#&&&YAN&发表于 17:12:00&&IP: 61.50.187.*
#&&&sxianz&发表于 16:06:00&&IP: 210.27.6.*
我学习了《矩阵论》，可是还是不太懂。 看了孟老师的文章，真是有一种拨云见日，恍然大悟的感觉。 强烈期待下文。
#&&&plusman&发表于 17:44:00&&IP: 219.136.189.*
讲的真是太好了，我自学同济那本线性代数都好几遍了，总觉得有些地方不是很清楚，也就是梦岩先生所说的只知道这么做，但不知道为什么会是这样，看完之后大受启发，马上就要有醍醐灌顶的感觉了，期待下文
#&&&xwf&发表于 18:01:00&&IP: 60.220.13.*
八错,即使错的也想看
#&&&xueyuhanlang&发表于 18:06:00&&IP: 147.8.177.*
看到孟岩写了不少东西，有些不错。但是这个理解矩阵中的很多概念都是不对的，希望不要误人子弟。 这里说几点严重的错误： 1. 向量和点的表示一样，但概念是不同的，不能混为一谈。 &在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西&， 这里把向量和线段混为一谈了。 另外在图形学用的是射影变换，仿射变换是一个特例。 2. &若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系： A = P-1BP& 不同的基对应不用的非奇异矩阵，但两个非奇异矩阵不一定相似。只能说它们相抵。 比如 【【1，0】，【0，1】】 和 【【1，0】，【0，－1】】 至于其他的错误，就不多说了。
#&&&积木&发表于 22:29:00&&IP: 58.98.198.*
随便找一本高等代数，楼主写的东西全在里面～
#&&&myan&发表于 22:35:00&&IP: 218.197.128.*
to 积木： 你说得很对啊。我这些东西在同济教材最后一章里全讲了。
#&&&wadefelix&发表于 23:02:00&&IP: 219.145.91.*
#&&&mcs51a&发表于 11:23:00&&IP: 58.33.237.*
在自动控制理论里,矩阵就是多个变量的变换关系的表达式呀 和函数的概念差不多.
#&&&锅盔&发表于 11:26:00&&IP: 58.33.237.*
Solstice 是学自动控制的?
#&&&myan&发表于 09:12:00&&IP: 218.197.128.*
to xueyuhanlang: 非常感谢，你的评论是对这个帖子的批评意见中比较有分量的，有些地方确实是我的水平限制或者疏忽之处，以后在修改时一定仔细考虑。具体意见答复如下： 1. 关于这里把向量说成&点& 我不明白你这里说的&向量和点的概念不同&是什么意思，概念当然是不同的，但是在向量空间中存在一一对应关系，而在我这篇文章的上下文中好像是可以混为一谈的。而且，我在这里说的一个点，其实是抽象的点，或者说是一个对象，一个向量对象。我们说在概率论的样本空间中的一个基本事件也是一个点，所以这里所说的&点&是一个抽象概念。 不过还是感谢你指出，这属于我叙述中的不严格。有必要的话以后修改。 至于你说计算机图形学使用射影变换，有道理，我对于计算机图形学不了解，只是看了一些相关的数学基础，犯错误是难免的。我看的那本教材是讲CAD的，仿射变换就够了。你说要用射影变换，当然是对的，在产生有景深的、有透视效果的真实感图形，就要用到射影变换。不过，如果再往上说的话，如果要产生哈哈镜效果，还需要使用拓扑变换。所以... 2. 关于相似与相抵的问题 你肯定是对矩阵轮比较熟，所以一上来就使一个杀招。[1, 0; 0, 1]是一个单位矩阵，只跟自己相似。矩阵相似的问题还是有一点内容的，我的观点是不要在建立概念阶段带出那么多细节来干扰思路，等到概念建立起来之后（哪怕一开始建立的是不那严谨的概念）再修正。 我希望彻底回答你这个问题，但还是不太有把握，其实这已经触及到了我对这个课题的认识边缘了，所以如果你有更深入的研究，希望指教。
#&&&youbug&发表于 21:59:00&&IP: 61.150.43.*
感觉很不错！相当不错F
#&&&Solstice&发表于 11:49:00&&IP: 207.46.89.*
不是，我是学信号处理的。
#&&&深呼吸&发表于 12:14:00&&IP: 219.133.255.*
数学对于电脑,类如上帝对于我们.相信在这里谈这个,很容易激起大家的情绪.数学的力量在于它对这个世界的描述能力.它使我们面对世界时恢复了自信,也找到了一种特殊的乐趣.我喜欢在网上卖弄感觉的人,自言无知的人,但最恶心骂人的人的. myan的贴子,常有自己的思索,自是耐看些. to:myan 当你描述事物时,先忘了它是属于哪类吧,它可能不只属于数学,也不只属于物理.先不要给它预设框框,新的想法才能汩汩而来.分类自有分类的好处,但别忘了它本不如此.就象中国的户口政策,非要有个户籍,不分开的话,管理智商低的人会和你急. 当你一旦开始思考,就要象上帝一样.
#&&&south2000&发表于 11:06:00&&IP: 210.72.8.*
非常感谢您透彻的分析，让我受益匪浅，让我大开眼界啊！
#&&&xueyuhanlang&发表于 15:40:00&&IP: 147.8.177.*
to myan: 1. vector = point 1 - point 2 是有方向的， 而点是孤立。 点p和向量 v 对应是建立在： v = p - origin, 但是不能说 v 就是 p。 这一点是严格的。 当然你在文中 只是想阐述一些概念，可以不用这么严格。 2. 对于线性空间基的变换，你的理解是错误的。该变换不涉及相似。你可以参考线性代数书。 你对空间变换，矩阵变换的开始抽象理解很好，但是还是需要静下心来理解里面的数学内涵。 对你开始研究图形学会很有帮助。
#&&&意识电路&发表于 11:12:00&&IP: 218.12.87.*
说说矩阵为什麽能描述运动才对题.或者说矩阵是从那里来的.你的意识电路应该这样工作.就贴题了...........明白?试着说说吧.....
