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什么叫反证法
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高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ● 高中数学 ●反证法逻辑原理；即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”；作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学邮编：4100；【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般；【关键词】：反证法证明矛盾逆否命题；一反证法出现；反证法（ProofsbyContradictio；反证法常称作Reductioadabsurdum；二反证法所依据的逻辑思维规律；反证法所依据的是逻辑思维
反证法逻辑原理
即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”
作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学
邮编：410003）
【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。
【关键词】：反证法 证明 矛盾 逆否命题
一 反证法出现
反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“? ει? το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
二 反证法所依据的逻辑思维规律
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓&正难则反&。
三 反证法所依据的逻辑基础
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：
欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。 反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，B→A为真；
2.当A为真，B为假，则A→B为假，B→A为假；
3.当A为假，B为真，则A→B为真，B→A为真；
4.当A为假，B为假，则A→B为真，B→A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假
与若A则B先等价的是它的逆否命题若B则A
假设B,推出A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.
但实际推证的过程中,推出A是相当困难的,所以就转化为了推出与A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.
这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。
这样就有命题：若A则B为真，应该完备成命题：若A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及且……则B。于是逆否命题就是:若B,则A或C（定义）或D（定理）或E（正确的逻辑推理）或F(客观事实)以及或……，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。
在数学的证明中，经常运用反证法。在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。
设A1，A2，…，Am是命题公式，
如果A1? A2?…?Am是可满足的，
称A1，A2，…，Am是相容的。
如果A1?A2?…?Am是矛盾式，
称A1，A2，…，Am是不相容的。
如果要证A1? A2?…?Am ?C
只需证明A1? A2?…?Am ? C是重言式。
而A1?A2?…?Am ?C
? ?(A1?A2?…?Am)?C
? ?(A1?A2?…?Am ??C)
由此可知A1?A2?…?Am ?C为重言式，
当且仅当A1?A2?…?Am ??C是矛盾式。
从而得到如A1，A2，…，Am，?C不相容（即?C??(A1?A2?…?Am)这就是A1? A2?…?Am ? C的逆否命题得证 ），则C是A1，A2，…，Am的有效结论。
因此我们可以把?C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1，A2，…，Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。
例如：B→A为真，就是B且 A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……→A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真），
当然也可以是另外的情形，如：B且 A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……则A且C（定义）且D（定理）且E（正确的逻辑推理）且F(客观事实)以及……，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若A则B为真（即原命题为真）等等。
四 反证法步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。（若B为真）
（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。（即推出A或C（定义）
D（定理）或E（正确的逻辑推理）或F(客观事实)以及或……为真）
（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。（即A→B为真）
五 反证法在简易逻辑中适用题型：
（1）唯一性命题
（2）否定性题
（3）“至多”，“至少”型命题
⒈基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、
公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手
较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理
包含各类专业文献、中学教育、高等教育、文学作品欣赏、各类资格考试、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、12反证法逻辑原理
孙贤忠等内容。　反证法的例子
反证法的例子
