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1-可区分图的同构判定问题
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&&判定两个图是否同构的算法复杂性至今还是一个开问题。作者研究一类图的同构问题,给出了K-可区分图及K-标准图的定义(0〈K〈n,K∈Z)。并且讨论了1-可区分图的结构和性质,利用其结构和性质可以证明：1-可区分图的同构判定问题可以在O(n^2)时间内完成。
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或图01表示的性质及在同构中的应用
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|个人分类:|系统分类:|关键词:图同构
&&姜咏江将图的每个顶点用1表示，而与其相邻的顶点用0表示，这样形成的表就表示了一个顶点与周围顶点的相邻关系。全部顶点相邻关系的01表示就形成了一张行列数相同的表。1.01标准表例如，图1的两个图直观来看，它们根本不相同。其实按照图的定义来看，除了对顶点标注的名称不同，根本就是同一个图。如果我们能够将H图的顶点名称用G图的对应名称一一替换，就说明G和H是一个图。这就是图同构的意思。图1 &同构图如何找到同构图顶点所有顶点的一一对应关系？这就是判断图同构要解决的问题。据说直观问题的处理十分复杂，被许多人认为是一个NP问题。图的01表示可以将同构图用一张表来表示。也就是说，不同构的图不能够表示成同一张表。这里说的同一张表不包括表头文字。G图的01表示如表1所示。表1 &图G的01表示10　0　0　　010　0　　　　010　　　00　01　　0　　0　　10　00　　　010　　　　0　010　　0　0　01不改变表1的内容，可以将表头用H的顶点标识替换，且使图H顶点的相邻关系不变。若替换后恰是表达了图H的各顶点相邻关系，则找到了图G和图H的同构对应，说明它们是同一个数学定义的图。下面的表2，就是将表1的表头用对应的H顶点标识替换，且满足顶点的相邻关系。这说明图G和图H是同构图。表2 &图H与G同构的01表示10　0　0　　010　0　　　　010　　　00　01　　0　　0　　10　00　　　01　0　　　0　010　　0　0　01任何一个有n个顶点的图都可以表达成对角线对称的n×n表。其中左上右下的对角线上全是1，其它位置是0或空格。其中与1同行或同列的0表示这两点相邻，空格表示不相邻。我们将左上右下对角线全是1的图01表叫标准表。显然，同构图一定有相同的标准表。2.标准表的性质我们将一个顶点相邻的顶点数称为关联度。首先，同构图对应顶点的关联度一定相同。其次，每个对应顶点的相邻关系必然相同。在标准表上找到满足这两点是用标准表确定图同构的关键。容易想到，如果两个图同构，那么就应该有相同的标准表。如此，我们只要先作出一个图的标准表，并将其复制一个，去掉表头标识，就可以用该表来安排了另一个图的顶点对应位置。一般来说，安排n个顶点的排列，这是一个n个标识的排列问题，是一个n！的问题。但实际上在这里并非如此。图的标准表有如下的性质：（1）标准表是一个对角线对称表。（2）只有对角线上有“1”，其余数码只有“0”。（3）每个“1”的第 i 行和第 i 列如果有一个是“0”，那么另一个也是“0”，这种0和1都表示的对应，都表示着图顶点的相邻关系。3.利用标准表的性质确定图的对应关系表和的顶点关联度都是，当我们将放到第一个位置时，从图看，我们只要确定、、的位置即可。因而这最多有！的排列。其实我们并不会这样做。我们可以先试着将、、的位置方在第行的上方，然后看它们是否满足各自相邻的关系。由图可见与共同和或相邻，已经确定，故在表的与之间添。之后，通过的邻点，将写在的右面。余下的通过和的相邻关系，确定出和的位置。为了确保对应的正确性，要一一对每个顶点的相邻关系检查，确定无误，就证明了图和图是同构图。4.图不同构检验并不是具有顶点数相同和顶点关联度相同的图就是同构图。下面图所示的两个图就因为找不到相同的标准表，因而不是同构图。 & & & & & & & &&图2 &不同构图由于图的每个顶点属性相同，故用图的标准表来选择图任意一个顶点开始的排列，结果的关系应是相同的。我们不妨就从顶点开始（见表）。表3 &复制的G标准表对T求对应（）（）10　0　0　　010　0　　　　010　　　00　01　　0　　0　　10　00　　　01　0　　　0　010　　0　0　01从图可见，和相邻的另外两个点是和。可以试着将放在和之间，那么就自然要放到和之间。如此一来，从表可见和都是的邻点，但由图可知这是否定的。为此，将与的位置进行交换，那么由图的点可见表的最后一列应是，但从点的相邻关系可见这一列应标注，如此产生的矛盾说明图和图没有共同的标准表。由图各顶点关联属性的一样性，可知图与不可能产生相同的标准表，因而不可能同构。&&&&
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图论（25）
图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在一个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的一个映射m称之为一个同构，如果G=G1，则称他为一个自同构。
简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。
如图3.6，第一个图形和第二个图形的区别在于环的数量。第一个图形为一个环，第二个为两个环，所以不是同构图。
若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为一个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。
但这还是缺少一个条件，比如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这里的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序无关。
引入例题，&，判断两次组成的图形是否是同构图。
思路之一：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的人数，再排序进行比较。
排序时按照人数排序，若人数相同要按照状态排序。注意这几点或许会比较容易过。
请先自己进行尝试，尝试后再参考代码。
#include&iostream&
#include&cstring&
#include&cstdio&
#include&math.h&
#include&vector&
#include&algorithm&
#include&queue&
#include&set&
int pre[10100];
e s1[10010];
e s2[10010];
int find(int x)
while(x!=pre[x])
int cmp(e a,e b){
if(a.a==b.a) return a.b&b.b;
else return a.a&b.a;
void init(int n)
for(int i=1;i&=n;i++)
int main()
int t,cas=1;;
scanf(&%d&,&t);
while(t--)
for(int i=1;i&10010;i++)
s1[i].a=1;s1[i].b=0;
s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独立的，默认为链
bool flag=
int n1,m1,n2,m2;
scanf(&%d%d&,&n1,&m1);
for(int i=0;i&m1;i++)
scanf(&%d%d&,&a,&b);
int dx=find(a);
int dy=find(b);
if(dx!=dy)
s1[dy].a+=s1[dx].a;
s1[dx].a=0;//把拉手的孩子数量加起来，下同
else s1[dy].b=1;//成环
scanf(&%d%d&,&n2,&m2);
for(int i=0;i&m2;i++)
scanf(&%d%d&,&a,&b);
int dx=find(a);
int dy=find(b);
if(dx!=dy)
s2[dy].a+=s2[dx].a;
s2[dx].a=0;
else s2[dy].b=1;
if(n1==n2){
sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);
sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩子的数量相同则对是否是环进行排序，这里要注意
for(int i=0;i&n1;i++)
if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态
if(n1!=n2)
if(flag) printf(&Case #%d: NO\n&,cas++);
else printf(&Case #%d: YES\n&,cas++);
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