#&&&Shellyong&发表于 12:39:00&&IP: 218.19.163.*
一定要写完阿 对我真是太有用了 谢谢夏老师
#&&&过客不留名&发表于 11:30:00&&IP: 211.98.111.*
to 深呼吸: 居然有人已无知为美德，好厉害 居然有人连数学，物理都分不清楚，好厉害 居然有人说:&数学的力量在于它对这个世界的描述能力&，好厉害 我告诉你，数学和现实世界没有一点关系，哪怕是一丁点都没有 你可以建套 &深呼吸可爱无知数学体系&， 定义3个基本定义，然后推论出一切，这一切不需要和现实发生任何的类比关系。 而你常见的 代数，几何，微积分 这一切和现实自然也没有任何关系，哪怕是一丁点的关系。 数学大家庭中有不止 一套的 初等，高等数学 体系，他们推导出不同的数学结果。 知识给人以力量，而不是 j y 给人以力量
#&&&1&发表于 14:43:00&&IP: 220.163.187.*
楼主把有些东西分的太清,又不见本质, 基本不懂数学,鉴定完毕
#&&&to过客不留名&发表于 15:11:00&&IP: 218.247.0.*
to 过客不留名： 好一个&数学跟现实世界一点关系都没有&！那么什么跟现实世界有关系？什么是现实世界？劝你不要懂一点数学就双脚离地要升天修仙了，这里不过是在讨论一点应用数学而已，轮不着你来上纲上线往哲学领域里牵&&何况，问到你这个臭鸡蛋的气味以后，我也认为你是不懂哲学的。 可能你的数学不错，也许你是数学专业出身，但是从你的话里可以看出你的数学再好也没有用。数学在你只不过是自娱自乐的的智力游戏和摆谱显配的工具，你既不想也不能用数学对现实产生任何影响。你既不承认数学来自实践，也不愿以让数学回归实践，你还是去研究你的玄学把，在自己的智力游戏里昼夜高潮吧，不要回到人间来作乱！
#&&&to1&发表于 15:24:00&&IP: 218.247.0.*
to 1: 本质是什么？你倒是说出来啊！也许你知道什么是本质，但是你能明明白白说出来吗？你说出来的东西，人家能懂吗？你说不出来的话，跑到这里来装什么上师仙女，卖得什么灵丹妙药呢？有本事你就老老实实写东西，别有事没事跳到别人桌子上拉一泡屎，你以为你香吗？
#&&&无意经过&发表于 19:43:00&&IP: 202.116.46.*
不错，关注中！
#&&&dingyixia&发表于 19:44:00&&IP: 202.116.46.*
#&&&意识电路&发表于 17:42:00&&IP: 218.12.82.*
大家好.我很希望有人能先定义一下什麽是数?怎样学?不管是哲思.还是科学.这样对大家明辨是非是有好处的.与其盲人摸象.不如让我们借孟老的一方宝地.互相交流一下......不好吗???
#&&&孟某&发表于 21:55:00&&IP: 60.209.128.*
孟岩老师： 您好！恕我冒昧。您帮我看一下这段代码： #include &iostream& #include &complex&
void main() { complex&double& a (1,1); cout && cos(a) && &
&; } 我想用typedef定义一个指针类型，用来指向上面那个&cos&。 typedef &&&(*ptrfun)(&&&); 我在&complex&及其包含文件中都找不到这个&cos&的定义， 我应该怎样定义这个指针类型？ 如果您有时间的话就在下面回复一下，我会看到的。谢谢您！
#&&&孟某&发表于 09:43:00&&IP: 60.209.128.*
谢谢孟岩老师、Lyons老师！ to 孟岩老师 我用的是VC 6，cos(复数)，可以返回一个复数。 to Lyons老师 我用的是VC 6，在&complex&及其包含文件中都找不到这个&cos&的定义，自然您给的那段代码也通不过。出错提示 error C2440: "initializing" : cannot convert from "double (__cdecl *)(double)" to "class std::complex&double& (__cdecl *)(const class std::complex&double& &)" This conversion requires a reinterpret_cast, a C-style cast or function-style cast 可是cos(复数)却又返回一个正确的值，邪门了。我再找找看吧。
#&&&liangzi&发表于 09:57:00&&IP: 58.100.32.*
哲学能看懂尼采就足够了。呵呵^_^ 可以好好写写，就作为现在大学生线性代数的必读入门吧。 现在的大学，教哲学的不懂物理，教物理的不懂数学，教数学的又不懂数学的奥秘与美妙。学生呢，被这几门课的老师弄的混头转向。 如何能在物理，数学，哲学上结合整体上介绍他们的优美（不求专业与深入），楼主实在有这样的潜力，实力，值得期待^_^
#&&&Lyons&发表于 09:57:00&&IP: 210.31.76.*
在Debug版，用单步跟踪，看看到底调用哪个cos。
#&&&过客不留名&发表于 01:28:00&&IP: 58.67.30.*
写给楼上的 &过客不留名& 整个哲学体系里面，我只看过几本存在主义，几本尼采，基本没看懂，我对哲学几乎一无所知，我很羞愧。 我只是一个 programmer on the street 但是我坚持我的观点 数学跟现实世界一点关系都没有 你虚心的问我：么和现实世界有关系，我告诉你，物理、化学、生物，医学，都和现实有关系 你虚心问我：什么是现实世界，我告诉你，你所在的空间就是现实世界 它满足 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 1/t^2 = 0 (这个方程记不准确了) 知识是灌水的唯一源泉
#&&&孟某&发表于 11:14:00&&IP: 60.209.128.*
to Lyons老师 找到了！在&xcomplex&中，说来惭愧，我还是头一次用&单步跟踪&呢。 // TEMPLATE FUNCTION cos _TMPLT(_Ty) inline _CMPLX(_Ty) __cdecl cos(const _CMPLX(_Ty)& _X) {return (_CMPLX(_Ty) (_CTR(_Ty)::_Cosh(imag(_X), _CTR(_Ty)::cos(real(_X))), -_CTR(_Ty)::_Sinh(imag(_X),_CTR(_Ty)::sin(real(_X))))); } extern template _CRTIMP complex&double& __cdecl cos(const complex&double&&); 可新问题又来了，&xcomplex&没有包含任何文件，以上这段代码又是什么意思呢？&typedef &&&(*ptrfun)(&&&); &又该怎样写呢？
#&&&Lyons&发表于 09:11:00&&IP: 210.31.76.*
如果你用的是VC 8，那么这个cos在&xcomplex&里。 如果是GCC，那么它直接定义在&complex&里。GCC的定义如下： template&typename _Tp& inline complex&_Tp& cos(const complex&_Tp&& __z) { const _Tp __x = __z.real(); const _Tp __y = __z.imag(); return complex&_Tp&(cos(__x) * cosh(__y), -sin(__x) * sinh(__y)); } 以下在VC 8中通过： complex&double& a(1,1); complex&double& b = cos(a); typedef complex&double& (*ptrfun_T)(const complex&double&&); ptrfun_T ptr = & complex&double& c = ptr(a);