范文一：【案例】反证法北京丰台二中 张健内容和内容解析：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。目标和目标解析：①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的作用；②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证法思考和证明一些简单的数学问题；③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，培养他们的逆向思维能力。教学重点：了解反证法的思考过程和特点。教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。 教学问题诊断分析：学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。究其原因，反证法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难。教学过程设计：1.情境引入回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：1.1 小故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?1.2 桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？1.3 A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？问题：解决以上三个问题，你的方法是怎样的？与前面学习的方法有什么不同？设计意图：通过小故事、例子，让学生在对比中发现新的推理方式。2.数学建构问题1：把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明，反证法是常见的一种间接证明方法。你能给反证法下个定义吗？设计意图：引导学生通过讨论，进行抽象概括。3.数学应用例1.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数。设计意图：分析证明过程，抽象概括用反证法的证明的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立；（假设）（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（归谬）（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。（存真） 例2.已知直线a,b进和平面?，如果a??,b??，且a // b，求证：a//?.设计意图：按照反证法的步骤规范进行证明，熟悉证明方法。
例3.求证；2是无理数。设计意图：这是数学反证法的熟悉过程，也是概念的“精致过程”。 问题1：用反正法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 问题2：你认为反证法的使用情形有哪些？说明：常用的正面叙述词语及其否定：设计意图：为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回答，这样学生才能从本质上掌握反证法。原文地址：【案例】反证法北京丰台二中 张健内容和内容解析：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。目标和目标解析：①结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的作用；②学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证法思考和证明一些简单的数学问题；③通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体会反证法的内涵，培养他们的逆向思维能力。教学重点：了解反证法的思考过程和特点。教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。 教学问题诊断分析：学生从初中开始就已初步接触过反证法，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。究其原因，反证法主要是需要逆向思维，而在中小学阶段，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难。教学过程设计：1.情境引入回忆综合法和分析证明问题的过程，思考并解决下面三个问题：1.1 小故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?1.2 桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？1.3 A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？问题：解决以上三个问题，你的方法是怎样的？与前面学习的方法有什么不同？设计意图：通过小故事、例子，让学生在对比中发现新的推理方式。2.数学建构问题1：把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明，反证法是常见的一种间接证明方法。你能给反证法下个定义吗？设计意图：引导学生通过讨论，进行抽象概括。3.数学应用例1.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数。设计意图：分析证明过程，抽象概括用反证法的证明的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立；（假设）（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（归谬）（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。（存真） 例2.已知直线a,b进和平面?，如果a??,b??，且a // b，求证：a//?.设计意图：按照反证法的步骤规范进行证明，熟悉证明方法。
例3.求证；2是无理数。设计意图：这是数学反证法的熟悉过程，也是概念的“精致过程”。 问题1：用反正法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 问题2：你认为反证法的使用情形有哪些？说明：常用的正面叙述词语及其否定：设计意图：为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回答，这样学生才能从本质上掌握反证法。
范文二：举反例与反证法李云庄举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同，学生容易混淆，为了使学生正确运用
举反例和反证法是判断命题真假来解决问题，就解决以下几个问题。一、适用对象不同：1、举反例：适用假命题2、反证法：适用真命题二、方法不同：1、举反例：要证明一个命题为假命题，只要举出一个反例来说明命题不成立即可．所以反例就是满足命题题设但不满足命题结论的一个实例。所举的反例要求简单、明确、有说服力．有的几何题要通过图形来举反例。举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同. 所谓反例,通常是指用来说明某个例题不成立的例子.举反例就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理数.”判断这个命题不是真命题,只要举出“两个无理数之和是有理数”的例子就可以确定这个命题是假命题.,如2与-2。2、反证法：是间接证明的一种，常常用在直接证明有困难的那些命题上，它的步骤为：先假设结论不成立（即结论的反面是正确的）（反设），然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾（归谬），说明假设的不成立，从而得出原结论是正确的（结论）．三、反证法的关键是对结论否定的正确性，要熟悉常用的互为否定的表述方式：如是——不是；存在——不存在； 平行——不平行；垂直——不垂直；
