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贴数:18&分页:形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Wed Jul 27 19:50:20 2016), 站内 && 最近研究某个东西时得到的副产品，供大家一乐 XD && 设F是特征为零的域，V是F上的线性空间，X、Y、Z是V上的线性变换，满足
[X, Y]=Z, [Z, X]=0, [Z, Y]=0,
v是V中的非零元素，满足 X^2(v)=0、Y^2(v)=0。求证：(X+Y)^5(v)=0。 && 这种类型的问题还可以推广：如果X^m(v)=0、Y^n(v)=0，是否有
(X+Y)^(2m+2n-3)(v)=0？
上面的问题就是 (m,n)=(2,2)的情形。如果m或者n中有一个等于1，那么
结论也是对的。但对更一般的情形就不知道了。 && 我在证明上述结论的时候一定要用到域的特征为零这个条件。所以这里还
有一个问题是，如果域F是正特征的，是不是就会存在反例？ &&&& --
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.58.10]
rock发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Fri Jul 29 15:49:56 2016), 站内 && 如果先只考虑可对角化的简单情形的话
由 ZX=XZ 知道X和Z可同时被P对角化
Z_0=PZP^{-1}=PXP^{-1}*PYP^{-1}-PYP^{-1}*PXP^{-1}
=λ*B-B*λ
可以知道Z_0对角阵的对角线元素都是0，于是Z是零矩阵... && 不知道是不是哪里不对... && 【 在 deformation (形变) 的大作中提到: 】
: 最近研究某个东西时得到的副产品，供大家一乐 XD
: 设F是特征为零的域，V是F上的线性空间，X、Y、Z是V上的线性变换，满足
: [X, Y]=Z, [Z, X]=0, [Z, Y]=0,
: ...................
&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 119.57.112.*]
形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Fri Jul 29 15:56:36 2016), 站内 && 可对角化就没意思了，你可以想象X、Y、Z都是幂零矩阵，比如
X=e_{12}, Y=e_{23}, Z=e_{13},&& 其中 e_{ij} 表示只有第(i,j)分量为1、其它分量为0的三阶矩阵。 && 【 在 Cracker (rock) 的大作中提到: 】
: 如果先只考虑可对角化的简单情形的话
: 由 ZX=XZ 知道X和Z可同时被P对角化
: ...................
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.58.10]
rock发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Fri Jul 29 16:09:22 2016), 站内 && 这个例子里面(X+Y)^3就够是吧
有没有必须是5的例子呢 && 【 在 deformation (形变) 的大作中提到: 】
: 可对角化就没意思了，你可以想象X、Y、Z都是幂零矩阵，比如
: X=e_{12}, Y=e_{23}, Z=e_{13},&&
: 其中 e_{ij} 表示只有第(i,j)分量为1、其它分量为0的三阶矩阵。
: ...................
&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 119.57.112.*]
形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Fri Jul 29 17:42:48 2016), 站内 && 这个问题来自无穷维李代数，那里的确有必须是5的例子。有限维我不清楚，这是
个有趣的问题：如果V是有限维空间，5能不能改成4甚至3？ && 【 在 Cracker (rock) 的大作中提到: 】
: 这个例子里面(X+Y)^3就够是吧
: 有没有必须是5的例子呢
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.58.10]
rock发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Sat Jul 30 21:48:11 2016), 站内 && 好像直接上Zassenhaus formula就差不多了吧 && (X+Y)^2*v=(XY+YX)v
(X+Y)^3*v=3Z(X-Y)v
(X+Y)^4*v=-3Z^2*v
(X+Y)^5*v=-3Z^2(X+Y)v && e^(tX)*e^(tY)v=e^(t(X+Y))*e^(t^2*Z/2)v
左边能算出来有限式为 v+t*(X+Y)v+t^2*XYv+t^3*ZXv
对比右边的t^3的系数为(ZX-ZY)v/2 知道 (ZX+ZY)v=0
所以(X+Y)^5*v=0 && 【 在 deformation (形变) 的大作中提到: 】
: 这个问题来自无穷维李代数，那里的确有必须是5的例子。有限维我不清楚，这是
: 个有趣的问题：如果V是有限维空间，5能不能改成4甚至3？
&&&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.42.*]
形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Sat Jul 30 23:50:55 2016), 站内 && 赞！ && 我是反复利用交换关系，最后能推出Z^2X(v)=0、Z^2Y(v)=0。你的做法似乎计算
量小一点。 && BTW，原来BCH公式还有这么个怪名字。。。 && 【 在 Cracker (rock) 的大作中提到: 】
: 好像直接上Zassenhaus formula就差不多了吧
: (X+Y)^2*v=(XY+YX)v
: (X+Y)^3*v=3Z(X-Y)v
: ...................