#&&&myan&发表于 23:43:00&&IP: 219.236.57.*
cos是一个定义在实数域上的函数，你要求一个复数的余弦值，是何用意？
#&&&Lyons&发表于 13:10:00&&IP: 210.31.76.*
我手头没有VC6，请去技术论坛提问吧。
#&&&aha100&发表于 13:15:00&&IP: 10.11.153.*
我觉得如果把运动分为运动结果和运动过程比较好.作者最好不要用运动一词,因为运动包含了开始,过程和结果.当然你开始时候就说了&运动的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化&.但看的时候有点别扭. 改成运动方式好点. 另&&所谓直观与抽象的区别。我想不能刻意追求直观，直观只能是在理论的某一部分，当然直观是什么也是个问题，是指与现实世界的联系吗，这是一部分，但不是很大一部分。如果对数学学得好，并不是一定要懂这些联系的，但却必须对数学符号所描述的联系有很清楚的理解。 数学只是在一些先验的假设基础上再去研究这些假设之间的关系而已，当然借用的是我们的逻辑。这我想是罗素写《数学原理》的想法吧（很抱歉，没看过，只是对哲学有些了解。）。 我想说的是直观不是数学研究的重要部分，最多是一个生活的启发，或者满足某些人喜欢对事物来龙去脉搞清楚的兴趣。因为数学更是逻辑本身的体现。 如果你一定要问数学有什么直观的意义，那有时候是可以的，有时候却可以说只是我这样定义了而已。（好象有点哲学的味道） 不知道我把我的想法解释清楚了没有。
#&&&aha100&发表于 13:18:00&&IP: 10.11.153.*
但孟老师的文章是很好的，写的直观也不错。是有意义的直观。
#&&&孟某&发表于 13:18:00&&IP: 60.209.128.*
to Lyons老师 麻烦您了，谢谢您！
#&&&myan&发表于 13:20:00&&IP: 219.236.57.*
to 过客不留名： 不太同意你对于所谓&现实世界&的理解，这个理解怎么说呢，太简单。不管你是持唯物论还是唯心论，都太简单。你把现实世界如此简单地与人类思维划分开，那么人类思维与现实世界的关系你就很难解释清楚了。你觉得人的思维是否属于现实世界？或者说现实世界是否仅存在于人的思维中？或者人类的思想中为真的命题是否反映现实世界？或者人的思想是否与现实世界同构？ 至于你说数学与现实世界无关，未免武断。18世纪启蒙运动以来，无数伟大哲学家都对此问题反复思考，至今尚未有定论。你竟然对此能够如此肯定，如果不是你比康德更智慧，那就是在此问题上并未深思的结果。如果是前者，我期待你拿出一部《新纯粹理性批判》来，如果是后者，那么还是谦虚一些为好。 另外，本人是个实用主义者，认为程序员不用看哲学，实在要看，我以为应该优先去看维特根斯坦，有时间的话看点康德、罗素，或许对编程还有点帮助。存在主义更多的是二战后欧洲人一种情绪的反应，萨特还没死就已经不太流行了。至于尼采，我很尊敬，但看不懂，不敢评，但始终觉得跟程序员的职业没什么关系。 个人愚见。
#&&&aha100&发表于 13:25:00&&IP: 10.11.153.*
补充一下，逻辑本身就可以是对这个世界的直观联系
#&&&aha100&发表于 13:32:00&&IP: 10.11.153.*
维特根斯坦,我喜欢，我以前一直苦恼某些哲学问题，看马哲的时候感觉只是给出了结果，没有告诉你如何思考，但维特根斯坦就不同，个人认为哲学到此就该结束了。 myan大可不必在意某些人的看法，因为现实世界是统计的，毕竟有少数人如何如何，但只要多数人如何如何就可以了。 能在网上同一时回帖，倒是很奇怪的。
#&&&myan&发表于 13:50:00&&IP: 219.236.57.*
to aha100: 谢谢~ 维特根斯坦前后期哲学截然不同，你认为&到此为止&的是哪一种哲学？
#&&&myan&发表于 13:56:00&&IP: 219.236.57.*
to 孟某： 1. 关于typedef的用法，其实有一个简单的替换窍门，很多人都介绍过，请到网上去找找。 2. 你是问这句吗： extern template _CRTIMP complex&double& __cdecl cos(const complex&double&&); 我理解是这样的，因为complex&double&最常见，所以CRT为之特别安排了一个优化版本，代码与其上的模板通用语法不同，故特声明之。
#&&&孟某&发表于 14:18:00&&IP: 60.209.128.*
to 孟岩老师 1 typedef的用法我知道，问题是我现在找到了cos的定义却不知如何替换了。_TMPLT(_Ty) 、_CMPLX(_Ty)、 __cdecl和_CRTIMP 又是什么东西？ 2 但是声明了extern template _CRTIMP complex&double& __cdecl cos(const complex&double&&)后，并没有实现它呀。
#&&&Lyons&发表于 14:23:00&&IP: 210.31.76.*
那个语句好像是模板的显式Instantiation（示例化、实体化、具现化，Explicit Template Instantiation），大概是为了提高编译速度。不是为优化而进行的特化(specialization，专门化)。
#&&&Lyons&发表于 14:31:00&&IP: 210.31.76.*
试试绕弯解决： complex&double& my_cos(const complex&double&& x) { return cos(x); } typedef complex&double& (*ptrfun_T)(const complex&double&&); ptrfun_T ptr = &my_
#&&&孟某&发表于 14:39:00&&IP: 60.209.128.*
to Lyons老师 看了您的回复我都快哭了，为啥我就想不到呢？那些看不懂的代码以后再学习吧，眼下的问题解决了。 谢谢 孟岩老师、Lyons老师！
#&&&myan&发表于 01:19:00&&IP: 219.236.57.*
to lyons: 当然是特化，但不是你说的这个目的。CRT开发者可以把这个对complex&double&的特别优化版本代码放在dll里，上面那句是声明。你试试便知。
#&&&liangzi&发表于 21:03:00&&IP: 58.100.32.*
关于哲学，我觉得爱因斯坦总结的再透彻也没有了： Philosophy is like a mother who gave birth to and endowed all the other sciences.Therefore one should not scorn her in her nakedness and poverty,but should hope,rather,that part of her Don Quixote ideal wiill live on in her children so that they do not sink into philistinism.