等于——不等于；都是——不都是； 大于——不大于；小于——不小于；
至少有一个——一个也没有； 至少有三个——至多有两个；至少有n个——至多有(n-1)个。
范文三：反证法”教学案例数学组
梁华超教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。教学目的：1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。重点难点：反证法证明命题的过程教学方法：互动式教学教学过程：（一）
导入（3分钟）：师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事呢？（让学生讲这个故事）师：这个故事蕴含什么道理？生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件演示）（让学生分组讨论后交流）生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。师：可以，有没有比他更简单的方法呢？生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365天不符合，因此是不可能的。师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方式，尝试证明此命题。）生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，因此原命题成立师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行交流）生：我们小组的讨论结果是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，归纳出反证法证明命题的步骤）师：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。下面我们一起来证明一个命题，大家仔细体会反证法的证明过程：
已知：A、B、C三点在同一条直线上。求证：过A、B、C三点不能作圆。(引导学生分析，写出假设，推出错误的结论，教师板书证明过程。)（三）小试牛刀——尝试反证法（12分钟）。师：下面我们做一组练习练习1：用反证法证明下列命题（多媒体显示）。①
一个三角形中不可能有两个钝角。②
梯形的两条对角线不能互相平分。③
两条直线相交，交点只有一个。（让学生分组讨论，合作完成以上3个命题的证明，熟练反证法的证明过程）。练习2：已知：如图三角形ABC中，D、E两点分别在AB、AC上。求证：CD、BE不能互相平分。（让学生独立思考完成，进一步巩固训练，然后交流解题思路）（四）举一反三——妙用反证法（13分钟）。1、诸葛亮与反证法（3分钟）。师：设计情景：
三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱兵士出城迎战，犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香C案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。② 展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这个问题？诸葛亮是如何考虑的？③名家点评：诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的。诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，在历史上传为美谈。这就是家喻户晓的“空城计”。2、律师与反证法（10分钟）。师：①设置情景：这是生活中的一个真实的案例：一公司老总在某酒店设宴款待自己的朋友，他们点的菜中有一道叫做水煮鸡围虾，酒宴过半，客人突然提出这道菜中有一只红头大苍蝇，要求酒店方面给予赔偿，双方为此争执不休，酒店经理为了证实那不是苍蝇，情急之下，把这个疑似红头苍蝇的东西吃了下去。对方一看证物被毁，更加有恃无恐，一纸诉状将酒店告上法庭，酒店经理对自己的冲动很后悔，深知庭审对自己将非常不利，但事情已无法挽回，为打赢官司，他们聘请了一个著名的律师为自己辩护。法庭上，双方律师围绕着是不是红头苍蝇展开辩论，原告律师自恃证据确凿，咄咄逼人，形式对被告很不利。这时，被告律师站了起来，要求对原告方提问，法官允许后，被告律师问：“你真的看到一只红头大苍蝇吗？”“是的。”“你肯定是红色的吗？”“是的，我肯定。”接着，被告律师用了一个巧妙的方法证实了原告说了谎话，这个方法就是我们今天学习的反证法。假如你是被告方律师，你会怎么证实原告说的是谎话呢？ ②开讨论：让学生以小组为单位合作探讨，寻找最佳方法。③模拟法庭：让各个小组的代表说出自己的做法，发言的同学作为“律师”，不发言的同学作为“法官”，看看哪位“律师”的说法能让“法官”们信服。 ④真相大白：不少小组的做法非常接近律师的方法，让我们看看这位律师的做法：把提前准备的五只红头大苍蝇放到酒精锅里，当庭开煮，几分钟后，呈现在众人面前的是五只黑色的大苍蝇，法官当场宣布：原告败诉。反证法在社会实践中和数学各个领域中都有着广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何的发现都得益于反证法。（五）矢志不渝——情系反证法（3分钟）。（课件演示）。师：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝——情系反证法的俄国科学家讲述数学家利用反证法发现非欧几何的故事。1815年 俄国 罗巴切夫斯基础过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。1826年 非欧几何遭到讥讽和打击 高斯 欧洲数学之王。1856年 在苦闷和抑郁中度过生命的最后一段路程。1868年 几何学中的哥白尼。1893年 喀山大学世界史上第一个为数学家立的雕塑。师：通过讲述上面的故事，同学们有什么感触？生：我们了解了反证法背后的辛酸历史，学习数学家坚持真理畏权势、锲而不舍的奋斗精神。师：在科学探索的征途中，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。我们再学习数学知识的同时，更应该学习数学家的这种品质，这也是我们学习数学的真谛。（六）小结：师：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？（2分钟）生：了解反证法证明命题的过程。生：感受了反证法的妙用。生：感受到数学家不畏权势，坚持真理，锲而不舍的奋斗精神。师：同学们总结的很好。本节课表现较好的是1、3、4、8组。（让学生归纳总结本节课的收获，根据学生的回答教师及时补充，并对表现突出的小组和个人给予表扬和鼓励。）