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.58.10]
rock发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Sun Jul 31 00:04:40 2016), 站内 && 没学过李群，都是在维基上现找的，呵呵
本来我想用BCH公式试试，发现好像不太行
后来发现加一个参数t以后就可以把系数分层了，这个带t的维基上叫它 Zassenhaus formula && btw 怎么利用交换关系做呢 && 【 在 deformation (形变) 的大作中提到: 】
: 我是反复利用交换关系，最后能推出Z^2X(v)=0、Z^2Y(v)=0。你的做法似乎计算
: 量小一点。
: ...................
&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.42.*]
形变发信人: deformation (形变), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Sun Jul 31 00:29:08 2016), 站内 && BCH公式本身就是利用微分方程先证加t版，然后取t为1得到的。这个Zassenhaus
公式的区别好像是左边到底是e^Xe^Y还是e^{X+Y}，不过反正都是等价的。 && 我找到的方法非常诡异，也许有更简单的路径我还没找到： &&&&ZZXv
=1/2 Z[XX,Y]v
=1/2 ZXXYv
=1/4 X[XX,Y]Yv
=-1/4 XYXXYv
=-1/4 XY[XX,Y]v
=-1/2 ZXYXv
=-1/2 Z[X,Y]Xv
=-1/2 ZZXv && 所以 ZZXv=0。这里要用到域的特征不能是2和3。 && 【 在 Cracker (rock) 的大作中提到: 】
: 没学过李群，都是在维基上现找的，呵呵
: 本来我想用BCH公式试试，发现好像不太行
: 后来发现加一个参数t以后就可以把系数分层了，这个带t的维基上叫它 Zassenhaus formula
: ...................
陈清扬说她真实的罪孽，是指在清平山上。那时她被架在我的肩上，穿着紧裹住
双腿的筒裙，头发低垂下去，直到我的腰际。天上白云匆匆，深山里只有我们两
个人。我刚在她屁股上打了两下，打得非常之重，火烧火撩的感觉正在飘散。打
过之后我就不管别的事，继续往山上攀登。 && 陈清扬说，那一刻她感到浑身无力，就瘫软下来，挂在我肩上。那一刻她觉得如春藤绕树，小鸟依人，她再也不想理会别的事，而且在那一瞬间把一切都遗忘。在那一瞬间她爱上了我，而且这件事永远不能改变。 &&&& ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.58.10]
rock发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标&&题: Re: 线性代数一题
发信站: 水木社区 (Sun Jul 31 00:39:11 2016), 站内 && 妙！ && 我试过在X,Y,Z上面倒来倒去做文章，不过没绕出来这个关系 && 【 在 deformation (形变) 的大作中提到: 】
: BCH公式本身就是利用微分方程先证加t版，然后取t为1得到的。这个Zassenhaus
: 公式的区别好像是左边到底是e^Xe^Y还是e^{X+Y}，不过反正都是等价的。
: 我找到的方法非常诡异，也许有更简单的路径我还没找到：
: ...................
&& -- && ※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 59.66.42.*]
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