#&&&songren&发表于 02:27:00&&IP: 218.207.1.*
能不能把讨论编程的内容弄到别的主题下去啊？搞得一个好好的贴子乱七八糟的:(((
#&&&aha100&发表于 12:22:00&&IP: 10.11.153.*
可以这么看,前期哲学&逻辑哲学论&是从哲学中解决哲学问题,所以可以看出描述思想的语言也是很逻辑话的,而后期哲学&哲学研究&&论确定性&则用的是一些生活中的语言来描述的哲学的.在前一时期,他以为解决了所有哲学问题,可是却没有,还是局限在了哲学的语言中,在后期,他反对为哲学建立一种精确的语言,认为生活的语言就已经足够,只是人们误用了语言,可以看出这时候的他是从生活本身来看哲学了.让哲学回归到了生活. 我指的是后期的哲学。
#&&&冰桃&发表于 15:07:00&&IP: 219.142.62.*
学习。 痛恨出语不雅的人。
#&&&拳拳服膺()&发表于 14:02:00&&IP: 222.161.59.*
很好，从上初中就在想类似的东西，今天得见，意义非同小可，拜读！
#&&&hehe&发表于 14:12:00&&IP: 61.149.71.*
孟岩，你的mail是什么阿？把你的mail弄丢了。 我是你的原同事。 btw: 上面&联系作者&那个地方不能用。
#&&&ccc&发表于 15:53:00&&IP: 60.194.107.*
这样有什么用?入门不中,讲课又不够 你还是找几个与实际算法结合的例子给大家来点兴趣?
#&&&炽天使&发表于 10:04:00&&IP: 222.33.144.*
谢谢孟老师的精妙论述 我就是计算数学专业的学生 已经大四了 线性代数式我们大一的主干课 怎么说呢 因为是数学专业 学的要比工科的同学们多得多 我觉得线性代数开篇的关于逆序数的理论其实只是一道智力测试题 其实在以后的学习中用得很少 至少我是这么觉得 再后来 行列式的学习为线性代数的核心知识矩阵的学习打下了基础 我觉得行列式和矩阵最大的区别就是行列式是一个实实在在的数字 而矩阵则是数表 再有行列式的运算要比矩阵的运算受约束 而这一切的学习 都是为了学习代数空间和向量空间 二次性 特征值作准备 正如孟老师所说 线性代数确实是一门很重要的课程 计算机理论的每一个分支 几乎都会用到的 期待着孟老师下一篇大作
#&&&myan&发表于 08:46:00&&IP: 219.236.57.*
to hehe: 寄到这个信箱吧：myan at csdn.net, 把at替换成@
#&&&大漠沙如雪&发表于 16:46:00&&IP: 10.194.151.16, 10.194.144.34, 10.194.144.*
非常好的文章。 谢谢。`
#&&&格格巫归来&发表于 10:16:00&&IP: 221.216.14.*
对于术士来说，维特根斯坦所阐述的哲学就是宿命而已。 谢谢孟岩的文章。对数学的认知需要严密理性和直观感性的结合，目前大学里都是把数学当工科课程来教，完全忽视了它的直观感性的一面。 期待继续~~~~
#&&&Jacky Seraph&发表于 09:34:00&&IP: 61.149.33.*
可惜，要是在上线数课时读到这篇文章就好了。 期待后续。
#&&&Yarco&发表于 22:32:00&&IP: 58.33.225.*
唉, 为什么我离开大学之后, 才能慢慢地感觉到数学的价值呢? 为什么那么多年以后才让我重温小学时感知到的数学的美妙? ......我哭......爱着思考, 但却无缘在当初理解数学, 不得不痛苦地死记公式的同仁一齐哭... 发现有那么多人曾经和我一样痛苦. 唉, 想看数学书了.
#&&&探子&发表于 13:42:00&&IP: 218.19.138.*
非常棒。对我这样的人来说，完全达到了作者写作目的。我的高等数学是完全的还给老师了，碰到矩阵这东西，真的是掉头就跑，再没细究下去的心情。 但是看了这两篇短文，几分钟内建立起了一个大概的概念。再看到矩阵，起码依稀能有个概念，别人在说的是什么，意欲表达什么。而不是象看到一个外星人，脑子一片空白。
#&&&东阳&发表于 14:45:00&&IP: 222.205.89.*
孟老师这篇文章给我最大价值是用一种较为直观的方式去理解数学,但对数学的理解却并不只是直观的而已.很庆幸自己在学习线代的时候读到这篇佳文,将它推荐给同学,一定裨益良多. 数学的严谨性是我们&&本文的受众自己在得到启发后，再去慢慢修正的。相反，如果这篇文章如果一开始就以十分严谨的方式来写，我认为，且不论孟老师的水平如何，这篇文章的启发性价值，则要大打折扣了。 大一小子，识浅言轻，诸位达人莫怪！
#&&&东阳&发表于 08:40:00&&IP: 222.205.67.*
我将孟老师的几个问题请教我的老师,给的答复是这样的: 能思考一些东西，很好. 但不能太过于执着。重要的是理解定义。有的问题的答案直接来自于 定义。 矩阵是什么？ 1. 矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一些运算规则。 2. 矩阵是一列向量，如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多个方面的观察值。 3. 矩阵是一个图像，它的每一的元素代表相对位置的像素值， 4. 矩阵是一个线形变换，它可以将一些向量变换为另一些向量。 所以要回答&矩阵是什么&，取决于你从什么角度去看它。折也从某种意义上说明了为什么矩 阵有那么大的应用性。 一系列的同维向量，可以组成一个矩阵，同样，一些同阶数的矩阵可以构成一个张量（你可以 称之为三维矩阵）。 行列式来自于表示线形代数方程组解的表示（克莱姆法则).