（七）作业（2分钟）：用反证法证明下列命题：①等腰三角形的底角必定是锐角。②直径是圆上的最大弦。师：通过本节课的学习，我们了解了反证法在生活中有广泛的应用，由于时间的关系，我们不能一一列举，课后以小组为单位收集相关的资料，以《生活中的反证法》为题写一篇小论文，时间两个周，届时我们将评选出优秀论文若干篇。教学反思：1、准确定位教学目标。新课程标准十分重视学生“双基”的培养，也十分关注学生的学习过程以及情感、态度、能力等方面的发展，在设计教学目标时，我从三个方面即知识技能目标、过程性目标和情感态度目标进行了详细准确的定位。体现了“立足双基，着眼发展”的教育理念。2、创造性的使用教材。教材的内容相对来说比较简单，具有一定的权威性，但同时又肯有相对的滞后性、封闭性、静止性等缺陷，不能适应新课程的要求。因此，再设计本节课时，以课本的基本内容为蓝本，结合学生的认知规律和生活经验，改造和充实所教的内容，尤其是诸葛亮与反证法、律师与反证法、科学家的故事的引入，体现了学数学、用数学的思想，注重对学生的情感态度和价值观的教育。努力使课堂教学充满趣味性、挑战性，让学生感知数学来源于生活，同时又服务于生活。3、突出学生的主体地位。课堂上教师把学习的主动权交给学生，让学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新。本节课师生围绕情景-问题-解决的思路，步步深入地经历了问题解决的过程。课堂气氛自始至终和谐、生动、自然，既有学生的独立思考，更有师生间的相互交流、激烈的讨论。作者： 梁华超 来源： 本站原创
范文四：《反证法 》教学设计与反思德兴二中
叶慧敏“反证法”是九年级上册第二十四章圆和圆的位置关系中的一部分内容。它是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要。本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。一、首先从课程分析和学情分析着手。综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。二、让学生自己去发现问题，解决问题。先巧用趣味故事引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从故事中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义：反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。附：
故事一南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。故事二相传在古代有一个贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去对国有功，采用了一个由命运来最后裁定的办法，用两张纸片，一张上写活字，一张上写死字，处决前由它来抽，抽到活字可赦免，而奸臣阴险歹毒，命人用两张纸片上都写上死字，凑巧这个诡计被贤臣的朋友知道了，悲痛地告诉了他，并表示要和他一起揭露奸臣的阴谋，这个贤臣想了想，高兴地说：“我有救了！”他叫这个朋友不要声张，处决前抽纸片时，只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞了下去，监斩官只好看剩下的纸片是什么字了。剩下的字无疑是个“死”字，于是这个贤臣就被赦免了。贤臣为什么能死里逃生？贤臣运用了反证法。“死”字的反面是“生”字。三、从生活实际问题出发：问题1、13个人中至少有两个人的生日在同一个月。这一结论是否正确？
问题2、A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎， 为什么？（分析:假设C没有撒谎, 则C话为真.那么A话为假且B话为假，由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.）让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。接着给出问题：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的步骤？经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补充。四、反证法的基本步骤：（1）、反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真。（2）、归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。（3）、存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。五、在此基础上又开始应用反证法证明数学问题：例：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC ,
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°思考：应用反证法的情形：⑴直接证明困难;⑵需分成很多类进行讨论．⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；⑷结论为 “唯一”类命题；反证法的思维方法：正难则反反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.例如：六、练习题1、一个三角形中不能有两个角是直角。练习题2、两直线平行，同位角相等。通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方法。七、我对设计的反思和分析：(1).教学通过丰富的实例展开，这一方面可以使学生体会反证法思想与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习反证法的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到反证法思想离自己很近，反证法很有用。(2).在宽松愉快的环境中学生完成了学习任务，学生的主体地位得到了体现，主动性得到了充分发挥，学生的学习热情空前高涨，就连平时不爱说话的学生也敢于站起来回答问题了。所有的学生都动起来了，每个人都学有所得。诱思探究教学对大面积提高教学质量的巨大作用，更加坚信学生的潜力无穷，要给予学生充分的信任，相信他们解决问题的能力。(3).在组织讨论时应给足够的时间给学生，不仅仅是为了讨论而讨论，学生应在讨论中体会问题的实质，并最终形成自己的认识，哪怕是很肤浅的认识。(4).抓住重点，突破难点。反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面应包括以下三种情况：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。 在用反证法证明的命题中 经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。
范文五：【摘要】 反证法在高中立体几何问题中有一定的运用，运用的好可为我们在证明立体几何问题时多了一条有效途径，常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。本文就反证法在立体几何中的证明问题上做一些介绍，让读者感受到它的应用的巧妙。【关键词】反证法;举例【中国分类法】：O123.2反证法是间接证法的 一种，它以排中律为依据，不直接证明“A是B”，而是从反面证明“A不是B”不对，实际上就是证明命题的逆否命题成立，从而肯定“A是B”是对的。即当命题由“题设 结论”不易着手时，而改证它的逆否命题：“否定的结论 否定的题设”成立就行。实际上是用本科公里前此定理=>结果与某公理、某定理，题设或临时假设所不相容或自相矛盾。本题题设否定结论这就是说，结论一经否定便会出错，而这种错误，既然不是由于推理有问题，也就只能归咎于否定结论的假设出现了问题，因此否定结论不成立是错误的，那么只有原命题成立。这种证明方法叫做反证法。它在证明许多基本命题时特别有用。用反证法证明的一般过程是：否定结论=>A=>B=>C;与本科公理 ，与前此定理不相容，而C不合理， 即 与本题题设冲突，与临时假定违背，自相矛盾。因此结论不能否定，故结论成立。反证法由于否定结论情况不同，又可分为归谬法和穷举法。1.适用反证法证明常见的立体几何类型题：（1)对初始建立的定理，一个新的理论体系的建立，是一个渐进过程，起始定理由于本科前此定理不具备，证明依据甚少，多用反证法证明。如直线和平面平行的判定定理，是线面关系中的第一个定理，只能用反证法证明。对条件较弱的命题，多用反证法证明，因为我们如果作出与题设相反的假设，就等于增加了条件。（2）对求证的结论是以否定的形式出现的命题。（3）证明某一图形的唯一性命题。（4）证明存在性问题的命题。（5）对证明的结论是线线、线面、面面的位置关系的命题，此类题目中不易或不能从题设入手的，不妨考虑用反证法。2.应用反证法应该注意的问题（1）防漏：如果原命题的否定不只是一个，那么必须把各个都驳倒，才能肯定原来的命题成立，这就是穷举法。对这种情况，应防止漏掉其中一个方面。（2）应用反证法时，为便于推理需要辅之以图形，这时图形应当是真实图形的歪曲，证题过程对图形也应适应。3.应用举例例1求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交。已知：a∥b,a∩α=A求证：b和α相交证明：假设b和α不相交，那么b α或b∥α（1）如果b α（如图1）∵a∥b,∴a∥α这与 a∩α=A矛盾，cc∴b α不可能成立.图1（2）如果b∥α，设过a,b的平面β∩α=c∵b∥α∴b∥c又a∥b, ∴a∥c∴a∥α，这与a∩α=A矛盾,∴b∥α不能成立.综合(1)和（2）∴b和α相交.说明：此题用了穷举法，不要遗漏其中的一个方面。例2已知平面α,β,γ，且β⊥α,γ⊥α,β∩γ=a求证：a⊥α证明：假设a不垂直于α，过a上一点A做AB⊥α（如图2）.∵A∈β, ∴AB β,同理AB γ,∴AB=β∩γ因为两个平面只能有一条交线，这与β∩γ=a矛盾，∴a⊥α.说明：本题还有其它很多直接证法，但用反证法比较容易。例3垂直于同一条直线的两个平面平行.已知：平面β⊥直线AA',平面α⊥直线AA'求证：α∥β.证明：假设α与β不平行，则α∩β=l（如图3）在交线l上取一点P,连结PA,PA'图3这样在ΔPAA'中，有两个角是直角，这与三角形内角和矛盾，所以 相交是不可能的，所以，α∥β.例4已知直线l∥平面α,点A∈α,点A∈直线a,且a∥l求证：a α证明：假设a α，因为a∥l，根据公理3的推论可做一个平面β.（如图4）∵A∈直线a,a β, ∴a∈β.又已知A∈α,根据公理2可知α∩β=c. l由A∈α, A∈β知A∈c∵l∥α,∴l∥c图4又a∥l，在平面β内，过一点A可做两条直线a,c都与直线□平行，这与平行公理矛盾。∴a α不可能，只能a α.通过以上说明，反证法不但为我们在证明立体几何证明题中开辟了一条新途径，同时也发展和培养了学生的空间想象能力和解决问题的能力。
范文六：在《世说新语·言语》篇中，有许多辩论片段使用了例证反驳法，或生动活泼，或风趣幽默，或令人捧腹，或引人深思，真令人玩味无穷。我们今天再阅读它，从中学习古人的辩论技巧，可以提高我们的辩论水平。故事一：中散大夫嵇康对赵景真说：“你的眼睛黑白分明，有大将军白起那样的风度。遗憾的是眼睛狭小了些。”赵景真说：“一尺长的表尺就能审定浑天仪的度数，一寸长的竹管就能测量出乐音的高低。何必在乎大不大呢？你只问见识怎么样就行了。”[解析]：嵇康说赵景真眼睛黑白分明，是表面的奉承话，他的真实意图是说对方眼睛很小，讥讽对方视野狭窄、目光短浅。赵景真是聪明人，听出了对方的弦外之音。但他如果直接反驳，说眼小的好处，那就太直露了。赵景真于是用例证反驳法，用“表尺”“竹管”来回答对方：大有大的盲区，小有小的精明，再另辟蹊径，提出对方应该注意的是别人的见识如何，巧妙地回击了对方。故事二：蔡洪到洛阳后，洛阳人问他：“官府设置不久，众公卿征召人才，需要在平民百姓中寻求才华出众的人才，在山林隐逸中寻访才德高深之士。先生是南方人士，亡国逸民，有什么特殊的才能，敢来接受这一选拔？”蔡洪回答：“夜光之珠不一定都出自孟津一带的河谷之中，拱手的璧玉不一定都从昆仑山开采出来。大禹出生在东夷，周文王出生在西羌。圣贤出生地为什么非要在某个固定的地方呢？从前周武王打败了殷纣王，把殷代的顽民迁移到洛邑，莫非诸位先生就是那些人的后代吗？”[解析]：洛阳人因为蔡洪是“南方人士，亡国逸民”，就认为他没有“特殊的才能”。蔡洪举出实证——所有的夜光珠不都是产自孟津，所有的美璧不都是产自昆仑山，进而由物由人：大禹生东夷，周文王生西羌，釜底抽薪，从根本上驳倒对方的论据，阐明了地域不是出产人才的唯一标准的观点。然后他又反唇相讥，讽刺说话者是败者殷纣王的后代，以彼之道还制彼身，让人无法反驳。例证反驳是在辩论中常用的方法，本文仅是抛砖引玉，希望广大读者能够举一反三，在论辩中取得胜利。[古例活用]周日，陈歌把朋友马慧带回家去，可父母觉得马慧长有两颗虎牙，认为不吉利，很反对两人交往。送走马慧后，陈歌笑嘻嘻地反驳道：“妈，你太迷信了！刘二孃长有虎牙，人家还是家庭兴旺吧！居委会的丁主任也是虎牙，人家人兴财发呀！还有黄姑妈也是犬牙，却是女企业家，怎么会不吉利呢？有虎牙才有魅力嘛！生龙活虎，虎头虎脑，这不都是赞颂老虎的。妈，马慧人好心好工作好。您们要相信儿子看人的眼光。陈歌半当真半调侃的话，说得父母又高兴起来，同意了两人继续做朋友。[解析]：陈歌先用了例证反驳法，列举出生活圈中长有虎牙而家庭兴旺的事例，驳倒了有虎牙不吉利的谬论，他再另辟蹊径，针锋相对，后发制人，赢得了论辩的胜利。[古例活用]文竹随着一个旅游团到韩国旅游。但是韩国崔导游总是将他们领到免税商店去，动员他们购物，文竹他们发现，这些商品，一点也不便宜，所以大多数人都只看不买。几次三番后，崔导很不高兴地对他们说：“你们如果真的喜爱韩国、尊重韩国的话，就应多买韩国货回去送给朋友，如果只看不买，喜爱韩国又何从说起呢？”文竹立刻反驳道：“崔导，话不是这么说！我们国家领导人来访问，学术团体来学术交流，运动员来友好比赛，难道不算是喜爱韩国吗？我作为外国人，来到陌生的国度了解这个国家的历史，感受这个国家的文化，体验这个国家的风俗人情，这才是喜爱吧！购物，只是喜爱这个国家的商品，是浅层次的喜爱。我们是从深层次喜爱。再说，如果你随时随地都怂恿我们购物，我们的朋友怎么敢再到韩国来旅游呢？”文竹的一席话，说得这位导游连连称是，再也不敢怂恿游客购物了。[解析]：文竹先用例证反驳法，列举国家领导人的访问、学术交流等事例，否定了只有多购物才是喜爱韩国这一谬论。