不必对其太过于神往。行列式的理 论意义大于实际意义，实际上，行列式的实际应用价值不大，实际计算有数值上的问题与困难 。 当你明白行列式的具体定义时，你自然明白为什么不能定义一个非方矩阵的行列式。 矩阵的分块，只是为了便于运算。分块不能使随意的，如果要进行矩阵的乘法或加法运算。 矩阵的一些运算现象，如(AB)^T = B^T A^T, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},是由其所定义的运算 规则所决定的，没有什么可以奇怪的。 行列式也有类似的规则，如：|AB| = |A||B|。 如果将矩阵看作为一个线形变换，则特征向量是矩阵的一个&不变&量。 这里所谓的不变量是指变换前后的两个向量是平行的（在平行意义下的不变方向）。矩阵对这 样的向量的变化结果，是对这个向量作数乘。在这个意义下，矩阵就&等价于&这个数。具有 这种特性的向量刻画了矩阵本身的一些几何特点。
#&&&myan&发表于 10:41:00&&IP: 219.236.52.*
to 东阳： 我丝毫不怀疑大部分合格的数学老师都对矩阵以及其他数学对象的意义进行过深入的思考，但同样也毫无疑问的是，无论他们是怎么思考的，他们的教学方式却仍然是按照大纲要求一板一眼的来进行。这当然有很多正当的理由，不过这些理由的存在也就构成了我写这种文章的理由。我写这个东西的根本目的，是为了试验一种新的描述知识的方法，就是认识&&修正不断循环上升的过程，而不是像教科书上那样一上来就讲真理，不管别人接受不接受的了。这种态度背后是一种蛮横，潜台词是：保证数学的伟光正形象要比教育本身的目的更重要，你们学不会是你们笨，而数学的形象必须始终光辉夺目。这不是教育者的心态，这是宗教家的心态。 坦率地说，我对于你的老师给出动的答案并不十分满意。当然，这肯定不是因为你的老师水平的问题，他作为专业数学教师，水平肯定跟我不能同日而语。但是我觉得他似乎将把数学中很多&巧合&看成是理所当然的，世界是建立在偶然巧合上的，或者是上帝的兴致所至。我不太能接受这个观念。我知道矩阵的若干意义，但是希望能知道是不是其中有一个意义是根本的，其他的意义都是派生的。当你这样看一个对象它是这样的，而那样看对象就成了另外一个样子的时候，你一定会希望弄清楚这个对象本质是什么样子的，而不是就此止步，把秘密留给上帝。 这个系列还没有写完，这是因为在写的过程中，在与读者交流的过程中，在继续阅读和学习的过程中，我又有些体会，但是还不成熟，总结不出来。但是我的基本思路不会变，写东西的目的要让人理解，而不是让自己爽。人类认识问题必然是从特殊到一般，从具体到抽象，从错误到不那么错误。象&矩阵就是一堆数&这样的真理，脱离开其形成的思考实践，就是一句毫无意义的废话。
#&&&东阳&发表于 18:26:00&&IP: 222.205.66.*
你的这种想法&&对本文受众更好的理解问题提供一种可行的方式，我同意，而且本身就是一个受益者.但是从另一个角度来看，作为教科书，并不能按你这种方式来写，他必须告诉人们数学的严谨和数学的美，从教科书的角度看，它对读者的要求是比较高的，如果读者能将一本教科书吃透，也就足够了，单对数学的深层次的理解并不是一朝一夕的事，用我老师的话来说，它需要用文火来慢慢熬，才能熬出味道来.我十分赞同你这样的一种理解问题的模式，但理解问题的模式并不只有一种。很幸运的是，因为我不是学微积分，而是数学分析，现在数学分析和线性代数，两门课的很多东西现在都能够串起来，所以感觉很棒。但是之前一段时间却学得很郁闷，正是对一些公式定理的不能理解导致的，但现在还是一样有了感觉了。对于初学者，建立一种直观的联系是很有必要的，但是不必过分强调，因为很多东西并不能直接从直观上看，过分追求直观可能导致牵强附会.直观的解释作为一种启发式的东西，仍然是价值巨大的. 支持您继续写下去！
#&&&东阳&发表于 18:33:00&&IP: 222.205.66.*
我的这位老师是叫我数学分析的，他能够把很多东西串起来讲，所以他的学生对他是很崇敬的.我经常问他一些其他的数学问题，受益匪浅。我想有事每个人站的角度不同，得出的结论也自然不同，没有必要把自己的看法强加给别人，求同存异，和而不同，我觉得才是王道啊。 小子无知，诸君莫怪
#&&&意识电路&发表于 22:41:00&&IP: 221.192.204.*
tomyan；您&为了试验一种新的描述知识的方法，就是认识&&修正不断循环上升的过程，而不是像教科书上那样一上来就讲真理，不管别......& &但是我觉得他似乎将把数学中很多&巧合&看成是理所当然的，世界是建立在偶然巧合上的，或者是上帝的兴致所至。我不太能接受这个观念。人接受不接受的了。& &人类认识问题必然是从特殊到一般，从具体到抽象，从错误到不 这样的真理，脱离开其形成的思考实践，就是一句毫无意义的废话& 对于不易理解的事物形成理解，这本身就是真理发展的过程。,可以肯定的是人类目前的认知能力还不能确定事物之间普遍联系的相互关系。所以只好把可以确定的部分强硬的规定起来。这样的行为显然不被具有独立思想的大脑所接受，所有思想着的大脑也从来不接受所谓&上帝&强权的愚弄与欺骗。但截止于目前所谓&巧合&中的必然还未被揭发出来。我认为是诸多问题的不被意识理解的总原因。愿理解您的意愿，支持你的行动。但仅限于数学的理解我也可以告诉您这是无望的。理解是事物统一必然的思想出发和终极归宿。
#&&&xixi&发表于 01:13:00&&IP: 59.61.134.*
理解矩阵（二） 非常喜欢这样的文章, 看完后又有重学线性的想法, 要是我在大学里能有这样的老师多好啊(或看到这篇文章). 不多说了, 看书去.
#&&&刘典&发表于 17:41:00&&IP: 221.9.33.*
&真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。& 太感谢孟老师了，如果上天给我一次请您吃饭的机会我会请您去北京最好的饭店吃一顿！！！
#&&&Francsescoli&发表于 11:51:00&&IP: 222.70.131.*
&伟大的物理学家都是伟大的数学家，数学中的各个模型、公公式式都是物理学家提出来的，目的是为了验证或表述物理现象或试验，因为在他之前没有相当的数学理论可用来解释...&。这是我们的物理老师教给我们的一句话，我觉得很有启发。myan老兄认为如何啊？
#&&&hehe&发表于 00:21:00&&IP: 166.111.73.*
楼主将矩阵用运动来加以描述是一个不错的想法 不过依然有一些缺陷 1. 楼主自己对运动的含义进行了扩展, 但是在对读者建立直观概念的时候实际上又用到了传统的运动概念, 有点偷换概念的嫌疑 2. 矩阵产生的线性变换大多是在不同的空间之间,将这个也推广为运动,有点 ... 另外, 个人感觉, 矩阵是来源于线性方程组, 从这个角度入手应该更加直观 至于,对于相似性的解释, 还是相当不错的
#&&&moonzhao&发表于 17:16:00&&IP: 221.206.12.*
都是最基本的知识
#&&&Armstrong_wang&发表于 14:56:00&&IP: 202.120.40.*
孟岩对矩阵还这么有研究，佩服啊！上学期考矩阵论，硬是背了一些公式和习题才考了c+。真是不喜欢数学啊
#&&&doggyzone&发表于 21:48:00&&IP: 60.63.13.*
很喜欢myan关于猪的那个比方。不知道这样扩展一下所谓线性变换的概念大家喜欢不喜欢： 用照相机照一头猪，你把照相机从一个地方移到另一个地方，然后把猪向相反的方向移动相同的距离，得到的照片还是一样的，这就叫线性变换:)
#&&&大虾&发表于 21:55:00&&IP: 218.86.227.*
楼上的各位大虾都是猪头,受不住,哇哈哈
#&&&ismile&发表于 10:24:00&&IP: 61.187.55.*
&做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着&为了使用中方便&，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。& 这个4&4仿射变换的矩阵实际上就是齐次矩阵，一种三维向四维变化方法。楼主要讲清楚
#&&&vivian&发表于 21:19:00&&IP: 221.210.136.*
很好！希望能多欣赏到你的文章
#&&&刘泽围&发表于 18:42:00&&IP: 202.101.162.*
什么时候出第3篇啊？！！！强烈期待啊！！！！
#&&&狂想的蛇&发表于 01:04:00&&IP: 222.64.161.*
很感谢能潜心整理出这么深刻的道理！
#&&&hutoo&发表于 23:37:00&&IP: 222.64.5.*
写的很好。在碰撞中理解思想，结果本身就是变化的。希望能整理出书偶要买：）
#&&&newbee&发表于 13:26:00&&IP: 221.219.117.*
曾经也向孟老师一样感悟线数，至今记忆犹新的就是对秩的理解，求秩的过程其实就是在消除冗余，而这种冗余性放在线性方程组里来看是最好理解的，继而明白了初等变换的目的，极大无关组的意义。感觉线数有些概念有个很好的切入的话，其他的一通百通，个人觉得线数是一种耦合很高的体系
#&&&wjl&发表于 19:55:00&&IP: 218.193.191.*
我现在还在学习矩阵论，很希望能看到后续的文章。 孟老师可否推荐几本讲矩阵、空间、数学分析、函数分析的书？能够像《理解矩阵》这种文章一样讲述数学原理背后的来龙去脉。中英文皆可。 读《理解矩阵》，受益非浅，《理解矩阵1》里用蓝字提出的那几个问题正是长久以来困惑我的。正如孟老师所说，一般数学教科书习惯以抽象的方式来解释矩阵中的各种概念、把它们之间的来龙去脉付诸与一堆数学证明。作为工科学生（我在上交大读计算机），我非常不接受这种生硬的诠释方式。
#&&&wjl&发表于 20:06:00&&IP: 218.193.191.*
我现在还在学习矩阵论，很希望能看到后续的文章。 孟老师可否推荐几本讲矩阵、空间、数学分析、函数分析的书？能够像《理解矩阵》这种文章一样讲述数学原理背后的来龙去脉。中英文皆可。 读《理解矩阵》，受益非浅，《理解矩阵1》里用蓝字提出的那几个问题正是长久以来困惑我的。正如孟老师所说，一般数学教科书习惯以抽象的方式来解释矩阵中的各种概念、把它们之间的来龙去脉付诸与一堆数学证明。作为工科学生（我在上交大读计算机），我非常不接受这种生硬的诠释方式。
#&&&myan&发表于 14:03:00&&IP: 219.236.56.*
to wjl: 清华大学影印出版的《数学拾遗》是这方面一本不错的小书。而最近高教出版社引进的俄罗斯数学教材中，《函数论与泛函分析初步》是讲函数论的一本不错的书。 总的来说，国外的书在这方面好一些，但是大部分著作仍然还是很干涩的。 我正准备阅读另一本重要的矩阵方面的著作，期望能刷新自己的一些理解。所以《理解矩阵》的最后一部分可能会拖一段时间才出来。 谢谢你的关注。
#&&&勇泽&发表于 12:38:00&&IP: 61.167.156.*
宏观的我们都解释不清楚,还去讨论微观的,宏观运用好就足以解决大部分问题了.等我么能熟练鱼鹰宏观在去研究微观的.
#&&&Zrw_hunter&发表于 19:01:00&&IP: 218.28.18.*
具体问题二: 为什么各特征值相乘=|A|;&[特征值]=&[对角元]??? 内中有何妙玉?
#&&&Zrw_hunter&发表于 18:34:00&&IP: 218.28.18.*
过瘾,不错.真的.虽然有不同意思,但要明白,造就一个瓷器本身远比发现它上面的斑点要难得多.......我最近在想几个低级的问题,一直没有理解.就像楼主所言,现在编书的本身头脑也是一处混沌...比如: 一:关于行列式与矩阵的深刻关系是什么?具体一点,为什么二者运算法则根本不同,而|A|=0能断定A不满秩?|A|=0的情况下,A尽有哪些可能?是不是只有下面的可能?{1.某行(列)全0; 2.某行(列)可以由其它若干行(列)线性表示?};如果是,如何证明或是理解? 虽然可以从写字母出发来说明,但还是不直观...比如,A满秩可逆=&可以分解为多个初等矩阵p1p2p3...=&|A|=|p1p2p3...|=|p1|*|p2|.../=0 所以&A满秩=&|A|/=0&; 逆否,==;|A|=0=&不满秩&.
#&&&Zrw_hunter&发表于 22:52:00&&IP: 218.28.18.*
从坐标的旋转想开去,感觉矩阵好理解些.其它也是......