然后，老树新花，从新的角度灵活地解析学术交流、解韩国历史、认识韩国文化、体验韩国风俗人情等才是深层次喜爱韩国的表现。从而使论证更有深度，反驳也更有强度！[古例活用]汶川地震后，江油接收了不少来自北川、平武的灾民。两月后，余震逐渐减弱，有些灾民想要回去重建家园。一天上午，有个算命先生来到救灾帐篷前，煞有介事地说：“根据我的测算，最近还有一次比汶川地震更大的余震，发生地多半在原震区范围内，请大家还是别急着回去，这是送死！”他的话立即引起灾民的恐慌。这时候，一位灾民出面说话了：“大家不要听信他的谣言！我从报上看到，大地震之后，余震只会逐渐减弱。比如1933年日本北部三陆发生里氏8.1级的大地震，1946年日本西部地区发生里氏8.0级地震，1976年唐山发生了7.8级强烈地震，1999年台湾发生7.6级大地震，都没有再发生超过初发时的大余震。世界历次大地震发生后，都没有更大的余震出现。再说，如果这位先生能测算地震的话，为什么汶川大地震前不预告呢？这时再来放马后炮真是自作聪明！”这位灾民的话立即引起了大家的共鸣，算命先生灰溜溜地溜走了。[解析]：这位灾民巧用例证反驳法釜底抽薪，例举出世界各次大地震后都没更大余震发生的史实，直接驳倒了对方的谬论。然后再反讽对方：“如果这位先生能测算地震的话，为什么汶川大地震前不预告呢？”造谣者的嘴脸，昭然若揭！谣言也如气球一戳即破！吾吾摘自互联网在《世说新语·言语》篇中，有许多辩论片段使用了例证反驳法，或生动活泼，或风趣幽默，或令人捧腹，或引人深思，真令人玩味无穷。我们今天再阅读它，从中学习古人的辩论技巧，可以提高我们的辩论水平。故事一：中散大夫嵇康对赵景真说：“你的眼睛黑白分明，有大将军白起那样的风度。遗憾的是眼睛狭小了些。”赵景真说：“一尺长的表尺就能审定浑天仪的度数，一寸长的竹管就能测量出乐音的高低。何必在乎大不大呢？你只问见识怎么样就行了。”[解析]：嵇康说赵景真眼睛黑白分明，是表面的奉承话，他的真实意图是说对方眼睛很小，讥讽对方视野狭窄、目光短浅。赵景真是聪明人，听出了对方的弦外之音。但他如果直接反驳，说眼小的好处，那就太直露了。赵景真于是用例证反驳法，用“表尺”“竹管”来回答对方：大有大的盲区，小有小的精明，再另辟蹊径，提出对方应该注意的是别人的见识如何，巧妙地回击了对方。故事二：蔡洪到洛阳后，洛阳人问他：“官府设置不久，众公卿征召人才，需要在平民百姓中寻求才华出众的人才，在山林隐逸中寻访才德高深之士。先生是南方人士，亡国逸民，有什么特殊的才能，敢来接受这一选拔？”蔡洪回答：“夜光之珠不一定都出自孟津一带的河谷之中，拱手的璧玉不一定都从昆仑山开采出来。大禹出生在东夷，周文王出生在西羌。圣贤出生地为什么非要在某个固定的地方呢？从前周武王打败了殷纣王，把殷代的顽民迁移到洛邑，莫非诸位先生就是那些人的后代吗？”[解析]：洛阳人因为蔡洪是“南方人士，亡国逸民”，就认为他没有“特殊的才能”。蔡洪举出实证——所有的夜光珠不都是产自孟津，所有的美璧不都是产自昆仑山，进而由物由人：大禹生东夷，周文王生西羌，釜底抽薪，从根本上驳倒对方的论据，阐明了地域不是出产人才的唯一标准的观点。然后他又反唇相讥，讽刺说话者是败者殷纣王的后代，以彼之道还制彼身，让人无法反驳。例证反驳是在辩论中常用的方法，本文仅是抛砖引玉，希望广大读者能够举一反三，在论辩中取得胜利。[古例活用]周日，陈歌把朋友马慧带回家去，可父母觉得马慧长有两颗虎牙，认为不吉利，很反对两人交往。送走马慧后，陈歌笑嘻嘻地反驳道：“妈，你太迷信了！刘二孃长有虎牙，人家还是家庭兴旺吧！居委会的丁主任也是虎牙，人家人兴财发呀！还有黄姑妈也是犬牙，却是女企业家，怎么会不吉利呢？有虎牙才有魅力嘛！生龙活虎，虎头虎脑，这不都是赞颂老虎的。妈，马慧人好心好工作好。您们要相信儿子看人的眼光。陈歌半当真半调侃的话，说得父母又高兴起来，同意了两人继续做朋友。[解析]：陈歌先用了例证反驳法，列举出生活圈中长有虎牙而家庭兴旺的事例，驳倒了有虎牙不吉利的谬论，他再另辟蹊径，针锋相对，后发制人，赢得了论辩的胜利。[古例活用]文竹随着一个旅游团到韩国旅游。但是韩国崔导游总是将他们领到免税商店去，动员他们购物，文竹他们发现，这些商品，一点也不便宜，所以大多数人都只看不买。几次三番后，崔导很不高兴地对他们说：“你们如果真的喜爱韩国、尊重韩国的话，就应多买韩国货回去送给朋友，如果只看不买，喜爱韩国又何从说起呢？”文竹立刻反驳道：“崔导，话不是这么说！我们国家领导人来访问，学术团体来学术交流，运动员来友好比赛，难道不算是喜爱韩国吗？我作为外国人，来到陌生的国度了解这个国家的历史，感受这个国家的文化，体验这个国家的风俗人情，这才是喜爱吧！购物，只是喜爱这个国家的商品，是浅层次的喜爱。我们是从深层次喜爱。再说，如果你随时随地都怂恿我们购物，我们的朋友怎么敢再到韩国来旅游呢？”文竹的一席话，说得这位导游连连称是，再也不敢怂恿游客购物了。[解析]：文竹先用例证反驳法，列举国家领导人的访问、学术交流等事例，否定了只有多购物才是喜爱韩国这一谬论。然后，老树新花，从新的角度灵活地解析学术交流、解韩国历史、认识韩国文化、体验韩国风俗人情等才是深层次喜爱韩国的表现。从而使论证更有深度，反驳也更有强度！[古例活用]汶川地震后，江油接收了不少来自北川、平武的灾民。两月后，余震逐渐减弱，有些灾民想要回去重建家园。一天上午，有个算命先生来到救灾帐篷前，煞有介事地说：“根据我的测算，最近还有一次比汶川地震更大的余震，发生地多半在原震区范围内，请大家还是别急着回去，这是送死！”他的话立即引起灾民的恐慌。这时候，一位灾民出面说话了：“大家不要听信他的谣言！我从报上看到，大地震之后，余震只会逐渐减弱。比如1933年日本北部三陆发生里氏8.1级的大地震，1946年日本西部地区发生里氏8.0级地震，1976年唐山发生了7.8级强烈地震，1999年台湾发生7.6级大地震，都没有再发生超过初发时的大余震。世界历次大地震发生后，都没有更大的余震出现。再说，如果这位先生能测算地震的话，为什么汶川大地震前不预告呢？这时再来放马后炮真是自作聪明！”这位灾民的话立即引起了大家的共鸣，算命先生灰溜溜地溜走了。[解析]：这位灾民巧用例证反驳法釜底抽薪，例举出世界各次大地震后都没更大余震发生的史实，直接驳倒了对方的谬论。然后再反讽对方：“如果这位先生能测算地震的话，为什么汶川大地震前不预告呢？”造谣者的嘴脸，昭然若揭！谣言也如气球一戳即破！吾吾摘自互联网
范文七：（对比论证）坚忍是种心性，掌握好它，泥泞凄迷也会变得平坦光明。屈服于它，没有了适应周遭环境的能力，就失去了发展了可能；不去直视面临的困难，所有的振奋努力都滞留在曾经，像个懦夫，裹足逡巡，甚至随波逐流，全身而退，只能自暴软弱。正如李嘉诚所言：“人生自有其沉浮，每个人都应该忍耐自己的那一份悲哀，读懂坚忍。”抽象派艺术大师杰克逊波洛克一帆风顺时是高产画家，为世人称道，而身处摇摇欲坠寒冷结冰的乡下小舍的那段时期，他依然完成了包括名作《有麻烦的王后》在内的11幅油画和水粉作品。“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”别议在我们的日常生活中，广为流传着这样一句话：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮。”很多人把这句话奉为真理。然而我却怀疑：这真是一条真理吗？每一个事物都有它适用的条件和范围。这句话用在体力劳动中，是无可非议的。别说是三个“皮匠”顶一个“诸葛亮”，就是一个“皮匠”顶三个“诸葛亮”，也不足为怪。谁不知道诸葛亮是一个文弱书生呢？如果在脑力劳动中，那情况就大不相同了。脑力劳动，需要的是渊博的知识、丰富的实践经验和机智灵活的头脑。诸葛亮之所以能够“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，就因为他具备了上述条件。而对于从事体力劳动的“皮匠”师傅来说，他需要掌握的只是怎样修鞋、补鞋；他每天研究的只是怎样能更熟练地制革、做鞋，怎样提高工作效率。假如让“皮匠”师傅去指挥千军万马，与曹操抗衡，与司马懿斗智，恐怕只会被杀得落花流水、片甲不留吧。由此看来，做好一件事重要的并不是人的数量，而是人的质量。特别是在科学技术高速发展的今天，我们的祖国迫切需要像诸葛亮那样可以“运筹帷幄”“决胜千里”的人；像诸葛亮那样具有丰富知识、掌握先进科学技术的人；像诸葛亮那样高质量的人！（张颖）［简评］本文非常明显地运用了“正反对照”，比较说理之法：“皮匠”做体力活是正，叫“诸葛亮”去做体力活便是反；“诸葛亮”指挥千军万马是正，让“皮匠”去指挥千军万马便是反。这样鲜明的对比，使作者的论点鲜明地立了起来：“做好一件事重要的并不是人的数量，而是人的质量。”（程先国）
范文八：美学教授的孙子问爷爷：“爷爷，你为什么说一切假的都是丑的？”爷爷说：“那当然，难道你还能举出相反的例子？”“能！”孙子爬到爷爷身上，得意地说，你看看你自己，装上假牙后又年轻又精神，拿掉假牙，你的嘴巴又空又瘪，那才丑呢！这还不是相反的例子吗？”谁赢了邻居中有几个麻将迷，没事便扎堆到一起玩麻将。昨天我在巷子里碰到麻坛宿将小徐，我问：“怎么样？这阵子谁赢得多？”小徐搔搔额顶，无奈地苦笑着说：“都让阿三赢了！”我很纳闷，继续问道：“阿三天天在巷子口早晨卖烧饼羊肉汤，晚上摆烧烤摊儿，整天起早贪黑，还有精神头打麻将？我听说阿三从不打麻将啊？”小徐说：“阿三是不打麻将，可我们几个麻友有协定，谁赢了谁请客吃烧烤、喝羊汤。所以，只要我们一打麻将，就会有人请客，今天这个请，明天那个请，后来我们大家一核算，玩了半天谁也没赢，都让搞烧烤、卖羊肉汤的阿三赢去了！”
范文九：数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法.认识反证法王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）.1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）.2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立.3.反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等；4.一个反证法的范例证明：素数有无穷多个。这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1　　此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧和反证法的特点！反证法的应用类型一.用反证法证明否定性命题例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc即a2+b2+c2+d2+ab-cd+bc=0（a+b）2+（c+d）2+（a-b）2+（b+c）2=0所以a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾，故假设不成立，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1类型二.用反证法证明“至少”、“至多”等存在性问题例2 若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+■,b=y2-2z+■,c=z2-2x+■求证：a，b，c中至少有一个大于0证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0，则a+b+c≤0而a+b+c=（x2-2y+■）+（y2-2z+■）+（z2-2x+■）=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3>0这与a+b+c≤0矛盾，因此abc中至少有一个大于0类型三.用反证法证明唯一性问题例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行证明：假设过点A还有一条直线c与已知直线a平行.由于a∥b,c∥a，所以b∥c,这与b∩c=A矛盾，所以假设错误，故原命题成立.类型四.用反证法证明直接证明有困难的问题例4 证明：■是无理数证明：假设■不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整数m，n，使得■=■（任意一个有理数都可以写成形如■（m,n互质，m∈Z,n∈N ））从而m■n，因此m2=2n2，所以m为偶数.于是可设m=2k（k∈N） ,从而有4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也为偶数.这与m，n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而■是无理数。注解：（1）反证法证明的第一步是否定结论常见数学用语的正面叙述及其否定形式（2）如何推理论证，找出矛盾所谓“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等；（3）反证法适用的题型：1.否定性问题；2.存在唯一性问题；3.“至多”或“至少”问题；4.结论的反面比原结论更具体，更容易研究和掌握的题目；5.原命题直接证明有困难时；练习：（1）已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证■，■，■不成等差数列（2）已知x>0，y>0,且x+y>2求证：■，■至少有一个小于2（3）过平面α内的一点A作直线a,使得a⊥α，求证：直线a是唯一的反证法常常是解决某些问题“疑难”问题的有力工具.英国近代数学家哈代（Hardy,）增经这样称赞它：“…归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一字以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋的对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”
范文十：1.实数a,b,c不全为0等价于(
)A.a,b,c全不为0B.a,b,c中最多只有一个为0C.a,b,c中只有一个不为0D.a,b,c中至少有一个不为0答案:D22.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为(
)A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多一个是偶数D.至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为“a,b,c都不是偶数”.选B.答案:B3.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=(n=1,2,,,),试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为(