#&&&Zrw_hunter&发表于 11:03:00&&IP: 218.28.18.*
跟欧阳锋炼九饮真精一样,想了好多东西,自己也悟出不少...但就像说梦话...其中之一是: &|A|表示矩阵A所对应特征向量总矢积的线比,其中代数重数不等于几何重数的所得特征向量要视为重合.& :),,,妈妈呀,我都快迷了......
#&&&Zrw_hunter&发表于 11:17:00&&IP: 218.28.18.*
修正一下: &|A|表示矩阵A所对应特征向量在相应线性变换前后总矢积的线比系数(或是缩放系数),其中经由代数重数不等于几何重数的所得特征向量要视为重合.&
#&&&CCC&发表于 12:36:00&&IP: 220.113.45.*
河南人吧，理解。。。
#&&&Zrw_hunter&发表于 11:31:00&&IP: 218.28.18.*
期待下文...... 像CCC这样的食品分解器,不值得在这里出现.
#&&&Zrw_hunter&发表于 18:47:00&&IP: 127.0.0.*
首先我告诉你,我不是河南人.老家山西,湖北上学,郑州工作. 其次我告诉你,河南一亿人,你丢下去也就是中下等. 最后告诉你:我IP变了.
#&&&CCC&发表于 22:59:00&&IP: 222.130.189.*
刚工作吧。随意攻击别人、肮脏地说话，只说明自己的品质暴露，还&我IP变了&，另外你是要考研吧，真可怜。。。
#&&&zrw_hunter&发表于 09:14:00&&IP: 218.28.18.*
To CCC 哈哈,我比你混得好多了. 工作几年,二套房子在手,年年薪十万. 去年本行业的第一次注册,本人也过了. 决定不跟你说了.浪费. 不喜欢耍小聪明的人.
#&&&myan&发表于 20:02:00&&IP: 219.236.54.*
to zrw_hunter: 我觉得你对于|A|的解释是在用古拉丁语解释古希腊语，越解释读者越糊涂，最好的结果不过是你自己一个人闷爽。当然我相信你是明白了一些的，不过建议你应改试着用更简单的观念来解释行列式。 给你一个提示：行列式的确是反映线形变换前后的一种量的比较关系，但是到底是什么量呢？请查一些经典的矩阵论文献。
#&&&zrw_hunter&发表于 22:49:00&&IP: 218.28.18.*
TO myan: 汗,我本来就是读者之一....只是看了以后,觉得想理解理解,自己就在那里面悟了悟了...全是个人的体会... 我真的还没想去查一些东西...觉得你在这方面比我专业多了...不过我会尝试一下...只是时间太忙了.
#&&&KAKA&发表于 12:23:00&&IP: 192.168.1.*
To 孟某： It"s a explicit template instantiation declaration to export the STL class instantiation from the DLL It exports the cos function for complex&double&, not about template partial specification. 不是什么&特化&，也不是什么&特别优化&
#&&&Don&发表于 22:00:00&&IP: 60.26.128.*
看了您的文章:理解矩阵，受益匪浅 在这里向您请教关于Quaternion的问题: 我想知道Quaternion何以能表示一个旋转？ 我怀疑Quaternion和相似矩阵，特征向量，特征值有一定的关系 因为他们都有一种相同的表达式 qPq-1 是这样吗？ 期待您的回复 谢谢 blog.csdn.net/dingounan Inside Out: Camera
#&&&xuedingxiang&发表于 09:26:00&&IP: 61.129.178.*
连续读了两篇文章，对矩阵的概念有了新的认识，特别是矩阵是线性空间里变换（运动，跃迁）的描述，我认为是比较新奇的。
#&&&xuedingxiang&发表于 09:27:00&&IP: 61.129.178.*
#&&&xuedingxiang&发表于 09:34:00&&IP: 210.72.9.*
&线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。& 期待对赋范线性空间，内积空间，希尔伯特空间的精辟阐述。
#&&&wizard13&发表于 17:57:00&&IP: 222.66.73.*
受益良多 非常期待下文。。。 其实直观的理解问题，一直是我初中，高中时所追求的。以前老师讲解题目，我觉得别扭的一定会深入的研究下去，有时就让我发现老师讲错，有时就一直证明到自己把问题理解的足够自然。最记得有一次，我上数学课对老师前面讲解的一个问题提出质疑，说她（女老师）讲错了，她火了，因为我经常提一些这样的疑问，结果她坚决不理睬我，对我的质疑置之不理，当面全班人的面，还让我旁边的班长站起来硬说我是错了。哈哈，可是我提问之前已经给班长看过我的证明了。结果班长站起来就选择沉默，低着头。。。。哈哈
#&&&qiuryaq&发表于 08:27:00&&IP: 216.115.113.*
我认为矩阵变换这个词很好，干什么要叫运动呢？　上面所发是我看了孟岩老师文章后想出的，也不知对不对。
#&&&qiuryaq&发表于 08:19:00&&IP: 216.115.113.*
矩阵的一些运算现象，如(AB)^T = B^T A^T, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},是由其所定义的运算 规则所决定的，没有什么可以奇怪的。 X, X", X"" 是向量，e, e", e"" 是相应的基。 A: X -& X"; A^(-1): X" -& X; A^T: e" -& B: X" -& X""; B^(-1): X"" -& X"; B^T: e"" -& e"; AB: X -& X"" (AB)^-1: X"" -& X = X"" -& X" -& X (B^-1) (A^-1) (AB)^T: e"" -& e = e"" -& e" -& e (B^T) (A^T)
#&&&bart&发表于 18:57:00&&IP: 222.90.121.*
不错的文章，我基本是看了你的这篇文章后才学好线代的。 你再来一篇关于复变函数和积分变换的吧。
#&&&pc的情人&发表于 15:01:00&&IP: 61.144.248.*
我一直认同，数学意义在于其表征现实世间的某种内涵。如果不能找到内涵所在，纯粹的逻辑符号没有意义。对于线性代数，我跟作者一样，一直思考其中的内涵所在，特别是关于特征值和特征相量的思考。特征值我只能在二次型和协方差中才能找到理解的基点。作者的理解方式给我另外一种理解方式。网上有很多你的文章转贴，终于找到原作者了，谢谢你的用心。希望再能看到作者的其他文章。
#&&&我的&发表于 15:01:00&&IP: 61.150.69.*
我是想来看实际应用的,要交作业的,看了半天,没有能让我抄一点的东西..................晕死
#&&&mycicisky&发表于 03:59:41&&IP: 61.51.147.*
过客不留名 发表于 01:28:00 IP: 58.67.30.*写给楼上的 &过客不留名& 整个哲学体系里面，我只看过几本存在主义，几本尼采，基本没看懂，我对哲学几乎一无所知，我很羞愧。 我只是一个 programmer on the street 你虚心的问我：么和现实世界有关系，我告诉你，物理、化学、生物，医学，都和现实有关系 你虚心问我：什么是现实世界，我告诉你，你所在的空间就是现实世界 它满足 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 1/t^2 = 0 (这个方程记不准确了) 知识是灌水的唯一源泉 ---------------------------------------------------------------------请问物理、化学、生物，医学这几门那个能离开数学独立存在？!