)A.对任意的正整数n,有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xn≥xn+1D.存在正整数n,使xn≤xn+1解析:全称命题的否定是特称命题.答案:D4.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则(
)A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于解析:假设a,b,c均小于,则a+2b+c答案:D5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人是对的,则获奖的歌手是(
)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是假的,同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案:C6.用反证法证明如果a>b,那么,假设的内容应是
.答案:7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,,,,a7是1,2,,,,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2),,(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,,,,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=
=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析:据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,,,,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+,,+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+,,+a7)-(1+2+,,+7)为奇数.又因为a1,a2,,,,a7是1,2,,,,7的一个排列,所以a1+a2+,,+a7=1+2+,,+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+,,+(a7-7)=(a1+a2+,,+a7)-(1+2+,,+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+,,+(a7-7) (a1+a2+,,+a7)-(1+2+,,+7)8.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:不成等差数列. 证明:假设成等差数列,则=2,2即a+c+2=4b,而b=ac,即b=,所以a+c+2=4,2所以()=0,即.从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故不成等差数列.9.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明:(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.证明:(1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又f(x)是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立.B组1.两条相交直线l,m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲:l和m中至少有一条与平面β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲是乙的(
)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知α与β相交,设交线为a,假设l,m都与平面β平行,则a∥l,a∥m,所以l∥m,这与已知l与m相交矛盾,所以乙=>甲.若已知l,m中至少有一条与平面β相交,不妨设l∩β=A,则点A∈α,且点A∈β,所以α与β必有一条过点A的交线,即甲=>乙.故选C.答案:C2.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为(
)A.0 B.1C.2 D.无穷多解析:假设两个数列中的第n项相同,则由an=bn,得an+2=bn+1,即(a-b)n=-1.∵a>b,∴a-b>0.*又n∈N,∴(a-b)n>0.这与(a-b)n=-1∴两个数列中没有序号与数均相同的项.答案:A2223.若下列两个方程x+(a-1)x+a=0,x+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是
.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有解得{a|-2所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}4.如图所示,已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,AH⊥平面SBC.求证:H不可能是△SBC的垂心.证明:假设H是△SBC的垂心,连接BH,则BH⊥SC.∵AH⊥平面SBC,∴AH⊥SC,而BH∩AH=H,∴SC⊥平面ABH.∴SC⊥AB.又SA⊥平面ABC,∴AB⊥SA.又SA与SC相交于点S,∴AB⊥平面SAC.∴AB⊥AC,即∠BAC=90°,这与△ABC是锐角三角形相矛盾.∴H不可能是△SBC的垂心.5.已知a,b,c都是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于.证明:假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.∵a,b,c都是小于1的正数,∴,从而.但是≤=,与上式矛盾.∴假设不成立,即原命题成立.226.已知直线ax-y=1与曲线x-2y=1相交于P,Q两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.解:不存在.理由如下:假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则OP⊥OQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=-1,所以(ax1-1)(ax2-1)=-x1·x2,2即(1+a)x1·x2-a(x1+x2)+1=0.22由题意得(1-2a)x+4ax-3=0,所以x1+x2=,x1·x2=.2所以(1+a)·-a·+1=0,2即a=-2,这是不可能的.所以假设不成立.故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.}