#&&&mycicisky&发表于 04:07:42&&IP: 61.51.147.*
半夜看完 醍醐灌顶的感觉 嘿嘿 以后有机会接着上学学（先攒够银子：）突然想到当年高中数学老师甄老师曾给我们讲过：&数学是世界上最美的语言！&（ 呵呵 也许是甄老师的老师讲给老师的话 经典！）
#&&&dahuatttt&发表于 14:01:18&&IP: 218.1.250.*
一年多了，就是没有下文了。。。呼唤孟岩继续写下去
#&&&win.&发表于 13:33:50&&IP: 61.236.18.*
真是知己啊!你写的文章好像一盏明灯,把我从生涩,无头绪的数学公式说教的昏暗世界解脱出来,我是学工科的,但是往往在学习某一门课程时无论什么都想思考出它的真谛与实质,随着所学的知识越来越多,思考的就越多,但是捆扰我的就越多,真的,往往对事物的本质探究的多了,就要把它上升到一种哲学的范畴,往往被别人看作不是问题的问题也可能也要努力思考出它的本质,我很佩服作者的勇气和能力,很多人在学习自然科学时是把它仅仅做为知识,或者是工具去学习,但是自然科学的学习中蕴涵着犹如佛教中&悟&一样的过程,我这么说并不是说自然科学是迷信,但是在学习自然科学中真有种&只可意会,不可言传&的感觉,这种感觉就是我们对实质的感悟,它并不是完全理性的,而是建立在理性基础上的对事物实质大彻大悟的感性理解.而作者正是在努力用文字的形式去传达这种对这门学科的最真实最直接的感悟,太好了,真的希望看到你的下文和其他文章!!
#&&&hannah_s&发表于 11:17:03&&IP: 159.226.228.*
受益匪浅！请一定要继续写下去。
#&&&oyd&发表于 16:32:58&&IP: 61.135.152.*
孟岩先生：对于什么是线性变换的你的那个通俗说法：&而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。&我反而看了之后更糊涂。倒不如T(ax + by) = aT(x) + bT(y)直白。虽然这个式子的含义我也没太懂，但由此我至少知道线性变换是有这么一个性质的。而你的这个解释，我就只好理解成线性变换就是线性空间中的变换，这不说了跟没说一样吗？或者至少你举一个非线性变换的例子，再通过对比来说明一下线性变换的本质，不然我还是只有一个公式化的认识。
#&&&GlietBoy&发表于 23:49:02&&IP: 221.7.229.*
老岩又可以当数学家了。对其中的数学定义和表示法的表述，本人觉得不好。老岩同志，下次，希望您写的东西，能表述准确些，而不是刚入大一新生。呵呵。希望用语准确些，科学毕竟不是小儿吵架,特别数学。我的大学高等代数老师有一句在系里有名的名言：&数学是要以理服人的！&
#&&&JJWorm&发表于 10:34:24&&IP: 125.70.230.*
你说的直观是不是现实空间中的后天经验， 那么这涉及到一个问题数学到底是现实的抽象，还是柏拉图的世界，也就是遗世独立，现实只是它的一个粗糙的影射。这涉及到哲学上的问题，想不明白，也没有答案。 但如果这个问题不解决， 那么你的直观是否是先验的判断，是不能得出结论的啊。直观不一定是生活中的直观， 它可能本身就是人心对真理的直觉。 aha100 发表于 13:15:00 IP: 10.11.153.*我觉得如果把运动分为运动结果和运动过程比较好.作者最好不要用运动一词,因为运动包含了开始,过程和结果.当然你开始时候就说了&运动的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化&.但看的时候有点别扭. 改成运动方式好点. 另&&所谓直观与抽象的区别。我想不能刻意追求直观，直观只能是在理论的某一部分，当然直观是什么也是个问题，是指与现实世界的联系吗，这是一部分，但不是很大一部分。如果对数学学得好，并不是一定要懂这些联系的，但却必须对数学符号所描述的联系有很清楚的理解。 数学只是在一些先验的假设基础上再去研究这些假设之间的关系而已，当然借用的是我们的逻辑。这我想是罗素写《数学原理》的想法吧（很抱歉，没看过，只是对哲学有些了解。）。 我想说的是直观不是数学研究的重要部分，最多是一个生活的启发，或者满足某些人喜欢对事物来龙去脉搞清楚的兴趣。因为数学更是逻辑本身的体现。 如果你一定要问数学有什么直观的意义，那有时候是可以的，有时候却可以说只是我这样定义了而已。（好象有点哲学的味道） 不知道我把我的想法解释清楚了没有。
#&&&JJWorm&发表于 10:52:55&&IP: 125.70.230.*
一直也喜欢在数学的公式中去找答案,去发现直观意义. 在贴子中,发现了原还有许多同样的朋友. 但更重要的收获,是在回复中一些朋友启发到. 直觉可能不是数学的全部. 直觉不是数学的终点, 确定性不是数学的本原.那么数学你到底是要做什么的啊........... 要崩溃了. 我从小一直以为世界本质是美好的, 一切最终是追寻着真善美的目标. 但现实一再告诉我们, 假设有上帝, 那么它不一定会是真善美的代言人. 一切的一切都指向的是&存在&. 为了存在没有任何标尺. 数学也是世界的一部分, 那么它也不会有责任去真善美. 再美好的直观解释让我能激动一时,更多的是失落.
#&&&yanonsoftware&发表于 12:28:31&&IP: 222.35.23.*
看到这里已经受益匪浅了~! 终于把图形学的知识和线性代数里面的知识融会贯通了! 好久没有这种感觉了!
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